专题四 三角函数与解三角形第十一讲 三角函数的综合应用答案(1)

2021届高考（理）热点题型：三角函数与解三角形（含答案解析）三角函数与解三角形热点三角函数的图象与性质注意对基本三角函数y＝sinx，y＝cosx的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y＝asin(ωx＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解.十、【例1】已知函数f(x)＝sinx－23sin22.(1)求f(x)的最小正周期；2π??(2)求f(x)在区间?0，?上的最小值.3.（1）因为f（x）=SiNx+3cosx-3？π?＝ 2分钟？x＋？－三3??所以F（x）的最小正周期是2π。

2 π(2)解因为0≤x≤3，ππ所以3≤ x+3≤ ππ2π当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值.332π 2π?所以f(x)在区间?0，?上的最小值为f??＝－3.3.3.【相似问题的一般方法】求函数y=asin（ωx＋φ）＋B的循环模板和最大值第一步：三角函数式的化简，一般化成y＝asin(ωx＋φ)＋h或y＝acos(ωx＋φ)＋h的形式；第二步：由t＝求最小正周期|ω| 2π第三步：确定f(x)的单调性；第四步：确定每个单调区间结束时的函数值；第五步：明确规范地表达结论.三【对点训练】设函数f(x)＝2－3sin2ωx－sinωxcosωx(ω＞0)，且y＝f(x)的π从图像的一个对称中心到最近对称轴的距离为4（1）Begω值；3π?? （2）在区间π中求f（x），2?上的最大值和最小值.?三解(1)f(x)＝2－3sin2ωx－sinωxcosωx1－cos2ωx13＝2－3－2sin2ωx2π?31?＝2cos2ωx－2sin2ωx＝sin？两个ωx-？。

3??π因为y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4，故该函数的周期π t＝4×4＝π。

而且ω＞0，所以2π=π，所以ω＝一点二ωπ??（2）从（1），f（x）=sin？2x－？。

专题05 三角函数与解三角形的综合应用【例1】（三种三角函数间的综合）已知函数()sin()4f x x π=π+和函数()cos()4g x x π=π+在区间57[,]44-上的图象交于A ，B ，C 三点，则△ABC 的面积是A B C D 【答案】C 由已知，得sin()cos()44x x πππ+=π+，即tan()14x ππ+=，所以44x k πππ+=π+，即x k =（Z k ∈），又57[,]44x ∈-，所以1x =-，0，1.于是两函数图象的交点为(1,A -，B ，(1,2C -，则△ABC 的面积为12(222⨯⨯+=【例2】（三角函数性质的综合）已知函数f (x )=sin⁡(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，f (x )的图象向左平移π3个单位后所得图象对应的函数为偶函数，则f (x +π12)+f (x −π6)的最大值为 A ．√2 B ．√3 C ．1D ．2【答案】A 因为函数f (x )=sin⁡(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，所以ω=2，f (x )=sin⁡(2x +φ)，且其图象向左平移π3个单位后得到的f (x )=sin⁡(2x +2π3+φ)为偶函数，则2π3+φ=π2+kπ,k ∈Z ，又因为|φ|<π2，所以φ=−π6，f (x )=sin⁡(2x −π6)，则f (x +π12)+f (x −π6)=sin2x +sin (2x −π2)=sin2x −cos2x =√2sin⁡(2x −π4)≤√2.故选A ． 【例3】（三角函数型图象问题）函数cos ()2([π,π])xf x x =∈-的图象大致为A ．B ．C ．D ．【答案】C []cos()cos π,π,()22()()x x x f x f x f x -∈--===∴，为偶函数，则图象关于y 轴对称，排除A 、D ，把πx =代入得1(π)20.5f -==，故图象过点(π0.5)，，C 选项适合，故选C ． 【例4】（三角函数与平面几何的综合）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>． （1）若2ω=，把函数()f x 的图象的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位后得到函数()g x 的图象，求()g x 在区间ππ[,]22-上的值域； （2）若函数()f x 的图象上有如图所示的,,A B C 三点，且满足AB BC ⊥，求ω的值．【解析】()cos f x x x ωω=+1cos )22x x ωω=+π2sin()6x ω=+． （1）若2ω=，则π()2sin(2)6f x x =+，把函数()f x 的图象的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数π2sin()6y x =+的图象，再向右平移π3个单位后得到函数π()2sin()6g x x =-的图象.由ππ22x -≤≤，得2πππ363x -≤-≤，所以π1sin()6x -≤-≤所以π22sin()6x -≤-≤()g x 在区间ππ[,]22-上的值域为[-． （2）由图知点B 是函数()f x 图象的最高点，设0(,2)B x ，函数()f x 的最小正周期为， 则003(,0),(,0)44T T A x C x -+，所以(,2)4T AB =，3(,2)4T BC =-，因为AB BC ⊥， 所以234016T AB BC ⋅=-=，解得264,3T T ==2π2π8T ω===．【例5】（三角函数与解三角形的综合）已知2()cos 2cos 1f x x x x =-+. （1）求函数()f x 的单调递增区间；T（2）ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()2f A =，且3b =，ABC △的面积S =，求a .【解析】（1）2()cos 2cos 1f x x x x =-+2cos 2x x =-2(sin 2cos sin cos 2)66x x ππ=- 2sin(2)6x π=-. 由222262k x k ππππ-≤-≤π+（k ∈Z ），解得63k x k πππ-≤≤π+（k ∈Z ）.故函数()f x 的单调递增区间为[,]63k k πππ-π+（k ∈Z ）.（2）由()2f A =，即2sin(2)26A π-=，得sin(2)16A π-=. 所以2262A k ππ-=π+（k ∈Z ），解得3A k π=π+（k ∈Z ）. 因为(0,)A ∈π，所以3A π=.由已知ABC △的面积11sin 3sin 603322S bc A c ==⨯⨯⨯=4c =.由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-2234234cos60=+-⨯⨯13=. 所以a =【例6】（三角恒等变换与解三角形的综合）已知ABC △中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，且4a =，5b c +=B ，则ABC △的面积为A B C D 【答案】C 根据两角和的正切公式有()()tan tan tan 1tan tan A B A B A B +=+-，依题意有()tan A B +=故2ππ,33A B C +==.由余弦定理得222π2cos 3c a b ab =+-，即22164c b b =+-，联立5b c +=，解得32b =，故面积为13π4sin 223⋅⋅⋅=. 【例7】（解三角形与向量的综合）已知在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量()cos ,cos C C =-n ，且12⋅=-m n ．（1）求角C 的大小； （2，求ABC △的面积．【解析】（1）由已知得21cos cos 2C C C =-，由倍角公式和降幂公式得1cos 212,sin 21226C C C +π⎛⎫=-∴-= ⎪⎝⎭． ()0,,C ∈π2,62C C πππ∴-=∴=．（2解得b =或b =当b =时，11sin 322ABC S ab C ==⨯⨯=△当b =时，11sin 22ABC S ab C ==⨯⨯=△．综上所述，3ABC S =△或ABC S =△．【例8】（三角函数与向量、函数与方程的综合）已知向量2,1),(cos ,cos 1)x x x ωωω==+m n ，设函数()f x b =⋅+m n ．（1）若函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，且[0,3]ω∈时，求函数()f x 的单调增区间； （2）在（1）的条件下，当[0,]12x 7π∈时，函数()f x 有且只有一个零点，求实数b 的取值范围.【解析】2()cos cos 1f x b x x x b ωωω=⋅+=+++m n1332cos 2sin(2)2262x x b x b ωωωπ=+++=+++. （1）∵函数()f x 的图象关于直线6x π=对称， ∴2,662k k ωπππ⋅+=π+∈Z ，解得31,k k ω=+∈Z ， ∵[0,3]ω∈， ∴1ω=，∴3()sin(2)62f x x b π=+++，由222,262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ，得2,366k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ，所以函数()f x 的单调增区间为[,],36k k k πππ-π+∈Z ．（2）由（1）知3()sin(2)62f x x b π=+++，∵[0,]12x 7π∈，∴2[,]663x ππ4π+∈，∴2[,]662x πππ+∈，即[0,]6x π∈时，函数()f x 单调递增； 2[,]623x ππ4π+∈，即[,]612x π7π∈时，函数()f x 单调递减．又(0)()3f f π=，∴当()0()312f f π7π>≥或()06f π=时()f x 有且只有一个零点．即32022b b +>≥-++或3102b ++=，所以满足条件的5({}2b ∈--．备考指南（1）在解决已知三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象关于某条直线0x x =（或某点0(,0)x ）对称的问题时，常用的解决方法是将横坐标代入原式中，让其等于正弦函数的对称轴（或对称中心），即0ππ2x k ωϕ+=+（或0πx k ωϕ+=），k ∈Z ，再解出参数即可；（2）在解决已知函数()()f x g x b =+的零点个数求参数，或者讨论函数的零点个数问题时，常用分离参数的方法，将问题转化为()g x b =-，画出()g x 的图象，通过对直线y b =-进行上下平移，从而得到参数b 的取值范围或零点个数的不同情况.【例9】（三角函数与导数的综合）已知函数()y f x =对任意的ππ(,)22x ∈-满足()cos ()sin f x x f x x '+0>(其中()f x '是函数()f x 的导函数)，则下列不等式成立的是A ππ()()34f -<-B ππ()()34f <C ．π(0)2()3f f >D ．π(0)()4f >【答案】A 【解析】令()()()()()()()()22cos cos cos sin ,cos cos cos f x f x x f x x f x x f x x g x g xxx x'''-+'===则，由对任意的ππ(,)22x ∈-满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>可得()0g x '>，所以函数()x g 在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数，所以ππ34g g ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ34ππcos cos 34f f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ34f ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ．考点三 平面几何中的解三角形问题【例10】△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,2sin sin 2sin cos A C B C +=. （1）求B 的大小；（2）若3a =,且AC边上的中线长为2,求△ABC 的面积. 【解析】（1）由△ABC 中πA B C ++=可得()sin sin A B C =+, 因为2sin sin 2sin cos A C B C +=,所以()2sin 2sin cos sin 0B C B C C +-+=,即2cos sin sin 0B C C +=,即()sin 2cos 10C B +=, 因为0π,sin 0C C <<≠, 所以2cos 10B +=,12πcos ,23B B =-=. （2）由2π3B =得, ,① 在△ABC 中,取中点,连接.所以在△CBD 中,222cos 2BC CD BD C BC CD+-=⋅=221944b a ab+-, ② 把①代入②,化简得,解得,或（舍去）, 所以.所以△ABC 的面积112πsin 35sin 223S ac B ==⨯⨯⨯=. 222239b a c ac c c =++=++AC D BD 23100c c --=5c =2c =-5c =备考指南几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.考点四 三角函数的应用问题【例11】（解三角形的应用）某观察站C 与两灯塔A ，B 的距离分别为a 米和b 米，测得灯塔A 在观察站C 北偏西60︒，灯塔B 在观察站C 北偏东60︒，则两灯塔A ，B 间的距离为AB 米CD【答案】C【解析】依题意，作出示意图（图略），因为6060120ACB ∠=︒+︒=︒，AC a =，BC b =，所以由余弦C ．【例12】（三角函数、解三角形的应用）如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中π,,2AB a B BC =∠==.设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道MN ，且两边是两个关于走道MN 对称的三角形（AMN △和A MN '△）.现考虑绿地最大化原则，要求点M 与点,A B 均不重合，A '落在边BC 上且不与端点,B C 重合，设AMN θ∠=.（1）若π3θ=，求此时公共绿地的面积； （2）为方便小区居民的行走，设计时要求,AN A N '的长度最短，求此时绿地公共走道MN 的长度. 【解析】（1）由图得：ππ23BMA θ∠=-='， ∴1122BM A M AM ='=， 又BM AM a AB +==，∴32AM a =， ∴23AM a =，∴公共绿地的面积2221π422sin 239AMN S S AM a ==⋅⋅⋅==△. （2）由图得：()cos π2AM A M AB a θ+-=='且AM A M ='， ∴()21cos π21cos 22sin a a a AM A M θθθ====+--'，在AMN △中，由正弦定理可得:πsin sin π3AN AMθθ=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴sin 2π2πsin 2sin sin 33AM aAN θθθθ==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 记2π2π2π2sin sin 2sin sin cos cos sin 333t θθθθθ⎛⎫⎛⎫=-=⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21cos 2π1cos sin sin 2sin 22262θθθθθθ-⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭， 又ππ,42θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴ππ262θ-=， ∴π3θ=时，t 取最大，AN 最短，则此时23MN AM a ==.能力突破1．已知命题p ：函数()sin f x x x =图象的一条对称轴是7π6x =；命题(): cos cos cos q αβαβαβ∀∈-≥-R ，，，则下列命题中的真命题为 A ．()p q ⌝∧ B ．()p q ∧⌝ C ．()p q ⌝∨D ．()p q ⌝∨【答案】B【解析】7π7π7π7ππ:sin2sin 266663p f ⎛⎫⎛⎫==+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴p 为真命题． :q 当2π,παβ==时，παβ-=，()cos 1αβ-=-，cos cos 2αβ-=，∴()cos cos cos αβαβ-<-，∴q 为假命题，∴()p q ∧⌝为真命题．故选B ． 2．已知函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）和函数π()sin 2g x x =，若()f x 与()g x 两图象只有3个交点，则a 的取值范围是A ．19(,1)(1,)52 B ．19(0,)(1,)72 C ．11(,)(3,9)72D ．11(,)(5,9)73【答案】D【解析】作出函数()f x 与()g x 的图象如图所示，当1a >时，()f x 与()g x 两图象只有3个交点，可得59a <<，当01a <<时，()f x 与()g x 两图象只有3个交点，可得1173a <<，所以a 的取值范围是11(,)(5,9)73，故选D ．3．存在实数ϕ，使得圆面224x y +≤恰好覆盖函数πsin()y x kϕ=+图象的最高点或最低点共三个，则正数k 的取值范围是___________．【答案】 【解析】由题意，知函数πsin()y x k ϕ=+图象的最高点或最低一定在直线1y =±上，则由2214y x y =±⎧⎨+≤⎩，得x ≤≤2π2πT k k==，2T T ≤，解得正数k的取值范围为．4．在△ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，53sin =A ． （1）求C sin 的值；（2）设D 为AC 的中点，若BD 的长为√1532，求△ABC 的面积．【解析】（1）由AB AC BA BC ⋅=⋅得()0AB AC BC ⋅+=， 即22()()||||0AC BC AC BC AC BC -⋅+=-=， 故|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 从而A B =，A 与B 都是锐角， 则cosA =√1−sin 2A =45.sinC =sin (A +B )=sin2A =2sinAcosA =2425，即sinC =2425. (2)由（1），得cosC =cos (π−2A )=−cos2A =2sin 2A −1=−725， 设BC =AC =x ，在BCD △中，由余弦定理得BD 2=CD 2+BC 2−2CD ∙BC ∙cosC =x 24+x 2−2×x 22×(−725)=1534，解得x =5，则S ∆ABC =12×5×5×2425=12.5π. （1）求函数()f x 的解析式，并写出()f x 的最小正周期； （2，若在[]0,πx ∈内，方程2[12()]3()20a g x ag x -+-=有且仅有两解，求a 的取值范围.【解析】（1，∴πT =，∴2ω=.()f x 图象上，∴ππ2π32k ϕ+=+， π最小正周期πT =.（2 ∴原方程可化为()213sin 2sin 2a x x +-=，则0a ≠. ∵[]0,πx ∈，∴[]sin 0,1x ∈，213sin 2sin 0x x +->，∴2221732sin 3sin 12sin 84x x x a ⎛⎫=-++=-- ⎪⎝⎭，令sin t x =，则[]0,1t ∈，作出()2173284f t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭及2y a =的图象，当21a ≤2<或2178a =时，两图象在[]0,1内有且仅有一解，即方程221732sin 84x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在[]0,π内有且仅有两解，此时a 的取值范围为16|12 17a a a ⎧⎫<≤=⎨⎬⎩⎭或. 高考通关1．【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是A. 30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭B. 30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C. 60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D. 60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 【答案】A【解析】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360606n n ︒︒=⨯，每条边长为302sin n︒， 所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sin n n︒， 单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tann ︒，其周长为3012tan n n︒， 303012sin12tan 303026sin tan 2n n n n n n n π︒︒+︒︒⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，则30303sin tan n n n π︒︒⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查圆周率π的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.2．【2019年高考北京卷文数】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B所以当ABP S △最大时，阴影部分面积最大.观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时（如图2），阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π−β，面积S 的最大值为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形=4β+S △POB + S △POA =4β+12|OP ||OB |sin （π−β）+12|OP ||OA |sin （π−β）=4β+2sin β+2sin β=4β+4 sin β，故选B. 【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示. 3．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③【答案】C 【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误． 当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--2sin x =-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C ．【名师点睛】本题也可画出函数()sin sin f x x x =+的图象（如下图），由图象可得①④正确．4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④【答案】D【解析】①若()f x 在[0,2π]上有5个零点，可画出大致图象，由图1可知，()f x 在(0,2π)有且仅有3个极大值点.故①正确；②由图1、2可知，()f x 在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；π所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D.【名师点睛】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求高，理解深度高，考查数形结合思想．注意本题中极小值点个数是动态的，易错，正确性考查需认真计算，易出错． 5．【2018年高考北京卷理数】设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 【答案】23【解析】因为()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以π4f ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值， 所以()()ππ22π 8463k k k k -=∈∴=+∈Z Z ，ωω， 因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为23.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查考生的逻辑推理能力以及运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.6．【2018年高考全国Ⅲ理数】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【答案】3【解析】0πx ≤≤，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知πππ3π336262x x +=+=，，或π5π362x +=，解得π4π,99x =，或7π9，故有3个零点.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查数形结合思想和考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.7．（2017浙江）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC的面积是______，cos ∠BDC =_______．【答案】24【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，∴1cos ,sin 4DBC DBC ∠=-∠==∴1sin 22△BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos BDC ∠=或cos BDC ∠=（舍去）．综上可得，△BCD cos BDC ∠=．8.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD ==AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.【答案】14-【解析】AB AC ⊥，AB =1AC =，由勾股定理得2BC ==，同理得BD =BF BD ∴==在ACE △中，1AC =，AE AD ==30CAE ∠=，由余弦定理得2222cos30132112CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF 中，2BC =，BF =1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故答案为：14-. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.9．（2017江苏）已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【解析】（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,=b ，a ∥b ，所以3sin x x =．若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan x =． 又x ∈[0，π]， 所以5π6x =．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b ． 因为x ∈[0，π]， 所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()6x -≤+≤． 于是，当ππ66x +=，即0x =时，f (x )取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，f (x )取到最小值-10．（2018新课标Ⅰ理）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =. （1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠.由题设知，52sin 45sin ADB =︒∠，所以sin 5ADB ∠=.由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos ADB ∠==（2）由题设及（1）知，cos sin 5BDC ADB ∠=∠=. 在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠258255=+-⨯⨯ 25=.所以5BC =.11．（2018北京理）在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17． （1）求∠A ；（2）求AC 边上的高．【解析】（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B ．由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A ，∴sin A ． ∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（2）在△ABC 中，sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A 11()72-+．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7∴AC ．12．（2018上海）设常数R a ∈，函数()2sin22cos f x a x x =+．（1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）若π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求方程()1f x =[]ππ-，上的解．【答案】(1)0a =;(2)5π24x =-或19π24x =或13π11π2424x x 或==-.【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a 的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【详解】（1）∵()2sin22cos f x a x x =+，∴()2sin22cos f x a x x -=-+，∵()f x 为偶函数，∴()()f x f x -=，∴22sin22cos sin22cos a x x a x x -+=+，∴2sin20a x =，∴0a =；（2）∵π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴2ππsin 2cos 1124a a ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，∴a =∴()2π2cos cos212sin 216f x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，∵()1f x =∴π2sin 2116x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，∴πsin 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴ππ22π64x k +=-+，或π52π2πZ 64x k k +=+∈，， ∴5ππ24x k =-+，或13ππZ 24x k k =+∈，，∵[]ππx ∈-，， ∴5π24x =-或19π24x =或13π11π2424x x 或==-【点睛】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．13．【2020年高考全国II 卷理数】ABC △中，sin 2A －sin 2B －sin 2C = sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC △周长的最大值．【解析】（1）由正弦定理和已知条件得222BC AC AB AC AB --=⋅，①由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅，② 由①，②得1cos 2A =-.因为0πA <<，所以2π3A =.（2）由正弦定理及（1）得sin sin sin ACABBCB C A ===从而AC B =，π)3cos AB A B B B =--=-.故π33cos 3)3BC AC AB B B B ++=++=++.又π03B <<，所以当π6B =时，ABC △周长取得最大值3+14．【2020年高考浙江】在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．已知2sin 0b A =．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【解析】（Ⅰ）由正弦定理得2sin sin B A A =，故sin B =， 由题意得π3B =. （Ⅰ）由πA BC ++=得2π3C A =-， 由ABC △是锐角三角形得ππ(,)62A ∈.由2π1cos cos()cos 32C A A A =-=-+得11π13cos cos cos cos sin()]22622A B C A A A ++++=++∈.故cos cos cos A B C ++的取值范围是3]2. 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.15．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=． （1）求A ；（2）若b c -=，证明：△ABC 是直角三角形． 【解析】（1）由已知得25sin cos 4A A +=，即21cos cos 04A A -+=． 所以21(cos )02A -=，1cos 2A =．由于0A <<π，故3A π=．（2）由正弦定理及已知条件可得sin sin B C A -=．由（1）知23B C π+=，所以2sin sin()33B B ππ--=．即11sin 22B B =，1sin()32B π-=． 由于03B 2π<<，故2B π=．从而ABC △是直角三角形． 【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题．16．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinsin 2A C a b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）B =60°；（2）(82. 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2A C AB A +=． 因为sin A ≠0，所以sin sin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sin cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B =． 因为cos 02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积4ABC S a =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+． 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，ABC S <<△． 因此，△ABC面积的取值范围是82⎛ ⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题.。

一、三角函数的实际应用知识点拨一、在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：定义边范围数量关系正弦斜边的对边A A ∠=sin c a A =sin 1sin 0<<A (∠A 为锐角)余弦斜边的邻边A A ∠=cos cb A =cos 1cos 0<<A (∠A 为锐角)B A cos sin =BA sin cos =1cos sin 22=+A A 正切的邻边的对边A tan ∠∠=A A baA =tan 0tan >A (∠A 为锐角)余切的对边的邻边A A A ∠∠=cot ab A =cot 0cot >A (∠A 为锐角)B A cot tan =B A tan cot =AA cot 1tan =(倒数)1cot tan =⋅AA 二、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值三角函数0°30°45°60°90°αsin 02122231αcos 12322210αtan 03313不存在αcot 不存在31330三、常见术语：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

对边邻边AC(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即hi l =。

坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi l α==。

例题演练一．选择题（共20小题）1．如图，为了测量旗杆AB 的高度，小明在点C 处放置了高度为2米的测角仪CD ，测得旗杆顶端点A 的仰角∠ADE ＝50.2°，然后他沿着坡度为i ＝的斜坡CF 走了20米到达点F ，再沿水平方向走8米就到达了旗杆底端点B ．则旗杆AB 的高度约为（ ）米．（参考数据：sin50.2°≈0.77，cos50.2°≈0.64，tan50.2°≈1.2）．A ．8.48B ．14C ．18.8D ．30.8【解答】解：如图，延长AB 交水平线于M ，作FN ⊥CM 于N ，延长DE 交AM 于H ．:i h l=hlα在Rt△CFN中，∵＝，CF＝20米，∴FN＝BM＝12米，CN＝16米，∴DH＝CM＝16+8＝24米，在Rt△ADH中，AH＝DH•tan50.2＝24×1.2＝28.8米，∴AB＝AM﹣BM＝AH+HM＝BM＝28.8+2﹣12＝18.8米，故选：C．2．我校兴趣小组同学为测量校外“御墅临枫”的一栋电梯高层AB的楼高，从校前广场的C 处测得该座建筑物顶点A的仰角为45°，沿着C向上走到30米处的D点．再测得顶点A 的仰角为22°，已知CD的坡度：i＝1：2，A、B、C、D在同一平面内，则高楼AB的高度为（ ）（参考数据；sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）A．60B．70C．80D．90【解答】解：作AH⊥ED交ED的延长线于H，设DE＝x米，∵CD的坡度：i＝1：2，∴CE＝2x米，由勾股定理得，DE2+CE2＝CD2，即x2+（2x）2＝（30）2，解得，x＝30，则DE＝30米，CE＝60米，设AB＝y米，则HE＝y米，∴DH＝y﹣30，∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝y，∴AH＝BE＝y+60，在Rt△AHD中，tan∠DAH＝，则≈0.4，解得，y＝90，∴高楼AB的高度为90米，故选：D．3．小敏利用无人机测量某座山的垂直高度AB．如图所示，无人机在地面BC上方130米的D 处测得山顶A的仰角为22°，测得山脚C的俯角为63.5°．已知AC的坡度为1：0.75，点A ，B，C，D在同一平面内，则此山的垂直高度AB约为（ ）（参考数据：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40）A．146.4米B．222.9米C．225.7米D．318.6米【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H，过点C作CR⊥DH于R，设AB＝x米，则AH＝（x﹣130）米．∵AB：BC＝1：0.75，∴BC＝RH＝0.75x（米），BH＝CR＝130米，在Rt△DCR中，DR＝＝＝65（米），∵tan∠ADH＝，∴＝0.4，解得x≈222.9，∴AB＝222.9（米），故选：B．4．重庆实验外国语学校某数学兴趣小组，想测量华岩寺内七佛塔的高度，他们在点C处测得七佛塔顶部A处的仰角为45°，再沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡CD向上走了5.2米到达点D，此时测得七佛塔顶部A的仰角为37°，七佛塔AB所在平台高度EF为0.8米，则七佛塔AB的高约为（ ）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．20.8B．21.6C．23.2D．24【解答】解：根据题意可知：∠AHC＝90°，∠ACH＝45°，∴AH＝HC，∵DN：NC＝i＝1：2.4，CD＝5.2米，∴DN＝2米，CN＝4.8米，设DG⊥AB，垂足为G，在Rt△ADG中，∠ADG＝37°，∵AG＝AB﹣GB＝AB﹣（DN﹣EF）＝AB﹣1.2，又DG＝NH＝CN+HC＝4.8+AH＝4.8+AB+0.8＝AB+5.6，∴tan∠ADG＝，∴×（5.6+AB）≈AB﹣1.2，解得AB＝21.6（米），答：碧津塔AB的高约为21.6米．故选：B．5．春节期间，某老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤AB的坡度为1：2.4，AB长为5.2米，钓竿AC与水平线的夹角是60°，其长为6米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角也是60°，则浮漂D与河堤下端B 之间的距离约为（ ）（参考数据：＝1.732）A．2.33米B．2.35米C．2.36米D．2.42米【解答】解：如图，延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥BE于点F，则∠CED＝60°，∵AB的坡比为1：2.4，∴＝＝，设AF＝5x，BF＝12x，在Rt△ABF中，由勾股定理知，5.22＝25x2+144x2．解得：x＝0.4，∴AF＝5x＝2（米），BF＝12x＝4.8（米），由题意得：AC＝6米，∠CAG＝∠C＝60°，AG∥DF，∴∠EAF＝90°﹣60°＝30°，∠AEF＝∠CAG＝60°，∴EF＝AF＝（米），AE＝2EF＝（米），∵∠C＝∠CED＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴DE＝CE＝AC+AE＝（6+）米，∵BD＝DE﹣EF﹣BF＝6+﹣﹣4.8≈2.35（米），即浮漂D与河堤下端B之间的距离约为2.35米，故选：B．6．如图，为测量观光塔AB的高度，冬冬在坡度i＝1：2.4的斜坡CD的D点测得塔顶A的仰角为52°，斜坡CD长为26米，C到塔底B的水平距离为9米．图中点A，B，C，D在同一平面内，则观光塔AB的高度约为（ ）米．（结果精确到0.1米，参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28）A．10.5米B．16.1米C．20.7米D．32.2米【解答】解：如图，延长AB交过点D的水平面于F，作CE⊥DF于E，由题意得：CD＝26米，BC＝EF＝9米，BF＝CE，在Rt△CDE中，i＝1：2.4，CD＝26米，∴BF＝CE＝10米，ED＝24米，在Rt△AFD中，∠AFD＝90°，FD＝EF+ED＝33米，∠ADF＝52°，∴AF＝FD•tan52°≈33×1.28＝42.24（米），∴AB＝AF﹣BF＝42.24﹣10≈32.2（米）；即建筑物AB的高度为32.2米；故选：D．7．如图，一棵松树AB挺立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为52米，坡度为i＝12：5，小张从与点C相距60米的点D处向上爬12米到达观景台DE的顶端点E，在此测得松树顶端点A的仰角为39°，则松树的高度AB约为（ ）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）A．16.8米B．28.8米C．40.8米D．64.2米【解答】解：延长AB交DC的延长线于H，作EF⊥AH于F，则四边形EDHF为矩形，∴FH＝DE＝12米，EF＝DH，∵斜坡CB的坡度为t＝12：5，∴设BH＝12x，CH＝5x，由勾股定理得，（5x）2+（12x）2＝522，解得，x＝4，则BH＝12x＝48米，CH＝5x＝20米，则EF＝DH＝DC+CH＝60+20＝80（米），在Rt△AEF中，tan∠AEF＝，则AF＝EF•tan∠AEF≈80×0.81＝64.8（米），∴AB＝AF+HF﹣BH＝64.8+12﹣48＝28.8（米），故选：B．8．小明和好朋友一起去三亚旅游，他们租住的酒店AB坐落在坡度为i＝1：2.4的斜坡CD上，酒店AB高为129米．某天，小明在酒店顶楼的海景房A处向外看风景，发现酒店前有一座雕像C（雕像的高度忽略不计），已知雕像C距离海岸线上的点D的距离CD为260米，雕像C与酒店AB的水平距离为36米，他站在A处还看到远处海面上一艘即将靠岸的轮船E的俯角为27°．则轮船E距离海岸线上的点D的距离ED的长大约为（ ）米．（参考数据：tan27°≈0.5，sin27°≈0.45）A．262B．212C．244D．276【解答】解：如图，延长AB交ED的延长线于G，过C作CH⊥DG于H，CF⊥BG于F，则四边形CFGH是矩形，∴HG＝CF＝36（米），FG＝CH，在Rt△CDH中，CD＝260米，CH：DH＝1：2.4，∴CH＝100（米），DH＝240（米），在Rt△BCF中，CF＝36米，BF：CF＝1：2.4，∴BF＝15（米），FG＝CH＝100（米），∴DG＝DH+HG＝276（米），AG＝AB+BF+FG＝244（米），∵tan27°＝≈0.5，即≈，解得：DE≈212（米），故选：B．9．保利观澜旁边有一望江公园，公园里有一文峰塔，工程人员在与塔底中心的D同一水平线的A处，测得AD＝20米，沿坡度i＝0.75的斜坡AB走到B点，测得塔顶E仰角为37°，再沿水平方向走20米到C处，测得塔顶E的仰角为22°，则塔高DE为（ ）米．（结果精确到十分位）（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，）A．18.3米B．19.3米C．20米D．21.2米【解答】解：连接DE，作BF⊥DE于F，BG⊥DA于G，如图：则DF＝BG，BF＝DG＝AD+AG，∵AB＝斜坡AB的坡度i＝0.75＝，∴设BG＝3xm，则AG＝4xm，BF＝DG＝20+4x（m），CF＝BF+BC＝20+4x+20＝40+4x （m），由题意得：∠EBF＝37°，∠ECF＝22°，∵tan∠BEF＝＝，tan∠ECF＝＝，∴EF＝tan37°（20+4x），EF＝tan22°（40+4x），∴0.75（20+4x）＝0.40（40+4x），解得：x＝，∴DF＝BG＝3x＝（m），EF＝0.40（40+4x）＝（m），∴DE＝DF+EF＝+≈19.3（m）；故选：B．10．小李同学想测量广场科技楼CD的高度，他先在科技楼正对面的智慧楼AB的楼顶A点测得科技楼楼顶C点的仰角为45°．再在智慧楼的楼底B点测得科技楼楼顶C点的仰角为61°，然后从楼底B点经过4米长的平台BF到达楼梯F点，沿着坡度为i＝1：2.4的楼梯向下到达楼梯底部E点，最后沿水平方向步行20米到达科技楼楼底D点（点A、B、C、D、E 、F在同一平面内，智慧楼AB和科技楼CD与水平方向垂直）．已知智慧楼AB的高为24米，则科技楼CD的高约为（ ）米．（结果精确到0.1，参考数据：sin61°≈0.87．cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）A．54.0B．56.4C．56.5D．56.6【解答】解：作AM⊥CD于M，FN⊥CD于N，FG⊥DE于点G，则四边形AMNB，四边形NDGF是矩形．在Rt△FEG中，FG：EG＝1：2.4，设FG＝5x，则EG＝12x，∴FN＝DG＝12x+20，AB＝24米，AM＝BN＝（24+12x）米，∵∠CAM＝45°，∴AM＝CM＝（24+12x）米，∴CN＝CM+MN＝（48+12x）米，∵∠CBN＝61°，∴tan∠CBN＝＝，∴x＝，∴CD＝CM+MN+DN＝24+12x+24+5x＝24+17×+24＝56.5（米）．故选：C．11．某游客乘坐“金碧皇宫号游船”在长江和嘉陵江的交汇处A点，测得来福士最高楼顶点F的仰角为45°，此时他头顶正上方146米的点B处有架航拍无人机测得来福士最高楼顶点F的仰角为31°，游船朝码头方向行驶120米到达码头C，沿坡度i＝1：2的斜坡CD 走到点D，再向前走160米到达来福士楼底E，则来福士最高楼EF的高度约为（ ）（结果精确到0.1，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.87，tan31°≈0.60）A．301.3米B．322.5米C．350.2米D．418.5米【解答】解：如图所示：延长AC和FE交于点G，过点B作BM⊥FE于点M，作DH⊥AG于点H，得矩形ABMG、DHEG，设DH＝x，则HC＝2x，BM＝AG＝160+120+2x＝280+2x．EG＝DH＝x，∵∠FAG＝45°，∠FGA＝90°，∴∠AFG＝45°，∴FG＝AG，EF＝FG﹣EG＝AG﹣EG＝280+2x﹣x＝280+x，∴FM＝FG﹣MG＝280+2x﹣146＝134+2x，在Rt△FBM中，tan31°＝，即＝0.6，解得x＝42.5，则EF＝280+x＝322.5．故选：B．12．如图是杨家坪步行街某天桥扶梯横截面的平面图．身高为1.5米的小明站在距离扶梯底端A处8米远的点P处，测得扶梯顶端B的仰角为18°，扶梯AB的坡度i＝3：4，已知扶梯顶端B到天桥顶部的距离为2.3米，则小明所在位置点P到天桥顶部的距离是（ ）（参考数据：sin18°≈0.29，cos18°≈0.95，tan18°≈）A．12.3米B．9.8米C．7.9米D．7.5米【解答】解：作BC⊥PA交PA的延长线于点C，作QD⊥BC于点D，∵扶梯AB的坡度i＝3：4，∴，设BC＝3x米，则AC＝4x米，∵AP＝8米，QP＝1.5米，∴DQ＝（4x+8）米，BD＝（3x﹣1.5）米，∵∠BQD＝18°，tan∠BQD＝，tan18°≈，∴≈，解得x＝2.5，∴BC＝3x＝7.5，∵点B到顶部的距离是2.3米，∴点C到顶部的距离是2.3+7.5＝9.8（米），即点P到顶部的距离是9.8米，故选：B．13．如图，在某山坡前有一电视塔．小明在山坡坡脚P处测得电视塔顶端M的仰角为60°，在点P处小明沿山坡向上走39m到达D处，测得电视塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝1：2.4，请你计算电视塔的高度ME约为（ ）m．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）A．59.8B．58.8C．53.7D．57.9【解答】解：如图，作DC⊥EP延长线于点C，作DF⊥ME于点F，作PH⊥DF于点H，则DC＝PH＝FE，DH＝CP，HF＝PE，∵山坡坡度i＝DC：CP＝1：2.4，PD＝39，设DC＝5x，则CP＝12x，根据勾股定理，得（5x）2+（12x）2＝392，解得x＝3，则DC＝15，CP＝36，∴DH＝CP＝36，FE＝DC＝15，设MF＝y，则ME＝MF+FE＝y+15，在Rt△DMF中，∠MDF＝30°，∴DF＝y，在Rt△MPE中，∠MPE＝60°，∴PE＝（y+15），∵DH＝DF﹣HF，∴y﹣（y+15）＝36，解得y＝7.5+18，∴ME＝MF+EF＝7.5+18+15≈53.7（m）．答：电视塔的高度ME约为53.7米．故选：C．14．如图，万达广场主楼楼顶立有广告牌DE，小辉准备利用所学的三角函数知识估测该主楼的高度．由于场地有限，不便测量，所以小辉沿坡度i＝1：0.75的斜坡从看台前的B处步行50米到达C处，测得广告牌底部D的仰角为45°，广告牌顶部E的仰角为53°（小辉的身高忽略不计），已知广告牌DE＝15米，则该主楼AD的高度约为（ ）（结果精确到整数，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）A．80m B．85m C．89m D．90m【解答】解：过C作CF⊥AE于F，CG⊥AB于G，如图所示：则四边形AFCG是矩形，∴AF＝CG，∵斜坡AB的坡度i＝1：0.75＝＝，BC＝50米，∴BG＝30（米），AF＝CG＝40（米），设DF＝x米．在Rt△DCF中，∠DCF＝45°，∴CF＝DF＝x米．在Rt△ECF中，∠ECF＝53°，∴EF＝tan53°•CF＝1.3x（米），∵DE＝15米，∴1.3x﹣x＝15，∴x＝50，∴DF＝50米，∴AD＝AF+DF＝40+50＝90（米），故选：D．15．图中的阴影部分是某水库大坝横截面，小明站在大坝上的A处看到一棵大树CD的影子刚好落在坝底的B处（点A与大树及其影子在同一平面内），此时太阳光与地面的夹角为60°，在A处测得树顶D的俯角为15°，如图所示，已知斜坡AB的坡度i＝：1，若大树CD的高为8米，则大坝的高为（ ）米（结果精确到1米，参考数据≈1.414 ≈1.732）（ ）A．18B．19C．20D．21【解答】解：如图，过点D作DP⊥AB于点P，作AQ⊥BC交CB延长线于点Q，∵∠DBC＝60°、CD＝8，∴BD＝＝＝16，∵AB的坡度i＝tan∠ABQ＝，∴∠ABQ＝∠EAB＝60°，∴∠ABD＝60°，∴PD＝BD sin∠ABD＝16×＝8，BP＝BD cos∠ABD＝16×＝8，∵∠EAD＝15°，∴∠DAP＝∠BAE﹣∠EAD＝45°，∴PA＝PD＝8，则AB＝AP+BP＝8+8，∴AQ＝AB cos∠ABQ＝（8+8）×＝4+12≈19，故选：B．16．3月中旬某中学校园内的樱花树正值盛花期，供全校师生驻足观赏．如图，有一棵樱花树AB垂直于水平平台BC，通往平台有一斜坡CD，D、E在同一水平地面上，A、B、C、D、E均在同一平面内，已知BC＝3米，CD＝5米，DE＝1米，斜坡CD的坡度是，李同学在水平地面E处测得树冠顶端A的仰角为62°，则樱花树的高度AB约为（ ）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）A．9.16米B．12.04米C．13.16米D．15.04米【解答】解：过C作CG⊥DE交ED的延长线于G，延长AB交ED的延长线于H，如图所示：则四边形BHGC为矩形，∴BH＝CG，GH＝BC＝3米，∵斜坡CD的坡度是＝，∴设CG＝3x米，则DG＝4x，由勾股定理得，CD2＝CG2+DG2，即52＝（3x）2+（4x）2，解得：x＝1，∴BH＝CG＝3（米），DG＝4（米），∴EH＝DE+DG+GH＝1+4+3＝8（米），在Rt△AHE中，tan∠AEH＝＝tan62°≈1.88，∴AH≈1.88EH＝1.88×8＝15.04（米），∴AB＝AH﹣BH≈15.04﹣3＝12.04（米），故选：B．17．某数学兴趣小组在歌乐山森林公园借助无人机测量某山峰的垂直高度AB．如图所示，无人机在地面BC上方120米的D处测得山顶A的仰角为22°，测得山脚C的俯角为63.5°．已知AC的坡度为1：0.75，点A，B，C，D在同一平面内，则山峰的垂直高度AB约为（ ）（参考数据：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40）A．141.4米B．188.6米C．205.7米D．308.6米【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H，过点C作CR⊥DH于R，设AB＝x米，则AH＝（x﹣120）米．∵AB：BC＝1：0.75，∴BC＝RH＝0.75x（米），BH＝CR＝120米，在Rt△DCR中，DR＝≈＝60（米），∵tan∠ADH＝，∴＝0.4，解得x≈205.7，∴AB＝205.7（米），故选：C．18．小菁在数学实践课中测量路灯的高度．如图，已知她的身高AB1.2米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°．那么该路灯顶端O到地面的距离约为（ ）（sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2 .1）A．3.2米B．3.9米C．4.4米D．4.7米【解答】解：过点O作OE⊥AC于点E，延长BD交OE于点F，设DF＝x，∴BF＝BD+DF＝3+x，∵tan65°＝，∴OF＝x tan65°，∵tan35°＝，∴OF＝（3+x）tan35°，∴2.1x≈0.7（3+x），∴x＝1.5，∴OF＝1.5×2.1＝3.15（米），∴OE＝3.15+1.2＝4.35≈4.4（米），故选：C．19．如图，某班数学兴趣小组利用数学知识测量建筑物DEFC的高度．他们从点A出发沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡AB步行26米到达点B处，此时测得建筑物顶端C的仰角α＝35°，建筑物底端D的俯角β＝30°．若AD为水平的地面，则此建筑物的高度CD约为（ ）米．（参考数据：≈1.7，tan35°≈0.7）A．23.1B．21.9C．27.5D．30【解答】解：如图所示：过点B作BN⊥AD，BM⊥DC垂足分别为：N，M，∵i＝1：2.4，AB＝26m，∴设BN＝x，则AN＝2.4x，∴AB＝2.6x，则2.6x＝26，解得：x＝10，故BN＝DM＝10m，则tan30°＝＝＝，解得：BM＝10，则tan35°＝＝＝0.7，解得：CM≈11.9（m），故DC＝MC+DM＝11.9+10＝21.9（m）．故选：B．20．如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，从旗杆正前方2m处的点C出发，沿坡度l＝1：2的斜坡CD前进5m到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5m，已知A，B，C，D，E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥D E，则旗杆AB的高度是（ ）（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，≈1.732，≈2.236，结果保留一位小数）A．8.2B．8.4C．8.6D．8.8【解答】解：延长ED交BC的延长线于点F，作EG⊥AB于G，DH⊥AB于H，则四边形GHDE为矩形，∴GH＝DE＝1.5，GE＝DH，设DF＝x，∵斜坡CD的坡度为1：2，∴CF＝2x，由勾股定理得，x2+（2x）2＝52，解得，x＝，则DF＝，CF＝2，∴GE＝DH＝BC+CF＝2+2，在Rt△AGE中，tan∠AEG＝，则AG＝EG•tan∠AEG≈（2+2），∴AB＝AG+GH+BH≈4.85+1.5+2.24≈8.6（米），故选：C．。

§4.8解三角形的综合应用A组专项基础训练(时间：40分钟)1．在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为()A. 6 kmB. 2 kmC. 3 km D．2 km2．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．10 2 海里B．10 3 海里C．20 3 海里D．20 2 海里3.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()A．8 km/h B．6 2 km/hC．234 km/h D．10 km/h4．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于()A．240(3＋1) m B．180(2－1) mC．120(3－1) m D．30(3＋1) m5．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于()A．5 6 B．153C．5 2 D．1566．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距____m. 7．在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m. 8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，且∠A、∠B、∠C所对的边a、b、c满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是________．9.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．10.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)11．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( ) A ．50 m B ．100 m C ．120 m D ．150 m12．如图，一艘船上午9∶30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距82n mile.此船的航速是________ n mile/h.13．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．14．(2015·杭州二中月考)如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为________ km.15．在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m后，又从B点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m．设此山对于地平面的斜度为θ，则cos θ＝________.答案解析1． A [如图，在△ABC 中，由已知可得∠ACB ＝45°，2．∴AC sin 60°＝2sin 45°，∴AC ＝22×32＝ 6.] 3． A [如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，4．根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°，解得BC ＝102(海里)．]3．B [设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝⎛⎭⎫110v 2＝⎝⎛⎭⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.选B.]4．C [如图，∠ACD ＝30°，∠ABD ＝75°，AD ＝60 m ，在Rt △ACD 中，CD ＝AD tan ∠ACD ＝60tan 30°＝60 3 m ，在Rt △ABD 中，BD ＝ADtan ∠ABD＝60tan 75°＝602＋3＝60(2－3)m ，∴BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3)＝120(3－1)m.] 5．D [在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理得BC sin 30°＝30sin 135°，所以BC ＝15 2. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝152×3＝15 6.] 6．103解析 如图，OM ＝AO tan 45°＝30 (m)，ON ＝AO tan 30°＝33×30＝10 3 (m)， 在△MON 中，由余弦定理得， MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝10 3 (m)． 7.4003解析 如图，由已知可得∠BAC ＝30°，∠CAD ＝30°，∴∠BCA ＝60°，∠ACD ＝30°，∠ADC ＝120°. 又AB ＝200 m ，∴AC ＝4003 3 m.在△ACD 中，由余弦定理得， AC 2＝2CD 2－2CD 2·cos 120°＝3CD 2， ∴CD ＝13AC ＝4003 m.8．(1，2]解析 x ＝a ＋b c ＝sin A ＋sin Bsin C ＝sin A ＋cos A＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4.又A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin π4＜sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4≤sin π2，即x ∈(1，2]．9．解 (1)依题意知，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BCA ＝α. 在△ABC 中，由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC ＝28. 所以渔船甲的速度为BC2＝14海里/小时．(2)在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α， 由正弦定理，得AB sin α＝BCsin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314.10．解 (1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得P A 2＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74，故P A ＝72. (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得3sin 150°＝sin αsin (30°－α)，化简得3cos α＝4sin α， 所以tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34. 11．A [设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，在Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°，BC ＝3h . 在△ABC 中，∠A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m ．] 12．32解析 设航速为v n mile/h ，在△ABS 中，AB ＝12v ，BS ＝82，∠BSA ＝45°，由正弦定理得82sin 30°＝12v sin 45°，∴v ＝32.13．507解析 如图，连接OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°.由余弦定理得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC ＝507.14．7解析 因为A ，B ，C ，D 四点共圆，所以D ＋B ＝π.在△ABC 和△ADC 中，由余弦定理可得82＋52－2×8×5×cos(π－D )＝32＋52－2×3×5×cos D ，cos D ＝－12，代入得AC 2＝32＋52－2×3×5×⎝⎛⎭⎫－12＝49， 故AC ＝7. 15.3－1解析 在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠CBA ＝180°－45°＝135°，所以∠ACB ＝30°. 又AB ＝100 m ，由正弦定理，得100sin 30°＝BC sin 15°，即BC ＝100sin 15°sin 30°.在△BCD 中，因为CD ＝50，BC ＝100sin 15°sin 30°，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ，由正弦定理，得50sin 45°＝100sin 15°sin 30°sin (90°＋θ)，解得cos θ＝3－1.。

解三角形综合与实际应用（讲案）一、面积公式的应用【例题讲解】★★☆例题1．ABC ∆的内角,,A B C 所对边,,a b c 。

向量(,3)m a =与(cos ,sin )n A B =平行。

（1） 求A ；（2） 若2a b ==，求ABC ∆的面积。

）由//m n 可得sin a★★☆练习1．ABC ∆的内角,,A B C 所对边,,a b c 。

设(,)m a b =，(sin ,sin ),(2,2)n B A p b a ==−−． （1） 若//m n ，求证：ABC ∆为等腰三角形； （2） 若m p ⊥，2,3c C π=∠=，求ABC ∆的面积。

解析：（1）由//m n 得sin sin a A b B =，即22a b =，所以ABC ∆为等腰三角形；（2）由m p ⊥得(2)(2)0a b b a −+−=，化简得ab a b =+。

由余弦定理得2222cos c a b ab C =+−，代★★☆练习2．锐角ABC ∆的内角,,A B C 所对边,,a b c ，且2sin a B =。

（1） 求A ∠的大小；（2） 若6,8a b c =+=，求ABC ∆的面积。

二、完全平方公式思想【例题讲解】★★☆例题2．ABC ∆的内角,,A B C 所对边,,a b c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=。

（1） 求C ；（2） 若c =ABC ∆的面积为2，求ABC ∆的周长。

★★☆练习1．ABC ∆的内角,,A B C 所对边,,a b c ，已知cos cos 1A C a c b+=，且2,b a c =>。

（1） 求ac 的值；（2） 若ABC ∆的面积2S =，求,a c 的值。

★★☆练习2．已知(2cos 23sin ,1),(,cos )a x x b y x =+=，且//a b 。

（1）将y 表示成x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期；（2）ABC ∆的内角,,A B C 所对边,,a b c ，若()3f B =，9,32BA BC a c ⋅=+=+b 。

第十二讲 解三角形、正弦（余弦）定理(含答案）一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos25=C ，1=BC ，5=AC ，则=ABA ．BCD ．2．(2018全国卷Ⅲ)ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =A ．2πB ．3π C ．4π D ．6π 3．（2017山东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是 A ．2a b = B ．2b a = C ．2A B = D ．2B A =4．（2016年天津）在ABC ∆中，若AB BC =3，120C ∠= ，则AC =A ．1B ．2C ．3D ．45．（2016年全国III ）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =A B C ．- D ．-6．(2014新课标Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，BC =AC =A ．5BC ．2D ．17．(2014重庆)已知ABC ∆的内角A ，B ，C 满足sin 2sin()A A B C +-+=sin()C A B --12+，面积S 满足12S ≤≤，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是A ．8)(>+c b bcB ．()ab a b +>C ．126≤≤abcD ．1224abc ≤≤ 8．（2014江西）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC ∆的面积是A ．3B ．239 C ．233 D ．33 9．（2014四川）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于A．1)m B．1)mC ．1)mD ．1)m 10．（2013新课标Ⅰ）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos A +cos20A =，7a =，6c =，则b =A ．10B ．9C ．8D ．511．（2013辽宁）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若sin cos a B C +1sin cos 2c B A b =，且a b >，则B ∠=A ．6πB ．3πC ．23π D．56π12．（2013天津）在△ABC 中，,3,4ABBC ABC π∠===则sin BAC ∠=ABCD 13． （2013陕西）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=,则△ABC 的形状为 A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定14．（2012广东）在ABC ∆中，若60,45,AB BC ︒︒∠=∠==AC =A ．B．C D 15．（2011辽宁）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin cos cos a A B b A +=，则=abA ．B ．C D16．（2011天津）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2AB AD AB ==，2BC BD =，则sin C 的值为CA ．3 B ．6 C ．3 D ．616．（2010湖南）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若120C ∠=，c =，则A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的大小关系不能确定 二、填空题18．(2018江苏)在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ．19．(2018浙江)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =2b =，60A =，则sin B =___________，c =___________．20．（2017浙江）已知ABC ∆,4AB AC ==,2BC =． 点D 为AB 延长线上一点,2BD =,连结CD ,则BDC ∆的面积是___________，cos BDC ∠=__________．21．（2017浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度。

正余弦定理及三角函数的综合应用1、若x 为三角形中的最小内角，则函数y ＝sin x ＋cos x 的值域是( )A ．(0，32]B ．(1，2]C ．[12，22]D ．(12，22] 2、函数f (x )＝sin(x ＋π3)＋a sin(x －π6)(a >0)的一条对称轴方程为：x ＝π2，则a ＝( ) A ．1 B. 3 C ．2 D ．33、已知cos(α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则sin α＝( ) A.3365 B.6365 C ．－3365 D ．－63654、f (x )＝2cos 2x －3sin2x (x ∈R )的最小正周期和最大值分别为( )A ．2π，3B ．2π，1C ．π，3D ．π，15、在△ABC 中，sin 2A2＝c －b 2c(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对应边)，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形6、钝角三角形的三边长为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是( )A ．0<a <3 B.32≤a <3 C ．2<a ≤3 D ．1≤a <527、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定8、E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝( ) A.1627 B.23 C.33 D.349、已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与B 的距离为( )A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km10、2009年8月4日发生的2009年第8号台风“莫拉克”造成台湾省461人死亡，192人失踪，其台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是( )A.2063米 B ．106米 C.1063米 D ．202米 11、如右图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得它在货轮的东北方向，则货轮的速度为( ) A ．20(2＋6)海里/小时 B ．20(6－2)海里/小时C ．20(3＋6)海里/小时D ．20(6－3)海里/小时12、如右图，在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 方向前进30米至C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进103米至D 处，测得顶端A 的仰角为4θ，则θ的值为( )A ．15°B ．10°C ．5°D ．20°13、如右图，四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( ) A. 3 B ．5 3 C ．6 3 D ．7 314、某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( )A ．15米B ．5米C ．10米D ．12米二、填空题：15、在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________. 16、已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sinC ＝________.17、在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C tan B的值是________． 18、如右图，海平面上的甲船位于中心O 的南偏西30°，与O 相距10海里的C 处，现甲船以30海里/小时的速度沿直线CB 去营救位于中心O 正东方向20海里的B 处的乙船，甲船需要________小时到达B 处．19、在直径为30 m 的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度为________ m.20、已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A 、B 两船间的距离为3 km ，则B 船到达灯塔C 的距离为________km.三、解答题(共55分)21、某人在山顶观察A 、B 两个目标，测得A 在南偏西60°距山底1000米处，B 在南偏东60°距山底800米处，求A 、B 之间的距离．22、如右图，为了计算渭河岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点，现测得AD⊥CD，AD＝100 m，AB＝140 m，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求两景点B 与C之间的距离(假设A，B，C，D在同一平面内，测量结果保留整数；参数数据：2＝1.414，3＝1.732，5＝2.236)．23、某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)，如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.(1)该小组已测得一组α、β的值，tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔实际高度为125 m，试问d为多少时，α－β最大？。

第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页一、解答题1．已知函数()221()cos sin cos ()2f x x x x x x R =+-∈.(1)求()f x 的单调递增区间.(2)在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (A )=1，c =10，cosB =17，求ΔABC 的中线AD 的长.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b . (1)求角A 的大小；(2)若c，角B 的平分线BDa .3．在ABC △中，2sin cos sin())C A A C A C +-+=（1）求角B 的大小；（2）设BAC ∠的角平分线AD 交BC 于D ，且3AD =，2BD =，求cos C 的值.4．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 。

（1）求 的大小.（2）若 ，求 的面积.5．如图，在△ABC 中，边AB =2，1cos 3B =，且点D 在线段BC 上，(I)若34ADC π∠=，求线段AD 的长； (II)若BD =2DC，sin sin BADCAD∠=∠，求△ABD 的面积.6．已知函数()21cos cos 2f x x x x =-. （1）求函数()f x 的最小正周期，以及()f x 单调递增区间；（2）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且8bc =，b ，a ，c 成等差数列；若函数()f x 的图象经过点1,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，求a 的值.第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页7．已知()sin 3f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，ABC △中，角,,A B C 所对的边为,,a b c . （1）若,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域； （2）若()13f A =，a =2b =，求sin B 的值.8．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2212sin 2ac B a c =+-，且2b =（1）求角B 的大小；（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值.9．已知(3cos,cos )44x x m =，(sin ,cos )44x xn =，设函数()f x m n =⋅． （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，求()f B 的取值范围．10．已知(2cos ,sin cos )a x x x =-r ，,sin cos )b x x x =+r，记函数()f x a b =⋅. （1）求()f x 的表达式，以及()f x 取最大值时x 的取值集合；（2）设ABC ∆三内角A ，B ，C的对应边分别为a ，b ，c ，若a b +=c =()2f C =，求ABC ∆的面积.11．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知()22a b c ab -=-. （1）求角C ； （2）若4cos sin 02c A b C π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，1a =，求ABC ∆的面积.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

三角函数的实际应用知识：直角三角形中其他重要概念⑴ 仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．⑵ 坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为h i l =，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan hi lα==．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵． ⑶ 方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度.如图⑶．图(3)图(2)图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线2. 解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：⑴ 分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；⑵ 找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）； ⑶ 根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形； ⑷ 按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位 3. 0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)典型例题类型一.所求线段由两段和差组成。

例题1.（2018成都） 由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达A 处时，测得小岛C 位于它的北偏东70︒方向，且于航母相距80海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛C 位于它的北偏东37︒方向.如果航母继续航行至小岛C 的正南方向的D 处，求还需航行的距离BD 的长.（参考数据：sin700.94︒≈，cos700.34︒≈，tan70 2.75︒≈，sin370.6︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈）.解：由题知：70ACD ∠=︒，37BCD ∠=︒，80AC =.在Rt ACD ∆中，cos CD ACD AC ∠=，0.3480CD=∴，27.2CD =∴（海里）. 在Rt BCD ∆中，tan BD BCD CD ∠=，0.7527.2BD=∴，20.4BD =∴（海里）.答：还需要航行的距离BD 的长为20.4海里.变式1.为了减轻二环高架上汽车的噪音污染，成都市政府计划在高架上的一些路段的护栏上方增加隔音屏．如图，工程人员在高架上的车道 M 处测得某居民楼顶的仰角∠ABC 的度数是 20°，仪器 BM 的高是 0.8m ，点M 到护栏的距离 MD 的长为 11m ，求需要安装的隔音屏的顶部到桥面的距离 ED 的长（结果保留到 0.1m ，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）解：由题意：CD ＝BM ＝0.8m ，BC ＝MD ＝11m ， 在Rt △ECB 中，EC ＝BC •tan20°＝11×0.36≈3.96（m ）， ∴ED ＝CD +EC ＝3.96+0.8≈4.8（m ），答：需要安装的隔音屏的顶部到桥面的距离 ED 的长4.8m2.如图，登山缆车从点A 出发，途径点B 后到达终点C 。

专题 13 三角函数的综合应用十年大数据x 全景展示年 份2023 卷 1卷 1 题 号考 点考 查 内 容理 16 文 16 主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函 数的最值问题三角函数最值与值域三角函数的实际应用 理 6 主要考查利用三角函数的应用及三角公式 主要考查三角公式及三角函数最值理 14 文 14 理 16 文 12卷 2三角函数最值与值域2023卷 2 卷 1三角函数的实际应用 主要考查圆的相关知识、正弦定理等根底知识三角函数图象与性质 主要考查三角函数的零点、对称性、单调性及最值，考查理 12的综合应用 运算求解能力．2023三角函数图象与性质 主要考查三角函数图像的平移变换与三角函数得到对称 的综合应用轴．卷 2 卷 2 卷 2理 7 文 11 理 14 文 13 文 6三角函数最值与值域 主要考查诱导公式、二倍角余弦公式、换元法求最值 主要考查同角三角函数根本关系、三角函数图像与性质、 三角函数最值与值域换元法求最值．2023 卷 2卷 3三角函数最值与值域 主要考查辅助角公式及三角函数的最值． 主要考查诱导公式与三角函数的最值，考查转化与化归思 三角函数最值与值域想．主要考查三角函数的二倍角公式、三角函数的图像与性质、 三角函数最值与值域利用导数研究函数的单调性、极值与最值．卷 12023理 16 文 8三角函数图象与性质 主要考查降幂公式、三角函数的周期与最大值，考查转化卷 1的综合应用与化归思想与运算求解能力三角函数图象与性质 的综合应用2023 卷 1 理 11主要考查三角函数的奇偶性、单调性、零点、最值等问题．大数据分析x 预测高考考 点出现频率2023 年预测三角函数最值与值域7/13 2023 年仍将重点考查三角函数图像与性质的 综合应用及 三角函数图象与性质的综合应用4/13三角函数的最值与值域问题，题型仍为选择题或填空题，三角函数的实际应用 2/13 难度为中档题或压轴题．十年真题分类x 探求规律考点 42 三角函数最值与值域π f (x ) cos 2x 6 cos( x ) 1．(2023 全国新课标卷 2，文 11) 函数 的最大值为( ) 2(A)4 (B)5(C)6(D)7（答案）B 3 112 （解析）因为f (x ) 1 2sin 2 x 6sin x 2(sin x ) 2 ，而sin x 1,1]，所以当sin x 1时， f (x ) 取2得最大值 5，选 B ．12．(2023 新课标卷 3，文 6)函数 f (x )= sin(x + )+cos(x − )的最大值为5 3 6653 51 5A ．B ．1C ．D ．（答案）A 6 2 33 （解析）因为cos x cos x sin x， 所 以1 533 636f xsin x sin x sin x ，函数的最大值为 ，应选 A ．5 5 x6 33．(2023 山东) 函数 y 2sin (0 x9) 的最大值与最小值 之和为A ．2 3 D ． 1 3B ．0C ．－1（答案）A7 30 x 9,x , sin( x ) 1, （解析） 3 6 3 6 2 6 3y 2, y 3. 应选 8．max min 4．(2023•新课标Ⅰ，理 16)已知函数 f (x ) 2sin x sin 2x ，则 f (x ) 的最小值是 ．3 3（答案）2（解析）由题意可得T 2 是 f (x ) 2sin x sin 2x 的一个周期，故只需考虑 f (x ) 2sin x sin 2x 在0 ，2 ) 上 的 值 域 ， 先 来 求 该 函 数 在 0 ， 2 ) 上 的 极 值 点 ， 求 导 数 可 得 1 f (x ) 2 c os x 2cos 2x 2cos x 2(2cos 2 x 1) 2(2cos x 1)(cos x 1) ， 令 f (x ) 0 可 解 得 cos x 或 25， x , f (x ), f (x )在在0 ，2 ) 上的变化情况如下表所示：cos x 1，可得此时 x ， 或33x25 5 35(0, ) ( , ) ( , ) ( ,2 ) 33333f (x ) f (x )+ 0—0 —↘+↗极大值 ↘ 极 小 值 ↗ 03 23 3 23 3y 2sin x sin 2x 的最小值为． 2f x =2cos x sin x 5．(2023 新课标卷 2，文 13)．函数 （答案） 5的最大值为．（解析）因为 f (x ) 5 sin(x )，其中 tan 2 ，所以 f (x ) 的最大值 为 5 ． 3 26．(2023 新课标卷 2，理 14)．函数 f x sin 2 x 3 cos x ( x 0, )的最大值是．4 （答案）13 14 2cos 2 x 3 cos x（解析） f x 1 cos x3 cos x 423 1， x 0, 3cos x ，那么cos x 0,1 ，当cos x 时，函数取得最大值 1． 的最大值为_________．2 2 27．(2023 新课标Ⅱ，理 14)函数 f xsin x 2（答案）12sin cos x（解析）∵ f (x ) sin(x 2 ) 2sin cos(x ) sin (x )] 2sin cos(x )sin cos(x ) cos sin(x ) 2 s in cos(x ) cos sin(x ) sin cos(x ) =sin x ∴ f (x ) 的最大值为 18．(2023新课标Ⅰ，理15)设当x =θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cosθ=______ 2 5 （答案）55 2 5 5 5 2 5 5（解析）∵ f (x ) =sin x 2 c os x = 5(sin x cos x ) ，令cos = ，sin ，则 5 5f (x ) = 5(sin x cos sin cos x ) = 5 sin(x ) ，当 x = 2k ,k z ，即 x = 2k ,k z2 22 55时， f (x ) 取最大值，此时 = 2k ,k z ，∴cos = cos(2k ) =sin =． 2 23 sin 3x cos 3x ，假设对任意实数 x 都有 f x ≤a ，则实数 a 的取值范围 9．(2023 江西)设 f x 是 ．（答案）a 2f (x ) 3 sin 3x cos 3x 2sin(3x ) | f (x ) | 2 a 2．（解析）得 故 f (x ) sin x , x R f (x ) 10．(2023 浙江 18)设函数 (1)已知0, 2 ),．是偶函数，求 的值；函数(2)求函数 y f (x) f (x )]2 的值域． 2 12 4（解析）(1)因为 f (x ) sin(x ) 是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin(x ) sin( x ) ， 即sin x cos cos x sin sin x cos cos x sin ， 故2sin x cos 0 ， 所以cos 0 ．π 3π 2又 0, 2π)，因此 或． 2 22π π π π 4 y f x f x sin 1 2 x sin 12 2 x (2)12 4π π1 cos 2x 1 cos 2x6 2 1 3 3 3 π 3 cos 2x sin 2x 1 cos 2x ． 2 2 2 2 2 23 ,13]．因此，函数的值域是12 2 考点 43 三角函数图象与性质的综合应用1．(2023•新课标Ⅰ，理 11)关于函数 f (x ) sin | x | | sin x | 有下述四个结论： ① f (x ) 是偶函数② f (x ) 在区间( ， ) 单调递增2 ③ f (x ) 在 ， 有 4 个零点 ④ f (x ) 的最大值为 2 其中全部正确结论的编号是( )A ．①②④ （答案）C（解析）∵ f ( x ) sin | x | | sin( x ) | sin | x | | sin x | f (x ) ，∴函数 f (x ) 是偶函数，故①正确；B ．②④C ．①④D ．①③当 x ( ， ) 时，sin | x | sin x ，| sin x | sin x ，则 f (x ) sin x sin x 2sin x 为减函数，故②错误；2 当 0 x 时， f (x ) sin | x | | sin x | sin x sin x 2sin x ，由 f (x ) 0 得 2sin x 0 得 x 0 或 x ，由 f (x ) 是偶函数，得在 ，) 上还有一个零点 x ，即函数 f (x ) 在 ， 有3 个零点，故③错误， 当sin | x | 1，| sin x | 1 时， f (x ) 取得最大值 2，故④正确，故正确是①④，应选C ． 2．(2023•新课标Ⅰ，文 8)已知函数 f (x ) 2 c os A ． f (x ) 的最小正周期为 ，最大值为 3 B ． f (x ) 的最小正周期为 ，最大值为4 C ． f (x ) 的最小正周期为2 ，最大值为 3 D ． f (x ) 的最小正周期为2 ，最大值为 4 （答案）B2x sin 2x 2 ，则()（解析）函数 f (x ) 2 c oscos 2x 1 2x sin 2 x 2 2 c os 2 x sin 2 x 2sin 2 x 2 c os 2 x 4 c os 2 x sin 2 x3cos 2x 5 3 53cos 2 x 1 3 1 ，故函数的最小正周期为 ，函数的最大值为 4，应选 B ．2 2 2 2 23．(2023 新课标卷 1，理 12)12．已知函数 f (x ) sin( x+ )( 0， ), x 为 f (x ) 的零点，x 2 4 45 18 36为 y f (x ) 图像的对称轴，且 f (x ) 在 ， 单调，则 的最大值为( )(A)11(B)9 (C)7(D)5（答案）B ．11 9 ，所以 ， （解析）当 11时，由k ，k Z ，∴ k ,k Z ，因为| | 4 2 4 4 45 13 23 13 23 ， 不36 18 所以 f (x ) =sin(11x ) ，当 x 时，11x ( ， ) ，因为 y sin x 在〔 418 36 4 36 18 97单调，故 A 错；当 9 时，由k ，k Z ，∴ k ,k Z ，因为| | ，所以 4 24 45 3 3 3 3，所以 f (x ) =sin(9x )，当 x时，9x ( ， ) ，因为 y sin x 在〔 ， 〕 4 4 1836 4 4 2 4 2单调，应选 B ．4．(2023•新课标Ⅱ，理 7)假设将函数 y 2sin 2x 的图象向左平移 个单位长度，则平移后的图象的对称轴为12 ()kkA ． x(k Z ) B ． x(k Z ) 2 62 6kkC ． x (k Z )D ． x(k Z ) 2 122 12（答案）B（解析）将函数 y 2sin 2x 的图象向左平移个单位长度，得到 y 2sin 2(x ) 2sin(2x ) ，由 12 12 6k k2x k (k Z ) 得：x (k Z ) ，即平移后的图象的对称轴方程为 x (k Z ) ，应选 B ．6 2 2 6 2 6 5．( 2023 山东)函数 f (x ) ( 3 sin x cos x )( 3 cos x sin x ) 的最小正周期是3 A ．B ．πC ．D ．2π22（答案）B（ 解 析 ） 由 题 意 得 f (x ) 2 s in(x ) 2 cos(x ) 2sin(2x ) ， 故 该 函 数 的 最 小 正 周 期6 632 T．应选 B ． 26．(2023 安徽)假设将函数 f (x ) sin 2x cos 2x 的图象向右平移 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 的最小正值是 3 3 A ．B ．C ．D ．8484（答案）C（解析） f (x ) 2 sin(2x ) ，将函数 f (x ) 的图象向右平移 个单位得4f (x ) 2 sin(2x 2 ) ，由该函数为偶函数可知2 k ,k Z ，4 4 2k 3 3即，所以 的最小正值是为． 2 8 87．(2023 福建)将函数 y sin x 的图象向左平移 个单位，得到函数 yf x的函数图象，则以下说法正 2确的是 A ． yf x 是奇函数B ． y f x 的周期是的图象关于直线x 对称 D ． y f x 的图象关于点 ,0C ． y f x 2 2 （答案）D（解析）函数 y sin x 的图象向左平移个单位，得到函数 f (x ) sin(x ) cos x 的图象，22f (x ) cos x 为偶函数，排解 A ； f (x ) cos x 的周期为2 ，排解 B ；因为 f ( ) cos 0 ，所以2 2f (x ) cos x 不关于直线 x 对称，排解 C ；应选 D ．28．(2023 辽宁)将函数 y 3sin(2x )的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数3 277A ．在区间, 上单调递减 B ．在区间, 上单调递增 12 12 12 12 C ．在区间 , ]上单调递减 D ．在区间 , ]上单调递增6 36 3（答案）B（解析） 将 y 3sin(2x ) 的图象向有右移个单位长度后得到 y 3sin2(x ) ，即32 2 32 2y 3sin(2x ) 的 图 象 ， 令 2k ≤2x≤ 2k ， k Z ， 化 简 可 得 3 2 3 2 7x k , 12k ]，k Z ， 2 12 7即 函 数 y 3sin(2x) 的 单 调 递 增 区 间 为 k ,k ， k Z ， 令 k 0 ． 可 得 3 12 122 7y 3sin(2x ) 在区间 , 上单调递增，应选 B ．3 12 12y sin 2x 的图像沿x 轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图像，则 的 9．(2023 山东)将函数 8一个可能取值为3 A ．B ．C ．0D ．444（答案）B（解析）将函数 y=sin(2 x + )的图像沿 x 轴向左平移 个单位，得到函数，因为此时函数为偶函数，所以 ，即，所以选 B ．10．(2023 北京)在平面直角坐标系中，记d 为点 P (cos , s in ) 到直线 x my 2 0的距离，当 ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．4（答案）C| cos m sin 2 | | m sin cos 2 |（解析）由题意可得dm 212 m 1m 1 | m 21( sin cos ) 2 | 2 1 m 2 1 | m 2 1sin( ) 2 | 1 mm 2 1 m2 m1(其中cos，sin)，∵ 1≤sin( )≤1，m 21m 21| 2 m 2 1 | 2 m 2 1 2 m 2 12∴ ≤d ≤， 1 ，m 2 1 m 2 1 m 2 12m 1∴当m 0时，d 取得最大值 3，应选 C ．f (x ) sin 2x b sin x c ，则 f (x ) 的最小正周期11．(2023 年浙江)设函数 A ．与 b 有关，且与 c 有关 C ．与 b 无关，且与 c 无关 B ．与 b 有关，但与 c 无关 D ．与 b 无关，但与 c 有关（答案）B 1 cos 2xf (x ) sin 2 x b sin x cb sin xc ． （解析）由于2当b 0 时， f (x ) 的最小正周期为 ； 当b 0 时， f (x ) 的最小正周期2 ；c 的变化会引起 f (x )的图象的上下平移，不会影响其最小正周期．应选 B ．2x sin x cos x 1 的最小正周期是________，单调递减区间是_______．12．(2023 浙江)函数 f (x ) sin 7 3（答案） 、k , k k Z() 8 8 23 3 7（解析）f (x )sin(2x ) ，故最小正周期为 ，单调递减区间为 k , k ] k Z ( )．2 4 28 8 3 y sin 2x cos 2x 的最小正周期为 ．13．(2023 山东)函数 2（答案） 3 3 1 1 1 ysin 2x cos 2x = y sin 2x cos 2x sin(2x ) ，所以其最小正周期为 （解析）2 2 2 2 6 22． 24f x sin 2x y 14．(2023 安徽)假设将函数 的图象向右平移 个单位，所得图象关于 轴对称，则 的最小正值是________． 3 （答案）8（ 解 析 ） f (x ) sin2(x ) sin(2x 2 ) ， ∴2 k (k Z ) ， ∴ 444 2k3(k Z ) ，当k 1时 min ． 8 2 82 cos 2x sin 2x A sin( x b (A > 0) ，则 A =__，b =__．15．(2023 年浙江)已知 （答案） 2 1（解析）2cos2x sin 2x 2 sin(2x ) 1，所以 A 2,b 1.4，向量a sin 2 ，cos ，b cos ，1，假设a ∥b 16．(2023 陕西)设0，2则tan _______． 1（答案）2（解析）∵a ∥b ，∴sin 2 cos 2，∴2 s in cos cos2，∵ (0, ) ，21 ∴tan ．217．(2023 江苏)已知向量a (cos x , s in x ) ，b (3, 3) ， x 0, ]．(1)假设a ∥b ，求 x 的值；(2)记 f (x ) a b ，求 f (x ) 的最大值和最小值以及对应的 x 的值． （解析）(1)因为a (cos x , s in x ) ，b (3, 3) ，a ∥b ， 所以 3 cos x 3sin x ．假设cos x 0，则sin x 0，与sin 2 x cos x 1矛盾，故cos x 0． 2 3于是 tan x． 35 又 x 0, ]，所以 x． 6π f (x ) a b (cos x , s in x ) (3, 3) 3cos x 3 sin x 2 3 cos(x ) (2) ． 6π π 7π x 0, ]，所以 x ,， 6 6因为 6π 6 3 从而 1 cos(x )． 2π πx x 0时， f (x )取到最大值 3；于是，当 ，即 6 6π5πx xf (x ) 当 ，即 时， 取到最小值 2 3 ．6618．(2023 山东)设函数 f (x ) sin( x ) sin( x )，其中0 3．6 2已知 f ( ) 0 ． 6(Ⅰ)求 ；(Ⅱ)将函数 y f (x ) 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移 个 43单位，得到函数 y g (x ) 的图象，求 g (x ) 在 ,]上的最小值． 4 4 （解析）(Ⅰ)因为 f (x ) sin( x ) sin( x )，623 1所以 f (x )sin x cos x cos x 2 23 3sin x cos x 2 213 3( sin x cos x )2 2 3(sin x )3由题设知 f ( ) 0 ，6k ，k Z ． 所以6 3故 6k 2，k Z ，又03， 所以 2．(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f (x ) 3 sin(2x) 3所以 g (x ) 3 sin(x ) 3 sin(x)． 124 33因为 x , ]， 4 42 所以 x, ， 12 3 3当 x ， 12 3 即 x 时， g (x ) 取得最小值 ． 3 4 219．(2023 年天津)已知函数 f (x ) 4 tan x cos x cos(x ) 3 ．3(Ⅰ)求 f (x )的定义域与最小正周期； (Ⅱ)商量 f (x )在区间 , ]上的单调性． 4 4（解析）(Ⅰ) f (x )的定义域为（x | xk ,k Z ）． 2f (x ) 4 tan x cos x cos(x ) 334 s in x cos(x ) 33 13 4 s in x ( cos x sin x ) 32 2 2 s in x cos x 23 sin 2 x 3 sin 2x 3(1 cos 2x ) 3sin 2x 3 cos2x 2sin(2x )32 所以 f (x )的最小正周期T． 225令 z 2x , 函数 y 2 s in z 的单调递增区间是 2k , 2k ,k Z . 32由 2k 2x 2k ，得k x k ,k Z . 2 3 2 12124 4 5设 A ,,B x k x k ,k Z ， 12 1212 4易知 A B, ．所以， 当 x ,时， f (x )在区间 4 12, 上单调递增， 在区间 ， 上单调递减． 4 4 12 4x xx 20．(2023 北京)已知函数 f (x ) 2 sin cos 2 sin2． 2 22(Ⅰ) 求 f (x ) 的最小正周期；(Ⅱ) 求 f (x ) 在区间 π，0上的最小值． 2 2 2（解析）(Ⅰ)因为 f (x )sin x (1 cos x ) sin(x ) 2 2 4 2 所以 f (x ) 的最小正周期为2 ． 3x (Ⅱ)因为 x 0，所以 ． 4 4 43当 x，即 x 时， f (x ) 取得最小值． 4 2 432 所以 f (x ) 在区间 ,0 上的最小值为 f ( ) 1． 42π21．(2023 湖北)某同学用“五点法〞画函数 f (x ) A sin( x ) ( 0, | | ) 在某一个周期内的图象时，列2表并填入了局部数据，如下表：π 2 3π 2 x 0π2ππ 35π 6 xA sin( x )50 5 (Ⅰ)请将上表数据补充完整，并直接写出函数 f (x ) 的解析式；(Ⅱ)将 y f (x ) 图象上全部点向左平行移动 ( 0) 个单位长度，得到 y g (x ) 的图象．假设 y g (x ) 图象 5π的一个对称中心为( , 0) ，求 的最小值．12π（解析）(Ⅰ)依据表中已知数据，解得 A 5, 2, ． 数据补全如下表：6π 2 3π 2 x 0 π2π 13 π π 3 7π 12 5π 6 xπ 12 12 A sin( x )55π且函数表达式为 f (x ) 5sin(2x ) ．6π π(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f (x ) 5sin(2x ) ，得 g (x ) 5sin(2x 2 ) ．6 6 因为 y sin x 的对称中心为(k π, 0) ，k Z ． π k π π令2x 2 k π ，解得 x ，k Z ．6 2 12 5π 由于函数 y g (x ) 的图象关于点( , 0) 成中心对称，令12k π π 5π12 ， 2 12 k π π π解得，k Z ． 由 0可知，当 k 1时， 取得最小值 ． 2 3 622．(2023 福建)已知函数 f (x ) 2 c os x (sin x cos x )． 5(Ⅰ)求 f ()的值； 4(Ⅱ)求函数 f (x ) 的最小正周期及单调递增区间． 55 5 5 （解析）解法一：(Ⅰ) f () 2 cos (sin cos ) 44 4 42 cos ( sin cos ) 24 4 42x sin 2x cos 2x 1 2 sin(2x ) 1．(Ⅱ)因为 所以Tf (x ) 2 s in x cos x 2 cos 42． 2 由2k 2x 2k ,k Z ， 2423得kx k ,k Z ， 8 83 所以 f (x ) 的单调递增区间为k,k ],k Z ．8 8f (x ) 2 s in x cos x 2 cos x sin 2x cos 2x 12 解法二：因为2 sin(2x ) 145 (Ⅰ) f ( ) 2 sin111 2 sin 1 2． 4 4 42(Ⅱ)T． 2 由2k 2x 2k ,k Z ，2423得kx k ,k Z ， 8 83所以 f (x ) 的单调递增区间为k,k ],k Z ． 8 8123．(2023 福建)已知函数 f (x ) cos x (sin x cos x ) ．22 (Ⅰ)假设0 ，且sin，求 f ( ) 的值； 22 (Ⅱ)求函数 f (x ) 的最小正周期及单调递增区间． 2 2（解析）解法一：(Ⅰ)因为0, sin , 所以cos． 2 2 22 2 2 1 1所以 f ( )( ) ． 2 2 2 2 21 11 cos 2x 1f (x ) sin x cos x cos 2 x sin 2x(Ⅱ)因为 2 22 21 12 sin 2x cos 2x sin(2x ) ，2 2 2 4 2 3所以T．由 2k 2x 2k ,k Z , 得k x k ,k Z ．2 2 4 2 8 83 所以 f (x ) 的单调递增区间为k,k ],k Z ．8 81 1 1 cos 2x 1f (x ) sin x cos x cos 2 x sin 2x解法二： 2 22 21 12 sin 2x cos 2x sin(2x ) 2 2 2 42(Ⅰ)因为0 , sin, 所以 2 2 42 23 12从而 f ( ) 2 sin(2 ) sin 2 4 2 4 (Ⅱ)T2 3x k ,k Z ． 由2k 2x 2k ,k Z , 得k 2428 83所以 f (x ) 的单调递增区间为k,k ],k Z ． 8 8624．(2023 北京)函数 f x 3sin2x 的局部图象如下图． (Ⅰ)写出 f x 的最小正周期及图中 x 、 y 的值； 0 0 2 12,(Ⅱ)求 f x 在区间 上的最大值和最小值．7， y 0 3． （解析）：(I) f x 的最小正周期为 ， x 0 65(II)因为 x , ，所以2x 12 ,0，于是 2 6 6当2x 0，即 x 时， f x 取得最大值 0； 6 12当2x，即 x 时， f x 取得最小值 3．6 2 33 3 cos 2 x 25．(2023 天津)已知函数 f x cos x sinx ， x R ．34(Ⅰ)求 f x 的最小正周期； 4 4 (Ⅱ)求 f x 在闭区间 , 上的最大值和最小值．13 3 1 = sin2x 3（解析）(Ⅰ)由已知， f (x ) = sin cos x xcos 2 x cos 2x 22 4 4 41= sin(2x ) ，2 32所以 f (x ) 的最小正周期T ． 2(Ⅱ)∵ x， 4 45 t 2x ∴， 6 3 61 2由 y sin t 的图像知，-1 sin(2x ) 31 1 ∴ f (x ) ，2 4∴函数 f (x ) 在闭区间 , 1 -1 2 上的最大值为 ，最小值为 4 ． 4 42 f x3 sin x 0，x的图像关于直线26．(2023 重庆)已知函数 对称，且图 23象上相邻两个最gao 点的距离为 ．(I)求 和 的值；324 62 3 32 fcos 的值． ，求 (II)假设 （解析）：(I)因 f x 的图象上相邻两个最gao 点的距离为 ，所以 f x 的最小正周期 T ，从而22 ．又因 f x 的图象关于直线x 对称， T 3所以2 k ,k 0, 1, 2, ,因得k 0．32222 所以 ． 23 6236 1 (II)由(I)得 f 3 sin 2，所以sin ． 2 6 4 42 由得0 , 6 3 6 26 61 215 4 所以 cos 1 sin 2 1 4.3 2 6 6因此cossin sin 66sin cos cos sin6 6 13 15 13 15 =． 4 2 4 2 83f (x )3 sin 2 x sin x cos x ( 0) y f (x ) ，且 的图象的一个对称 27．(2023 山东)设函数 2中心到最近的对称轴的距离为 ． 4(Ⅰ)求 的值；3 f (x ) 在区间 ,]上的最大值和最小值．(Ⅱ)求 2 3（解析）(1) f (x ) ＝3 sin 2ωx －sin ωx cos ωx 23 1 cos 2 x 1 sin 2 x ＝ 3 1 π 3＝3 cos 2ωx － sin 2ωx ＝ sin 2 x ． 2 2 2 2 2 π因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 ，42π 2 π又ω＞0，所以=4 ．因此ω＝1． 4π 3(2)由(1)知 f (x ) ＝ sin 2x ．3π 2 5π 3 π 8π 3 π 3．所以 sin 2x 1 当π ≤x ≤时， ≤ 2x， 3 3 2 3 因此－1≤ f (x ) ≤． 23π故 f (x ) 在区间 π,3 上的最大值和最小值分别为 ，－1． 224 28． (2023 天津)已知函数 f (x ) 2 sin 2x 6sin x cos x 2 cos 2 x 1, x R ．(Ⅰ) 求 f (x )的最小正周期；(Ⅱ) 求 f (x )在区间 0, 上的最大值和最小值．2π π （解析）(1) f (x ) ＝ 2 sin 2x · cos 2cos 2x sin ＋3sin 2x －cos 2x 4 4π 4＝2sin 2x －2cos 2x ＝2 2sin 2x ．2π2所以， f (x ) 的最小正周期 T ＝＝π．3π (2)因为 f (x ) 在区间 0, 3π π8 2 上是增函数，在区间 , 上是减函数． 83π 8 π2 又 f (0)＝－2， f2 2 ， f 2 ， π 故函数 f (x ) 在区间 0, 上的最大值为2 2 ，最小值为－2．2329．(2023 湖南)已知函数 f x cosx cos x 2 f ()的值； (1)求 314f (x )(2)求使 成立的 x 的取值集合．1 2 3 1 1 4（解析）(1) f (x ) cos x (cos x cos sin x sin3) (sin 2x cos 2x )32 2 1 1 2 13 1 1 2 14 sin(2x ) f ( ) sin .所以f ( ) ．2 6 43 2 24 4 3(2)由(1)知，11 1 f (x ) sin(2x ) sin(2x ) 0 (2x ) (2k ,2k )2 6 4 4 6 67 7x (k,k ),k Z .所以不等式的解集是：(k ,k ),k Z . 1212 12 12 2f (x )cos(2x ) sin x 2 30．(2023 安徽) 设函数 2 4(I)求函数 f (x ) 的最小正周期；(II)设函数 g (x ) 对任意 x R ，有 g (x ) g (x )，且当 x 0, ]时，2 21g (x ) f (x ) ； 求 g (x ) 在 , 0]上的解析式．22 1 1 1f (x )cos(2x ) sin 2 x cos 2x sin 2x (1 cos 2x ) （解析）2 4 2 2 21 1sin 2x ． 2 22(I)函数 f (x ) 的最小正周期T． 21 1 (Ⅱ)当 x 0, ]时， g (x ) f (x ) sin 2x ．2 221 1 当 x ,0时，(x ) 0, ]， g (x ) g (x ) sin 2(x ) sin 2x2 2 2 2 2 2 21 1 当 x , ) 时，(x ) 0, ) ， g (x ) g (x ) sin 2(x ) sin 2x2 2 2 21sin 2x ( x 0) 2 2 得：函数 g (x ) 在 ,0]上的解析式为 g (x )． 1 sin 2x ( x )22f (x ) A sin( x ) 1 A 0, 0 31．(2023 陕西)函数 ()的最大值为 3， 其图像相邻两条对称轴之间 6的距离为． 2f (x ) (1)求函数 的解析式； (0, ) f ( ) 2，求 的值．(2)设 ，则 2 2（解析）(Ⅰ)∵函数 f (x ) 的最大值是 3，∴A 1 3，即 A 2 ．∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，∴最小正周期T ，∴ 2． 2f (x ) 2sin(2x ) 1 故函数 f (x ) 的解析式为． 61 2f ( ) 2 s in( ) 1 2 sin( ) (Ⅱ)∵ ，即 ，∴ ， 2 6 6 ∵0 ，∴，故 ． 2 6 6 3 6 6 32 (x )．32．(2023 山东)设 (Ⅰ)求 f (x ) 的单调区间；(Ⅱ)在锐角△ ABC 中，角 A , B ,C ，的对边分别为a ,b ,c ，假设 f ( ) 0，a 1，求△ ABC 面积的最f (x ) sin x cos x cos 4A 2大值．1 cos(2x )1 1 1 12 （解析）(Ⅰ)由题意 f (x ) sin 2x sin 2x sin 2x2 2 2 2 2 1sin 2x ．2由 2k 2x 2k ( k Z )，可得 k x k ( k Z )； 2 2 4 43 3 由 2k 2x2k ( k Z )，得 k x k ( k Z )； 2 2 4 4所以 f (x )的单调递增区间是 k , k ( k Z )； 443单调递减区间是 k ,k ]( k Z )． 4 4A 1 1 (Ⅱ) f ( ) sin A 0， sin A ，2 223 由题意 A 是锐角，所以 cos A． 2由余弦定理：a 2 b 2 c 2 2bc cos A ，可得1 3bc b 2 c 2bc21bc2 3 ，且当b c 时成立．2 32 3 2 3bc sin A ．ABC 面积最大值为 ． 4 4f (x ) sin( x )( 0,0)的周期为 ，图像的一个对称中心为 ( ,0)，33．(2023福建)已知函数 4f (x ) 将函数 图像上的全部点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，在将所得图像向右平移 个单位长 2g (x ) 度后得到函数 的图像．(1)求函数f (x ) 与g (x )的解析式；x ( , ) (2)是否存在 ，使得 f (x ), g (x ), f (x )g (x ) 按照某种顺序成等差数列？假设存在，请确定6 4x 0 的个数；假设不存在，说明理由．a nF (x ) f (x ) ag (x ) 在(0,n )(3)求实数 与正整数 ，使得 内恰有 2023 个零点．f (x ) sin( x )0，得 2 的周期为 ，（解析）(Ⅰ)由函数y f (x ) ( ,0) (0, )， 又曲线 的一个对称中心为 4f ( ) sin(2 ) 0 ，得 f (x ) cos 2x 故 ，所以 4 4 2f (x )2y cos x图象上全部点的横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变)后可得的图象，再将将函数y cos x g (x ) sin x的图象向右平移 个单位长度后得到函数 2 x ( , )122 1 sin x ，0 cos 2x (Ⅱ)当 时， ， 6 4 2 2 所以sin x cos 2x sin x cos 2x ．在 问题转化为方程2cos 2x sin x sin x cos 2x ( , )内是否有解6 4设G (x ) sin x sin x cos 2x 2cos 2xx ( , )，6 4 G(x ) cos x cos x cos 2x 2 s in 2x (2 sin x ) 则x ( , ) G(x ) 0 G (x ) ( , ) 在 ，因为 ，所以 内单调递增6 4 6 41 42 G ( ) 0 G ( )0 又 ， 6 4 2且函数G (x ) 的图象连续不断，故可知函数G (x ) 在( , ) 内存在唯—零点 x 0， 6 4x ( , ) 即存在唯—的 满足题意． 0 6 4F (x ) a sin x cos 2xF (x ) a sin x cos 2x 0，令(Ⅲ)依题意， 当sin x 0 ，即 x k (k Z ) 时， cos 2x 1，从而 x k (k Z ) cos 2xF (x ) 0不是方程的解，所以方程F (x ) 0x 等价于关于 的方程ax k (k Z )，sin x 现研究x (0, ) U ( ,2 ) 时方程解的情况cos 2x令h (x )x (0, ) U ( ,2 ) ， sin xy a 与曲线y h (x ) 在x (0, ) U ( ,2 ) 的交点情况则问题转化为研究直线 2 x 1) 3 cos x (2sin h (x ) ，令 h (x ) 0 ，得 x x 或 ． sin 2x2 2h (x )h (x )和变化情况如下表 x当 变化时， x33 3(0, )( , ) ( , )( ,2 ) 2 2 2 2 2 2h (x )h (x )0 010 Z]]1Zx 0 x h (x ) 趋向于当 且 趋近于 时，x x且 趋近于 时，h (x ) 趋向于 h (x ) 趋向于 当 当 当 x x且 趋近于 时，x 2 x 2 时，h (x ) 趋向于且 趋近于 故当a 1时，直线y a 与曲线 y h (x ) 在(0, ) 内有无交点，在( ,2 )a 1内有 个交点；当 时，2 y a y h (x ) 在(0, ) 2 内有 个交点，在 ( ,2 ) 1 a 1y a 时，直线 与直线 曲线 直线 与曲线 内无交点；当 y h (x ) 在(0, )2内有 个交点，在 ( ,2 ) 2内有 个交点由函数h (x ) 的周期性，可知当a 1时， y a y h (x ) 在(0,n )n y a 内总有偶数个交点，从而不存在正整数 ，使得直线 与曲线与曲线 y h (x ) 在(0,n ) 内恰有2023个交点；当a 1时，直线 y a 3个交点，由周期性，2023 3 671，所以n 671 2 1342y h (x ) 在(0, )U ( ,2 ) 与曲线 内有综上，当a 1，n 1342 时，函数F (x ) f (x ) ag (x ) 在(0,n ) 内恰有2023个零点 考点 44 三角函数的实际应用1．(2023 新课标Ⅰ，理 6)如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线OA ， 终边为射线OP ，过点 P 作直线OA 的垂线，垂足为 M ，将点 M 到直线OP 的距离表示为 x 的函数 f (x ) ， 则 y = f (x ) 在0， ]上的图像大致为()（答案）B（解析）如图：过 M 作 MD ⊥OP 于Ｄ，则 PM=sin x ，OM= cos x ，在 Rt OMP 中， OM PM cos x sin x 1 21sin 2x ，∴ f (x ) sin 2x (0 x )，选 B ． MD=cos x sin x OP 1 2 2．(2023 陕西)如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数y 3sin( x ) k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为6A ．5B ．6C ．8D ．10（答案）C（解析）由图象知： y2 ，因为 y3 k ，所以 3 k 2，解得：k 5，所以这段时间水深的minmin 最大值是 y max 3 k 3 5 8 ，应选 C ．3．(2023 新课标Ⅱ，理 16)设点 M( x 0 ，1)，假设在圆 O ：x 的取值范围是________． 2y 1上存在点 N ，使得∠OMN=45°，则 x 02 （答案） 1 x 0 1（ 解 析 ） 由 图 可 知 点 M 所 在 直 线 y 1 与 圆 O 相 切 ， 又 ON 1 ， 由 正 弦 定 理 得 ：ON OM1 OM sin ONM，∴ ，即：OM 2 sin ONM ，又∵0 ONM ， sin OMN sin ONM2 2∴OM 2 ，即 x 0 1 2 ，解之： 1 x 0 12 4 ．(2023 湖北) 某实验室一天的温度( 单位：℃) 随时间 t ( 单位：h) 的变化近似满足函数关系：π πf (t ) 10 3cos t sin t ，t 0, 24) ．12 12 (Ⅰ)求实验室这一天上午 8 时的温度； (Ⅱ)求实验室这一天的最大温差．π π2π 3 2π 3（解析）(Ⅰ) f (8) 10 3cos ( 8) sin ( 8) 10 3cossin 12 12 13 10 3 ( ) 10 ．2 2 故实验室上午 8 时的温度为 10 ℃．(Ⅱ)因为 f (t ) 10 2( cos t 1sin t ) =10 2sin( t π) ，3 π π π 2 12 2 12 12 3 π π π 7π 3 π π又0 t 24 ，所以 t 12 ， 1 sin( t ) 1．3 3 12 3 π ππ π 当t 2 时，sin(t ) 1；当t 14 时，sin( t ) 1． 12 312 3于是f(t) 在0, 24) 上取得最大值12，取得最小值8．故实验室这一天最gao温度为12 ℃，最di温度为8 ℃，最大温差为4 ℃．5．(2023 江苏)某农场有一块农田，如下图，它的边界由圆O的一段圆弧MPN( P为此圆弧的中点)和线段MN构成．已知圆O的半径为40 米，点P到MN的距离为50 米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A,B均在线段MN上，C,D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为 ．(1)用 分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sin 的取值范围；(2)假设大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3 ．求当 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．（解析）(1)连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以 COE ，故OE 40 c os ，EC 40sin ，则矩形ABCD的面积为2 40 cos (40sin 10) 800(4sin cos cos ) ，1CDP的面积为 2 40 cos (40 40sin ) 1600(cossin cos ) ．2过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK KN 10．1 4令 GOK 0 ，则sin0 ， (0, ) ．0 6, ) 时，才能作出满足条件的矩形ABCD，当0 21所以sin 的取值范围是,1)．4答：矩形ABCD的面积为800(4sin cos cos ) 平方米， CDP的面积为11600(cos sin cos ) ，sin 的取值范围是 ,1)．4(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k (k 0) ， 则年总产值为4k 800(4sin cos cos ) 3k 1600(cos sin cos )8000k (sin cos cos ) ， , ) ．0 2设 f ( ) sin cos cos ，, ) ， 0 2f () cos 2 sin 2 sin (2sin 2 sin 1) (2sin 1)(sin 1) ． 则 π 令 f () 0 ，得 ， 6当 ( , )时， f ′( )>0，所以 f ( )为增函数；0 6当 ( , ) 时， f ′( )<0，所以 f ( )为减函数，6 2π因此，当 时， f ( )取到最大值．6π 答：当 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．66．(2023 江苏)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为 32cm ，容器Ⅰ的底面对角线 AC 的长为 10 7 cm ，容器Ⅱ的两底面对角线 EG ， E G 的长分别为 14cm 和 62cm ． 分 1 1 别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为 12cm ． 现有一根玻璃棒l ，其长度为 40cm ．(容器厚度、玻 璃棒粗细均忽略不计)(1)将l 放在 容器Ⅰ中，l 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱CC 1 上，求l 没入水中局部的长度； (2)将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱GG 1 上，求l 没入水中局部的长度．（解析）(1)由正棱柱的定义，CC 1 平面 ABCD ， 所以平面 A ACC 平面 ABCD ，CC AC ． 1 1 1 记玻璃棒的另一端落在CC 1 上点 M 处． 因为 AC 10 7 ， AM 40．3MN 40 2 (10 7) 2 30，从而sin MAC ．所以 4记 AM 与水平的交点为 P ，过 P 作 PQ AC ，Q 为垂足， 1 1 1 1 1 则 PQ 平面 ABCD ，故 PQ 12，1 1 1 1 P 1Q sin MAC1 从而 AP 1 16．答：玻璃棒 没入水中局部的长度为 16cm ． l( 如果将“没入水中局部〞理解为“水面以上局部〞，则结果为 24cm)(2)如图，O ，O 是正棱台的两底面中心．1由正棱台的定义，OO ⊥平面EFGH ，1E 1EGG ⊥． EFGH ，OO EG1 所以平面 ⊥平面 1E 1EGG EFGH ，OO E 1G 同理，平面 ⊥平面 ⊥ ．1 1 1 1 1 1 1 记玻璃棒的另一端落在GGN上点 处．1G GK E G K，1为垂足， 则GK =OO 1 =32． 过 作 ⊥ 1EG = 14 E G= 62 因为 ， ， 24 ，从而GG 1 KG 1 162 14 KG 2 1 GK 2 24 2 32 40 2 所以 = ． 124 ∠EGG 1 ,∠ENG , sin sin( ∠KGG ) cos ∠KGG 设 则 ． 1 1253 5因为，所以cos． 240 14 7 在△ENG 中，由正弦定理可得，解得sin ． sin sin 2524 因为0 ，所以cos． 2 25于是sin ∠NEG sin( ) sin( ) sin cos cos sin4 24 3 7 3 5( ) ． 5 25 5 25 EN P P 2PQ 2 EG ，Q P 2QEFGH⊥平面P Q，故=12，从而2 2记 与水面的交点为 ，过 作 为垂足，则 2 2 22 P 2Qsin ∠NEG2EP 20． = 2 答：玻璃棒 没入水中局部的长度为 20cm ． (如果将“没入水中局部〞理解为“水面以上局部〞，则结果为 20cm)7．(2023 湖北)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间 t (单位： h )的变化近似满足函数关系：lπ πf (t ) 10 3cos t sin t ，t 0, 24) ．12 12 (Ⅰ)求实验室这一天的最大温差； (Ⅱ)假设要求实验室温度不高于 ，则在哪段时间实验室需要降温？31 （解析）(Ⅰ)因为 f (t ) 10 2( cos t sin t ) 10 2sin( t )，2 12 2 12 12 37又0 t 24，所以 t ， 1 sin( t ) 1， 3 12 3 3 12 3当t 2时，sin(t ) 1；当 t 14时，sin( t ) 1； 12 3 12 3于是 f (t )在0,24) 上取得最大值 12，取得最小值 8．故实验室这一天最gao 温度为12 C ，最di 温度为8 C ，最大温差为4 C (Ⅱ)依题意，当 f (t ) 11时实验室需要降温． 1由(Ⅰ)得 f (t ) 10 2 s in( t )，所以10 2 s in( t ) 11 ，即sin( t ) ， 12 3 12 3 12 3 27 11又0 t 24，因此t，即10 t 18，故在 10 时至 18 时实验室需要降温． 6 12 3 6。

专题01 三角函数的图象与综合应用【命题规律】三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1、三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2、利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.3、三角恒等变换的求值、化简是高考命题的热点，常与三角函数的图象、性质结合在一起综合考查，如果单独命题，多用选择、填空题中呈现，难度较低；如果三角恒等变换作为工具，将其与三角函数及解三角形相结合求解最值、范围问题，多以解答题为主，中等难度．【核心考点目录】核心考点一：齐次化模型 核心考点二：辅助角与最值问题 核心考点三：整体代换与二次函数模型 核心考点四：绝对值与三角函数综合模型 核心考点五：ω的取值与范围问题 核心考点六：三角函数的综合性质【真题回归】1．（2022·全国·高考真题）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．1B ．32C ．52D ．32．（2022·全国·高考真题（理））设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138,63⎛⎤⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤⎥⎝⎦3．（2022·全国·高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+⎪⎝⎭，则（ ）A ．()tan 1αβ-=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ-=-D ．()tan 1αβ+=-4．（2022·全国·高考真题（文））将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ）A ．16B ．14C ．13D ．125．（多选题）（2022·全国·高考真题）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则（ ）A ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在区间π11π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭有两个极值点 C ．直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴D ．直线y x =-是曲线()y f x =的切线 6．（2022·全国·高考真题（理））记函数()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若()f T =，9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为____________． 【方法技巧与总结】1、三角函数图象的变换（1）将sin y x =的图象变换为sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的图象主要有如下两种方法：（2）平移变换函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对x 作的变换； （3）伸缩变换①沿x 轴伸缩时，横坐标x 伸长(01)ω<<或缩短(1)ω>为原来的1ω（倍）（纵坐标y 不变）；②沿y 轴伸缩时，纵坐标y 伸长(1)A >或缩短(01)A <<为原来的A （倍）（横坐标x 不变）． （4）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移． 2、三角函数的单调性 （1）三角函数的单调区间sin y x =的单调递增区间是2,2()22k k k ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z ，单调递减区间是32,2()22k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ； cos y x =的单调递增区间是[2,2]()k k k π-ππ∈Z ，单调递减区间是[2,2]()k k k ππ+π∈Z ；tan y x =的单调递增区间是,()22k k k ππ⎛⎫π-π+∈ ⎪⎝⎭Z ．（2）三角函数的单调性有时也要结合具体的函数图象如结合|sin |y x =，sin ||y x =， |cos |y x =，cos ||cos y x x ==的图象进行判断会很快得到正确答案．3、求三角函数最值的基本思路（1）将问题化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，结合三角函数的图象和性质求解. （2）将问题化为关于sin x 或cos x 的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解. （3）利用导数判断单调性从而求解. 4、对称性及周期性常用结论 （1）对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.（2）与三角函数的奇偶性相关的结论若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k ϕπ=π+∈Z ；若为奇函数，则有()k k ϕ=π∈Z .若cos()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()k k ϕ=π∈Z ；若为奇函数，则有()2k k ϕπ=π+∈Z . 若tan()y A x ωϕ=+为奇函数，则有()k k ϕ=π∈Z ． 5、已知三角函数的单调区间求参数取值范刪的三种方法（1）子集法：求出原函数相应的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解． （2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式（组）求解．（3）周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14个周期列不等式（组）求解.【核心考点】核心考点一：齐次化模型【规律方法】齐次分式：分子分母的正余弦次数相同，例如：αααα++sin cos sin cos a b c d （一次显型齐次化）或者αααααααααα++⇒+222222sin cos +sin cos sin cos +sin cos sin cos a b c a b c （二次隐型齐次化）这种类型题，分子分母同除以αcos （一次显型）或者α2cos （二次隐型），构造成αtan 的代数式，这个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到.【典型例题】例1．（2022·广东揭阳·高三阶段练习）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 24θθπθ-=⎛⎫- ⎪⎝⎭（ ）A ．25B ．25-C ．65D ．65-例2．（2022·江苏省丹阳高级中学高三阶段练习）已知tan 3α=，则3cos cos πcos 2ααα-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ）A ．34-B ．34C ．310-D ．310例3．（2022·湖南·高三阶段练习）已知曲线y =()1,4处的切线的倾斜角为2α，则1sin cos π14ααα++=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ） AB．C ．12D ．1例4．（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）若ππ2θ<<，tan 3θ=-，=（ ） A ．35 B ．54-C ．45-D ．45核心考点二：辅助角与最值问题【规律方法】第一类：一次辅助角:αα±sin cos a b αϕ±)．（其中ϕ=tan b a）第二类：二次辅助角()ωωω±>2sin cos cos ,0a x x b x a bωωω±=2sin cos cos a x x b x ()()ωωωϕϕ±+=±±=sin2cos212(tan )222a b b b x x x a【典型例题】例5．（2022·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））已知函数()41sin cos 55f x x x =+，当x β=时，()f x 取得最大值，则cos β=（ ） ABC ．47D ．17例6．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（理））若2,43⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ππ，则函数2()3sin cos =f x x x x 的值域为（ ）A．⎡⎢⎣⎦B．⎡⎢⎣⎦C．D．[0,3+例7．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（文））若π0,2x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数()23sin cos f x x x x=的值域为（ ）A．⎡⎢⎣⎦B．⎡⎢⎣⎦C．⎡⎣ D．0,3⎡⎣例8．（2022·全国·高三专题练习）函数()222sin f x x x =+，若()()123f x f x ⋅=-，则122x x -的最小值是（ ） A ．23πB ．4πC ．3πD ．6π例9．（2022·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）已知关于x 的方程sin cos 2a x b x +=有实数解，则()()2211a b -+-最小值是______．例10．（2022·全国·高三专题练习）函数()44sin sin cos 44xf x x x =+的最小值为___________. 例11．（2022·全国·高三专题练习）已知2251x y -+=，,x y R ∈，则22x y +的最小值为____.核心考点三：整体代换与二次函数模型【规律方法】三角函数和二次函数交汇也是一种常见题型，我们将其分为三类，第一类是最简单的，就是sin x ，cos x 与cos2x 之间的二次函数关系，第二类则有一点隐藏，就是±sin cos x x 与sin cos x x 之间的关系，第三类则是+sin cos a x b x 与sin2x 之间的关系.【典型例题】例12．（2022·全国·高三专题练习）函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 例13．（2022·全国·高考真题（文））函数cos 22sin y x x =+的最大值为________.例14．（2022·全国·高考真题（理））函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是_________. 例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++，则()f x 的最大值为___________.例16．（2022·全国·高三专题练习）若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =+-的最小值是 A．12+B．12-+C ．1 D核心考点四：绝对值与三角函数综合模型 【规律方法】关于=sin y x 和=sin y x ，如图，=sin y x 将=sin y x 图像中x 轴上方部分保留，x 轴下方部分沿着x 轴翻上去后得到，故=sin y x 是最小正周期为π的函数，同理ωφ=+sin()y A x 是最小正周期为πω的函数；=sin y x 是将=sin y x 图像中y 轴右边的部分留下，左边的删除，再将y 轴右边图像作对称至左边，故=sin y x 不是周期函数.我们可以这样来表示：ππππππ⎧∈+⎪=⎨-∈-⎪⎩，，sin ([22])sin sin ((22))x x k k x x x k k ，⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩sin (0)sin sin (0)x x x x x 【典型例题】例17．（2022·安徽·铜陵一中高三阶段练习（理））已知函数()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f xC ．()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．()f x 5,012π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解 例18．（2022·全国·高三专题练习）已知()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x ，给出下述四个结论: ①()y f x =是偶函数; ②()y f x =在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数; ③()y f x =在(,2)ππ上为增函数; ④()y f x =的最大值为 其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．①②③D ．①④例19．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高三阶段练习）已知函数()cos ||2|sin |f x x x =-，以下结论正确的是（ ）A ．π是()f x 的一个周期B ．函数在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减C ．函数()f x 的值域为[D ．函数()f x 在[2π,2π]-内有6个零点例20．（多选题）（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知函数()sin cos 336x x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为3π B ．()f xC ．()f x 在[5,7]ππ上单调递减D ．()f x 在[4,4]ππ-上有4个零点例21．（2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）函数()sin sin cos cos f x x x x x =+++的最大值为______.例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin 2f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则 ①()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是1； ②()f x 的最小正周期是2π；③直线()2k x k Z π=∈是()fx 图象的对称轴；④直线2y x π=与()fx 的图象恰有2个公共点.其中说法正确的是________________.例23．（2022·陕西·长安一中高一期末）关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间()2,π上递增； ③()f x 在[]π,π-上有4个零点； ④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的编号__________.例24．（2022·云南省玉溪第一中学高二期中（文））设函数()cos 2sin f x x x =+，下述四个结论正确结论的编号是__________.①()f x 是偶函数； ②()f x 的最小正周期为π； ③()f x 的最小值为0； ④()f x 在[]0,2π上有3个零点.核心考点五：ω的取值与范围问题【规律方法】1、()sin()f x A x ωϕ=+在()sin()f x A x ωϕ=+区间()a b ，内没有零点⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤+<+<+≤≤-⇒ππϕωπππϕωπk b k k a k T a b 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+≤-≥≤-⇒ωϕππωϕπk b k a T a b 2 同理，()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ，内没有零点 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+<+<+<≤-⇒ππϕωπππϕωπk b k k a k T a b 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+<-><-⇒ωϕππωϕπk b k a T a b 2 2、()sin()f x A x ωϕ=+在区间()a b ，内有3个零点⎪⎩⎪⎨⎧+≤+<++<+≤≤-<⇒ππϕωππππϕωπk b k k a k Ta b T 432(1)(3)(24)T b a k T k a k k b πϕπϕωωπϕπϕωω⎧⎪⎪-+-⎪⇒≤<⎨⎪⎪+<-≤-+-<≤⎪⎩同理()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ，内有2个零点⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+≤++≤+<<-≤⇒ππϕωππππϕωπk b k k a k T a b T 32232(2))2(332k TT b k a k b a k πϕππϕωωπϕπϕωω⎧⎪⎪-+-⎪⇒<≤⎨⎪⎪+≤-<-+-≤<⎪⎩ 3、()sin()f x A x ωϕ=+在区间()a b ，内有n 个零点⇒(()(+1)1)(1)22n Tn T b a k k a k n k n b πϕππϕωωπϕπϕωω-+≤-⎧⎪⎪-+-⎪≤<⎨⎪⎪+-+-<≤⎩<⎪同理()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ，内有n 个零点(1)(1()()22+1)n T n T b k k a k n k n b a πϕππϕωωπϕπϕωω-+≤-<⎧⎪⎪-+-⎪⇒<≤⎨⎪⎪+-+-≤<⎪⎩4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为214n T +，则21(21)42n n T b a πω++==-． 5、已知单调区间(,)a b ，则2T a b -≤.【典型例题】例25．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，3x π=-为()f x 的一个零点，3x π=为()y f x =图象的一条对称轴，且()f x 在,20216ππ⎛⎫⎪⎝⎭内不单调，则ω的最小值为______. 例26．（2022·全国·高三专题练习）若函数()()cos 0f x x ωω=>在区间()2,3ππ内既没有最大值1，也没有最小值1-，则ω的取值范围是___________.例27．（2022·上海·高三专题练习）已知函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-（其中,a ω为常数，且0ω>）有且仅有3个零点，则ω的最小值是_________．例28．（2022·宁夏·平罗中学高三期中（理））已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在()2ππ，内单调且有一个零点，则ω的最大值是______________．例29．（2022·湖南·永州市第一中学高三阶段练习）若函数()()π2sin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在ππ,46⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为________.例30．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数π()2cos (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，()f x 的一个极值点为πx=.若π2π33T <<，则ω的最大值是_____.例31．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（文））将函数()sin2cos 222x x x f x ωωω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(0ω>)的图象向左平移π3个单位长度,得到曲线C .若C 关于y 轴对称,则ω的最小值是______．例32．（2022·北京师大附中高三阶段练习）记函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕ=+><<π的最小正周期为T ，若()f T =π12x =为()f x 的零点，则ω的最小值为_______． 例33．（2022·云南·高三阶段练习）已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，若π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，()f x 在区间5π7π,1818⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值点无最小值点，且5π7π1818f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，记满足条件的ω的取值集合为M ，则=M ______.例34．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若03f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且()f x 在5,312ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值，没有最小值，则ω的最大值为______． 例35．（2022·全国·高三专题练习（理））设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>．且1(0),0263f f f ππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的最小值为________．例36．（2022·福建省福州教育学院附属中学高三开学考试）已知()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，则ω=______.例37．（多选题）（2022·山西·高三阶段练习）已知函数()(0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()f x 在区间π,π3⎛⎤⎥⎝⎦内没有零点，则ω的值可以是（ ）A ．18B ．12C ．76D ．32核心考点六：三角函数的综合性质 【典型例题】例38．（多选题）（2022·山东德州·高三期中）已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭同时满足下列三个条件：②该函数图象的两条对称轴之间的距离的最小值为π； ③该函数图象关于5,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 那么下列说法正确的是（ ） A ．ϕ的值可唯一确定B ．函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是奇函数 C ．当52()6x k k ππ=-∈Z 时，函数()f x 取得最小值 D ．函数()f x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增例39．（多选题）（2022·湖北襄阳·高三期中）函数π()sin(2)3f x x =-的图象向左平移π4个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的有（ ） A ．直线5π6x =-是()g x 图象的一条对称轴B ．()g x 在ππ(,)26-上单调递增C ．若()g x 在(0,)α上恰有4个零点，则23π29π(,]1212α∈ D ．()g x 在ππ[,]42上的最大值为12例40．（多选题）（2022·江苏南通·高三期中）已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，它们的导函数分别为()f x '，()g x '．若()1y f x =+是奇函数，()()cos g x x π'=，()f x 与()g x 图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，则（ ）A ．()f x 的图象关于点()1,0-对称B ．()f x '的图象关于直线1x =对称C ．()g x 的图象关于直线12x =对称D ．()1mi i i x y m =+=∑例41．（多选题）（2022·山东菏泽·高三期中）已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）．A ．π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在区间π11π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上有且仅有2个零点 D ．将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后，可得到一个奇函数的图象 例42．（多选题）（2022·河北·模拟预测）已知函数π()sin()(0,0π),()04f x x f ωϕωϕ=+><<=，且对任意x ∈R均有π()(),()2f x f f x 在π[0,]2上单调递减，则下列说法正确的有（ ） A ．函数()f x 为偶函数B ．函数()f x 的最小正周期为2πC ．若1()([0,2π])3f x x =∈的根为(1i x i =，2，⋯，)n ，则14πn i i x ==∑ D ．若(2)()f x f x >在(,)m n 上恒成立，则n m -的最大值为π3例43．（多选题）（2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中）已知函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图（1）所示，函数()()1111()cos 0,0,||πg x A x A ωαωα=+>><的部分图象如图（2）所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的周期为2πB ．函数()y f x =的图象关于直线1912x π=对称 C ．函数()1y f x =-在区间[0,2]π上有4个零点 D ．将函数()y f x =的图像向左平移23π可使其图像与()y g x =图像重合例44．（多选题）（2022·福建·厦门外国语学校高三期中）将函数()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上所有的点向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图像，则下列说法正确的是（ ） A ．()g x 的最小正周期为π B ．()g x 图像的一个对称中心为7π,012⎛⎫⎪⎝⎭C ．()g x 的单调递增区间为()π5ππ,πZ 36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．()g x 的图像与函数πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像重合例45．（多选题）（2022·黑龙江齐齐哈尔·高三期中）已知()44cossin 22x xf x =+，则下列说法错误的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为2π B ．函数4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数C ．函数()f x 在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的值域为5,18⎛⎫⎪⎝⎭D ．函数()34y f x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数为8【新题速递】一、单选题1．（2022·河北·张家口市第一中学高三期中）函数()()πtan 0,02f x x ωϕϕω⎛⎫=+<<> ⎪⎝⎭某相邻两支图象与坐标轴分别交于点π,06A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,03B ⎛⎫⎪⎝⎭，则方程()[]πsin 2,0,π3f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭所有解的和为（ ） A ．5π12B ．5π6 C ．π2D ．π2．（2022·北京市第十一中学高三阶段练习）已知函数()2π2cos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则（ ）A ．()f x 是奇函数B ．函数()f x 的最小正周期为4πC ．曲线()y f x =关于π2x =对称D ．()()12f f >3．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π<ϕ），其图象相邻两条对称轴的距离为π2，且对任意x ∈R ，都有()7π12f x f ⎛⎫⎪⎝⎭，则在下列区间中，()f x 为单调递减函数的是（ ） A ．ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．（2022·吉林长春·模拟预测）定义域为[]0,π的函数())()1cos cos 02f x x x x ωωωω=-+>，其值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（ ） A ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．（2022·江苏南通·高三期中）已知112tan sin =-αα，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．7-B ．17-C ．19D ．436．（2022·河南·高三阶段练习（理））设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论中，正确结论的编号是（ ） ①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点③()f x 在05π⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增④ω的取值范围是1229510⎡⎫⎪⎢⎣⎭， A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④7．（2022·天津市南开中学滨海生态城学校高三阶段练习）下列关于函数()4cos cos 3f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π的命题，正确的有（ ）个（1）它的最小正周期是π2（2）π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是它的一个对称中心 （3）π6x =是它的一条对称轴 （4）它在π0,3⎛⎤⎥⎝⎦上的值域为[]2,3A ．0B ．1C ．2D ．38．（2022·宁夏六盘山高级中学高三期中（理））已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中0,2πωϕ><），()30,88f f x f ππ⎛⎫⎛⎫-=≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，且()f x 在区间,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，给出下列命题①()f x 是偶函数；②()304f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；③ω是奇数；④ω的最大值为3；其中正确的命题有（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④二、多选题9．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知函数()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<，曲线()y f x =关于点7π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，则（ ）A ．将该函数向左平移π6个单位得到一个奇函数B ．()f x 在3π7π,46⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．()f x 在π7π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上只有一个极值点 D ．曲线()y f x '=关于直线π6x =对称10．（2022·福建·泉州五中高三期中）已知函数()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．直线7π6x =是()fx 的对称轴B ．点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心 C ．()f x 在区间π22π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 的图象向右平移7π12个单位得cos 2y x =的图象11．（2022·山东青岛·高三期中）已知函数i π()sin 23s n 2cos π66f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．()f x 的最大值为2B ．π3x =是()f x 的图象的一条对称轴C ．()f x 在ππ,63⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减 D ．()f x 的图象关于π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称12．（2022·湖北·荆门市龙泉中学高三阶段练习）设()()sin f x x ωϕ=+（其中ω为正整数，π2<ϕ），且()f x 的一条对称轴为π12x =-；若当0ϕ=时，函数()f x 在ππ,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增且在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不单调，则下列结论正确的是（ ） A ．2ω=B ．()f x 的一个对称中心为5π,06⎛⎫⎪⎝⎭C ．函数()f x 向右平移π12个单位后图象关于y 轴对称 D ．将()f x 的图象的横坐标变为原来的一半，得到()g x 的图象，则()g x 的单调递增区间为()ππ5ππ,Z 242242k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭三、填空题13．（2022·甘肃·兰州市外国语高级中学高三阶段练习（文））已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的相邻对称轴之间的距离为π2，且()f x 图象经过点π,03P ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法正确的是___________.（写出所有正确的题号）A ．该函数解析式为()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；B ．函数()f x 的一个对称中心为2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭C ．函数y =()π5ππ,π2424k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．将函数()y f x =的图象向右平移(0)b b >个单位，得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的图象关于原点对称，则b 的最小值为π3.14．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（文））正割（Secant ，sec ）是三角函数的一种，正割的数学符号为sec ，出自英文secant ．该符号最早由数学家吉拉德在他的著作《三角学》中所用，正割与余弦互为倒数，即1sec cos x x=．若函数()sec sin f x x x x =⋅-，则下列结论正确的有__ ①函数()f x 的图像关于直线x π=对称；②函数()f x 图像在(),()f ππ处的切线与x 轴平行，且与x 轴的距离为π； ③函数()f x 在区间95,168ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； ④()f x 为奇函数，且()f x 有最大值，无最小值．15．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（理））若1sin cos 2θθ=，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ-=+______．16．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知函数()sin ||f x x x =，若关于x 的方程()f x m =在4π,2π3⎛⎤- ⎥⎝⎦上有三个不同的实根，则实数m 的取值范围是_________． 四、解答题17．（2022·江西·丰城九中高三开学考试（理））已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+．(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数()()g x f x k =-在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．18．（2022·江苏盐城·高三阶段练习）已知函数()22cos 2sin cos sin (04)f x x x x x ωωωωω=+-<<，且_____．从以下①②③三个条件中任选一个，补充在上面条件中，并回答问题：①过点;8π⎛⎝②函数()f x 图象与直线0y 的两个相邻交点之间的距离为;π③函数()f x 图象中相邻的两条对称轴之间的距离为2π．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)设函数()2cos 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则是否存在实数m ，使得对于任意1[0,]2x π∈，存在2[0,]2x π∈，()()21m g x f x =-成立?若存在，求实数m的取值范围;若不存在，请说明理由．19．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）已知函数()4sin cos 3f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()()32g x f x =-在区间（0，π）上恰有2个零点()1212,x x x x <，求()12cos x x -的值．20．（2022·福建省诏安县桥东中学高三期中）已知函数()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式及对称中心；(2)先将()f x 的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的12倍，得到函数()g x 图象，再将()g x 图象右平移π12个单位后得到()h x 的图象，求函数()y h x =在π3π,124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调减区间.21．（2022·青海·西宁市海湖中学高三期中）某同学用“五点法”画函数()sin()0,||2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：()f x 的解析式；(2)将()y f x =图象上所有点向左平移(0)θθ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，求θ的最小值．22．（2022·北京·北大附中高三阶段练习）已知函数()()sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭的部分图像如下图所示.(1)直接写出()f x 的解析式；(2)若对任意0,3s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在[]0,t m ∈，满足()()f s f t =-，求实数m 的取值范围.。

三角函数期末精讲精练三角函数精讲一、基本概念、定义：1. 角的概念推广后，包括 、 、 ，与α终边相同的角表示为 。

终边角： x 轴上 y 轴上 第一象限 第二象限 第二四象限 直线y ＝x 上2. 弧度制：把 叫1弧度的角。

公式：|α|＝— 换算：180°＝ 弧度； 1弧度＝ 度； 1°＝ 弧度 扇形： 弧长L ＝ ＝ ，面积S ＝ ＝ 3. 任意角的三角函数：①定义：角α终边上任意一点P(x ，y)，则r ＝ ，六个三角函数的定义依次是 、 、 、 、 、 。

②三角函数线：角的终边与单位圆交于点P ，过点P 作 轴的垂线，垂足为M ，则 。

过点A(1,0)作 ，交 于点T ，则 。

③同角三角函数关系式：平方关系： 商数关系： 倒数关系：（1～2要求能熟练运用：顺用、逆用、变形用，3～6要求能证明，不记忆） 1．和、差角公式=±)sin(βα =±)c o s (βα=±)tan(βα2．二倍角公式=α2sin =α2c o s ＝ ＝ =α2t a n 倍角公式变形：降幂公式=ααcos sin =α2s i n =α2c o s 3．半角公式(书P45～46) 2cos 12sinαα-±=, 2cos 12cosαα+±=, αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan-=+=+-±=4．万能公式： 2tan12tan 2sin 2ααα+=；2tan12tan1cos 22ααα+-=；2tan12tan2tan 2ααα-=．5．积化和差公式(书P46～47))]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=； )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=；)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=； )]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=．6．和差化积公式(书P46～47)2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+； 2s i n2c o s2s i n s i n βαβαβα-+=-； 2cos2cos2cos cos βαβαβα-+=+； 2s i n2s i n2c o s c o s βαβαβα-+-=-．应用公式解题的基本题型：化简、求值、证明基本技巧：①1的妙用：1＝ ＝ ＝②变角： (x+y)＋(x －y)＝ (x+y)＋(x －y)＝ α＝ ＝ ＝ 等 ③变名：切化弦；弦化切④化一：a sinx ＋b cosx ＝1、 作图：五点法，依次取ωx ＋ψ＝2、 周期T ＝3、 单调区间：A ∙ω>0时，增区间：解不等式 ≤ωx ＋ψ≤ 减区间：解不等式 ≤ωx ＋ψ≤A ∙ω<0时，增区间：解不等式 ≤ωx ＋ψ≤减区间：解不等式 ≤ωx ＋ψ≤ 4、最大值：A>0时，当ωx ＋ψ＝ 时，y 取最大值A 。

微专题四：解三角形的面积、最值、取值范围等类型一、单选题1．若O 是ABC 垂心，6A π∠=且sin cos sin cos B C AB C BAC +2sin sin m B C AO =，则m =（ ）A ．12B ．2 C ．3D 【答案】D 【分析】利用垂心的性质，连接CO 并延长交AB 于D ，得到CD AB ⊥，把已知条件中的式子化简，得到()cos cos 2sin sin C BAB AC m AD DO C B+=⋅+，再两边同乘以AB ，利用数量积、正弦定理进行整理化简，得到cos sin 2C B B +=⋅，再把cos C 化为5cos 6B π⎛⎫-⎪⎝⎭，整理后得到m 值. 【详解】在ABC ∆中，sin sin 0B C ≠，由sin cos sin cos B C AB C BAC +2sin sin m B C AO =，得cos cos 2sin sin C BAB AC m AO C B+=⋅， 连接CO 并延长交AB 于D ，因为O 是ABC ∆的垂心，所以CD AB ⊥，AO AD DO =+， 所以()cos cos 2sin sin C BAB AC m AD DO C B+=⋅+ 同乘以AB 得，()cos cos 2sin sin C B AB AB AC AB m AD DO AB C B ⋅+⋅=⋅+⋅ 2cos cos cos 22cos sin sin C Bc bc A m AD AB m b A c C B+=⋅⋅=⋅⋅因为6A π=，所以2cos cos sin sin 2C B c bc C B +=由正弦定理可得cos sin sin sin sin C C B C B C +=又sin 0C ≠，所以有cos sin C B B =⋅， 而56C A B B ππ=--=-，所以531cos cos cos sin 622C B B B π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，所以得到1sin 3sin 2B m B =， 而sin 0B ≠，所以得到36m =， 故选：D.【点睛】本题考查了平面向量线性运算、数量积、正弦定理、两角差的余弦公式、诱导公式、三角形垂心性质等知识综合运用，采用数形结合的思想方法．属于难题．2．如图，在ABC 中，4BC =，4BA BC ⋅=，点P 为边BC 上的一动点，则PA PC ⋅的最小值为（ ）A ．0B ．2-C ．94-D ．3-【答案】C 【分析】作辅助线AO BC ⊥，利用向量数量积公式，可求得1BO =，3CO =，再利用向量的三角形法则，将求PA PC ⋅的最小值，转化为求PO PC ⋅得最小值，然后分类讨论P 与O 的位置关系，可知P 在O 右侧时，PA PC ⋅最小，再利用基本不等式求最值. 【详解】如图所示，作AO BC ⊥4BA BC ⋅=，4BC =，cos 4BA BC B ∴⋅=，可得cos 1BA B =，即1BO =，3CO ∴= 利用向量的三角形法则，可知()PA PO OA PC PO PC PC ⋅=+⋅=⋅若P 与O 重合，则0PC PA ⋅=若P 在O 左侧，即P 在OB 上时, PA PO PC PC ⋅=⋅若P 在O 右侧，即P 在OC 上时，PA PO PC PC ⋅=-⋅，显然此时PA PC ⋅最小，利用基本不等式2924PO PC PO PC ⎛⎫+⎪-⋅≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭（当且仅当PO PC =，即P 为OC 中点时取等号） 故选：C.【点睛】本题考查向量的三角形法则，向量的数量积公式，及利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力，数形结合思想，属于中档题.3．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，()()sin sin sin sin a c A C b B a B +-+=，24b a +=，点D 在边AB 上，且2AD DB =，则线段CD 长度的最小值为（ ） A 23B ．223C ．3D ．2【答案】A 【分析】由已知条件和正弦定理，得()()2a c a cb ab +-+=，再由余弦定理得， 3C π=.由向量的线性运算得1233CD CA CB =+，两边平方，可得()2212299CD b a ab =+-，运用基本不等式可得选项.【详解】由()()sin sin sin sin a c A C b B a B +-+=及正弦定理，得()()2a c a cb ab +-+=，即222a b c ab +-=，由余弦定理得，2221cos 22a b c C ab +-==，∵()0,C π∈，∴3C π=.由于2AD DB =，∴()2212++++3333CD CA AD CA AB CA AC CB CA CB ====+，两边平方，得 ()()2222222214414212112cos 2299999999992b a CD b a ab C b a ab b a ab b a +⎛⎫=++=++=+-≥+- ⎪⎝⎭，当且仅当22b a ==时取等号，即()22142123CD b a ≥+=，∴线段CD 长度的最小值为233. 故选：A.【点睛】本题考查综合运用正弦定理、余弦定理、向量的线性运算、向量的数量积运算，以及运用基本不等式求最值，属于较难题.二、多选题4．如图，ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a b =，且()3cos cos 2sin a C c A b B +=，D 是ABC 外一点，1DC =，3DA =，则下列说法正确的是（ ）A ．ABC 是等边三角形B ．若23AC =A ，B ，C ，D 四点共圆 C ．四边形ABCD 533 D ．四边形ABCD 533 【答案】AC 【分析】利用三角函数恒等变换化简已知等式可求sin B ，再利用a b =，可知ABC 为等边三角形，从而判断A ；利用四点A ，B ，C ，D 共圆，四边形对角互补，从而判断B ；设AC x =，0x >，在ADC 中，由余弦定理可得2106cos x D =-，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的，可求ABCD S 四边形，利用正弦函数的性质，求出最值，判断CD ． 【详解】由正弦定理2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===，(sin cos sin cos )2sin sin A C C A B B +=⋅，2sin ,sin B B =∴=a b =，B 是等腰ABC 的底角，(0,)2B π∴∈，,3B ABC π∴=∴△是等边三角形，A 正确；B 不正确：若,,,A BCD 四点共圆，则四边形对角互补， 由A 正确知21,cos 32D D π∠==-，但由于1,3,DC DA AC ===22211cos 232DC DA AC D DA DC +-===-≠-⋅⋅，∴B 不正确．C 正确，D 不正确：设D θ∠=，则2222cos 106cos AC DC DA DC DA θθ=+-⋅⋅=-，(106cos )ABC S θθ∴=-=△， 3sin 2ADC S θ=△，3sin 2ABCADCABCD S SSθθ∴=+=+四边形13(sin cos 2θθ=⋅-+，3sin()3πθ=-+，(0,),sin()(32πθπθ∈∴-∈-，3ABCD S <≤+四边形，∴C 正确，D 不正确； 故选：AC.． 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．三、双空题5．在ABC 中，()sin sin sin A B C B -=-，则cos A =__________；点D 是BC 上靠近点B 的一个三等分点，记sin sin ABDλBAD∠=∠，则当λ取最大值时，tan ACD ∠=__________．【答案】122+ 【分析】根据题意，由三角恒等变换将原式化简，即可求出1cos 2A =；设BD x =，BAD θ∠=，πθ0,3，则2DC x =，sin sin B t =θ，根据正弦定理，得到AD x =λ，sin sin23Cπλθ，求出cos cos 3B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πλθ，得到222222sin cos sin cos 13B B ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭πλθλθ，表示出2221sin cos 3=⎛⎫++ ⎪⎝⎭λπθθ，求出最值，即可得出结果.【详解】因为()sin sin sin A B C B -=-，所以()sin sin sin B C A B =--， 即()()sin sin sin 2cos sin B A B A B A B =+--=， 又因为sin 0B ≠，所以1cos 2A =； 设BD x =，BAD θ∠=，πθ0,3， 则2DC x =，sin sin B =λθ， 由正弦定理可得AD x =λ，sin sin sin23AD DACCDCπθλ，又313sin sincos sin cos sin 222223C B B BB λθπ，sin sin 223B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭λλπθθ，得cos cos 3B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πλθ．因为222222sin cos sin cos 13B B ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭πλθλθ，所以222122sin cos 1cos 21cos 233==⎛⎫⎛⎫++-+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭λππθθθθ22263cos =⎛⎫-- ⎪⎝⎭πθ， 因为πθ0,3，所以2,662πππθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以当206πθ-=时，λ取得最大值31+，此时()622sin 3142B -⨯==+， 所以4B π=，tan tan 2334ACD ⎛⎫∠=--=+⎪⎝⎭πππ； 答案为：12；23+. 【点睛】本题主要考查由三角恒等变换求函数值，考查三角函数的性质，考查正弦定理的应用，属于常考题型.四、解答题6．（本小题满分12分）如图，在凸四边形ABCD 中，D C ,为定点，3=CD ,B A ,为动点，满足1===DA BC AB ．（1）写出C cos 与A cos 的关系式；（2）设BCD ∆和ABD ∆的面积分别为S 和T ，求22S T +的最大值． 【答案】（1）1cos 3cos -=C A ；（2）22T S +的最大值87. 【解析】 试题分析：（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;（2）在三角形中，注意隐含条件π=++C B A （3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式；（4）转化为二次函数求最值，注意角的取值范围.试题解析：（1）由余弦定理，在BCD ∆中，C CD BC CD BC BD cos 2222⋅⋅-+=C cos 324-=在ABD ∆中，A BD cos 222-= 所以24-C cos 3A cos 22-=，即1cos 3cos -=C A 4分（2）2sin 3sin 21C C CD BC S ⋅=⋅⋅⋅=,=T A A AD AB sin 21sin 21=⋅ 6分 所以)cos 1(41)cos 1(43sin 41sin 43222222A C A C T S -+-=+=+ 43cos 23cos 23-2++=C C87)63(cos 232+--=C 10分由题意易知，)9030(00，∈C ,所以），（230cos ∈C当63cos =C 时，22T S +有最大值87． 12分 考点：1、余弦定理的应用；2、三角函数求最大值.7．设平行四边形()ABCD AB CD >的周长为12，60BAD ∠=︒，把它关于AC 折起来，AB 折过去后，交DC 于点P .设AB x =，△ADP 的面积为S .（1）用x 表示ADP ∆的面积S ； （2）求S 的最大值及相应x 的值. 【答案】（1）33(6)(3)6x x S x --=+（2）当36x =时，ADP ∆的面积有最大值633108【分析】(1)本题首先可设AB x =，然后根据题意可得出6AD x =-以及ADP CB P '∆≅∆，再然后根据DP PB '=得出AP x DP =-，并根据余弦定理得出12366x DP x -=+，最后根据解三角形面积公式即可得出结果；(2)首先可将)2339186x x S x -+-=+转化为1086333366S x x ⎫=++⎪+⎭，然后根据基本不等式即可求出结果． 【详解】(1)记AB 折过去成为AB '．因为AB x =，所以6AD x =-.易证ADP CB P '∆≅∆，所以DP PB '= 所以AP AB PB AB DP x DP '''=-=-=-.在ADP ∆中，1206ADP AD x AP x DP ，，∠=︒=-=-，由余弦定理，待222()(6)2(6)cos120x DP x DP x DP ︒-=-+-⋅-⋅， 整理得12366x DP x -=+，1)(3)sin12026x x S DA DP x ︒--=⋅=+．(2)由（1）知)22918(6)21(6)10866x x x x S x x ⎤-+--+++-⎣⎦==++，108108(6)21666x x x x ⎤⎫=-+-+=++⎪⎥++⎦⎭，因为6x x >-，所以3x >，所以10866x x ++≥=+ 当且仅当10866x x +=+，即6x =时取等号，所以108S ≤=，综上所述，当6x =-时，ADP ∆的面积有最大值108．【点睛】本题考查余弦定理、解三角形面积公式以及基本不等式的使用，考查如何利用基本不等式求最值，考查的公式有2222cos a b c bc A =+-以及in 12s S ab C =，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题．五、填空题8．在ABC 中，记角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，面积为S ，则22Sa bc+的最大值为______【答案】12【分析】利用面积公式和余弦定理，结合均值不等式以及线性规划即可求得最大值. 【详解】2221sin 1sin 222cos 2222cos bc AS A b c a bc b c bc A bc A c b==⨯++-+++-1sin 4cos 2A A ≤-⨯-（当且仅当b c =时取等号）.令sin ,cos A y A x ==，故21242S ya bc x ≤-⨯+-，因为221x y +=，且0y >，故可得点(,)x y 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2yz x =-上，表示圆弧上一点到点(2,0)A 点的斜率， 由数形结合可知，当且仅当目标函数过点132H ⎛ ⎝⎭，即60A =︒时，取得最小值3 故可得3,023yz x ⎡⎫=∈-⎪⎢⎪-⎣⎭， 又21242S y a bc x ≤-⨯+-，故可得213324312S a bc ≤-⨯-=+， 当且仅当60,A b c =︒=，即三角形为等边三角形时，取得最大值.故答案为：312. 【点睛】本题主要考查利用正余弦定理求范围问题，涉及线性规划以及均值不等式，属综合困难题.9．已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin sin sin 0A B C -=，则sin sin 2sin B CA-的取值范围为_________【答案】11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由已知结合正弦定理可得，2a bc =然后结合余弦定理，2222cos a b c bc A =+-()()221cos b c bc A =-+-，令sin sin 2sin 2B C b cp A a--==，代换后结合余弦的性质即可求解.【详解】因为2sin sin sin 0A B C -=，所以2a bc =，由余弦定理可得：()()22222cos 21cos a b c bc A b c bc A =+-=-+-， 令sin sin 2sin 2B C b c p A a--==，则2b c pa -=， 因此()()222221cos a pa a A =+-， 所以22cos 14A p -=， 因为A 为锐角，0cos 1A <<， 所以22cos 1144A p -=<， 所以1122p -<<， 故答案为：11,22⎛⎫-⎪⎝⎭【点睛】 关键点点睛：首先利用正弦定理化角为边可得2a bc =，再利用余弦定理并配方可得()()2221cos a b c bc A =-+-关键是令sin sin 2sin 2B C b c p A a --==，2b c pa -=，将b c -、bc 代换掉，结合余弦的性质即可求得范围.10．若ABC 的内角满足123tan tan tan A B C+=，则cos C 的最小值为___________.【答案】3【分析】 由同角三角函数的关系切化弦得cos 2cos 3cos sin sin sin A B C A B C +=，再运用三角恒等变换和正、余弦定理将角转化边可得222+230a b c -=，根据余弦定理和基本不等式可求得cos C 的最小值.【详解】 由123tan tan tan A B C +=得，cos 2cos 3cos sin sin sin A B C A B C +=，即sin cos 2cos sin 3cos sin sin sin B A B A C A B C +=，sin()+cos sin 3cos sin sin sin B A B A C A B C+∴=， 所以2sin +cos sin sin 3sin sin cos C B A C A B C =，由正弦定理和余弦定理得：22222222+32a c b a b c c ac ab ac ab +-+-⋅=⋅，化简得：222+230a b c -=，22222222222122123333cos 2226+63a b a b a b a b c a b C ab ab ab ab ab +--++-∴====≥=（当且仅当a b =时取等号）， 所以cos C的最小值为3.故答案为：3. 【点睛】本题考查同角三角函数间的关系，三角恒等变换，正、余弦定理，以及运用基本不等式求最值，关键在于运用合适的公式将角转化为边，属于较难题.。

专题：三角函数综合问题重难点易错点解析题面：已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形.若AB=2，求△ABC的周长.(结果保留根号)金题精讲题面：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC = BC = 6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC 于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是．满分冲刺题一：题面：如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD= ．题二：题面：如图，在Rt．则题三：题面：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O 与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．(1)求证：BD=BF；(2)若BC=6，AD=4，求sin A的值．课后练习详解重难点易错点解析答案：6+23详解：∵△ABD 是等边三角形，∴∠B =60°，∵∠BAC =90°，∴∠C =30°，∵sin C =BC AB ，∴BC =C AB sin =4， ∵cos C =BCAC ，∴AC =BC ·cos C =23，∴△ABC 的周长是6+23． 金题精讲答案：12.详解：∵∠C =90°，EF ⊥AC ，EG ⊥BC ，∴∠C =∠EFC =∠EGC =90°.∴四边形FCGE 是矩形.∴FC =EG ，FE =CG ，EF ∥CG ，EG ∥CA ，∴∠BEG =∠A =45°=∠B .∴EG =BG . 同理AF =EF ，∴矩形CFEG 的周长是CF +EF +EG +CG =CF +AF +BG +CG =AC +BC =6+6=12.满分冲刺题一： 答案：4 ．+∠题二：答案：8．∴题三：1答案：(1)见详解(2)，-3(重难点易错点解析题面：已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝45°，∠C＝90°，∠ABD＝75°，∠DBC ＝30°，AB＝2a．求BC的长．金题精讲题一题面：在Rt ABC∆中，AB=AC，点E在AC上，且1,3AE AC=点D在AB上，且2,3AD AB=连结DE、BE，求证：.ADE EBC∠=∠满分冲刺题一题面：如图所示，在Rt ABC∆中，AC BC⊥，过C作CD AB⊥于D.求证：111 222 AC BC CD+=题二题面：如图所示，在Rt ABC ∆中， ∠=⊥ACB CD AB D 90°，于， DE AC E ⊥于， DF BC F ⊥于.求证：CD DE DF AB 3=⋅⋅.题三题面：已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 是O ⊙上一点，OD BC ⊥于点D ，过点C 作O ⊙的切线，交OD 的延长线于点E ，连结BE ．（1）求证：BE 与O ⊙相切；（2）连结AD 并延长交BE 于点F ，若9OB =，2sin 3ABC ∠=，求BF 的长．讲义参考答案重难点易错点解析答案：a．BC2金题精讲题一答案：略满分冲刺题一答案：略题二答案：略题三答案：（1）略（2。

【最新】高考数学《三角函数与解三角形》专题解析一、选择题1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛⎫=++<< ⎪+++-⎝⎭的最小值为（ ） ABCD【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】22222sin 2sin cos 2cos 2sin cos1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x +++-+++=++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x xx x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭， 32222221sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '''--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()cos 0,1t x =∈，()3261g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以当03x π<<时，()11,02t g t <<<，从而()'0f x <； 当32x ππ<<时，()10,02t g t <<>，从而()'0f x >. 故()min 33f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a ﹣c cos B ）sin A ＝c cos A sin B ，则△ABC 的形状一定是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．锐角三角形【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由(cos )sin cos sin a c B A c A B -=变形可得sin sin a A c C =，进而由正弦定理可得22a c =，即a c =，即可得答案． 【详解】根据题意，在ABC ∆中，(cos )sin cos sin a c B A c A B -=， 变形可得：sin cos sin cos sin (cos sin cos sin )sin()sin a A c B A c A B c B A A B c A B c C =+=+=+=，即有sin sin a A c C =，又由正弦定理可得22a c =，即a c =. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题．3．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．53π B ．2πC ．76π D ．π【答案】B 【解析】 【分析】根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【详解】令sin cos2x x =，有2sin 12sin x x =-，所以sin 1x =-或1sin 2x =.又[],2x ππ∈-，所以2x π=-或32x π=或6x π=或56x π=，所以函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象交点的横坐标的和3522266s πππππ=-+++=，故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.4．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩的图像关于y 轴对称，则sin y x =的图像向左平移（ ）个单位，可以得到cos()y x a b =++的图像（ ）.A ．4π B ．3π C ．2π D ．π【答案】D 【解析】 【分析】根据条件确定,a b 关系，再化简()cos y x a b =++，最后根据诱导公式确定选项. 【详解】 因为函数()()(),0,0sin x a x f x cos x b x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩的图像关于y 轴对称，所以sin cos 22a b ππ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()sin cos a b ππ-+=+，即sin cos sin cos b a a b ，==，因此π2π()2a b k k Z +=+∈， 从而()()cos sin y x a b sinx x π=++=-=+,选D. 【点睛】本题考查偶函数性质、诱导公式、三角函数图象变换，考查基本分析识别能力，属中档题.5．已知函数f （x ）＝2x －1，()2cos 2,0?2,0a x x g x x a x +≥⎧=⎨+<⎩（a ∈R ），若对任意x 1∈[1，＋∞），总存在x 2∈R ，使f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是（） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．[]1,1,22⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭U D ．371,,224⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U 【答案】C 【解析】 【分析】对a 分a=0,a ＜0和a ＞0讨论，a ＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a 的取值范围. 【详解】当a =0时，函数f （x ）＝2x －1的值域为[1,+∞），函数()g x 的值域为[0,++∞），满足题意. 当a ＜0时，y =22(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）, y =()cos 20a x x +≥的值域为[a +2,-a +2],因为a +2-2a =2-a >0,所以a +2＞2a , 所以此时函数g (x )的值域为（2a ,+∞）, 由题得2a ＜1，即a ＜12，即a ＜0. 当a ＞0时，y =22(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）,y =()cos 20a x x +≥的值域为[-a +2,a +2],当a ≥23时，-a +2≤2a ,由题得21,1222a a a a-+≤⎧∴≤≤⎨+≥⎩. 当0＜a ＜23时，-a +2＞2a ，由题得2a ＜1，所以a ＜12.所以0＜a ＜12. 综合得a 的范围为a ＜12或1≤a ≤2， 故选C . 【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年 D ．早于公元前6000年【答案】D 【解析】 【分析】先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项．【详解】解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β， 则αβ-即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角， 将图3近似画出如下平面几何图形：则16tan 1.610α==，169.4tan 0.6610β-==， tan tan 1.60.66tan()0.4571tan tan 1 1.60.66αβαβαβ---==≈++⨯g ．0.4550.4570.461<<Q ，∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．故选：D ． 【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．7．要得到函数y ＝sin （2x +9π）的图象，只需将函数y ＝cos （2x ﹣9π）的图象上所有点（ ） A ．向左平移518π个单位长度 B ．向右平移518π个单位长度 C ．向左平移536π个单位长度 D ．向右平移536π个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】先将函数cos 29y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭转化为7sin 218y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再结合两函数解析式进行对比，得出结论． 【详解】 函数75cos 2sin 2sin 2sin 299218369y x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ∴要得到函数sin 29y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数cos 29y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点向右平移536π个单位长度，故选D ． 【点睛】本题考查函数()sin y A x b ωϕ=++的图象变化规律，关键在于能利用诱导公式将异名函数化为同名函数，再根据左右平移规律得出结论．8．函数y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在一个周期内的图象是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】首先根据二倍角余弦公式化简得到函数的解析式，再由函数表达式得到函数的单调性和周期，进而得到选项. 【详解】根据两角和差公式展开得到： y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22πππcos sin cos 2424x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎝⎭⎭=-sin2x ,函数在0的右侧是单调递减的，且周期为π，故选B. 故答案选B . 【点睛】这个题目考查了三角函数的恒等变换，题型为已知函数表达式选择函数的图像，这种题目，一般是先根据函数的表达式得到函数的定义域，或者值域，进行排除；也可以根据函数的表达式判断函数的单调性,周期性等，之后结合选项选择.9．在∆ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .则“sin >sin A B ”是“a b >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由正弦定理得sin sin 22a b A B a b R R>⇔>⇔> ，所以“sin sin A B >”是“a b >”的充要条件，选C.10．函数()2sin sin cos y x x x =+的最大值为（ ）A ．1B 1CD ．2【答案】A 【解析】由题意，得()22sin sin cos 2sin 2sin cos sin2cos21y x x x x x x x x =+=+=-+π2114x ⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭；故选A.11．已知()0,απ∈，3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．2425B ．2425-C ．725D ．725-【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦的二倍角公式先利用sin 3πα⎛⎫+⎪⎝⎭求得2cos 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭.再由诱导公式求出sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭,再利用同角三角函数关系中的平方关系求得cos 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.根据角的取值范围,舍去不合要求的解即可. 【详解】 因为3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 由余弦二倍角公式可得22237cos 212sin 1233525ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 而2cos 2cos 2sin 23626ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以27sin 2cos 26325ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由同角三角函数关系式可得24cos 2625πα⎛⎫+==± ⎪⎝⎭因为()0,απ∈ 则4,333πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,而3sin 035πα⎛⎫+=> ⎪⎝⎭ 所以,33ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭则,33ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以22,233ππαπ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32,3262ππππα⎛⎫⎛⎫+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即32,662πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭又因为7sin 20625πα⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭,所以32,62ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭故cos 206πα⎛⎫+< ⎪⎝⎭所以24cos 2625πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 故选:B 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式及诱导公式的化简应用,三角函数恒等变形及角的范围确定,综合性较强,属于中档题.12．已知2433sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 14πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．35-C ．35D ．53【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式计算得到35tan 73πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3tan tan 1472πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，解得答案. 【详解】由诱导公式可知24333sin 3sin 33sin 777πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 又2433sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得333sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以35tan 73πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，313tan tan 314725tan 7πππααπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=-=- ⎪⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+ ⎪⎝⎭. 故选：B . 【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.13．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<”，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-， 所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，整理得，2212cos a b C ab++>，由基本不等式，222a b ab ab+≥=，当且仅当a b =时等号成立， 此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3C π<， 充分性得证；必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-==>⨯⨯，故3C π<，但228ab c =<，故3C π<推不出2ab c >.故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.14．已知函数()()sin x f x x R ωφ+=∈，，其中0ωπφπ>-<，≤.若函数()f x 的最小正周期为4π，且当23x π=时，()f x 取最大值，是（ ） A ．()f x 在区间[]2ππ--，上是减函数 B ．()f x 在区间[]0π-，上是增函数 C ．()f x 在区间[]0π，上是减函数 D ．()f x 在区间[]02π，上是增函数 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题目所给已知条件求得()f x 的解析式，然后求函数的单调区间，由此得出正确选项. 【详解】由于函数()f x 的最小正周期为4π，故2π14π2ω==，即()1sin 2f x x φ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2ππsin 1,33π6f φφ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭=⎭⎝.所以()1πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由π1ππ2π2π2262k x k -≤+≤+，解得4π2π4π4π33k x k -≤≤+，故函数的递增区间是4π2π4π,4π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，令0k =，则递增区间为4π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故B 选项正确.所以本小题选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数单调区间的求法，属于基础题.15．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，2πω<）的最小正周期为π，且其图象向左平移3π个单位后，得到函数()cos g x x ω=的图象，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于直线12x π=对称B ．关于直线512x π=对称 C ．关于点(,0)12π对称D ．关于点5(,0)12π对称 【答案】C 【解析】试题分析：依题意()()2,sin 2f x x ωϕ==+，平移后为2sin 2cos 2,36x x ππϕϕ⎛⎫++==- ⎪⎝⎭，()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称.考点：三角函数图象与性质.16．化简21sin 352sin 20︒︒-=（ ）A ．12B ．12-C ．1-D ．1【答案】B【解析】【分析】利用降次公式和诱导公式化简所求表达式，由此求得正确结论.【详解】 依题意，原式1cos7011cos701sin 20122sin 202sin 202sin 202--==-⨯=-⨯=-o o o o o o ，故选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数诱导公式，属于基础题.17．关于函数()()()sin tan cos tan f x x x =-有下述四个结论：①()f x 是奇函数；②()f x 在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增； ③π是()f x 的周期；④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】【分析】计算()()()sin tan cos tan f x x x -=--得到①错误，根据复合函数单调性判断法则判断②正确，()()f x f x π+=③正确，假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，得到矛盾，④错误，得到答案.【详解】 ()()()sin tan cos tan f x x x =-，()()()sin tan cos tan f x x x -=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()sin tan cos tan x x =--，所以()f x 为非奇非偶函数，①错误；当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令tan t x =，()0,1t ∈， 又()0,1t ∈时sin y t =单调递增，cos y t =单调递减，根据复合函数单调性判断法则， 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin tan y x =，()cos tan y x =-均为增函数， 所以()f x 在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以②正确； ()()()sin tan cos tan f x x x πππ+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()sin tan cos tan x x f x =-=， 所以π是()f x 的周期，所以③正确；假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，必然()sin tan 1a =，()cos tan 1a =-， 则tan 22a k ππ=+，k Z ∈与tan 2a k ππ=+，k Z ∈矛盾，所以()f x 的最大值小于2，所以④错误.故选：C .【点睛】本题考查了三角函数奇偶性，单调性，周期，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.18．设2α是第一象限角，且cos cos αα=-，则α是第（ ）象限角 A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】B【解析】【分析】计算得到720180720k k α︒<<︒+︒，k Z ∈，再根据cos 0α<得到答案.【详解】 ∵2α是第一象限角，∴360903602k k α︒<<︒+︒，k Z ∈， ∴720180720k k α︒<<︒+︒，k Z ∈，∴α为第一象限角或第二象限角或终边在y 轴正半轴上的轴线角， ∵cos cos αα=-，∴cos 0α<，∴α是第二象限角.故选：B .【点睛】本题考查了角度所在象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.19．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2π,43BAC AP ∠==，23AB AC ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．48πC ．64πD ．72π【答案】C【解析】【分析】先求出ABC V 的外接圆的半径，然后取ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122GO AP ==，由于PA ⊥平面ABC ，故点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，OA 为外接球半径，求解即可.【详解】 在ABC V 中，23AB AC ==，23BAC π∠=，可得6ACB π∠=， 则ABC V 的外接圆的半径2323π2sin 2sin 6AB r ACB ===，取ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122GO AP ==， 因为PA ⊥平面ABC ，所以点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，则222OA OG AG =+，即外接球半径()222234R =+=，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为24π4π1664πR =⨯=.故选C.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球表面积的求法，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.20．函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ）A ．4x π= B ．3x π= C ．56x π= D ．1912x π=【答案】D【解析】【分析】 由三角函数的周期可得23πω=，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为244sin 39y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求其对称轴方程即可. 【详解】 解：函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则函数2()4sin 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，经过平移后得到函数解析式为2244sin 4sin 36339y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由24()392x k k πππ+=+∈Z ， 得3()212x k k ππ=+∈Z ，当1k =时，1912x π=. 故选D.【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.。

对三角函数的图像与性质的考查，是近几年高考的热点，不仅有主观题，还有客观题。

客观题常以选择填空题的形式出现，往往涉及参数问题。

此类问题对学生来讲，有一定难度，就此总结几种常见做法。

(一)利用奇偶性确定参数的值例1（1）已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π3 ⎝⎛⎭⎫θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2 是偶函数，则θ的值为( ) A ．0B.π6C.π4D.π3解：∵函数f (x )为偶函数，∴θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)．又∵θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，∴θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经检验符合题意．故选B .（2）(2015·哈尔滨模拟)若函数y ＝3cos(2x －π3＋φ)为奇函数，则|φ|的最小值为________．解：依题意得，－π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，φ＝k π＋5π6(k ∈Z)，因此|φ|的最小值是π6.故填π6.【评注】若()sin()f x A x ωϕ=+是奇函数，则k ϕπ=（k Z ∈），若是偶函数，则2k πϕπ=+（k Z ∈）；若()cos()f x A x ωϕ=+是奇函数，则2k πϕπ=+（k Z ∈），若是偶函数，则k ϕπ=（k Z ∈）．(二)利用单调性求参数的值．例2．【2014大纲高考理第16题】若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 . 解:()()2sin 2cos 4sin cos cos cos 4sin .,62f x x a x x x a x x x a x ππ⎛⎫'=-+=-+=-+∈ ⎪⎝⎭时，()f x 是减函数，又cos 0x >，∴由()0f x '≤得4sin 0,4sin x a a x -+≤∴≤在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，()min 4sin ,,262a x x a ππ⎛⎫⎛⎫∴≤∈∴≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【评注】三角函数的单调区间的求法： (1)代换法所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数整理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间． (2)图象法函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间 (三)利用周期性求参数的值．例3. 已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0)2πϕ<<与y 轴的交点为(0,1)，且图像上两对称轴之间的最小距离为2π，则使()()0f x t f x t +--+=成立的t 的最小值为（ ）A ．6π B ．3π C ．2πD ．23π解：由题知2T ππω==，则2ω=，那么()02sin 1f ϕ==，则6πϕ=，知()2s i n26fx x π⎛⎫=+⎪⎝⎭又 ()()0f x t f x t +--+=得()()f x t f x t -+=+，可知()f x 关于直线x t =对称，所以2,62t k k Z πππ+=+∈，则,26k t k Z ππ=+∈，即t 的最小值为6π．故本题答案选A ． 【评注】求三角函数的周期(1)求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求．(2)三角函数的最小正周期的求法有：①由定义出发去探求；②公式法：化成y ＝A sin(ωx ＋φ)，或y ＝A tan(ωx ＋φ)等类型后，用基本结论T ＝2π|ω|或T ＝π|ω|来确定；③根据图象来判断．(四)利用三角函数的最值求参数的值．例 4. 函数()()2s i n 2,c o s 223(0)36f x x g x m x m m ππ⎛⎫⎛⎫=+=--+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,对任意10,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,存在20,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得()()12g x f x =成立, 则实数m 的取值范围是 ．解：依题意可知()()g x f x ⊆，52,,2,336663x x ππππππ⎡⎤⎡⎤+∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故 ()[]()31,2,3,32m f x g x m ⎡⎤∈∈--⎢⎥⎣⎦，所以331232mm ⎧-≥⎪⎨⎪-≤⎩，解得41,3m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 【评注】求三角函数的值域常见的有以下几种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域； (3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域．1．若()2cos()f x x m ωφ=++，对任意实数t 都有()()4f t f t π+=-，且()18f π=-．则实数m 的值等于（ ）A ．1±B ．-3或 1C ．3±D ．-1或32. 函数sin(2)3y x π=-与2cos(2)3y x π=+的图象关于直线x a =对称，则a 可能是（ ） A ．24π B ．12π C ．8πD ．1124π3. 将函数()2cos 2f x x =的图象向右平移6π个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和72,6a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦4. 若函数()()()()()1cos sin cos sin 3sin cos 412f x x x x x a x x a x=-++-+-在02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ．117⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．117⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， C.1(][1)7-∞-+∞，， D ．[1)+∞，5. 函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线8π-=x 对称，则a 的值为（ ）A ．1B ．2-C ．2D ．1-6. 已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，直线6x π=是它的一条对称轴，且2,03π⎛⎫⎪⎝⎭是离该轴最近的一个对称中心，则ϕ=（ ） A ．4π B ．3π C ．2π D ．34π7. 已知函数)0)(cos 3(sin cos )(>+=ωωωωx x x x f ，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有)2016()()(00π+≤≤x f x f x f 成立，则ω的最小值为（ ） A ．40321 B ．π40321 C ．20161D ．π201618. 将函数)32cos(3π+=x y 的图像向右平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于原点对称,则m 的最小值是 A ．4π B ．3π C ．56π D ．125π9. 函数()f x 是R 上的增函数，且(s i n )(c o s )(s i n )(c o s )f f f f ωωωω+->-+，其中ω为锐角，并且使得函数()s i n ()4g x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是 ．10. 已知()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω= .11. 已知函数()()sin 0,463f x x f f πππωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω=___________．12. 已知函数()23cos 2f x x =++．（1）当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()y f x =的值域；（2）已知0ω>，函数()212x g x f ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()g x 在区间2,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，求ω的最大值．13. 已知函数21()cos cos 2f x x x x ωωω=+-（0ω>），其最小正周期为2π． （1）求()f x 在区间,84ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的减区间； （2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象，若关于x 的方程()0g x k +=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数根，求实数k 的取值范围．14. 已知函数()23cos cos 2f x x x x =++. （1）当63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，求函数()y f x =的值域；（2）已知0ω>，函数()212x g x f ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()g x 在区间236ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数，求ω的最大值．15. 函数()s i n()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><在它的某一个周期内的单调减区间是511[,]1212ππ． （1）求()f x 的解析式；（2）将()y f x =的图象先向右平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为()g x ，若对于任意的3[,]88x ππ∈，不等式|()|1g x m -<恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案1. 【答案】B 【解析】2()()428f tf t πππωϕω+=-⇒,又()()()(0)2cos()2cos cos 0sin 11344f t f t f f m m πππϕϕϕϕ+=-⇒=⇒++=+⇒=⇒=±⇒或-，故选B ． 2. 【答案】A3. 【答案】A【解析】由题意知函数()g x 2cos 23x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，周期为π，若函数()g x 在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和72,6a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单 调递增，则72,623a a πππ-≤≥，由四个选项可排除B ，C ，D.故选A. 4. 【答案】 D【解析】由题可知()()'sin 23cos sin 41f x x a x x a =-+++- ()()2cos sin 3cos sin 40x x a x x a =-++++≥对02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，恒成立．∵c o s i n 2s i n4x x π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，∴当 02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，1cos sin 1x -≤+≤．令()()23411g t t at a t =-++-≤≤，欲使()0g t ≥恒成立，只需()()1010g g ⎧-≥⎪⎨≥⎪⎩，即()()21314011340a a a a a ⎧--+⨯-+≥⎪⇒≥⎨-++≥⎪⎩．5. 【答案】D 【解析】()ϕ++=x a y 2sin 12，a=ϕtan ，当8π-=x 时，Z k k ∈+=+⎪⎭⎫⎝⎛⨯,28-2ππϕπ,解得：Z k k ∈+=,43ππϕ,a =-=1tan ϕ，故选D ．6. 【答案】B7. 【答案】 A【解析】利用二倍角公式，化简()1sin 232f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，对任意的实数x ，都有 )2016()()(00π+≤≤x f x f x f 成立,也即最小值为0()f x ，最大值为0(2016)f x π+，最小就是半个周期， 即2016,40322T T ππ==，214032,24032T ππωω===． 8. 【答案】 D【解析】平移为：3cos[2()]3cos(22)33y x m x m ππ=-+=+-，它是奇函数，则0x =时，3cos(2)03y m π=-=，2,32m k k Z πππ-=+∈，,212k m k Z ππ=--∈，因为0m >，最小的m 为521212πππ-=．故选D ．9. 【答案】5(,]44π【解析】(sin )(cos )(sin )(cos )sin cos (,)42f f f f ππωωωωωωω+->-+⇒>⇒∈因为2(,)(,)(,2)42444244x ππωππππππωωππ+∈++∈+∈， 所以315(,)(,)[,]2442224πωππππωπω++∈⇒∈，综上可得ω的取值范围是5(,]44π 10. 【答案】143【解析】由题意得，)(x f 的图象关于直线4π=x 对称，那么1)34cos()4(-=+=ππωπf ，即)(3108z k k ∈-=ω，再结合ωπππ=<-243T ,得120<<ω，又因为)(3108z k k ∈-=ω，则当1=k ，ω 符合题意，即314=ω. 11. 【答案】112. 【解析】（1）∵()1c o s23i n2s i n 22226x f x x x π+⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．2分 ∵,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴1sin2126x π⎛⎫-≤+≤⎪⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．4分 ∴函数()y f x =的值域为3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）()sin 22123x g x f x ωππω⎛⎫⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 当22,,,3633363x x πππωππωππω⎡⎤⎡⎤∈-+∈-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∵()g x 在2,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，0ω>． ∴2,2,2,336322k k k Z ωππωππππππ⎡⎤⎡⎤-++⊆-++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 即223322632k k ωππππωππππ⎧-+≥-+⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，化简得534112k k ωω⎧≤-⎪⎨⎪≤+⎩， ∵0ω>，∴15,1212k k Z -<<∈，∴0k =，解得1ω≤，因此ω的最大值为1．．．．．．．．．．．．12分（2）将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到sin(2)6y x π=+，再将s i n (2)6y x π=+的图象向右平移4π个单位，得到()s i n (2)3g x x π=-．因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 若关于x 的方程()0g x k +=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数根， 即函数()y g x =的图象与直线y k =-在区间上只有一个交点，所以22k -≤-<或1k -=，即22k -<≤或1k =-． 14. 【解析】（1）()1cos 232sin 22226x f x x x π+⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭． ∵63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，∴52666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，，∴1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭． ∴函数()y f x =的值域为332⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （2）()sin 22123x g x f x ωππω⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当236x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，233363x πωππωππω⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，， ∵()g x 在236ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数，且0ω>， ∴222Z 336322k k k ωππωππππππ⎡⎤⎡⎤-++⊆-++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，． 即223322632k k ωππππωππππ⎧-+≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，化简得534112k k ωω⎧≤-⎪⎨⎪≤+⎩， ∵0ω>，∴151212k -<<，Z k ∈，∴0k =，解得1ω≤，因此，ω的最大值为1 ，。

课后素养落实(十九) 余弦定理、正弦定理的应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC 的长度为4 m ，A ＝30°，则其跨度AB 的长为( )A ．12 mB ．8 mC ．3 3 mD ．4 3 mD 〖由题意知，A ＝B ＝30°， 所以C ＝180°－30°－30°＝120°， 由正弦定理得，AB sin C ＝AC sin B，即AB ＝AC ·sin C sin B ＝4·sin 120°sin 30°＝43(m)．〗2．如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，李宁同学首先选定了与A ，B 不共线的一点C (△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c )，然后给出了三种测量方案：①测量A ，C ，b ；②测量a ，b ，C ；③测量A ，B ，a ．则一定能确定A ，B 间的距离的所有方案的序号为( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③D 〖由题意可知，在①②③三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB ．故选D ． 〗3．在地面上点D 处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A 与底部B 的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D 点20 m ，则建筑物高度为( )A ．20 mB ．30 mC ．40 mD ．60 m C 〖如图，设O 为顶端在地面的射影，在Rt △BOD 中，∠ODB ＝30°， OB ＝20，BD ＝40，OD ＝203， 在Rt △AOD 中， OA ＝OD ·tan 60°＝60， ∴AB ＝OA －OB ＝40(m)．〗4．如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 在水平面上，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD 的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° B 〖∵AD 2＝602＋202＝4 000， AC 2＝602＋302＝4 500， 在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AD 2＋AC 2－CD 22AD ·AC ＝22，∠CAD ∈(0°，180°)，∴∠CAD ＝45°．〗5．如图所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB ＝BC ＝60 m ，则建筑物的高度为( )A ．15 6 mB ．20 6 mC ．25 6 mD ．30 6 mD 〖设建筑物的高度为h ，由题图知， P A ＝2h ，PB ＝2h ，PC ＝233h ，∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理， 得cos ∠PBA ＝602＋2h 2－4h 22×60×2h ，①cos ∠PBC ＝602＋2h 2－43h 22×60×2h ．②∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°， ∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC ＝0．③ 由①②③，解得h ＝306或h ＝－306(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m ．〗 二、填空题6．若两人用大小相等的力F 提起重为G 的货物，且保持平衡，则两力的夹角θ的余弦值为________．G 2－2F 22F 2〖如图，由平行四边形法则可知，|OA →|＝G ，在△AOB 中，由余弦定理可得 |OA →|2＝F 2＋F 2－2F ·F cos(π－θ)． ∵|OA →|＝G ，∴2F 2(1＋cos θ)＝G 2， ∴cos θ＝G 2－2F 22F 2．〗7．如图所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别是75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于________ m ．120(3－1) 〖由题意可知，AC ＝60sin 30°＝120． ∠BAC ＝75°－30°＝45°，∠ABC ＝180°－45°－30°＝105°，所以sin ∠ABC ＝sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24．在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BC∠BAC，于是BC ＝120×222＋64＝24022＋6＝120(3－1)(m)．〗8．如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．3 〖∵sin ∠BAC ＝sin(90°＋∠BAD ) ＝cos ∠BAD ＝223，∴在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ， ∴BD 2＝18＋9－2×32×3×223＝3，∴BD ＝3．〗 三、解答题9．如图所示，一条河自西向东流淌，某人在河南岸A 处看到河北岸两个目标C ，D 分别在北偏东45°和北偏东30°方向，此人向东走300米到达B 处之后，再看C ，D ，则分别在北偏西15°和北偏西60°方向，求目标C ，D 之间的距离．〖解〗 由题意得，在△ABD 中，因为∠DAB ＝60°，∠DBA ＝30°，所以∠ADB ＝90°，在Rt △ABD 中，因为AB ＝300，所以BD ＝300·sin 60°＝1503，在△ABC 中，因为∠CAB ＝45°，∠ABC ＝75°，所以∠ACB ＝60°．由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠CAB，所以BC ＝30032×22＝1006，在△BCD 中，因为BC ＝1006，BD ＝1503，∠CBD ＝45°，由余弦定理得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos ∠CBD ＝37 500， 所以CD ＝5015．所以目标C ，D 之间的距离为5015米．10．在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ．(1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，求△ABC 周长的取值范围．〖解〗 (1)由题意知1－sin 2A ＝sin 2B ＋1－sin 2C ＋sin A sin B ， 即sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－sin A sin B ， 由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12，又∵0<C <π， ∴C ＝2π3．(2)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2，∴a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，则△ABC 的周长为L ＝a ＋b ＋c ＝2(sin A ＋sin B )＋3＝2⎣⎡⎦⎤sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋3． ∵0<A <π3，∴π3<A ＋π3<2π3， ∴32<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3≤1， ∴23<2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋3≤2＋3， ∴△ABC 周长的取值范围是(23，2＋3〗．11．(多选题)某人在A 处向正东方向走x km 后到达B 处，他向右转150°，然后朝新方向走3 km 到达C 处，结果他离出发点恰好 3 km ，那么x 的值为( )A ． 3B ．2 3C ．3 3D ．3AB 〖由题意得∠ABC ＝30°，由余弦定理，得 cos 30°＝x 2＋9－36x，解得x ＝23或x ＝3．故选AB ．〗12．如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB 的高度，在塔的同一侧选择C ，D 两个观测点，且在C ，D 两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD ＝120°，C ，D 两地相距500 m ，则电视塔AB 的高度是( )A ．100 2 mB ．400 mC ．200 3 mD ．500 mD 〖设AB ＝x ，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°，∴BC ＝AB ＝x ．在Rt △ABD 中，∠ADB ＝30°，∴BD ＝3x ．在△BCD 中，∠BCD ＝120°，CD ＝500 m ，由余弦定理得(3x )2＝x 2＋5002－2×500x cos 120°，解得x ＝500 m ．〗13．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为________小时．1 〖设A 地东北方向上存在点P 到B 的距离为30千米，AP ＝x ，在△ABP 中，PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB ·cos A ，即302＝x 2＋402－2x ·40cos 45°，化简得x 2－402x ＋700＝0， 所以|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝400， |x 1－x 2|＝20，即图中的CD ＝20(千米)， 故t ＝CD v ＝2020＝1(小时)．〗14．如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，D 为BC 边上的点，E 为AD 上的点，且AE ＝8，AC＝410，∠CED ＝π4，则CE ＝________；若CD ＝5，则cos ∠DAB ＝________．4243－310 〖由题意可得∠AEC ＝π－π4＝3π4， 在△AEC 中，由余弦定理得AC 2＝AE 2＋CE 2－2AE ·CE ·cos ∠AEC ， 即160＝64＋CE 2＋82CE ， 整理得CE 2＋82CE －96＝0， 解得CE ＝42(负值舍去)． ∵CD ＝5，∴在△CDE 中，由正弦定理得 CE sin ∠CDE ＝CD sin ∠CED，即42sin ∠CDE＝5sin π4，所以sin ∠CDE ＝45．因为点D 在BC 边上， 所以∠CDE >∠B ＝π3，而45<32，所以∠CDE 只能为钝角， 所以cos ∠CDE ＝－35，所以cos ∠DAB ＝cos ⎝⎛⎭⎫∠CDE －π3＝cos ∠CDE cos π3＋sin ∠CDE sin π3＝－35×12＋45×32＝43－310．〗15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋C2＝b sin A ．(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 〖解〗 (1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A ．因为sin A ≠0，所以sin A ＋C2＝sin B ．由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2．因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，又0°<B <180°，因此B ＝60°．(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a ． 由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°．由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°＜C <90°，故12＜a ＜2，从而38＜S △ABC ＜32．因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎫38，32．。

三角函数与解三角形综合问题一、三角函数综合问题【知识要点】1．掌握三角函数b x A y ++=)sin(ϕω的图象与性质 2．两角和与差的三角函数公式(1)()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±(2)()βαβαβαsin sin cos cos cos =±3．二倍角公式（降角升幂）： (1)αααcos sin 22sin =(2)ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=4．降幂公式（降幂升角） (1)ααα2sin 21cos sin =； (2)21cos 2sin2αα-=； (3)21cos 2cos 2αα+=。

5．辅助角公式sin cos )a x b x x φ+=+【基础训练】1. 已知54)sin(=+απ，且α是第四象限的角，则=-)2cos(πα（ ） A. 53- B.53 C.53± D.542. =-8sin 8cos44ππ（ ） A ．0B ．22C ．1D ．－22 3. 已知54sin -=α，⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πα，则=αtan 。

4. 函数)62sin(π-=x y 的图像的对称轴方程是 。

5. =︒-︒10cos 310sin 1 .【典例精析】例1．已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-.(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.例2．已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中(0,)2πθ∈．(1)求θsin 和θcos 的值；(2)若10sin()2πθϕϕ-=<<，求cos ϕ的值．例3．已知函数)20,0,)(sin()(πϕωϕω<<>∈+=R x x A x f 的部分图像如图所示。