2008年全国高中数学联合竞赛试题与答案

2008年全国高中数学联赛受中国数学会委托，2008年全国高中数学联赛由重庆市数学会承办。

中国数学会普及工作委员会和重庆市数学会负责命题工作。

2008年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。

全卷包括6道选择题、6道填空题和3道大题，满分150分。

答卷时间为100分钟。

全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。

全卷包括3道大题，其中一道平面几何题，试卷满分150分。

答卷时问为120分钟。

一 试一、选择题（每小题6分，共36分）1．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ）。

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）32．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）。

（A ）[1,2)- （B ）[1,2]- （C ）[0,3] （D ）[0,3)3．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 （ ）。

（A ）24181 （B ）26681 （C ）27481（D ） 6702434．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为 （ ）。

（A ）764 cm 3或586 cm 3 （B ） 764 cm 3（C ）586 cm 3或564 cm 3 （D ） 586 cm 3 5．方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为 （ ）。

2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本题满分30分，每小题6分）1. 如果实数m ，n ，x ，y 满足a n m =+22，b y x =+22，其中a ，b 为常数，那么mx +ny 的最大值为答：[B]A. 2b a + B.ab C.222b a + D. 222b a + 解 由柯西不等式ab y x n m ny mx =++≤+))(()(22222；或三角换元即可得到ab ny mx ≤+，当2a n m ==，2b y x ==时，ab ny mx =+. 选B.2. 设)(x f y =为指数函数x a y =. 在P (1,1)，Q (1,2)，M (2,3)，⎪⎭⎫⎝⎛41,21N 四点中，函数)(x f y =与其反函数)(1x f y -=的图像的公共点只可能是点 答：[D]A. PB. QC. MD. N 解 取161=a ，把坐标代入检验，4116121=⎪⎭⎫⎝⎛ ，而2116141=⎪⎭⎫ ⎝⎛，∴公共点只可能是 点N . 选D.3. 在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比 数列，那么zy x ++的值为答：[A]A. 1B. 2C. 3D. 41 2 0.5 1xyz解 第一、二行后两个数分别为2.5，3与1.25，1.5；第三、四、五列中的5.0=x ，165=y ，163=z ，则1=++z y x . 选A. 4. 如果111C B A ∆的三个内角的余弦值分别是222C B A ∆的三个内角的正弦值，那么答：[B]A. 111C B A ∆与222C B A ∆都是锐角三角形B. 111C B A ∆是锐角三角形，222C B A ∆是钝角三角形C. 111C B A ∆是钝角三角形，222C B A ∆是锐角三角形D. 111C B A ∆与222C B A ∆都是钝角三角形解 两个三角形的内角不能有直角；111C B A ∆的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若222C B A ∆是锐角三角形，则不妨设cos 1A =sin 2A =cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12A π， cos 1B =sin 2B =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-22A π，cos 1C =sin 2C =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-12C π.则212A A -=π，212B B -=π，212C C -=π，即 )(23222111C B A C B A ++-=++π，矛盾. 选B. 5. 设a ，b 是夹角为30°的异面直线，则满足条件“α⊆a ，β⊆b ，且βα⊥”的平面α，β答： [D]A. 不存在B. 有且只有一对C. 有且只有两对D. 有无数对解 任作a 的平面α，可以作无数个. 在b 上任取一点M ，过M 作α的垂线. b 与垂线确定的平面β垂直于α. 选D.二、填空题（本题满分50分，每小题10分）6. 设集合[]{}{}222<==-=x x B x x x A 和，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则{}3,1-=B A .解 ∵2<x ，[]x 的值可取1,0,1,2--.当[x ]=2-，则02=x 无解； 当[x ]=1-，则12=x ，∴x =1-； 当[x ]=0，则22=x 无解； 当[x ]=1，则32=x ，∴3=x . 所以31或-=x .7. 同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是21691=P (结果要求写成既约 分数）.解 考虑对立事件，216916513=⎪⎭⎫⎝⎛-=P .8. 已知点O 在ABC ∆内部，022=++OC OB OA .OCB ABC ∆∆与的面积之比为5：1.解 由图，ABC ∆与OCB ∆的底边相同，高是5：1. 故面积比是5：1.9. 与圆0422=-+x y x 外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为)0(82>=x x y 或 )0(0<=x y .解 由圆锥曲线的定义，圆心可以是以(2,0)为焦点、2-=x 为准线的抛物线上的点；若切点是原点，则圆心在x 轴负半轴上.所以轨迹方程为)0(82>=x x y ，或)0(0<=x y .10. 在ABC ∆中，若tan A tan B =tan A tan C +tanctan B ，则 222cb a += 3 . 解 切割化弦，已知等式即CB CB C A C A B A B A cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin +=，亦即C B A C B A cos )sin(sin sin sin +=，即C C B A 2sin cos sin sin =1，即1cos 2=c C ab . 所以，122222=-+c c b a ，故3222=+cb a .三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分） 11. 已知函数c bx x x f ++-=22)(在1=x 时有最大值1，n m <<0，并且[]n m x ,∈时，)(x f 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡m n 1,1. 试求m ，n 的值.解 由题 1)1(2)(2+--=x x f ， ……5分1)(≤∴x f ，11≤∴m，即1≥m ，[]n m x f ,)(在∴上单调减， m m m f 11)1(2)(2=+--=∴且nn n f 11)1(2)(2=+--=. ……10分m ∴，n 是方程xx x f 11)1(2)(2=+--=的两个解，方程即 )122)(1(2---x x x =0，解方程，得解为1，231+，231-. n m <≤∴1，1=∴m ，231+=n . ……15分12. A 、B 为双曲线19422=-y x 上的两个动点，满足0=⋅OB OA 。

2008年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 函数f (x )＝cos 4x ＋sin 2x (x ∈R )的最小正周期是( )A ．π 4B ．π2C ．πD ．2π2. 已知平面上点的集合M ＝{(x ，y )|y ＝2x －x 2}，N ＝{(x ，y )|y ＝k (x ＋1)}. 当M ∩N ≠∅时，k 的取值范围是( )A ．[－33，33] B ．[0，33] C ．[－33，0] D ．[33，＋∞) 3. “x 2＋y 2＜4”是“xy ＋4＞2x ＋2y ”成立的( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分必要条件4. 已知关于x 的方程x 2－2ax ＋a 2－4a ＝0至少有一个模为3的复数根，则实数a 的所有取值为( ) A ．1，9 B ．－1，9，2－13 C ．1，9，2＋13 D ．1，9，2－135. 设f (x )是一个三次函数，f '(x )为其导函数. 如图所示的是y ＝xf '(x )的图像的一部分. 则f (x )的极大值与极小值分别是( )A ．f (1)与f (－1)B ．f (－1)与f (1)C ．f (－2)与f (2)D ．f (2)与f (－2)6. 已知等比数列{a n }的公比q ＜0，其前n 项和为S n ，则a 9S 8与a 8S 9的大小关系是( )A ．a 9S 8＞a 8S 9B ．a 9S 8＜a 8S 9C ．a 9S 8＝a 8S 9D ．与a 1的值有关二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 集合A ＝{x |x ＝[5k6]，k ∈Z ，100≤k ≤999}，其中[x ]表示不大于x 的最大整数.则集合A 的元素个数为 ．8. 已知数列{a n }满足a 1＝5，a n ＝2a n －1－1a n －1－ 2(n ≥2，n ∈N *），则其前100项的和是 ．9. 在正八边形的八个顶点中任取三个顶点，则这三个点成为一个直角三角形的顶点的概率是 ．10. 关于x 的方程x 2＋a |x |＋a 2－3＝0(a ∈R )有惟一的实数解，则a ＝ ．11. 直线L ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0被圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25截得的最短弦长为 ．12. 设以F 1(－1，0)、F 2(1，0)为焦点的椭圆的离心率为e . 以F 1为顶点、F 2为焦点的抛物线与该椭圆的一个交点是P . 若|PF 1||PF 2|＝e ，则e 的值为 ．三、 解答题（本题满分60分，每小题20分）13．已知函数f (x )＝x －k x 2－1(x ≥1)，其中k 为给定的实数，0＜k ＜1. 试求f (x )的值域.14．从双曲线x 2 9 －y 216＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝9的切线，切点为T . 延长FT 交双曲线右支于点P . 若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，求|MO |－|MT |的值.15．已知△ABC 的外接圆的直径为25，三条边的长度都是整数，圆心O 到边AB 、BC 的距离也都是整数，AB ＞BC . 求△ABC 的三边的长度.OABCDE2008年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷加 试一. (本题满分50分)已知点O 为凸四边形ABCD 内的一点，AO ＝OB ，CO ＝OD ，∠AOB ＝∠COD ＝120°. 点E 、F 、G 分别是线段AB 、BC 、CD 的中点，求证：∆EFG 为正三角形.二. (本题满分50分)已知a ，b ，c ，d 为正实数，a ＋b ＋c ＋d ＝4，求证：a 2bc ＋b 2da ＋c 2da ＋d 2bc ≤4.三. (本题满分50分)求具有下述性质的最小正整数n ：存在一个n ＋1项的数列a 0，a 1，…，a n ，满足a 0＝0，a n ＝2008，且|a i －a i －1|＝i 2，i ＝1，2，…，n .E F GB CD A O2008年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 函数f (x )＝cos 4x ＋sin 2x (x ∈R )的最小正周期是( )A ．π 4B ．π2 C ．π D ．2π选B ．解：法一 由f (x ＋π2 )＝sin 4x ＋cos 2x ＝sin 4x ＋cos 4x ＋cos 2x sin 2x ＝cos 4x ＋sin 2x ＝f (x )；又f (0)＝1、f (π 4 )＝1 4 ＋12≠f (0)；选B .法二 由f (x )＝cos 4x ＋1－cos 2x ＝cos 2x (cos 2x －1)＋1＝1－cos 2x sin 2x ＝1－1 4 sin 22x ＝1 8 cos4x ＋78 ．可知f (x )的最小正周期为2π 4 ＝π2. 选B .2. 已知平面上点的集合M ＝{(x ，y )|y ＝2x －x 2}，N ＝{(x ，y )|y ＝k (x ＋1)}. 当M ∩N ≠∅时，k 的取值范围是( )A ．[－33，33] B ．[0，33] C ．[－33，0] D ．[33，＋∞) 选B ．解：集合M 的图形为以(1，0)为圆心、1为半径的圆的上半圆，集合N 的图形为过(－1，0)的直线．若直线与圆有公共点，则易得其倾斜角在[0，π6]内，故k ∈[0，33]．3. “x 2＋y 2＜4”是“xy ＋4＞2x ＋2y ”成立的( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分必要条件 选A ．解：由xy ＋4＞2x ＋2y ⇔(x －2)(y －2)＞0⇔x ＜2，y ＜2或x ＞2，y ＞2； 而 x 2＋y 2＜4⇒－2＜x ＜2且－2＜y ＜2⇒xy ＋4＞2x ＋2y .4. 已知关于x 的方程x 2－2ax ＋a 2－4a ＝0至少有一个模为3的复数根，则实数a 的所有取值为( ) A ．1，9 B ．－1，9，2－13 C ．1，9，2＋13 D ．1，9，2－13 选D ．解：将方程写为(x －a )2＝4a . 当a ≥0时，此时方程有实根，该实根之模为3，故方程有一根为3或－3. 代入，由(a ±3)2＝4a ，得a ＝1或9；当a ＜0时，得x ＝a ±2|a |i ，故|x |2＝a 2－4a ＝9，得a ＝2－13．故选D .5. 设f (x )是一个三次函数，f '(x )为其导函数. 如图所示的是y ＝xf '(x )的图像的一部分. 则f (x )的极大值与极小值分别是( )A ．f (1)与f (－1)B ．f (－1)与f (1)C ．f (－2)与f (2)D ．f (2)与f (－2)选C ．解：如图，y ＝xf '(x )有三个零点，x ＝0，±2； 因为f '(x )为二次函数，所以它有两个零点，x ＝±2.由图像易知，当0＜x ＜2时，f '(x )＜0；当x ＞2时，f '(x )＞0. 故f (2)是极小值. 类似地可知，f (－2)是极大值. 选C ．6. 已知等比数列{a n }的公比q ＜0，其前n 项和为S n ，则a 9S 8与a 8S 9的大小关系是( ) A ．a 9S 8＞a 8S 9 B ．a 9S 8＜a 8S 9 C ．a 9S 8＝a 8S 9 D ．与a 1的值有关 选A ．解：a 9S 8－a 8S 9＝a 12q 71－q(q (1－q 8)－(1－q 9))＝－a 12q 7＞0，选A ．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 集合A ＝{x |x ＝[5k6]，k ∈Z ，100≤k ≤999}，其中[x ]表示不大于x 的最大整数.则集合A 的元素个数为 ．填750．解：当k ＝100时，[5k 6 ]＝83，当k ＝999时，[5k6 ]＝832. 又易知，对于100≤k ≤999，有0≤[5(k ＋1) 6]－[5k6]≤1，故A 中元素可以取遍从83到832中的所有整数，所以共有750个元素. 8. 已知数列{a n }满足a 1＝5，a n ＝2a n －1－1a n －1－ 2 (n ≥2，n ∈N *），则其前100项的和是 ．填400 .解：a 1＝5，则a 2＝3，a 3＝5，a 4＝3，数列周期为2，故前100项和是400.9. 在正八边形的八个顶点中任取三个顶点，则这三个点成为一个直角三角形的顶点的概率是 ．填3 7. 解：连接正八边形的三个顶点共可得C 83＝56个三角形，其中4条直径为一边的三角形是直角三角形，共有4×6＝24个直角三角形，所以p ＝37.10. 关于x 的方程x 2＋a |x |＋a 2－3＝0(a ∈R )有惟一的实数解，则a ＝ ．填3.解：f (x )＝x 2＋a |x |＋a 2－3是偶函数，惟一的实数解必为0，所以a 2－3＝0且a ＞0，故a ＝3.11. 直线L ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0被圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25截得的最短弦长为 ．填4 5 .解：直线L 过点D (3，1). 圆心为C (1，2). 最短弦垂直于CD ，且CD 2＝5；又圆的半弦长为25，故弦长为45.12. 设以F 1(－1，0)、F 2(1，0)为焦点的椭圆的离心率为e . 以F 1为顶点、F 2为焦点的抛物线与该椭圆的一个交点是P . 若|PF 1||PF 2|＝e ，则e 的值为 ．填33．解：在抛物线中，p ＝2，准线x ＝－3，|PF 2|就是P 到准线的距离；在椭圆中，|PF 1||PF 2|＝e ，|PF 2|也是P 到左准线的距离，故抛物线准线与椭圆左准线重合，所以a 2 c ＝3. 因为c ＝1，故易知e ＝33.三、 解答题（本题满分60分，每小题20分）13．已知函数f (x )＝x －k x 2－1(x ≥1)，其中k 为给定的实数，0＜k ＜1. 试求f (x )的值域. 解： 当x ＞1时，f (x )的导数是f '(x )＝1－kxx 2－1. ……5分令f '(t )＝0. 因为t ＞1时，解得t ＝11－k 2. ……10分f (t )＝f (11－k 2)……15分当x →＋∞时，f (x )→－∞，所以f (x )的值域为[1－k 2，＋∞). ……20分又解：令x ＝sec θ，θ∈[0，π2)，则x 2－1＝tan θ．f (x )＝u ＝sec θ－k tan θ＝1－k sin θcos θ⇒u cos θ＋k sin θ＝1⇒sin(θ＋φ)＝1u 2＋k 2．其中sin φ＝uu 2＋k 2，cos φ＝ku 2＋k2．又u ＞0．由|sin θ|≤1，得u 2≥1－k 2⇒u ≥1－k 2， 又对于一切不小于1－k 2的u 值，都有1u 2＋k 2≤1，从而存在φ与θ，使sin φ＝u u 2＋k 2，cos φ＝ku 2＋k2，sin(θ＋φ)＝1u 2＋k2成立．从而u ＝sec θ－k tan θ，即存在x ＝sec θ，使x －k x 2－1＝u 成立．故所求值域为[1－k 2，＋∞)14．从双曲线x 2 9 －y 216＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝9的切线，切点为T . 延长FT 交双曲线右支于点P . 若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，求|MO |－|MT |的值.解： 不失一般性，将P 点置于第一象限. 设F '是双曲线的右焦点，连PF '.因为M 、O 分别为FP 与FF '的中点，所以|MO |＝12|PF'|. 又由双曲线的定义得：|PF |－|PF '|＝6，|FT |＝|OF |2－|OT |2＝4. ……10分故|MO |－|MT |＝1 2 |PF '|－|MF |＋|FT |＝12(|PF '|－|PF |)＋|FT |＝－3＋4＝1． ……20分15．已知△ABC 的外接圆的直径为25，三条边的长度都是整数，圆心O 到边AB 、BC 的距离也都是整数，AB ＞BC . 求△ABC 的三边的长度.解： 如图，过圆心O 作AB ，BC 的垂线，垂足为D ，E .设AB ＝a ，BC ＝b ，OD ＝d ，OE ＝e ，则BD ＝a 2 ，BE ＝b2，其中a ，b 、d 、e 都是正整数，且a ＞b ．因DB 2＋OD 2＝OB 2，故a 2＋(2d )2＝252， ①同理， b 2＋(2e )2＝252． ② 取不定方程 x 2＋(2y )2＝252．得两组正整数解(x ，y )＝(15，10)，(7，12)． ……10分 由a ＞b ，故得a ＝15，b ＝7．即AB ＝15，BC ＝7，而OD ＝10，OE ＝12．……15分又因OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，所以O ，D ，B ，E 共圆. 由托勒密定理，DE ·OB ＝OD ·BE ＋OE ·DB ，得DE ＝OD ·BE ＋OE ·DBOB＝10.由于D 、E 分别为AB 、BC 中点，所以DE 是△ABC 的中位线，因此AC ＝20，即三角形三边的长度分别为15，7，20. ……20分又解：cos ∠OBA ＝3 5 ，sin ∠OBA ＝4 5 ，cos ∠OBC ＝7 25 ，sin ∠OBC ＝2425 ．∴ cos ∠ABC ＝3 5 ×7 25 －4 5 ×24 25 ＝－35．∴AC 2＝152＋72＋2×15×7×35＝400 AC ＝20．OABCDE2008年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准加 试一. (本题满分50分)已知点O 为凸四边形ABCD 内的一点，AO ＝OB ，CO ＝OD ，∠AOB ＝∠COD ＝120°. 点E 、F 、G 分别是线段AB 、BC 、CD 的中点，求证：∆EFG 为正三角形.证：连AC 、BD ，则EF ∥AC ，EF ＝1 2 AC ；FG ∥BD ，FG ＝12B D ．因为OA ＝OB ，OC ＝OD ，且∠AOB ＝∠COD ＝120°，所以以O 为心、逆时针旋转120°，则△AOC 成为△BOD .……20分 因此AC ＝BD ，并且BD 逆时针转到AC 的角为60°，从而EF ＝FG ，并且∠GFE ＝60°. 故△EFG 为正三角形. ……50分 注 若不用旋转的方法，证法如下:在△AOC 与△BOD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOC ＝∠BOD ＝120°＋∠BOC ；所以，△AOC ≌△BOD ，∴AC ＝BD ，并且∠OAC ＝∠OBD . ……20分 设AC 分别交BD 、BO 于P 、Q ，则∠DP A ＝∠OBD ＋∠PQB ＝∠OAC ＋∠OQA ＝180°－∠BOA ＝60°，由此易知∠GFE ＝∠DP A ＝60°. 又易知EF ＝FG ，因此，△EFG 为正三角形. ……50分又注：该证明是在A 、O 、C 不共线的假设下证明的，若A 、O 、C 共线，则△AOC 、△BOD 均不存在，故应补充证明：若A 、O 、C 共线，则∠BOC ＝60°，于是B 、O 、D 也共线．显然AC ＝BD ，于是易得EF ＝FG ，且∠EFG ＝∠BOC ＝60°．从而△EFG 为正三角形．证法三：前已证△AOC ≌△BOD ，得AC ＝B D ．∠OBP ＝∠OAP ． 取AD 中点K ，连EK 、GK ．则得EFGK 为菱形．且B 、P 、O 、A 共圆，∴ ∠APB ＝∠AOB ＝120°，故∠BPC ＝60°，∴ ∠EFG ＝60°，从而△EFG 为正三角形．证法四：前已证△AOC ≌△BOD ，得AC ＝B D ．取OB 、OC 中点K 、L ，连OE 、OG 、KE 、KF 、LG 、LF ．由已知得，OE ⊥AB ，∠OBE ＝30°，∴ EK ＝OE ＝1 2 OB ，同理，OG ＝OL ＝12 O C ．∵ F 、K 是OB 、OC 中点，FK ＝12OC ＝OG ，∵ ∠EOG ＝∠EOB ＋∠BOC ＋∠COG ＝60°＋∠BOC ＋60°＝120°＋∠BOC ＝∠AOC ＝∠EKF ，同理，∠FLG ＝∠EOG ，∴ △EKF ≌△EOG ，∴ EF ＝EG ，同理，FG ＝EG ．从而△EFG 为正三角形． 证法五：以O 为原点，与AB 平行的直线为实轴建立复平面． 设点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 表示复数a 、b 、c 、d 、e 、f ．则b ＝aω，d ＝cω(其中ω＝cos 2π 3 ＋i sin 2π3)．P Q OAD CB GF EK E F GB CD A O P K LEF GB CDAO于是，e ＝1 2 (a ＋b )，f ＝1 2 (b ＋c )，g ＝12(c ＋d )．向量→FE 表示复数e －f ＝1 2 (a －c )，→FG ＝g －f ＝1 2 (d －b )＝－1 2 (a －c )ω．∴e －fg －f＝－1ω＝－[cos(－2π 3 )＋i sin(－2π 3 )]＝cos π 3 ＋i sin π3 ．∴ 向量→FE 由→FG 旋转π 3得到，故△EFG 为正三角形．二. (本题满分50分)已知a ，b ，c ，d 为正实数，a ＋b ＋c ＋d ＝4，求证：a 2bc ＋b 2da ＋c 2da ＋d 2bc ≤4.证明：a 2bc ＋b 2da ＋c 2da ＋d 2bc ＝ab (ac ＋bd )＋cd (ac ＋bd )＝(ab ＋cd )(ac ＋bd )≤(ab ＋cd ＋ac ＋bd 2)2……20分＝[(a ＋d )(b ＋c )]2 4 ≤1 4 (a ＋b ＋c ＋d 2)4＝4． ……50分三. (本题满分50分)求具有下述性质的最小正整数n ：存在一个n ＋1项的数列a 0，a 1，…，a n ，满足a 0＝0，a n ＝2008，且|a i －a i －1|＝i 2，i ＝1，2，…，n .解：若n ≤17，则a n ＝i ＝1Σn (a i －a i －1)＋a 0≤i ＝1Σn|a i －a i －1|＝1 6 n (n ＋1)(2n ＋1)≤16×17×18×35＜2008．矛盾. ……15分若n ＝18，则a n ＝i ＝1Σn(a i－ai －1)＋a 0≡i ＝1Σn|a i－ai －1|≡i ＝1Σni 2≡1(mod 2)这与a n ＝2008矛盾. ……30分若n ＝19，注意到 2008＝12＋22＋…＋192－2(22＋52＋92＋112)，取a 0，a 1，…，a 19如下：0，1，－3，6，22，－3，33，82，146，65，165，44，188，357，553，778，1034，1323，1647，2008． 由此知n ＝19可行.综上，n min ＝19. ……50分 注 例子不惟一，如：2008＝12＋22＋…＋192－2(12＋32＋102＋112)＝12＋22＋…＋192－2(22＋32＋42＋92＋112)． ＝12＋22＋…＋192－2(12＋32＋52＋142) ＝12＋22＋…＋192－2(22＋32＋72＋132)等等．。

2008年全国高中数学联赛受中国数学会委托，2008年全国高中数学联赛由重庆市数学会承办。

中国数学会普及工作委员会和重庆市数学会负责命题工作。

2008年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。

全卷包括6道选择题、6道填空题和3道大题，满分150分。

答卷时间为100分钟。

全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。

全卷包括3道大题，其中一道平面几何题，试卷满分150分。

答卷时问为120分钟。

一 试4．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为 （ ）。

（A ）764 cm 3或586 cm 3 （B ） 764 cm 3（C ）586 cm 3或564 cm 3 （D ） 586 cm 3 5．方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为 （ ）。

（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 46．设ABC ∆的内角A B C 、、所对的边a b c 、、成等比数列，则的取值范围是（ ）。

（A ）(0,)+∞ （B ） 51+ （C ）5151()-+ （D ）51)-+∞ 二、填空题（每小题9分，共54分）11．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足(2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f = .12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 .三、解答题（每小题20分，共60分）13．已知函数|sin |)(x x f =的图像与直线y kx = )0(>k 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：2cos 1sin sin 34ααααα+=+． 14．解不等式121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．加 试（A 卷）一、（本题满分50分）如图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠<，P 是平面上的动点，令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅．（1）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C 、、、四点共圆；（2）设E 是ABC ∆外接圆O 的AB上一点，满足：32AE AB =，31BC EC=-，12ECB ECA ∠=∠，又,DA DC 是O 的切线，2AC =，求()f P 的最小值． 二、（本题满分50分）设()f x 是周期函数，T 和1是()f x 的周期且01T <<．证明：（1）若T 为有理数，则存在素数p ，使1p是()f x 的周期； （2）若T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足110n n a a +>>> (1,2,)n =⋅⋅⋅，且每个(1,2,)na n =⋅⋅⋅都是()f x 的周期．三、（本题满分50分）设0k a >，1,2,,2008k =．证明：当且仅当200811k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件： 答一图1（1）010n n x x x +=<<，1,2,3,n =；（2）lim n n x →∞存在； （3）200820071110n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑，1,2,3,n =．2008年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）试题参考答案说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、（本题满分50分）如题一图，ABCD 是圆内接四边形．AC 与BD 的交点为P ，E 是弧AB 上一点，连接EP 并延长交DC 于点F ，点,G H分别在CE ，DE 的延长线上，满足EAG FAD ∠=∠，EBH FBC ∠=∠，求证：,,,C D G H 四点共圆．二、（本题满分50分）求满足下列关系式组 2222,50,x y z z y z ⎧+=⎨<≤+⎩的正整数解组(,,)x y z 的个数．三、（本题满分50分）设0k a >，1,2,,2008k =．证明：当且仅当200811k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件： （ⅰ）010n n x x x +=<<，1,2,3,n =；（ⅱ）lim n n x →∞存在； （ⅲ）200820071110n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑，1,2,3,n =．题一图。

题一图答一图2008年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）试题参考答案说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、（本题满分50分）如题一图，ABCD 是圆内接四边形．AC 与BD 的交点为P ，E 是弧AB 上一点，连接EP 并延长交DC 于点F ，点,G H 分别在CE ，DE 的延长线上，满足EAG FAD ∠=∠，EBH FBC ∠=∠，求证：,,,C D G H 四点共圆．[证] 由已知条件知FAG FAE EAG FAE FAD DAE ∠=∠+∠=∠+∠=∠．又 180DAE DCE ∠+∠=︒， 所以 180FAG DCE ∠+∠=︒， 从而,,,A F C G 四点共圆，此圆记为1Γ．同理可证：,,,B F D H 四点共圆，此圆记为2Γ． 点E 在圆1Γ，2Γ内．延长FE 与圆1Γ相交于点I ，则 IP PF AP PC DP PB ⋅=⋅=⋅， 故,,,B F D I 四点共圆．所以I 在BFD ∆的外接圆上，故I 在2Γ上． 再用相交弦定理： E C E G E F E I E D⋅=⋅=⋅， 故,,,C D G H 四点共圆． 二、（本题满分50分）求满足下列关系式组 的正整数解组(,,)x y z 的个数．[解] 令r y z =-，由条件知050r <≤，方程化为222()2x z r z ++=，即2222x zr r z ++=． （1）因0y z r -=>，故22222z x y z x =+->，从而z x >．设0p z x =->．因此（1）化为22220zp p zr r -+++=． （2）下分r 为奇偶讨论，（ⅰ）当r 为奇数时，由（2）知p 为奇数． 令121r r =+，121p p =+，代入（2）得221111112()10p p zp zr r r +-++++=． （3）（3）式明显无整数解．故当r 为奇数时，原方程无正整数解． （ⅱ）当r 为偶数时，设12r r =，由方程（2）知p 也为偶数．从而可设12p p =，代入（2）化简得2211110p zp zr r -++=． （4）由（4）式有221111()0z p r p r -=+>，故11p r >，从而可设11p r a =+，则（4）可化为2211()0r a za r +-+=，2211220r ar za a +-+=． （5）因21122r z r a a=++为整数，故212a r ． 又1122()z z x p r a >-==+，因此22111()2()r a r za r a a ++=>+，得2212a r <，a <．因此，对给定的11,2,,25r =⋅⋅⋅，解的个数恰是满足条件a 的212r 的正因数a 的个数1()N r ．因212r 不是完全平方数，从而1()N r 为212r 的正因数的个数21(2)r σ的一半．即211()(2)/2N r r σ=．由题设条件，1125r ≤≤．而25以内有质数9个：2，3，5，7，11，13，17，19，23．将25以内的数分为以下八组：：012341{2,2,2,2,2}A =，2{23,25,27,211}A =⨯⨯⨯⨯， 223{23,25}A =⨯⨯， 34{23}A =⨯， 25{23}A =⨯，1{3,5,7,11,13,17,19,23}B =， 222{3,5}B =，3{35,37}B =⨯⨯，从而易知012341()(2)(2)(2)(2)(2)1234515N A N N N N N =++++=++++=，2()(23)46424N A N =⨯⨯=⨯=， 3()9218N A =⨯=， 4()12N A =， 5()10N A =， 1()3824N B =⨯=， 2()5210N B =⨯=， 3()9218N B =⨯=，将以上数相加，共131个．因此解的个数共131． 三、（本题满分50分）设0k a >，1,2,,2008k =．证明：当且仅当200811k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件：（ⅰ）010n n x x x +=<<，1,2,3,n =；（ⅱ）lim n n x →∞存在；（ⅲ）20082007111n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑，1,2,3,n =．[证] 必要性：假设存在{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（iii ）．注意到（ⅲ）中式子可化为 2008111()n n k n k n k k x x a x x -++-=-=-∑，n ∈*N ，其中00x =．将上式从第1项加到第n 项，并注意到00x =得 111222200820082008()()()n n n n x a x x a x x a x x +++=-+-++-．由（ⅱ）可设lim n n b x →∞=，将上式取极限得20081k k b a =<⋅∑，因此200811k k a =>∑．充分性：假设200811k k a =>∑．定义多项式函数如下：20081()1k k k f s a s ==-+∑，[0,1]s ∈，则()f s 在[0,1]上是递增函数，且(0)10f =-<，20081(1)10k k f a ==-+>∑．因此方程()0f s =在[0,1]内有唯一的根0s s =，且001s <<，即0()0f s =．下取数列{}n x 为01nkn k x s ==∑，1,2,n =，则明显地{}n x 满足题设条件（ⅰ），且1000101n nkn k s s x s s +=-==-∑． 因001s <<，故10lim 0n n s +→∞=，因此100000lim lim 11n n n n s s s x s s +→∞→∞-==--，即{}n x 的极限存在，满足（ⅱ）．最后验证{}n x 满足（ⅲ），因0()0f s =，即2008011kk k a s ==∑，从而200820082008101111()()nk n n k n n k k k n k n k k k k x x s a s s a sa x x +-++-===-====-∑∑∑．综上，已证得存在数列{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）．。

2008年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、（本题满分50分）如题一图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠<，P 是平面上的动点，令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅．（Ⅰ）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C ,,,四点共圆； （Ⅱ）设E 是ABC ∆外接圆O 的AB 上一点，满足：AE AB =，1BC EC =，12ECB ECA ∠=∠，又,DA DC 是O的切线，AC =，求()f P 的最小值． [解法一] （Ⅰ）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点P ，有PA BC PC AB PB AC ⋅+⋅≥⋅． 因此 ()f P PA BC PC AB PD CA =⋅+⋅+⋅PB CA PD CA ≥⋅+⋅()PB PD CA =+⋅．因为上面不等式当且仅当,,,P A B C 顺次共圆时取等号，因此当且仅当P 在ABC ∆的外接圆且在AC 上时，()()f P PB PD CA =+⋅．又因PB PD BD +≥，此不等式当且仅当,,B P D 共线且P 在BD 上时取等号．因此当且仅当P 为ABC ∆的外接圆与BD 的交点时，()f P 取最小值min ()f P AC BD =⋅．故当()f P 达最小值时，,,,P A B C 四点共圆．（Ⅱ）记ECB α∠=，则2E C Aα∠=，由正弦定理有sin 2sin 3AE AB αα==，从而s i n 32s i n 2αα=34sin )4sin cos αααα-=，所以2cos )4cos 0αα--=，整理得24cos 0αα-=，解得cos αcos α=， 故30α=，60ACE ∠=． 答一图1由已知1BCEC ==()0sin 30sin EAC EAC∠-∠,有sin(30)(1)sin EAC EAC ∠-=∠，即1cos 1)sin 2EAC EAC EAC∠-∠=∠，整理得1cos 2EACEAC ∠=∠，故tan 2EAC ∠==75EAC ∠=， 从而45E ∠=，45DAC DCA E ∠=∠=∠=，ADC ∆为等腰直角三角形．因AC 1CD =．又ABC ∆也是等腰直角三角形，故BC =，212215BD=+-⋅=，BD =故min ()f P BD AC =⋅= [解法二] （Ⅰ）如答一图2，连接BD 交ABC ∆的外接圆O 于0P 点（因为D 在O 外，故0P 在BD 上）． 过,,A C D 分别作000,,P A PC P D的垂线，两两相交得111A B C ∆，易知0P 在ACD ∆内，从而在111A B C ∆内，记ABC∆之三内角分别为x y z ，，，则0180APC y z x ∠=︒-=+，又因110B C P A ⊥，110B A PC ⊥，得1B y ∠=，同理有1A x ∠=，1C z ∠=， 所以111A B C ∆∽ABC ∆．设11B C BC λ=，11C A CA λ=，11A B AB λ=，则对平面上任意点M ，有 0000()()f P P A BC P D CA PC AB λλ=⋅+⋅+⋅ 011011011P A B C P D C A PC A B =⋅+⋅+⋅ 1112A B C S ∆=111111MA BC MD C A MC A B ≤⋅+⋅+⋅ ()MA BC MD CA MC AB λ=⋅+⋅+⋅ ()f M λ=， 从而 0()()f P f M ≤． 由M 点的任意性，知0P 点是使()f P 达最小值的点． 由点0P 在O 上，故0,,,P A B C 四点共圆． （Ⅱ）由（Ⅰ），()f P 的最小值 11102()A B C f P S λ∆=答一图22ABC S λ∆=，记ECB α∠=，则2ECA α∠=，由正弦定理有sin 2sin 3AE AB αα==2sin 2αα=，34sin )4sin cos αααα-=，所以2cos )4cos 0αα--=，整理得24cos 0αα-=，解得cosαcos α=，故30α=，60ACE ∠=．由已知1BCEC ==()sin 30sin EAC EAC∠-∠,有sin(30)(1)sin EAC EAC ∠-=∠，即1cos 1)sin 2EAC EAC EAC ∠-∠=∠，整理得1cos 2EAC EAC ∠=∠，故tan 2EAC ∠==75EAC ∠=，所以45E ∠=︒，ABC ∆为等腰直角三角形，AC =，1ABC S ∆=，因为145AB C ∠=︒，1B 点在O 上，190AB B ∠=︒，所以11B BDC 为矩形，11B C BD ==故λ=min ()21f P =[解法三] （Ⅰ）引进复平面，仍用,,A B C 等代表,,A B C 所对应的复数．由三角形不等式，对于复数12,z z ，有 1212z z z z +≥+，当且仅当1z 与2z （复向量）同向时取等号．有 P A B C P C A B P A B C P C A B⋅+⋅≥⋅+⋅， 所以 ()()()()A P CBC P B A --+-- ()()()()A P C B C P B A ≥--+-- （1） P C A B C B P A =-⋅-⋅+⋅+⋅ ()()B P C A P B A C =--=⋅， 从而 P A B C P C A B PD C A⋅+⋅+⋅ PB AC PD AC ≥⋅+⋅()PB PD AC =+⋅BD AC ≥⋅． （2）（1）式取等号的条件是复数 ()()A P C B --与()()C P B A -- 同向，故存在实数0λ>，使得()()()()A P C B C P B A λ--=--，A PB AC P C Bλ--=--， 所以 a r g ()a r g ()A PB AC PC B--=--， 向量PC 旋转到PA 所成的角等于BC 旋转到AB 所成的角， 从而,,,P A B C 四点共圆．（2）式取等号的条件显然为,,B P D 共线且P 在BD 上．故当()f P 达最小值时P 点在ABC ∆之外接圆上，,,,P A B C 四点共圆． （Ⅱ）由（Ⅰ）知min ()f P BD AC =⋅． 以下同解法一．二、（本题满分50分）设()f x 是周期函数，T 和1是()f x 的周期且01T <<．证明： （Ⅰ）若T 为有理数，则存在素数p ，使1p是()f x 的周期； （Ⅱ）若T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足110n n a a +>>>(1,2,)n =⋅⋅⋅，且每个(1,2,)n a n =⋅⋅⋅都是()f x 的周期．[证] （Ⅰ）若T 是有理数，则存在正整数,m n 使得nT m=且(,)1m n =，从而存在整数,a b ，使得1ma nb +=． 于是11ma nb a bT a b T m m+==+=⋅+⋅ 是()f x 的周期． 又因01T <<，从而2m ≥．设p 是m 的素因子，则m pm '=，m *'∈N ，从而11m p m'=⋅ 是()f x 的周期．（Ⅱ）若T 是无理数，令111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦， 则101a <<，且1a 是无理数，令21111a a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，……111n n n a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，……．由数学归纳法易知n a 均为无理数且01n a <<．又111n n a a ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦，故11n n n a a a ⎡⎤<+⎢⎥⎣⎦，即111n n n n a a a a +⎡⎤=-<⎢⎥⎣⎦．因此{}n a 是递减数列． 最后证：每个n a 是()f x 的周期．事实上，因1和T 是()f x 的周期，故111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦亦是()f x 的周期．假设k a 是()f x 的周期，则111k k k a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦也是()f x 的周期．由数学归纳法，已证得n a 均是()f x 的周期．三、（本题满分50分）设0k a >，1,2,,2008k =．证明：当且仅当200811k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件：（ⅰ）010n n x x x +=<<，1,2,3,n =；（ⅱ）lim n n x →∞存在；（ⅲ）20082007111n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑，1,2,3,n =．[证] 必要性：假设存在{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（iii ）．注意到（ⅲ）中式子可化为 2008111()n n k n k n k k x x a x x -++-=-=-∑，n ∈*N ，其中00x =．将上式从第1项加到第n 项，并注意到00x =得 111222200820082008()()()n n n n x a x x a x x a x x +++=-+-++-．由（ⅱ）可设lim n n b x →∞=，将上式取极限得 112220082008()()()b a b x a b x a b x =-+-++- 20081122200820081()k k b a a x a x a x ==⋅-+++∑20081k k b a =<⋅∑，因此200811k k a =>∑．充分性：假设200811k k a =>∑．定义多项式函数如下：20081()1k k k f s a s ==-+∑，[0,1]s ∈，则()f s 在[0,1]上是递增函数，且(0)10f =-<，20081(1)10k k f a ==-+>∑．因此方程()0f s =在[0,1]内有唯一的根0s s =，且001s <<，即0()0f s =．下取数列{}n x 为01nkn k x s ==∑，1,2,n =，则明显地{}n x 满足题设条件（ⅰ），且1000101n nkn k s s x s s +=-==-∑． 因001s <<，故10lim 0n n s+→∞=，因此100000lim lim 11n n n n s s s x s s +→∞→∞-==--，即{}n x 的极限存在，满足（ⅱ）．最后验证{}n x 满足（ⅲ），因0()0f s =，即2008011kk k a s ==∑，从而200820082008101111()()nk n n k n n k k k n k n k k k k x x s a s s a sa x x +-++-===-====-∑∑∑．综上，存在数列{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）． 出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

2008年天津市高中数学联赛预赛2008年高中数学联赛天津赛区预赛于2008年9月21日举行，共有五千多名中学生参加此次预赛，并从中选拔出九百多名学生参加于10月12日举行的全国高中数学联赛.天津赛区预赛所涉及的知识范围基本参照现行《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学内容和要求，但在方法的要求上有所提高. 主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况，以及综合、灵活运用知识的能力. 试卷包括6道选择题，6道填空题和3道解答题，全卷满分150分，考试时间为两小时.天津赛区预赛的命题工作由学会负责，组织工作由科协五学科竞赛管理委员会办公室负责，阅卷及报送参加全国高中数学联赛的名单由各区县教研室具体实施.2008年高中数学联合竞赛天津地区预赛试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确结论的代号填在对应题号的表格内） 1. 已知二次函数()232f x x x =-+，则方程()()0ff x =不同实数根的数目为（ ）.()1A ()2B ()3C ()4D2. 抛物线21y ax bx =++的参数,a b 满足2384a ab b +=，则当,a b 变动时，抛物线的顶点一定在（ ）上.()A 抛物线 ()B 双曲线 ()C 圆或椭圆 ()D 直线3. 如右图，已知,,L M N 分别为ABC ∆的三边,,BC CA AB 的中点，,D E 分别是,BC AB 上的点，并满足,AD CE 均平分ABC ∆的周长，,P Q 分别是,D E 关于,L N 的对称点，PQ 与LM 交于点F ，若AB AC >，则AF 一定过ABC ∆的（ ）.()A 内心 ()B 外心 ()C 重心 ()D 垂心4. 若方程()2400,1xa x a a +-=>≠的所有根为12,,,k u u u ，其中k 为正整数，方程()()log 2200,1a x x a a +-=>≠的所有根为12,,,l v v v ，其中l 为正整数，则1212k lu u u v v v k l ++++++++ 的值为（ ）.()14A ()12B ()1C ()2D5. 考虑集合{}1,2,,10S = 的所有非空子集，若一个非空子集中的偶数的数目不少于奇数的数目，称这个子集是“好子集”，则“好子集”的数目有（ ）个.()631A ()633B ()635C ()637D6. 设不定方程222100x y z xyz ++-+=的正整数解(),,x y z 中满足,,x y z 均大于2008的不同解的数目为k ，则k 满足（ ）.()0A k = ()12008B k ≤≤ ()2008C k >，但k 是有限的数 ()D k 是无穷大二、填空题：（本大题共6小题，每小题9分，共54分． 请将答案写在题中横线上） 7. 函数()()()[]s i n 45,0,90s i n 60x fx x x +︒=∈︒︒+︒，则()f x 的最大值与最小值的乘积为 . 8. 若方程2009200810zz ++=有模为1的根，则所有模为1的根的和为 .9. 考虑44⨯的正方形方格表中的25个格点，则通过至少3个格点的不同直线的数目为 . 10. 设[]x 表示不超过x 的最大整数，则2008120082009k k =⎡⎤⎢⎥⎣⎦∑的值是 . 11. 已知长方体1111ABCD A BC D -满足12,3,251AA AD AB ===，平面1A BD 分别与11111,,CC C B C D 交于点,,L M N ，则四面体1C L M N 的体积为 .12. 已知半径为R 的圆O 外一条直线l ，O 在l 上的投影为H ，OH d =，OH 与圆O 交于点,,C D CH DH >. 设,P Q 为l 上的点，,P Q 在H 的同侧，且,,PH a QH b a b ==>，圆O 中有2008条平行于l 的弦()1,2,,2008i i AB i = ，且这2008条弦与CD 的交点均分CD ，则()20082222112008i i i i i PA PB QA QB =+++∑的值为（用,,,a b d R 表述） .三、 解答题（本大题共3小题,共60分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 13. 已知锐角ABC ∆的三边,,BC CA AB 的中点分别为,,D E F ，在,,EF FD DE 的延长线上分别取点,,P Q R ，若AP BQ CR ==，证明PQR ∆的外心为ABC ∆的垂心.14. 已知数列12,,,,n a a a 满足：()()221212151,1,21n n n n a a a a n n a +-+===≥-，求n a 的通项公式.15. 有10个选手1210,,,A A A ，他们的积分分别为9,8,7,6,5,4,3,2,1,0，名次分别为第1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. 现进行单循环比赛，即任意两个选手之间都恰进行一场比赛，且每场比赛都要分出胜负. 若名次靠前的选手胜了名次靠后的选手，则胜者得1分，负者得0分；若名次靠后的选手胜了名次靠前的选手，则胜者得2分，负者得0分，全部比赛结束后计算每个选手的累计积分（即这次单循环所得的分数与之前的积分相加所得的和），并根据累计积分进行重新排名，求新的冠军累计积分的最小值（名次并列是允许的）.参考答案一、选择题 1. 因为()()()()2224323233226103ff x x x x x x x x x=-+--++=-+-，所以有()()2123,433310,0,3,2x x x x x x x ±--+====，因此原方程有4个不同实根. 故选D 。

2008年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．[1,2)- B ．[1,2]- C ．[0,3] D ．[0,3)3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 （ ） A. 24181 B. 26681 C. 27481D. 6702434．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为 （ ） A. 764 cm 3或586 cm 3 B. 764 cm 3 C. 586 cm 3或564 cm 3 D. 586 cm 35．方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 46．设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则sin cot cos sin cot cos A C AB C B++的取值范围是（ ）A. (0,)+∞B.C.D. )+∞二、填空题（本题满分54分，每小题9分）题15图7．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n =L ，若7()128381f x x =+，则a b += .8．设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为12-，则a = ．9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 种．10．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+，1,2,n =L ，则通项n a = ．11．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足 (2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f = ．12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 ．．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．已知函数|sin |)(x x f =的图像与直线y kx = )0(>k 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：2cos 1sin sin 34ααααα+=+．14．解不等式121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．15．如题15图，P 是抛物线22y x =上的动点，点B C ,在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值．2008年全国高中数学联合竞赛一试参考答案及评分标准（A卷）说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ C ）A ．0B ．1C ．2D ．3[解] 当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x +-+==+---2≥2=，当且仅当122x x=--时上式取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2．2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为 （ D ） A ．[1,2)- B ．[1,2]- C ．[0,3] D ．[0,3) [解] 因240x ax --=有两个实根12a x =22a x =故B A ⊆等价于12x ≥-且24x <，即22a ≥-且42a ，解之得03a ≤<．3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 （ B ）A.24181 B. 26681 C. 27481 D. 670243 [解法一] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为22215()()339+=．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9P ξ==， 4520(4)()()9981P ξ===，2416(6)()981P ξ===，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．[解法二] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜，则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜． 由独立性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=， 1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()()]333381=+=，1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164()()3381==，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．4．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为 （ A ） A. 764 cm 3或586 cm 3 B. 764 cm 3 C. 586 cm 3或564 cm 3 D. 586 cm 3[解] 设这三个正方体的棱长分别为,,a b c ，则有()2226564a b c ++=，22294a b c ++=，不妨设110a b c ≤≤≤<，从而2222394c a b c ≥++=，231c >．故610c ≤<．c 只能取9，8，7，6．若9c =，则22294913a b +=-=，易知2a =，3b =，得一组解(,,)(2,3,9)a b c =． 若8c =，则22946430a b +=-=，5b ≤．但2230b ≥，4b ≥，从而4b =或5．若5b =，则25a =无解，若4b =，则214a =无解．此时无解．若7c =，则22944945a b +=-=，有唯一解3a =，6b =．若6c =，则22943658a b +=-=，此时222258b a b ≥+=，229b ≥．故6b ≥，但。

2008年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、（本题满分50分）如题一图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠< ，P 是平面上的动点，令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅．（Ⅰ）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C ,,,四点共圆；（Ⅱ）设E 是ABC ∆外接圆O 的 AB 上一点，满足：AE AB =，1BC EC =，12ECB ECA ∠=∠，又,DA DC 是O的切线，AC =，求()f P 的最小值． [解法一] （Ⅰ）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点P ，有PA BC PC AB PB AC ⋅+⋅≥⋅． 因此 ()f P PA BC PC AB PD CA =⋅+⋅+⋅PB CA PD CA ≥⋅+⋅()PB PD CA =+⋅．因为上面不等式当且仅当,,,P A B C 顺次共圆时取等号，因此当且仅当P 在ABC ∆的外接圆且在 AC 上时，()()f P PB PD CA =+⋅． …10分又因PB PD BD +≥，此不等式当且仅当,,B P D 共线且P 在BD 上时取等号．因此当且仅当P 为ABC ∆的外接圆与BD 的交点时，()f P 取最小值min ()f P AC BD =⋅．故当()f P 达最小值时，,,,P A B C 四点共圆． …20分（Ⅱ）记ECB α∠=，则2E C Aα∠=，由正弦定理有sin 2sin 3AE AB αα==，从而s i n 32s i n 2αα=34sin )4sin cos αααα-=，所以2cos )4cos 0αα--=，整理得24cos 0αα-=， …30分解得cos αcos α=， 故30α= ，60ACE ∠= ．答一图1由已知1BCEC ==()0sin 30sin EAC EAC∠-∠,有sin(30)1)sin EAC EAC ∠-=∠，即1cos 1)sin 2EAC EAC EAC ∠-∠=∠，整理得1cos 2EAC EAC ∠=∠，故tan 2EAC ∠==75EAC ∠=， …40分 从而45E ∠= ，45DAC DCA E ∠=∠=∠= ，ADC ∆为等腰直角三角形．因AC 1CD =．又ABC ∆也是等腰直角三角形，故BC =，212215BD =+-⋅=，BD =故min ()f P BD AC =⋅= …50分 [解法二] （Ⅰ）如答一图2，连接BD 交ABC ∆的外接圆O 于0P 点（因为D 在O 外，故0P 在BD 上）． 过,,A C D 分别作000,,P A PC P D 的垂线，两两相交得111A B C ∆，易知0P 在ACD ∆内，从而在111A B C ∆内，记ABC∆之三内角分别为x y z ，，，则0180APC y z x ∠=︒-=+，又因110B C P A⊥，110B A PC ⊥，得1B y ∠=，同理有1A x ∠=，1C z ∠=， 所以111A B C ∆∽ABC ∆． …10分设11B C BC λ=，11C A CA λ=，11A B AB λ=，则对平面上任意点M ，有 0000()()f P P A BC P D CA PC AB λλ=⋅+⋅+⋅ 011011011P A B C P D C A PC A B =⋅+⋅+⋅ 1112A B C S ∆=111111MA BC MD C A MC A B ≤⋅+⋅+⋅ ()MA BC MD CA MC AB λ=⋅+⋅+⋅ ()f M λ=， 从而 0()()f P f M ≤． 由M 点的任意性，知0P 点是使()f P 达最小值的点． 由点0P 在O 上，故0,,,P A B C 四点共圆． …20分 （Ⅱ）由（Ⅰ），()f P 的最小值 11102()A B C f P S λ∆=答一图22ABC S λ∆=，记ECB α∠=，则2ECA α∠=，由正弦定理有sin 2sin 3AE AB αα==2sin 2αα=，34sin )4sin cos αααα-=，所以2cos )4cos 0αα--=，整理得24cos 0αα-=， …30分解得cosαcos α=，故30α= ，60ACE ∠= ．由已知1BCEC ==()sin 30sin EAC EAC∠-∠,有sin(30)1)sin EAC EAC ∠-=∠ ，即1cos 1)sin 2EAC EAC EAC ∠-∠=∠，整理得1cos 2EAC EAC ∠=∠，故tan 2EAC ∠==75EAC ∠=， …40分所以45E ∠=︒，ABC ∆为等腰直角三角形，AC =，1ABC S ∆=，因为145AB C ∠=︒，1B 点在O 上，190AB B ∠=︒，所以11B BDC 为矩形，11B C BD ==故λ=min ()21f P == …50分[解法三] （Ⅰ）引进复平面，仍用,,A B C 等代表,,A B C 所对应的复数．由三角形不等式，对于复数12,z z ，有 1212z z z z +≥+，当且仅当1z 与2z （复向量）同向时取等号．有 P A B C P C A B P A B C P C A B⋅+⋅≥⋅+⋅， 所以 ()()()()A P CBC P B A --+-- ()()()()A P C B C P B A ≥--+-- （1） P C A B C B P A=-⋅-⋅+⋅+⋅ ()()B P C A P B A C =--=⋅ ，从而 P A B C P C A B P D C A ⋅+⋅+⋅ PB AC PD AC ≥⋅+⋅()PB PD AC =+⋅BD AC ≥⋅． （2） …10分（1）式取等号的条件是复数 ()()A P C B --与()()C P B A -- 同向，故存在实数0λ>，使得()()()()A P C B C P B A λ--=--，A PB AC P C Bλ--=--， 所以 a r g ()a r g ()A PB AC P C B--=--， 向量PC 旋转到PA 所成的角等于BC旋转到AB 所成的角，从而,,,P A B C 四点共圆．（2）式取等号的条件显然为,,B P D 共线且P 在BD 上．故当()f P 达最小值时P 点在ABC ∆之外接圆上，,,,P A B C 四点共圆． …20分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知min ()f P BD AC =⋅． 以下同解法一．二、（本题满分50分）设()f x 是周期函数，T 和1是()f x 的周期且01T <<．证明： （Ⅰ）若T 为有理数，则存在素数p ，使1p是()f x 的周期； （Ⅱ）若T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足110n n a a +>>>(1,2,)n =⋅⋅⋅，且每个(1,2,)na n =⋅⋅⋅都是()f x 的周期．[证] （Ⅰ）若T 是有理数，则存在正整数,m n 使得nT m=且(,)1m n =，从而存在整数,a b ，使得1ma nb +=． 于是11ma nb a bT a b T m m+==+=⋅+⋅ 是()f x 的周期． …10分 又因01T <<，从而2m ≥．设p 是m 的素因子，则m pm '=，m *'∈N ，从而11m p m'=⋅ 是()f x 的周期． …20分（Ⅱ）若T 是无理数，令111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦， 则101a <<，且1a 是无理数，令21111a a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，……111n n n a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，……． …30分由数学归纳法易知n a 均为无理数且01n a <<．又111n n a a ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦，故11n n n a a a ⎡⎤<+⎢⎥⎣⎦，即111n n n n a a a a +⎡⎤=-<⎢⎥⎣⎦．因此{}n a 是递减数列． …40分 最后证：每个n a 是()f x 的周期．事实上，因1和T 是()f x 的周期，故111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦亦是()f x 的周期．假设k a 是()f x 的周期，则111k k k a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦也是()f x 的周期．由数学归纳法，已证得n a 均是()f x 的周期． …50分三、（本题满分50分）设0k a >，1,2,,2008k = ．证明：当且仅当200811k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件：（ⅰ）010n n x x x +=<<，1,2,3,n = ； （ⅱ）lim n n x →∞存在；（ⅲ）20082007111n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑，1,2,3,n = ．[证] 必要性：假设存在{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（iii ）．注意到（ⅲ）中式子可化为 2008111()n n k n k n k k x x a x x -++-=-=-∑，n ∈*N ，其中00x =．将上式从第1项加到第n 项，并注意到00x =得111222200820082008()()()n n n n x a x x a x x a x x +++=-+-++- ． …10分 由（ⅱ）可设lim n n b x →∞=，将上式取极限得112220082008()()()b a b x a b x a b x =-+-++- 20081122200820081()k k b a a x a x a x ==⋅-+++∑20081k k b a =<⋅∑，因此200811k k a =>∑． …20分充分性：假设200811k k a =>∑．定义多项式函数如下：20081()1k k k f s a s ==-+∑，[0,1]s ∈，则()f s 在[0,1]上是递增函数，且(0)10f =-<，20081(1)10k k f a ==-+>∑．因此方程()0f s =在[0,1]内有唯一的根0s s =，且001s <<，即0()0f s =． …30分下取数列{}n x 为01nkn k x s ==∑，1,2,n = ，则明显地{}n x 满足题设条件（ⅰ），且1000101n nkn k s s x s s +=-==-∑． 因001s <<，故10lim 0n n s+→∞=，因此100000lim lim 11n n n n s s s x s s +→∞→∞-==--，即{}n x 的极限存在，满足（ⅱ）． …40分最后验证{}n x 满足（ⅲ），因0()0f s =，即2008011kk k a s ==∑，从而200820082008101111()()nk n n k n n k k k n k n k k k k x x s a s s a sa x x +-++-===-====-∑∑∑．综上，存在数列{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）． …50分。