2016-2017学年上学期四川省成都外国语学校高三第一次月考试卷 理科数学 Word版 含答案
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2016-2017学年上学期四川省成都外国语学校高三年级第一次月考 测试卷理科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{|33}A x x =-<<，{|lg(1)}B x y x ==+，则集合A B 为（ ） A ．[0,3)B ．[1,3)-C ．(1,3)-D ．(3,1]--2．下列说法正确的是（ ）A ．R a ∈，“11<a”是“1>a ”的必要不充分条件 B ．“q p ∧为真命题”是“q p ∨为真命题”的必要不充分条件C ．命题“R x ∈∃，使得0322<++x x ”的否定是：“R x ∈∀，0322>++x x ”D ．命题p ：“R x ∈∀，2cos sin ≤+x x ”，则p ⌝是真命题3．已知334log 0.3log 3.4log 3.615,5,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ） A ．a c b >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．c a b >>4．已知)(log ax y a -=2在[]0,1上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()0,2D ．[2,)+∞5．若函数[)[]⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=1,0,40,1,41)(x x x f x x ）（ 则411log 33f f ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭ （ ）A ．31B ．3C ．41D ．46．函数x e x f x-=)(在区间]1,1[-上的值域为（ ） A ．]1,1[-eB ．]1,11[-+e eC ．]2,11[+eD ．]1,0[-e7．设函数3)1ln()(2+++=x x x f ，若10)(=a f ，则=-)(a f （ ）A ．13B ．7-C ．7D ．4-8．将函数)64sin(3)(π+=x x f 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移6π个单位长度，得到函数)(x g y =的图象，则)(x g y =图象的一条对称轴是（ ） A ．12π=xB ．6π=xC ．3π=xD ．32π=x 9．函数()f x 的定义域是R ，(0)2f =，对任意x R ∈，'()()1f x f x +>，则不等式()1x x e f x e >+ 的解集为（ ） A ．{|0}x x >B ．{|0}x x <C ．{|11}x x x <->或D ．{|11}x x x <-<<或010．已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，且()1,0,3fπαα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则5cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13B．3±C．3D．3-11．已知函数3,3||)(2≥---=a a a x x x x f ．若函数)(x f 恰有两个不同的零点21,x x ，则|11|21x x -的取值范围是（ ） A ．)(1,+∞B ．),31(+∞C ．]1,31(D ．]31,21(12．已知函数()xf x e ax =-有两个零点12x x <，则下列说法错误的是（ ） A ．a e > B ．122x x +>C ．121x x >D ．有极小值点0x ，且1202x x x +<二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．已知31)125cos(=+απ，且2παπ-<<-，则=-)12cos(απ_______________． 14．已知函数1)391ln()(2+-+=x x x f ，则=+)21(lg )2(lg f f _______．15．设dx x x a ⎰-=π0)sin (cos ，则二项式62)(xa x +展开式中的3x 项的系数为 ．16．设函数2()2f x kx x =+（k 为实常数）为奇函数，函数()() 1(01)f x g x aa a =->≠且．当a=时，2()21g x t mt ≤-+对所有的[1,1]x ∈-及[1,1]m ∈-恒成立，则实数t 的取值范围________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）计算：（Ⅰ）2log 351log 25lg 2100++； (Ⅱ)已知()11223a a a R -+=∈，求值：22111a a a a --++++18．(本小题满分12分)已知函数ππ1()cos()cos()sin cos 334f x x x x x =+--+；（1）化简)(x f 的解析式，并写出)(x f 的最小正周期； （2）求当]2,0[π∈x 时，求函数()f x 的值．19．（本小题满分12分）已知函数()()21ln 2x f x x -=-．（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）证明：当1x >时，()1f x x <-．20．（本小题满分12分）已知△ABC 的面积为S ，且S =⋅233=-． （Ⅰ）若)cos(2)(B x x f +=ω())0>ω的图象与直线2=y 相邻两个交点间的最短距离为2，且1)61(=f ，求△ABC 的面积S ； （Ⅱ）求C B S cos cos 33⋅+的最大值．21．（本小题满分12分）某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数()f x 与时刻x (时) 的关系为22()2,[0,24]13x f x a a x x =-++∈+，其中a 是与气象有关的参数，且],[210∈a ． (Ⅰ)令],[24012∈+=x x xt ，，写出该函数的单调区间，并选择其中一种情形进行证明； (Ⅱ)若用每天)(x f 的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作)(a M 求)(a M ；(Ⅲ)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标?22．（本小题满分12分）已知函数2()ln ()2a f x x x x x a a R =--+∈在其定义域内有两个不同的极值点．（1）求a 的取值范围；（2）记两个极值点分别为12,x x ，且12x x <，已知0λ>，若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，求λ的范围．（3）证明：()2*2ln 2ln3ln 4ln 1101,2381514nn n n n N n n n ++⎛⎫++++++<∈≥ ⎪-⎝⎭ ．2016-2017学年上学期四川省成都外国语学校高三年级第一次月考 测试卷理科数学答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C 【解析】因}1|{->=x x B ，故}31|{<<-=x x B A ，应选C ．考点：集合的交集运算．2．A 【解析】对于A ，由于当1>a 时一定有11<a ，所以“11<a ”是“1>a ”的必要条件，又因为11<a 时不能推出1>a ，如1a =-，所以所以 “11<a ”是“1>a ”的不充分条件，综上可知“11<a”是“1>a ”的必要不充分条件，故可知选A ． 考点：充分条件必要条件与命题的否定． 3．A 【解析】33334log 0.310log log 3.4log 3.4log 3.63155,55,55,5a b c a c b ⎛⎫=>=<==<∴>> ⎪⎝⎭，故选A ．考点：比较大小4．B 【解析】由题已知0,2a t ax >=-为减函数，又()2log ax ay -=在[]0,1为减函数，则可得：，．120a a >⎧⎨->⎩，解得a 的取值范围是（1，2）考点：复合函数的单调性． 5．D 【解析】因为[)[]⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=1,0,40,1,41)(x x x f x x ）（，因为[]41log 1,03∈-，所以41log 3411f(log )()334==，1411f(log )1,(1)4433f ∴===，所以411log 33f f ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭4，答案为D ．考点：分段函数的应用．6．A 【解析】'()1xf x e =-，'(0)0f =，当[1,0)x ∈-时，'()0f x <，()f x 递减，当(0,1]x ∈时，'()0f x >，()f x 递增，0(0)01f e =-=，1(1)1f e -=+，1(1)11f e e=->+，所以()f x 值域为[1,1]e -．故选A ．考点：用导数求函数的值域．7．D 【解析】设()(ln g x x =，则()(ln g x x =+是奇函数，由于10)(=a f ，即()()103,7g a g a =+∴=，从而=-)(a f ()()334g a g a -+=-+=-，故选D ．考点：函数的奇偶性．8．C 【解析】将函数)64sin(3)(π+=x x f 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数3sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再向右平移6π个单位长度，得到函数3sin 266y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即)(x g y =的图象，而33g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则)(x g y =图象的一条对称轴是3π=x ，故选C ．考点：三角函数的图象和性质及其变换．9．A 【解析】令函数1)()(--=x x e x f e x F ，因0]1)()([)()()(///>-+=-+=x f x f e e x f e x f e x F x x x x ，故函数1)()(--=x x e x f e x F 是单调递增函数，且0112)0(=--=F ，所以不等式()1x x e f x e >+等价于)0()(F x F >，故0>x ，应选A ． 考点：导数的有关知识及综合运用． 10．D【解析】考点：三角函数的图象和性质及两角和的余弦公式的综合运用．11．C 考点：分段函数，函数的零点．12．C 【解析】因为()x f x e a '=-，则当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在R 上递增，不满足条件；当0a >时，由()0f x '>得ln x a >，由()0f x '<得ln x a <，所以()f x 在(,ln )a -∞上递减，在(ln ,)a +∞上递增．因为()xf x e ax =-有两个零点12,x x ，且12x x <，所以(ln )0f a <，0a >，所以ln ln 0a e a a -<，解得a e >，所以A 正确；因为1212,x x e ax e ax ==，所以2121x x x e x -=，设21xt x =，则1(1)1ln 1,1t x tt et x t ->=⇒=-， 因此12111142(1)2(ln 2)(ln 2)1111t t t x x t x t t t t t t +-++-=+-=-⨯=-+-+-+令4()ln 21g t t t =-++，则22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t -'=-=>++，所以()(1)0g t g >=，因此121220, 2.x x x x +->+> B正确；2121111)x x tx -=-=-+＝(ln 1)1t t -，令()ln h t t =则21()0h t t '==<，所以()(1)0h t h <=，因此121210,1x x x x -<<，C 错；又()f x 在(,ln )a -∞上递减，在(ln ,)a +∞上递增，所以()f x 有极小值点0ln x a =，由1212,x x e ax e ax ==得1122ln ln ,ln ln x a x x a x =+=+，因此1212+2ln ln ln x x a x x =++，即1212+2ln ln 0x x a x x -=<，所以120+2ln 2x x a x <=，所以D 正确故选C ．考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数零点；3、不等式性质．第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．【答案】322-【解析】55cos()cos(())sin()1221212ππππααα-=-+=+=． 14．【答案】2【解析】()()()()221ln 2391ln 391ln 22=+=+-++++=+-x x x x x f x f ，()()()22lg 2lg 21lg 2lg =-+=⎪⎭⎫⎝⎛+f f f f 考点：函数的性质15．【答案】160- 【解析】因为dx x x a ⎰-=π)sin (cos []sin cos 2x x π=+=-，从而可求得62)(x a x +622x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭展开式中的3x 项的系数为160-，故答案填160-．考点：定积分，二项式定理． 16．【答案】(,2]{0}[2,)t ∈-∞-+∞【解析】由()()f x f x -=-得2222kx x kx x -=--，∴0k =．∵()22() 11()1f x x x g x a a a =-=-=-()g x 在[1,1]x ∈-上的最大值为2(1)11g =-=，∴2121t mt ≤-+即220t mt -≥在[1,1]-上恒成立分令2()2h m mt t =-+，∴22(1)20,(1)20,h t t h t t ⎧-=+≥⎪⎨=-≥⎪⎩ 即20,0 2.t t ≤-≥⎧⎨≤≥⎩或t 或t所以(,2]{0}[2,)t ∈-∞-+∞ ． 考点：（1）函数的奇函数．（2）指数函数的性质．（3）恒成立问题及函数思想．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．【答案】（Ⅰ）72； (Ⅱ)6．【解析】（Ⅰ）原式=172(2)322+-++=；(Ⅱ)11122223,7,47,a aa a a a ---+=∴+=∴+= 22114716171a a a a --+++∴==+++ 18．【答案】(Ⅰ)ππ11()cos()cos()sin 23324f x x x x =+--+1111(cos )(cos )sin 22224x x x x x =+-+221311cos sin sin 24424x x x =--+1cos 233cos 211sin 28824x x x +-=--+ 1(cos 2sin 2)2x x =-24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 函数)(x f 的最小正周期为 T π=，函数)(x f的最大值为 (II)由]2,0[π∈x ，得]45,4[42πππ∈+x ，]22,1[)42cos(-∈+πx 所以当]2,0[π∈x 时，求函数()f x 的值域为]21,22[-19．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()211'1,x x f x x x x -++=-+=令()'0f x >，得2010x x x >⎧⎨-++>⎩，解得102x <<()f x的单调递增区间是⎛ ⎝⎭． （2）令()()()()1,1,g x f x x x =--∈+∞，则()21'0x g x x-=<在()1,+∞上恒成立， 所以()g x 在()1,+∞上单调递减，所以当1x >时，()()10g x g <=， 即当1x >时，()1f x x <-．20．（Ⅰ）)cos((B x x f +=ω2） 的图象与直线2=y 相邻两个交点间的最短距离为T ，2T ∴=，即：22πω=，解得ωπ=，()2cos()f x x B π=+，1()2cos()166f B π=+=， 即：1cos()62B π+=， B 是△ABC 的内角，∴6B π=，AB AC S ⋅= ，设△ABC 的三个内角的对边分别为,,a b c，1cos sin 2A bc A =，tan A = 3A π=， 从而△ABC 是直角三角形，由已知3AC AB -= 得，3BC a ==，从而b =，12ABC S ab ∆==． （Ⅱ）由（Ⅰ）知33==a A ,π，设ABC ∆的外接圆半径为R ，则322==AaR sin ，解得3=R C B bc C B A bc C B S cos cos cos cos sin cos cos 3343332133+=+=+∴33333333≤-=+=)cos(cos cos sin sin C B C B C B所以当C B =时，最大值为33考点：向量的数量积公式和正弦定理三角变换等有关知识的综合运用． 21．解:(1)单调递增区间为[0,1];单调递减区间为[1,24]．证明:任取121212122212()(1)01,()()(1)(1)x x x x x x t x t x x x --≤<≤-=++， 12120,(1)0x x x x -<->， 所以1212122212()(1)()()0(1)(1)x x x x t x t x x x ---=<++．所以函数()t x 在[0,1]上为增函数．(同理可证在区间[1,24]上减函数)(2)由函数的单调性知max min ()(1)1;()(0)0t x t t x t ====， ∴211[0,]112x t x x x==∈++，即t 的取值范围是1[0,]2．当1[0,]2a ∈时，记2()23g t t a a =-++ 则23,03()21,32t a t a g t t a a t ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨⎪++<≤⎪⎩∵()g t 在[0,]a 上单调递减，在1(,]2a 上单调递增，且()()2171103,,0232624g a g a g g a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故7111,0(),06424()11211(0),3,42342a a g a M a g a a a ⎧⎧+≤≤≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪<≤+<≤⎪⎪⎩⎩． (3)因为当且仅当49a ≤时，()2M a ≤． 故当409a ≤≤时不超标，当4192a <≤时超标．22．试题解析：（1）依题，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以方程'()0f x =在(0,)+∞有两个不同根，即，方程ln 0x ax -=在(0,)+∞有两个不同根．转化为，函数ln y x =与函数y ax =的图角在(0,)+∞上有两个不同交点，可见，若令过原点且切于函数ln y x =图象的直线斜率为k ，只须0a k <<．令切点00(,ln )A x x ，所以0'01x x k y x ===，又00ln x k x =，所以000ln 1x x x =，解得，0x e =，于是1k e =，所以10a e <<． （2）因为112e x x λλ+<⋅等价于121ln ln x x λλ+<+．由（1）可知12,x x 分别是方程ln 0x ax -=的两个根，即1122ln ,ln x ax x ax ==． 所以原式等价于12121()ax ax a x x λλλ+<+=+，因为120,0x x λ><<，所以原式等价于121a x x λλ+>+．又由1122l n ,l n x a x x a x ==，作差得，1122ln ()x a x x x =-，即1212lnx x a x x =-．所以原式等价于121212ln1x x x x x x λλ+>-+，因为120x x <<，原式恒成立，即112212(1)()ln x x x x x x λλ+-<+恒成立． 令12xt x =，(0,1)t ∈， 则不等式(1)(1)ln t t t λλ+-<+在(0,1)t ∈上恒成立．令(1)(1)()ln t h t t t λλ+-=-+，又22'221(1)(1)()()()()t t h t t t t t λλλλ+--=-=++， 当21λ≥时，可见(0,1)t ∈时，'()0h t >，所以()h t 在(0,1)t ∈上单调增，又(1)0h =，()0h t <在(0,1)t ∈恒成立，符合题意．当21λ<时，可见2(0,)t λ∈时，'()0h t >，2(,1)t λ∈时，'()0h t <，所以()h t 在2(0,)t λ∈时单调增，在2(,1)t λ∈时单调减，又(1)0h =，所以()h t 在(0,1)t ∈上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，只须21λ≥，又0λ>，所以0λ>，所以1λ≥．（3）当2=a 时，令x x x x x x f x g +-=-+=2ln 22)()(，则21)('',22ln )('-=-+=xx g x x x g 当1>x 时0)(''<x g ，则)('x g 在),1(+∞单调站递减，而0)1('=g 当1>x 时0)('<x g ，则)(x g 在),1(+∞单调站递减，又0)1(=g 所以当1>x 时有1ln 1)0(ln )(2-<⇒=<+-=x x g x x x x x g令()2*,2x n n N n =∈≥，有22ln 1n n <-，即2ln 1122n nn <<- ()()()212ln 2ln 3ln 4ln 1233815124n n n n n -+++++<+++=- ，①． 令11x n =+，有111ln 113ne n n n ⎛⎫⎛⎫+<⇒+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②①+②有：()2*2ln 2ln3ln 4ln 1101,2381514nn n n n N n n n ++⎛⎫++++++<∈≥ ⎪-⎝⎭。
