平面解析几何专题突破习题 顾效禹

三年专题08 平面解析几何〔解答题〕1．（2023年全国甲卷）设抛物线的焦点为F ，点，过F 的直线交C :y 2=2px (p >0)D (p ,0)C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，． |MF |=3(1)求C 的方程；(2)设直线与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线的倾斜角分别为．当MD ,ND MN ,AB α,βα取得最大值时，求直线AB 的方程． ‒β（答案）(1)； y 2=4x (2). AB :x =2y +4（解析） （分析）〔1〕由抛物线的定义可得，即可得解；|MF |=p +p2〔2〕设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差MN :x =my +1k MN =2k AB 角的正切公式及根本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解.k AB =22AB :x =2y +n (1)抛物线的准线为，当与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p ， x =‒p2MD 此时，所以， |MF |=p +p2=3p =2所以抛物线C 的方程为； y 2=4x (2)设，直线，M (y 214,y 1),N (y 224,y 2),A (y 234,y 3),B (y 244,y 4)MN :x =my +1由可得，， {x =my +1y 2=4xy 2‒4my ‒4=0Δ>0,y 1y 2=‒4由斜率公式可得，， k MN =y 1‒y 2y 214‒y 224=4y 1+y 2k AB =y 3‒y 4y 234‒y 244=4y3+y 4直线，代入抛物线方程可得，MD :x =x 1‒2y 1⋅y +2y 2‒4(x 1‒2)y 1⋅y ‒8=0，所以，同理可得， Δ>0,y 1y 3=‒8y 3=2y 2y 4=2y 1所以k AB =4y 3+y 4=42(y 1+y 2)=k MN 2又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为， α,β所以， k AB =tan β=k MN 2=tan α2假设要使最大，则，α‒ββ∈(0,π2)设，则，k MN =2k AB =2k >0tan(α‒β)=tan α‒tan β1+tan αtan β=k 1+2k 2=11k +2k ≤121k⋅2k =24当且仅当即时，等号成立，1k =2k k =22所以当最大时，，设直线，α‒βk AB =22AB :x =2y +n 代入抛物线方程可得， y 2‒42y ‒4n =0，所以， Δ>0,y 3y 4=‒4n =4y 1y 2=‒16n =4所以直线. AB :x =2y +4（点睛）关键点点睛：解决此题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系.2．（2023年全国乙卷）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A 两点． (0,‒2),B (32,‒1)(1)求E 的方程；(2)设过点的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点P (1,‒2)T ，点H 满足．证明：直线HN 过定点． MT =TH （答案）(1) y 24+x 23=1(2) (0,‒2)（解析） （分析）〔1〕将给定点代入设出的方程求解即可；〔2〕设出直线方程，与椭圆C 的方程联立，分情况商量斜率是否存在，即可得解. (1)解：设椭圆E 的方程为，过， m x 2+n y 2=1A (0,‒2),B (32,‒1)则，解得，， {4n =194m +n =1m =13n =14所以椭圆E 的方程为：. y 24+x 23=1(2)，所以，A (0,‒2),B (32,‒1)AB :y +2=23x ①假设过点的直线斜率不存在，直线.代入， P (1,‒2)x =1x 23+y 24=1可得，，代入AB 方程，可得M (1,263)N (1,‒263)y =23x ‒2，由得到.求得HN 方程：T (6+3,263)MT =TH H (26+5,263)，过点. y =(2‒263)x ‒2(0,‒2)②假设过点的直线斜率存在，设.P (1,‒2)kx ‒y ‒(k +2)=0,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)联立得， {kx ‒y ‒(k +2)=0x 23+y 24=1,(3k 2+4)x 2‒6k (2+k )x +3k (k +4)=0可得，，{x 1+x 2=6k (2+k )3k 2+4x 1x 2=3k (4+k )3k 2+4{y 1+y 2=‒8(2+k )3k 2+4y 2y 2=4(4+4k ‒2k 2)3k 2+4且 x 1y 2+x 2y 1=‒24k3k 2+4(∗)联立可得{y =y 1y =23x ‒2,T (3y 12+3,y 1),H (3y 1+6‒x 1,y 1).可求得此时，HN :y ‒y 2=y 1‒y 23y1+6‒x 1‒x 2(x ‒x 2)将，代入整理得， (0,‒2)2(x 1+x 2)‒6(y 1+y 2)+x 1y 2+x 2y 1‒3y 1y 2‒12=0将代入，得 (∗)24k +12k 2+96+48k ‒24k ‒48‒48k +24k 2‒36k 2‒48=0,显然成立，综上，可得直线HN 过定点 (0,‒2).（点睛）求定点、定值问题常见的方法有两种：①从特别入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 3．（2023年新高考1卷）已知点在双曲线上，直线l 交C 于A (2,1)C :x 2a 2‒y 2a 2‒1=1(a >1)P ，Q 两点，直线的斜率之和为0． AP ,AQ (1)求l 的斜率；(2)假设，求的面积． tan ∠PAQ =22△PAQ （答案）(1)； ‒1(2)． 1629（解析） （分析）〔1〕由点在双曲线上可求出，易知直线l 的斜率存在，设，A (2,1)a l :y =kx +m P (x 1,y 1),Q，再依据，即可解出l 的斜率；(x 2,y 2)k AP +k BP =0〔2〕依据直线的斜率之和为0可知直线的倾斜角互补，再依据AP ,AQ AP ,AQ tan ∠PAQ =2即可求出直线的斜率，再分别联立直线与双曲线方程求出点的坐标，即2AP ,AQ AP ,AQ P ,Q 可得到直线的方程以及的长，由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，即可PQ PQ A PQ 得出的面积． △PAQ (1)因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线A (2,1)C :x 2a2‒y 2a 2‒1=1(a >1)4a2‒1a 2‒1=1a 2=2 C :x 22‒y 2=1易知直线l 的斜率存在，设，， l :y =kx +m P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)联立可得，，{y =kx +mx 22‒y 2=1(1‒2k 2)x 2‒4mkx ‒2m 2‒2=0所以，，x 1+x 2=‒4mk2k 2‒1,x 1x 2=2m 2+22k 2‒1Δ=16m 2k 2+4(2m 2+2)(2k 2‒1)>0⇒m 2‒1+2．k 2>0所以由可得，，k AP +k BP =0y 2‒1x2‒2+y 1‒1x 1‒2=0即， (x 1‒2)(kx 2+m ‒1)+(x 2‒2)(kx 1+m ‒1)=0即， 2k x 1x 2+(m ‒1‒2k )(x 1+x 2)‒4(m ‒1)=0所以，2k ×2m 2+22k 2‒1+(m ‒1‒2k )(‒4mk2k 2‒1)‒4(m ‒1)=0化简得，，即， 8k 2+4k ‒4+4m (k +1)=0(k +1)(2k ‒1+m )=0所以或，k =‒1m =1‒2k 当时，直线过点，与题意不符，舍去， m =1‒2k l :y =kx +m =k (x ‒2)+1A (2,1)故． k =‒1(2)不妨设直线的倾斜角为，因为，所以， PA ,PB α,β(α<β)k AP +k BP =0α+β=π因为，所以，即， tan ∠PAQ =22tan(β‒α)=22tan2α=‒22即，解得，2tan 2α‒tan α‒2=0tan α=2于是，直线，直线， PA :y =2(x ‒2)+1PB :y =‒2(x ‒2)+1联立可得，，{y =2(x ‒2)+1x 22‒y 2=132x 2+2(1‒22)x +10‒42=0因为方程有一个根为，所以，，2x P =10‒423y P =42‒53同理可得，， ． x Q =10+423y Q =‒42‒53所以，， PQ :x +y ‒53=0|PQ |=163点到直线的距离，A PQ d =|2+1‒53|2=223故的面积为． △PAQ 12×163×223=16294．（2023年新高考2卷）已知双曲线的右焦点为，渐近线C :x 2a2‒y 2b 2=1(a >0,b >0)F (2,0)方程为．y =±3x(1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点在C 上，且P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)x 1．过P 且斜率为的直线与过Q 且斜率为的直线交于点M .从下面①>x 2>0,y 1>0‒33②③中选取两个作为条件，证明其它一个成立： ①M 在上；②；③．AB PQ ∥AB |MA |=|MB |注：假设选择不同的组合分别解答，则按第—个解答计分.（答案）(1)x 2‒y23=1(2)见解析 （解析） （分析）〔1〕利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系c a ,b a ,b ,c 求得的值，得到双曲线的方程；a ,b 〔2〕先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB 的斜率为k , M (x 0,y 0),由③|AM |=|AB BM |等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方x 0+k y 0=8k 2k 2‒3PM QM 程，两点间距离公式得到直线PQ 的斜率，由②等价转化为，由m =3x 0y 0PQ //AB k y 0=3x 0①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行M AB k y 0=k 2(x 0‒2)证明即可. (1)右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴F (2,0)c =2y =±3x ba =3b =3ac 2=a 2+，∴，∴． b 2=4a 2=4a =1b =3∴C 的方程为：；x 2‒y23=1(2)由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，PQ AB 假设选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零； AB 假设选①③推②，则为线段的中点，假假设直线的斜率不存在，则由双曲线的对称M AB AB 性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知M x F P Q x x 1=x 2不符；总之，直线的斜率存在且不为零.AB 设直线的斜率为,直线方程为,AB k AB y =k (x ‒2)则条件①在上，等价于； M AB y 0=k (x 0‒2)⇔k y 0=k 2(x 0‒2)两渐近线的方程合并为,3x 2‒y 2=0联立消去y 并化简整理得：(k 2‒3)x 2‒4k 2x +4k 2=0设,线段中点为,则,A (x 3,y 3),B (x 3,y 4)N (x N ,y N )x N =x 3+x 42=2k 2k 2‒3,y N =k (x N ‒2)=6kk 2‒3设,M (x 0,y 0)则条件③等价于, |AM |=|BM |(x 0‒x 3)2+(y 0‒y 3)2=(x 0‒x 4)2+(y 0‒y 4)2移项并利用平方差公式整理得：，(x 3‒x 4)[2x 0‒(x 3+x 4)]+(y 3‒y 4)[2y 0‒(y 3+y 4)]=0,即,[2x 0‒(x 3+x 4)]+y 3‒y4x 3‒x 4[2y 0‒(y 3+y 4)]=0x 0‒x N +k (y 0‒y N )=0即；x 0+k y 0=8k 2k 2‒3由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为, PM ‒3QM 3∴由, y 1‒y 0=‒3(x 1‒x 0),y 2‒y 0=3(x 2‒x 0)∴, y 1‒y 2=‒3(x 1+x 2‒2x 0)所以直线的斜率,PQ m =y 1‒y 2x1‒x 2=‒3(x 1+x 2‒2x 0)x 1‒x 2直线,即,PM :y =‒3(x ‒x 0)+y 0y =y 0+3x 0‒3x 代入双曲线的方程,即中， 3x 2‒y 2‒3=0(3x +y )(3x ‒y )=3得：, (y 0+3x 0)[23x ‒(y 0+3x 0)]=3解得的横坐标：,P x 1=123(3y 0+3x 0+y 0+3x 0)同理：，x 2=‒123(3y 0‒3x 0+y 0‒3x 0)∴x 1‒x 2=13(3y 0y 20‒3x 2+y 0),x 1+x 2‒2x 0=‒3x 0y 20‒3x 2‒x 0,∴,m =3x 0y 0∴条件②等价于， PQ //AB m =k⇔k y 0=3x 0综上所述：条件①在上，等价于； M AB k y 0=k 2(x 0‒2)条件②等价于； PQ //AB k y 0=3x 0条件③等价于；|AM |=|BM |x 0+k y 0=8k 2k 2‒3选①②推③: 由①②解得：,∴③成立；x 0=2k 2k 2‒3,∴x 0+k y 0=4x 0=8k 2k 2‒3选①③推②： 由①③解得：，，x 0=2k 2k 2‒3k y 0=6k 2k 2‒3∴，∴②成立； k y 0=3x 0选②③推①：由②③解得：，，∴，x 0=2k 2k 2‒3k y 0=6k 2k 2‒3x 0‒2=6k 2‒3∴，∴①成立.k y 0=k 2(x 0‒2)5．（2023年甲卷文科）抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：交C 1x =于P ，Q 两点，且．已知点，且与l 相切． OP OQ ⊥()2,0M M A 〔1〕求C ，的方程；M A 〔2〕设是C 上的三个点，直线，均与相切．推断直线与123,,A A A 12A A 13A A M A 23A A M A 的位置关系，并说明理由．（答案）〔1〕抛物线，方程为；〔2〕相切，理由见解析 2:C y x =M A 22(2)1x y -+=（解析） （分析）〔1〕依据已知抛物线与相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称1x =性设出坐标，由，即可求出；由圆与直线相切，求出半径，即可,P Q OP OQ ⊥p M 1x =得出结论；〔2〕方法一：先考虑斜率不存在，依据对称性，即可得出结论；假设12A A 121323,,A A A A A A 斜率存在，由三点在抛物线上，将直线斜率分别用纵坐标表示，再123,,A A A 121223,,A A A A A A 由与圆相切，得出与的关系，最后求出点到直线的距1212,A A A A M 2323,y y y y +⋅1y M 23A A 离，即可得出结论. （详解）〔1〕依题意设抛物线，200:2(0),(1,),(1,)C y px p P y Q y =>-，20,1120,21OP OQ OP OQ y p p ⊥∴⋅=-=-=∴= 所以抛物线的方程为，C 2y x =与相切，所以半径为，()2,0,M M A 1x =1所以的方程为；M A 22(2)1x y -+=〔2〕方法一]：设 111222333(),(,),(,)A x y A x y A x y 假设斜率不存在，则方程为或， 12A A 12A A 1x =3x =假设方程为，依据对称性不妨设， 12A A 1x =1(1,1)A 则过与圆相切的另一条直线方程为，1A M 1y =此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意； 3A假设方程为，依据对称性不妨设 12A A 3x =12(3,A A则过与圆相切的直线为， 1A M 13A A 3)y x =-又，131********A A y y k y x x y y -====∴=-+，此时直线关于轴对称，330,(0,0)x A =1323,A A A A x 所以直线与圆相切； 23A A M 假设直线斜率均存在， 121323,,A A A A A A 则， 121323121323111,,A A A A A A k k k y y y y y y ===+++所以直线方程为， 12A A ()11121y y x x y y -=-+整理得，1212()0x y y y y y -++=同理直线的方程为， 13A A 1313()0x y y y y y -++=直线的方程为， 23A A 2323()0x y y y y y -++=与圆相切，12A AM 1=整理得，22212121(1)230y y y y y -++-=与圆相切，同理 13A A M 22213131(1)230y y y y y -++-=所以为方程的两根，23,y y 222111(1)230y y y y y -++-=，2112323221123,11y y y y y y y y -+=-⋅=--到直线的距离为：M 23A A2=，2121111y y +===+所以直线与圆相切；23A A M 综上假设直线与圆相切，则直线与圆相切.1213,A A A A M 23A A M 方法二]（最优解）：设．()()()222111113333322222,,,,,,,,A x y y x A x y y x A x y y x ===当时，同解法1．12x x =当时，直线的方程为，即． 12x x ≠12A A ()211121y y y y x x x x --=--121212y y x y y y y y =+++由直线与，化简得，12A A M A 1=()121212130y y x x x +--+=同理，由直线与相切得．13A A M A ()131312130y y x x x +--+=因为方程同时经过点，所以的直线方程为()1112130y y x x x +--+=23,A A 23A A ，点M 到直线．()1112130y y x x x +--+=23A A 1=所以直线与相切．23A A M A 综上所述，假设直线与相切，则直线与相切． 1213,A A A A M A 23A A M A （整体点评）第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标〔或横坐标〕表示，将问题转化为只与纵坐标〔或横坐标〕有关；法一是要充分利用的对称性，抽象出1213,A A A A 与关系，把的关系转化为用表示，法二是利用相切等条件得到2323,y y y y +⋅1y 23,y y 1y 的直线方程为，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简23A A ()1112130y y x x x +--+=单，开拓学生思路6．（2023年乙卷文科）已知抛物线的焦点F 到准线的距离为2． 2:2(0)C y px p =>〔1〕求C 的方程;〔2〕已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足，求直线斜率的最大值. 9PQ QF =OQ （答案）〔1〕；〔2〕最大值为.24y x =13（解析） （分析）〔1〕由抛物线焦点与准线的距离即可得解；〔2〕设，由平面向量的知识可得，进而可得，再()00,Q x y ()00109,10P x y -20025910y x +=由斜率公式及根本不等式即可得解. （详解）〔1〕抛物线的焦点，准线方程为，2:2(0)C y px p =>,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭2p x =-由题意，该抛物线焦点到准线的距离为， 222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭所以该抛物线的方程为；24y x =〔2〕方法一]：轨迹方程+根本不等式法设，则， ()00,Q x y ()00999,9PQ QF x y ==--所以， ()00109,10P x y -由在抛物线上可得，即，P ()()200104109y x =-20025910y x +=据此整理可得点的轨迹方程为， Q 229525=-y x 所以直线的斜率， OQ 000220001025925910OQ y y y k y x y ===++当时，； 00y =0OQ k =当时，， 00y ≠0010925OQ ky y =+当时，因为， 00y >0092530y y +≥=此时，当且仅当，即时，等号成立；103OQ k <≤00925y y =035y =当时，；00y <0OQ k <综上，直线的斜率的最大值为.OQ 13方法二]：（最优解）轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q 的轨迹方程为． 229525=-y x 设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k 取到最OQ y kx =OQ 229525=-y x 值．联立得，其判别式，解得2,29,525y kx y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩22290525k x x -+=222940525⎛⎫∆=--⨯= ⎪⎝⎭k ，所以直线斜率的最大值为．13k =±OQ 13方法三]：轨迹方程+换元求最值法同方法一得点Q 的轨迹方程为． 229525=-y x 设直线的斜率为k ，则． OQ 22229525⎛⎫==- ⎪⎝⎭y k x x x 令，则的对称轴为，所以．故11009⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭t t x 2292255=-+k t t 59t =21110,933≤≤-≤≤k k直线斜率的最大值为．OQ 13方法四]：参数+根本不等式法由题可设．()24,4(0),(,)>P t t t Q x y 因为，所以．(1,0),9= F PQ QF ()24,49(1,)--=--x t y t x y 于是，所以 249(1)49x t x y t y ⎧-=-⎨-=-⎩21049104x t y t⎧=+⎨=⎩则直线的斜率为．OQ 244194934==≤=++y t x t t t 当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为．94t t =32t =OQ 13（整体点评）方法一依据向量关系，利用代点法求得Q 的轨迹方程，得到直线OQ 的斜率关于的表达y 式，然后利用分类商量，结合根本不等式求得最大值；方法二 同方法一得到点Q 的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ 的斜率的最大值，为最优解；方法三同方法一求得Q 的轨迹方程，得到直线的斜率k 的平方关于的表达式，利用OQ x 换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线斜率的最大值；OQ 方法四利用参数法，由题可设，求得x,y 关于的参数表达式，得()24,4(0),(,)>P t t t Q x y t 到直线的斜率关于的表达式，结合使用根本不等式，求得直线斜率的最大值.OQ t OQ 7．（2023年乙卷理科）已知抛物线的焦点为，且与圆()2:20C x py p =>F F 上点的距离的最小值为．22:(4)1M x y ++=4〔1〕求；p 〔2〕假设点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值． P M ,PA PB C ,A B PAB △（答案）〔1〕；〔2〕 2p =（解析） （分析）〔1〕依据圆的几何性质可得出关于的等式，即可解出的值；p p 〔2〕设点、、，利用导数求出直线、，进一步可求得()11,A x y ()22,B x y ()00,P x y PA PB 直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出以及点到直线的AB AB AB P AB 距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的根本性质可求得面积的最大值. PAB △（详解）〔1〕方法一]：利用二次函数性质求最小值由题意知，，设圆M 上的点，则． 0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭()00,N x y ()22041++=x y 所以． ()()22001453=-+-≤≤-x y y 从而有||==FN=因为，所以当时，． 053y -≤≤-03y =-min ||4==FN 又，解之得，因此．0p >2p =2p =方法二]（最优解）：利用圆的几何意义求最小值抛物线的焦点为，，C 0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭42pFM =+所以，与圆上点的距离的最小值为，解得； F 22:(4)1M x y ++=4142p+-=2p =〔2〕方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法 抛物线的方程为，即，对该函数求导得，C 24x y =24x y ==2xy '设点、、， ()11,A x y ()22,B x y ()00,P x y 直线的方程为，即，即， PA ()1112x y y x x -=-112x xy y =-11220x x y y --=同理可知，直线的方程为，PB 22220x x y y --=由于点为这两条直线的公共点，则，P 10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩所以，点A 、的坐标满足方程， B 00220x x y y --=所以，直线的方程为， AB 00220x x y y --=联立，可得， 0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩20240x xx y -+=由韦达定理可得，，1202x x x +=1204x x y =，=点到直线的距离为P AB d所以，， ()3220011422PABS AB d x y =⋅=-△，()()2222000000041441215621x y y y y y y -=-+-=---=-++ 由已知可得，所以，当时，的面积取最大值053y -≤≤-05y =-PAB △321202⨯=方法二]（最优解）：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值 同方法一得到．1201202,4+==x x x x x y 过P 作y 轴的平行线交于Q ，则．AB 2000,2⎛⎫- ⎪⎝⎭x Q x y ． ()32221200001111||242222⎛⎫=⋅-=-=- ⎪⎝⎭A PABS PQ x x x y x y P 点在圆M 上，则00cos ,4sin ,x y αα=⎧⎨=-+⎩． ()()333222222001114cos 4sin 16(sin 2)21222ααα⎡⎤=-=-+=-++⎣⎦A PABS x y 故当时的面积最大，最大值为 sin 1α=-PAB △方法三]：直接设直线AB 方程法设切点A ，B 的坐标分别为，．211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭设，联立和抛物线C 的方程得整理得． :AB l y kx b =+AB l 2,4,y kx b x y =+⎧⎨=⎩2440x kx b --=判别式，即，且． 2Δ16160=+>k b 20k b +>12124,4x x k x x b +==-抛物线C 的方程为，即，有． 24x y =24x y =2x y '=则，整理得，同理可得． ()2111:42-=-PA x x l y x x 21124x x y x =⋅-222:24=⋅-PB x x l y x 联立方程可得点P 的坐标为，即． 211222,24,24x x y x x x y x ⎧=⋅-⎪⎪⎨⎪=⋅-⎪⎩1212,24x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭(2,)P k b -将点P的坐标代入圆M 的方程，得，整理得． 22(2)(4)1+-+=k b 221(4)4b k --=由弦长公式得．||=AB=点P 到直线的距离为AB d所以21||22==+==A PABS AB d b=其中，即． [5,3]=-∈--P y b [3,5]∈b当时， 5b =()max =A PAB S （整体点评）〔1〕方法一利用两点间距离公式求得关于圆M 上的点的坐标的表达式，进FN ()00,N x y 一步转化为关于的表达式，利用二次函数的性质得到最小值，进而求得的值；方法0y p 二，利用圆的性质，与圆上点的距离的最小值，简洁明快，为最优F 22:(4)1M x y ++=解；〔2〕方法一设点、、，利用导数求得两切线方程，由切()11,A x y ()22,B x y ()00,P x y 点弦方程思想得到直线的坐标满足方程，然手与抛物线方程联立，由AB 00220x x y y --=韦达定理可得，，利用弦长公式求得的长，进而得到面积关于1202x x x +=1204x x y =AB 坐标的表达式，利用圆的方程转化得到关于的二次函数最值问题；方法二，()00,P x y 0y 同方法一得到，，过P 作y 轴的平行线交于Q ，则1202x x x +=1204x x y =AB 2000,2⎛⎫- ⎪⎝⎭x Q x y ．由求得面积关于坐标的表达式，并利用三角函数换元求121||2PAB S PQ x x =⋅-A ()00,P x y 得面积最大值，方法灵敏，计算简洁，为最优解；方法三直接设直线，联立:AB l y kx b =+直线和抛物线方程，利用韦达定理判别式得到，且．利AB 20k b +>12124,4x x k x x b +==-用点在圆上，求得的关系，然后利用导数求得两切线方程，解方程组求得P 的坐P M ,k b 标，进而利用弦长公式和点到直线距离公式求得面积关于的函数表达式，然后利(2,)P k b -b 用二次函数的性质求得最大值；8．（2023年新高考1卷）在平面直角坐标系中，已知点、xOy ()1F，点的轨迹为.)2122F MF MF -=，M C 〔1〕求的方程； C 〔2〕设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且T 12x =T C A B P Q ，求直线的斜率与直线的斜率之和.TA TB TP TQ ⋅=⋅AB PQ （答案）〔1〕；〔2〕.()221116y x x -=≥0（解析）（分析）(1) 利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的C 1F 2F a b 值，即可得出轨迹的方程；C (2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C 的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得的值. 12k k +（详解）(1) 因为12122MF MF F F -=<=所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，C 1F 2F 设轨迹的方程为，则，可得，，C ()222210,0x y a b a b -=>>22a =1a =4b ==所以，轨迹的方程为.C ()221116y x x -=≥〔2〕方法一（最优解）：直线方程与双曲线方程联立 如下图，设,1(,)2T n 设直线的方程为．AB 112211(),,(2,(),)y n k x A x y B x y -=-联立, 1221()2116y n k x y x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩化简得.22221111211(16)(2)1604k x k k n x k n k n -+---+-=则． 22211112122211111624,1616k n k n k k n x x x x k k +-+-+==--故．12,11||)||22TA x TB x =-=-则．222111221(12)(1)11||||(1)(2216n k TA TB k x x k ++⋅=+--=-设的方程为，同理． PQ 21()2y n k x -=-22222(12)(1)||||16n k TP TQ k ++⋅=-因为，所以，TA TB TP TQ ⋅=⋅22122212111616k k k k ++=--化简得，22121717111616k k +=+--所以，即．22121616k k -=-2212k k =因为，所以． 11k k ≠120k k +=方法二：参数方程法设．设直线的倾斜角为， 1(,)2T m AB 1θ则其参数方程为， 111cos 2sin x t y m t θθ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩联立直线方程与曲线C 的方程，2216160(1)x y x --≥=可得，222221111cos 116(cos )(sin 2sin )1604t m t t mt θθθθ+-++-=+整理得．22221111(16cos sin )(16cos 2sin )(12)0t m t m θθθθ-+--+=设，12,TA t TB t ==由根与系数的关系得．2212222111(12)12||||16cos sin 117cos t m m TA TB t θθθ-++⋅===--⋅设直线的倾斜角为，，PQ 2θ34,TP t TQ t ==同理可得 2342212||||117cos m T T t P Q t θ+⋅==-⋅由，得．||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅2212cos cos θθ=因为，所以．12θθ≠12s o o s c c θθ=-由题意分析知．所以， 12θθπ+=12tan tan 0θθ+=故直线的斜率与直线的斜率之和为0． AB PQ 方法三]：利用圆幂定理因为，由圆幂定理知A ，B ，P ，Q 四点共圆． TA TB TP TQ ⋅=⋅设,直线的方程为，1(,)2T t AB 11(2y t k x -=-直线的方程为,PQ 21()2y t k x -=-则二次曲线． 1212()()022k kk x y t k x y t --+--+=又由，得过A ，B ，P ，Q 四点的二次曲线系方程为：22116y x -=，221212()()(1)0(0)2216k k y k x y t k x y t x λμλ--+--++--=≠整理可得： ， []2212121212()()()()16k x y k k xy t k k k k k x μμλλλλ++--+++-12(2)02y k k t m λ++-+=其中．21212()42k k t m t k k λμ⎡⎤=+-+-⎢⎥⎣⎦由于A ，B ，P ，Q 四点共圆，则xy 项的系数为0，即. 120k k +=（整体点评）(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它表达了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解；方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵敏的应用到题目中.方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.9．（2023年新高考2卷）已知椭圆C 的方程为，右焦点为，22221(0)x y a b a b+=>>F． 〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线与曲线相切．证明：M ，MN 222(0)x y b x +=>N ，F 三点共线的充要条件是． ||MN =（答案）〔1〕；〔2〕证明见解析.2213x y +=（解析） （分析）〔1〕由离心率公式可得，即可得解；a =2b 〔2〕必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证充分性：设直线，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方():,0MN y kx b kb =+<221b k =+，即可得解. =1k =±（详解）〔1〕由题意，椭圆半焦距c =c e a =a =又，所以椭圆方程为；2221b a c =-=2213x y +=〔2〕由〔1〕得，曲线为，221(0)x y x +=>当直线的斜率不存在时，直线，不合题意； MN :1MN x =当直线的斜率存在时，设， MN ()()1122,,,M x y N x y 必要性：假设M ，N ，F 三点共线，可设直线即， (:MN y k x =0kx y -=由直线与曲线，解得，MN 221(0)x y x +=>11k =±联立可得，所以，(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩2430x -+=121234x x x x +=⋅=,=所以必要性成立；充分性：设直线即， ():,0MN y kx b kb =+<0kx y b -+=由直线与曲线，所以，MN 221(0)x y x +=>1=221b k =+联立可得， 2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222136330k xkbx b +++-=所以， 2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++==化简得，所以，()22310k -=1k =±所以，1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x =y x =-+所以直线过点，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； MN F 所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是 ||MN =（点睛）关键点点睛：解决此题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的精确性是解题的重中之重.10．（2023年新课标1卷理科）已知A 、B 分别为椭圆E ：〔a >1〕的左、右顶2221x y a+=点，G 为E 的上顶点，，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 8AG GB ⋅=与E 的另一交点为D ． 〔1〕求E 的方程；〔2〕证明：直线CD 过定点.（答案）〔1〕；〔2〕证明详见解析.2219x y +=（解析） （分析）〔1〕由已知可得：， ，，即可求得，结合已知即(),0A a -(),0B a ()0,1G 21AG GB a ⋅=- 可求得：，问题得解.29a =〔2〕方法一：设，可得直线的方程为：，联立直线的方程与()06,P y AP ()039y y x =+AP 椭圆方程即可求得点的坐标为，同理可得点的坐标为C 20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭D ，当时，可表示出直线的方程，整理直线的方程可得：2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭203y ≠CD CD 即可知直线过定点，当时，直线：，直线过点()02043233y y x y ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭203y =CD 32x =，命题得证. 3,02⎛⎫⎪⎝⎭（详解）〔1〕依据题意作出如下列图象：由椭圆方程可得：， ，222:1(1)x E y a a+=>(),0A a -(),0B a ()0,1G ， ∴(),1AG a = (),1GB a =-， ∴218AG GB a ⋅=-=∴29a =椭圆方程为：∴2219x y +=〔2〕方法一]：设而求点法 证明：设， ()06,P y 则直线的方程为：，即：AP ()()00363y y x -=+--()039y y x =+联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：AP ()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：或()2222000969810y x y x y +++-=3x =-20203279y x y -+=+将代入直线可得： 20203279y x y -+=+()039y y x =+02069y y y =+所以点的坐标为. C 20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭同理可得：点的坐标为 D 2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当时，203y ≠直线的方程为：， ∴CD 0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++整理可得： ()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线过定点．CD 3,02⎛⎫⎪⎝⎭当时，直线：，直线过点． 203y =CD 32x =3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭故直线CD 过定点．3,02⎛⎫⎪⎝⎭方法二]（最优解）：数形结合设，则直线的方程为，即． (6,)P t PA (3)9t y x =+930-+=tx y t 同理，可求直线的方程为．PB 330--=tx y t 则经过直线和直线的方程可写为． PA PB (93)(33)0-+--=tx y t tx y t 可化为．④()22292712180-+-+=txy txy ty 易知A ，B ，C ，D 四个点满足上述方程，同时A ，B ，C ，D 又在椭圆上，则有，代入④式可得．2299x y -=-()2227912180--+=t y txy ty 故，可得或． ()227912180⎡⎤--+=⎣⎦y t y tx t 0y =()227912180--+=t y tx t 其中表示直线，则表示直线．0y =AB ()227912180--+=t y tx t CD 令，得，即直线恒过点． 0y =32x =CD 3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭（整体点评）此题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.第二问的方法一最直接，但对运算能力要求严格；方法二曲线系的应用更多的表达了几何与代数结合的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.11．（2023年新课标2卷理科）已知椭圆C 1：(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 222221x y a b+=的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=|AB |.43〔1〕求C 1的离心率；〔2〕设M 是C 1与C 2的公共点，假设|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.（答案）〔1〕；〔2〕，.12221:13627x y C +=22:12C y x =（解析） （分析）〔1〕求出、，利用可得出关于、的齐次等式，可解得椭圆的AB CD 43CD AB =a c 1C 离心率的值；〔2〕方法四]由〔1〕可得出的方程为，联立曲线与的方程，求出点1C 2222143x y c c+=1C 2C的坐标，利用抛物线的定义结合可求得的值，进而可得出与的标准方程.M 5MF =c 1C 2C （详解）〔1〕，轴且与椭圆相交于、两点， (),0F c AB x ⊥1C A B 则直线的方程为，AB x c =联立，解得，则， 22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩22b AB a =抛物线的方程为，联立， 2C 24y cx =24x cy cx=⎧⎨=⎩解得，，2x c y c =⎧⎨=±⎩4CD c ∴=，即，，43CD AB = 2843b c a=223b ac =即，即，222320c ac a +-=22320e e +-=，解得，因此，椭圆的离心率为；01e <<Q 12e =1C 12〔2〕方法一]：椭圆的第二定义由椭圆的第二定义知，则有，20||=-MF e a x c200||⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭a MF e x a ex c 所以，即． 0152-=a x 0210=-x a 又由，得． 0||5=+=MF x c 052=-a x 从而，解得． 21052-=-aa 6a =所以．3,6,6====c a b p故椭圆与抛物线的标准方程分别是．1C 2C 2221,123627+==x yy x 方法二]：圆锥曲线统一的极坐标公式以为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． (c,0)F 由〔Ⅰ〕知，又由圆锥曲线统一的极坐标公式，得，由2a c =2||1cos θ=-cMF 255cos θ=-c ，得，两式联立解得． 132||11cos 2θ⨯=+c MF 3105cos θ=+c 3c =故的标准方程为，的标准方程为．1C 2213627x y+=2C 212y x =方法三]：参数方程由〔1〕知，椭圆的方程为，2,a c b ==1C 2222143x yc c+=所以的参数方程为〔为参数〕，1C {x =2c ⋅cos θ,y =3c ⋅sin θθ将它代入抛物线的方程并化简得，22:4C y cx =23cos 8cos 30θθ+-=解得或〔舍去〕，1cos3θ=cos 3θ=-所以M 的坐标为．sin θ=23⎛ ⎝c 又，所以由抛物线焦半径公式有，即，解得． ||5MF =5+=M x c 253+=cc 3c =故的标准方程为，的标准方程为．1C 2213627x y+=2C 212y x =方法四]（最优解）：利用韦达定理由〔1〕知，，椭圆的方程为，2a c =b =1C 2222143x yc c+=联立，消去并整理得， 222224143y cxx y c c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩y 22316120x cx c +-=解得或〔舍去〕，23x c =6x c =-由抛物线的定义可得，解得. 25533cMF c c =+==3c =因此，曲线的标准方程为，1C 2213627x y+=曲线的标准方程为.2C 212y x =（整体点评）(2)方法一：椭圆的第二定义是联系准线与离心率的重要工具，涉及离心率的问题不妨考虑使用第二定义，很多时候会使得问题简单明了.方法二：圆锥曲线统一的极坐标公式充分表达了圆锥曲线的统一特征，同时它也是解决圆锥曲线问题的一个不错的思考方向.方法三：参数方程是一种重要的数学工具，它将圆锥曲线的问题转化为三角函数的问题，使得原来抽象的问题更加具体化.方法四：韦达定理是最常用的处理直线与圆锥曲线位置关系的方法，联立方程之后充分利用韦达定理可以到达设而不求的效果.12．（2023年新课标2卷文科）已知椭圆C 1：(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 222221x y a b+=的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=|AB |．43〔1〕求C 1的离心率；〔2〕假设C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．（答案）〔1〕；〔2〕：，： .121C 2211612x y+=2C 28y x =（解析） （分析）〔1〕依据题意求出的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设在第—象限，运用2C ,A C 代入法求出点的纵坐标，依据，结合椭圆离心率的公式进行求解即,,,A B C D 4||||3CD AB =可；〔2〕由〔1〕可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可； （详解）解：〔1〕因为椭圆的右焦点坐标为：,所以抛物线的方程为，其中1C (c,0)F 2C 24y cx =c =不妨设在第—象限，因为椭圆的方程为：， ,A C 1C 22221x y a b +=所以当时，有，因此的纵坐标分别为，；x c =222221c y b y a b a +=⇒=±,A B 2b a 2ba-又因为抛物线的方程为，所以当时，有，2C 24y cx =x c =242y c c y c =⋅⇒=±所以的纵坐标分别为，，故，.,C D 2c 2c -22||bAB a=||4CD c =由得，即，解得〔舍去〕，.4||||3CD AB =2843b c a=2322()c c aa ⋅=-2c a =-12c a =所以的离心率为.1C 12〔2〕由〔1〕知，，故，所以的四个顶点坐标分别为2a c =b =22122:143x y C c c+=1C ，，，，的准线为.(2,0)c (2,0)c -)(0,)2C x c =-由已知得，即. 312c c c c +++=2c =所以的标准方程为，的标准方程为. 1C 2211612x y +=2C 28y x =（点睛）此题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.13．（2023年新课标3卷理科）已知椭圆，分222:1(05)25x y C m m +=<<A B 别为的左、右顶点． C 〔1〕求的方程；C 〔2〕假设点在上，点在直线上，且，，求的面积． P C Q 6x =||||BP BQ =BP BQ ⊥APQ A （答案）〔1〕；〔2〕.221612525x y +=52（解析） （分析） 〔1〕因为，可得，，依据离心率公式，结合已知，即可222:1(05)25x y C m m +=<<5a =b m =求得答案；〔2〕方法一：过点作轴垂线，垂足为，设与轴交点为，可得P x M 6x =x N ，可求得点坐标，从而求出直线的直线方程，依据点到直线距离公PMB BNQ ≅△△P AQ 式和两点距离公式，即可求得的面积. APQ A （详解）〔1〕，，222:1(05)25x y C m m+=<<∴5a =b m =依据离心率或(舍)， c e a ===54m =54m =-的方程为：，即．∴C 22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=221612525x y +=〔2〕（方法一）：通性通法不妨设,在x 轴上方，过点作轴垂线，垂足为，设直线与轴交点为 P Q P x M 6x =x N 依据题意画出图形，如图，， ，||||BP BQ =BP BQ ⊥90PMB QNB ∠=∠=︒又， ，90PBM QBN ∠+∠=︒90BQN QBN ∠+∠=︒，依据三角形全等条件“〞，可得：， ∴PBM BQN ∠=∠AAS PMB BNQ ≅△△，，，221612525x y +=∴(5,0)B ∴651PM BN ==-=设点为，可得点纵坐标为，将其代入， P (,)P P x y P 1P y =221612525x y +=可得：，解得：或，点为或，21612525P x +=3P x =3P x =-∴P (3,1)(3,1)-①当点为时，故，P (3,1)532MB =-=，，可得：点为，PMB BNQ ≅△△∴||||2MB NQ ==Q (6,2)画出图象，如图, ，可求得直线的直线方程为：，(5,0)A -(6,2)Q AQ 211100x y -+=依据点到直线距离公式可得到直线的距离为 P AQ d，面积为：=∴APQ A； 1522⨯=②当点为时，故，，，可得：P (3,1)-5+38MB == PMB BNQ ≅△△∴||||8MB NQ ==Q 点为，画出图象，如图(6,8), ，可求得直线的直线方程为：，(5,0)A -(6,8)Q AQ 811400x y -+=依据点到直线距离公式可得到直线的距离为， P AQ d=面积为：，综上所述，面积为：. ∴APQ A 1522=APQ A 52（方法二）（最优解）：由对称性，不妨设P ，Q 在x 轴上方，过P 作轴，垂足为E ．设，由题知，PE x ⊥(6,0)D ．PEB BDQ A A ≌故， 131p BP PE PEPE x QB BD ==⇒=⇒=±①因为，如图，所以，． (3,1),(5,0),(6,2)P A Q -52APQ AQD PEDQ PEA S S S S =--=A A A②因为，如图，所以． (3,1),(5,0),(6,8)P A Q --52APQ AQD PEDQPEA S S S S =--=A A A综上有 52APQ S =△（方法三）：由已知可得，直线的斜率肯定存在，设直线的方程为，由对()5,0B ,BP BQ BP ()5y k x =-称性可设，联立方程消去y 得0k <22(5),161,2525y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()22221161601625250k x k x k +-+⨯-=，由韦达定理得，所以，221625255116P k x k ⨯-=+22805116P k x k -=+将其代入直线的方程得，所以， BP 210116P ky k -=+22280510,116116k k P kk ⎛⎫--⎪++⎝⎭则 ||BP ==因为，则直线的方程为，BP BQ ⊥BQ 1(5)y xk=--则 16,,||Q BQ k ⎛⎫-== ⎪⎝⎭因为，， ||||BP BQ ==422566810k k -+=即，故或，即或．()()22641410k k --=2164k=214k =18k =-12k =-当时，点P ，Q 的坐标分别为18k =-(3,1),(6,8),||P Q PQ -=直线的方程为，点A 到直线 PQ 71093y x =+PQ故的面积为．APQ A 1522=当时，点P ，Q 的坐标分别为12k =-(3,1),(6,2),||P Q PQ =直线的方程为，点到直线PQ 13y x =(5,0)A -PQ故的面积为．APQ A 1522=综上所述，的面积为．APQ A 52（方法四）：由〔1〕知椭圆的方程为，．221612525x y +=(5,0),(5,0)A B -不妨设在x 轴上方，如图．()00,P x y设直线．:(5)(0)AP y k x k =+>因为，所以．||||,BP BQ BP BQ =⊥00||1,||5Q y BN y BM x ====-由点P 在椭圆上得，所以．201612525x +=209x =由点P 在直线上得，所以．所以，化简得AP ()015k x =+015k x k -=2159k k -⎛⎫= ⎪⎝⎭．216101k k =-所以，即． 0110155516k x k k k -⎛⎫-=--== ⎪⎝⎭(6,16)Q k所以，点Q 到直线的距离AP d==又 )0||5AP x ==+=。

第2章平面解析几何初步（B）(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共70分)1．若直线l1：ax＋3y＋1＝0与l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行，则a的值为________．2．下列说法正确的是________(填序号)．①经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示；②经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示；③不经过原点的直线都可以用方程xa＋yb＝1表示；④经过任意两个不同的点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x －x1)·(y2－y1)表示．3．过点M(2,1)的直线与x轴，y轴分别交于P，Q两点，且MP＝MQ，则l的方程是____________．4．直线mx－y＋2m＋1＝0经过一定点，则该点的坐标为__________．5．如果AC<0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不过第________象限．6．原点O在直线l上的射影为点H(－2,1)，则直线l的方程为________．7．经过点(－5,2)且横、纵截距相等的直线方程是________．8．设直线2x－y－3＝0与y轴的交点为P，点P把圆(x＋1)2＋y2＝25的直径分为两段，则这两段之比为__________．9．若x、y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值为__________．10．点M(1,2，－3)关于原点的对称点是________．11．若圆x2＋y2＝4和圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为____________．12．直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且只有一个公共点，则b的取值范围是__________．13．两圆x2＋y2＋4y＝0，x2＋y2＋2(a－1)x＋2y＋a2＝0在交点处的切线互相垂直，那么实数a的值为________．14．已知P(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋12＝0内一点，则过点P的最短弦所在直线方程是________，过点P的最长弦所在直线方程是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)在三棱柱ABO－A′B′O′中，∠AOB＝90°，侧棱OO′⊥面OAB，OA＝OB＝OO′＝2．若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使EC最小．16．(14分)如图，已知△ABC中A(－8,2)，AB边上中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程．17．(14分)已知A(3,5)，B(－1,3)，C(－3,1)为△ABC的三个顶点，O、M、N分别为边AB、BC、CA的中点，求△OMN的外接圆的方程，并求这个圆的圆心和半径．18．(16分)已知动直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9．(1)求证：无论m为何值，直线l与圆C总相交．(2)m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最小？请求出该最小值．19．(16分)矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y －6＝0，点T(－1，1)在AD边所在直线上．(1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD外接圆的方程．20．(16分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PM＝PO，求使得PM取得最小值的点P的坐标．第2章 平面解析几何初步(B) 答案1．－3 2．④3．x ＋2y －4＝0解析 由题意可知M 为线段PQ 的中点，Q(0,2)，P(4，0)，可求得直线l 的方程x ＋2y －4＝0．4．(－2,1)解析 将原直线化为点斜式方程为y －1＝m(x ＋2)，可知不论m 取何值直线必过定点(－2,1)．5．三解析 将原直线方程化为斜截式为y ＝－A B x －C B，由AC<0且BC<0，可知AB>0，直线斜率为负，截距为正，故不过第三象限．6．2x －y ＋5＝0解析 所求直线应过点(－2,1)且斜率为2，故可求直线为2x －y ＋5＝0．7．2x ＋5y ＝0或x ＋y ＋3＝0解析 不能忽略直线过原点的情况．8．73或37解析 由题意知P(0，－3)．P 到圆心(－1,0)的距离为2，∴P 分直径所得两段为5－2和5＋2，即3和7．9．30－10 5解析 配方得(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，圆心坐标为(1，－2)，半径r ＝5，所以x 2＋y 2的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即5－5，故可求x 2＋y 2的最小值为30－105．10．(－1，－2,3)11．x －y ＋2＝0解析 l 为两圆圆心连线的垂直平分线，(0,0)与(－2，2)的中点为(－1,1)，k l ＝1， ∴y －1＝x ＋1，即x－y＋2＝0．12．－1<b≤1或b＝－ 2解析如图，由数形结合知．－1<b≤1或b＝－2．13．－2解析两圆心与交点构成一直角三角形，由勾股定理和半径范围可知a＝－2．14．x＋y－3＝0x－y－3＝0解析点P为弦的中点，即圆心和点P的连线与弦垂直时，弦最短；过圆心即弦为直径时最长．15．解如图所示，以三棱原点，以OA、OB、OO′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz．由OA＝OB＝OO′＝2，得A(2,0,0)、B(0,2,0)、O(0,0,0)，A′(2,0,2)、B′(0,2,2)、O′(0,0,2)．由C为线段O′A的中点得C点坐标为(1,0,1)，设E点坐标为(0,2，z)，∴EC＝(0－1)2＋(2－0)2＋(z－1)2＝(z－1)2＋5．故当z＝1时，EC取得最小值为5．此时E(0,2,1)为线段BB ′的中点．16．解 设B(x 0，y 0)，则AB 中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－82，y 0＋22， 由条件可得：⎩⎨⎧ 2x 0－5y 0＋8＝0x 0－82＋2·y 0＋22－5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－5y 0＋8＝0x 0＋2y 0－14＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝6y 0＝4，即B(6,4)，同理可求得C 点的坐标为(5,0)．故所求直线BC 的方程为y －04－0＝x －56－5，即4x －y －20＝0． 17．解 ∵点O 、M 、N 分别为AB 、BC 、CA 的中点且A(3，5)，B(－1,3)，C(－3,1)， ∴O(1,4)，M(－2,2)，N(0,3)．∵所求圆经过点O 、M 、N ，∴设△OMN 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，把点O 、M 、N 的坐标分别代入圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋42＋D ＋4E ＋F ＝0(－2)2＋22－2D ＋2E ＋F ＝002＋32＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝7E ＝－15F ＝35．∴△OMN 外接圆的方程为x 2＋y 2＋7x －15y ＋36＝0，圆心为⎝⎛⎭⎫－72，152，半径r ＝12130． 18．(1)证明 方法一 设圆心C(3,4)到动直线l 的距离为d ，则d ＝|(m ＋3)·3－(m ＋2)·4＋m|(m ＋3)2＋(m ＋2)2＝12⎝⎛⎭⎫m ＋522＋12≤2． ∴当m ＝－52时，d max ＝2<3(半径)．故动直线l 总与圆C 相交．方法二 直线l 变形为m(x －y ＋1)＋(3x －2y)＝0．令⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，3x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.如图所示，故动直线l 恒过定点A(2,3)．而AC ＝(2－3)2＋(3－4)2＝2<3(半径)．∴点A 在圆内，故无论m 取何值，直线l 与圆C 总相交．(2)解 由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小，即当AC 垂直直线l 时，弦长最小． ∴最小值为232－(2)2＝27．19．解 (1)∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－3．又∵点T(－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋2＝0．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－2，∴点A 的坐标为(0，－2)，∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M(2,0)，∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又AM ＝(2－0)2＋(0＋2)2＝22， ∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．20．解 (1)将圆C 整理得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2．①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y ＝kx ，∴圆心到切线的距离为|－k －2|k 2＋1＝2， 即k 2－4k －2＝0，解得k ＝2±6．∴y ＝(2±6)x ；②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x ＋y －a ＝0， ∴圆心到切线的距离为|－1＋2－a|2＝2， 即|a －1|＝2，解得a ＝3或－1．∴x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0．综上所述，所求切线方程为y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0．(2)∵PO ＝PM ，∴x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2，即2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上．当PM 取最小值时，即OP 取得最小值，此时直线OP ⊥l ，∴直线OP 的方程为：2x ＋y ＝0，解得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0得⎩⎨⎧ x ＝－310，y ＝35，∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35．。

专题08 平面解析几何（解答题）1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │=4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │−│MP │为定值？并说明理由．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点； （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．4．【2019年高考北京卷文数】已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点．5．【2019年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已知|2||OA OB =（O 为原点）.（1）求椭圆的离心率； （2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x =4上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.6．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．7．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ． （1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．8．【2018年高考全国Ⅰ文数】设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠．9．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．10．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r．11．【2018年高考北京卷文数】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为3，焦距为斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B . （1）求椭圆M 的方程；（2）若1k =，求||AB 的最大值；（3）设(2,0)P -，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)44Q -共线，求k .12．【2018年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心||AB = （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．13．【2018年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为7，求直线l 的方程．14．【2018年高考浙江卷】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．（1）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（2）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．15．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．16．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u ru u u r.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .17．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题： （1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.18．【2017年高考北京卷文数】已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上， （1）求椭圆C 的方程；（2）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．19．【2017年高考天津卷文数】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b ．（1）求椭圆的离心率；（2）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c ． （i ）求直线FP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程．20．【2017年高考山东卷文数】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :22221x y a b +=(a >b >0)的离心率为2，椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为 （1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点，⊙N 的半径为|NO |.设D 为AB 的中点，DE ，DF 与⊙N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值.21．【2017年高考浙江卷】如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点13(,)()22P x y x -<<．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（1）求直线AP 斜率的取值范围；（2）求||||PA PQ ⋅的最大值．22．【2017年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．。

高考数学平面解析几何专项训练（100题-含答案）1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点12(1,0),(1,0)F F -，点M 满足12MF MF +=记点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)点T 在直线2x =上，过T 的两条直线分别交C 于,A B 两点和,P Q 两点，且||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【答案】(1)2212x y +=(2)0【解析】【分析】（1）根据122MF MF +=，利用椭圆的定义求解；（2）设()2,T m ，直线AB 的参数方程为()2cos ,sin x t y m t θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数，与椭圆方程联立，利用参数的几何意义求解.(1)解：因为122MF MF +=，所以点M 的轨迹是以12(1,0),(1,0)F F -为焦点的椭圆，则21,1a c b ===，所以椭圆的方程是2212x y +=；(2)设()2,T m ，直线AB 的参数方程为()2cos ,sin x t y m t θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数，与椭圆方程联立()()2222cos 2sin 4cos 4sin 420t m t m θθθθ+++++=，由参数的几何意义知：12,TA t TB t ==，则22122224242cos 2sin 2cos m m t t θθθ++⋅=-=-+-，设直线PQ 的参数方程为：()2cos ,sin x y m λαλλα=+⎧⎨=+⎩为参数,则12,TP TQ λλ==，则22122224242cos 2sin 2cos m m λλααα++⋅=-=-+-，由题意得：222242422cos 2cos m m θα++-=---，即22cos cos θα=，因为αθ≠，所以cos cos θα=-，因为0,0θπαπ<<<<，所以θαπ+=，所以直线AB 的斜率tan θ与直线PQ 的斜率tan α之和为0.2．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，点(),N n S n n n *⎛⎫∈ ⎪⎝⎭在斜率为1的直线上.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】(1)21n a n =+(2)152522n n n T ++=-【解析】【分析】（1）根据斜率公式可得出()222n S n n n =+≥，可知13S =满足()222n S n n n =+≥，可得出22n S n n =+，再利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式；（2）求得1212n n n c ++=，利用错位相减法可求得n T .(1)解：由13a =，点,n S n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭在斜率为1的直线上，知1111n S S n n -=-，即()222n S n n n =+≥.当1n =时，113S a ==也符合上式，故22n S n n =+.当2n ≥时，()()221212121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦；13a =也满足上式，故21n a n =+.(2)解：112122n n n n a n c +++==.则2341357212222n n n T ++=++++ ，所以，3412135212122222n n n n n T ++-+=++++ ，上式-下式得1232211113111213214212422224212n n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪++⎛⎫⎝⎭=++++-=+- ⎝⎭- 252542n n ++=-，因此，152522n n n T ++=-.3．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，且过点(3,1).(1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B ，P 三点在椭圆C 上，O 为原点，设直线,OA OB 的斜率分别是12,k k ，且1213k k ⋅=-，若OP OA OB λμ=+，证明：221λμ+=.【答案】(1)221124x y +=(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由条件可得c a22911a b +=，222c b a +=，解出即可；（2）设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ，由条件可得012012x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩，12123x x y y =-，然后将01212x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩代入椭圆方程可得2222221122121221124124124x y x y x x y y λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，然后可得答案.(1)因为ca=22911a b +=，222c b a +=所以可解得2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程221124x y +=.(2)设()()()112200,,,,,A x y B x y P x yOP OA OB λμ=+ ，012012x x x y y y λμλμ=+⎧∴⎨=+⎩()()222212120011124124x x y y x y λμλμ+++=∴+= 即2222221122121221124124124x y x y x x y y λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222112211124124x y x y +=+= ，，即22121221124x x y y λμλμ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭又1212121133y y k k x x ⋅=-∴=- ，即12123x x y y =-，221λμ∴+=4．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，A ､B 分别为椭圆C 的右顶点､上顶点，F 为椭圆C的右焦点，椭圆C 的离心率为12，ABF 的面积为32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P 为椭圆C 上的动点（不是顶点），点P 与点M ，N 分别关于原点､y 轴对称，连接MN 与x 轴交于点E ，并延长PE 交椭圆C 于点Q ，则直线MP 的斜率与直线MQ 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)22143x y +=(2)是定值，定值为32-【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率可得到a,b,c 的关系，再结合ABF 的面积可得到()a c b -=，由此解得a,b ，可得答案.（2）设直线方程，并联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，结合直线MP 的斜率与直线MQ 的斜率之积，代入化简可得答案.(1)由题意得12c a =，则2a c =，b =.ABF 的面积为()1322a cb -=，则()a c b -将2a c =，b =代入上式，得1c =，则2a =，b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=.(2)由题意可知直线PQ 的斜率一定存在，设直线PQ 的方程为y kx m =+，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()11,M x y --，()11,N x y -，()1,0E x -，联立方程22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2223484120k x kmx m +++-=，∴122834kmx x k +=-+，∴()12122286223434km m y y k x x m k m k k ⎛⎫+=++=-+= ⎪++⎝⎭，∴21212263348434MQmy y k k km x x kk ++===-+-+，112PEPQ y k k k x ===，∵11112222MP PE y yk k k x x ====，∴33242MP MQ k k k k ⋅=-⨯=-∴MP MQ k k ⋅为定值32-.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及直线和椭圆的位置关系，综合考查了学生分析问题，解决问题以及计算方面的能力和综合素养，解答的关键是理清解决问题的思路，并能正确地进行计算.5．已知圆M 过点()1,0，且与直线1x =-相切.(1)求圆心M 的轨迹C 的方程；(2)过点()2,0P 作直线l 交轨迹C 于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A '.问A B '是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.【答案】(1)24y x =(2)()2,0-【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义计算可得；（2）设直线l 的方程为2x ty =+，()11,A x y 、()22,B x y ，则()11,A x y '-，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，再表示出直线A B '的方程，将12y y +、12y y 代入整理即可得解；(1)解：由题意知动点M 的轨迹C 是以(0,0)O 为顶点，()1,0为焦点，1x =-为准线的抛物线，所以动圆圆心M 的轨迹方程为：24y x =；(2)解：设直线l 的方程为2x ty =+，()11,A x y 、()22,B x y 不妨令21y y >，则()11,A x y '-，联立直线l 与抛物线方程得224x ty y x =+⎧⎨=⎩消去x 得2480y ty --=，则124y y t +=、128y y =-，则直线A B '的方程为()()211121y y y y x x x x +--=--，即()()21212121x x y x y y y x y x -+=+-，则()()()()2121212122ty ty y ty y y y x y ty -++=+-+，()()()2121211222t y y y y y x ty y y y -=+--+，即()()21211222y y y x ty y y y =+--+，所以()42824y tx t t ⋅=-⨯--⨯，即()2y t x =+，令200x y +=⎧⎨=⎩解得20x y =-⎧⎨=⎩，所以直线A B '恒过定点()2,0-；6．已知1F ，2F 是椭圆C ：()222104x yb b+=>的左、右焦点，过1F 的直线与C 交于A ，B两点，且22::3:4:5AF AB BF =.(1)求C 的离心率；(2)设M ，N 分别为C 的左、右顶点，点P 在C 上（P 不与M ，N 重合），证明：MPN MAN ∠≤∠.【答案】(2)见解析【解析】【分析】（1）由题意设223,4,5AF m AB m BF m ===，由勾股定理的逆定理可得290BAF ∠=︒，再根据椭圆的定义可求出m 的值，从而可求出12,AF AF 的值，则可得点A 是椭圆短轴的一个端点，进而可求出离心率，（2）由椭圆的对称性，不妨设00(,)P x y，0y ∈，,PMN PNM αβ=∠=∠，则可得0000tan ,tan 22y y x x αβ==+-，然后求出tan tan αβ+，tan tan αβ，再利用正切的两角和公式可得02tan()y αβ+=，由正切函数可求出αβ+的最小值，从而可求出()MPN παβ∠=-+的最大值，进而可证得结论(1)由()222104x y b b+=>，得24a =，得2a =，由题意设223,4,5AF m AB m BF m ===，则22222AF AB BF +=，所以290BAF ∠=︒，因为223451248AF AB BF m m m m a ++=++===，所以23m =，所以22AF =，所以122422AF a AF =-=-=，所以12AF F △为等腰直角三角形，所以点A 是椭圆短轴的一个端点，所以b c =，因为222224b c b a +===，得b c =所以椭圆的离心率为2c e a ==(2)由（1）可得椭圆方程为22142x y +=，则(2,0),(2,0)M N -,因为点A是椭圆短轴的一个端点，所以不妨设A ,由椭圆的对称性，不妨设00(,)P x y，0y ∈，,PMN PNM αβ=∠=∠,则0000tan ,tan 22y y x x αβ==+-，2200142x y +=，所以2200002200001tan tan 22422y y y y x x x y αβ⋅=⋅===+--，00002200000442tan tan 2242y y y y x x x y y αβ+=+===+--，所以0tan tan 4tan()1tan tan y αβαβαβ++==-，所以当0y =tan()αβ+取得最小值由（1）可知290BAF ∠=︒，所以()0,2παβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以当tan()αβ+取得最小值时，αβ+取得最小值，即点P 与点A 重合时，αβ+取得最小值，此时()MPN παβ∠=-+取得最大，所以MPN MAN∠≤∠7．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为，且过点)P(1)求C 的方程：(2)设直线()0y kx m m =+>交y 轴于点M ，交C 于不同两点A ，B ，点N 与M 关于原点对称，BO AN ⊥，Q 为垂足.问：是否存在定点M ，使得·NQ NA 为定值？【答案】(1)221102x y +=(2)存在【解析】【分析】（1）利用待定系数法求方程；（2）联立方程组，结合韦达定理可得直线恒过定点，进而求解.(1)依题意知2a =a =所以C 的方程可化为222110x y b+=，将点)P代入C 得251110b +=，解得22b =，所以椭圆方程为221102x y +=；(2)设点()11,A x y ，()22,B x y ，联立221102x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，()22215105100k x kmx m +++-=，()()()222104155100km k m ∆=-+->，解得22210m k <+，1221015km x x k -+=+，212251015m x x k -=+，注意到Q ，N ，A 三点共线，NQ NA NQ NA ⋅=⋅，又()NQ NA NB BQ NA NB NA ⋅=+⋅=⋅()()()()1212121222x x y m y m x x kx m kx m =+++=+++()()()()222222212122215102012441515k m k mkx xmk x x mm kk+-=++++=-+++()222221510510415k m m m k--+-=++当()2215105510m m --=-，解得1m =±，因为0m >，所以1m =，此时1NQ NA ⋅=-，满足0∆>，故存在定点()0,1M ，使得1NQ NA ⋅=-等于定值1.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．8．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>,4a M b ⎛⎫ ⎪⎝⎭为焦点是22y x =的抛物线上一点，H 为直线y a =-上任一点，A ，B 分别为椭圆C 的上，下顶点，且A ，B ，H 三点的连线可以构成三角形.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线HA ，HB 与椭圆C 的另一交点分别交于点D ，E ，求证：直线DE 过定点.【答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率求出,a c 的关系式，再由,4a M b ⎛⎫⎪⎝⎭为抛物线22=y x 上的点，结合222a b c =+，即可求出椭圆C 的方程.（2）设点()(),20H m m -≠，求得HA ，HB 的方程，与椭圆联立求得,D E 坐标，写出直线DE 的方程，即可求出DE 恒过的定点.(1)由题意知，222224c aa b a b c⎧=⎪⎪⎪=⨯⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)设点()(),20H m m -≠，易知()0,1A ，()0,1B -，∴直线HA 的方程为31y x m =-+，直线HB 的方程为11y x m=--.联立223114y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22362410x x m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，∴22436D m x m =+，223636D m y m -=+，同理可得284E m x m -=+，2244E m y m -=+，∴直线DE 的斜率为21216m k m-=，∴直线DE 的方程为222241284164m m m y x m m m --⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭，即2121162m y x m -=-，∴直线DE 过定点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.9．已知点(1,2)M -在抛物线2:2(0)E y px p =>上.(1)求抛物线E 的方程；(2)直线12,l l 都过点12(2,0),,l l 的斜率之积为1-，且12,l l 分别与抛物线E 相交于点A ，C 和点B ，D ，设M 是AC 的中点，N 是BD 的中点，求证：直线MN 恒过定点.【答案】(1)24y x =(2)证明见解析【解析】【分析】（1）将点坐标代入求解抛物线方程；（2）设出直线方程，表达出,M N 的坐标，求出直线MN 的斜率，利用直线斜率之积为-1，求出直线MN 恒过的定点，从而证明出结论.(1)∵点(1,2)M -在抛物线2:2E y px =上，∴2(2)2p -=，∴解得:2p =，∴抛物线E 的方程为：24y x =.(2)由12,l l 分别与E 相交于点A ，C 和点B ，D ，且由条件知：两直线的斜率存在且不为零.∴设1122:2,:2l x m y l x m y =+=+由214,2y x x m y ⎧=⎨=+⎩得：21480y m y --=设()()1122,,,A x y C x y ，则1214y y m +=，∴12M y m =，又2122M x m =+，即()21122,2M m m +同理可得：()22222,2N m m +∴()()212212212212222MN m m k m m m m -==++-+，∴()211121:222MN y m x m m m -=--+即MN ：()1212121y x m m m m =--⎡⎤⎣⎦+，∵12,l l 的斜率之积为1-，∴12111m m ⋅=-，即121m m =-，∴121:(4)MN y x m m =-+，即直线MN 过定点(4,0).10．已知抛物线()20x ay a =>，过点0,2a M ⎛⎫ ⎪⎝⎭作两条互相垂直的直线12,l l ，设12,l l 分别与抛物线相交于,A B 及,C D 两点，当A 点的横坐标为2时，抛物线在点A 处的切线斜率为1.(1)求抛物线的方程；(2)设线段,AB CD 的中点分别为,E F ，O 为坐标原点，求证直线EF 过定点.【答案】(1)24x y =；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）结合导数知识，利用切线斜率构造方程可得a ，由此可得抛物线方程；（2）将直线AB 方程代入抛物线方程中，结合韦达定理可确定中点坐标，同理可得CD中点坐标，利用直线方程两点式可得直线EF 方程，化简可知其过定点()0,4.(1)由2x ay =得：21y ax =，则2y x a '=，241x y a=∴=='，解得：4a =，∴抛物线方程为：24x y =；(2)由题意知：直线12,l l 的斜率都存在且都不为零，由（1）知：()0,2M ，设直线:2AB y kx =+，代入24x y =得：2480x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，128x x =-，()21212444y y k x x k ∴+=++=+，AB ∴中点()22,22E k k +；12l l ⊥ ，1:2CD y x k ∴=-+，同理可得：CD 中点222,2F k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；EF ∴的方程为：()()222222222222k k y k x k k k ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭-+=-+，化简整理得：14y k x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则当0x =时，4y =，∴直线EF 恒过定点()0,4.【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；④根据直线过定点的求解方法可求得结果.11．在直角坐标系xOy 中，曲线:C 221x y +=经过伸缩变换x xy '='=⎧⎪⎨⎪⎩后的曲线为1C ，以x 轴正半轴为级轴，建立极坐标系.曲线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2)若1C 上的一点P 到2C 的距离的最大，求距离的最大值及P 点的坐标.【答案】(1)1C ：2213y x +=，2C ：40x y +-=；(2)max d =，1322P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.【解析】【分析】()1直接利用转换关系，把参数方程，直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；()2利用三角函数关系式的变换和点到直线的距离公式的应用求出结果.(1)解：由伸缩变换x xy '='=⎧⎪⎨⎪⎩得，代入曲线:C 221x y +=得：1C 的普通方程为2213y x +=，由极坐标方程sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin y ρθ=，cos x ρθ=可得：2C 的直角坐标方程为40x y +-=.(2)解：直线2C 的普通方程为40x y +-=，设1C上的为点()cos P θθ，到2C 的距离为d =当且仅当()223k k Z πθπ=-+∈时，取得max d =，又因为1cos 23y 2x θθ⎧==-⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，即点P 的坐标为1322⎛⎫-- ⎪⎝⎭.12．已知椭圆C ：2222+x y a b=1（a >b >0）经过点A （0，1），且右焦点为F （1，0）.(1)求C 的标准方程；(2)过点（0，12）的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点P .Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N .证明：以MN 为直径的圆过y 轴上的定点.【答案】(1)2212x y +=(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由已知得,c b ，再求得a ，即得椭圆方程；（2）由题意直线l 斜率存在，可设直线1:2l y kx =+，设()()1122,,,P x y Q x y ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得1212,x x x x +，由直线,AP AQ 方程求出,M N 坐标，求出以MN 为直径的圆的方程，然后代入1212,x x x x +求得圆方程的常数项，从而可得y 的定点坐标．(1)由题意可得1,1c b ==从而22a =.所以椭圆的标准方程为2212x y +=.(2)证明：由题意直线l 斜率存在，可设直线1:2l y kx =+，设()()1122,,,P x y Q x y ，将直线l 代入椭圆方程得()2242430k x kx ++-=，所以12122243,,4242k x x x x k k --+==++，直线AP 的方程为1111y y x x -=+，直线AQ 的方程为2211y y x x -=+.可得1212,0,,011x x M N y y ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，以MN 为直径的圆方程为，21212011x x x x y y y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，即()()221212121201111x x x x x y x y y y y ⎛⎫++++= ⎪----⎝⎭.①因为()()()1212122121212124111142122x x x x x x y y k x x k x x kx kx ==---++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22212612842k k k -==--+++.所以在①中令0x =，得26y =，即以MN 为直径的圆过y轴上的定点(0,，13．已知抛物线C ：()220y px p =>，过点()2,0R 作x 轴的垂线交抛物线C 于G ，H 两点，且OG OH ⊥（O 为坐标原点）.(1)求p ；(2)过()2,1Q 任意作一条不与x 轴垂直的直线交抛物线C 于A ，B 两点，直线AR 交抛物线C 于不同于点A 的另一点M ，直线BR 交抛物线C 于不同于点B 的另一点N .求证：直线MN 过定点.【答案】(1)1p =(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由题意知2RG OR ==，不妨设()2,2G ，代入抛物线方程中可求出p 的值，（2）设211,2y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233,2y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,2y N y ⎛⎫⎪⎝⎭，则可表示出直线AB ，AM ，BN 的方程，再由直线AB 过()2,1Q 及直线AM ，BN 过()2,0R 可得()121240y y y y -++=，13244y y y y ==-，再表示出直线MN 的方程，结合前面的式子化简可得结论(1)由题意知，2RG OR ==.不妨设()2,2G ，代入抛物线C 的方程，得44p =解得1p =.(2)由（1）知，抛物线C 的方程为22y x =.设211,2y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233,2y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,2y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线AB 的斜率为12221212222AB y y k y y y y -==+-.所以直线AB 的方程为2111222y y x y y y ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，即()121220x y y y y y -++=.同理直线AM ，BN ，MN 的方程分别为()131320x y y y y y -++=，()242420x y y y y y -++=，()343420x y y y y y -++=，由直线AB 过()2,1Q 及直线AM ，BN 过()2,0R 可得()121240y y y y -++=，13244y y y y ==-.又直线MN 的方程为()343420x y y y y y -++=，即1212441620x y y y y y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭.所以直线MN 的方程为()1212280y y x y y y +++=.把()121240y y y y -++=代入()1212280y y x y y y +++=，得()12122480y y x y y y +++=，()122)880(y y x y y +++=，所以由20x y +=，880y +=可得2x =，1y =-.所以直线MN 过定点()2,1-.14．已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，A 两点，且PF λFA = .(1)若λ=4，求直线l 的方程；(2)设点E (a ，0)，直线PE 与抛物线C 的另一个交点为B ，且PE EB μ=.若λ=4μ，求a的值.【答案】(1)4340x y --=或4340x y +-=(2)4【解析】【分析】（1）由4PF FA =得014y y =-，设直线l ：1x my =+，与抛物线C :24y x =联立，结合韦达定理，即得解；（2）由PF λFA = 得01y y λ=-，结合014y y =-，可得204y λ=，再由PE EB μ= 得02y y μ=-，设直线PB ：x ny a =+，与抛物线C ：24y x =联立由韦达定理可得024y y a =-，故204y aμ=，又4λμ=，代入运算即得解(1)易知焦点F (1，0)，设P (0x ，0y )，A (1x ，1y )由4PF FA =得014y y =-设直线l ：1x my =+，与抛物线C :24y x =联立得2440y my --=，其中216160m ∆=+>，所以014y y =-由①②可得0141y y =⎧⎨=-⎩或0141y y =-⎧⎨=⎩又014y y m +=，所以34m =或34m =-所以直线l 的方程为314x y =+或314x y =-+.化简得4340x y --=或4340x y +-=(2)由PF λFA =得01y y λ=-又014y y =-可得204y λ=设点B (2x ，2y )，由PE EB μ= 得02y y μ=-设直线PB ：x ny a =+，与抛物线C ：24y x =联立得2440y ny a --=.所以216()0n a ∆=+>，024y y a=-故204y aμ=又4λμ=，所以2200444y y a=⋅，考虑到点P 异于原点，所以00y ≠，解得4a =此时2216()16(4)0n a n ∆=+=+>所以a 的值为415．平面直角坐标系xOy 中，双曲线22:136x y C -=的右焦点为F ，T 为直线:1l x =上一点，过F 作TF 的垂线分别交C 的左、右支于P 、Q 两点，交l 于点A ．(1)证明：直线OT 平分线段PQ ；(2)若3PA QF =，求2TF 的值．【答案】(1)证明见解析(2)12+【解析】【分析】（1）设直线PQ 的方程为3x ty =+，设点()11,P x y 、()22,Q x y ，将直线PQ 的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出线段PQ 的中点N 的坐标，计算得出ON OT k k =，证明出O 、T 、N 三点共线，即可证得结论成立；（2）由3PA QF =得3PA QF = ，可得出1238x x -+=，变形可得出()()12212184384x x x x x x ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，两式相乘结合韦达定理可求得2t 的值，再利用两点间的距离公式可求得2TF 的值.(1)解：依题意，3F x ==，即()3,0F ，设()1,2T t ，则直线PQ 的方程为3x ty =+，由22326x ty x y =+⎧⎨-=⎩得()222112120t y ty -++=，设()11,P x y 、()22,Q x y ，则()222210Δ14448210t t t ⎧-≠⎪⎨=-->⎪⎩，故212t ≠，由韦达定理可得1221221t y y t +=--，1221221y y t =-，所以()121226621x x t y y t +=++=--，又直线PQ 分别交C 的左、右支于P 、Q 两点，所以()()()22121212122963339021t x x ty ty t y y t y y t +=++=+++=-<-，故212t >所以PQ 中点为2236,2121t N t t ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭，所以2ON OT k t k ==，故O 、T 、N 三点共线，即直线OT 平分线段PQ ．(2)解：依题意，由3PA QF =得3PA QF =，则()12133x x -=-，即1238x x -+=，所以()12284x x x ++=，①，()121384x x x +-=，②①×②得()()21212123166416x x x x x x +++-=，所以()22222366963166416212121t t t t+⨯-⨯-=-⨯---，解得28374t +=，或28374t -=（舍去），此时，224412t TF =+=+【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.16．已知抛物线2:4E y x =，F 为其焦点，O 为原点，A ，B 是E 上位于x 轴两侧的不同两点，且5OA OB ⋅=．(1)求证：直线AB 恒过一定点；(2)在x 轴上求一定点C ，使F 到直线AC 和BC 的距离相等；(3)在（2）的条件下，当F 为ABC 的内心时，求ABC 重心的横坐标．【答案】(1)证明见解析(2)见解析(3)173【解析】【分析】（1）设直线AB 的方程为x my n =+，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，联立24x my n y x =+⎧⎨=⎩，消x 得：2440y my n --=，124y y m +=，124y y n =-，结合向量的数量积，转化求解直线AB 的方程，推出结果．（2）在x 轴上求一定点C ，使F 到直线AC 和BC 的距离相等即CF 平分ACB ∠，即直线AC 与直线BC 关于x 轴对称，根据斜率和为零，从而可得结果；（3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 与x 轴交于N ，由题意可得32AC CF AN NF ==，坐标化，结合点在抛物线上可得点的坐标，从而得到结果.(1)设直线AB 的方程为x my n =+，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，联立24x my n y x=+⎧⎨=⎩，消x 得：2440y my n --=，则124y y m +=，124y y n =-，由5OA OB ⋅= 得：21212()516y y y y +=，所以：1220y y =-或124y y =（舍去），即4205n n -=-⇒=，所以直线AB 的方程为5x my =+，所以直线AB 过定点(5,0)P ．(2)由（1）知，直线AB 过定点(5,0)P 可设直线AB 的方程为5x my =+，此时124y y m +=，1220y y =-，设x 轴上定点C 坐标为(,0)t ，要使F 到直线AC 和BC 的距离相等，则CF 平分ACB ∠，即直线AC 与直线BC 关于x 轴对称，故0AC BC k k +=，即21210y yx t x t+=--，∴()()21120y x t y x t -+-=，∴()()1212250my y t y y +-+=，∴()40450m m t -+-=对任意m 恒成立，∴510t -=，5t =-，故在x 轴上有一定点C (5,0)-，使F 到直线AC 和BC 的距离相等；(3)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 与x 轴交于N ，∵F 为ABC 的内心，∴32AC CF AN NF ==，32=，即2211126250x y x +-+=，又2114y x =，∴21122250x x -+=，同理22222250x x -+=，∴12,x x 是方程222250x x -+=的两个根，∴1222x x +=，∴三角形重心的横坐标为1251733x x +-=.17．已知椭圆C 的两个顶点分别为()2,0A -，()2,0B ，焦点在x (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线()()10y k x k =-≠与x 轴交于点P ，与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于Q ，求MN PQ的取值范围.【答案】(1)2214x y +=；(2)(4,【解析】【分析】（1）由顶点和离心率直接求,,a b c 即可；（2）先联立直线和椭圆方程，借助弦长公式表示出弦长MN ，再求出垂直平分线和Q 坐标，表示出PQ ，最后分离常数求取值范围即可.(1)由题意知2222,a c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩可得1,2a b ==，故椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)由()22114y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，可得()2222418440k x k x k +-+-=，设()()1122,,,M x y N x y ，则22121222844,4141k k x x x x k k -+=⋅=++，()121222241k y y k x x k -+=+-=+，线段MN 的中点为2224,4141k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，线段MN 的垂直平分线方程为22214()4141k k y x k k k --=--++，令0y =，得22341kx k =+，所以223,041k Q k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，又(1,0)P ，则22223114141k k PQ k k +=-=++,又12MN x x =-=所以2241141MN k k PQk +==++220,1331k k ≠∴<-<+ ，故MN PQ的取值范围为(4,.【点睛】（1）关键在于建立,,a b c 的关系式求解；（2）关键在于联立直线和椭圆方程，依次求出垂直平分线和弦长MN 、PQ ，转化成关于k 的代数式求范围即可.18．定义平面曲线的法线如下：经过平面曲线C 上一点M ，且与曲线C 在点M 处的切线垂直的直线称为曲线C 在点M 处的法线．设点()()000,0M x y y >为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点．(1)求抛物线C 在点M 处的切线的方程（结果不含0x ）；(2)求抛物线C 在点M 处的法线被抛物线C 截得的弦长||AB 的最小值，并求此时点M 的坐标．【答案】(1)002y py x y =+(2)；()p 【解析】【分析】（1）先化简求导确定切线斜率，再按照在点处的切线方程进行求解；（2）先联立法线和抛物线方程，借助弦长公式表示弦长，最后换元构造函数，求导确定最小值.(1)因为点()()000,0M x y y >在抛物线上方，所以由2:2(0)C y px p =>得y =py y'=，所以在点M 处的切线斜率0y y pk y y ='==，所求切线方程为000()py y x x y -=-，又202y x p=，故切线方程为2000()2y p y y x y p -=-，即002y p y x y =+.(2)点M 处的法线方程为2000()2y y y y x p p-=--，即220022y p p x y y p +=-+.联立抛物线2:2(0)C y px p =>，可得()2232000220y y p y y p y +-+=，可知0∆>，设()()1122,,,A x y B x y ，()2221212002,2p y y y y y p y +=-⋅=-+，所以322212202()y p AB y y y +⋅-=.令200t y =>，则3222()(0)t p AB t t +=>，令3222()()(0)t p f t t t +=>，1312222222223()()()(2)2()2t p t t p t p t p f t t t +⋅-++⋅-'=⨯=，所以()f t 在()20,2p 单调递减，在()22,p +∞单调递增，所以()2min ()2f t f p ==，即min AB =，此时点M的坐标为()p .【点睛】（1）关键在于化简出0y >时的抛物线方程，借助求导确定切线斜率；（2）写出法线方程，联立抛物线求弦长是通用解法，关键在于换元构造函数之后，借助导数求出最小值.19．已知点()11,0F -，()21,0F ，M 为圆22:4O x y +=上的动点，延长1F M 至N ，使得1MN MF =，1F N 的垂直平分线与2F N 交于点P ，记P 的轨迹为Γ.(1)求Γ的方程；(2)过2F 的直线l 与Γ交于,A B 两点，纵坐标不为0的点E 在直线4x =上，线段OE 分别与线段AB ，Γ交于,C D 两点，且2OD OC OE =⋅，证明：AC BC =.【答案】(1)22143x y +=；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）由线段垂直平分线和三角形中位线性质可证得12124PF PF F F +=>，可知P 点轨迹为椭圆，由此可得轨迹方程；（2）由已知可知24D C x x =；当l 斜率不存在时显然不成立；当l 斜率存在时，设l 方程，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理可得AB 中点横坐标；设():0OE y k x k ''=≠，与直线l 和椭圆方程联立可求得34k k'=-，由此可整理得到C x ，与AB 中点横坐标相同，由此可得结论.(1)连接1,MO PF，PM 是1NF 的垂直平分线，1PF PN ∴=，1222PF PF PN PF NF ∴+=+=；,M O 分别为112,NF F F 中点，224NF MO ∴==，12124PF PF F F ∴+=>，P ∴点轨迹是以12,F F 为焦点，长轴长为4的椭圆，即2a =，1c =，23b ∴=，P ∴点轨迹Γ的方程为：22143x y +=；(2)2OD OC OE =⋅ ，即OD OE OC OD =，D EC Dx x x x ∴=，由题意知：0C x >，4E x =，24D C x x ∴=，①当直线l 斜率不存在时，即:1l x =，此时1C x =，2D x <，此时24D C x x =不成立；②当直线l 斜率存在时，设():1l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得：()22223484120k x k x k +-+-=，2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩，AB ∴中点的横坐标为21224234x x k k +=+；设直线OE 的方程为：()0y k x k ''=≠，由()1y k x y k x ='=⎧⎨-⎩得：kx k k ='-，即C k x k k ='-；由22143y k xx y =⎧='⎪⎨+⎪⎩得：221234x k ='+，即221234D x k ='+；由24D C x x =得：212434k k k k =''+-，整理可得：34k k '=-，2122434324C x x kk x k k k+∴===++，C ∴为线段AB 的中点，AC BC ∴=.【点睛】关键点点睛：本题考查定义法求解轨迹方程、直线与椭圆综合应用问题；本题证明C 为AB 中点的关键是能够通过已知等式得到,C D 两点横坐标之间满足的等量关系，进而表示出AB 中点横坐标和C 点横坐标，证明二者相等即可.20．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F，离心率2e =，P为椭圆上一动点，12PF F △面积的最大值为2.(1)求椭圆E 的方程；(2)若C ，D 分别是椭圆E 长轴的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连结CM 交椭圆于点N ，O 为坐标原点.证明：OM ON ⋅为定值；(3)平面内到两定点距离之比是常数()1λλ≠的点的轨迹是圆.椭圆E 的短轴上端点为A ，点Q 在圆228x y +=上，求22QA QP PF +-的最小值.【答案】(1)22142x y +=；(2)见解析；4.【解析】【分析】（1）结合离心率和12PF F △面积的最大值列出关于,,a b c 的方程，解方程即可；（2）设直线CM 方程，写出点M 坐标，联立椭圆方程，求点N 坐标，通过向量数量积计算即可；（3）设点R 坐标，借助点Q 在圆228x y +=上，将2QA 转化成RA ，再借助椭圆定义将2PF 转化成14PF -，最后通过1,,R P F 三点共线求出最小值.(1)当P 为短轴端点时，12PF F △的面积最大，2bc =，222222,c a bc a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,a b c ===，故椭圆E 的方程为22142x y +=.(2)由（1）知，()2,0,(2,0)C D -,设直线():2CM y k x =+，11(,)N x y ，,(2,4)MD CD M k ⊥∴ ，联立221,42(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得()22222218840k x k x k +++-=，由21284221k x k --=+得2122421k x k -=+，1124(2)21ky k x k =+=+，222244(,)2121k k N k k -∴++,2222442442121k kOM ON k k k -⋅=⨯⨯++ ，故OM ON ⋅为定值4.(3)由题意(A ，设()(0,),,R m Q x y ，使2QA QR =，()()22222,4QR x y m QAx y +-==+，整理得222282833m m x y y --++=，又点Q 在圆228x y +=上，20,883m =∴⎨-⎪=⎪⎩解得m =，(0,R 由椭圆定义得124PF PF =-，2112(4)4QA QP PF QR QP PF QR QP PF +-=+--∴=++-，当1,,R P F三点共线时，(10,,(R F 22QA QP PF +-∴4.【点睛】（1）关键在于建立,,a b c 的方程；（2）关键在于设出直线方程，联立得出点N 坐标；（3）关键在于利用题目中给出的圆的定义将2QA 转化成RA ，再结合椭圆定义，将问题简化成共线问题.21．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知O 为坐标原点，P 为椭圆C 上的一个动点，过点E0）作OP 的平行线交椭圆C 于M ，N 两点，问：是否存在实数t （t ＞0），使得||,||,||EM t OP EN 构成等比数列？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)22143x y +=(2)存在，12t =【解析】【分析】（1）由题意可得2a =，再将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程中可求出2b ，从而可求得椭圆的方程，（2）①当OP 的斜率存在时，设直线OP 的方程为y kx =，将直线方程代入椭圆方程中可求出22,x y ，则可得2OP ，设直线MN的方程为()()1122(,,,y k x M x y N x y =，将直线方程代入椭圆方程消去y ，利用根与系数的关系，再利用两点间的距离公式表示出||,||EM EN ，再计算||||EM EN 与2OP 比较可求出t 的值，②当OP 的斜率不存在时，可得||OP =MN的方程为x ||||EM EN 的值，进而可求出t (1)由题意可得24a =，所以2a =．因为点（1，32）在椭圆C 上，所以221914a b +=，解得23b =．所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．(2)①当OP 的斜率存在时，设直线OP 的方程为y kx =．联立方程，得22143y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得221234x k =+，2221234k y k =+．解得()2222221211212||343434k k OP k k k+=+=+++，设直线MN的方程为()()1122(,,,y k x M x y N x y =-．联立方程，得(22143y k x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩化简，得()22223412120k x x k +=+-=．因为点E0）在椭圆内部，所0∆>，221213221212,3434k x x x x k k-+=⋅=++，所以1||EM x =-．同理可得2||EN x =所以()(())22121212||||113EM EN kx xk x x x x ⋅=+=+⋅++()()22222223112122413343434k k kk k k k +-=+⋅-+=+++，假设存在实数(0)t t >），使得||,||,||EM t OP EN 构成等比数列，则22||||||EM EN t OP ⋅=．所以()()22222311213434k k tk k ++=⋅++．解得214t=．四为1t >，所以12t =，②当OP 的斜率不存在时，||OP =MN 的方程为x =x =22143x y +=，得234y =．所以||||2EM EN ==，当||,||,||EM t OP EN 构成等比数列时，22||||||EM EN t OP ⋅=，即2334t =．因为0t >，所以12t =．综上所述，存在实数12t =，使得||,||,||EM t OP EN 构成等比数列．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x y αααα⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线l 的极坐标方程为()cos sin 3m m ρθθ++=l 与曲线C 交于A ，B 两点.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若AB =CD .【答案】(1)2212x y +=，30mx y m ++=；(2)4.【解析】【分析】（1）消参法求曲线C 的普通方程，公式法求直线l 的直角坐标方程.（2）由（1）所得普通方程，结合圆中弦长、半径、弦心距的几何关系求圆心到直线l 的距离，再利用点线距离公式列方程求参数m ，即可得直线的倾斜角大小，由AB 、CD 的关系求CD 即可.(1)由题意，消去参数α，得曲线C 的普通方程为2212x y +=.将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入()cos sin 3m m ρθθ++得直线l的直角坐标方程为30mx y m ++=.(2)设圆心到直线l：30mx y m ++=的距离为d，则AB =3d =.3=，解得3m =-.所以直线l的方程为60x +=，则直线l 的倾斜角为30θ=︒.所以4cos30AB CD ==︒.23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线340x y ++=与圆1C ：222x y r +=相切，另外，椭圆2C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为32，过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于C ，D 两点．且1CD =．(1)求圆1C 的方程与椭圆2C 的方程；(2)经过圆1C 上一点P 作椭圆2C 的两条切线，切点分别记为A ，B ，直线PA ，PB 分别与圆1C 相交于M ，N 两点（异于点P ），求△OAB 的面积的取值范围．【答案】(1)225x y +=，2214x y +=；(2)4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）由直线与圆的相切关系及点线距离公式求参数r ，即可得圆1C 的方程，根据椭圆离心率、22b CD a=及椭圆参数关系求出a 、b 、c ，即可得椭圆2C 的方程.（2）设()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，讨论直线PA ，PB 斜率存在性，则直线PA 为()111y k x x y =-+、直线PB 为()222y k x x y =-+，联立椭圆方程并结合所得一元二次方程0∆=求1k 、2k ，进而得直线PA 为1114x x y y +=、直线PB 为2214x xy y +=，结合P 在直线PA ，PB 上有AB 为0014x xy y +=，联立椭圆方程，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式，结合三角形面积公式得0OAB S = .(1)由题设，圆1C ：222x y r +=的圆心为()0,0，因为直线340x y ++=与圆1C相切，则r ==所以圆1C 的方程为225x y +=，因为椭圆2Cc e a ==c =，由221b CD a==，则22a b =，又222a b c =+，所以22324a a a =+，解得2a =，1b =，所以椭圆2C 的方程为2214x y +=．综上，圆1C 为225x y +=，椭圆2C 为2214x y +=.(2)设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ．当直线PA ，PB 斜率存在时，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则直线PA 为()111y k x x y =-+，直线PB 为()222y k x x y =-+．由()11122440y k x x y x y ⎧=-+⎨+-=⎩，消去y 得：()()()22211111111148440k x k y k x x y k x ++-+--=．所以()()()2222111111116441444k y k x k y k x ⎡⎤∆=--+--⎣⎦．令0∆=，整理得()2221111114210x k x y k y -++-=，则11111122111444x y x y x k x y y --=-==-，所以直线PA 为()11114x y x x y y -=-+，化简得：22111144x x y y y x +=+，即1114x x y y +=．经验证，当直线PA 斜率不存在时，直线PA 为2x =或2x =-也满足1114x xy y +=．同理，可得直线PB 为2214x xy y +=．因为()00,P x y 在直线PA ，PB 上，所以101014x x y y +=，202014x xy y +=．综上，直线AB 为0014x xy y +=．由00221444x xy y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，消去y 得：()22200035816160y x x x y +-+-=．所以01220835x x x y +=+，21220161635y x x y -=+．所以12AB x =-=)20203135y y +==+．又O 到直线AB的距离d ==所以)20200311235OABy S y +=⋅+ t =，[]1,4t ∈，则24444OAB t S t t t∆==++，又[]44,5t t+∈，所以△OAB 的面积的取值范围为4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】关键点点睛：第二问，设点及直线PA ，PB 的方程，联立椭圆结合相切关系求参数关系，进而确定PA ，PB 的方程，由P 在直线PA ，PB 上求直线AB 的方程，再联立椭圆并应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式求三角形面积的范围.24．已知点A ，B 是抛物线x 2=2py (p 为常数且p >0)上不同于坐标原点O 的两个点，且0OA OB ⋅= .(1)求证：直线AB 过定点；(2)过点A 、B 分别作抛物线的切线，两切线相交于点M ，记 OMA 、 OAB 、 OMB 的面积分别为S 1、S 2、S 3;是否存在定值λ使得22s =λS 1S 3?若存在，求出λ值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，4λ=【解析】【分析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线AB 方程为y kx t =+，代入抛物线方程中，消去y ，。

平面解析几何（经典）练习题一、选择题1．方程 x 2 + 6xy + 9y 2 + 3x + 9y –4 =0 表示的图形是（）A ． 2 条重合的直线B ． 2 条互相平行的直线C ．2 条相交的直线D ． 2 条互相垂直的直线2．直线 l 1 与 l 2 关于直线 x +y = 0 对称， l 1 的方程为 y = ax + b ，那么 l 2 的方程为（ ）A ． yx bx b C ． y x 1 xbaB ． yaaa bD ． yaa3．过点 A(1,－ 1)与 B(－ 1， 1)且圆心在直线 x+y －2=0 上的圆的方程为（）A ． (x － 3)2+(y ＋ 1)2=4B ． (x ＋ 3)2+( y － 1)2=4C ．4(x ＋ 1)2+( y ＋ 1)2=4D ． (x － 1)2+(y － 1)2=4．若 A(1 ， 2)， B( － 2， 3)， C(4， y)在同一条直线上，则 y 的值是（）1B ．3C ． 1D ．－ 1A ．225．圆 x 2y 2 2x 3与直线 yax1 的交点的个数是（）A ． 0 个B ． 1 个C ．2 个D ．随 a 值变化而变化6．已知半径为1 的动圆与定圆 ( x5) 2 ( y7) 2 16 相切，则动圆圆心的轨迹方程是（）A ． (x 5)2 ( y 7) 2 25B ． (x 5)2 ( y 7) 2 3 或 ( x 5)2( y 7) 2 15C ． (x 5)2( y 7) 29D ． (x 5)2 ( y 7) 2 25 或 (x 5)2 ( y 7) 297．直线 kx －y ＋ 1＝ 3k ，当 k 变动时，所有直线都通过定点（）A ． (0， 0)B ．(0， 1)C ． (3， 1)D ． (2， 1)8．下列说法的正确的是（ ）A ．经过定点 P 0 x 0 ， y 0 的直线都可以用方程 y y 0 k x x 0 表示B ．经过定点 A 0，b 的直线都可以用方程 ykx b 表示 C ．不经过原点的直线都可以用方程x y 1 表示a bD ．经过任意两个不同的点P 1 x 1， y 1 、 P 2 x 2， y 2 的直线都可以用方程y y 1 x 2 x 1x x 1y 2 y 1 表示9．已知两定点 A(－ 3， 5)， B(2， 15)，动点 P 在直线 3x － 4y ＋ 4＝0 上，当 PA ＋ PB取最小值时，这个最小值为（）A ． 5 13B ． 362C ． 155 D ． 5＋10 210．方程 x y1 x 2y 24 0 所表示的图形是（）A ．一条直线及一个圆B ．两个点C ．一条射线及一个圆D ．两条射线及一个圆11．如果实数 x, y 满足等式 ( x2)2y23 ，那么 y的最大值是（ ）x1B ．33D ．3A ．3C ．2212．设 A （ 3， 3， 1）， B （1， 0， 5）， C （0， 1， 0）， AB 的中点 M ，则 |CM |（）535353D ．13A ．B ．2C ．242二、填空题13．已知△ ABC 中 A ( 4, 1) ， B (2, 3) ， C (3,1) ，则△ ABC 的垂心是．141 时，两条直线 kx y k 1 、 ky x 2k 的交点在 象限 ．当 0 k215．求圆 x 2y 21上的点到直线 x y 8 的距离的最小值． 16．过点 M （ 0，4）、被圆 (x 1) 2 y 24 截得的线段长为 23 的直线方程为__17．若点 N （ a,b ）满足方程关系式b 3a 2＋b 2－4a － 14b ＋ 45=0 ，则 u的最大值a2为．三、解答题18．△ ABC 中， A(0， 1)，AB 边上的高线方程为x ＋2y － 4＝ 0，AC 边上的中线方程为 2x ＋y － 3＝ 0,求 AB ， BC ， AC 边所在的直线方程．19．求经过点 A(2 ，－ 1)，和直线 xy 1 相切，且圆心在直线 y 2x 上的圆的方程．20．已知两直线l1: ax by40, l2: (a1)x y b0 ,求分别满足下列条件的a 、b的值．（ 1）直线l1过点(3,1) ，并且直线l1与直线l 2垂直；（ 2）直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1、 l 2的距离相等．21．已知圆x2＋y2＋ x－ 6y＋ 3=0 与直线 x＋ 2y－ 3=0 的两个交点为 P、Q，求以 PQ 为直径的圆的方程．．求圆心在直线x y0上，且过两圆 x2y 22x 10 y 24 0 ，22x2y22x 2 y8 0 交点的圆的方程．23．已知点P（ 2，0），及○· C： x2＋ y2－ 6x＋4y＋ 4=0.（1）当直线 l 过点 P 且与圆心 C 的距离为 1 时，求直线 l 的方程；（2）设过点 P 的直线与○· C 交于 A、 B 两点，当 |AB|=4，求以线段 AB 为直径的圆的方程.24．已知动点M 到点 A（ 2， 0）的距离是它到点B（ 8，0）的距离的一半，求：（ 1）动点 M 的轨迹方程；（ 2）若 N 为线段 AM 的中点，试求点N 的轨迹．．已知圆C:x 1 2y 2 225及直线l : 2m 1 x m 1 y 7m 4 .m R25（ 1）证明 : 不论m取什么实数 ,直线 l 与圆 C 恒相交；（ 2）求直线 l 与圆 C 所截得的弦长的最短长度及此时直线l 的方程．。

专题11平面解析几何解答题历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019 椭圆2019年北京文科19解答题2018 椭圆2018年北京文科20解答题2017 椭圆2017年北京文科19解答题2016 椭圆2016年北京文科19解答题2015 椭圆2015年北京文科20解答题2014 椭圆2014年北京文科19解答题2013 椭圆2013年北京文科19解答题2012 椭圆2012年北京文科19解答题2011 椭圆2011年北京文科19解答题2010 椭圆2010年北京文科19历年高考真题汇编1．【2019年北京文科19】已知椭圆C：1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，直线l：y＝kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N．若|OM|•|ON|＝2，求证：直线l经过定点．2．【2018年北京文科20】已知椭圆M：1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若k＝1，求|AB|的最大值；（Ⅲ）设P（﹣2，0），直线P A与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D．若C，1D和点Q （，）共线，求k．3．【2017年北京文科19】已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．4．【2016年北京文科19】已知椭圆C ：1过点A（2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线P A与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．5．【2015年北京文科20】已知椭圆C：x2+3y2＝3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M．（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．6．【2014年北京文科19】已知椭圆C：x2+2y2＝4．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．7．【2013年北京文科19】直线y＝kx+m（m≠0）与椭圆相交于A，C两点，O是坐标原点．（Ⅰ）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；（Ⅱ）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．8．【2012年北京文科19】已知椭圆C ：1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y＝k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，23（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当△AMN 的面积为时，求k 的值．9．【2011年北京文科19】已知椭圆G ：1（a ＞b ＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l 与椭圆G 交与A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P （﹣3，2）． （Ⅰ）求椭圆G 的方程； （Ⅱ）求△P AB 的面积．10．【2010年北京文科19】已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线y ＝t 椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段为直径作圆P ，圆心为P ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；（Ⅲ）设Q （x ，y ）是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：直线方程、圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线，曲线与方程等.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为：直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为63，椭圆22222:1(0)33x y C a b a b +=>>经过点433,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆1C 的标准方程；（2）设点M 是椭圆1C 上的任意一点，射线MO 与椭圆2C 交于点N ，过点M 的直线l 与椭圆1C 有且只有一个公共点，直线l 与椭圆2C 交于,A B 两个相异点，证明：NAB △面积为定值.2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)经过点(0，3-)，点F 是椭圆的右焦点，点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当MF ＝2FN 时，求直线l 的方程；（3）若直线l 上存在点P 满足PM·PN＝PF 2，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上．3．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点． （1）若直线l 过点F 且8AB =，求直线l 的方程；（2）已知点(2,0)E -，若直线l 不与坐标轴垂直，且AEO BEO ∠=∠，证明：直线l 过定点．4．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，()2,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，点C 在第一象限，且0AC BC ⋅=u u u r u u u r，||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r ．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P 、Q 为椭圆上不重合的两点且异于A 、B ，若PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴，问是否存在实数λ，使得PQ AB =λu u u r u u u r？若不存在，请说明理由；若存在，求λ取得最大值时的PQ 的长．55．已知抛物线216y x =，过抛物线焦点F 的直线l 分别交抛物线与圆22(4)16x y -+=于,,,A C D B （自上而下顺次）四点.（1）求证：||||AC BD ⋅为定值； （2）求||||AB AF ⋅的最小值.6．已知O 为坐标原点，点()()2,02,0A B -，，()25,01AC AD CB CD λλ===<<u u u r u u u r，过点B 作AC的平行线交AD 于点E .设点E 的轨迹为τ. （Ⅰ）求曲线τ的方程；（Ⅱ）已知直线l 与圆22:1O x y +=相切于点M ，且与曲线τ相交于P ，Q 两点，PQ 的中点为N ，求三角形MON 面积的最大值.7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>3F 是椭圆C 的一个焦点．点(02)M ,，直线MF 的斜率为63． （1）求椭圆C 的方程；（2）若过点M 的直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，线段AB 的中点为N ，且AB MN ＝．求l 的方程．8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(23,3-，右焦点F 是抛物线28y x =的焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知动直线l 过右焦点F ，且与椭圆C 分别交于M ，N 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立?若存在求出点Q 的坐标:若不存在，说明理由.9．关于椭圆的切线由下列结论：若11(,)P x y 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，则过点P 的椭圆的切线方程为11221x x y y a b +=.已知椭圆22:143x y C +=.(1)利用上述结论，求过椭圆C 上的点(1,)(0)P n n >的切线方程；(2)若M 是直线4x =上任一点，过点M 作椭圆C 的两条切线MA ，MB （A ，B 为切点），设椭圆的右焦6点为F ，求证：MF AB ⊥.10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，离心率为12，P 为椭圆上一动点（异于左右顶点），若12AF F △3． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点1F 交椭圆C 于,A B 两点，问在x 轴上是否存在一点Q ，使得QA QB ⋅u u u r u u u r为定值？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．11．已知点()1,0F ，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r .（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设直线y kx b =+与轨迹C 交于两点，()11,A x y 、()22,B x y ，且12y y a -= (0a >，且a 为常数)，过弦AB 的中点M 作平行于x 轴的直线交轨迹C 于点D ，连接AD 、BD .试判断ABD ∆的面积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由12．已知点P 在抛物线()220C x py p =：＞上，且点P 的横坐标为2，以P 为圆心，PO 为半径的圆（O为原点），与抛物线C 的准线交于M ，N 两点，且2MN =． （1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线的准线与y 轴的交点为H ．过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B ，且AB HB ⊥，求AF BF -的值．13．已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义:()PFd P FQ=. （1）当8(1)3P --，时，求()d P ； （2）证明:存在常数a ，使得2()d P PF a =+.（3）123,,P P P 为抛物线准线上三点，且1223PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系.714．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线距离为2. （1）若点(1,1)E ，且点P 在抛物线C 上，求||||PE PF +的最小值；（2）若过点(0,)N b 的直线l 与圆22:(2)4M x y +-=相切，且与抛物线C 有两个不同交点,A B ，求AOB ∆的面积.15．已知曲线C 上的任意一点到直线l ：x=-12的距离与到点F （102，）的距离相等． （1）求曲线C 的方程；（2）若过P （1，0）的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，Q （-1，0）为定点，设直线AQ 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，直线AB 的斜率为k ，证明：22212112k k k +-为定值．。

第二章平面解析几何2.1坐标法课后篇巩固提升基础达标练1。

数轴上的三点M,N，P的坐标分别为3,-1，-5,则MM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于（)A。

-4 B。

4 C.12 D.-12⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =—1—3=—4。

2.数轴上点P(x），A(—8)，B(—4),若|PA|=2|PB|，则x等于（)A.0 B。

-163C.163D.0或-163｜PA|=2|PB|,所以|x+8｜=2|x+4｜，解得x=0或-163。

3。

P(1,—2）关于A(—1,1）的对称点P’的坐标为(）A.（3，4)B。

(-3,4）C.(3，-4)D。

(-3，—4)P’点坐标为(x ,y ），因为A 为PP'的中点， 所以{1+M2=-1,-2+M2=1,解得{M =-3,M =4,故P’的坐标为（—3,4）。

4。

已知平行四边形的三个顶点坐标为（3,—2）,(5,2）,(—1,4)，则第四个顶点不是( ) A.（9，—4) B 。

（1，8） C.(-3，0)D 。

(1,-3）x ，y )，然后分情况讨论。

（1）若点(3，—2),（5,2)为平行四边形的对顶点,则有3+52=-1+M 2,-2+22=4+M 2，解得x=9，y=—4,即（9,-4）;（2）若(5,2）,(—1,4）为对顶点，同理可求第四个顶点为（1，8);（3)若(3,—2),（-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为（—3,0）。

故选D 。

5。

在数轴上有点A （1）,若点A 负向移动3个单位长度到达点B ，则MM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 。

向量MM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与以B 为起点,终点坐标为 的向量是相等向量。

A (1)负向移动3个单位长度到达B 点，所以B 点坐标为-2,则向量MM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为-3，若以B 为起点的向量为—3，则终点坐标应为-5。

3 —56。

1．设椭圆C ：a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．2．(2016·衡水模拟)已知椭圆C 的中心为O ，两焦点为F 1，F 2，M 是椭圆C 上的一点，且满足|MF 1→|＝2|MO →|＝2|MF 2→|，则椭圆C 的离心率e ＝________.3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左，右焦点分别是F 1，F 2，B 是短轴的一个端点，若3BF 1→＝BA →＋2BF 2→，则椭圆的离心率为________．4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴的两个端点分别为A ，B ，点C 为椭圆上异于A ，B 的一点，直线AC 与直线BC 的斜率之积为－14，则椭圆的离心率为________．5．(2016·镇江模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP →＝(λ－1)OA →(λ∈R )，且OA →·OP →＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________． 6．(2016·济南3月模拟)在椭圆x 216＋y 29＝1内，过点M (1,1)且被该点平分的弦所在的直线方程为____________________．7．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，离心率为12，M 是椭圆上一点且MF 2与x 轴垂直，则直线MF 1的斜率为________．8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，BF ，若AB ＝10，AF ＝6，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝________.9．(2017·上海六校3月联考)已知点F 为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为(4,3)，则PQ ＋PF 取最大值时，点P 的坐标为________．10．(2016·镇江模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k (k ＞0)的直线与C 相交于A ，B 两点，若AF →＝3FB →，则k ＝________.11．(2016·连云港二模)已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的任意一点，若∠PF 1F 2＝α，∠PF 2F 1＝β，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则此椭圆的离心率为________．12．设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点，若ED →＝6DF →，则k 的值为________．13．(2017·黑龙江哈六中上学期期末)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P ，使a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为____________．14．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2的斜率的取值范围是－2，－1]，那么直线PA 1的斜率的取值范围是________．答案精析1.33解析 由题意知sin30°＝PF 2PF 1＝12，∴PF 1＝2PF 2.又∵PF 1＋PF 2＝2a ， ∴PF 2＝2a 3. ∴tan30°＝PF 2F 1F 2＝2a 32c ＝33. ∴c a ＝33. 2.63 解析不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆定义，得|MF 1→|＋|MF 2→|＝2a ，再结合条件可知|MO →|＝|MF 2→|＝2a 3.如图，过M 作MN ⊥OF 2于N ，则|ON →|＝c2，|MN →|2＝|MO →|2－c 24.设|MF 2→|＝x ，则|MF 1→|＝2x . 在Rt △MF 1N 中，4x 2＝94c 2＋x 2－c 24，即3x 2＝2c 2，而x 2＝4a 29，所以43a 2＝2c 2，即e 2＝c 2a 2＝23，所以e ＝63. 3.15解析 不妨设B (0，b )，则BF 1→＝(－c ，－b )，BA →＝(－a ，－b )，BF 2→＝(c ，－b )，由条件可得－3c ＝－a ＋2c ， ∴a ＝5c ，故e ＝15.4.32解析 设C (x 0，y 0)，A (0，b )，B (0，－b )，则x 20a 2＋y 20b 2＝1.故x 20＝a 2×(1－y 20b2)＝a 2×b 2－y 20b 2，又k AC ·k BC ＝y 0－b x 0×y 0＋b x 0＝y 20－b 2x 20＝－14，故a 2＝4b 2，c 2＝a 2－b 2＝3b 2，因此e ＝c 2a 2＝3b 24b 2＝32. 5．15解析 AP →＝OP →－OA →＝(λ－1)OA →，即OP →＝λOA →，则O ，P ，A 三点共线．又OA →·OP →＝72，所以OA →与OP →同向，所以|OA →||OP →|＝72.设OP 与x 轴的夹角为θ，点A 的坐标为(x ，y )，点B 为点A 在x 轴上的投影，则OP 在x 轴上的投影长度为|OP →|·cos θ＝|OP →|·|OB →||OA →|＝72|OB →||OA →|2＝72×|x |x 2＋y 2＝72·|x |1625x 2＋9＝72·11625|x |＋9|x |≤72·12×16×925＝15，当且仅当|x |＝154时，等号成立．故线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为15. 6．9x ＋16y －25＝0解析 设弦的两个端点的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则有x 2116＋y 219＝1，x 2216＋y 229＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)16＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)9＝0.又x 1＋x 2＝y 1＋y 2＝2，因此x1－x2 16＋y1－y29＝0，即y1－y2x1－x2＝－916，所求直线的斜率是－916，弦所在的直线方程是y－1＝－916(x－1)，即9x＋16y－25＝0.7．±3 4解析由离心率为12可得c2a2＝14，可得a2－b2a2＝14，即b＝32a，因为MF2与x轴垂直，故点M的横坐标为c，故c2a2＋y2b2＝1，解得y＝±b2a＝±34a，则M(c，±34a)，直线MF1的斜率为kMF1＝±3a8c＝±38×2＝±34.8.5 7解析设椭圆的右焦点为F1，在△ABF中，由余弦定理可解得BF＝8，所以△ABF 为直角三角形，且∠AFB＝90°，又因为斜边AB的中点为O，所以OF＝c＝5，连结AF1，因为A，B关于原点对称，所以BF＝AF1＝8，所以2a＝14，a＝7，所以离心率e＝5 7 .9．(0，－1)解析设椭圆的右焦点为E，PQ＋PF＝PQ＋2a－PE＝PQ－PE＋2 2. 当P为线段QE的延长线与椭圆的交点时，PQ＋PF取最大值，此时，直线PQ的方程为y＝x－1，QE的延长线与椭圆交于点(0，－1)，即点P的坐标为(0，－1)．10. 2解析由椭圆C的离心率为3 2，得c＝32a，b2＝a24，∴椭圆C：x2a2＋4y2a2＝1，F(32a,0)．设A(x A，y A)，B(x B，y B)，∵AF→＝3FB→，∴(32a －x A ，－y A )＝3(x B －32a ，y B )． ∴32a －x A ＝3(x B －32a )，－y A ＝3y B ， 即x A ＋3x B ＝23a ，y A ＋3y B ＝0. 将A ，B 的坐标代入椭圆C 的方程相减得9x 2B －x 2Aa2＝8，(3x B ＋x A )(3x B －x A )a 2＝8，∴3x B －x A ＝433a ， ∴x A ＝33a ，x B ＝539a ， ∴y A ＝－66a ，y B ＝618a ， ∴k ＝y B －y Ax B －x A ＝618a ＋66a 539a －33a ＝ 2.11.57解析 cos α＝55⇒sin α＝255，所以sin β＝sin(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝35·55±45·255＝11525或－55(舍去)． 设PF 1＝r 1，PF 2＝r 2，由正弦定理得r 111525＝r 2255＝2c 35⇒r 1＋r 221525＝2c 35⇒e ＝c a ＝57. 12.23或38解析 依题设，得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2.则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4， 故x 2＝－x 1＝21＋4k 2. 由ED →＝6DF →，知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)， 可得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k2. 由D 在AB 上，知x 0＋2kx 0＝2， 得x 0＝21＋2k， 所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简，得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.13．(2－1,1) 解析 由a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1，得c a ＝sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2.又由正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝PF 1PF 2，所以PF 1PF 2＝c a ， 即PF 1＝c aPF 2.又由椭圆定义得PF 1＋PF 2＝2a ， 所以PF 2＝2a 2a ＋c ，PF 1＝2aca ＋c ，因为PF 2是△PF 1F 2的一边，所以有2c －2ac a ＋c ＜2a 2a ＋c ＜2c ＋2aca ＋c ，即c 2＋2ac －a 2＞0，所以e 2＋2e －1＞0(0＜e ＜1)，解得椭圆离心率的取值范围为(2－1,1)． 14．38，34]解析 由题意可得，A 1(－2,0)，A 2(2,0)， 当PA 2的斜率为－2时，直线PA 2的方程为y ＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0， 解得x ＝2或x ＝2619. 由PA 2的斜率存在可得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2619，2419，此时直线PA 1的斜率k ＝38.同理，当直线PA 2的斜率为－1时， 直线PA 2的方程为y ＝－(x －2)， 代入椭圆方程，消去y 化简得 7x 2－16x ＋4＝0， 解得x ＝2或x ＝27.由PA 2的斜率存在可得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫27，127，此时直线PA 1的斜率k ＝34.数形结合可知，直线PA 1的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.。

专题2.6 平面解析几何1．忽视直线斜率不存在的情况而失解讨论两条直线的位置关系时，首先要注意对斜率是否存在进行讨论，其次要注意对系数是否为零进行讨论．在求解直线方程时，有时也忽略斜率不存在的情况．研究直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往易忽视直线的斜率不存在或斜率为0的情况而导致失解．例1．（2021·广西玉林市·高三其他模拟（理））过点()2,2P 的直线1l 与圆()2211x y -+=相切，则直线1l 的方程为（ ）A ．3420x y+=-B ．4320x y --=C ．3420x y+=-或2x =D ．4320x y --=或2x =点评：本题考查过圆外一点的圆的切线方程的求解，解决此类问题采用待定系数法，利用圆心到直线距离等于半径来进行求解；易错点是忽略切线斜率不存在的情况，造成丢根的情况出现.在设直线方程时，需要考虑直线的斜率是否存在，可分两类情况分别求解．例2.（2021·浙江高一期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点(2,1)A ． （1）求C 的方程；（2）点M ，N 在C 上，且,AM AN AD MN ⊥⊥，D 为垂足，问是否存在定点Q ，使得DQ 为定值，若存在，求出Q 点，若不存在，请说明理由．点评：本题的关键点是利用AM AN ⊥得 ·0AM AN =，转化为坐标运算，需要设直线MN 的方程，点()()1122,,,M x y N x y ，因此需要讨论斜率存在与不存在两种情况，当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，与椭圆方程联立消去y 可以应用韦达定理，将12x x +，12x x 代入·0AM AN =即可，当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，利用坐标运算以及三角形的性质即可证明，本题易忽略斜率不存在的情况2．忽视直线截距为0的情况而失解求解直线方程时，有时会忽略截距为0的情况．例3.（2021·全国高二课时练习）过点P (1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为____________________.点评: 求解直线方程时，如果条件中涉及直线截距，应注意讨论截距全部为零的情况.3.忽视圆锥曲线定义中的限制条件在椭圆的定义中要注意椭圆上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之和为一常数，且该常数必须大于两定点的距离”． 对于双曲线则应注意其定义中的“限制条件”.例4．（山东省聊城市2019届高三一模）已知双曲线x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，虚轴的上端点为B ，P 为左支上的一个动点，若△PBF 周长的最小值等于实轴长的3倍，则该双曲线的离心率为（ ）A ．√102B ．√105C ．√10D ．√2点评：本题利用双曲线的定义，分析得到当且仅当B ，P ，F′共线，△PBF 周长取得最小值．4．离心率范围求解错误求解离心率的范围是一个热点题型，解题的关键在于根据题设条件，借助几何性质、位置关系等途径找到不等关系，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范围．解题时容易忽略椭圆的离心率范围和双曲线的离心率范围．例5．（2020·河北高二期末）设1,F 2F 为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的两个焦点，点P 在C 上，e 为C 的离心率.若12PF F △是等腰直角三角形，则e =________；若12PF F △是等腰钝角三角形，则e 的取值范围是________.点评：根据12PF F △直角所在位置进行讨论，再结合椭圆定义即可求出e ；根据12PF F △钝角所在位置进行讨论，再结合椭圆定义即可求出e 的取值范围．例6．（2020·甘肃省岷县第一中学高二期末（理））过双曲线C ：22221x y a b-=0,0a b >>（）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为 .考点：1.双曲线的几何性质；2.直线方程.5．解决直线与圆锥曲线的相交问题时忽视Δ>0的条件直线与曲线相交中探求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，()0,1()1,+∞有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．这个范围与直线和曲线的位置关系有关时，隐含着Δ>0的条件，不能忽略．例7．（2021·浙江高三其他模拟）已知1F 是椭圆C ：(22213x y a a +=>的左焦点，经过点()0,2P -作两条互相垂直的直线1l 和2l ，直线1l 与C 交于点A ，B ．当直线1l 经过点1F 时，直线2l 与C 有且只有一个公共点．（1）求C 的标准方程；（2）若直线2l 与C 有两个交点，求AB 的取值范围．点评：（1）解答直线与圆锥曲线位置关系的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．（3）解决本题第（2）问的关键有：①根据直线1l ，2l 与椭圆C 的位置关系得到2144k <<；②利用根与系数的关系和弦长公式得到AB 关于k 的表达式，然后换元，利用函数的单调性求解范围．一、选择题1．（2021·浙江高三月考）在直角坐标系中，已知O 为坐标原点，(1,0),(1,0)A B -.点P 满足3PA PB k k ⋅=且||||4PA PB +=，则||OP =（ ）A B ．5 C ．13 D ．2【易错提醒】解决本题的关键是由椭圆的定义得出点P 在椭圆22143x y +=上，再结合斜率公式求出||OP . 2.（2020·六盘山高级中学高二月考（文））平面内有两定点,A B 及动点P ，设命题:p PA PB +是常数，命题:q 点P 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆，那么p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【易错提醒】1.椭圆定义；2. 充分条件、必要条件的判断.3．（2020·四川省泸县第二中学高三月考（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【易错提醒】1.双曲线的定义；2.双曲线的几何性质.4．（2020·河南高三（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M 点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（ ）A 1BCD 【易错提醒】1双曲线的定义；2.双曲线的几何性质；3.函数与方程思想、转化与化归思想，逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造,a c 的齐次方程.5．（2020·广东高三月考（文））唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为222x y +≤，若将军从点()3,0A 处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）．A ．BCD ．3【易错提醒】1.中国优秀传统文化；2.点关于直线对称问题；3.直线与圆的位置关系，圆外的点到圆上点的最小距离，数形结合思想.6．（2021·湖南高三月考（文））在平面直角坐标系xOy 中，()3,0A ，()0,3B -，点M 满足OM xOA yOB =+，1x y +=，点N 为曲线y =上的动点，则MN 的最小值为（ ）．A ．1B ．CD 1 【易错提醒】1.圆的方程；2.直线与圆的位置关系；3.一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立方程组的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理. 3.本题的关键是能观察，变形出点N 的轨迹方程是以()1,0-为圆心，半径为1的半圆，才能数形结合分析两点间距离的最小值.7．（2021·商丘市第一高级中学高二月考（理））已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(c,0)F ，上顶点为(0,)A b ，直线2a x c=上存在一点P 满足()0FP FA AP +⋅=，则椭圆的离心率取值范围为（ ） A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B．⎫⎪⎪⎣⎭ C．⎫⎪⎪⎣⎭ D．⎛ ⎝⎦【易错提醒】1.椭圆定义；2.三角函数图象和性质3.在客观题求离心率取值范围时,往往利用图形中给出的几何关系结合圆锥曲线的定义,找出a,b,c 之间的等量关系或者不等关系.8.（2020·陕西高三月考（文））已知双曲线221222:1(0,0),,x y E a b F F a b-=>>分别为E 的左，右焦点，12,A A 分别为E 的左，右顶点，且1222A A A F ≥.点M 在双曲线右支上，若1212MF aMF -的最大值为14，则E 的焦距的取值范围是（ ）A ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[2,3]C ．(1,2]D ．(1,3] 【易错提醒】1.双曲线的定义；2.双曲线的几何性质；3. 基本不等式的应用；4.配方法.9．（2020·陕西高三月考（文））已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，准线交x 轴于K ，若||||AF AK 最小，则||||AK BK +=（ ） A ．4B ．8C ．D ．【易错提醒】1.抛物线物定义；2.直线与抛物线位置关系；3.数学运算.10. 6．（2021·全国高三月考（文））已知点(M 是椭圆22221x y a b +=()0a b >>上的一点，1F ，2F 是椭圆的左、右焦点，若△12MF F 为等腰三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A ．23B ．24C ．12或23D ．23 【易错提醒】1.椭圆定义；2.椭圆的几何性质；3.分类讨论思想．二、填空题11．（2020·浙江高二期末）双曲线221412x y -=的焦距是______，渐近线方程是______. 【易错提醒】1. 双曲线的标准方程；2. 双曲线的简单性质.12．（2020·黑龙江哈尔滨三中高二期末（理））椭圆22:14x E y +=，动圆222:O x y r +=与椭圆交于,,,A B C D 四点，则四边形ABCD 面积的最大值为_______，此时r =__________．【易错提醒】1.椭圆的标准方程；2.圆的方程；3.换元法（椭圆的参数方程）；4.三角恒等变换．13．（2021·浙江高一期末）已知圆222)1)5:((C x y -+-=及点(0,2)A ，点P 、Q 分别是直线20x y ++=和圆C 上的动点，则||||PA PQ +的最小值为___________．【易错提醒】本题考查最短路径问题，求解此类问题的基本思路就是求得点关于所在直线的对称点后，利用三角形两边之和大于第三边的特点，利用三点共线时求得最值来求解14．（2020·浙江高二期末）已知圆C ：22(x 3)y 48++=和点()B 3,0，P 是圆上一点，线段BP 的垂直平分线交CP 于M 点，则M 点的轨迹方程为______；若直线l 与M 点的轨迹相交，且相交弦的中点为()P 2,1，则直线l 的方程是______．【易错提醒】1.椭圆的定义；2.椭圆的标准方程；3.椭圆的几何性质；4.点差法的应用．15．（2021·湖北高三月考）已知双曲线C ：2222x y a b-＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F （，0），点N 的坐标为（0，2），点M 为双曲线C 左支上的动点，且△MNF 的周长不小于20，则双曲线C 的离心率的取值范围为_____．【易错提醒】1. 双曲线定义；2.双曲线的几何性质．16．（2020·辽宁高三期末（文））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 为双曲线C 右支上异于顶点的一点，12PF F ∆的内切圆与x 轴切于点(2,0)，则a 的值为______，若直线2y x =-经过线段1PF 的中点且垂直于线段1PF ，则双曲线C 的方程为________________.【易错提醒】1. 双曲线的定义；2.直线与圆的位置关系；3. 定义法的运用．17．（2020·陕西西安中学高二期末（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为6，渐近线方程为13y x =±，动点M 在双曲线左支上，点N 为圆22:(1E x y ++=上一点，则2||||MN MF +的最小值为_______【易错提醒】1. 双曲线的定义、几何性质；2.直线与圆的位置关系；3. 数形结合思想和运算能力．三、解答题18．（2020·河南高三月考（文））如图，抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ．点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，CO 为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N.（I ）若点C 的纵坐标为2，求MN ；（II ）若2·AF AM AN =，求圆C 的半径.【易错提醒】1.抛物线的几何性质；2. 圆的方程与性质；3. 直线与圆的位置关系；4.知识的理解掌握水平、运算能力.19．（2021·全国高三月考（文））设抛物线22y px =()0p >的焦点为F ，已知直线1l ：20mx y m --=，圆E ：222440x y x y +---=.（1）设直线1l 与圆E 的交点分别为P ，Q ，求当PQ 取得最小值时，直线1l 的方程；（2）若抛物线过圆E 的圆心，直线1l ，2l 过同一定点且与抛物线相交于A ，B 和C ，D 点，12l l ⊥，设M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，证明：直线MN 恒过定点.【易错提醒】1.抛物线的几何性质；2.直线和抛物线的位置关系；3.知识的理解掌握水平、运算能力.4.证明直线过定点，通常有两类：（1）直线方程整理为斜截式y=kx+b ，过定点(0,b )；（2）直线方程整理为点斜式y - y o =k (x - x 0)，过定点(x 0,y 0) ．20．13．（2021·浙江高三其他模拟）已知圆2217x y +=与抛物线C ：()220y px p =>在x 轴下方的交点为A ，与抛物线C 的准线在x 轴上方的交点为B ，且A ，B 两点关于直线y x =对称．（1）求抛物线C 的方程；（2）若点M ，N 是抛物线C 上与点A 不重合的两个动点，且AM AN ⊥，求点A 到直线MN 的距离最大时，直线MN 的方程．【易错提醒】1.抛物线的几何性质；2.直线和抛物线的位置关系；3.抛物线中的最值的求法；4.知识的理解掌握水平、运算能力.5. 解决直线与圆锥曲线的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、曲线的条件；(2)强化有关直线与曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21．（2020·四川省泸县第二中学高三月考（理））设直线l 与抛物线22x y =交于A ，B 两点，与椭圆22143x y +=交于C ，D 两点，直线OA ，OB ，OC ，OD （O 为坐标原点）的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，若OA OB ⊥.（1）是否存在实数t ，满足1234()k k t k k +=+，并说明理由；（2）求OCD ∆面积的最大值.【易错提醒】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22．（2021·浙江高一期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点与椭圆：2212x y +=的右焦点重合． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）记(4,0)P ，若抛物线C 上存在两点B ，D ，使PBD △为以P 为顶点的等腰三角形，求直线BD 的斜率的取值范围．【易错提醒】1.圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．2.解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.。

新高考数学《平面解析几何》专题解析一、选择题1．已知曲线C 的方程为22121x y m m+=-，现给出下列两个命题：p ：102m <<是曲线C 为双曲线的充要条件，q ：12m > 是曲线C 为椭圆的充要条件，则下列命题中真命题的是（ ）A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．p q ∧【答案】C 【解析】 【分析】根据充分必要条件及双曲线和椭圆定义，分别判定命题p 与命题q 的真假，进而判断出复合命题的真假． 【详解】若曲线C 为双曲线，则()210m m -< ，可解得102m << 若102m <<，则()210m m -<，所以命题p 为真命题 若曲线C 为椭圆，则12m >且m≠1，所以命题q 为假命题 因而()p q ∧⌝为真命题 所以选C 【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程，充分必要条件的判定，属于基础题．2．抛物线y 2＝8x 的焦点为F ,设A ,B 是抛物线上的两个动点, AF BF +=, 则∠AFB 的最大值为（ ） A ．3π B ．34π C ．56π D ．23π 【答案】D 【解析】 【分析】设|AF |＝m ,|BF |＝n ,再利用基本不等式求解mn 的取值范围,再利用余弦定理求解即可. 【详解】设|AF |＝m ,|BF |＝n ,∵AF BF +=,AB ≥∴213mn AB ≤,在△AFB 中,由余弦定理得22222()2cos 22m n ABm n mn AB AFB mnmn+-+--∠==212213222AB mnmn mn mn mn --=≥=-∴∠AFB 的最大值为23π. 故选：D 【点睛】本题主要考查了抛物线的焦半径运用,同时也考查了解三角形与基本不等式的混合运用,属于中等题型.3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且满足点C 位于A ，B 之间.已知O 为原点，且53OA a =，则||||FB FC =（ ） A ．45B ．23C ．34D ．13【答案】A 【解析】 【分析】设出直线AB 的方程，联立直线AB 方程和渐近线方程，由此求得,A B 两点的坐标，以及求得C 点的坐标，根据53OA a =列方程，求得,,a b c 的关系，由此求得||||FB FC 的值.【详解】由于双曲线渐近线为b y x a =±，不妨设直线AB 的斜率为ab-，故直线AB 的方程为()a y x c b =--.令0x =，得0,ac C b ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由()a y x c bb y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2,a ab B c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.由()a y x c bb y xa ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得22222,a c abc A a b a b ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，由53OA a =得22222222259a c abc a a b a b ⎛⎫-⎛⎫+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，化简得()()2222440a b a b --=，解得12b a =或2b a =.由于C 位于,A B 之间，故12b a =舍去，所以2b a=，即2b a =.故22222222||44||45B C aby FB b b a c ac FC y c a b a a b======++. 故选：A.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查直线和直线相交所得交点坐标的求法，考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.4．已知点(,)P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，,A B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（ ） A ．2 B ．5 C ．25 D ．4【答案】A 【解析】圆22:20C x y y ++=即22(y 1)1x ++=,表示以C (0,-1)为圆心，以1为半径的圆。

专题08：临考强化之平面解析几何（理）解答题专项提分训练（解析版）一、解答题1．已知M 过点)Q ，且与N ：(2216x y +=内切，设M 的圆心M 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）若x 轴上有两点(),0A t -，(),0B t (0t >)，点P 在曲线C 上(不在x 轴上)，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，直线PA ，PB 分别与直线4x =交于C ，D 两点.若12k k 是定值，求t 的值，并求出此时CD 的最小值.【答案】（1）2214x y +=；（2）2t =，CD 取最小值为【分析】（1）设M 的半径为R ，根据M 过点)Q，且与N 相切，得到4R MQMN R ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，进而得到4MN MQ +=，再利用椭圆的定义求解； （2）设()00,P x y ，结合220014x y =-，计算 12k k ，由12k k 取定值时的t ,写出PA ，PB方程，分别与4x =联立求得,D C y y 求解. 【详解】（1）设M 的半径为R ，因为M 过点)Q，且与N 相切，所以4R MQ MN R ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，即4MN MQ +=.因为4NQ <，所以点M 的轨迹是以N ，Q 为焦点的椭圆.设椭圆的方程为22221x y a b+=(0a b >>)，则24a =，且c所以2a =，1b =.所以曲线C 的方程为2214x y +=.（2）设()00,P x y ，则220014x y =-，010y k x t =+，020y k x t =-，于是()202200122222220001444x y x k k x t x t x t --===---， 显然，只有24t =即2t =时，12k k 取定值14-， 此时PA 方程为()12y k x =+，PB 方程为()22y k x =-. 联立()124y k x x ⎧=+⎨=⎩及()224y k x x ⎧=-⎨=⎩，得16C y k =，22D y k =，由1214k k =-知1k ､2k 异号.所以1212126262212C D CD y y k k k k k k =-=-=+=当且仅当1262k k =-时，CD 取最小值为【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．己知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线2y x =-与抛物线C 交于A ，B 两点. （1）求FAB 的面积；（2）过抛物线C 上一点Р作圆()22:34M x y -+=的两条斜率都存在的切线，分别与抛物线C 交于异于点P 的两点D ，E .证明：直线DE 与圆M 相切. 【答案】（1）（2）见解析. 【分析】（1）将直线方程和抛物线联立，整理得关于x 的一元二次方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，通过韦达定理和弦长公式求出AB 的值，再通过点到直线的距离公式求出F 点到AB 的距离，进而求出面积；（2）设P 为抛物线上的一点，则P 点坐标为2,4a a ⎛⎫⎪⎝⎭，设过P 点的圆的切线方程为()24a x m y a =-+，通过圆心到直线的距离等于半径可得关于m 的一元二次方程，进而求出D 、E 的坐标，再根据圆心到直线的距离等于半径，得证直线DE 与圆M 相切.（1）联立224y x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 整理得：2840x x -+=， 6444480∆=-⨯=>，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则128x x +=，124x x =，12AB x ∴=-===由题得：()1,0F ，F 到直线AB的距离为d ==，11222FABSAB d ∴==⨯= （2）设P 为抛物线上的一点，设2,4a P a ⎛⎫⎪⎝⎭， 设过P 的圆的切线方程()24a x m y a =-+，则由相切知圆心()3,0M到切线距离2d ==即212830m m --=，设切线PD 解析式为：()214a x m y a =-+，切线PE 解析式为：()224a x m y a =-+，1m 、2m 为方程的两根，则1223m m +=，1214m m =-， 联立得：2416160y my m -+-=，解得：()()()21141,41D m m --，()()()22241,41E m m --，()()()1212:24110DE x m m y m m -+-+--=，化简得：3410x y ++=， 圆心到直线DE的距离2d ==，∴直线DE 与圆M 相切.【点睛】（1）解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x （或y ）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系； （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形；（3）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.3．椭圆()2222:10x y C a b a b+=＞＞的左､右焦点分别为12,,F F E 是椭圆C 上一点，且12122, 4.F F EF EF =+= （1）求椭圆C 的方程；（2）M ，N 是y 轴上的两个动点(点M 与点E 位于x 轴的两侧)，190MF N MEN ∠=∠=，直线EM 交x 轴于点P ，求EP PM的值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【分析】（1）根据椭圆定义直接求解即可；（2）设出(0,)(0)M m m >，根据直角的性质求出N 点坐标、E 点的纵坐标，进而求出点P 坐标，最后利用两点间距离公式进行求解即可. 【详解】（1）因为12122,4F F EF EF =+=，所以22222,241,2,3,c a c a b a c ==⇒===-=∴椭圆方程为22143x y +=；（2）因为M ，N 是y 轴上的两个动点，所以不妨设(0,)(0)M m m >，(0,)N n ，因为点M 与点E 位于x 轴的两侧，所以设000(,)(0)E x y y <,所以2200143x y +=，由（1）知1c =，所以1(1,0)F -， 因为190MF N ∠=，所以1111111F M F N m n k k n m⋅=-⇒⋅=-⇒=-，因为90MEN ∠=，所以220000001111()10EM ENy m y m k k x y y m x x m---⋅=-⇒⋅=-⇒++--=--， 而2200143x y +=，所以20013()90y y m m +--=，解得03y m =-或03y m =，因为00y <，0m >，所以03y m =-， 因此04EM mk x =-，所以直线EM 的直线方程为： 04m y x m x =-+，令0y =，得04xx =，即0(,0)4x P ，3EP PM ===. 【点睛】关键点睛：根据直角得到N 点坐标、E 点的纵坐标是解题的关键.4．在平面直角坐标系xOy 中，P 是圆22:2150E x y x ++-=上的动点，已知()1,0F ，且线段PF 的垂直平分线交PE 于Q ，设Q 的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程；（2）设直线l 与C 交于A ，B 两点，若31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，且ABM 内切圆的圆心在直线FM 上，则直线l 具备以下哪个性质？证明你的结论.①l 恒过定点，②l 的斜率恒为定值，③O 到l 的距离恒为定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）答案见解析. 【分析】（1）先求出圆的圆心和半径，由于Q 在PF 的垂直平分线上，所以QF QP =，从而有4QE QF QE QP EP EF +=+==>，所以由椭圆的定义可知Q 的轨迹是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆，从而可求得C 的方程；（2）判断出直线的斜率存在，则设l 的方程为y kx m =+，然后将直线方程与椭圆方程联立，消去y ，再由根与系数的关系可得122843km x x k +=-+，212241243m x x k -⋅=+，由ABM 的内切圆圆心在直线FM 上，可得直线MA ，MB 关于直线FM 对称，则有直线MA ，MB 的斜率之和为0，即12123322011y y x x --+=--，化简结前面的式子可求得()2448230k m k m +--+=，从而可求出直线的斜率，【详解】圆E 的方程化为()22116x y ++=，的：所以圆心()1,0E -，半径4r =.因为Q 在PF 的垂直平分线上，所以QF QP =， 所以4QE QF QE QP EP +=+==. 又因为2EF =，则2QE QF +>，所以Q 的轨迹是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆， 由24a =，1c =，得223b a c =-=.所以C 的方程为22143x y +=.（2）直线l 满足性质②，证明如下： 若直线l 的斜率不存在，则//AB FM ，此时ABM 的内切圆圆心不在FM 上，不符合题意. 设l 的方程为y kx m =+.联立22,1,43y kxm x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得：()22143kx m x ++=， 整理得：()2224384120k x kmx m +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则11x ≠，21x ≠，且122843km x x k +=-+，212241243m x x k -⋅=+. 因为ABM 的内切圆圆心在直线FM 上，所以FM 平分AMB ∠，即直线MA ，MB 关于直线FM 对称. 又因为FM x ⊥轴，且直线MA ，MB 的斜率均存在， 所以直线MA ，MB 的斜率之和为0，即12123322011y y x x --+=--.化为()()()()121212331122011y x x y x x ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--， 又由11y kx m =+，22y kx m =+，整理得()()()12121232322011kx x m k x x mx x ⎛⎫+--++- ⎪⎝⎭=--， 所以22241238232043243m km k m k m k k -⎛⎫⎛⎫⋅+---+-= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭， 整理得：()2448230k m k m +--+=.化为()()212230k k m -+-=.若2230k m +-=，则l 过点M ，此时A ，B ，M 共线，不符合题意. 所以210k -=，即12k=. 所以l 的斜率恒为定值12. 【点睛】关键点点睛：此题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是由ABM 的内切圆圆心在直线FM 上，可得直线MA ，MB 关于直线FM 对称，进而得直线MA ，MB 的斜率之和为0，由此列方程可求出直线的斜率，考查计算能力5．已知椭圆()222:11x C y m m+=>的左右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 作直线l 交椭圆C 于()11,A x y ，()22,B x y ，其中10y >，20y <，12AF F △、12BF F △的重心分别为1G 、2G ．（1）若1G 坐标为11,36⎛⎫ ⎪⎝⎭，求椭圆C 的方程；（2）设11BFG 和2ABG △的面积为1S 和2S ，且124533S S ≤≤，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）22314x y +=；（2）321m <≤【分析】（1）根据重心的定义，求出点A 的坐标，再代入椭圆方程得出m ，进而得出椭圆C 的方程；（2）结合图象，将三角形面积进行拆分，然后利用面积关系即可得出实数m 的取值范围． 【详解】（1）连接OA ，由重心的性质可知13OA OG =设(,)A x y ，则11(,)3,36x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即11,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故21114m +=，243m =椭圆C 的方程为22314x y +=． （2）设()1,0F c -，2,0F c ，则221m c =+11111111133BOF G OF G OB BOF AOF AOB S S S S S S S =++=++△△△△△△()()21121211122663ccy cy c y y y y =-++-=-，()2122133ABO S S c y y ==-△， 则112212245,33S y y S y y -⎡⎤=∈⎢⎥-⎣⎦，得1212,2y y ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦， 设:l x ty c =+，联立椭圆方程222:1x C y m+=，得()222210t m y tcy ++-=，由韦达定理得12222tc y y t m -+=+，12221y y t m -=+ 则()2121222221122452222,y y y y t c t y m y y y --++⎡⎤+=-=∈--⎢⎥⎣⎦22224102t c t m ≤≤+，()22289m t m -≤对t 恒成立 故2890m -≤，3214m <≤．【点睛】关键点睛：解决问题二的关键在于将三角形的面积进行拆分得出1212,2y y ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，进而结合韦达定理以及不等式的恒成立问题求出实数m 的取值范围．6．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的右顶点为B ，直线m ：10x y --=过椭圆C 的右焦点F ，点B 到直线m的距离为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 的左顶点为A ，M 是椭圆位于x 轴上方部分的一个动点，以点F 为圆心，过点M 的圆与x 轴的右交点为T ，过点B 作x 轴的垂线l 交直线AM 于点N ，过点F 作直线FEMT ⊥，交直线l 于点E ．求BE EN的值．【答案】（1）22143x y +=；（2）1. 【分析】先求出点F 的坐标，得到c 的值，再利用点到直线的距离求出a ，进而求出b ，得到答案.(2)由题意得出点,,A B F 的坐标，设M()00,x y ,，先求出圆F 的半径FM，从而得出点T 的坐标，由直线l 和直线AM 的方程求出点N 的坐标，由条件FE MT ⊥，得出直线EF 的方程,得到点E 的坐标，从而可得出BE ，EN ，得出答案. 【详解】解：（1）将0y =代入直线m ：10x y --=得1x =， ∴()1,0F ，即1c =， ∵(),0B a 到直线m2=，解得2a =， ∴2223b a c =-=，∴椭圆C 的方程为：22143x y +=．（2）由题意可知()2,0A -，()2,0B ，()1,0F ，设M 的坐标为()00,x y ，则00y >，∵点M 在椭圆C 上，∴22314x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴2FM ==-，∵点M 在椭圆C 上，∴022x -≤≤，∴0202x -< ， ∴022FM x =-，∵圆F 过点M 与点T ， ∴022x FM FT ==-，∴点03,02T x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，易求直线l 的方程为2x =，直线AM 的方程为()0022y y x x =++， 将N 2x =代入直线AM 的方程得：0N 042y y x =+， 故点N 的坐标为0042,2y x ⎛⎫⎪+⎝⎭， ∵()00,M x y ，03,02T x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴()00000023232MTy y k x x x -==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∵EF MT ⊥，∴()00322EF x k y -=，∴直线EF 的方程为：()()003212x y x y -=-，将2E x =代入得：()00322E x y y -=，∴点()00322,2x E y -⎛⎫⎪⎝⎭又∵()2,0B ，∴()00322E x BE y y -==，()000032422E Nx y EN y y y x -=-=-+()()22000034822x y y x --=+()()()220000346422x x y x ---=+()()20003422x y x -=+()00323x y -=，∴()()00003221322x BE y x EN y -==-． 【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，解答本题的关键是设出点M 的坐标,由条件表示出()00322,2x E y -⎛⎫⎪⎝⎭，得出()00322Ex BE y y -==，求出E N EN y y =-()00323x y -=，属于中档题.7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为y =，右准线方程为x =（1）求双曲线C 的标准方程；（2）过点(0,1)P -的直线l 分别交双曲线C 的左、右两支于点,A B ，交双曲线C 的两条渐近线于点,D E （D 在y 轴左侧）．①是否存在直线l ，使得OA OB ⊥？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由；②记ODE 和OAB 的面积分别为12,S S ，求12S S 的取值范围．【答案】（1）2212y x -=（2）[3，1)【分析】（1）由双曲线的渐近线方程和准线方程，可得a ，b ，c 的方程组，解得a ，b ，可得双曲线的方程；（2）①可设直线l 的方程为1y kx =-，与双曲线的方程联立，运用判别式大于0和韦达定理，以及两直线垂直的条件，解方程，即可判断存在性；②联立渐近线方程和直线l 的方程，求得D ，E 的横坐标，可得||DE ，由弦长公式得到||AB ，再由三角形的面积公式得到12S S 关于k 的函数，然后求出其范围即可． 【详解】（1）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，准线方程为2a x c=±，由题意可得b a=，2a c =，又222+=a b c ，解得1a =，b =c =则双曲线的方程为2212y x -=；（2）①由题意可知直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为1y kx =-， 与双曲线方程2222x y -=联立，可得22(2)230k x kx -+-=， 由△22412(2)0k k =+->，解得k < 则12222k x x k +=--，122302x x k =-<-，解得k <<如果存在直线l ，使得OA OB ⊥，则12120x x y y +=， 即为212121212(1)(1)(1)()1x x kx kx k x x k x x +--=+-++22232(1)()()1022kk k k k =+⋅--⋅-+=--，解得k ∈∅， 所以不存在直线l ，使得OA OB ⊥；②由1y kx y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，可得D；由1y kx y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，可得E，||DE =；||AB 由ODE 和OAB的高相等，可得12||||S DE S AB ===，由k <<23(1k -∈，3]，所以12S S的取值范围是1)． 【点睛】关键点点睛：三角形的面积比可转化为||||DE AB ，利用直线与双曲线联立，由韦达定理、弦长公式求出||||DE AB ，转化为求关于k 的函数，是解题的关键，属于中档题. 8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若122FF =，2ABF 的周长为8． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）1MA F A λ=，1MB F B μ=，试分析λμ+是否为定值，若是，求出这个定值，否则，说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）λμ+为定值83． 【分析】（1）因为2ABF 的周长为8，求得2a =，进而求得2b 的值，得到椭圆的标准方程； （2）设直线l 的方程为(1)y k x =+，联立方程组，根据根与系数的关系和题设条件，求得111x x λ=+和221x x μ=+，进而求得λμ+为定值.【详解】（1）因为2ABF 的周长为8，所以48a =，解得2a =，由122FF =，得2==，所以23b =，因此椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）由题可得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(1)y k x =+，由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得()22223484120k x k x k +++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则212221228,34412.34k x x kk x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩设(0,)M k ，又1(1,0)F -，所以()11,MA x y k =-，()1111,F A x y =+，则111x x λ=+． 同理可得()22,MB x y k =-，()1221,F B x y =+，则221x x μ=+． 所以()()()()12211212121212121211211111x x x x x x x x x x x x x x x x x x λμ++++++=+==+++++++22222222222224128282483434412841283413434k k k k k k k k k k kk k -⨯---++==---++-+++24893-==-， 所以λμ+为定值83. 【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.。

(江苏专用)2018版高考数学专题复习专9平面解析几何第66练高考大题突破练圆锥曲线练习理1-(2015 •安徽)设椭圆E的方程为升#=1(040),点。

为坐标原点,点询坐标为A/5 (乙0),点万的坐标为(0,从点於在线段肋上,满足BM=2MA.直线刖的斜率为盘.(1)求疋的离心率u7 (2)设点Q的坐标为(0, 一乩N为线段川Q的中点，点”关于直线曲的对称点的纵坐标为y 求尸的方程.2.已知动圆过左点月(4,0),且在y轴上截得弦胚V的长为8.⑴求动圆圆心的轨迹C的方程：(2)已知点5(-1, 0),设不垂直于X轴的直线1与轨迹Q交于不同的两点P, Q,若x轴是Z丹0 的角平分线，证明直线/过泄点.3.(2016 •山东)平面直角坐标系中，椭圆G W+£=l(a>b>0)的藹心率是半，抛a b 乙物线E：女=2y的焦点尸是C的一个顶点.(1)求椭圆C的方程；(2)设尸是£•上的动点，且位于第一象限，£•在点尸处的切线2与C交于不同的两点B, 线段M的中点为。

•直线勿与过尸且垂直于x轴的直线交于点M.①求证：点"在左直线上；②直线』与y轴交于点G,记△肌的而积为S，△刊册的而积为弘求g的最大值及取得最大值时点尸的坐标.4.(2016 -江苏)如图，在平面直角坐标系X"中，已知直线1： x-y-2 = 0,抛物线C： ?=2/zx(p>0)・(1)若直线，过抛物线C的焦点，求抛物线Q的方程：(2)已知抛物线Q上存在关于直线1对称的相异两点尸和Q.①求证：线段因的中点坐标为(2—p, — p)；②求P的取值范围.答案精析21.解(1)由题设条件知，点“的坐标为(才⑦-6),因为Q尊所以茅需所以c=yj£_S=2b・故亠坐a □(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线曲的方程为希+彳=1,点”的坐标为尊,一討.7设点再关于直线月万的对称点S的坐标为(珀，㊁)，则线段代的中点7•的坐标为牡b+号,一毎+®.4 2 4 4因为点7在直线月万上，解得b=5所以a=3@,故椭圆M的方程为;|+看=1.2.⑴解如图，设动圆圆心为aU y),由题意，知0/= 03当a不在y轴上时，过a作a.HLMN交MV于/则“是MV的中点，••• a片心：+¥・又6U= —7—4—z+y ,—-Y—4~ =yjx +4：,化简得F=8・Y C T H0)・又当a在y轴上时，a与o重合，点a的坐标(o,o)也满足方程?=8.v,・•.动圆圆心的轨迹c的方程为?=8x(2)证明由题意•设直线』的方程为y=kx-\- b （RHO ） t Pg 、yi ）» 0（上，yt ）,将y= kx+ b 代入X=8AS 得£殳+ （2弘一8）%+歹=0・其中 d=-32M+64>0・由根与系数的关系得,_8-2bk-Vi I Xz — 疋因为％轴是Z/W 的角平分线，所以占=一卡亍即戶(加+1) +北(弘+ 1) = 0,所以（kxd （圧+1） + （吃壮+血）（-Y1 + 1） =0,整理得 2A-Y1-Y ： + (Z?+A) (-Y1 + -Y ：) +2b=0,③将①②代入③并化简得8(/>+&) =0,所以k=_b 、此时4>0, •••直线2的方程为y=ACv-l),即直线』过定点(1,0).⑵①证明 设右 刽(00),由Y=2y,可得/ =AS 所以直线/的斜率为皿因此直■ ■线1的方程为y —^=m(x —!n),即y=mx —牛.设 £仏，yi ） I Bg 必），OCvo, y 0）.y+4y = l,联立方程｛ 斥yF_，得(4zzf +l)y _ 4/Y + Z2J —1 = 0.由 4>0,得 0<也“2+&(或 0<怎<2+&)・(*)且曲+b 鸽，因此⑴鉛，将其代入—耳得妒忌右 因为必=一十.-Yb Am所以直线〃的方程为y=-^-Y,3.⑴解,可得/=4尸，因为抛物线疋的焦点为 彳0,寺)，所以&=*,a= 1,所以椭圆C 的方程为x + 4y =1・I*—皿 所以点”在定直线产=一扌上.②解 由①知直线1的方程为y=mx_与,丈：P ，0关于』对称…••加=一1,联立方程＜ 得点."的纵坐标刃=一扌,令x=0,得y=—y,所以4。

训练目标会判断直线与圆锥曲线的位置关系，能熟练应用直线与圆锥曲线的位置关系解决有关问题．训练题型（1）求曲线方程；(2）求参数范围；（3）长度、面积问题；（4）与向量知识交汇应用问题．解题策略联立直线与曲线方程，转化为二次方程问题，再利用根与系数的关系转化为代数式、方程组、不等式组，结合已知条件解决具体问题。

1．（2016·南通模拟)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是__________________．2．设a，b是关于t的方程t2cosθ＋t sinθ＝0的两个不等实根，则过A(a,a2)，B(b,b2)两点的直线与双曲线错误!－错误!＝1的公共点的个数为________．3．点F是双曲线错误!－错误!＝1（a＞0,b＞0）的左焦点,点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．4．已知直线kx－y＋1＝0与双曲线错误!－y2＝1相交于两个不同的点A，B，若x轴上的点M(3,0）到A，B两点的距离相等,则k的值为________．5．（2016·唐山一模)F是双曲线C：错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0)的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B.若2错误!＝错误!，则C的离心率是________．6．设F1，F2为椭圆C1：错误!＋错误!＝1（a1＞b1＞0）与双曲线C2的公共的左，右焦点，椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且MF1＝2,若椭圆C1的离心率e∈错误!，则双曲线C2的离心率的取值范围是________．7．已知椭圆E:错误!＋错误!＝1(a＞b＞0），其焦点为F1，F2,离心率为错误!,直线l：x＋2y－2＝0与x轴，y轴分别交于点A,B，（1）若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程；（2)若线段AB上存在点P满足PF1＋PF2＝2a,求a的取值范围．8．(2016·山东实验中学第三次诊断)已知点A(－2，0），B（2，0），曲线C上的动点P满足A错误!·B错误!＝－3。

专题八 平面解析几何一、单选题1．（2021·辽宁高三二模）历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年—325年)，大约100年后，阿波罗尼奥更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比如：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点.设抛物线C ：2y x =，一束平行于抛物线对称轴的光线经过()5,2A ，被抛物线反射后，又射到抛物线C 上的Q 点，则Q 点的坐标为（ ）A ．11,42⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．11,84⎛⎫-⎪⎝⎭C ．11,164⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,648⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】求出入射光线与抛物线的交点坐标，再根据抛物线的光学性质，利用斜率相等列式可解得结果. 【详解】设从点()5,2A 沿平行于抛物线对称轴的方向射出的直线与抛物线交于点P ，易知2P y =，将(),P P x y 代入抛物线方程得4P x =，即()4,2P ，设焦点为F ，则1,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()2,Q Q Q y y ，由P ，F ，Q 三点共线，有22011444Q Q y y --=--，化简得281520Q Q y y --=， 解得18Q y =-或2Q y =(舍)，即11,648Q ⎛⎫-⎪⎝⎭. 故选：D2．（2020·全国高考真题（文））在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．直线【答案】A 【解析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可. 【详解】设()20AB a a =>，以AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：()(),0,,0A a B a -，设(),C x y ，可得：()(),,,AC x a y BC x a y →→=+=-， 从而：()()2AC BC x a x a y →→⋅=+-+， 结合题意可得：()()21x a x a y +-+=，整理可得：2221x y a +=+，即点C 的轨迹是以AB 为半径的圆. 故选：A.3．（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)【答案】B 【解析】根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4DOx EOx π∠=∠=，从而可以确定出点D的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果. 【详解】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.4．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）． A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP【答案】B 【解析】依据题意不妨作出焦点在x 轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段FQ 的垂直平分线经过点P ，即求解.【详解】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P . 故选：B.5．（2020·全国高考真题（理））设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】B 【解析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a=±，与直线x a =联立方程求得D ，E两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab 值，根据2c =结合均值不等式，即可求得答案. 【详解】2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> ∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b -∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△ 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c =≥==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8故选：B.6．（2020·全国高考真题（理））已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=【答案】D 【解析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据44PAMPM AB SPA ⋅==可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以 MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程． 【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点 M 到直线l的距离为2d ==>，所以直线 l与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =当直线MP l ⊥时，min MP =， min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即 1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即 2210x y y +--=， 两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程． 故选：D.7．（2020·全国高考真题（文））设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为（ ） A ．72B ．3C ．52D ．2【答案】B 【解析】由12F F P 是以P 为直角直角三角形得到2212||||16PF PF +=，再利用双曲线的定义得到12||||2PF PF -=，联立即可得到12||||PF PF ，代入12F F P S =△121||||2PF PF 中计算即可. 【详解】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -， 则1,2a c ==，因为12122OP F F ==， 所以点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形， 故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，所以2124||||PF PF =-=2212||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ， 解得12||||6PF PF =，所以12F F P S =△121||||32PF PF = 故选：B8．（2019·北京高考真题（理））数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是( ) A ．① B ．②C ．①②D ．①②③【答案】C 【解析】由221x y x y +=+得,221y x y x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由221x y x y +=+得,222212x y x y +++,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -, 四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.9．（2020·浙江高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|P A |–|PB |=2，且P 为函数y =|OP |=（ ）A ．2B C D【答案】D 【解析】根据题意可知，点P 既在双曲线的一支上，又在函数y =P 的坐标，得到OP 的值．【详解】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数y =由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP == 故选：D.10．（2020·天津高考真题）设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22144x y -=B ．2214y x -=C ．2214x y -=D ．221x y -=【答案】D 【解析】由抛物线的焦点()1,0可求得直线l 的方程为1yx b+=，即得直线的斜率为b -，再根据双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，可得b b a -=-，1bb a-⨯=-即可求出,a b ，得到双曲线的方程． 【详解】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -， 又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1bb a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选：D ．11．（2021·辽宁高三二模（文））第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD （如图），且两切线斜率之积等于916-，则椭圆的离心率为（ ）A ．34B．4C ．916D．2【答案】B 【解析】分别设内外层椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>、22221(1)()()x y m ma mb +=>，进而设切线AC 、BD 分别为1()y k x ma =+、2y k x mb =+，联立方程组整理并结合0∆=求1k 、2k 关于a 、b 、m 的关系式，再结合已知得到a 、b 的齐次方程求离心率即可. 【详解】若内层椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由离心率相同，可设外层椭圆方程为22221(1)()()x y m ma mb +=>， ∴(,0),(0,)A ma B mb -，设切线AC 为1()y k x ma =+，切线BD 为2y k x mb =+，∴12222()1y k x ma x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22223224222111()20a k b x ma k x m a k a b +++-=，由0∆=知： 32222224222111(2)4()()0ma k a k b m a k a b -+-=，整理得2212211b k a m=⋅-， 同理，222221y k x mb x yab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得22222(1)b k m a =⋅-， ∴4221249()()16b k k a ==-，即22916b a =，故c e a ===故选：B. 二、多选题12．（2020·海南高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD 【解析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确； 对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线CB 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得y =，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y =C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确； 故选：ACD. 三、填空题13．（2021·江苏盐城市·高三二模）已知椭圆22143x y +=的右顶点为,A 右焦点为,F 以A 为圆心，R 为半径的圆与椭圆相交于,B C 两点，若直线BC 过点,F 则R 的值为_____．【答案】2【解析】由对称性得弦BC 是椭圆的通径，由通径长可得关系式，从而求得R ． 【详解】由已知(2,0)A ，(1,0)F ，因为BC 过焦点F ，所以由对称性知BC x ⊥轴，所以222332b BC a ⨯===，1FA =，所以R ==．故答案为：2． 14．（2018·浙江省高考真题）已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．【答案】5 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，由2AP PB =得1212122,12(1),23,x x y y y y -=-=-∴-=-因为A ,B 在椭圆上,所以22221212,,44x x y m y m +=+=2222222243(23),()4424x x m y m y ∴+-=∴+-=，与22224x y m +=对应相减得222231,(109)444m y x m m +==--+≤，当且仅当5m =时取最大值.15．（2020·C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________． 【答案】163【解析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果. 【详解】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：16316．（2020·天津高考真题）已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________． 【答案】5 【解析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d ，进而利用弦长公式||AB =r ． 【详解】因为圆心()0,0到直线80x +=的距离4d ==，由||AB =6==5r ． 故答案为：5．17．（2021·全国高三其他模拟（文））已知双曲线22143x y -=的左､右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，且12PF F S =12F PF ∠=___________.【答案】23π【解析】利用双曲线的定义、余弦定理、三角形的面积公式列方程组，化简求得12F PF ∠. 【详解】依题意2,a b c ===设12,PF m PF n ==，不妨设m n >，122F F c == 设()120,FPF θπ=∈∠，根据双曲线的定义、余弦定理、三角形的面积公式得(22242cos 1sin 2m n m n mn mn θθ⎧-=⎪⎪⎪=+-⎨⎪⎪=⎪⎩，()22216282cos sin m n m n mn mn θθ⎧-=⎪=+-⎨⎪=⎩，2222216282cos sin m n mn m n mn mn θθ⎧+-=⎪=+-⎨⎪=⎩，282162cos mn mn mn θ=+-⎧⎪⎨=⎪⎩， ()1221cos mn mn θ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，()1221cos sin θθ=⋅⋅-cos 1θθ+=，12sin 1,sin 662ππθθ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于70,666πππθπθ<<<+<， 所以52,663πππθθ+==，所以1223F PF π∠=. 故答案为：23π18．（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120FB F B ⋅=，则C 的离心率为____________． 【答案】2. 【解析】 如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF∠=∠， 又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 60ba==2c e a ====． 四、双空题19．（2020·北京高考真题）已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】()3,0【解析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离. 【详解】在双曲线C 中，a =，b =3c =，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为y x =，即0x =，所以，双曲线C=.故答案为：()3,020．（2020·浙江高考真题）设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．3- 【解析】由直线与两圆相切建立关于k ，b 的方程组，解方程组即可. 【详解】设221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C 1=，1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得k b ==.故答案为：33-五、解答题21．（2021·全国高三二模（理））已知抛物线C ：()220y px p =>经过点()1,2.（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设过点()2,0的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若2AB AM =，MN y ⊥轴.垂足为N ，求证：以MN 为直径的圆恒过定点.【答案】（1）抛物线C 的方程为24y x =，其准线方程为1x =-；（2）证明见解析. 【解析】（1）代入点的坐标可得2p =，可得抛物线的标准方程和准线方程；（2）设直线l 的方程并代入抛物线方程，根据韦达定理求出M 的坐标，进而得N 的坐标，设以MN 为直径的圆恒经过点()00,D x y ，利用0DM DN ⋅=恒成立可解得结果. 【详解】（1）由抛物线22y px =经过点()1,2，得42p =，即2p =. 所以抛物线C 的方程为24y x =，其准线方程为1x =-.（2）证明：由题意知，直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为2x my =+. 将2x my =+代入24y x =，消去x 得2480y my --=， 显然216320m ∆=+>，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则124y y m +=，128y y =-. ∵12AM AB =，∴M 是线段AB 的中点，设(),M M M x y ， 则()1221242222M m y y x x x m +++===+，1222My y y m +==， ∴()222,2M m m +，又MN y ⊥轴，所以垂足N 的坐标为()0,2N m . 设以MN 为直径的圆恒经过点()00,D x y ，则()20022,2DM m x m y =+--，()00,2DN x m y =--，由0DM DN ⋅=，得()()220002220x m x m y -+-+-=，即()2220000042420x m y m x y x --++-=，①因为对任意的实数m ，①式要恒成立，所以0022000420,40,20x y x y x -=⎧⎪=⎨⎪+-=⎩，解得002,0,x y =⎧⎨=⎩ 所以以MN 为直径的圆恒过定点，该定点的坐标为()2,0.22．（2021·辽宁高三其他模拟）椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于M ，N 两点，其中点M 在第一象限，17cos 25MF N ∠=，122FF =． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）A 为椭圆上顶点，过A 引两条直线1l ，2l ，斜率分别为1k ，2k ，若121k k =，1l ，2l 分别交椭圆另一点为P ，Q ，求证：直线PQ 恒过定点．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）由已知求得,,a b c ，可得椭圆方程．（2）设()11P x y ⋅，()22,Q x y ，分PQ 斜率不存在时和斜率存在时两种情况，当直线斜率存在时设直线PQ 的方程为y kx t =+，与椭圆的方程联立，再由根与系数的关系表示直线PQ ，可得证. 【详解】（1）设()1,0F c -，()2,0F c ，由题意知：1c =，即221a b -=①，将x c =代入椭圆方程得：2M b y a=，由2112121274cos cos 22cos 1cos 255MF N MF F MF F MF F ∠=∠=∠-=⇒∠=， 得123tan 4MF F ∠=，即2324b a =②， 联立①②得223202a a a --=⇒=，23b =．∴椭圆方程为22143x y +=．（2）设()11P x y ⋅，()22,Q x y ，当PQ 斜率不存在时，21y y =-．则221112*********4413y y k k x y --⋅====⎛⎫- ⎪⎝⎭，不合题意，舍去，当斜率存在时，直线PQ 的方程为y kx t =+，∵(A，12121k k ==，化为(()(()(221212121210kx t kx t x x k x x k t x x t ++=⇒-+++=（*）， 将y kx t =+代入椭圆方程并整理得()2223484120k x ktx t +++-=122834kt x x k +=-+，212241234t x x k-=+， 代入（*）式得：()((222224128103434t kt k k t t k k -⎛⎫-⋅+⋅-+= ⎪++⎝⎭，即(()22221(4803434k t k t t t k k ⎡-+⎢--+=++⎢⎣⎦．t ≠tt =-，即直线PQ恒过定点(0,-．.23．（2021·全国高三其他模拟（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点(点M 位于x 轴上方)，2MNF ，12MF F △的周长分别为8，6.（1）求椭圆C 的方程； （2）若1||MF m MN =，且2334m ≤<，设直线l 的倾斜角为θ，求sin θ的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）⎛ ⎝⎦. 【解析】（1）根据椭圆的定义可得2MNF ，12MF F △的周长分别为4,22a a c +，结合222a b c =+可得答案. (2)根据题意设出直线l 的方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，由1||MF m MN =，得出11MF F N，得出,M N 的纵坐标12,y y 的关系，从而可求出答案. 【详解】（1）设椭圆C 的半焦距为c ，因为2MNF ，12MF F △的周长分别为8，6，所以根据椭圆的定义得22248226a a c a b c =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩，解得21a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩. 所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由条件1||MF m MN =，且2334m ≤<，则12MF MF >,所以直线l 的斜率存在. 根据题意，可设直线l 的方程为(1)(0).y k x k =+>.联立22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得()22234690k y ky k +--=，则()2214410kk∆=+>，设()11,M x y ，()22,N x y ，则122634k y y k +=+①，2122934k y y k-=+②，又1||MF m MN =，且2334m ≤<，则11[2,3)1MF m F N m =∈-. 设1mmλ=-，[2,3)λ∈， 则11MF F N λ=，所以12y y λ③，把③代入①得()226(1)34k y k λ=-+，()126(1)34ky k λλ-=-+，并结合②可得()2212222236934(1)34k k y y k k λλ--==+-+， 则22(1)434kλλ-=+，即214234k λλ+-=+， 因为12λλ+-在[2,3)λ∈上单调递增，所以114223λλ≤+-<，即21442343k ≤<+，且0k >，解得0k <≤，即0tan θ<≤，所以0sin θ<≤故sin θ的取值范围是0,3⎛ ⎝⎦. 【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆方程和直线与椭圆的位置关系，解答本题的关键是由122634ky y k+=+，2122934k y y k -=+，又1||MF m MN =，且2334m ≤<，则11[2,3)1MF m F N m =∈-，得出关系求解，属于中档题. 24．（2021·北京高三二模）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>．（1）求椭圆G 的方程；（2）过点(0,1)M 斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆G 于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点N 使得ANM BNM ∠=∠（点N 与点M 不重合），若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）22184x y +=；（2）()0,4N ，证明详见解析. 【解析】（1）由条件列式，利用待定系数法求解椭圆方程；（2）首先直线方程():1,0l y kx k =+≠与椭圆方程联立，得根与系数的关系，将条件转化为0AN BN k k +=，代入坐标，利用根与系数的关系化简求定点. 【详解】（1）由条件可知22222421c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：28a =，224b c ==，所以椭圆G 的方程是22184x y +=；（2）设直线():1,0l y kx k =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，()00,N y ，联立221184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得()2212460k x kx ++-=， 122412kx x x k +=-+，122612x x k-=+， ANM BNM ∠=∠，0AN BN k k ∴+=，即1020212012101212y y y y x y x y x y x y x x x x ---+-+= ()()()211201212110x kx x kx y x x x x +++-+==，即()()12012210kx x y x x +-+=，()022*********k y k k k---=++，得04y =， 即存在定点()0,4N .25．（2021·北京东城区·高三一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)D -，且焦距为（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)A -的直线l (不与x 轴重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，点T 与点Q 关于x 轴对称，直线TP 与x 轴交于点H ，是否存在常数λ，使得||||(||||)AD DH AD DH λ⋅=-成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）2214x y +=（2）存在, 2λ=【解析】（1）根据椭圆的几何性质求出,a b 可得结果；（2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则22(,)T x y -，设直线:l (4)y k x =+，代入2214xy +=，得到12x x +和12x x ，利用直线PT 的方程求出H 的坐标，求出||AD 、||DH ，则可得λ的值. 【详解】（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)D -，所以2a =，又2c =c =222431b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为：2214x y +=.（2）显然直线l 的斜率存在且不为0，设直线:l (4)y k x =+，联立22(4)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得2222(14)326440k x k x k +++-=， 2222(32)4(14)(644)k k k ∆=-+-0>，得21012k <<， 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则22(,)T x y -，所以21223214k x x k +=-+，212264414k x x k-=+，直线PT ：121112()y y y y x x x x +-=--，令0y =，得112112()y x x x x y y -=-+，所以112112()(,0)y x x H x y y --+，又||||(||||)AD DH AD DH λ⋅=-，所以1||||11||||||||AD DH AD DH DH AD λ-==-⋅，又因为(2,0),(4,0)D A --，112112()(,0)y x x H x y y --+，所以||2AD =，112112()||2y x x DH x y y -=-++112112(4)()2(4)(4)k x x x x k x k x +-=-++++112112(4)()2()8k x x x x k x x k+-=-+++112111212()8(4)()2()8kx x x kx k x x x k x x k++-+-=+++221121111212128442()8kx kx x k x kx kx x kx kx k x x k++-+-+=+++1212124()22()8k x x kx x k x x k++=+++22222232644421414232814k k k k k k k k k k --⋅+⋅++=+-⋅++ 12=-+1=，所以11112λ=-，解得λ=2. 所以存在常数2λ=，使得||||2(||||)AD DH AD DH ⋅=-成立.26．（2020·全国高考真题（理））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.【答案】（1）12；（2）221:13627x y C +=，22:12C y x =.【解析】（1）求出AB 、CD ，利用43CD AB =可得出关于a 、c 的齐次等式，可解得椭圆1C 的离心率的值； （2）由（1）可得出1C 的方程为2222143x y c c+=，联立曲线1C 与2C 的方程，求出点M 的坐标，利用抛物线的定义结合5MF =可求得c 的值，进而可得出1C 与2C 的标准方程. 【详解】 （1）(),0F c ，AB x ⊥轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x c =，联立22222221x cx y a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，则22b AB a =，抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x cy cx =⎧⎨=⎩， 解得2x cy c =⎧⎨=±⎩，4CD c ∴=，43CD AB =，即2843b c a=，223b ac =，即222320c ac a +-=，即22320e e +-=，01e <<，解得12e =，因此，椭圆1C 的离心率为12；（2）由（1）知2a c =，b =，椭圆1C 的方程为2222143x y c c +=，联立222224143y cx x y c c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得22316120x cx c +-=， 解得23x c =或6x c =-（舍去）， 由抛物线的定义可得25533cMF c c =+==，解得3c =. 因此，曲线1C 的标准方程为2213627x y +=，曲线2C 的标准方程为212y x =.27．（2020·天津高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【答案】（Ⅰ）221189x y +=；（Ⅱ）132y x =-，或3y x =-． 【解析】（Ⅰ）根据题意，并借助222a b c =+，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到CP AB ⊥，设出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立，求出B 点坐标，进而求出P 点坐标，再根据CP AB ⊥，求出直线AB 的斜率，从而得解. 【详解】（Ⅰ）椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF=，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以，椭圆的方程为221189x y +=；（Ⅱ）直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在， 设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx ，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+. 将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++， 所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0，所以，直线CP 的斜率为222303216261121CP k kk k k k --+=-+-+=， 又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+， 整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =.所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-.28．（2020·海南高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM的斜率为12， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.【答案】（1）2211612x y +=；（2）18. 【解析】(1)由题意分别求得a ,b 的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N 的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N 到直线AM 的距离即可求得三角形面积的最大值. 【详解】(1)由题意可知直线AM 的方程为：13(2)2y x -=-，即24-=-x y . 当y =0时，解得4x =-，所以a =4，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点M (2，3)，可得249116b +=， 解得b 2=12.所以C 的方程：2211612x y +=.(2)设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y +=，可得：()2232448m y y ++=，化简可得：2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m ∆=-⨯-=，即m 2=64，解得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=， 直线AM 方程为：24-=-x y ，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d ==由两点之间距离公式可得||AM ==.所以△AMN 的面积的最大值：1182⨯=. 29．（2021·全国高三其他模拟（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，A ，B 为其左､右顶点，M 为椭圆上任意一点(除去A ，B )且34MA MB k k ⋅=-. （1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点2F 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，又以PQ 为边的平行四边形PQRS 交曲线C 于R ，S ，求PQRS的最大值，并求此时直线PQ 的方程.【答案】（1）22143x y +=；（2）3；1x =. 【解析】（1）表示出MA ，MB 的直线斜率，根据条件求出参数a ，b ，从而求得椭圆方程.（2）△PQR 的面积等价于△PQF 1，设方程，联立圆锥曲线，求得弦长，表达出△PQR 面积表达式，借助函数解决面积最值问题. 【详解】（1）令()00,M x y ，则2200221x y a b+=，20020034MA MBy y b k k x a x a a ⋅=⨯=-=-+-2b a ∴=，又12e =， 2a ∴=，b =故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由椭圆方程的对称性知平行四边形PQRS 的另一边RS 过点1F ， 如图，//RS PQ ，1F ∴到PQ 的距离等于R 到PQ 的距离，1F PQPQR SS∴=又1c =，1(1,0)F ∴-，2(1,0)F 令直线PQ 的方程为1x ny =+联立221143x ny x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，223(1)412ny y ∴++=()2234690n y ny ∴++-=显然0∆>且122634ny y n +=-+，122934y y n =-+，120y y ∴< 112121211221122F PQPF F QF F SSSF Fy F F y ∴=+=+‖‖ 1212cy y y y=-=-===令21t n =+，n ∈R ，1t ∴≥()2222111(31)3496n t t n t t+∴==++++令1()96h t t t =++，则21()9h t t'=-， ()0h t '∴>，()h t ∴在[)1,+∞为单调递增函数，()16h t ∴≥，13F PQS∴≤= 当且仅当1t =，即0n =时，PQRS 的最大值为3，此时直线PQ 自方程为1x =.30．（2021·全国高三其他模拟）已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的焦距为2，点31,2G ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 与椭圆C 相切于点M ，与抛物线216y x =-的准线相交于点N ，若点P 为平面内一点，且PM PN ⊥，求点P 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）()1,0． 【解析】（1）根据椭圆的方程及性质求得椭圆C 的方程；（2）设直线方程并与椭圆联解，求出M 的坐标，以及求出直线与抛物线的准线交点坐标，设点(),P s t ，根据PM PN ⊥求出点P 的坐标． 【详解】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系、抛物线的性质的综合应用．（1）由题得2222222,191,4,c a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪-=⎪⎩解得2,1,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）根据题意可知直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y kx m =+，联立22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得()2223484120kxkmx m +++-=．由()()2222644344120k m k m∆=-+-=，得2234m k =+， 所以24434M km k x k m -==-+，23334M m y k m ==+，即43,k M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 因为抛物线216y x =-的准线方程为4x =，所以当4x =时，4N y k m =+，所以()4,4N k m +． 设点(),P s t ，因为PM PN ⊥，所以0PM PN ⋅=， 所以()43,4,40ks t s k m t mm ⎛⎫---⋅-+-= ⎪⎝⎭，即()()()()2143430s ms k m t m km tm -+--+-+=*，当10,0,s t -=⎧⎨=⎩即1s =，0t =时，方程（*）恒成立，所以点P 的坐标为()1,0．31．（2020·全国高考真题（理））已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【答案】（1）2219x y +=；（2）证明详见解析. 【解析】（1）由已知可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ，即可求得21AG GB a ⋅=-，结合已知即可求得：29a =，问题得解.（2）设()06,P y ，可得直线AP 的方程为：()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程即可求得点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理可得点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，当203y ≠时，可表示出直线CD 的方程，整理直线CD 的方程可得：()02043233y y x y ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭即可知直线过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭，命题得证. 【详解】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a +=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G∴(),1AG a =，(),1GB a =- ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）证明：设()06,P y ， 则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭. 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ 当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022********2000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭． 当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．32．（2020·全国高考真题（文））已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<的离心率为4，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y +=；（2）52. 【解析】（1）因为222:1(05)25x y C m m +=<<，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案； （2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积. 【详解】 （1）222:1(05)25x y C m m+=<< ∴5a =，b m =，根据离心率4c e a ====， 解得54m =或54m =-(舍)， ∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=； （2）不妨设P ,Q 在x 轴上方点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥， 过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”， 可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=， ∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时， 故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)， 画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：5d ===，根据两点间距离公式可得：AQ ==，∴APQ面积为：15252⨯=；②当P 点为(3,1)-时， 故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ ==，可得：Q 点为(6,8)， 画出图象，如图(5,0)A -,(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d ===，根据两点间距离公式可得：AQ ==∴APQ面积为：1522=， 综上所述，APQ 面积为：52. 33．（2020·山东高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【答案】（1）22163x y +=；（2）详见解析. 【解析】（1）由题意得到关于,,a b c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.（2）设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到,m k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置. 【详解】（1）由题意可得：222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2) 设点()()1122,,,M x y N x y ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，代入椭圆方程消去y 并整理得：()22212k 4260x kmx m +++-=，可得122412km x x k +=-+，21222612m x x k-=+， 因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=， 根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：()()()()22121212140x x km k x x k m ++--++-+=，所以()()()22222264k 121401212m km km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭， 整理化简得()()231210k m k m +++-=，因为2,1A （）不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1k ≠，所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭. 当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，由·0AM AN =得：()()()()111122110x x y y --+---=， 得()1221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得：2113840x x -+=，解得：123x =或22x =（舍）. 此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭. 令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP 的斜边，故12DQ AP ==， 若D 与P 重合，则12DQ AP =， 故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值. 34．（2020·北京高考真题）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．【答案】（Ⅰ）22182x y +=；（Ⅱ）1. 【解析】(Ⅰ)由题意得到关于a ,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA ,NA 的方程确定点P ,Q 的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得0P Q y y +=，从而可得两线段长度的比值. 【详解】(1)设椭圆方程为：()222210x y a b a b+=>>，由题意可得：224112ab a b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：2282a b ⎧=⎨=⎩， 故椭圆方程为：22182x y +=.(2)设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为：()4y k x =+，。

专题07 平面解析几何（选择题、填空题）1．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A ．2B ．1C D ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c ==，所以双曲线的离心率ce a==故选C. 【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为 A ．2sin40° B ．2cos40° C ．1sin50︒D ．1cos50︒【答案】D【解析】由已知可得tan130,tan 50b ba a-=︒∴=︒，1cos50c e a ∴======︒， 故选D ．【名师点睛】对于双曲线：()222210,0x y a b a b -=>>，有c e a ==对于椭圆()222210x y a b a b +=>>，有c e a ==3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得n =22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ．【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，从而解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ．5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A BC ．2D 【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==Q ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， ∴||2c OA =，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=，故选A ．【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 的关系，可求双曲线的离心率．6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为 A ．32B ．52C ．72D ．92【答案】B【解析】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又3OP OF ===，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =，即053y =， 0115532232OPF S OF y ∴=⋅=⨯⨯=△， 故选B ．【名师点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅.设()00,P x y ，由=OP OF ，再结合双曲线方程可解出0y ，利用三角形面积公式可求出结果.7．【2019年高考北京卷文数】已知双曲线2221x y a-=（a >0，则a =AB ．4C ．2D ．12【答案】D【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c =∴a=12a =，故选D.【名师点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a ，b ，c 的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．【2019年高考天津卷文数】已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为A BC ．2D 【答案】D【解析】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-， 双曲线的渐近线方程为by x a=±， 则有(1,),(1,)b b A B a a ---，∴2b AB a =，24ba =，2b a =，∴c e a ===故选D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度.解答时，只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.9．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为 A ．13 B ．12C ．2D ．3【答案】C【解析】由题可得2c =，因为24b =，所以2228a b c =+=，即a =所以椭圆C 的离心率2e ==，故选C ． 【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及离心率，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中,,a b c 的关系求得结果.10．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．12-B ．2C ．12D 1【答案】D【解析】在12F PF △中，122190,60F PF PF F ∠=∠=︒o，设2PF m =，则12122,c F F m PF ===，又由椭圆定义可知1221)a PF PF m =+=，则212c c e a a ====，故选D ．【名师点睛】本题主要考查椭圆的定义和简单的几何性质，考查考生的数形结合能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.结合有关平面几何的知识以及椭圆的定义、性质加以灵活分析，关键是寻找椭圆中a ，c 满足的关系式.椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.11．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．y x =D ．y x = 【答案】A【解析】因为c e a ==，所以2222221312b c a e a a -==-=-=，所以b a =by x a=±，所以渐近线方程为y =，故选A ． 【名师点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，焦点坐标为(±c ，0)，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，渐近线方程为by x a=±； (2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>，焦点坐标为(0，±c )，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，渐近线方程为a y x b=±. 12．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣【答案】A【解析】Q 直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--，则AB =.Q 点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1d ==故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为，则[]2212,62ABP S AB d ==∈△.故答案为A.【名师点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题.先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线的距离，得到点P 到直线距离的范围，由面积公式计算即可.13．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，则点(4,0)到C的渐近线的距离为A B ．2C ．2D ．【答案】D【解析】c e a ===Q 1b a ∴=，所以双曲线C 的渐近线方程为0x y ±=，所以点(4,0)到渐近线的距离d ==D ． 【名师点睛】本题主要考查双曲线的性质、点到直线的距离公式，考查考生的运算求解能力、化归与转化能力、逻辑思维能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算、直观想象.熟记结论：若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>是等轴双曲线，则a =b ，离心率e ，渐近线方程为y =±x ，且两条渐近线互相垂直.14．【2018年高考浙江卷】双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．，0)，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，，(0D ．(0，−2)，(0，2) 【答案】B【解析】设2213x y -=的焦点坐标为(,0)c ±，因为222314c a b =+=+=，2c =，所以焦点坐标为(2,0)±，故选B ．【名师点睛】本题主要考查双曲线基本量之间的关系，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.解答本题时，先根据所给的双曲线方程确定焦点所在的坐标轴，然后根据基本量之间的关系进行运算.15．【2018年高考天津卷文数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ． 221124x y -=【答案】A【解析】设双曲线的右焦点坐标为(,0)(0)F c c >，则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得2b y a =±， 不妨设2(,)b A c a，2(),b B c a -，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得21d ==2bc b c -，222bc b d c +==，则12226bcd d b c+===，则3b =，29b =，双曲线的离心率2c e a ====，据此可得23a =，则双曲线的方程为22139x y -=． 故选A ．【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()22220x y a bλλ-=≠，再由条件求出λ的值即可.解答本题时，由题意首先求得A ，B 的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b 的值，之后求解a 的值即可确定双曲线方程.16．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 2【答案】D【解析】由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=，得3y =±，所以3||=PF ，又点A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为133(21)22⨯⨯-=，故选D ． 【名师点睛】本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得)0,2(F ，结合PF 与x 轴垂直，可得3||=PF ，最后由点A 的坐标是(1，3)，计算△APF 的面积．17．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞UB ．[9,)+∞UC ．(0,1][4,)+∞UD ．[4,)+∞U【答案】A【解析】当03m <<时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o ，则tan 60ab≥=o≥，得01m <≤；当3m >时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o ，则tan 60ab ≥=o ≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞U ， 故选A ．【名师点睛】本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定b a ,的关系，求解时充分借助题设条件ο120=∠AMB 转化为360tan =≥οba，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．18．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A ．)+∞B ．2)C ．D ．(1,2)【答案】C【解析】由题意得222222111c a e a a a+===+，因为1a >，所以21112a <+<，则1e << 故选C.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题的关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.19．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】过抛物线2:4C y x =的焦点F C 于点M （M在x 的轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为A B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题知:1)MF y x =-，与抛物线24y x =联立得231030x x -+=，解得121,33x x ==，所以(3,M ，因为MN l ⊥，所以(1,N -，因为(1,0)F，所以:1)NF y x =-.所以M 到直线NF=故选C.【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数的关系或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；涉及中点弦问题往往利用点差法.20．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为ABCD ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即()2223,a a c=-即2223ac =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===， 故选A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.21．【2017年高考天津卷文数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2213x y -=D ．2213y x -=【答案】D【解析】由题意可得2222tan 60c c a b ba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪=︒=⎩，解得221,3a b ==，故双曲线方程为2213y x -=．故选D ．【名师点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质，属于基础题．解题时要注意，，之间满足的关系：，否则很容易出现错误．求解本题可先画出大致图形，根据题中所给的几何关系，结合双曲线的几何性质，得到，，满足的关系式，联立求解可得，，的值．22．【2017年高考浙江卷】椭圆22194x y +=的离心率是ABC ．23D ．59【答案】B【解析】椭圆22194x y +=的离心率e ==B ． 【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．23．【2019年高考北京卷文数】设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．a b c 222c a b =+a b c a b c【答案】22(1)4x y -+=【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2， 焦点F （1，0），准线l 的方程为x =−1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为(x −1)2+y 2=22，即为22(1)4x y -+=. 【名师点睛】本题可采用数形结合法，只要画出图形，即可很容易求出结果.24．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y=的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又12014,42MF F S y =⨯=∴=△，解得0y =， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.25．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .【答案】y =【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程. 26．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4【解析】当直线x +y =0平移到与曲线4y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P ，此时到直线x +y =0的距离最小. 由2411y x'=-=-，得)x x ==，y =Q ， 则切点Q 到直线x +y =04=，故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.27．【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________． 【答案】2-【解析】由题意可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入直线AC 的方程得2m =-，此时||r AC ===【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.28．【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．【解析】方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y ，可得22(2)16x y -+=， 与方程22195x y +=联立，可解得321,22x x =-=（舍）， 又点P 在椭圆上且在x轴的上方，求得32P ⎛- ⎝⎭，所以212PFk ==方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF |=|OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-，从而可求得3,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以212PF k ==.【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁.29．【2018年高考全国I 卷文数】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．【答案】【解析】根据题意，圆的方程可化为()2214x y ++=，所以圆的圆心为()0,1-，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得d ==结合圆中的特殊三角形，可知AB ==【名师点睛】该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形，即半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形，利用勾股定理求得弦长.30．【2018年高考天津卷文数】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． 【答案】2220x y x +-=【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则01104020F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪+++=⎩，解得200D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则圆的方程为2220x y x +-=. 【名师点睛】求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．31．【2018年高考浙江卷】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足2AP PB =u u u r u u u r ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大． 【答案】5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =u u u r u u u r得122x x -=，1212(1)y y -=-， 所以1223y y -=-，因为A ，B 在椭圆上，所以22114x y m +=，22224x y m +=，所以22224(23)4x y m +-=，所以224x +22324()m y -=，与22224x y m +=对应相减得234m y +=，2221(109)44x m m =--+≤， 当且仅当5m =时取最大值．【名师点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.32．【2018年高考北京卷文数】若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为2a =________________． 【答案】4【解析】在双曲线中c ==c e a ==，=，即216a =， 因为0a >，所以4a =．【名师点睛】本题主要考查双曲线的方程与几何性质，考查考生的运求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.在求解有关离心率的问题时，一般不直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的条件，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.33．【2018年高考北京卷文数】已知直线l 过点（1，0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________. 【答案】()1,0【解析】由题意可得，点()1,2P 在抛物线上，将()1,2P 代入24y ax =中，解得1a =，24y x ∴=，由抛物线方程可得：24,2,12pp p ===，∴焦点坐标为()1,0.【名师点睛】此题考查抛物线的相关知识，属于易得分题，关键在于能够结合抛物线的对称性质，得到抛物线上点的坐标，再者熟练准确记忆抛物线的焦点坐标公式也是保证本题能够得分的关键.根据题干描述画出相应图形，分析可得抛物线经过点()1,2，将点()1,2坐标代入可求参数a 的值，进而可求焦点坐标.34．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c，则其离心率的值是________________． 【答案】2【解析】因为双曲线的焦点(,0)F c 到渐近线by x a =±，即0bx ay ±=bc b c ==，所以2b =， 因此2222223144a c b c c c =-=-=，12a c =，2e =． 【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，考查考生的运算求解能カ和应用意识，考查的核心素养是数学运算.熟记结论：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b .35．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为________． 【答案】3【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ， 由0AB CD ⋅=u u u r u u u r 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a =【名师点睛】本题主要考查直线的方程、直线与直线的位置关系、圆的性质，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算.以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.36．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】双曲线22219x y a -=（a >0）的一条渐近线方程为35y x =，则a = .【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为3y x a=±，结合题意可得5a =. 【名师点睛】1.已知双曲线方程22221(0,0)x y a b a b -=>>求渐近线：22220x y by x a b a-=⇒=±.2.已知渐近线y mx =设双曲线的标准方程为222m x y λ-=.3.双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点.37．【2017年高考北京卷文数】若双曲线221y x m-=，则实数m =_________．【答案】2【解析】因为221,a b m ==，所以c a ==2m =. 【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意、、的关系，即，以及当焦点在x 轴时，哪些量表示22,a b ，否则很容易出现错误．最后根据离心率的公式计算即可.38．【2017年高考天津卷文数】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若120FAC ∠=︒，则圆的方程为___________．a b c 222c a b =+【答案】22(1)(1x y ++=【解析】由题可设圆心坐标为(1,)C m -，则(0,)A m ，焦点(1,0)F ，(1,0),(1,)AC AF m =-=-u u u r u u u r，1cos 2AC AF CAF AC AF ⋅∠===-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，解得m =，由于圆C 与y轴得正半轴相切，则m =(-，半径为1，所求圆的方程为22(1)(1x y ++=．【名师点睛】本题设计比较巧妙，考查了圆、抛物线的方程，同时还考查了向量数量积的坐标表示，本题只有一个难点，就是120CAF ∠=︒，会不会用向量的数量积表示cos CAF ∠，根据图象，可设圆心为(1,)C m -，那么方程就是22(1)()1x y m ++-=，若能用向量的数量积表示角，即可求得m ，问题也就迎刃而解了．另外，本题也可通过解三角形求得AO =m =，进而可得圆的方程．39．【2017年高考山东卷文数】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ，B 两点.若|AF |+|BF |=4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】y x = 【解析】由抛物线定义可得：||||=4222A B A B p p p AF BF y y y y p ++++=⨯⇒+=， 因为22222222221202x y a y pb y a b a b x py ⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩，所以222A B pb y y p a a +==⇒=⇒渐近线方程为2y x =±. 【名师点睛】若AB 是抛物线()220y px p =>的焦点弦，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p .(4)以AB 为直径的圆与准线相切．(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．40．【2017年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是_______________．【答案】【解析】右准线方程为10x ==，渐近线方程为3y x =±，设(1010P ，则(,1010Q ，1(F ，2F ，所以四边形12F PF Q 的面积S == 【名师点睛】（1）已知双曲线方程22221(0,0)x y a b a b -=>>求渐近线：22220x y b y x a b a-=⇒=±；（2）已知渐近线y mx =可设双曲线方程为222(0)m x y λλ-=≠；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点．。

【最新】高考数学《平面解析几何》专题解析一、选择题1．已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，抛物线的对称轴与准线交于点Q ，P 为抛物线上的动点，PF m PQ =，当m 最小时，点P 恰好在以,F Q 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A ．3-B ．2-CD 1【答案】D 【解析】由已知，(01)(01)F Q ，，，-，过点P 作PM 垂直于准线，则PM PF =．记PQM α∠=，则sin PF PM m PQPQα===，当α最小时，m 有最小值，此时直线PQ与抛物线相切于点P ．设204x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，可得(21)P ，±，所以2PQ PF ，==，则2PF PQ a +=，∴1a =，1c =，∴1ce a==，故选D ．2．若双曲线上存在四点，使得以这四点为顶点的四边形是菱形，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．B ．C ．)+∞D ．)+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，双曲线与直线y x =±相交且有四个交点，由此得1ba>．结合双曲线的基本量的平方关系和离心率的定义，化简整理即得该双曲线的离心率的取值范围． 【详解】解：不妨设该双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由双曲线的对称性质可知，该四边形为正方形， 所以直线y x =与双曲线有交点， 所以其渐近线与x 轴的夹角大于45︒，即1ba>．离心率e =所以该双曲线的离心率的取值范围是)+∞． 故选：C ． 【点睛】本题考查双曲线的离心率取值范围以及双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．3．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.【详解】()2223222216162x y xyx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确； 将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==，即圆224x y +=与曲线C 相切于点2,2，(2,2-，(2,2，2,2-，则①和③都错误；由0xy <，得④正确. 故选：B. 【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.4．已知直线(3)(0)y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点.若5FA FB =，则k 等于（ ）A ．3B ．12C ．23D ．2【答案】B 【解析】 【分析】 由2(3)4y k x y x=+⎧⎨=⎩，得()22226490k x k x k +-+=，()22464360k k ∆=-->，得213k <，129x x =①，再利用抛物线的定义根据5FA FB =，得到1254x x =+②，从而求得21x =，代入抛物线方程得到(1,2)B ，再代入直线方程求解. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，易知1 0x >，20x >，10y >，20y >，由2(3)4y k x y x=+⎧⎨=⎩，得()22226490k x k x k +-+=，()22464360k k ∆=-->，所以213k <，129x x =①.因为1112p FA x x =+=+，2212pFB x x =+=+，且5FA FB =， 所以1254x x =+②. 由①②及20x >得21x =， 所以(1,2)B ，代入(3)y k x =+，得12k =. 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的定义，几何性质和直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>)的左，右焦点分别为12,F F ，其右支上存在一点M ，使得210MF MF ⋅=u u u u r u u u r,直线:0l bx ay +=，若直线2//MF l 则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．2C D ．5【答案】C【解析】 【分析】易得且1MF l ⊥，从而l 是线段1MF 的垂直平分线求出直线1MF 的方程与渐近线方程联立求出交点坐标，进而求得M 坐标，根据勾股定理即可求解离心率. 【详解】由120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v 可得12MF MF ⊥易知直线:0l bx ay +=为双曲线的一条渐近线，可知l 的方程为by x a=-，且1MF l ⊥，从而l 是线段1MF 的垂直平分线，且直线1MF 的方程为()ay x c b=+设1MF ，与l 相交 于点(),N x y .由 ()a y x c b b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得2a x c aby c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即2,a ab N c c ⎛⎫-⎪⎝⎭，又()1,0F c -，由中点坐标公式，得222,.a ab M c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭由双曲线性质可得122MF MF a -=①，由12MF MF ⊥得222124MF MF c +=②，①②联立，可得2122MF MF b ⋅=所以点M 的纵坐标为2b c ，所以22b ab c c =即2b a =所以21 5.b e a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭故选：C 【点睛】本题考查双曲线性质的综合问题，考查数形结合思想，对于学生的数学运算和逻辑推理能力要求较高，属于一般性题目.6．已知双曲线2221(0)2x y b b-=>的左右焦点分别为12,F F ，其一条渐近线方程为y x =，点0(3,)P y 在该双曲线上，则12PF PF ⋅u u u r u u u u r=( )A ．12-B ．2-C ．0D ．4【答案】C 【解析】由题知，故，∴12(23,1)(23,1)3410PF PF ⋅=-±⋅±=-+=u u u r u u u u r ，故选择C ．7．已知双曲线22:1124x y C -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,P Q ．若POQ ∆为直角三角形，则PQ =（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C 【解析】 【分析】由题意不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒，解三角形即可. 【详解】不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒.则易知30POF ∠=︒，4OF =，∴23OP =POQ n 中，60POQ ∠=︒，90OPQ ∠=︒，23OP =∴36PQ OP ==. 故选C 【点睛】本题主要考查双曲线的性质，根据双曲线的特征设出P ，Q 位置，以及POQ V 的直角，即可结合条件求解，属于常考题型.8．已知抛物线24y x =上有三点,,A B C ，,,AB BC CA 的斜率分别为3，6，2-，则ABC ∆的重心坐标为（ ）A ．14,19⎛⎫⎪⎝⎭B ．14,09⎛⎫⎪⎝⎭C ．14,027⎛⎫⎪⎝⎭D ．14,127⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求横坐标，利用重心坐标公式即可得解. 【详解】设()()()112233,,,,,,A x y B x y C x y 则1212221212124344AB y y y y k y y x x y y --====-+-，得1243y y +=，同理234263y y +==，31422y y +==--，三式相加得1230y y y ++=， 故与前三式联立，得211231241,2,,3349y y y y x =-==-==，22214y x ==，233449y x ==，则12314327x x x ++=.故所求重心的坐标为14,027⎛⎫⎪⎝⎭，故选C. 【点睛】本题主要考查了解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算，对学生的能力有一定的要求，属于中档题.9．已知椭圆22:12y C x +=，直线:l y x m =+，若椭圆C 上存在两点关于直线l 对称，则m 的取值范围是( )A ．33⎛- ⎝⎭B ．,44⎛- ⎝⎭C ．33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D ．44⎛- ⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ，根据椭圆C 上存在两点关于直线:l y x m =+对称，将A ，B 两点代入椭圆方程，两式作差可得002y x =，点M 在椭圆C 内部，可得2221m m +<，解不等式即可.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ， 则1202x x x +=，1202y y y +=，1AB k =-.又因为A ，B 在椭圆C 上，所以221112y x +=，222212y x +=，两式相减可得121212122y y y y x x x x -+⋅=--+，即002y x =. 又点M 在l 上，故00y x m =+，解得0x m =，02y m =.因为点M 在椭圆C 内部，所以2221m m +<，解得33m ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及在圆锥曲线中“设而不求”的思想，属于基础题.10．已知椭圆221259x y +=上一点M 到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M 到另一个焦点的距离等于（ ） A ．1 B ．3C ．6D ．10【答案】C 【解析】由椭圆方程可得225210a a =∴= ，由椭圆定义可得点M 到另一焦点的距离等于6.故选C ．11．已知P 是双曲线2221(0)8x y a a -=>上一点，12,F F 为左、右焦点，且19PF =，则“4a =”是“217PF =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】化简得到229PF a =+或292PF a =-，故当4a =时，217PF =或21PF =；当217PF =时，4a =，得到答案.【详解】P 是双曲线2221(0)8x y a a -=>上一点，12,F F 为左、右焦点，且19PF =， 则229PF a =+或292PF a =-，当4a =时，217PF =或21PF =；当217PF =时，4a =. 故“4a =”是“217PF =”的必要不充分条件. 故选：B . 【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.12．已知曲线C 的方程为22121x y m m+=-，现给出下列两个命题：p ：102m <<是曲线C 为双曲线的充要条件，q ：12m > 是曲线C 为椭圆的充要条件，则下列命题中真命题的是（ ）A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．p q ∧【答案】C 【解析】 【分析】根据充分必要条件及双曲线和椭圆定义，分别判定命题p 与命题q 的真假，进而判断出复合命题的真假． 【详解】若曲线C 为双曲线，则()210m m -< ，可解得102m << 若102m <<，则()210m m -<，所以命题p 为真命题 若曲线C 为椭圆，则12m >且m≠1，所以命题q 为假命题 因而()p q ∧⌝为真命题 所以选C 【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程，充分必要条件的判定，属于基础题．13．倾斜角为45︒的直线与双曲线22214x y b-=交于不同的两点P 、Q ，且点P 、Q 在x轴上的投影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的焦距为（ ）A ．2B ．2C 1D 1【答案】B 【解析】 【分析】方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，可得2Rt QOF △为等腰三角形且245QOF ∠=︒，根据勾股定理及双曲线的定义可得：1c =.方法二：等腰2Rt QOF △中，可得22b QF a=，且2b c a =.又根据222b a c =-，联立可解得1c =. 【详解】方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，在等腰2Rt QOF △中，245QOF ∠=︒，则122F F c =，2QF c =，1QF =.由双曲线的定义可得：122QF QF a-=，41c c -==，，故22c =.方法二：等腰2Rt QOF △中，22bQF a=，∴2b c a=. 又222b a c =-， ∴2240c c --=， 得51c =+. ∴2252c =+. 故选：B . 【点睛】本题考查双曲线的性质，解题关键是将题目条件进行转化，建立等量关系求解，属于中等题.14．过双曲线22134x y -=的左焦点1F 引圆223x y +=的切线，切点为T ，延长1F T 交双曲线右支于P 点，M 为线段1F P 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -=（ ） A ．1 B ．23-C ．13+D ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的中位线性质，双曲线的定义，及圆的切线性质，即可得到结论． 【详解】由图象可得()1111||MO MT MO MF TF MO MF TF -=--=-+=()(22211112322322PF PF OF OT -+-=⋅-+= 故选：B. 【点睛】本题考查圆与双曲线的综合，解题的关键是正确运用双曲线的定义，三角形的中位线性质．15．已知点1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 为1C 和2C 的一个公共点，且1223F PF π∠=，若22e =，则1e 的值是（ ） ABCD【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得到方程2221243c a a =+，由此得到关于离心率的方程求得结果. 【详解】设椭圆长半轴长为1a ，双曲线实半轴长为2a ，焦点坐标为()1,0F c -，()2,0F c ， 不妨设P 为第一象限内的点，则1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ， 则221212PF PF a a =-，由余弦定理得：2222212121212242cos3c PF PF PF PF PF PF PF PF π=+-=++， ()22222211212443c a a a a a ∴=--=+，2212314e e ∴+=，又22e =，2145e ∴=，1e ∴=故选：D .【点睛】本题考查共焦点的椭圆与双曲线问题的求解，关键是能够熟练应用椭圆和双曲线的定义，利用余弦定理构造等量关系，配凑出关于椭圆和双曲线离心率的方程.16．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 作互相垂直的两直线AB ，CD 与抛物线分别相交于A ，B 以及C ，D ，若111AF BF+=，则四边形ACBD 的面积的最小值为（ ） A ．18 B ．30C ．32D ．36【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由抛物线性质可知：112AF BF p +=，又111AF BF+=，∴2p =，即24y x =设直线AB 的斜率为k （k≠0），则直线CD 的斜率为1k-． 直线AB 的方程为y=k （x ﹣1）， 联立214y k x y x=⎧⎨=⎩（﹣），消去y 得k 2x 2﹣（2k 2+4）x+k 2=0， 从而242A B x x k+=+，A B x x =1 由弦长公式得|AB|=244k+， 以1k-换k 得|CD|=4+4k 2， 故所求面积为()22221141AB CD 4448222k k k k ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥32（当k 2=1时取等号），即面积的最小值为32．故选C17．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若()21210F F F A F A +⋅=u u u u v u u u u v u u u v ，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A ．22143x y -= B ．22134x y -= C ．221169x y -= D ．221916x y -= 【答案】D【解析】【分析】 先由()21210F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r 得到1222F F F A c ==，根据2AF 的斜率为247，求出217cos 25AF F ∠=-，结合余弦定理，与双曲线的定义，得到c a ，求出a b ，进而可得出结果.【详解】 由()21210F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r ，可知1222F F F A c ==， 又2AF 的斜率为247，所以易得217cos 25AF F ∠=-， 在12AF F ∆中，由余弦定理得1165AF c =，由双曲线的定义得16225c c a -=， 所以53c e a ==，则:3:4a b =， 所以此双曲线的标准方程可能为221916x y -=. 故选D【点睛】本题考查双曲线的标准方程，熟记双曲线的几何性质与标准方程即可，属于常考题型.18．已知直线1:(1)(1)20l a x a y -++-=和2:(1)210l a x y +++=互相垂直，则a 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】分析：对a 分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出． 详解：1a =-时，方程分别化为：10210x y +=+=，， 此时两条直线相互垂直，因此1a =-满足题意．1a ≠-时，由于两条直线相互垂直，可得：11()112a a a -+-⨯-=-+， 解得1a =-，舍去．综上可得：1a =-.故选A ．点睛：本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题19．已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()0,1-，则PFPA 的最小值是（ ）A ．14B ．12CD 【答案】C【解析】由题意可得，抛物线24x y =的焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-．过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PF PM =，则sin PFPMPAM PA PA ==∠，PAM ∠为锐角．∴当PAM ∠最小时，PF PA 最小，则当PA 和抛物线相切时，PF PA 最小． 设切点(2,)P a a ，由214y x =的导数为12y x '=，则PA 的斜率为1222a a a ⋅==. ∴1a =，则(2,1)P .∴2PM =，22PA =∴2sin 2PM PAM PA ∠== 故选C ．点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化， 这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题.20．在平面直角坐标系中，已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，实轴长为8，离心率为，则它的渐近线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：渐近线的方程为，而，因此渐近线的方程为，选D.考点：双曲线渐近线。

用几何变换求解平面几何题
张腾
【期刊名称】《《中等数学》》
【年(卷),期】2007(000)004
【总页数】2页(P10-11)
【作者】张腾
【作者单位】江苏省淮阴中学高三(19)班 223001
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.41
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