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*3 垂径定理教学目标一、基本目标1．通过圆的轴对称性质的学习,理解垂径定理及其推论． 2．能运用垂径定理及其推论计算和证明实际问题． 二、重难点目标 【教学重点】 垂径定理及其推论． 【教学难点】运用垂径定理及其推论解决有关问题．教学过程环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P74～P75的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧．即一条直线如果满足：①CD 经过圆心O 且与圆交于C 、D 两点；②AB ⊥CD 交CD 于点M ,则AM ＝BM ＝12AB ,AC ︵＝BC ︵ ,AD ︵ ＝BD ︵.2．垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧． 环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD ︵ ,点O 是CD ︵所在圆的圆心),其中CD ＝600 m,E 为CD ︵上一点,且OE ⊥CD ,垂足为F ,EF ＝90 m,求这段弯路的半径．【互动探索】(引发学生思考)要求这段弯路的半径可转化为求OC 的长,结合已知条件,在Rt △OCF 中利用勾股定理即可求得OC 的长．【解答】连结OC .设弯路的半径为R m,则OF ＝(R －90)m. ∵OE ⊥CD ,∴CF ＝12CD ＝12×600＝300(m)．在Rt △OCF 中,根据勾股定理, 得OC 2＝CF 2＋OF 2, 即R 2＝3002＋(R －90)2, 解得R ＝545.∴这段弯路的半径为545 m.【互动总结】(学生总结,老师点评)常用辅助线：连结半径,由半径、半弦、弦心距构造直角三角形．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图,AB 为⊙O 的弦,⊙O 的半径为5,OC ⊥AB 于点D ,交⊙O 于点C ,且CD ＝1,则弦AB 的长是多少？解：连结AO .由题意可知,OA ＝OC ＝5, ∴OD ＝OC －CD ＝5－1＝4. ∵OC ⊥AB , ∴∠ODA ＝90°,∴在Rt △OAD 中,由勾股定理,得 AD ＝OA 2－OD 2＝3. 又∵AB 为⊙O 的弦,∴由垂径定理,得AB ＝2AD ＝6, 即弦AB 的长是6.2．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的半径OB ＝10 cm,水面宽AB ＝16 cm.求截面圆心O 到水面的距离．解：如图,过点O 作OC ⊥AB 于点C . ∵OC ⊥AB ,AB ＝16 cm,∴∠OCB ＝90°,BC ＝12AB ＝8 cm.又OB ＝10 cm,∴在Rt △OBC 中,由勾股定理,得 OC ＝OB 2－BC 2＝6 cm.即截面圆心O 到水面的距离为6 cm.3．如图,AB 为半圆的直径,O 为圆心,C 为半圆上一点,E 是AC ︵的中点,OE 交弦AC 于点D ,若AC ＝8 cm,DE ＝2 cm,求OD 的长．解：∵E 是AC ︵的中点, ∴OE ⊥AC , ∴AD ＝12AC ＝4 cm.∵OD ＝OE －DE ＝(OE －2)cm,OA ＝OE , ∴在Rt △OAD 中,由勾股定理,得OA 2＝OD 2＋AD 2, 即OA 2＝(OE －2)2＋42, 解得OE ＝5 cm. ∴OD ＝OE －DE ＝3 cm. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】已知⊙O 的半径为13,弦AB ＝24,弦CD ＝10,AB ∥CD ,求这两条平行弦AB 、CD 之间的距离．【互动探索】画出几何示意图→要求两条平行弦AB 、CD 之间的距离→利用垂径定理求解→作辅助线,构造直角三角形．【解答】分两种情况讨论：当弦AB 和CD 在圆心同侧时,如图,过点O 作OF ⊥CD 于点F ,交AB 于点E ,连结OC 、OA .由题意可知,OA ＝OC ＝13. ∵AB ∥CD ,OF ⊥CD , ∴OE ⊥AB .又∵AB ＝24,CD ＝10,∴由垂径定理,得AE ＝12AB ＝12,CF ＝12CD ＝5,∴由勾股定理,得EO ＝OA 2－AE 2＝5,OF ＝OC 2－CF 2＝12, ∴EF ＝OF －OE ＝7；当弦AB 和CD 在圆心异侧时,如图,过点O 作OF ⊥CD 于点F ,反向延长OF 交AB 于点E ,连结OC 、OA .同理可得,EO ＝5,OF ＝12, ∴EF ＝OF ＋OE ＝17.综上,两条平行弦AB 与CD 之间的距离为7或17.【互动总结】(学生总结,老师点评)解此类题时,要考虑两弦在圆心的同侧还是异侧,再结合实际作出半径和弦心距,利用勾股定理和垂径定理求解即可．要注意分类讨论思想的应用,小心别漏解．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)垂径定理及其逆定理,以及常用的辅助线(作垂径)和解题思路(构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形)．练习设计请完成本课时对应练习！。
三垂径定理一、垂径定理的内容1. 定理表述- 垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
- 用几何语言表示：- 已知圆O，直径CD⊥弦AB于点E，则AE = BE，widehat{AD}=widehat{BD}，widehat{AC}=widehat{BC}。
2. 定理的证明（以人教版教材思路为例）- 连接OA，OB。
- 因为OA = OB（同圆半径相等），OE⊥ AB，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AE=BE。
- 再根据圆的对称性，可得widehat{AD}=widehat{BD}，widehat{AC}=widehat{BC}。
3. 相关概念理解- 弦：连接圆上任意两点的线段。
如在圆O中，AB就是一条弦。
- 直径：经过圆心的弦。
例如CD是圆O的直径。
- 弧：圆上任意两点间的部分。
圆O中的widehat{AD}、widehat{BD}、widehat{AC}、widehat{BC}等都是弧。
二、垂径定理的推论1. 推论内容- 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
- 用几何语言表示：- 已知圆O，直径CD平分弦AB（AB不是直径）于点E，则CD⊥ AB，widehat{AD}=widehat{BD}，widehat{AC}=widehat{BC}。
2. 推论的证明- 连接OA，OB。
- 因为OA = OB，AE = BE，所以 OAB是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，可得OE⊥ AB，即CD⊥ AB。
- 再根据圆的对称性，可得widehat{AD}=widehat{BD}，widehat{AC}=widehat{BC}。
- 这里要注意弦不能是直径，因为任意一条直径都可以平分另一条直径，但不一定垂直。
三、垂径定理及其推论的应用1. 计算类应用- 例1：已知圆O的半径为5，弦AB = 8，求圆心O到弦AB的距离。
- 解：设圆心O到弦AB的距离为d。
- 连接OA，因为OA = 5，AB = 8，根据垂径定理，OE⊥ AB时AE=(1)/(2)AB = 4。
垂径定理垂径定理是数学几何中的一个重要定理，它解决了直径垂直于弦的问题。
在几何形体中，直径和弦是常见的概念。
定义在一个圆中，如果某条直径与一条弦垂直相交，那么这条直径被称为垂径。
理论证明假设我们有一个圆，直径为AB，弦为CD，且垂直相交于E点。
我们需要证明AE与BE相等。
首先，连接AC和BD，并延长直线AC和BD，分别交于F和G点。
根据垂直与切线的性质，可以得出四个直角三角形：AEC、EDB、AFB和EGC。
我们需要利用这四个直角三角形的性质来推导出AE与BE相等。
首先考虑直角三角形AEC和EDB，这两个三角形共有一边AE，因此我们可以利用直角三角形的边长关系依次得到以下两个等式：AE^2 + CE^2 = AC^2 (1)BE^2 + DE^2 = BD^2 (2)接下来考虑直角三角形AFB和EGC，这两个三角形也共有一边AE，而它们还有两边分别是FA、AG和GE、EB。
由于直角三角形的边长关系，我们可以得到以下两个等式：FA^2 + AE^2 = AF^2 (3)AG^2 + AE^2 = AG^2 (4)根据圆的性质，直径的两个端点到圆心的距离相等，即AC = BD。
由于AC = BD，我们可以将等式(1)和(2)进行简化：AE^2 + CE^2 = BD^2 (5)BE^2 + DE^2 = BD^2 (6)由于等式(5)和(6)左侧都包含AE，我们将它们相减，可以得到：AE^2 + CE^2 - (BE^2 + DE^2) = 0再根据等式(3)和(4)可以得到：FA^2 + AE^2 - (AG^2 + AE^2) = 0整理等式得到：FA^2 - AG^2 + CE^2 - DE^2 = 0化简得到：(FA^2 - AG^2) + (CE^2 - DE^2) = 0根据差的平方公式，我们可以进一步得到：(FA + AG)(FA - AG) + (CE + DE)(CE - DE) = 0将FA + AG替换为FG，CE + DE替换为CD，可以得到：FG * CD + FG * CD = 0进一步整理得到：2 * FG * CD = 0由于FG和CD都是正值，所以只能有FG = 0。
垂径定理计算公式
「垂径定理」是几何中的基础定理，它表明了从垂足A到点P的垂径和从垂足A到点Q的垂径的乘积，等于对应的点P和Q的连线的平方。
下面我就来讲述一下垂径定理的计算公式。
首先，我们必须了解垂径定理的基本概念，即AB为一直线，A
为垂足，P为直线上点，Q为垂线上点，以及AP和BQ两条垂线。
垂径定理的计算公式为：AP*BQ=PB^2
其中，AP为从垂足A投影到点P的垂线，BQ为从垂足B投影到
点Q的垂线，而PB为从点P到点Q的直线，^2表示平方运算。
计算垂径定理的公式时，首先应计算相应的垂线的长度，例如
AP的长度为a，BQ的长度为b。
然后，可以用公式a*b=PB^2计算出PB的长度，即从点P到点Q的距离。
在一般的教学和习题中，可以有以下几种应用方法。
首先，可以利用垂径定理来计算平行四边形中任意两条边的长度，其中一边知道，另一边未知。
例如，若已知直线AB，以及M为其中
一点，则可以求出MN的长度。
另一种应用，是利用垂径定理求解三角形的内角。
有时候，我们需要求解的三角形的内角未知，仅知道三条边的长度时，则可以利用垂径定理来计算。
最后，垂径定理也可以用于求解椭圆的参数和椭圆上的点。
由于椭圆是以双曲线形式出现的，双曲线一端的点都是到椭圆中心的距离相等，则可以用垂径定理来计算双曲线上点的坐标，从而得到椭圆参
数。
以上就是关于垂径定理计算公式的全部内容，希望能够对读者有所帮助。
垂径定理在几何中有许多有趣的应用，如本文所提到的，通过深入的学习，可以更好地理解垂径定理。
垂径定理计算公式垂径定理指的是使用给定线段长度计算直角三角形的斜边长度的定理，它是基于古希腊数学家勃拉穆斯（Pythagoras）所发现的“勃拉穆斯定理”而推导出来的一种公式。
它可用于解决许多建筑、土木工程、航海学及其他一些理论计算中的问题。
一般来说，垂径定理描述的是，在一个直角三角形中，如果知道其中两条直角边的长度，则可以通过垂径定理计算出第三条边的长度。
即：斜边的长度=根号（第一边的平方+第二边的平方）这条定理也有一个更加直观地描述方式：在一个正方形中把一条边斜切，则得到的斜边就是该正方形面积的平方根，即两条直角边的平方和。
垂径定理的由来早在古希腊数学家勃拉穆斯（Pythagoras）所提出的“勃拉穆斯定理”时，就已经发现并通过这条定理可以得到斜边的长度。
据说在勃拉穆斯的的弟子柯几何的帮助下，他发现了三角形的形状与尺寸之间的关系，提出了这条定理，也就是现在说的“勃拉穆斯定理”：“在一个直角三角形中，如果知道其中两条直角边的长度，则可以得出第三条斜边的长度。
”之后，随着人们的研究发现，这条定理可以推广到任何形状的三角形，不管它是直角还是锐角，而垂径定理就是由此推导出来的，它把勃拉穆斯定理推广到任何形状三角形。
垂径定理应用在建筑、土木工程、航海学等领域中，垂径定理应用非常广泛，用它可以解决许多关于距离和面积的问题，并且还可以用来计算立体物体的质量和体积。
例如，它可以用来计算两个点之间的距离，计算地形的高度差等；还可以应用于测量特定区域的面积，测量特定三维物体的体积，甚至可以用来测量地球半径等；此外，它还可以用来计算空气密度等一些对空气有影响的参数。
总而言之，垂径定理可以说是一种重要的定理，它在许多计算中都发挥了重要作用，这也离不开定理本身的重要性。
因此，有必要从数学角度来研究这条定理，以便更好地利用它。
从历史上看，垂径定理可以追溯到古希腊，已有很长的历史了。
虽然这条定理本身并没有太多改变，但是它所在的科学领域却在不断发展变化，使它应用得更加广泛。
第07讲垂径定理（核心考点讲与练）【知识梳理】一．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．二．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．【核心考点精讲】一．垂径定理（共5小题）1．（2022•拱墅区一模）已知AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若DO＝DC，AB＝12，则⊙O的半径为（）A．4B．4C．6D．62．（2016秋•北仑区期末）⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝6，EB＝2，∠CEA＝30°，则弦CD的长为（）A．8B．4C．2D．23．（2022春•长兴县月考）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，连结CO并延长，交弦AD于点F．若AB＝10，BE＝2，则OF的长度是（）A．B．3C．D．4．（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．B．C．D．5．（2021秋•北仑区校级期中）如图，⊙•O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是（）A．B．C．2﹣D．﹣1二．垂径定理的应用（共4小题）6．（2021秋•鹿城区校级期中）如图是一个小圆同学设计的一个鱼缸截面图，弓形ACB是由优弧AB与弦AB组成，AC是鱼缸的玻璃隔断，弓形AC部分不注水，已知CD⊥AB，且圆心O在CD上，AB＝CD＝80cm．注水时，当水面恰好经过圆心时，则水面宽EF为cm；注水过程中，求水面宽度EF的最大值为cm．7．（2022•旌阳区二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．2米C．米D．米8．（2021秋•温岭市期末）把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm，AF＝DE＝3cm，则这个球的半径是cm．9．（2021秋•诸暨市期末）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝12，如果再注入一些水，当水面AB的宽变为16时，则水面AB上升的高度为．【过关检测】一．选择题（共7小题）1．（2022春•市中区校级月考）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为10，OC＝5，则弦AB的长为（）A．5B．10C．5D．102．（2021秋•温州期末）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D．已知OC＝5，OD＝4，则弦AB的长为（）A．3B．4C．5D．63．（2021秋•嘉兴期末）如图，⊙O的直径AB＝12，弦CD垂直AB于点P．若BP＝2，则CD的长为（）A．2B．4C．4D．84．（2021秋•嵊州市期末）如图，CD是⊙O的弦，直径AB⊥CD，垂足为M，连结AD．若CD＝8，BM＝2，则AD的长为（）A．10B．5C．4D．35．（2021秋•东阳市期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cm．A．1B．3C．3或4D．1或7 6．（2021秋•宁波期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝6cm，则球的半径为（）A．3cm B．cm C．cm D．cm 7．（2021秋•拱墅区期中）如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OA＝4：5，则DE的长为（）A．6B．7C．8D．9二．填空题（共8小题）8．（2021秋•余姚市期末）如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到水面AB的距离为米．9．（2021秋•瑞安市期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝3，则AE长为．10．（2021秋•拱墅区期末）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内原有液体的最大深度CD＝4cm．部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为2cm，则截面圆中弦AB的长减少了cm（结果保留根号）．11．（2021秋•温州校级月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示．已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为米．12．（2022•瑞安市开学）如图，矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF作轴对称变换，得到△B′EF，点B′恰好在边AD上，过点D，F，B′作⊙O，连结OF．若OF⊥BC，AB′＝CF＝3时，则AE＝．13．（2021秋•镇海区期末）⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则⊙O的半径为cm．14．（2020•金华模拟）如图，依据九上教材中的丁字尺，小明开始自制丁字尺：F、A、D、E在同一直线上，AF⊥AB，AB∥CD，AF＝4cm，AD＝DE＝2cm．（1）现有一圆经过F、E，弧EF为劣弧，且与AB交于G，如果测得AG的长为10cm，那么圆的半径为；（2）小明在DC上制作单位刻度时不小心把尺子割断了，只余DM＝1cm，此时只运用这把残破的丁字尺的已知数据（一条线段不能分段测量且不能作延长线），能计算或测量（不计误差）得到的最大半径是．15．（2022•海曙区一模）如图，圆O的半径为4，点P是直径AB上定点，AP＝1，过P 的直线与圆O交于C，D两点，则△COD面积的最大值为；作弦DE∥AB，CH ⊥DE于H，则CH的最大值为．三．解答题（共5小题）16．（2021秋•西湖区校级月考）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB于E，CE＝8，DE＝2，求AB的长．17．（2021•柯桥区模拟）如图，在⊙O中，过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A、B两点，且AB＝2．（1）求OD的长；（2）计算阴影部分的周长．18．（2021秋•玄武区校级月考）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB 的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．19．（2021秋•下城区校级月考）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM 为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：（1）拱桥所在的圆的半径；（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．20．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD 交AC于点E，AD＝CD．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．。
