【2020年】上海市松江区高考数学一模试卷及答案

2020 年上海市松江区高考数学模拟试卷（4 月份）题号一总分得分一、选择题（本大题共 21 小题，共 150.0 分）1. 若复数 z= ，则|z|=（ ）A. 1B.C. 52. 已知向量 =（1，m）， =（2，5）若 ⊥ ，则实数 m=（D. 5）A. 1B.C.D. -3. 已知 A={x|x≤1}}，B={x| ≤0}，若 A∪B={x|x≤2}，则实数 a 的取值范围是（ ）A. a≥2B. a≤2C. a≥1D. a≤14. 已知椭圆分别过点 A（2，0）和点，则该椭圆的焦距为（ ）A.B. 2C. 2D. 25. 已知实数 a＞0，b＞0，且 ab=2，则行列式的（ ）A. 最小值是 2B. 最小值是C. 最大值是 2D. 最大值是6. “k=1“是“直线 l1：kx+y+1=0 和直线 l2：x+ky+3=0 平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，已知 AB⊥BC，AB＝BC＝2，，则异面直线AC1 与 A1B1 所成的角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°8. 样本中共有五个个体，其值分别是 a，1，2，3，4，若样本的平均数是 2，则样本的标准差是（ ）A. 1B. 2C. 4D.9. 下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是（ ）A. y=-x-1B. y=C. y=x|x|D. y=2x+2-x10. 给出以下四个命题：其中正确命题的个数是（ ）①过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；②依次首尾相接的四条线段必共面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行．A. 0B. 1C. 2D. 311. 已知（ 1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，在 a0，a1，a2，…，a6 这 7 个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为（ ）第 1 页，共 10 页A.B.C.D.12. 下列命题中是假命题的是（ ）A. 对任意的 φ∈R，函数 f（x）=cos（2x+φ）都不是奇函数 B. 对任意的 a＞0，函数 f（x）=log2x-a 都有零点 C. 存在 α、β∈R，使得 sin（α+β）=sinα+sinβD. 不存在 k∈R，使得幂函数在（0，+∞）上单调递减13. 函数的大致图象为（ ）A.B.C.D.14. 如图，某景区欲在两山顶 A，C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高 AB=1（km），CD=3（km），在水平面上 E 处测得山顶 A 的仰角为 30°，山顶 C 的仰角为 60°，∠BED=120°，则两山顶 A、C之间的距离为（ ）A. 2 （km）B. （km） C.（km）D. 3 （km）15. 已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1=1，an+12=2Sn+n+1（n∈N*），设数列的前 n 项和为 Tn，则=（ ）A. 0B.C. 1D. 216. 在△ABC 中，已知 AB=3，AC=5，△ABC 的外接圆圆心为 O，则=（ ）A. 4B. 817. 已知函数C. 10D. 16，若函数 F（x）=f（x）-2 的所有零点依次记为 x1，x2，…，xn，且 x1＜x2＜…＜xn，则 x1+2x2+…+2xn-1+xn=（ ）第 2 页，共 10 页A. 2πB. πC. 4πD. π18. 设实系数一元二次方程 a2x2+a1x+a0=0（a2≠0）在复数集 C 内的根为 x1、x2，则由a2（x-x1）（x-x2）=a2x2-a2（x1+x2）x+a2x1x2=0，可得 x1+x2=-．类比上述方法：设实系数一元三次方程 x3+2x2+3x+4=0 在复数集 C 内的根为 x1，x2，x3，则 x12+x22+x32 的值为（ ）A. -2B. 0C. 2D. 419. 已知函数关于点（0，-12）对称，若对任意的 x∈[-1，1]，k•2x-f（2x）≥0 恒成立，则实数 k 的取值范围为（ ）A. k≤-11B. k≥-11C. k≤1D. k≥1120. 已知点 P（1，2）在抛物线 C：y2=2px（p＞0）上，点 P 关于原点 O 的对称点为点Q，过点 Q 作不经过点 O 的直线与抛物线 C 交于 A、B 两点，则直线 PA 与 PB 的斜率之积为（ ）A.B. 1C. 2D. -221. 若数列{bn}的每一项都是数列{an}中的项，则称{bn}是{an}的子数列．已知两个无穷数列{an}、{bn}的各项均为正数，其中是各项和为 的等比数列，且{bn}是{an}的子数列，则满足条件的数列{bn}的个数为（ ）A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 无穷多个2020 年上海市松江区高考数学模拟试卷（4 月份）【答案】1. B2. D8. D9. C15. C 16. B3. D 10. B 17. D答案和解析4. C 11. B 18. A5. B 12. A 19. D6. A 13. C 20. C7. C 14. C 21. C【解析】1. 解：∵复数 z= ==2+i；∴|z|==；故选：B． 先根据复数的除法对其化简，再代入模长计算公式即可． 本题主要考查复数的有关概念，比较基础．2. 解：∵向量 =（1，m）， =（2，5）， ⊥ ，∴ =2+5m=0，第 3 页，共 10 页解得实数 m=- ．故选：D． 利用向量垂直的性质直接求解． 本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力， 属于基础题．3. 解：∵，A∪B={x|x≤2}，∴B={x|a≤x≤2}， ∴a≤1． 故选：D． 根据 A∪B={x|x≤2}即可得出 B={x|a≤x≤2}，进而得出 a≤1． 本题考查了描述法的定义，分式不等式的解法，并集的定义及运算，考查了计算能力， 属于基础题．4. 解：有题意可得：a=2，且 + =1，可得：a2=4，b2=1，c2=a2-b2=4-1=3，所以 c= ，所以焦距 2c=2 ， 故选：C． 有题意将点的坐标代入椭圆的方程求出 a，b 再由 a，b，c 之间的关系求出 c 的值，再 求焦距 2c 的值． 本题考查椭圆的定义，a，b，c 之间的关系，属于基础题5. 解：∵实数 a＞0，b＞0，且 ab=2，∴=a+b≥ =2 ，当且仅当 a=b 时，取等号，∴行列式的最小值是 2 ．故选：B．由实数 a＞0，b＞0，且 ab=2，得到=a+b≥ ，由此能求出行列式的最小值． 本题考查行列式的最小值的求法，考查行列式展开法则和基本不等式的性质等基础知 识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．6. 解：由 k2-1=0，解得 k=±1．经过验证，k=±1 都满足条件． ∴“k=1“是“直线 l1：kx+y+1=0 和直线 l2：x+ky+3=0 平行”的充分不必要条件． 故选：A． 由 k2-1=0，解得 k，即可判断出关系． 本题考查了平行线与斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能 力，属于基础题．7. 【分析】本题考查异面直线所成的角的大小，考查空间想象能力和运算求解能力，是基础题． 由题意画出图形，连接 AC1，BC1，可知∠BAC1 为异面直线 AC1 与 A1B1 所成的角．然后 求解三角形得答案． 【解答】 解：连接 AC1，BC1，可知∠BAC1 为异面直线 AC1 与 A1B1 所成 的角． ∵△ABC1 为直角三角形，且 AB⊥BC1，AB=2，第 4 页，共 10 页，∴，得∠BAC1=60°．即异面直线 AC1 与 A1B1 所成的角为 60°． 故选：C．8. 解：数据 a，1，2，3，4 的平均数是×（a+1+2+3+4）=2，解得 a=0； 所以该组数据的方差是s2= ×[（0-2）2+（1-2）2+（2-2）2+（3-2）2+（4-2）2]=2，标准差是 s= ． 故选：D． 根据平均数求出 a 的值，再计算方差和标准差． 本题考查了平均数和方差、标准差的计算问题，是基础题．9. 解：A：y=-x-1 在定义域内（0，+∞）∪（-∞，0）内不单调，不符合题意；B：y=在定义域 R 上先减后增，不符合题意；C：y=x|x|=在定义域 R 上单调递增，且 f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），为奇函数，符合题意； D：因为 y=2x+2-x 为偶函数，不符合题意． 故选：C． 结合函数的奇偶性及单调性的定义分别检验各选项即可判断． 本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础试题．10. 解：①过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；由平面的判定的应用直接得出．正确； ②依次首尾相接的四条线段必共面；错误，可以异面，故错误； ③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；也可以 是互补，故错误； ④垂直于同一直线的两条直线必平行．可以是异面直线，故错误． 故选：B． 直接利用线面的平行和垂直的判定和性质的应用求出结果． 本题考查的知识要点：立体几何中的线面之间的判定和性质的应用，主要考查学生的运 算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11. 解：因为（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，∴a0，a1，a2，…，a6 这 7 个数分别为： =1， =6， =15， =20， =15， =6， =1．4 个奇数，3 个偶数；从中任取两数共有： =21 种；所取的两数之和为偶数的有： + =9；∴所取的两数之和为偶数的概率为： = ．第 5 页，共 10 页故选：B． 先根据条件得到 a0，a1，a2，…，a6 这 7 个数分别为： =1， =6， =15， =20， =15，=6， =1，4 个奇数，3 个偶数；进而求得其对应的概率．本题主要考察二项式系数的性质，以及概率的应用，属于基础题目．12. 解：对于选项 A：当 φ=（k∈Z）时 f（x）=±sin2x，故函数为奇函数，故该命题为假命题． 对于选项 B：对任意的 a＞0，函数 f（x）=log2x 的值域为 R，所以无论 a 取任何大于 0 的数函数的图象都有交点，故该命题为真命题． 对于选项 C：当 α=β=0 时，使得 sin（α+β）=sinα+sinβ=0，故该命题为真命题． 对于选项 D：由于 α=k2-2k+3=（k-1）2+2≥2，所以函数 y=xα 在 x∈（0，+∞）单调递增，故不存在 k∈R，使得幂函数在（0，+∞）上单调递减，所以故该命题为真命题． 故选：A． 直接利用函数的性质的应用，三角函数关系式的变换和赋值法的应用求出结果． 本题考查的知识要点：函数的性质的应用，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运 算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13. 解：根据题意，，有 ≠0，则有 x≠±1，即函数的定义域为{x|x≠±1}，又由 f（-x）=log2| |=-log2| |=-f（x），即函数为奇函数，排除 A；又由当 x→+∞时，| |→1，则 f（x）→0，排除 BD；故选：C． 根据题意，分析可得 f（x）为奇函数，可以排除 A，进而分析 x→+∞时，函数图象的变 化趋势，排除 BD，即可得答案． 本题考查函数的图象变换，注意分析函数的奇偶性、特殊值，属于基础题．14. 解：AB=1，CD=3，∠AEB=30°，∠CED=60°，∠AEC=120°，∴BE= = = ，DE= = = ；△ACE 中，由余弦定理得： BD2=BE2+DE2-2×BE×DE×cos∠BED=3+3-2× × ×（- ）=9， 所以 BD=3；所以 AC===，即两山顶 A，C 之间的距离为 km． 故选：C． 由直角三角形的边角关系求出 BE、DE，利用余弦定理求出 BD，再计算 AC 的值． 本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是基础题．15. 解：依题意，由 an+12=2Sn+n+1，可得：an2=2Sn-1+n，（n≥2）第 6 页，共 10 页两式相减，可得： an+12-an2=2Sn+n+1-2Sn-1-n=2an+1， ∴an+12=an2+2an+1=（an+1）2， ∵an+1＞0，an+1＞0， ∴an+1=an+1， ∴数列{an}是以 1 为首项，1 为公差的等差数列， ∴an=1+（n-1）•1=n，n∈N*．∴==- ，则 Tn= + +…+=1- + - +…+ -=1-=，∴则==1．故选：C． 本题由 an+12=2Sn+n+1，可得 an2=2Sn-1+n， （n≥2）两式相减，进一步转化计算可得 an+1=an+1， 则数列{an}是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，即可计算出数列{an}的通项公式，然后计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法计算出前 n 项和 Tn，最后计算出极限的值． 本题主要考查数列求通项公式，运用裂项相消法求和，以及数列极限的计算．考查了转 化与化归思想，等差数列的基础知识，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本 题属中档题．16. 解：如图，取 AC 中点 D，AB 中点 E，并连接 OD，OE，则： OD⊥AC，OE⊥AB；∴ • = =，• = =；∴ • = •（ - ）= • -= - =8．故选：B． 可画出图形，并将 O 和 AC 中点 D 连接，O 和 AB 中点 E 连接，从而得到 OD⊥AC，OE⊥AB，根据数量积的计算公式及条件即可得出 • ，，从而便可得出的值．本题主要考查三角形外心的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量减法的几何意义．17. 解：令 2x+ = +kπ 得 x= + ，k∈Z，即 f（x）的对称轴方程为 x= + ，k∈Z．∵f（x）的最小正周期为 T=π，x∈[0， ]，∴f（x）在 x∈[0， ]上有 5 条对称轴，第 7 页，共 10 页第一条是 ，最后一条是： ；x1，x2 关于 对称，x2，x3 关于 对称…∴x1+x2=2× ，x2+x3=2× ，x3+x4=2× ，…，x4+x5=2× ，将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+…+2xn-1+xn=2×（ + + + ）= ．故选：D． 求出 f（x）的对称轴，根据 f（x）的对称性得出任意两相邻两零点的和，从而得出答案． 本题考查了正弦函数的图象与性质，函数对称性的应用，属于中档题．18. 解：∵x3+2x2+3x+4=（x-x1）（x-x2）（x-x3）=+（x1x2+x1x3+x2x3）x-x1x2x3=+a3（x1x2+x1x3+x2x3）•x-a3x1x2x3，由对应系数相等知： x1+x2+x3=-2，x1x2+x1x3+x2x3=3， ∴x12+x22+x32=（x1+x2+x3）2-2（x1x2+x1x3+x2x3）=4-6=-2． 故选：A．由 x3+2x2+3x+4=（x-x1）（x-x2）（x-x3）=+a3（x1x2+x1x3+x2x3）•x-a3x1x2x3，利用对应系数相等知 x1+x2+x3=-2，x1x2+x1x3+x2x3=3，再由 x12+x22+x32= （x1+x2+x3）2-2（x1x2+x1x3+x2x3），能求出结果． 本题考查代数式的值的求法，考查类比推理等基础知识，考查推理能力与计算能力，属 于中档题．19. 解：由 y=3x+ 为奇函数，可得其图象关于（0，0）对称，可得 f（x）的图象关于（0，a）对称，函数关于点（0，-12）对称，可得 a=-12，对任意的 x∈[-1，1]，k•2x-f（2x）≥0 恒成立，即 k•2x≥3•2x+ -12 在 x∈[-1，1]恒成立，所以 k≥ - +3，令 t= ，由 x∈[-1，1]，可得 t∈[ ，2]，设 h（t）=8t2-12t+3=8（t- ）2- ，当 t=2 时，h（t）取得最大值 11， 则 k 的取值范围是 k≥11， 故选：D．运用 f（x）的图象关于（0，a）对称，求得 a=-12，由题意可得 k•2x≥3•2x+ -12 在 x∈[-1，1]恒成立，所以 k≥ - +3，令 t= ，运用指数函数的单调性求得 t 的范围，设 h（t）=8t2-12t+3，求得其最大值，可得 k 的范围． 本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和指数函数的单调性、二次函数的 最值求法，考查运算求解能力，属于中档题．第 8 页，共 10 页20. 解：由点 P（1，2）在抛物线 C：y2=2px 上，可得 2p=4，∴p=2， ∴抛物线方程为：y2=4x， 由已知得 Q（-1，-2），设点 A（x1，y1），B（x2，y2）， 由题意直线 AB 斜率存在且不为 0， 设直线 AB 的方程为 y=k（x+1）-2 （k≠0），联立方程，消去 x 得：ky2-4y+4k-8=0，∴，，因为点 A，B 在抛物线 C 上，所以，，∴= = ，kPB= = ，∴kPA•kPB= • ===2，故选：C． 把点 P 的坐标代入抛物线方程求出 p 的值，得到抛物线方程，设直线 AB 的方程为 y=k （x+1）-2（k≠0），与抛物线方程联立，利用韦达定理结合点 A，B 在抛物线上化简 kPA•kPB， 即可得到 kPA•kPB=2． 本题主要考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，以及斜率公式，是中档题．21. 解：设（k≥1，k∈N+），公比 q= （m＞0），则 b1qn= . = （k，p∈N+） 对任意的 n∈N+都成立，故 m 是正奇数，又 S 存在，所以 m＞1．m=3 时，S= ，此时 b1= ，即，成立．当 m=5 时，S= ，此时 b1= ，∵ 不是数列{an}中的项，故不成立．m=7 时，S= ，此时 b1= ，bn= ，成立．当 m≥9 时，1- ≥ ，由= ，得（1- ）≥ ，得 k≤ ，又因为 k∈N+，所以 k=1，2，此时 b1=1 或 ，分别代入 S= = ，得到 q＜0 不合题意，由此满足条件的数列只有两个，即 bn= ，或 bn= ，故选：C．由{bn}是{ }的子数列，可设 b1= ，，公比 q= ，又因为 S= = 可得 k，m 得关系，再有等比数列的通项公式得 通过 m 取值代入不定方程检验求解，找出符合条件的数列有 2 个．第 9 页，共 10 页本题根据新定义子数列，结合等比数列的公式，寻找符合条件的数列，属于探索性试题， 方法思路不易，是道有难度试题．第 10 页，共 10 页。

2020年高考数学卷（4月份）模拟试卷一、选择题（共21小题）1．若复数z＝，则|z|＝（）A．1B．C．5D．52．已知向量＝（1，m），＝（2，5）若⊥，则实数m＝（）A．1B．C．D．﹣3．已知A＝{x|x≤1}}，B＝{x|≤0}，若A∪B＝{x|x≤2}，则实数a的取值范围是（）A．a≥2B．a≤2C．a≥1D．a≤14．已知椭圆分别过点A（2，0）和点，则该椭圆的焦距为（）A．B．2C．2D．25．已知实数a＞0，b＞0，且ab＝2，则行列式的（）A．最小值是2B．最小值是C．最大值是2D．最大值是6．“k＝1“是“直线l1：kx+y+1＝0和直线l2：x+ky+3＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥BC，AB＝BC＝2，，则异面直线AC1与A1B1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．样本中共有五个个体，其值分别是a，1，2，3，4，若样本的平均数是2，则样本的标准差是（）A．1B．2C．4D．9．下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是（）A．y＝﹣x﹣1B．y＝C．y＝x|x|D．y＝2x+2﹣x10．给出以下四个命题：其中正确命题的个数是（）①过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；②依次首尾相接的四条线段必共面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行．A．0B．1C．2D．311．已知（1+x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，在a0，a1，a2，…，a6这7个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为（）A．B．C．D．12．下列命题中是假命题的是（）A．对任意的φ∈R，函数f（x）＝cos（2x+φ）都不是奇函数B．对任意的a＞0，函数f（x）＝log2x﹣a都有零点C．存在α、β∈R，使得sin（α+β）＝sinα+sinβD．不存在k∈R，使得幂函数在（0，+∞）上单调递减13．函数的大致图象为（）A．B．C．D．14．如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB＝1（km），CD＝3（km），在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，∠BED＝120°，则两山顶A、C之间的距离为（）A．2（km）B．（km）C．（km）D．3（km）15．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，a n+12＝2S n+n+1（n∈N*），设数列的前n项和为T n，则＝（）A．0B．C．1D．216．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝5，△ABC的外接圆圆心为O，则＝（）A．4B．8C．10D．1617．已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣2的所有零点依次记为x1，x2，…，x n，且x1＜x2＜…＜x n，则x1+2x2+…+2x n﹣1+x n＝（）A．2πB．πC．4πD．π18．设实系数一元二次方程a2x2+a1x+a0＝0（a2≠0）在复数集C内的根为x1、x2，则由a2（x﹣x1）（x﹣x2）＝a2x2﹣a2（x1+x2）x+a2x1x2＝0，可得x1+x2＝﹣．类比上述方法：设实系数一元三次方程x3+2x2+3x+4＝0在复数集C内的根为x1，x2，x3，则x12+x22+x32的值为（）A．﹣2B．0C．2D．419．已知函数关于点（0，﹣12）对称，若对任意的x∈[﹣1，1]，k•2x﹣f （2x）≥0恒成立，则实数k的取值范围为（）A．k≤﹣11B．k≥﹣11C．k≤1D．k≥1120．已知点P（1，2）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与抛物线C交于A、B两点，则直线PA与PB的斜率之积为（）A．B．1C．2D．﹣221．若数列{b n}的每一项都是数列{a n}中的项，则称{b n}是{a n}的子数列．已知两个无穷数列{a n}、{b n}的各项均为正数，其中是各项和为的等比数列，且{b n}是{a n}的子数列，则满足条件的数列{b n}的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．无穷多个参考答案一.本试卷共21题，第1～15题每题6分，第16～21题每题10分，满分150分1．若复数z＝，则|z|＝（）A．1B．C．5D．5【分析】先根据复数的除法对其化简，再代入模长计算公式即可．解：∵复数z＝＝＝2+i；∴|z|＝＝；故选：B．2．已知向量＝（1，m），＝（2，5）若⊥，则实数m＝（）A．1B．C．D．﹣【分析】利用向量垂直的性质直接求解．解：∵向量＝（1，m），＝（2，5），⊥，∴＝2+5m＝0，解得实数m＝﹣．故选：D．3．已知A＝{x|x≤1}}，B＝{x|≤0}，若A∪B＝{x|x≤2}，则实数a的取值范围是（）A．a≥2B．a≤2C．a≥1D．a≤1【分析】根据A∪B＝{x|x≤2}即可得出B＝{x|a≤x≤2}，进而得出a≤1．解：∵，A∪B＝{x|x≤2}，∴B＝{x|a≤x≤2}，∴a≤1．故选：D．4．已知椭圆分别过点A（2，0）和点，则该椭圆的焦距为（）A．B．2C．2D．2【分析】有题意将点的坐标代入椭圆的方程求出a，b再由a，b，c之间的关系求出c的值，再求焦距2c的值．解：有题意可得：a＝2，且+＝1，可得：a2＝4，b2＝1，c2＝a2﹣b2＝4﹣1＝3，所以c＝，所以焦距2c＝2，故选：C．5．已知实数a＞0，b＞0，且ab＝2，则行列式的（）A．最小值是2B．最小值是C．最大值是2D．最大值是【分析】由实数a＞0，b＞0，且ab＝2，得到＝a+b≥，由此能求出行列式的最小值．解：∵实数a＞0，b＞0，且ab＝2，∴＝a+b≥＝2，当且仅当a＝b时，取等号，∴行列式的最小值是2．故选：B．6．“k＝1“是“直线l1：kx+y+1＝0和直线l2：x+ky+3＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由k2﹣1＝0，解得k，即可判断出关系．解：由k2﹣1＝0，解得k＝±1．经过验证，k＝±1都满足条件．∴“k＝1“是“直线l1：kx+y+1＝0和直线l2：x+ky+3＝0平行”的充分不必要条件．故选：A．7．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥BC，AB＝BC＝2，，则异面直线AC1与A1B1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】由题意画出图形，连接AC1，BC1，可知∠BAC1为异面直线AC1与A1B1所成的角．然后求解三角形得答案．解：连接AC1，BC1，可知∠BAC1为异面直线AC1与A1B1所成的角．∵△ABC1为直角三角形，且AB⊥BC1，AB＝2，，∴，得∠BAC1＝60°．即异面直线AC1与A1B1所成的角为60°．故选：C．8．样本中共有五个个体，其值分别是a，1，2，3，4，若样本的平均数是2，则样本的标准差是（）A．1B．2C．4D．【分析】根据平均数求出a的值，再计算方差和标准差．解：数据a，1，2，3，4的平均数是×（a+1+2+3+4）＝2，解得a＝0；所以该组数据的方差是s2＝×[（0﹣2）2+（1﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2+（4﹣2）2]＝2，标准差是s＝．故选：D．9．下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是（）A．y＝﹣x﹣1B．y＝C．y＝x|x|D．y＝2x+2﹣x【分析】结合函数的奇偶性及单调性的定义分别检验各选项即可判断．解：A：y＝﹣x﹣1在定义域内（0，+∞）∪（﹣∞，0）内不单调，不符合题意；B：y＝在定义域R上先减后增，不符合题意；C：y＝x|x|＝在定义域R上单调递增，且f（﹣x）＝﹣x|﹣x|＝﹣x|x|＝﹣f （x），为奇函数，符合题意；D：因为y＝2x+2﹣x为偶函数，不符合题意．故选：C．10．给出以下四个命题：其中正确命题的个数是（）①过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；②依次首尾相接的四条线段必共面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行．A．0B．1C．2D．3【分析】直接利用线面的平行和垂直的判定和性质的应用求出结果．解：①过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；由平面的判定的应用直接得出．正确；②依次首尾相接的四条线段必共面；错误，可以异面，故错误；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；也可以是互补，故错误；④垂直于同一直线的两条直线必平行．可以是异面直线，故错误．故选：B．11．已知（1+x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，在a0，a1，a2，…，a6这7个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为（）A．B．C．D．【分析】先根据条件得到a0，a1，a2，…，a6这7个数分别为：＝1，＝6，＝15，＝20，＝15，＝6，＝1，4个奇数，3个偶数；进而求得其对应的概率．解：因为（1+x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，∴a0，a1，a2，…，a6这7个数分别为：＝1，＝6，＝15，＝20，＝15，＝6，＝1．4个奇数，3个偶数；从中任取两数共有：＝21种；所取的两数之和为偶数的有：+＝9；∴所取的两数之和为偶数的概率为：＝．故选：B．12．下列命题中是假命题的是（）A．对任意的φ∈R，函数f（x）＝cos（2x+φ）都不是奇函数B．对任意的a＞0，函数f（x）＝log2x﹣a都有零点C．存在α、β∈R，使得sin（α+β）＝sinα+sinβD．不存在k∈R，使得幂函数在（0，+∞）上单调递减【分析】直接利用函数的性质的应用，三角函数关系式的变换和赋值法的应用求出结果．解：对于选项A：当φ＝（k∈Z）时f（x）＝±sin2x，故函数为奇函数，故该命题为假命题．对于选项B：对任意的a＞0，函数f（x）＝log2x的值域为R，所以无论a取任何大于0的数函数的图象都有交点，故该命题为真命题．对于选项C：当α＝β＝0时，使得sin（α+β）＝sinα+sinβ＝0，故该命题为真命题．对于选项D：由于α＝k2﹣2k+3＝（k﹣1）2+2≥2，所以函数y＝xα在x∈（0，+∞）单调递增，故不存在k∈R，使得幂函数在（0，+∞）上单调递减，所以故该命题为真命题．故选：A．13．函数的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析可得f（x）为奇函数，可以排除A，进而分析x→+∞时，函数图象的变化趋势，排除BD，即可得答案．解：根据题意，，有≠0，则有x≠±1，即函数的定义域为{x|x ≠±1}，又由f（﹣x）＝log2||＝﹣log2||＝﹣f（x），即函数为奇函数，排除A；又由当x→+∞时，||→1，则f（x）→0，排除BD；故选：C．14．如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB ＝1（km），CD＝3（km），在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，∠BED＝120°，则两山顶A、C之间的距离为（）A．2（km）B．（km）C．（km）D．3（km）【分析】由直角三角形的边角关系求出BE、DE，利用余弦定理求出BD，再计算AC的值．解：AB＝1，CD＝3，∠AEB＝30°，∠CED＝60°，∠AEC＝120°，∴BE＝＝＝，DE＝＝＝；△ACE中，由余弦定理得：BD2＝BE2+DE2﹣2×BE×DE×cos∠BED＝3+3﹣2×××（﹣）＝9，所以BD＝3；所以AC＝＝＝，即两山顶A，C之间的距离为km．故选：C．15．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，a n+12＝2S n+n+1（n∈N*），设数列的前n项和为T n，则＝（）A．0B．C．1D．2【分析】本题由a n+12＝2S n+n+1，可得a n2＝2S n﹣1+n，（n≥2）两式相减，进一步转化计算可得a n+1＝a n+1，则数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列，即可计算出数列{a n}的通项公式，然后计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法计算出前n 项和T n，最后计算出极限的值．解：依题意，由a n+12＝2S n+n+1，可得：a n2＝2S n﹣1+n，（n≥2）两式相减，可得：a n+12﹣a n2＝2S n+n+1﹣2S n﹣1﹣n＝2a n+1，∴a n+12＝a n2+2a n+1＝（a n+1）2，∵a n+1＞0，a n+1＞0，∴a n+1＝a n+1，∴数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴a n＝1+（n﹣1）•1＝n，n∈N*．∴＝＝﹣，则T n＝++…+＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝，∴则＝＝1．故选：C．16．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝5，△ABC的外接圆圆心为O，则＝（）A．4B．8C．10D．16【分析】可画出图形，并将O和AC中点D连接，O和AB中点E连接，从而得到OD ⊥AC，OE⊥AB，根据数量积的计算公式及条件即可得出•，，从而便可得出的值．解：如图，取AC中点D，AB中点E，并连接OD，OE，则：OD⊥AC，OE⊥AB；∴•＝＝，•＝＝；∴•＝•（﹣）＝•﹣＝﹣＝8．故选：B．17．已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣2的所有零点依次记为x1，x2，…，x n，且x1＜x2＜…＜x n，则x1+2x2+…+2x n﹣1+x n＝（）A．2πB．πC．4πD．π【分析】求出f（x）的对称轴，根据f（x）的对称性得出任意两相邻两零点的和，从而得出答案．解：令2x+＝+kπ得x＝+，k∈Z，即f（x）的对称轴方程为x＝+，k∈Z．∵f（x）的最小正周期为T＝π，x∈[0，]，∴f（x）在x∈[0，]上有5条对称轴，第一条是，最后一条是：；x1，x2关于对称，x2，x3关于对称…∴x1+x2＝2×，x2+x3＝2×，x3+x4＝2×，…，x4+x5＝2×，将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n＝2×（+++）＝．故选：D．18．设实系数一元二次方程a2x2+a1x+a0＝0（a2≠0）在复数集C内的根为x1、x2，则由a2（x﹣x1）（x﹣x2）＝a2x2﹣a2（x1+x2）x+a2x1x2＝0，可得x1+x2＝﹣．类比上述方法：设实系数一元三次方程x3+2x2+3x+4＝0在复数集C内的根为x1，x2，x3，则x12+x22+x32的值为（）A．﹣2B．0C．2D．4【分析】由x3+2x2+3x+4＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）＝+a3（x1x2+x1x3+x2x3）•x﹣a3x1x2x3，利用对应系数相等知x1+x2+x3＝﹣2，x1x2+x1x3+x2x3＝3，再由x12+x22+x32＝（x1+x2+x3）2﹣2（x1x2+x1x3+x2x3），能求出结果．解：∵x3+2x2+3x+4＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）＝+（x1x2+x1x3+x2x3）x﹣x1x2x3＝+a3（x1x2+x1x3+x2x3）•x﹣a3x1x2x3，由对应系数相等知：x1+x2+x3＝﹣2，x1x2+x1x3+x2x3＝3，∴x12+x22+x32＝（x1+x2+x3）2﹣2（x1x2+x1x3+x2x3）＝4﹣6＝﹣2．故选：A．19．已知函数关于点（0，﹣12）对称，若对任意的x∈[﹣1，1]，k•2x﹣f （2x）≥0恒成立，则实数k的取值范围为（）A．k≤﹣11B．k≥﹣11C．k≤1D．k≥11【分析】运用f（x）的图象关于（0，a）对称，求得a＝﹣12，由题意可得k•2x≥3•2x+﹣12在x∈[﹣1，1]恒成立，所以k≥﹣+3，令t＝，运用指数函数的单调性求得t的范围，设h（t）＝8t2﹣12t+3，求得其最大值，可得k的范围．解：由y＝3x+为奇函数，可得其图象关于（0，0）对称，可得f（x）的图象关于（0，a）对称，函数关于点（0，﹣12）对称，可得a＝﹣12，对任意的x∈[﹣1，1]，k•2x﹣f（2x）≥0恒成立，即k•2x≥3•2x+﹣12在x∈[﹣1，1]恒成立，所以k≥﹣+3，令t＝，由x∈[﹣1，1]，可得t∈[，2]，设h（t）＝8t2﹣12t+3＝8（t﹣）2﹣，当t＝2时，h（t）取得最大值11，则k的取值范围是k≥11，故选：D．20．已知点P（1，2）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与抛物线C交于A、B两点，则直线PA与PB的斜率之积为（）A．B．1C．2D．﹣2【分析】把点P的坐标代入抛物线方程求出p的值，得到抛物线方程，设直线AB的方程为y＝k（x+1）﹣2 （k≠0），与抛物线方程联立，利用韦达定理结合点A，B在抛物线上化简k PA•k PB，即可得到k PA•k PB＝2．解：由点P（1，2）在抛物线C：y2＝2px上，可得2p＝4，∴p＝2，∴抛物线方程为：y2＝4x，由已知得Q（﹣1，﹣2），设点A（x1，y1），B（x2，y2），由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y＝k（x+1）﹣2 （k≠0），联立方程，消去x得：ky2﹣4y+4k﹣8＝0，∴，，因为点A，B在抛物线C上，所以，，∴＝＝，k PB＝＝，∴k PA•k PB＝•＝＝＝2，故选：C．21．若数列{b n}的每一项都是数列{a n}中的项，则称{b n}是{a n}的子数列．已知两个无穷数列{a n}、{b n}的各项均为正数，其中是各项和为的等比数列，且{b n}是{a n}的子数列，则满足条件的数列{b n}的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．无穷多个【分析】由{b n}是{}的子数列，可设b1＝，，公比q＝，又因为S＝＝可得k，m得关系，再有等比数列的通项公式得通过m取值代入不定方程检验求解，找出符合条件的数列有2个．解：设（k≥1，k∈N+），公比q＝（m＞0），则b1q n＝.＝（k，p∈N+）对任意的n∈N+都成立，故m是正奇数，又S存在，所以m＞1．m＝3时，S＝，此时b1＝，即，成立．当m＝5时，S＝，此时b1＝，∵不是数列{a n}中的项，故不成立．m＝7时，S＝，此时b1＝，b n＝，成立．当m≥9时，1﹣≥，由＝，得（1﹣）≥，得k≤，又因为k∈N+，所以k＝1，2，此时b1＝1或，分别代入S＝＝，得到q＜0不合题意，由此满足条件的数列只有两个，即b n＝，或b n＝，故选：C．。

2020年一模汇编——平面向量一、填空题 【徐汇2】 向量(3,4)a =在向量(1,0)b =方向上的投影为【答案】3【解析】向量a →在向量b →方向上的投影为3cos 31a ba ba a a bbθ→→→→→→→→→⋅⋅=⨯===⨯【闵行5】在△ABC 中，已知AB a =，BC b =，G 为△ABC 的重心，用向量a 、b 表示向量AG =【答案】2133a b + 【解析】因为G 为△ABC 的重心，设BC 边中线为AD ，交BC 于D 点，则()222121333233AG AD AB BD AB BC a b ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭ 【长宁，嘉定，金山6】己知向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,21AB ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21,23AC ,则BAC ∠= 【答案】6π【解析】向量的夹角公式23cos 222221212121=+⋅++=y x y x y y x x θ，6πθ=∴【静安7】如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =,则AC BD ⋅的值为_____.【答案】-3【解析】()()14-3AC BD AB AD AD AB ⋅=+-=-=【松江7】已知向量()1,2a →=，(),3b m →=-，若向量2a b b →→→⎛⎫- ⎪⎝⎭∥，则实数m =【答案】32-【解析】()212,8a b m →→-=-，又2a b b →→→⎛⎫- ⎪⎝⎭∥，()()12380m m ∴---=，解得：32m =-【长宁，嘉定，金山10】已知非零向量..a b c 两两不平行，且()(),+c ab c b a +，设c=,,,+2y=xa yb x y R +∈则x【答案】-3【解析】由题意得()()1;b c ma b xa yb y b m x a +=⇒++=+=-即1y =-，()()=1a c na a xa yb x a n y b +⇒++⇒+=-；即1x =- 23x y ∴+=-【虹口10】如图所示，两块斜边长均等于2的直角三角板拼在一起，则OD AB ⋅= 【答案】1-【解析】以O 为坐标原点OA 为x 轴OB 为y 轴建立直角坐标系，可得(0,0)(1,0)(0,1)()01O A B OD AB OA AD AB OA AB AD AB AB AD AD AB OD AB OA AB →→→→→→→→→→→→→→→==+⊥∴=∴==-、、【普陀11】设P 是边长为22的正六边形123456A A A A A A 的边上的任意一点，长度为4的线段MN 是该正六边形外接圆的一条动弦，则PM PN 的取值范围为____________. 【答案】646,882⎡⎤-+⎣⎦【解析】构建平面直角坐标系，取MN 中点C ，∴()()PM PN PC CM PC CN ⋅=+⋅+2224PC CM PC =-=-，max ||22222PC OC ==，min ||62PC OB OC =-=，∴2[1046,1282]PC ∈-+，即[646,882]PM PN ⋅∈-+，另外，本题也可利用参数方程转化为三角函数求最值问题得思路解题。

2020年上海市松江区高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共21小题，共150.0分）1.若复数，则A. 1B.C. 5D.2.已知向量，若，则实数A. 1B.C.D.3.已知，，若，则实数a的取值范围是A. B. C. D.4.已知椭圆分别过点和点，则该椭圆的焦距为A. B. 2 C. D.5.已知实数，，且，则行列式的A. 最小值是2B. 最小值是C. 最大值是2D. 最大值是6.““是“直线：和直线：平行”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.在直三棱柱中，已知，，，则异面直线与所成的角为A. B. C. D.8.样本中共有五个个体，其值分别是a，1，2，3，4，若样本的平均数是2，则样本的标准差是A. 1B. 2C. 4D.9.下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是A. B.C. D.10.给出以下四个命题：其中正确命题的个数是过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；依次首尾相接的四条线段必共面；空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；垂直于同一直线的两条直线必平行．A. 0B. 1C. 2D. 311.已知，在，，，，这7个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为A. B. C. D.12.下列命题中是假命题的是A. 对任意的，函数都不是奇函数B. 对任意的，函数都有零点C. 存在、，使得D. 不存在，使得幂函数在上单调递减13.函数的大致图象为A.B.C.D.14.如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为，山顶C的仰角为，，则两山顶A、C之间的距离为A. B. C. D.15.已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，，设数列的前n项和为，则A. 0B.C. 1D. 216.在中，已知，，的外接圆圆心为O，则A. 4B. 8C. 10D. 1617.已知函数，若函数的所有零点依次记为，，，，且，则A. B. C. D.18.设实系数一元二次方程在复数集C内的根为、，则由，可得类比上述方法：设实系数一元三次方程在复数集C内的根为，，，则的值为A. B. 0 C. 2 D. 419.已知函数关于点对称，若对任意的，恒成立，则实数k的取值范围为A. B. C. D.20.已知点在抛物线C：上，点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与抛物线C交于A、B两点，则直线PA与PB的斜率之积为A. B. 1 C. 2 D.21.若数列的每一项都是数列中的项，则称是的子数列．已知两个无穷数列、的各项均为正数，其中是各项和为的等比数列，且是的子数列，则满足条件的数列的个数为A. 0个B. 1个C. 2个D. 无穷多个-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：复数；；故选：B．先根据复数的除法对其化简，再代入模长计算公式即可．本题主要考查复数的有关概念，比较基础．2.答案：D解析：解：向量，，，，解得实数．故选：D．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：D解析：解：，，，．故选：D．根据即可得出，进而得出．本题考查了描述法的定义，分式不等式的解法，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．4.答案：C解析：解：有题意可得：，且，可得：，，，所以，所以焦距，故选：C．有题意将点的坐标代入椭圆的方程求出a，b再由a，b，c之间的关系求出c的值，再求焦距2c的值．本题考查椭圆的定义，a，b，c之间的关系，属于基础题5.答案：B解析：解：实数，，且，，当且仅当时，取等号，行列式的最小值是．故选：B．由实数，，且，得到，由此能求出行列式的最小值．本题考查行列式的最小值的求法，考查行列式展开法则和基本不等式的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：由，解得．经过验证，都满足条件．““是“直线：和直线：平行”的充分不必要条件．故选：A．由，解得k，即可判断出关系．本题考查了平行线与斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：C解析：【分析】本题考查异面直线所成的角的大小，考查空间想象能力和运算求解能力，是基础题．由题意画出图形，连接，，可知为异面直线与所成的角．然后求解三角形得答案．【解答】解：连接，，可知为异面直线与所成的角．为直角三角形，且，，，，得．即异面直线与所成的角为．故选：C．8.答案：D解析：解：数据a，1，2，3，4的平均数是，解得；所以该组数据的方差是，标准差是．故选：D．根据平均数求出a的值，再计算方差和标准差．本题考查了平均数和方差、标准差的计算问题，是基础题．9.答案：C解析：解：A：在定义域内内不单调，不符合题意；B：在定义域R上先减后增，不符合题意；C：在定义域R上单调递增，且，为奇函数，符合题意；D：因为为偶函数，不符合题意．故选：C．结合函数的奇偶性及单调性的定义分别检验各选项即可判断．本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础试题．10.答案：B解析：解：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；由平面的判定的应用直接得出．正确；依次首尾相接的四条线段必共面；错误，可以异面，故错误；空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；也可以是互补，故错误；垂直于同一直线的两条直线必平行．可以是异面直线，故错误．故选：B．直接利用线面的平行和垂直的判定和性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：立体几何中的线面之间的判定和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11.答案：B解析：解：因为，，，，，这7个数分别为：，，，，，，．4个奇数，3个偶数；从中任取两数共有：种；所取的两数之和为偶数的有：；所取的两数之和为偶数的概率为：．故选：B．先根据条件得到，，，，这7个数分别为：，，，，，，，4个奇数，3个偶数；进而求得其对应的概率．本题主要考察二项式系数的性质，以及概率的应用，属于基础题目．12.答案：A解析：解：对于选项A：当时，故函数为奇函数，故该命题为假命题．对于选项B：对任意的，函数的值域为R，所以无论a取任何大于0的数函数的图象都有交点，故该命题为真命题．对于选项C：当时，使得，故该命题为真命题．对于选项D：由于，所以函数在单调递增，故不存在，使得幂函数在上单调递减，所以故该命题为真命题．故选：A．直接利用函数的性质的应用，三角函数关系式的变换和赋值法的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的性质的应用，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13.答案：C解析：解：根据题意，，有，则有，即函数的定义域为，又由，即函数为奇函数，排除A；又由当时，，则，排除BD；故选：C．根据题意，分析可得为奇函数，可以排除A，进而分析时，函数图象的变化趋势，排除BD，即可得答案．本题考查函数的图象变换，注意分析函数的奇偶性、特殊值，属于基础题．14.答案：C解析：解：，，，，，，；中，由余弦定理得：，所以；所以，即两山顶A，C之间的距离为．故选：C．由直角三角形的边角关系求出BE、DE，利用余弦定理求出BD，再计算AC的值．本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是基础题．15.答案：C解析：解：依题意，由，可得：，两式相减，可得：，，，，，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，．，则，则．故选：C．本题由，可得，两式相减，进一步转化计算可得，则数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即可计算出数列的通项公式，然后计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法计算出前n项和，最后计算出极限的值．本题主要考查数列求通项公式，运用裂项相消法求和，以及数列极限的计算．考查了转化与化归思想，等差数列的基础知识，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．16.答案：B解析：解：如图，取AC中点D，AB中点E，并连接OD，OE，则：，；，；．故选：B．可画出图形，并将O和AC中点D连接，O和AB中点E连接，从而得到，，根据数量积的计算公式及条件即可得出，，从而便可得出的值．本题主要考查三角形外心的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量减法的几何意义．17.答案：D解析：解：令得，，即的对称轴方程为，．的最小正周期为，，在上有5条对称轴，第一条是，最后一条是：；，关于对称，，关于对称，，，，，将以上各式相加得：．故选：D．求出的对称轴，根据的对称性得出任意两相邻两零点的和，从而得出答案．本题考查了正弦函数的图象与性质，函数对称性的应用，属于中档题．18.答案：A解析：解：，由对应系数相等知：，，．故选：A．由，利用对应系数相等知，，再由，能求出结果．本题考查代数式的值的求法，考查类比推理等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：D解析：解：由为奇函数，可得其图象关于对称，可得的图象关于对称，函数关于点对称，可得，对任意的，恒成立，即在恒成立，所以，令，由，可得，设，当时，取得最大值11，则k的取值范围是，故选：D．运用的图象关于对称，求得，由题意可得在恒成立，所以，令，运用指数函数的单调性求得t的范围，设，求得其最大值，可得k的范围．本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和指数函数的单调性、二次函数的最值求法，考查运算求解能力，属于中档题．20.答案：C解析：解：由点在抛物线C：上，可得，，抛物线方程为：，由已知得，设点，，由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，联立方程，消去x得：，，，因为点A，B在抛物线C上，所以，，，，，故选：C．把点P的坐标代入抛物线方程求出p的值，得到抛物线方程，设直线AB 的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合点A，B 在抛物线上化简，即可得到．本题主要考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，以及斜率公式，是中档题．21.答案：C解析：解：设，公比，则．对任意的都成立，故m是正奇数，又S 存在，所以．时，，此时，即，成立．当时，，此时，不是数列中的项，故不成立．时，，此时，，成立．当时，，由，得，得，又因为，所以，2，此时或，分别代入，得到不合题意，由此满足条件的数列只有两个，即，或，故选：C．由是的子数列，可设，，公比，又因为可得k，m 得关系，再有等比数列的通项公式得通过m取值代入不定方程检验求解，找出符合条件的数列有2个．本题根据新定义子数列，结合等比数列的公式，寻找符合条件的数列，属于探索性试题，方法思路不易，是道有难度试题．第11页，共11页。

2020年上海市第一次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁U A的子集的个数是（）1. 设全集U＝{x NA. 16B. 8C. 7D. 42. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+i）2B. i2（1﹣i）C. （1+i）2D. i（1+i）3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。

其中所有正确结论的编号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知直线，直线为，若则( )A．或 B．C ．D ．或5. 已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（ ） A ． B ．C ．D ．7. 在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，则角B=（ ）A.B. C.D.8. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）A. 25B. 9C. 17D. 209. 设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ；,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为（ ） A. 2B. 2-C. 3D. 3-10.在V ABC 中，sin B A =，BC =4C π=，则=AB （ ）B. 5C. D.11. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A.B.C. D. 12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年上海松江区高三一模数学试卷一、填空题（本大题共12小题，1~6题每题4分，7~12题每题5分，共54分）1.已知集合，，则 ．2.若角的终边过点，则 ．3.设，则 ．4.的展开式中的系数为 ．5.已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上的点满足，则．6.若关于，的二元一次方程组无解，则实数 ．7.已知向量，，若向量，则实数 ．8.已知函数存在反函数，若函数的图象经过点 ，则函数的图象必经过点 ．9.在无穷等比数列中，若，则的取值范围是 ．10.函数的大致图象如图，若函数图象经过和两点，且和是其两条渐近线，则 ．11.若实数，，满足，，则实数的最小值为 ．12.记边长为的正六边形的六个顶点分别为、、、、、，集合，在中任取两个元素、，则的概率为 ．二、选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知是平面的一条斜线，直线，则（ ）．A.存在唯一的一条直线，使得B.存在无限多条直线，使得C.存在唯一的一条直线，使得D.存在无限多条直线，使得14.设，，则“”是“、中至少有一个数大于”的（ ）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.已知，，若对任意的恒成立，则（ ）．A.的最小值为B.的最小值为C.的最小值为D.的最小值为16.已知集合，集合，定义为中元素的最小值，当取遍的所有非空子集时，对应的的和记为，则（ ）．A.B.C.D.三、解答题（本大题共5小题，共76分）（1）（2）17.如图，圆锥的底面半径，高，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点．求圆锥的侧面积和体积．求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角函数表示）（1）（2）18.已知函数．求的最大值．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，、、成等差数列，且，求边的长．19.汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，某种算法（如下图所示）将报警时间划分为段，分别为准备时间、人的反应时间、系统（1）（2）反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、，当车速为（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数随地面湿滑成度等路面情况而变化，）．请写出报警距离（米）与车速（米/秒）之间的函数关系式，并求时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间（精确到秒）．若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时？（1）（2）（3）20.设抛物线的焦点为，经过轴正半轴上点的直线交于不同的两点和．若，求点的坐标．若，求证：原点总在以线段为直径的圆的内部．若，且直线，与有且只有一个公共点，问：的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出点的坐标，若不存在，请说明理由．（1）（2）（3）21.已知数列满足：①；②当时，；③当时，，记数列的前项和为．求，，的值．若，求的最小值．求证：的充要条件是．【答案】1.解析:∵集合，，∴．2.解析:∵角的终边过点，∴，，，故．3.解析:，．4.解析:二项展开式的通项，令，得，所以展开式中的系数为．5.解析:椭圆，左、右焦点为，，为椭圆上的点，则，∵，即，．∴．解析:关于，的二元一次方程组无解，则①与②两直线平行，．当时，①，②，①与②有交点，所以不符合题意．．当时，方程无解，则①与②平行，∵①：，②：，则∴．故答案为：．解析:∵，，，6.①②7.由，则，，即，解得，，故实数．8.解析:∵函数图象经过点，∴，则，函数经过，由为函数的反函数，则过点，∵，当时，，∴函数 的图象经过点．9.解析:∵无穷等比数列中，∴且且，∴．∵且，∴且．故答案为：．10.解析:已知函数的大致图象经过和．且和是其两条渐近线．所以有，即．解得，即．11.解析:,∵，∴，∵，∴，，∴，此时．故答案为：．12.解析:如下图所示，集合中的向量包含三类：六条边有个向量（如），过中心有个向量（如），剩余个向量（如），即集合中有个元素．其中每条边上的向量（如）都和两个向量（如和）垂直，然后每条过中心的向量（如）都和两个向量（如和）垂直，即概率．解析:已知是平面的一种斜线则过与平面的交点有且只有一条直线与垂直．在平面内有无数条直线与平行．所以在无限多条直线，使得．故选．解析:假设，均不大于，即且，则，这与已知条件矛盾，即当时，中至少有一个大于，即充分性成立，若，，满足，中至少有一个数大于，但不成立，即必要性不成立，故““是“，中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件，故正确．故选．解析:如图，等价转化为“已知，，若，求的最小值”．化动为静，结合图像，容易得到时．最小，为，∴．故选．B 13.A 14.B 15.C16.（1）（2）解析:当，此时，这种情况共有种（相当于的子集，加上后形成的新集合），当，，此时，这种情况共有种（相当于的子集，加上后形成的新集合），，依此类推，∴当取遍的所有非空子集时，．选．解析:已知圆锥底面半径为，高，所以底面周长为，，所以圆锥的侧面积．体积．以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立如图直角坐标系，所以，，，，（1）侧面积．．（2）直线与直线所成角的大小为．17.（1）（2）因为点是母线的中点，所以的坐标为，故，，，所以直线与直线所成角的大小为．解析:函数，∵，∴，函数最大值为．∵，，，由为内角，则，即，∵，∴，即，∵，，成等差数列，则，由余弦定理，，（1）．（2）．18.（1）（2）（1）（2）即，，得，故．解析:根据题意，，当时，秒，当且仅当，即时等号成立．依题意，若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于米，则路况最糟糕时也需满足，即时，，即，解得米/秒，合千米/小时．解析:由抛物线方程知，焦点是，准线方程为，设，由及抛物线定义知，，代入得，所以点的坐标或．设，，（1）秒．（2）米/秒，合千米/小时．19.（1）或．（2）证明见解析．（3）点的坐标为，．20.（3）（1）设直线的方程是：，联立，消去得：，由韦达定理得，，故恒为钝角，故原点总在以线段为直径的圆的内部．设，则，因为，则，由得，故．故直线的斜率．因为直线和直线平行，设直线的方程为，代入抛物线方程得，由题意，得．设，则，，，当且仅当，即时等号成立，由得，解得或（舍），所以点的坐标为，．解析:因，，且是自然数，∴；，，且，都是自然数；∴或；，，且，（1）；或；或．（2）．（3）证明见解析．21.（2）（3）∴或．，当时，，由于，所以或，，，，，．∴，．∵，∴，又，，所以．必要性：若，则，①，②①②得：，③由于，或或，且或，只有当，，同时成立时，等式③才成立，∴，充分性：若，由于，所以，即，，，，，又，所以对任意的，都有，（Ⅰ）另一方面，由，，所以对任意的，都有，（Ⅱ）∴，由于，，∴，证毕．。

上海市松江区2024届高三一模数学试卷（满分150分，时间120分钟）2023.12.5一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知全集为R ，集合1P x x ，则集合P．2.双曲线221x y 的右焦点坐标是．3.4.5.6.7.8.1人连续参9.2A ，则边长b10. 12,1,3x x ，使11. 2x f x2，则 2023f．12.已知正四面体A BCD 的棱长为，空间内任意点P 满足2PB PC ，则AP AD的取值范围是．第14题图第17题图二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.英国数学家哈利奥特最先使用“ ”和“ ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.对于任意实数a 、b 、c 、d ，下列命题是真命题的是（）.A 若22a b ，则a b ；.B 若a b ，则ac bc ；.C 若a b ，c d ，则ac bd ；.D 若a b ，c d ，则a c b d ．14.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．则下列说法正确的是（）.A 甲队数据的中位数大于乙队数据的中位数；.B 甲队数据的平均值小于乙队数据的平均值；.C 甲数据的标准差大于乙队数据的标准差；.D 乙队数据的第75百分位数为27．15.函数y .A .C 16.；②曲线M .A 三、17.//AB .（1）（2）CD 45CDA ，求二面角P CE A 的大小．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知数列 n a 为等差数列， n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a ．（1）证明：11a b ；（2）若集合1,150k m M k b a a m ，求集合M 中的元素个数．19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）为了鼓励居民节约用气，某市对燃气收费实行阶梯计价，普通居民燃气收费标准如下：第一档：年用气量在0310 （含）立方米，价格为a 元/立方米；第二档：年用气量在310520 （含）立方米，价格为b 元/立方米；第三档：年用气量在520立方米以上，价格为c 元/立方米．（1）请写出普通居民的年度燃气费用（单位：元）关于年度的燃气用量（单位：立方米）的函数解析式（用含a 、b 、c 的式子表示）；（2）已知某户居民2023年部分月份用气量与缴费情况如下表，求a 、b 、c 的值．已知椭圆2222:1y x a b （0a b ）的离心率为2，其上焦点F 与抛物线2:4K x y 的焦点重合．（1）求椭圆 的方程；（2）若过点F 的直线交椭圆F 于点A 、B ，同时交抛物线K 于点C 、D （如图1所示，点C 在椭圆与抛物线第一象限交点上方），试比较线段AC 与BD 长度的大小，并说明理由；（3）若过点F 的直线交椭圆 于点A 、B ，过点F 与直线AB 垂直的直线EG 交抛物线K 于点E 、G（如图2所示），试求四边形AEBG 面积的最小值．第20题图1第20题图2已知函数 y f x ，记 sin f x x x ，x D ．（1）若 0,2D ，判断函数的单调性；（2）若0,2D，不等式 f x kx 对任意x D 恒成立，求实数k 的取值范围；（3）若D R ，则曲线 y f x 上是否存在三个不同的点A 、B 、C ，使得曲线 y f x 在A 、B 、C 三点处的切线互相重合？若存在，求出所有符合要求的切线的方程；若不存在，请说明理由．松江区2023学年度第一学期期末质量监控试卷高三数学答案一、填空题1、{}|1x x <（或(),1−∞）2、(2,0) 34、05、17− 6、 7、10 8、359、 10、[]7,8− 11、1− 12、4⎡−+⎣二、选择题：DDCC17、（1）证明：因为PA ⊥底面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，所以PA CE ⊥．………2分 因为,//,AB AD CE AB CE AD ⊥⊥所以． ………………………2分 又,PAAD A =所以CE ⊥平面PAD ．……………………2分注：建立空间直角坐标系证明，相应给分．（2）因为PA ⊥底面ABCD ，所以PE 在平面ABCD 上的投影是AE ，由（1）可知CE AE ⊥，由三垂线定理可得，CE PE ⊥． 所以，二面角P CE A −−的平面角为PEA ∠．……………2分 在Rt ECD ∆中，DE CD =cos 451,sin 451,CE CD ⋅︒==⋅︒=又因为1,//AB CE AB CE ==，所以四边形ABCE 为矩形． ………2分 所以2BC AE ==，所以1115(23)13326P ABCD ABCD V S PA PA −=⋅=⨯+⨯⋅=梯形，所以1PA =………2分 在Rt PAE ∆中，1tan 2PA PEA AE ∠==，所以1arctan 2PEA ∠=． 即：二面角P CE A −−的大小为1arctan2． ………2分18、（1）证明：设数列{}n a 的公差为d ，则1111111122428(3)a db a d b a d b b a d +−=+−⎧⎨+−=−+⎩ ………2分即1112250d=b a d b =⎧⎨+−⎩ ………2分可解得，112db a ==，所以原命题得证． ………2分 （2）由（1）知112db a ==，所以111112(1)k k m b a a a a m d a −=+⇔⨯=+−+ ……2分因为10a ≠，所以[]221,50k m −=∈，解得22log 5027.64k ≤≤+≈ ………4分所以满足等式的解2,3,4,5,6,7k =．故集合M 中的元素个数为6． ………2分前5个月燃气总费用：168+240+198+174+183=963，由（1）中函数解析式，计算可得：9633103(320310)b =⨯+−， 所以 3.3b =． . ……… 4分又9月份，10月份，12月份的燃气费均价分别为：3.3,3.38,4.2均不同，所以12月份为第三档，264.64.263c ==． . ……… 2分 解法二：1月份，5月份，9月份，10月份，12月份的燃气费均价分别为：3,3.05,3.3,3.38,4.2均不同．所以1月份为第一档，5月份为第一档和第二档，10月份与12月份不同，则12月份为第三档，10月份与9月份不同，10月份为第二档与第三档，9月份为第二档．从而得到3=a ,3.3=b ,2.4=c ． . ………8分 20、解：（1）由题意得(0,1)F ，即：1c = ，又2c a =，所以a = . ……… 2分 由222a b c −=，得21b = ，所以椭圆的方程为 2212y x += ． . ……… 2分（2）由题意得过点F 的直线AB 的斜率存在，设直线AB 方程为1y kx =+， 设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，联立22112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()222210k x kx ++−=， 则12222k x x k +=−+，12212x x k=−+， 所以)2212k A k B +==+. . ……… 2分抛物线K 的方程为：24x y =， 联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得：2440x kx −−=， 所以()241CD k ==+. . ……… 2分所以()()AC BD AC AD BD AD CD AB −=+−+=−())()(2222222212421410k k k k k k++=+−++=+>，即AC BD >. . ……… 2分 （3）设()11,A x y ，()22,B x y ，()55,E x y ，()66,G x y ， 当直线AB 的斜率存在且不为零时， 设直线AB 方程为()10y kx k =+≠，则直线EG 方程为11y x k =−+，由（2）的过程可知：)2212kk AB ++=，2141EG k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， . ……… 1分所以))()222222211111412222AEBGk k k S AB EG k k k ++⎡⎤⎛⎫=⋅=⨯⨯+= ⎪⎢⎥⎭⎣⎦+⎝+)()()222222111111k k k +==−−++ . ……… 2分因为211k +>，所以()()2210,11k ∈+，()()22110,11k−∈+，()22111AEBG S k =>−+. ……… 2分当直线AB 的斜率不存在时，AB =，4EG =，所以11422AEBG S AB EG =⋅=⨯=； . (2)分 综上所述：AEBG S ≥AEBG 面积的最小值为. . ……… 1分 21、解：（1）因为'()1cos 0f x x =+≥，当且仅当在x π=时，'()0f x =，…… 2分 所以函数()y f x =在上是增函数．（区间开闭都对）. ……… 2分[0,2]π（2）由题意得，(1)sin k x x −<，于是sin 1xk x−<． 令sin ()xh x x=，则2cos sin '()x x x h x x −=， . ……… 2分令()cos sin u x x x x =−，则'()sin 0,(0,]2u x x x x π=−<∈，所以()u x 在(0,]2π上是严格减函数，于是()(0)0,(0,]2u x u x π<=∈．. ……… 2分由于2cos sin '()0,(0,]2x x x h x x x π−=<∈，于是()h x 在(0,]2π上是严格减函数， 所以min 2()()2h x h ππ==，因此21k π−<，即21k π<+． . ……… 2分（3）设11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y ，则曲线在A B C 、、三点处的切线分别为直线 11111:(1cos )cos sin l y x x x x x =+−+，22222:(1cos )cos sin l y x x x x x =+−+， 33333:(1cos )cos sin l y x x x x x =+−+．因为直线123,,l l l 互相重合，所以123cos cos cos x x x ==，且111cos sin x x x −+222cos sin x x x =−+333cos sin x x x =−+． . ……… 2分 因为123cos cos cos x x x ==，所以12sin sin x x =±，23sin sin x x =±，31sin sin x x =±． ①若12sin sin x x =−，23sin sin x x =−，31sin sin x x =−． 则1sin 0x =，2sin 0x =，3sin 0x =， 于是112233cos cos cos x x x x x x −=−=−， 因为123cos cos cos 10x x x ===±≠，所以123x x x ==，与A B C 、、三点互不重合矛盾． . ………3分 ②若12sin sin x x =，23sin sin x x =，31sin sin x x =中至少一个成立， 不妨设12sin sin x x =成立，则1122cos cos x x x x =， 若12cos cos 0x x =≠，则12x x =，矛盾，舍去，于是12cos cos 0x x ==，12sin sin 1x x ==±， . ……… 2分所以满足要求的切线方程为1y x =+或1y x =−．. ……… 1分解法2：假设存在三个不同点112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 在曲线()y f x =上满足条件，则111222333sin ,sin ,sin y x x y x x y x x =+=+=+，且123,,x x x 互不相同。

2020年上海市松江区高考一模数学一.填空题(本大题满分56分)本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1.设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∩N=_____.解析：∵集合M={x|x2=x}={0，1}，N={x|lgx≤0}{x|0＜x≤1}，∴M∩N={1}.答案：{1}.2.已知a，b∈R，i是虚数单位.若a+i=2-bi，则(a+bi)2=_____.解析：由已知等式结合复数相等的条件求得a，b的值，则复数a+bi可求，然后利用复数代数形式的乘法运算得答案.答案：3-4i.3.已知函数f(x)=a x-1的图象经过(1，1)点，则f-1(3)=_____.解析：根据反函数的与原函数的关系，原函数的定义域是反函数的值域可得答案.答案：2.4.不等式x|x-1|＞0的解集为_____.解析：∵x|x-1|＞0，∴x＞0，|x-1|＞0，故x-1＞0或x-1＜0，解得：x＞1或0＜x＜1，故不等式的解集是(0，1)∪(1，+∞)，答案：(0，1)∪(1，+∞).5.已知向量a=(sinx，cosx)，b=(sinx，sinx)，则函数f(x)=a·b的最小正周期为_____. 解析：由平面向量的坐标运算可得f(x)，再由辅助角公式化积，利用周期公式求得周期. 答案：π.6.里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道.在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为_____.解析：先求出基本事件总数n=88A，再求出2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为m=2727A A，由此能求出2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率.答案：14.7.按如图所示的程序框图运算：若输入x=17，则输出的x值是_____.解析：模拟程序的运行，可得 x=17，k=0执行循环体，x=35，k=1不满足条件x ＞115，执行循环体，x=71，k=2 不满足条件x ＞115，执行循环体，x=143，k=3 满足条件x ＞115，退出循环，输出x 的值为143. 答案：143.8.设(1+x)n=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n，若2313a a =，则n=_____. 解析：利用二项式定理展开可得：(1+x)n=1+12233nnnx x x+++…= a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n ，比较系数即可得出.答案：11.9.已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是_____cm 2.解析：由已知求出圆锥的母线长，代入圆锥的侧面积公式，可得答案..10.设P(x ，y)是曲线C上的点，F 1(-4，0)，F 2(4，0)，则|PF 1|+|PF 2|的最大值=_____.解析：先将曲线方程化简，再根据图形的对称性可知|PF 1|+|PF 2|的最大值为10. 答案：10.11.已知函数f(x)=3283x x x ≤≤-⎪⎩，＞，若F(x)=f(x)-kx 在其定义域内有3个零点，则实数k ∈_____.解析：问题转化为f(x)和y=kx 有3个交点，画出函数f(x)和y=kx 的图象，求出临界值，从而求出k 的范围即可.答案：(0，3).12.已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=3，若|a n+1-a n |=2n (n ∈N *)，且{a 2n-1}是递增数列、{a 2n }是递减数列，则212limn n na a -→∞=_____.解析：依题意，可求得a 3-a 2=22，a 4-a 3=-23，…，a 2n -a 2n-1=-22n-1，累加求和，可得a 2n =2131233n-⋅，a 2n-1=a 2n+22n-1=2131236n+⋅；从而可求得212lim n n na a -→∞的值.答案：-12.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13.已知a ，b ∈R ，则“ab ＞0“是“b aa b+＞2”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分也非必要条件解析：根据充分必要条件的定义判断即可. 答案：B.14.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 在截面A 1DB 上，则线段AP 的最小值等于( )A.13B.12C.解析：由已知可得AC 1⊥平面A 1DB ，可得P 为AC 1与截面A 1DB 的垂足时线段AP 最小，然后利用等积法求解. 答案：C.15.若矩阵11122122a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭满足：a 11，a 12，a 21，a 22∈{0，1}，且11122122a a a a =0，则这样的互不相等的矩阵共有( )A.2个B.6个C.8个D.10个解析：根据题意，分类讨论，考虑全为0；全为1；三个0，一个1；两个0，两个1，即可得出结论. 答案：D.16.解不等式(12)x -x+ 12＞0时，可构造函数f(x)=(12)x-x ，由f(x)在x ∈R 是减函数，及f(x)＞f(1)，可得x ＜1.用类似的方法可求得不等式arcsinx 2+arcsinx+x 6+x 3＞0的解集为( ) A.(0，1] B.(-1，1) C.(-1，1] D.(-1，0)解析：由题意，构造函数g(x)=arcsinx+x 3，在x ∈[-1，1]上是增函数，且是奇函数，不等式arcsinx 2+arcsinx+x 6+x 3＞0可化为g(x 2)＞g(-x)，∴-1≤-x ＜x 2≤1， ∴0＜x ≤1. 答案：A.三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.如图，在正四棱锥P-ABCD 中，PA=AB=a ，E 是棱PC 的中点.(1)求证：PC ⊥BD ；(2)求直线BE 与PA 所成角的余弦值.解析：(1)推导出△PBC ，△PDC 都是等边三角形，从而BE ⊥PC ，DE ⊥PC ，由此能证明PC ⊥BD.(2)连接AC ，交BD 于点O ，连OE ，则AP ∥OE ，∠BOE 即为BE 与PA 所成的角，由此能求出直线BE 与PA 所成角的余弦值.答案：(1)∵四边形ABCD 为正方形，且PA=AB=a ，∴△PBC ，△PDC 都是等边三角形， ∵E 是棱PC 的中点，∴BE ⊥PC ，DE ⊥PC ，又 BE ∩DE=E ， ∴PC ⊥平面BDE 又BD ⊂平面BDE ， ∴PC ⊥BD(2)连接AC ，交BD 于点O ，连OE.四边形ABCD 为正方形，∴O 是AC 的中点 又E 是PC 的中点∴OE 为△ACP 的中位线，∴AP ∥OE ∴∠BEO 即为BE 与PA 所成的角在Rt △BOE 中，BE=2a ，EO=12PA=12a ，∴cos ∠BEO=OE BE=3.∴直线BE 与PA .18.已知函数F(x)=2121x x a ⋅-+，(a 为实数).(1)根据a 的不同取值，讨论函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)若对任意的x ≥1，都有1≤f(x)≤3，求a 的取值范围.解析：(1)根据题意，先求出函数的定义域，易得其定义域关于原点对称，求出F(-x)的解析式，进而分2种情况讨论：①若y=f(x)是偶函数，②若y=f(x)是奇函数，分别求出每种情况下a 的值，综合即可得答案；(2)根据题意，由f(x)的范围，分2种情况进行讨论：f(x)≥1以及f(x)≤3，分析求出每种情况下函数的恒成立的条件，可得a 的值，进而综合2种情况，可得答案.答案：(1)函数F(x)=2121x x a ⋅-+定义域为R ，且F(-x)=2121x x a --⋅-+=212xxa -+，①若y=f(x)是偶函数，则对任意的x 都有f(x)=f(-x)，即2121xxa⋅-+=212xxa-+，即2x(a+1)=a+1，解可得a=-1；②若y=f(x)是奇函数，则对任意的x 都有f(x)=-f(-x)，即2121xxa⋅-+=-212xxa-+，即2x(a-1)=1-a，解可得a=1；故当a=-1时，y=f(x)是偶函数，当a=1时，y=f(x)是奇函数，当a≠±1时，y=f(x)既非偶函数也非奇函数，(2)由f(x)≥1可得：2x+1≤a·2x-1，即22x≤a-1∵当x≥1时，函数y1=22x单调递减，其最大值为1，则必有a≥2，同理，由f(x)≤3 可得：a·2x-1≤3·2x+3，即a-3≤42x，∵当x≥1时，y2=42x单调递减，且无限趋近于0，故a≤3，综合可得：2≤a≤3.19.上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”.兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高：如图，记O点为塔基、P 点为塔尖、点P在地面上的射影为点H.在塔身OP射影所在直线上选点A，使仰角k∠HAP=45°，过O点与OA成120°的地面上选B点，使仰角∠HPB=45°(点A、B、O都在同一水平面上)，此时测得∠OAB=27°，A与B之间距离为33.6米.试求：(1)塔高(即线段PH的长，精确到0.1米)；(2)塔身的倾斜度(即PO与PH的夹角，精确到0.1°).解析：(1)由题意可知：△PAH，△PBH均为等腰直角三角形，AH=BH=x，∠HAB=27°，AB=33.6，即可求得x=16.82cos cos 27ABHAB =∠︒=18.86； (2)∠OBH=180°-120°-2×27°=6°，BH=18.86，由正弦定理可知：sin sin OH BH OBH BOH =∠∠，OH=18.86sin 6sin120⨯︒︒=2.28，则倾斜角∠OPH=arctan OHPH =arctan 2.2818.86=6.89°. 答案：(1)设塔高PH=x ，由题意知，∠HAP=45°，∠HBP=45°， ∴△PAH ，△PBH 均为等腰直角三角形， ∴AH=BH=x在△AHB 中，AH=BH=x ，∠HAB=27°，AB=33.6，∴x=16.82cos cos 27ABHAB =∠︒=18.86 (2)在△BOH 中，∠BOH=120°，∴∠OBH=180°-120°-2×27°=6°，BH=18.9，由sin sin OH BHOBH BOH =∠∠， 得OH=18.86sin 6sin120⨯︒︒=2.28，∴∠OPH=arctan OHPH=arctan 2.2818.86≈6.9°，∴塔高18.9米，塔的倾斜度为6.9°.20.已知双曲线C ：2222x y a b-=1经过点(2，3)，两条渐近线的夹角为60°，直线l 交双曲线于A 、B 两点.(1)求双曲线C 的方程；(2)若l 过原点，P 为双曲线上异于A ，B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率k PA ，k PB 均存在，求证：k PA ·k PB 为定值；(3)若l 过双曲线的右焦点F 1，是否存在x 轴上的点M(m ，0)，使得直线l 绕点F 1无论怎样转动，都有MA MB ⋅=0成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由.解析：(1)利用双曲线C ：2222x y a b-=1经过点(2，3)，两条渐近线的夹角为60°，建立方程，即可求双曲线C 的方程；(2)设M(x 0，y 0)，由双曲线的对称性，可得N 的坐标，设P(x ，y)，结合题意，又由M 、P在双曲线上，可得y 02=3x 02-3，y 2=3x 2-3，将其坐标代入k PM ·k PN 中，计算可得答案.(3)先假设存在定点M ，使MA ⊥MB 恒成立，设出M 点坐标，根据数量级为0，求得结论.答案：(1)解：由题意得22491a bb a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得a=1，∴双曲线C 的方程为223y x -=1；(2)证明：设A(x 0，y 0)，由双曲线的对称性，可得B(-x 0，-y 0). 设P(x ，y)，则k PA ·k PB =22020y y x x --，∵y 02=3x 02-3，y 2=3x 2-3，∴kPA ·kPB=22020y y x x --=3(3)解：由(1)得点F 1为(2，0)当直线l 的斜率存在时，设直线方程y=k(x-2)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)将方程y=k(x-2)与双曲线方程联立消去y 得：(k 2-3)x 2-4k 2x+4k 2+3=0，∴x 1+x 2=2243k k -，x 1x 2=22433k k +-假设双曲线C 上存在定点M ，使MA ⊥MB 恒成立，设为M(m ，n) 则MA MB⋅=(x 1-m)(x 2-m)+[k(x 1-2)-n][k(x 2-2)-n]=(k 2+1)x 1x 2-(2k 2+kn+m)(x 1+x 2)+m 2+4k 2+4kn+n 2=()()2222224512313mn m k nk m n k +----+--=0，故得：(m 2+n 2-4m-5)k 2-12nk-3(m 2+n 2-1)=0对任意的k 2＞3恒成立，∴222245012010m n m n m n ⎧+--=⎪=⎨⎪+-=⎩，解得m=-1，n=0 ∴当点M 为(-1，0)时，MA ⊥MB 恒成立；当直线l 的斜率不存在时，由A(2，3)，B(2，-3)知点M(-1，0)使得MA ⊥MB 也成立.又因为点(-1，0)是双曲线C的左顶点，所以双曲线C上存在定点M(-1，0)，使MA⊥MB恒成立.21.如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“H型数列”.(1)若数列{a n}为“H型数列”，且a1=1m-3，a2=1m，a3=4，求实数m的取值范围；(2)是否存在首项为1的等差数列{a n}为“H型数列”，且其前n项和S n满足S n＜n2+n(n∈N*)？若存在，请求出{a n}的通项公式；若不存在，请说明理由.(3)已知等比数列{a n}的每一项均为正整数，且{a n}为“H型数列”，b n=23a n，c n=()512nnan-+⋅，当数列{b n}不是“H型数列”时，试判断数列{c n}是否为“H型数列”，并说明理由.解析：(1)由题意得，a2-a1=3＞2，a3-a2=4-1m＞2，即2-1m=21mm-＞0，解得m范围即可得出.(2)假设存在等差数列{a n}为“H型数列”，设公差为d，则d＞2，由a1=1，可得：S n=n+()12 n n-d，由题意可得：n+()12n n-d＜n2+n对n∈N*都成立，即d＜21nn-都成立.解出即可判断出结论.(3)设等比数列{a n}的公比为q，则a n=a1q n-1，且每一项均为正整数，且a n+1-a n=a n(q-1)＞2＞0，可得a n+1-a n=a n(q-1)＞a n-a n-1，即在数列{a n-a n-1}(n≥2)中，“a2-a1”为最小项.同理在数列{b n-b n-1}(n≥2)中，“b2-b1”为最小项.由{a n}为“H型数列”，可知只需a2-a1＞2，即 a1(q-1)＞2，又因为{b n}不是“H型数列”，且“b2-b1”为最小项，可得b2-b1≤2，即 a1(q-1)≤3，由数列{a n}的每一项均为正整数，可得 a1(q-1)=3，a1=1，q=4或a1=3，q=2，通过分类讨论即可判断出结论.答案：(1)由题意得，a2-a1=3＞2，a3-a2=4-1m＞2，即2-1m=21mm-＞0，解得m＞12或m＜0.∴实数m的取值范围时(-∞，0)∪(12，+∞).(2)假设存在等差数列{a n}为“H型数列”，设公差为d，则d＞2，由a1=1，可得：S n=n+()12 n n-d，由题意可得：n+()12n n-d＜n2+n对n∈N*都成立，即d＜21nn-都成立.∵21nn-=2+21n-＞2，且2lim1nnn→∞-=2，∴d≤2，与d＞2矛盾，因此不存在等差数列{a n}为“H型数列”.(3)设等比数列{a n}的公比为q，则a n=a1q n-1，且每一项均为正整数，且a n+1-a n=a n(q-1)＞2＞0，∴a1＞0，q＞1.∵a n+1-a n=a n(q-1)＞a n-a n-1，即在数列{a n-a n-1}(n≥2)中，“a2-a1”为最小项.同理在数列{b n -b n-1}(n ≥2)中，“b 2-b 1”为最小项.由{a n }为“H 型数列”，可知只需a 2-a 1＞2，即 a 1(q-1)＞2，又因为{b n }不是“H 型数列”，且“b 2-b 1”为最小项，∴b 2-b 1≤2，即 a 1(q-1)≤3，由数列{a n }的每一项均为正整数，可得 a 1(q-1)=3，∴a 1=1，q=4或a 1=3，q=2，①当a 1=1，q=4时，a n =4n-1，则c n =()13542121n n n n n -+-=⋅++，令d n =c n+1-c n (n ∈N *)，则d n =432221n n n n ++-++=2n+3·()()12nn n ++，令e n =d n+1-d n (n ∈N *)，则e n =2n+4·()()123n n n +++-2n+3·()()12n n n ++=322n n ++·()()2213n n n n ++++＞0， ∴{d n }为递增数列，即 d n ＞d n-1＞d n-2＞…＞d 1，即 c n+1-c n ＞c n -c n-1＞c n-1-c n-2＞…＞c 2-c 1， ∵c 2-c 1=323-8=83＞2，所以，对任意的n ∈N *都有c n+1-c n ＞2，即数列{c n }为“H 型数列”.②当a 1=3，q=2时，a n =3·2n-1，则c n =()153?2481?21n n n n --=++，显然，{c n }为递减数列，c 2-c 1＜0≤2， 故数列{c n }不是“H 型数列”； 综上：当a n =4n-1时，数列{c n }为“H 型数列”，当a n =3·2n-1时，数列{c n }不是“H 型数列”.。

2020年一模汇编——三角比、三角函数一、填空题【松江2】若角的终边过点4,3P ，则3sin2.【答案】45【解析】由角的终边过点4,3P可得到4cos5，又因为33334sinsincos cossin sincos 22225【奉贤2】在ABC ∆中，若60A =︒，2AB =，AC =ABC ∆的面积是___________. 【答案】3【解析】60,2,B AB AC =︒==∴根据余弦定理得：2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅即21242BC BC =+-,解得4BC =则ABC ∆的面积1sin 2S AB BC B =⋅⋅=【虹口4】若sin 2cos 02cos 1x xx =，则锐角x =__________.【答案】4π 【解析】012cos 2sin cos 22sin 2=--=-x x x x【奉贤4】设3,sin 2a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，1cos ,3b α⎛⎫= ⎪⎝⎭，且a b ∥，则cos2α=_____________.【答案】0【解析】31||,sin cos 0,sin 2123a b ααα∴⨯-⋅=∴=α为锐角，cos20α∴=【黄浦5】设θ为第二象限的角，3sin 5θ=，则tan2θ的值为__________. 【答案】247-【解析】由θ为第二象限的角，3sin 5θ=可得3tan 4θ=-，所以22tan 24tan 21tan 7θθθ==-- 【青浦5】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与单位圆的交点坐标是34(,)55-，则sin2α=【答案】2425-【解析】由题意得54sin ,53cos =-=αα，所以2524cos sin 22sin -=⋅=ααα【徐汇6】 已知函数()arcsin(21)f x x =+，则1()6f π-=【答案】14-【解析】考察反函数性质，令()()arcsin 216f x x π=+=，则1212x +=，解得14x =-。