数学知识点新人教A版(选修1-1)1.3《简单的逻辑联结词》word教案-总结

1.3简单的逻辑联结词（夏琳）一、教学目标【核心素养】培养学生的数学抽象，构建基本的数学逻辑体系．【学习目标】（1）通过数学实例，了解简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；（2）能正确地利用“或”、“且”、“非”表述相关的数学内容；（3）知道命题的否定与否命题的区别．【学习重点】逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；【学习难点】逻辑联结词“或”的含义；二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1：阅读教材P 14—P 17,，思考：“或”“且”“非”的含义任务2：“p ∧q ”、“p ∨q ”、“非p ”形式命题的真假如何判断2．预习自测1．已知复合命题()p q ∧⌝是真命题，则下列命题中也是真命题的是（ ） A ．()p q ⌝∨B ．p q ∨C ．p q ∧D ．()()p q ⌝∧⌝答案：B解析：由已知得命题p 是真命题，命题q ⌝是真命题，所以命题q 是假命题，根据复合命题的真假判断p q ∨是真命题，其他选项都是假命题，故选B ．考点：复合命题真假的判断．2．已知命题:p 若π6α=，则1sin 2α=；命题:q 若1sin 2α=，则π6α=．下面四个结论中正确的是（ ）A ．p q ∧是真命题B ．p q ∨是真命题C ．p ⌝是真命题D ．q ⌝是假命题答案：B解析：由题意可知，命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以p q ∨是真命题，故选B ．考点：复合命题的真假判断．3．下列说法错误的是（ ）A ．若命题“p q ∧”为真命题，则“p q ∨”为真命题B ．若命题“p q ⌝∨”为假命题，则“p q ∧⌝”为真命题C ．命题“若a b >，则22ac bc >”的否命题为真命题D ．命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为真命题 答案：D解析：对于A ：若“p q ∧”为真命题，则p ，q 都是真命题，所以“p q ∨”为真命题，故A 正确； 对于B ：若“p q ⌝∨”为假命题，则,p q ⌝都是假命题，∴p 是真命题，q ⌝是真命题，所以“p q ∧⌝”为真命题，故B 正确；对于C ：“若a b >，则22ac bc >”的否命题为“若a b ≤，则22ac bc ≤”，∵c 2≥0，∴由a b ≤可得到22ac bc ≤，故C 正确；对于D ：命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为“若方程20x x m +-=有实根，则0m >”，方程20x x m +-=有实数根只需1140,,4m m ∆=+≥≥-所以不一定得到0m >，所以D 错．故选D ．。

§1.6.1 逻辑联结词●教学目标(一)教学知识点1.命题的概念．2.含有“或”“且”“非”的复合命题的构成.3.“或”“且”“非”的含义.(二)能力训练要求1.了解命题的概念和含有“或”“且”“非”的复合命题的构成.2.理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.3.培养学生观察，推理的思维能力.(三)德育渗透目标培养学生积极探索，主动发现的思维品质.●教学重点1.逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.复合命题的构成.●教学难点1.对“或”的含义的理解.2.复合命题的构成.●教学方法问题与发现教学法．●教具准备多媒体课件或用投影片投影片三张： 第一张：(记作§1．6．1 A)下列语句中哪些是命题，哪些不是命题?并说明理由：(1)12＞6 (2)3是15的约数．(3)0.2是整数 (4)3是12的约数吗?(5)x ＞2 (6)这是一棵大树. 第二张：(记作§1．6．1 B)下列语句是命题吗?如果是命题，则与前命题(1)、(2)、(3)的区别是什么?(7)10可以被2或5整除.(8)菱形的对角线互相垂直且平分.(9)x ＞3或x ＝－1.(10)x ＜5且x ≥4．(11)0.5非整数第三张：(记作§1．6．1 C)指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：(1)24既是8的倍数，也是6的倍数；(2)小李是篮球运动员或跳高运动员；(3)平行线不相交；(4)方程x x -+＝0有实根0或1；(5)小张是学生，小王也是学生．●教学过程Ⅰ．提出问题［师］初中时已学习过命题，现请一位同学回顾说出命题的概念．［生］判断一件事情的句子叫做命题．［师］回答正确.本节将继续研究和讨论命题及命题的构成.Ⅱ．讲授新课［师］(板书)二简易逻辑§1．6．1 逻辑联结词［师］请看投影片(§1．6．1 A)下列语句中哪些是命题，哪些不是命题?并说明理由：(1)12＞6． (2)3是15的约数.(3)0．2是整数． (4)3是12的约数吗?(5)x＞2． (6)这是一棵大树.［师］请同学们讨论后回答．［生］其中(1)、(2)、(3)是命题，因为它们是能判断一件事情的语句；而(4)、(5)、(6)不是命题，其中(4)是疑问句，不涉及真假；(5)不能判断其是否正确；(6)中由于“大树”的概念没有界定，也不能判断其是否正确.(师据学生讨论回答情况归纳出命题的定义)［师］(板书)(1)命题的定义：“可以判断真假的语句叫做命题．”［师］上述语句中(4)、(5)、(6)不是命题的主要理由是不能判断真假的语句. 上述定义与初中定义不同，但实质是一样的.语句是不是命题，关键在于是否能判断其真假，即判断其是否成立.而不能判断真假的语句就不能叫命题.请同学们再分析考虑下列语句：投影片：(§1．6．1 B)下列语句是命题吗?如果是命题，则与前命题(1)、(2)、(3)的区别是什么?(7)10可以被2或5整除.(8)菱形的对角线互相垂直且平分.(9)x＞3或x＝－1．(10)x＜5且x≥4．(11)0．5非整数．［生］(甲)：上述语句都是命题，但比前面的命题复杂了．(乙)：上述语句不都是命题，其中(7)、(8)、(11)语句是命题，而语句(9)，(10)不是命题，因(9)，(10)语句不能判断真假．命题(7)、(8)、(11)与命题(1)、(2)、(3)的区别是比它们复杂了.［师］乙同学回答正确.上述五个语句中只有(7)、(8)、(11)是命题，这三个命题是由简单的命题组合成的新的比较复杂的命题．［师］那么命题(7)中的“或”与集合中学过的哪个概念的意义相同呢?［生］与集合并集定义中：A∪B＝｛x｜x∈A或x∈B｝的“或”意义相同．［师］命题(8)中的“且”与集合中学过的哪个概念的意义相同呢?［生］与集合交集定义中：A∩B＝｛x｜x∈A且x∈B｝的“且”意义相同．［师］回答很好，命题中的“或”与“且”的意义与在集合概念中的含义相同．而对命题(11)中的“非”的意义显然是否定的意思，即“0．5非整数”是对命题“0．5是整数”进行否定而得出的命题．［师］上述命题(7)、(8)、(11)是较复杂的命题.(师归纳并板书)：(2)复合命题的构成.1°命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词．2°不合逻辑联结词的命题叫做简单命题.3°由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.［师］上述命题中哪些是简单命题?哪些是复合命题?其区别是什么?［生］由复合命题的概念可知：命题(1)、(2)、(3)是简单命题，而命题(7)、(8)、(11)是复合命题.其区别是简单命题不含逻辑联结词，而复合命题含有逻辑联结词.［师］上述语句中“(9)x ＞3或x ＝－1；(10)x ＜5且x ≤4”同学们已讨论过并不是一个命题，这是因为对于语句“x ＞3”“x ＝－1”“x ＞5”“x ≥4”本身就不是命题，那么语句中的“或”与“且”也不是逻辑联结词，这是以后判断命题与复合命题时应注意的．(3)复合命题构成形式的表示.［师］常用小写拉丁字母p ，q ，r ，s ，…表示命题.上述复合命题(7)，(8)，(11)构成的形式分别是什么?［生］复合命题(7)构成的形式是“p 或q ”；(8)构成的形式是“p 且q ”；(11)构成的形式是“非p ”.［师］回答正确.下面请同学看投影片： 投影片：(§1．6．1 C)指出下列复合命题的构成形式及构成它的简单命题：(1)24既是8的倍数，也是6的倍数；(2)小李是篮球运动员或跳高运动员；(3)平行线不相交；(4)方程x x -+＝0有实根0或1；(5)小张是学生，小王也是学生. ［生］(1)中的命题构成是“p 且q ”的形式，其中p ：24是8的倍数；q ：24是6的倍数．(2)中的命题的构成是“p 或q ”的形式，其中p ：小李是篮球运动员；q ：小李是跳高运动员；命题(3)的构成是“非p ”的形式；其中p ：平行线相交；命题(4)的构成是“p 或q ”的形式，其中p ：方程x x -+＝0有实根0；q ：方程x x -+＝0有实根1；命题(5)是“p 且q ”的形式，其中p ：小张是学生；q ：小王是学生．Ⅲ．课堂练习［师］请同学们打开课本第26页，回答练习题中的1．2题．［生］(略)Ⅳ．课时小结［师］本节课重点研究讨论了简单命题与复合命题的构成；逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，即：(师板书).⎭⎬⎫""""":")(非且或逻辑联结词定义简单命题复合命题的构成． Ⅴ．课后作业(一)课本P29习题1．6．1 1、2.(二)1.预习内容：下节内容2.预习提纲：(1)复合命题材料真假的方法是什么?(2)复合命题“p或q”“p且q”“非p”判断真假的规律分别是什么?●板书设计§1．6．1 逻辑联结词(1)命题的定义；(2)逻辑联结词；(3)复合命题构成形式的表示；(4)小结.。

1.1.4 简单的逻辑联结词一、教学目标：1.知识与技能目标：（1）掌握逻辑联结词“或、且”的含义；（2）正确应用逻辑联结词“或、且”解决问题；（3）掌握真值表并会应用真值表解决问题.2．过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维的严密性品质的培养．3.情感态度价值观目标：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．二、教学重点.难点重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“或、且”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容.难点：1、正确理解命题“P∧q”“P∨q”真假的规定和判定．2、简洁、准确地表述命题“P∧q”“P∨q”.三、学情分析在当今社会中，人们从事任何工作、学习，都离不开逻辑．具有一定逻辑知识是构成一个公民的文化素质的重要方面．数学的特点是逻辑性强，特别是进入高中以后，所学的数学比初中更强调逻辑性．如果不学习一定的逻辑知识，将会在我们学习的过程中不知不觉地经常犯逻辑性的错误．其实，同学们在初中已经开始接触一些简易逻辑的知识．在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”。

在生活用语中，我们也使用这些联结词，但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。

下面介绍数学中使用联结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法。

四、教学过程探究一、下列三个命题有什么关系?（1）12能被3整除；（2）12能被4整除；（3）12能被3整除且能被4整除.1、“且”的意义：一般地,用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来就得到一个新命题，记作“”，读作“”.规定：p且q为假。

（一假必假）探究二、下列三个命题有什么关系?(1) 27是7的倍数；（2）27是9的倍数；（3）27是7的倍数或是9的倍数.2、“或”的意义：一般地,用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来就得到一个新命题，记作“”，读作“”.规定：说明：当,p q中至少有一个为真时，p或q为真；当,p q都为假时，p或q为假。

§1.3简单的逻辑联结词学习目标 1.了解联结词“且”“或”“非”的含义.2.会用联结词“且”“或”“非”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假.3.通过学习，明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假.知识点1且或非(1)且“p且q”就是用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，记作p∧q.(2)或“p或q”就是用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，记作p∨q.(3)非一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”.【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“x≥1”是“p且q”的形式.()(2)命题“三边长分别为1，1，2的三角形是等腰直角三角形”是“p或q”的形式.()(3)“x，y全都大于0”的否定是“x，y全不大于0”.()提示(1)命题“x≥1”是“x＞1或x＝1”，是p或q的形式，故(1)错.(2)“等腰直角三角形”是指既是等腰三角形，且是直角三角形，是“p且q”的形式，故(2)错.(3)“x，y全都大于0”的否定应是“x，y不全都大于0”，故(3)错.答案(1)×(2)×(3)×知识点2含有逻辑联结词的命题的真假判断【预习评价】思考(1)逻辑联结词“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同？(2)命题的否定与否命题有什么区别？提示(1)生活用语中的“或”表示不兼有，而在数学中所研究的“或”则表示可兼有但不一定必须兼有.(2)命题的否定只否定命题的结论，而否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论.题型一p∧q命题及p∨q命题【例1】分别写出下列命题构成的“p∧q”“p∨q”的形式，并判断它们的真假.(1)p：函数y＝3x2是偶函数，q：函数y＝3x2是增函数；(2)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；(3)p：3是无理数，q：3是实数；(4)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等.解(1)p∧q：函数y＝3x2是偶函数且是增函数；∵p真，q假，∴p∧q为假.p∨q：函数y＝3x2是偶函数或是增函数；∵p真，q假，∴p∨q为真.(2)p∧q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；∵p真，q真，∴p∧q为真.p∨q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；∵p真，q真，∴p∨q为真.(3)p∧q：3是无理数且是实数；∵p真，q真，∴p∧q为真.p∨q：3是无理数或是实数；∵p真，q真，∴p∨q为真.(4)p∧q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；∵p真，q真，∴p∧q为真.p∨q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；∵p真，q真，∴p∨q为真.规律方法(1)判断p∧q形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，然后根据真值表“一假则假，全真则真”进行判断.(2)判断p∨q形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，只要有一个为真，即可判定p∨q形式命题为真，而p与q均为假命题时，命题p∨q为假命题，可简记为：有真则真，全假为假.【训练1】指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题：(1)李明是男生且是高一学生.(2)方程2x2＋1＝0没有实数根.(3)12能被3或4整除.解(1)是“p且q”形式.其中p：李明是男生；q：李明是高一学生.(2)是“非p”形式.其中p：方程2x2＋1＝0有实根.(3)是“p或q”形式.其中p：12能被3整除；q：12能被4整除.题型二綈p命题【例2】写出下列命题的否定形式.(1)面积相等的三角形都是全等三角形；(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零；(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.解(1)面积相等的三角形不都是全等三角形.(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零.(3)若xy＝0，则x≠0且y≠0.规律方法綈p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”等.【训练2】写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)p：y＝sin x是周期函数；(2)p：3＜2；(3)p：空集是集合A的子集；(4)p：5不是75的约数.解(1)綈p：y＝sin x不是周期函数.命题p是真命题，綈p是假命题；(2)綈p：3≥2.命题p是假命题，綈p是真命题；(3)綈p ：空集不是集合A 的子集.命题p 是真命题，綈p 是假命题； (4)綈p ：5是75的约数.命题p 是假命题，綈p 是真命题.【探究1】 若“p ∨q ”与“綈p ”同时为真命题，那么能否判定命题p 与q 的真假？解 由“綈p ”是真命题可知p 是假命题，又因为“p ∨q ”是真命题，所以q 是真命题.【探究2】 若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，能否判定命题p 与q 的真假？解 不能判定，只能得到p 与q 其中一个是真命题，另一个是假命题.【探究3】 已知c >0，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减，q ：曲线y ＝4x 2－4c (x ＋12)＋c 2＋1与x 轴交于不同的两点，若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求c 的取值范围.解 方法一 ∵函数y ＝c x 在R 上单调递减， ∴0<c <1.令A ＝{c |0<c <1}.由y ＝4x 2－4c (x ＋12)＋c 2＋1与x 轴交于不同的两点，可得方程4x 2－4cx ＋c 2－2c ＋1＝0所对应的判别式 Δ＝16c 2－16(c 2－2c ＋1)>0.解得c >12，令B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c >12. 根据题意，如果p 真，q 假，则0<c ≤12； 如果p 假，q 真，则c ≥1， ∴c 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞).方法二 同方法一求得A ，B ，问题等价于求集合[(∁R B )∩A ]∪[(∁R A )∩B ]＝⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞).∴c 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞).规律方法 由真值表可判断p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假，反之，由p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假也可判断p ，q 的真假情况.一般求满足p 假成立的参数范围，应先求p 真成立的参数的范围，再求其补集.【训练3】 已知命题p ：方程x 2＋ax ＋1＝0有两个不等的实根；命题q ：方程4x 2＋2(a －4)x ＋1＝0无实根，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围.解 ∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p 与q 一真一假. 由a 2－4>0得a >2或a <－2. 由4(a －4)2－4×4<0得2<a <6. ①若p 真q 假，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－2，a ≤2或a ≥6，∴a <－2或a ≥6；②若p 假q 真，则有⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤2，2<a <6，通过分析可知不存在这样的a .综上，a <－2或a ≥6.课堂达标1.若p 是真命题，q 是假命题，则( ) A.p ∧q 是真命题 B.p ∨q 是假命题 C.綈p 是真命题D.綈q 是真命题解析 根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D 正确. 答案 D2.给出下列命题：①2>1或1>3；②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；③25是6或5的倍数；④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集.其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4解析①由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；②由于方程x2－2x－4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；③由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；④由于(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆(A∪B)，所以命题“集合A∩B是A的子集，且是A∪B 的子集”是真命题.答案 D3.已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数.则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，为真命题的是()A.q1，q3B.q2，q3C.q1，q4D.q2，q4解析p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题；∴q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，q3：(綈p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(綈p2)为真命题.∴为真命题的是q1，q4.答案 C4.已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q：∅＝{0}，则下列判断正确的是()A.p假q真B.“p∨q”为真C.“p∧q”为真D.“綈p”为真解析由(x＋2)(x－3)<0得－2<x<3，∵1∈(－2，3)，∴p真.∵∅≠{0}，∴q为假，∴“p∨q”为真.答案 B5.命题p：“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件，命题q：△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件，则()A.p真q假B.p∧q为真C.p∨q为假D.p假q真解析命题p假，命题q真.答案 D课堂小结1.正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个.2.判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤：(1)逐一判断命题p，q的真假.(2)根据“且”“或”的含义判断“p∧q”，“p∨q”的真假.p∧q为真⇔p和q同时为真，p∨q为真⇔p和q中至少一个为真.3.若命题p为真，则“綈p”为假；若p为假，则“綈p”为真，类比集合知识，“綈p”就相当于集合p在全集U中的补集∁U p.因此(綈p)∧p为假，(綈p)∨p 为真.4.命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别.基础过关1.已知命题p：2＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断正确的是()A.“p∨q”为假，“綈q”为假B.“p∨q”为真，“綈q”为假C.“p∧q”为假，“綈p”为假D.“p∧q”为真，“p∨q”为假解析显然p假q真，故“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真，“綈q”为假，故选B.答案 B2.已知全集S＝R，A⊆S，B⊆S，若p：2∈(A∪B)，则“綈p”是()A.2D∈/AB.2D∈/∁S BC.2D∈/(A∩B)D.2∈(∁S A)∩(∁S B)解析p：2∈(A∪B)，綈p：2∈∁S(A∪B)，即2∈(∁S A)∩(∁S B).答案 D3.设a，b，c是非零向量.已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是()A.p∨qB.p∧qC.(綈p)∧(綈q)D.p∨(綈q)解析方法一命题p中，取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题.命题q中，a，b，c是非零向量，由a∥b知a＝x b，由b∥c知b＝y c，∴a＝xy c，∴a∥c，∴q是真命题.综上可知：p∨q是真命题，p∧q是假命题.又∵綈p为真命题，綈q为假命题，∴(綈p)∧(綈q)，p∨(綈q)都是假命题.方法二命题p中，由于a，b，c都是非零向量，a·b＝0，∴a⊥b.∵b·c＝0，∴b⊥c.如图，则可能a∥c，∴a·c≠0，∴命题p是假命题，∴綈p是真命题.命题q中，a∥b，则a与b方向相同或相反；b∥c，则b与c方向相同或相反.故a与c方向相同或相反，∴a∥c，即q是真命题，则綈q是假命题，故p∨q是真命题，p∧q，(綈p)∧(綈q)，p∨(綈q)都是假命题.答案 A4.命题“若a<b，则2a<2b”的否命题为________________，命题的否定为________________.解析命题“若a<b，则2a<2b”的否命题为“若a≥b，则2a≥2b”，命题的否定为“若a<b，则2a≥2b”.答案若a≥b，则2a≥2b若a<b，则2a≥2b5.若命题p：不等式ax＋b>0的解集为{x|x>－ba}，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a<x<b}，则“p且q”“p或q”“非p”中真命题是________. 解析因为命题p，q均为假命题，所以“p或q”“p且q”均为假命题，而“非p”为真命题.答案非p6.判断下列复合命题的真假.(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；(2)不等式x2－2x＋1＞0的解集为R且不等式x2－2x＋2≤1的解集为∅.解(1)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q ：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p 真q 真，则“p 且q ”为真，所以该命题是真命题.(2)这个命题是“p 且q ”形式的复合命题，其中p ：不等式x 2－2x ＋1＞0的解集为R ，q ：不等式x 2－2x ＋2≤1的解集为∅.因为p 假q 假，所以“p 且q ”为假，故该命题为假命题.7.已知命题p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1，1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，若命题“p ∨q ” 是假命题，求实数a 的取值范围. 解 由a 2x 2＋ax －2＝0，得(ax ＋2)(ax －1)＝0.显然a ≠0，∴x ＝－2a 或x ＝1a .若命题p 为真，∵x ∈[－1，1]，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2a ≤1或⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a ≤1， ∴|a |≥1.若命题q 为真，即只有一个实数x 满足x 2＋2ax ＋2a ≤0，即函数y ＝x 2＋2ax ＋2a 的图象与x 轴只有一个交点.∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∵命题“p ∨q ”为假命题，∴a 的取值范围是{a |－1<a <0或0<a <1}.能力提升8.已知命题p ：若a ＝(1，2)与b ＝(－2，λ)共线，则λ＝－4；命题q ：∀k ∈R ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2y ＝0相交.则下面结论正确的是( )A.(綈p )∨q 是真命题B.p ∧(綈q )是真命题C.p ∧q 是假命题D.p ∨q 是假命题解析命题p为真，命题q：圆心(0，1)到直线kx－y＋1＝0的距离为d＝|0|k2＋1 <1，命题q是真命题.故(綈p)∨q是真命题.答案 A9.给定命题p：函数y＝ln[(1－x)(x＋1)]为偶函数；命题q：函数y＝e x－1e x＋1为偶函数，下列说法正确的是()A.p∨q是假命题B.(綈p)∧q是假命题C.p∧q是真命题D.(綈p)∨q是真命题解析p中，f(－x)＝ln[(1＋x)(1－x)]＝f(x)，又定义域关于原点对称，故函数为偶函数，故p为真；q中，f(－x)＝e－x－1e－x＋1＝1－e xe x＋1＝－f(x)，定义域为R，故函数为奇函数，故q为假，故(綈p)∧q为假.答案 B10.已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则有平面α∥平面β.对以上两个命题，下列结论中：①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(綈p)∨(綈q)为假.其中，正确的是________(填序号).解析命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交，命题q也是假命题，这两个平面α，β也可能相交.答案②11.设p：关于x的不等式a x＞1的解集为{x|x＜0}，q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则a的取值范围是________.解析若p真：A＝{a|0＜a＜1}，若q真：B＝{a|a＞12}，由题意，得p与q一真一假，则⎩⎨⎧0＜a ＜1，a ≤12或⎩⎨⎧a ≤0或a ≥1，a ＞12，即0＜a ≤12或a ≥1. 答案 0＜a ≤12或a ≥112.设命题p ：f (x )＝2x －m在区间(1，＋∞)上是减函数；命题q ：x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，且不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意的实数a ∈[－1，1]恒成立，若(綈p )且q 为真，试求实数m 的取值范围.解 命题p 为真时：x －m ≠0，又f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数，故m ≤1，命题q 为真时：|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝a 2＋8， 对a ∈[－1，1]有a 2＋8≤3，∴m 2＋5m －3≥3⇒m ≥1或m ≤－6.若(綈p )且q 为真，则p 假q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞1，m ≥1或m ≤－6.∴m ＞1.13.(选做题)已知命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，若“p ∨q ”与“綈q ”同时为真命题，求实数a 的取值范围.解 命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根为真，等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4≥0，x 1＋x 2>－2，（x 1＋1）（x 2＋1）>0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1≥0，－2a >－22－2a >0，，解得a ≤－1.命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R 为真，等价于a ＝0或⎩⎨⎧a >0，Δ<0. 由于⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，解得0<a <4，所以0≤a <4. 因为“p ∨q ”与“綈q ”同时为真命题，即p 真且q 假，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a <0或a ≥4，解得a ≤－1. 故实数a 的取值范围是(－∞，－1].。