三维设计江苏专用2017届高三数学一轮总复习第五章平面向量与复数第一节平面向量的概念及其线性运算课件理

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3．(2014·福建高考)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O 为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则 OC ＋ OB ＋ OC ＋OD 等于________． 解析：依题意知，点 M 是线段 AC 的中点，也是线段 BD 的中点，所以OA＋OC ＝2OM ，OB＋OD＝2OM ，所以 OC ＋OC ＋OB＋OD＝4OM . 答案：4OM
即ka＋b＝λa＋λkb. ∴ BD ＝ BC ＋CD ＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝
∴(k－λ)a＝(λk－1)b. 5(a＋∵b)＝a，5bA是B不. 共线的两个非零向量， ∴ ABλk，k－－BλD＝ 1＝共0， 0线，， 又 ∴∵ A，它解B们得，有Dλk＝公＝三1共1点，点共B或线，．λk＝＝－－11，，
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3．若菱形ABCD的边长为2，则| AB－CB＋CD|＝________. 解析：| AB－CB＋CD|＝| AB＋BC ＋CD |＝| AD|＝2. 答案：2
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解析：①平行向量的方向也可能相反，所以①错误；②只 有零向量与任意向量都平行，所以②正确；③显然正确； ④共线向量只要方向相同或相反即可，不一定在同一条直 线上，所以④错误． 答案：②③
相反向量 长度 相等 且方向相反的向量 0 的相反向量为 0
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向量 运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量 和的运算
_三__角__形__法则
(1)交换律： a＋b＝_b_＋__a_； (2)结合律： (a＋b)＋c＝

→
→
→
②利用结论“若=λ+μ(λ,μ为实数),则 A,B,C 三点共线的
充要条件是λ+μ=1”来证明三点共线,但应注意此结论成立的前提条
→
→
件是“,不共线”.
[针对训练]
→
→
→
(1)已知向量 a,b 且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三
点是(
A.A,B,D
相等,与起点(终点)无关.
(3)两向量可以相等,也可以不相等,但两向量不能比较大小.向量
的模长均为实数,所以模长可以比较大小.


(4)非零向量a与 || 的关系: ||是与a同方向的单位向量.
[针对训练] 给出下列命题:
→
→
①若A,B,C,D是不共线的四点,且 = ,则四边形ABCD为平行
(1)|a|与|b|是否相等和a,b的方向无关.( √
(2)若a∥b,b∥c,则a∥c.(
→
×
)
)
→
(3)向量与向量是共线向量,则 A,B,C,D 四点在一条直线上.
(
)
×
(4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.( √
)
2.在平行四边形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点
k(2a-b),则有(1-2k)a+(k+λ)b=0,因为a,b是两个不共线向量,故a
- = ,
与b均不为零向量,所以
+ = ,


解得 k=,λ=-.
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
平面向量的基本概念
[例1] (1)下列命题正确的是(

课时跟踪检测（二十七） 平面向量的数量积与平面向量应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，且(a ＋b )⊥(a －b )，则m 的值是________． 解析：a ＋b ＝(m ＋2，m －4)，a －b ＝(m ，－2－m )， ∵(a ＋b )⊥(a －b )，∴m (m ＋2)－(m －4)(m ＋2)＝0， ∴m ＝－2. 答案：－22．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)，若λ为实数，(b ＋λa )⊥c ，则λ＝________.解析：b ＋λa ＝(1,0)＋λ(1,2)＝(1＋λ，2λ)，c ＝(3,4)，又(b ＋λa )⊥c ，∴(b ＋λa )·c ＝0，即(1＋λ，2λ)·(3,4)＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－311.答案：－3113．在边长为1的等边△ABC 中，设BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________.解析：依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝－32. 答案：－324．(2016·太原模拟)已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________．解析：∵(2a －b )·(a ＋b )＝6，∴2a 2＋a ·b －b 2＝6，又|a |＝2，|b |＝1，∴a ·b ＝－1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－12，∴a 与b 的夹角为2π3.答案：2π35．给出下列命题：①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )；⑤|a ·b |≤a ·b .其中正确命题的个数为________．解析：①②③显然正确；(a ·b )·c 与c 共线，而a ·(b ·c )与a 共线，故④错误；a ·b 是一个实数，应该有|a ·b |≥a ·b ，故⑤错误．答案：3二保高考，全练题型做到高考达标1．(2016·常州调研)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝________.解析：因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0，解得k ＝－3.答案：－32．(2016·洛阳质检)已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角为________．解析：a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝2，所以a ·b ＝3，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝31×6＝12，所以〈a ，b 〉＝π3.答案：π33．(2015·盐城调研)平面四边形ABCD 中，AB ＋CD ＝0，(AB －AD )·AC ＝0，则四边形ABCD 的形状是________．解析：因为AB ＋CD ＝0，所以AB ＝－CD ＝DC ，所以四边形ABCD 是平行四边形．又(AB －AD )·AC ＝DB ·AC ＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD 是菱形．答案：菱形4．(2016·开封质检)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠A ＝60°，点M 在AB 边上，且AM ＝13AB ，则DM ·DB 等于________．解析：因为DM ＝DA ＋AM AM ＝DA ＋13AB ，DB ＝DA ＋AB ，所以DM ·DB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DA ＋13 AB ·(DA ＋AB ) ＝|DA |2＋13|AB |2＋43DA ·AB ＝1＋43－43AD ·AB＝73－43|AD |·|AB |·cos 60° ＝73－43×1×2×12＝1. 答案：15．(2016·江苏太湖高级中学检测)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA ·MD ＝________.解析：由题意，得MA ·MD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 CB ＋BA · ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 CB ＋CD ＝－14|CB |2＋12CB ·CD －12CB ·BA ＋BA ·CD ＝－14×(2)2＋12×2×1×cos 135°－12×2×2×cos 135°＋2×1×cos 0°＝－12－12＋1＋2＝2.答案：26．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________. 解析：由题意可得a ·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)， ∴|c |＝82＋－2＝8 2.答案：8 27.(2015·湖南师大附中月考)如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA＝OB ＝1，AB ＝4AC ，则OC ·(OB －OA )＝________.解析：由已知得|AB |＝2，|AC |＝24， 则OC ·(OB －OA )＝(OA ＋AC )·AB ＝OA ·AB ＋AC ·AB ＝2cos 3π4＋24×2＝－12. 答案：－128．在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO ＝x CA ＋y CB ，且x ＋y ＝1.若函数f (m )＝|CA －m CB |(m ∈R)的最小值为32，则|CO |的最小值为________． 解析：由CO ＝x CA ＋y CB ， 且x ＋y ＝1， 可知A ，O ，B 三点共线，所以|CO |的最小值为AB 边上的高， 又AC ＝BC ＝1，即O 为AB 的中点， 且函数f (m )＝|CA －m CB |的最小值为32， 即点A 到BC 边的距离为32. 又AC ＝1，所以∠ACB ＝120°，从而可得|CO |的最小值为12.答案：129．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(ka －b )．解：由已知得，a ·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16. (1)①∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a ＋b |＝4 3.②∵|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，∴|4a －2b |＝16 3.(2)∵(a ＋2b )⊥(ka －b )，∴(a ＋2b )·(ka －b )＝0， ∴ka 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0.∴k ＝－7. 即k ＝－7时，a ＋2b 与ka －b 垂直．10．(2016·淮安调研)在平面直角坐标系中，已知点A (4,0)，B (t,2)，C (6，t )，t ∈R ，O 为坐标原点．(1)若△ABC 是直角三角形，求t 的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形，求|OD |的最小值． 解：(1)由题意得AB ＝(t －4,2)，AC ＝(2，t )，BC ＝(6－t ，t －2)．若∠A ＝90°，则AB ·AC ＝0，即2(t －4)＋2t ＝0， ∴t ＝2；若∠B ＝90°，则AB ·BC ＝0，即(t －4)(6－t )＋ 2(t －2)＝0，∴t ＝6±22；若∠C ＝90°，则AC ·BC ＝0，即2(6－t )＋t (t －2)＝0，无解．∴满足条件的t 的值为2或6±2 2.(2)若四边形ABCD 是平行四边形，则AD ＝BC ，设点D 的坐标为(x ，y )，则(x －4，y )＝(6－t ，t －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10－t ，y ＝t －2，即D (10－t ，t －2)， ∴|OD |＝－t2＋t －2＝2t 2－24t ＋104，∴当t ＝6时，|OD |取得最小值4 2. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是________．解析：∵a ，b 是单位向量，∴|a |＝|b |＝1.又a ·b ＝0，∴|a ＋b |＝2，|c －a －b |2＝c 2－2c ·(a ＋b )＋2a ·b ＋a 2＋b 2＝1，∴2c ·(a ＋b )＝c2＋1，∴c 2＋1＝22|c |cos θ(θ是c 与a ＋b 的夹角)．又－1≤cos θ≤1，∴1≤c 2＋1≤22|c |，∴c 2－22|c |＋1≤0，∴2－1≤|c |≤2＋1.答案：[2－1，2＋1]2．已知点O 为△ABC 所在平面内一点，且OA 2＋BC 2＝OB 2＋CA 2＝OC 2＋AB 2，则点O 一定为△ABC 的________(填“重心”“垂心”“外心”“内心”中的一个)．解析：∵OA 2＋BC 2＝OB 2＋CA 2，∴OA 2－OB 2＝CA 2－BC 2，∴(OA －OB )·(OA ＋OB )＝(CA ＋BC )·(CA －BC )，∴BA ·(OA ＋OB )＝BA ·(CA－BC )，∴BA ·(OA ＋OB －CA ＋BC )＝0，∴BA ·(OA ＋AC ＋OC )＝0，∴BA ·OC ＝0，∴BA ⊥OC .同理可得，CA ⊥OB ，CB ⊥OA ，∴O 为△ABC 的垂心．答案：垂心3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)，c ＝a ＋λb (λ∈R)． (1)当λ取何值时，|c |最小？此时c 与b 的位置关系如何？(2)当λ取何值时，c 与a 的夹角最小？此时c 与a 的位置关系如何？ 解：(1)∵c ＝a ＋λb ＝(1,2)＋λ(－3,4)＝(1－3λ，2＋4λ)， ∴|c |2＝(1－3λ)2＋(2＋4λ)2＝5＋10λ＋25λ2＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋15 2＋4，∴当λ＝－15时，|c |最小，此时c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85，65 . 又c ·b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85，65 ·(－3,4) ＝85×(－3)＋65×4＝0， ∴b ⊥c .∴当λ＝－15时，|c |最小，此时b ⊥c .(2)设c 与a 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a ||c |＝5＋5λ5·25λ2＋10λ＋5＝1＋λ5λ2＋2λ＋1. 若c 与a 的夹角最小，则cos θ最大． 设1＋λ＝t ，即λ＝t －1， ∴cos θ＝tt －2＋t －＋1＝14t2－8t＋5，当1t＝1，t ＝1时，cos θ取得最大值1， 此时λ＝0，c ＝(1,2)，∴当λ＝0时，c 与a 的夹角最小，此时c 与a 平行．。

【训练1】 下列命题中，正确的是________(填序号).
①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； → → ③向量AB与向量CD共线，则 A，B，C，D 四点共线； ④两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.
解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有 向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确
(2)如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的 → 中点， 点 F 是 BC 的一个三等分点， 那么EF → → 等于________(用AD，AB表示).
解析 (1)∵a· b＝0，∴∠ACB＝90°，∴AB＝ 5，CD＝
2 5 5 4 5 5 ，∴BD＝ 5 ，AD＝ 5 ， 4 4 → 4→ 4 → → ∴AD∶BD＝4∶1.∴AD＝5AB＝5(CB－CA)＝5a－5b.
1 答案 (1)b＋2a (2)0
考点三 共线向量定理的应用
【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 不共线.
→ → → (1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b).求证：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线.
→ ＝a＋b，BC → ＝2a＋8b，CD → ＝3(a－b). (1)证明 ∵AB → ＝BC → ＋CD → ＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝ ∴BD → .∴AB → ，BD → 共线，又它们有公共点 B， 5(a＋b)＝5AB ∴A，B，D 三点共线.
规律方法
(1) 解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向
量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化 .(2)用几个基 本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位