第3章 3.4～3.5 直线与平面的垂直关系 平面的法向量 Word版含解析

空间向量知识点总结1。

直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量：若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥,如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量。

⑶．平面的法向量的求法(待定系数法)： ①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==．④根据法向量定义建立方程组00n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩。

⑤解方程组，取其中一组解,即得平面α的法向量.（如图）2。

用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈。

即:两直线平行或重合两直线的方向向量共线。

⑵线面平行①(法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α,只需证明a u ⊥，即0a u ⋅=。

即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②(法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可。

⑶面面平行若平面α的法向量为u ,平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=. 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。

3。

用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、,则要证明12l l ⊥,只需证明a b ⊥，即0a b ⋅=。

即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。

⑵线面垂直①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明a ∥u ，即a u λ=。

高中数学-打印版2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质知识梳理1.一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内任意一条直线.2.性质定理:垂直于同一平面的两条直线平行.3.两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.4.垂直于同一直线的两个平面平行.5.两个平面垂直的性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.知识导学直线与平面垂直的性质定理给出了判断两条直线平行的另一种方法,即“线面垂直,则线线平行”,它揭示了“平行”与“垂直”的内在联系.面面垂直的性质定理则揭示了线面垂直与面面垂直的内在联系.疑难突破1.请思考线面垂直的实质是什么,直线与平面垂直的性质定理与“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面”有什么联系?剖析:直线和平面的垂直实质上取决于线与线的垂直,反过来,线面的垂直又得到线线的垂直,这是线面垂直的实质.对于垂直于同一平面的两条直线,我们有性质定理:垂直于同一平面的两条直线平行.它与“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面”相互结合,在证明线面垂直的问题中发挥着重要作用.直线与平面垂直的性质定理,考查的是在直线与平面垂直的条件下,可以得出哪些结论.它与“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面”互为逆命题.这两个命题可用符号表示为:当a⊥α时,a∥b b⊥α.2.两个平面垂直有什么性质？剖析:两个平面垂直的性质有:(1)性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直;(2)两个平面垂直,则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.其中性质定理成立要有两个条件:一是线在面内,二是线垂直于交线,才能线面垂直,这一定理也可简述为“面面垂直,则线面垂直”,它反映了面面垂直与线面垂直的密切关系;对于第二条性质,只要在其中一个平面内通过一点作另一平面的垂线,那么这条垂线必在这个平面内.对点的位置,它既可以在交线上,也可以不在交线上.平面与平面垂直的性质,讨论的是在两个平面相互垂直的条件下,能够得出一些什么结论.这个问题的过程采用的思路自然是“直观感知、操作确认、推理证明”,即充分利用长方体等实物模型感知在相邻的两个相互垂直的平面中,有哪些特殊的直线、平面的关系,然后通过操作,确认两个平面垂直的性质定理的合理化,进而提出猜想,最后进行逻辑推理,证明性质定理成立.沿用这一模式,对培养空间观念、空间想象能力以及逻辑推理能力的基本规律的认识是有益的.精心校对。

直线与平面的垂直关系直线与平面是几何学中常见的基本要素，它们之间的垂直关系在许多数学和物理问题中都扮演着重要的角色。

本文将就直线与平面的垂直关系展开论述，探讨其定义、性质以及应用。

定义直线与平面的垂直关系指的是，直线与平面之间的夹角为90度。

换言之，直线与平面的方向垂直于平面。

通过这一定义，我们可以进一步探索直线与平面的垂直关系的性质及推论。

性质一：垂直的直线和平面的方向向量互相垂直。

对于给定平面内的直线和平面的法向量，如果直线和平面相互垂直，那么直线的方向向量与平面的法向量是互相垂直的关系。

这是因为直线的方向向量表示其在平面内的方向，而平面的法向量表示其垂直于平面的方向，两者垂直即满足垂直关系。

性质二：直线与平面的两个方向向量共线。

当直线与平面相互垂直时，直线的方向向量与平面内的任意一个方向向量共线。

这是因为平面内的任意一个向量可以表示为该平面的两个方向向量的线性组合，而直线的方向向量与平面垂直，因此直线的方向向量与平面内的任意一个方向向量共线。

性质三：直线与平面的两个相交线垂直于平面。

当直线与平面相互垂直时，直线与平面的任意两个相交线都垂直于平面。

这是因为两个相交线可以视为平面的两个方向向量，而根据性质二，直线的方向向量与平面内的方向向量共线，因此相交线与平面垂直。

应用直线与平面的垂直关系在几何学和物理学中有广泛的应用。

1. 直线与平面的相交关系：当一条直线与平面相交时，如果该直线与平面垂直，则它们的交点是平面上到直线最短的距离。

这一性质在计算几何中经常被应用，例如在寻找最短距离或最佳路径等问题中。

2. 投影：平面上的点在直线上的投影可以通过利用垂直关系来解决。

根据直线与平面垂直的定义，我们可以通过该定义计算点在直线上的投影坐标，从而在几何建模、计算机图形学等领域中起到重要作用。

3. 空间几何关系：直线与平面的垂直关系在研究三维空间中的几何关系时扮演着重要角色。

例如，在三维坐标系中，直线与坐标平面的垂直关系可以帮助我们求解直线与平面的交点、判断直线是否与平面平行等问题。

直线方向向量与平面法向量的关系直线方向向量与平面法向量的关系直线和平面是几何中重要的概念，它们的性质及关系在计算几何和分析几何中都有广泛的应用。

在研究直线和平面的性质时，经常需要掌握直线方向向量和平面法向量的关系。

下面将从几何角度阐述它们的关系，希望能够帮助大家理解。

一、直线的方向向量通过两点可确定一个直线，其中的向量称为该直线的方向向量。

方向向量的模表示该向量长度，在几何中也称为线段长度或距离，方向向量的方向表示直线的方向。

二、平面的法向量平面是一个有无数个点组成的二维平面，其法向量表示平面的法线方向。

在三维空间中，一个平面有且只有一个法向量。

平面法向量和法线的概念相似，但是区别在于，平面法向量只考虑向量的方向而不考虑长度。

三、直线与平面的关系1. 垂直关系当直线的方向向量和平面的法向量互相垂直时，称直线与平面垂直。

此时，平面的法向量与直线上任一向量的内积等于零，即法向量与直线上的向量垂直。

垂直关系是直线和平面的特殊关系，它在计算几何和物理中都有很多应用。

2. 平行关系当直线的方向向量与平面的法向量平行时，称直线与平面平行。

此时，平面的法向量与直线上的向量的内积等于零，即法向量与直线上的向量平行或反平行。

平行关系也是直线和平面的特殊关系之一，它在计算几何和工程中也很重要。

3. 斜交关系当直线的方向向量与平面的法向量既不垂直也不平行时，称直线与平面斜交。

此时，直线上的向量不能表示为平面法向量的倍数，也不能表示为平面任何二维向量的线性组合。

总之，直线方向向量与平面法向量的关系是几何中一个重要问题，它不仅涉及到几何，也与计算几何、物理、工程等学科有着深刻的关联。

有了对这一关系的深入理解，可以更好地掌握相关知识，并且应用到实际问题中去。

第2课时空间向量与垂直关系学习目标核心素养1．能用向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系．(重点)2．掌握用向量方法证明有关空间垂直关系的方法步骤．(重点、难点)借助应用向量证明线面垂直和面面垂直的学习，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养．线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0线面垂直设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝k u⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0思考：若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？[提示]垂直．1．若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则() A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交B[∵n＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α．]2．设直线l的方向向量u＝(－2,2，t)，平面α的一个法向量v＝(6，－6,12)，若直线l ⊥平面α，则实数t 等于( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2B [因为直线l ⊥平面α，所以u ∥v ，则－26＝2－6＝t 12，解得t ＝－4，故选B ．] 3．若直线l 1的方向向量为u 1＝(1,3,2)，直线l 2上有两点A (1,0，1)，B (2，－1,2)，则两直线的位置关系是______．l 1⊥l 2[AB →＝(1，－1,1)，u 1·AB →＝1×1－3×1＋2×1＝0，因此l 1⊥l 2．]4．已知两平面α，β的法向量分别为u 1＝(1,0,1)，u 2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________．α⊥β[u 1·u 2＝0，则α⊥β．]用向量方法处理线线垂直问题AB 上一点M ，满足CM ⊥AB ，则点M 的坐标为________．(2)如图，△ABC 中，AC ＝BC ，D 为AB 边中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 在CD 上，求证：AB ⊥PC ．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，1[设M (x ，y ，z )，又AB →＝(－1,1,0)， AM →＝(x ，y ，z －1)，CM →＝(x －1，y －2，z ＋3)，由点M 在直线AB 上得AB →与AM →共线，AM →＝λAB →，即x ＝－λ，y ＝λ，z －1＝0，又CM ⊥AB ，向量CM →与向量AB →的数量积为0，即CM →·AB →＝0，得－(x －1)＋(y －2)＝0，联立得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＋y －2＝0，x ＝－y ，z －1＝0，所以x ＝－12，y ＝12，z ＝1，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，1．] (2)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，OP →＝v ．由条件知，v 是平面ABC 的法向量，所以v ·a ＝0，v ·b ＝0，因为D 为AB 中点，所以CD →＝12(a ＋b )，因为O 在CD 上，所以存在实数λ，使CO →＝λCD →＝λ2(a ＋b )．因为CA ＝CB ，所以|a |＝|b |，所以AB →·CP →＝(b －a )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ2(a ＋b )＋v ＝λ2(a ＋b )·(b －a )＋(b －a )·v＝λ2(|b |2－|a |2)＋b ·v －a ·v ＝0，所以AB →⊥CP →，所以AB ⊥PC ．利用向量方法证明线线垂直，其思路是证明两条直线的方向向量互相垂直，具体方法有以下两种：(1)坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两直线方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直；(2)基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合图形，将两直线所在的向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直.[跟进训练]1．如图，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1．求证：AB 1⊥MN ．[证明] 设AB 中点为O ，作OO 1∥AA 1．以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OO 1所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ．由已知得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0， N ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，14，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1， ∵M 为BC 中点，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，0． ∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，14，AB 1→＝(1,0,1)， ∴MN →·AB 1→＝－14＋0＋14＝0．∴MN →⊥AB 1→，∴AB 1⊥MN ．应用向量法证明线面垂直111CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD ．思路探究：法一：通过证明AB 1→⊥BA 1→，AB 1→⊥BD →，得到AB 1⊥BA 1，AB 1⊥BD法二：证明AB 1→与平面A 1BD 的法向量平行．[证明]法一：如图所示，取BC 的中点O ，连接AO ．因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC ．因为在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，所以AO ⊥平面BCC 1B 1．取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，以OB →，OO 1→，OA →分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，D (－1,1,0)，A 1(0,2，3)，A (0，0，3)，B 1(1,2,0)．所以AB 1→＝(1,2，－3)，BA 1→＝(－1,2，3)，BD →＝(－2,1,0)．因为AB 1→·BA 1→＝1×(－1)＋2×2＋(－3)×3＝0．AB 1→·BD →＝1×(－2)＋2×1＋(－3)×0＝0．所以AB 1→⊥BA 1→，AB 1→⊥BD →，即AB 1⊥BA 1，AB 1⊥BD ．又因为BA 1∩BD ＝B ，所以AB 1⊥平面A 1BD ．法二：建系同方法一．设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ⊥BA 1→n ⊥BD →，即⎩⎨⎧ n ·BA 1→＝－x ＋2y ＋3z ＝0，n ·BD →＝－2x ＋y ＝0，令x ＝1得平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1,2，－3)，又AB 1→＝(1,2，－3)，所以n ＝AB 1→，即AB 1→∥n ．所以AB 1⊥平面A 1BD ．本例中增加条件：E ，F 分别是BC ，BB 1的中点，求证：EF ⊥平面ADE ．[证明] 如图，建立空间直角坐标系，则A (0,0，3)，D (－1,1,0)，E (0,0,0)，F (1,1,0)，所以EA →＝(0,0，3)，ED →＝(－1,1,0)，EF →＝(1,1,0)．所以EF →·EA →＝1×0＋1×0＋0×3＝0，EF →·ED →＝1×(－1)＋1×1＋0×0＝0．所以EF →⊥EA →，EF →⊥ED →，即EF ⊥EA ，EF ⊥ED ，又因为EA ∩ED ＝E ，所以EF ⊥平面ADE ．1．坐标法证明线面垂直有两种思路法一：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0．法二：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．2．使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用法二，否则常常选用法一解决． 应用向量法证明面面垂直【例3】 如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，证明：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C ．思路探究：要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n 1，n 2，证明n 1·n 2＝0．[解]由题意得AB ，BC ，B 1B 两两垂直．以B 为原点，BA ，BC ，BB 1分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12， 则AA 1→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1→＝(－2,2,1)，AE →＝－2,0，12．设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)．则⎩⎨⎧ n 1·AA 1→＝0，n 1·AC →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0，－2x 1＋2y 1＝0. 令x 1＝1，得y 1＝1．∴n 1＝(1,1,0)．设平面AEC 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．则⎩⎨⎧ n 2·AC 1→＝0，n 2·AE →＝0⇒⎩⎨⎧ －2x 2＋2y 2＋z 2＝0，－2x 2＋12z 2＝0，令z 2＝4，得x 2＝1，y 2＝－1．∴n 2＝(1，－1,4)．∵n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0．∴n 1⊥n 2，∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C ．1．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．2．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．[跟进训练]2．三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为三角形A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，A 1A ⊥平面ABC ．A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 中点．证明：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1．[证明]如图，建立空间直角坐标系．则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0，2,0)， A 1(0,0，3)，C 1(0,1，3)，因为D 为BC 的中点，所以D 点坐标为(1,1,0)，所以BC →＝(－2,2,0)，AD →＝(1,1,0)，AA 1→＝(0,0，3)，因为BC →·AD →＝－2＋2＋0＝0，BC →·AA 1→＝0＋0＋0＝0，所以BC →⊥AD →，BC →⊥AA 1→，所以BC ⊥AD ，BC ⊥AA 1，又AD ∩AA 1＝A ，所以BC ⊥平面ADA 1，而BC ⊂平面BCC 1B 1，所以平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1．空间垂直关系的解决策略直线l 与平面α的位置关系是( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．直线l 与平面α相交但不垂直D ．无法确定B [∵μ＝14a ．∴μ∥a ，∴l ⊥α．]2．已知AB →＝(2,2,1)，AC →＝(4,5,3)，则平面ABC 的一个单位法向量为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－23，－23 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，－23 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，23 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，23 B [设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＋z ＝0，4x ＋5y ＋3z ＝0，取x ＝1，则y ＝－2，z ＝2．所以n ＝(1，－2,2)．由于|n |＝3，所以平面ABC 的一个单位法向量可以是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，－23．] 3．下列命题中：①若u ，v 分别是两个不同的平面α，β的法向量，则u ∥v ⇒α∥β；②若u ，v 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇒u ∥v ；③若u 是平面α的法向量且向量a 与α共面，则u ·a ＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．其中正确的命题序号是________．①②③④[①正确；②正确；∵u ⊥α，a 所在直线与平面α平行或在平面α内， ∴u ⊥a ．∴u ·a ＝0，③正确；④正确．]4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，证明：平面B 1ED ⊥平面B 1BD ．[证明]以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，DB 1→＝(1,1,1)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，设平面B 1DE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝0且y ＋12z ＝0，令z ＝－2，则y ＝1，x ＝1，∴n 1＝(1,1，－2)．同理求得平面B 1BD 的法向量为n 2＝(1，－1,0)，由n 1·n 2＝0，知n 1⊥n 2，∴平面B 1DE ⊥平面B 1BD ．。