高中数学与椭圆有关的最值问题

椭圆中的最值问题与定点、定值问题解决与椭圆有关的最值问题的常用方法 （1）利用定义转化为几何问题处理；（2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解； （3）利用函数最值得探求方法，将其转化为区间上的二次 函数的最值来处理，此时应注意椭圆中x 、y 的取值范围；（4）利用三角替代（换元法）转化为 三角函数的最值问题处理。

一 、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题 椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径，椭圆上一动点与长轴的两端点重合时，动点与焦点取得最大值a+c （远日点）、最小值a -c （近日点）。

推导：设点),(00y x P 为椭圆)0( 12222>>=+b a by a x 上的任意一点，左焦点为)0,(1c F -，2201)(||y c x PF ++=，由 1220220=+b y a x 得)1(22020ax b y -=，将其代入 20201)(||y c x PF ++=并化简得a x acPF +=01||。

所以，当点),(00y x P 为长轴的右端点)0,(2a A 重合时，a c a a acPF +=+⋅=max 1||；当点),(00y x P 为长轴的左端点)0,(1a A -重合时。

c a a a acPF -=+-⋅=)(||min 1。

当焦点为右焦点)0,(2c F 时，可类似推出。

1. （2015浙江卷）如图，已知椭圆 1222=+y x 上两个 不同的点A 、B 关于直线21+=mx y 对称。

（1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）。

解：（1）由题意知0≠m ，可设直线AB 的方程为b x my +-=1。

联立⎪⎩⎪⎨⎧+-==+bx m y y x 11222，消y 去，得012)121(222=-+-+b x m b x m 。

因为直线b x my +-=1与椭圆 1222=+y x 有两个不同的交点， 所以042222>++-=∆m b 。

椭圆的标准方程：利用椭圆的定义求最值一、教学目标：1、知识与技能：掌握利用定义求椭圆中的最值方法；2、过程与方法：由椭圆的定义与标准方程出发，培养学生分析探索能力，熟练掌握利用定义求椭圆中的最值方法；3、情感、态度与价值观：通过求椭圆标准方程的学习，渗透概念与数形结合的思想，启发学生研究问题时，抓住问题本质，严谨思考，规范得出解答；培养学生自主学习能力；4、高考导向：①《普通高中数学课程标准（2017年版）》第44页：经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质；②《普通高中数学课程标准（2017年版）》第45页：【学业要求】：能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程：根据具体问题情境的特点，建立平面直角坐标系；根据几何问题和图形特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题；根据对几何问题（图形）的分析，探索解决问题的思路；运用代数方法得到结论；给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题。

二、重点与难点：1、重点：利用定义求最值；2、难点：掌握方法并灵活应用。

三、教学过程（一）课前热身：1、（原创）已知点P 是椭圆13610022=+y x 上任意一点，21,F F 是该椭圆的左、右焦点。

则21PF PF ⋅的最大值是 。

28251664),,8(),,8(,25936),0,8(),0,8(),,(122221212221-=+-=⋅--=---=-=-x y x PF PF y x PF y x PF x y F F y x P 则：设任意点解析：法 .36.361028010102121故：最大值是有最大值是时，；当有最小值是时，当PF PF x PF PF x x ⋅±=⋅=∴≤≤- .363628cos 64281cos 01cos 128cos 6464sin 36cos 100sin 36)8cos 10)(8cos 10().sin 6,8cos 10(),sin 6,8cos 10)0,8(),0,8(),)(sin 6,cos 10((22122222221212121的最大值是（则三角代换法）：设点法PF PF P F P F PF PF P F P F F F R P ⋅∴≤-≤-∴≤≤⇒≤≤--=-+=+-+=⋅=⋅∴-=+=-∈θθθθθθθθθθθθθθθθ（二）利用椭圆的定义求最值 类型一： 的最大值。

浅议有关椭圆上动点最值问题的求解作者：陆卫杰来源：《理科考试研究·高中》2014年第01期在学习椭圆简单几何性质的时候，大家都会学习到椭圆方程中的几何意义，它们分别表示了椭圆长轴，短轴的端点到椭圆中心的距离.但很少有人注意到这也是有关椭圆上动点的最值性质，它们表示了椭圆上动点到椭圆中心距离的最大值与最小值.从而，在解决有关椭圆上动点的最值问题时感到很困难.而如果我们在学习的时候能抓住这一性质的内涵，那么在解决有关椭圆上动点的最值问题时就显得游刃有余.下面，我们就来看看常见的椭圆上动点的最值问题与这一性质的联系.一、椭圆上的动点与平面内一定点距离的最值问题题1 已知P是椭圆x24+y23=1上的任意一点，O是坐标原点，则PO的最大值是，最小值是 .解析由椭圆的简单几何性质易得：PO的最大值是2，最小值是3.题2 已知P是椭圆x24+y23=1上的任意一点，A（1，0）是平面内一定点，求PA的最值.解析因为A是椭圆的右焦点，故当点P是椭圆的左顶点时，PA的最大值为3，当点P是椭圆的右顶点时，PA的最小值为1.题2将坐标原点变成了焦点，还是可以由椭圆的简单几何性质易得PA的最值，那如果将这两类特殊的点变成了椭圆坐标轴上的任意点呢？题3 已知P是椭圆x24+y23=1上的任意一点，A（14，0）是平面内一定点，求PA的最值.解析设P的坐标为（x，y），则x24+y23=1y2=3（1-x24），所以PA2=（x-14）2+y2=x2-12x+116+3（1-x24）=14x2-12x+4916=14（x-1）2+4516.因为-2≤x≤2，所以当x=-2时，PA取得最大值为94；当x=1时，PA取得最小值为354.题3将特殊点变成了非特殊点，此时没有椭圆的几何性质可以使用，我们就应牢牢抓住P 是椭圆上任意一点，而取得最值时的点P是椭圆上某个位置的点这一关系，先用坐标法表示出椭圆上任意的点到点A的距离，将此问题转化为函数的最值问题.以上3题将椭圆简单几何性质中a，b的意义进行了简单的变迁，在变迁的过程中比较完美地体现出了数形结合的数学思想.如果我们能抓住这一变迁思想，那我们就能较为轻松地解决以下两类相关的最值问题.二、椭圆上的动点到直线距离的最值问题题4 已知P（x，y）是椭圆x24+y23=1上的任意一点，求P到直线l∶3x+4y=25的最值.解析一作与直线l平行的直线m∶3x+4y=t （t≠25），由3x+4y=t，x24+y23=1消去y得21x2-6tx+t2-48=0.由Δ=36t2-84（t2-48）=0得t=±221，直线m与直线l的距离是25±2215.所以P到直线l：3x+4y=25距离的最大值是25+2215，最小值是25-2215.解析二令x=2cosθ，y=3sinθ，θ∈R，则P到直线l：3x+4y=25的距离d=|6cosθ+43sinθ-25|5=|221sin（θ+α）-25|5=25-221sin（θ+α）5 （其中sinα=321，cosα=2321）.所以d的最大值为25+2215，最小值为25-2215.因此P到直线l：3x+4y=25的最大值是25+2215，P到直线l：3x+4y=25的最小值是25-2215.题4将椭圆上动点到定点的距离最值问题转变为了椭圆上的动点到定直线的距离最值问题.解析一从几何法（把点到直线的距离转化成两平行线间的距离），解析二从代数法（三角换元）两个不同的角度进行了分析与求解.题5 已知P（x，y）是椭圆x24+y23=1上的任意一点，求3x+4y的最值.解析一令3x+4y=t，由3x+4y=t，x24+y23=1消去y得：21x2-6tx+t2-48=0，Δ=36t2-84（t2-48）=0，得t=±221，所以3x+4y 的最大值是221，3x+4y的最小值是-221.解析二令x=2cosθ，y=3sinθ，θ∈R，则3x+4y=6cosθ+43sinθ=221sin（θ+α）（其中sinα=321，cosα=2321）.所以3x+4y的最大值是221，3x+4y的最小值是-221.此题是题4的变迁，是将题4中的定直线进一步变迁为动直线.题6 已知P（x，y）是椭圆x24+y23=1上的任意一点，求yx+6的最值.解析 yx+6的几何意义是椭圆x24+y23=1上的点P与定点（-6，0）连线的斜率.故本题求的是过定点（-6，0）且与椭圆x24+y23=1有公共点的直线斜率的最值.由题意可得，直线的斜率一定存在，设过定点（-6，0）且与椭圆x24+y23=1有公共点的直线方程为y=k（x+6）（k∈R），由y=k（x+6），x24+y23=1消去y得（3+4k2）x2+48k2x+144k2-12=0.，Δ=（48k2）2-4（3+4k2）（144k2-12）≥0 得-68≤k≤68.所以，yx+6的最大值为68，最小值为-68.此题是题5的一种变迁，将题5中定斜率的动直线变成了过定点的动直线.三、椭圆上的动点到定点与焦点的距离问题题7 已知F1，F2是椭圆x24+y23=1的左右焦点，P是椭圆上的任意一点，A（1，2）是平面内一定点，求PA+PF1的最小值.解析因为14+43>1，所以，点A在椭圆外.连结F1A，F1A与椭圆的交点即是所求的P点.因此，PA+PF1的最小值为F1A=（1+1）2+22=22.题8 已知F1，F2是椭圆x24+y23=1的左右焦点，P是椭圆上的任意一点，A（1，1）是平面内一定点，求PA+PF1的最值.解析因为14+43题7与题8两题看似无差别，但我们发现两题的解析截然不同，题8利用了椭圆的定义将，PF1转化成了PF2.所以，在解决椭圆上的动点到定点的距离与焦点距离之和的最小值问题时，首先要判断点与椭圆的位置关系. 题9 已知F1，F2是椭圆x24+y23=1的左右焦点，P是椭圆上的任意一点，A（1，1）是平面内一定点，求PA+2PF1的最小值.解析作PD垂直于椭圆的左准线x=-4，垂足为D.则PF1PD=12，即2PF1=PD，所以PA+2PF1=PA+PD.故当A，P，D三点共线时PA+2PD取最小值.作AH垂直于椭圆的左准线x=-4，垂足为H.因此，PA+2PF1=PA+PD≥AH=5，因而PA+2PF1的最小值为5.题9将椭圆上的动点到焦点的距离前添加了一个特殊的系数（离心率的倒数），巧用圆锥曲线的统一定义进行转化.通过以上的三类有关椭圆上动点的最值问题，我们不难发现这些都是从椭圆的几何性质出发，通过点与线，定量与不定量之间的相互转化，逐步演变出了三类最值问题.如果我们抓住了几何性质的内在含义并学会变化，那么我们就能轻松解决有关椭圆上动点的最值问题.当然，我们在掌握了如何求解有关椭圆上动点的最值问题的同时，如能熟练地利用椭圆的这一几何性质求解其余的问题，那么，我们对性质的理解就能更上一层楼.最后，用一例来说明熟练利用性质解题的重要性.题10 已知F1，F2是椭圆x2a2+y2b2=1的左右焦点，P是椭圆上的一点且满足PF1PF2=e，则椭圆的离心率的取值范围是 .解析因为PF1PF2=e，PF1+PF2=2a，故，PF1=2ae1+e.又因为a-c≤PF1≤a+c，得2ae1+e≥a-c，2ae1+e≤a+c，解得e≤-1-2或e≥-1+2.又因为0。

椭圆是一种重要的圆锥曲线，与椭圆有关的最值问题在高中数学试卷中比较常见，定义法是解答此类问题的重要方法.椭圆的定义除了第一定义，还有第二定义、第三定义.下面，我们重点谈一谈如何运用椭圆的这三个定义来解答与椭圆有关的最值问题.一、利用椭圆的第一定义求解椭圆的第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．在运用椭圆的第一定义解题时，要先确定两个定点的位置，然后建立关于动点M的关系式：MF1+MF2=2a.这样便可根据该关系式来寻找取得最小值的点M的位置，进而求得最值.例1.已知P()-2,3,F2为椭圆x225+y216=1的右焦点，点M在椭圆上移动.求MP+MF2的最大值和最小值.分析：所求的最值与MF2有关，可利用椭圆的第一定义建立关系式MF1+MF2=2a，将求MP+MF2的最值转化为求MP-MF1的最值，根据三角形三边之间的关系和性质便可求得问题的答案.解：如图1所示，连接PF1，延长PF1交椭圆于点M1，延长F1P交椭圆于点M2.由椭圆的第一定义知MF1+MF2=2a，所以MP+MF2=MP+2a-MF1，由三角形三边之间的关系知-PF1≤MP-MF1≤PF1，当且仅当M与图中M1合时取右边的等号，M与图中M2重合时取左边的等号.因为2a=10,PF1=2，所以MP+MF2的最大值为12,所以MP+MF2的最小值为8.图1一般地，若椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1,F2分别是椭圆的左右焦点，P()x0,y0为平面内的一个定点，M为椭圆上的任意一点，当定点在椭圆的内部时，2a-PF1≤MF2+MP≤2a+PF1；当定点在椭圆的外部时，PF2≤MF2+MP≤2a+PF1.二、利用椭圆的第二定义求解圆锥曲线的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离的比是e的点的轨迹.在运用椭圆的第二定义解题时，我们先要明确定点（即焦点F）和定直线（准线x=a2c）的位置，然后建立关于动点P(x0,y0)的关系式MP=e||||||x0-a2c，利用其关系或关系式来解题.例2.已知F1是椭圆5x2+9y2=45的左焦点，P是椭圆上动点，点A（1,1）是一个定点，求PA+32PF1的最小值.分析：明确题目中的数量关系后可以发现，所求目标中的32是椭圆离心率的倒数，联系第二定义：椭圆上的点到左焦点和到左准线的距离d之比为离心率e，可得PF1d=23，即d=32PF1，不难得到PA+32PF1=PA+d，所以PA+32PF1的最小值为椭圆上的P点到A点和到左准线的距离和的最小值，只需过点A，D作左准线的垂线即可.解：由题意可知，椭圆5x2+9y2=45的长半轴a=3，短半轴b=5，半焦距c=2，离心率e=23，右焦点F2()2,0,左准线x=-92.如图2所示，过点A，D作左准线的垂线,垂足为D1、D2.设P点到左准线的距离为d.由椭圆的第二定义可知PF1=ed，所以PA+32PF1=PA+32ed=PA+d，则PA+d的最小值就是点A到左准线x=-92的距离AD1=1+92=112,当且仅当点P在P1处PA+d取最小值，故PA+d的最小值为112.图2探索与研究颜琴55当与椭圆有关的最值问题涉及定点、定直线时，就要利用椭圆的第二定义，把与动点有关的最值问题转化为与定点、定直线之间的距离来求解.三、利用椭圆的第三定义求解椭圆的第三定义是指平面内动点到两定点A (a ,0)和B (-a ,0)的斜率的乘积等于常数e 2-1的点的轨迹.这也就是说，A ,B 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0上的两个顶点，P 是椭圆上异于A ,B 的一个动点，若k PA ,k PB 的斜率都存在，则k PA ∙k PB =e 2-1=-b 2a2.运用椭圆的第三定义，可以快速找到过椭圆上两个顶点的直线的斜率之间的关系.例3.已知椭圆C ：x 2a 2+y2b2=1()a >b >0的长轴长，短轴长和焦距成等差数列，若A ，B 是椭圆长轴的两个端点，M ,N 是关于x 轴对称的两点，直线AM ,BN 的斜率分别是k 1,k 2（k 1∙k 2≠0），则||k 1+||k 2的最小值为_______.分析：由长轴长、短轴长和焦距成之间的关系得到椭圆的离心率，由A ，B ，M ，N 的位置可联想到椭圆的第三定义，求得k 1∙k 2的值，再利用基本不等式就可以使问题得解.解：由椭圆的长轴长，短轴长和焦距成等差数列，得2a +2c =4b ，又b 2=a 2-c 2，可得e =c a =35，由椭圆的第三定义可得k 1∙k 2=e 2-1=-1625，而M ,N 是关于x 轴对称的两点，则k 1=-k 2，可得k 1∙k 2=1625，所以||k 1+||k 2≥2k 1k 2=85，当且仅当k 1=k 2时取等号.由以上几个题目可以看出，与椭圆有关的最值问题一般都会涉及椭圆上的定点、定直线.如果问题中的定点为焦点，就要考虑利用椭圆的第一定义来解题；如果问题中涉及的定点、定直线分别为焦点、准线，就要考虑用椭圆的第二定义来解题；如果问题中涉及了椭圆的顶点以及过顶点的直线的斜率，就要考虑采用椭圆的第三定义解题.（作者单位：江西省余干第一中学）探索与研究在学习中，我们经常会遇到抽象函数问题，此类问题一般侧重于考查同学们的直观想象能力和抽象思维能力.抽象函数一般没有具体的函数解析式，与x a 、sin x ()cos x 、ln x 、e x 的乘积构成的函数解析式也不明确，我们很难快速解出.而运用构造法，借助构造的新函数的性质、图象，则能快速破解此类问题.例1.已知定义在R 上的函数f ()x 为奇函数，当x ≤0时，恒有xf ′(x )≥3f ()-x ，则不等式8xf ()2x >()1-3x 3x 2f ()1-3x 的解集为_____.解：∵f ()x 是定义在R 上的奇函数，∴f ()-x =-f ()x ，当x ≤0时，由xf ′()x ≥3f ()-x 可得x 3f ′()x +f ()x ≥0，令g ()x =x 3f ()x ，∴当x ≤0时，g '()x =2x 2f ()x +x 3f ′()x =3x 2éëùûf ()x +x 3f '()x ≥0，∴g ()x 在(]-∞,0上单调递增，∵g ()-x =-x 3f ()-x =x 3f ()x =g ()x ，g ()x 是偶函数，∴g ()x 在[)0,+∞上单调递减，不等式8xf ()2x >()1-3x 3x2f ()1-3x 等价于8x 3f ()2x >()1-3x 3f ()1-3x ，即g ()2x >g ()1-3x ，等价于||2x <||1-3x ，解得x ＜15或x ＞1，∴不等式的解集为æèöø-∞,15⋃()1,+∞.56。

1根据两点距离公式，利用椭圆方程，借助代入消元法，消去其中一个变量，得到椭圆上点到坐标轴上点的距离关于变量的函数表达式，将点点之间距离的最值问题转化成常见函数——二次函数的最值问题进行求解。

先看例题： 例：已知椭圆1203622=+y x ，求椭圆上的点到点(2,0)M 的距离d 的最小值。

解：设椭圆上的点(x ,y )到点M 的距离d由两点间距离公式：222(2)d x y =-+, 由椭圆方程，可知2220(136x y =- 代入上式有 22225494420()15992d x x x x =-++-=-+ ∴当x =29时,d 取得最小值15注意：椭圆上的点x 取值范围为66x -≤≤，所以x =29可以取到，所以才可以取到距离最小值。

归纳整理： 焦点在x 轴上的椭圆x a y ba b 222210+=>>()上任一点(),P x y ，2(),0M m ，（点在x 轴上） 2222222||()()(1)x PM x m y x m b a =-+=-+- ()0,N n ， （点在y 轴上）2222222||()(1)()y PN x y n a y n b =+-=-+-两点距离的最值问题转化成二次函数的最值问题进行求解， 注意变量,x y 的取值范围，a x a -≤≤；b y b -≤≤．焦点在y 轴上的椭圆()222210y x a b a b+=>>类似处理。

再看一个例题，加深印象例：设P 、Q 分别为22(6)2x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则P 、Q 两点间的最大距离是A. B.246+ C.27+ D.26解：先求椭圆上的点(x ，y )到圆心（0，6）的最大距离229()50523yP、Q 两点间的最大距离是P 到圆心的最大距离再加半径：即为=3总结：1.根据椭圆不同形式的标准方程及两点距离公式，写出椭圆上点到坐标轴上点的距离关于变量x 或y 的函数表达式。

教学设计：《椭圆的第二定义解一类最值问题》课程分析：本节是在学习了椭圆的第一定义、第二定义及其简单的几何性质的基础上，学习椭圆的第二定义的灵活应用，因此，本节是本章的重点、难点。

学情分析：学生已经学习了椭圆的概念及其简单的性质，有一定的探究基础和思维，但是，最值问题的求解思路、定义的灵活应用比较薄弱，导致本节课灵活运用定义解决最值问题的思维存在障碍。

教学模式：诱思探究教学模式。

设计理念：根据诱思探究学科教学理论中提出的学习方式设计的教学过程，教学设计应遵循“探究－研究－运用”亦即“观察－思维－迁移”的三个层次的要素，侧重学生的“思”、“探”、“究”的自主学习。

教师的“诱”要在点上，在精不用多，让学生动脑思和究，动手探，自主探究，发现规律，探讨解法。

整个教学过程始终贯穿“体验为红线，思维为主攻”，学生的学习目的要达到“探索得资料，研究获本质”。

学习目标：1、知识目标：掌握椭圆的第二定义及其灵活应用。

2、智力目标：⑴理解椭圆的第二定义，掌握椭圆的灵活应用。

⑵最值问题的求解思路。

⑶培养学生分析、类比、归纳演绎等逻辑思维能力。

3、情感目标：通过诱思探究教学，使学生在享受成功喜悦的同时，体验数学美，激发他们的求知欲望，培养探究意识、探究意识、创新意识。

重点、难点：理解椭圆的第二定义，掌握椭圆的灵活应用。

教学流程：一、特例激疑例题：给定A（2，2），已知B是椭圆2212516x y+=上的动点，F是左焦点，当53AB BF+取最小值时，求B的坐标。

师：本题是1999年全国高中数学竞赛试题，分值20分。

（学生的情绪已开始被调起来了，看来此题来头不小，看他有什么变化。

）二、探究分析师：首先，作图分析，看看题目提供了哪些已知信息？生1：定点A（2，2），椭圆方程，点B在椭圆上，左焦点F（－3，0）。

师：其次，分析题目需要我们解决什么问题？“当53AB BF+取最小值时，求点B的坐标。

”表面上是点B的坐标，而实质上是如何使53AB BF+取得最小。

2021年高考数学考点：椭圆的最值问题一、已知椭圆的方程，求线段或线段和的最值例1. 已知椭圆上的一动点P和一定点，试求线段|PA|的最小值。

分析：如图1所示，P为椭圆上的点，则点P的坐标有一定的范围限制，因此，求线段|PA|的最小值时要对a进行讨论。

解：设点P(x，y)是椭圆上的一点，则由两点公式可知当，即时，x取，当，即时，x取，当，即时，，点评：这里字母a是常量，但是不知道它的具体值，因此要加以讨论，许多同学会忽视这一情况。

例2. 已知椭圆的左焦点为F，椭圆内有一个定点A(4，1)，P为椭圆上的任意一点，试求的最大值。

分析：如图2所示，设右焦点为C，式子|PF|+|PA|涉及到了焦半径|PF|，所以可利用椭圆的定义，将转化为，然后应用三角形中两边之和大于第三边这个性质求得最大值。

解：设椭圆的右焦点为C则(当点P在线段AC的延长线上时取“=”)，所以说明：由上述求解过程可知，椭圆上任一点P到椭圆内一定点A及一焦点F的距离之和存在最大值，这个最大值就等于长轴长加上这个定点到另一焦点的距离。

二. 利用椭圆的定义或几何性质求最值(取值范围)例3. 已知椭圆的长轴的两端点分别是A、B，若椭圆上有一点P，使得&ang;APB=120&deg;，求椭圆的离心率e的取值范围。

分析：要求离心率e的取值范围，根据条件建立等式，再根据椭圆上点的坐标的范围建立不等式求解。

解：由题设知设点，则有化简得由椭圆的几何性质知利用得，解得点评：当点P在椭圆上运动时，&ang;APB的大小也随之变化，且当点P在向短轴端点靠近时，&ang;APB逐渐增长，当点P为椭圆短轴端点时，&ang;APB达到最大。

因此，只要长轴关于短轴端点的张角大于或等于120&deg;，椭圆上就存在一点P，使&ang;ABP=120&deg;。

练一练：直线总有公共点，试求m的取值范围。

答案：。

高中数学：椭圆相关角度的最值问题圆锥曲线中的最值问题主要包括长度最值、角度最值及面积最值等。

例题：如图1，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴的长为4，左准线与x轴的交点为M，。

（1）求椭圆的方程；（2）若直线，P为上的动点，使最大的点P记为Q，求点Q的坐标（用m表示）。

图1解：（1）设椭圆方程为半焦距为c，则由题意，得解得故椭圆方程为（2）设当时，当时，所以只需求的最大值即可。

直线的斜率直线的斜率所以当且仅当时，最大。

所以最大值点Q的坐标为显然，第二问是考查和椭圆有关的角度最值问题，可联想椭圆中的两种特殊情况。

特殊情况（1）已知椭圆的两个焦点分别为，点P为左准线上任意一点，求的最大值。

图2解：如图2，设准线交x轴于点M则又所以（其中）于是（当且仅当时等号成立）故的最大值为此时点P的坐标为同理，当点P在右准线时的最大值不变，最小值均为0另外由可得，当椭圆的离心率e一定时，的最大值为定值；若给出的值时，可由求出椭圆的离心率e的范围。

（2）已知椭圆的两个顶点分别为，点P为左准线上任意一点，求的最大值。

图3可用与问题（1）类似的方法求解（如图3）：（当且仅当时等号成立。

）证明过程请自己完成。

推广及本质两种特殊情况分别研究了椭圆准线上任意一点P到两焦点、两顶点所得张角的最值问题，而例题是将准线推广到非准线位置，通过问题（1）的解决方法不难看出这类问题其实就是一个平面几何中的最值问题，如图4，A、B是直线同侧两定点，且直线，点P为直线上一动点，则∠APB有最大值。

使∠APB最大的点P有何几何意义呢？由于点A、B是定点，为定直线，我们不妨利用几何画板研究过三点A、B、P的圆，当点P在直线上运动时，过三点A、B、P的圆O与直线的关系是相交或相切，当圆O与直线相交时，（如图5），上总存在点Q在圆内且使∠AQB＞∠APB；当且仅当圆O与直线相切时（如图6），直线上除切点外，其余点均在圆O 外，由同弧上的圆周角与圆外角的大小关系可知，此时∠APB最大，切点即为所求。