数学建模 汽车保有量分析

2004 576124 371289 361323 210187 88809 2011 1132375 831899 981473 788623 160116
表1 2003-2015年沈阳市机动车保有量数据
年
全社会 私人机 民用机 机动车 动车 动车
载客 汽车
载货 汽车

年
全社会 私人机 民用机 机动车 动车 动车
载客 汽车
载货 汽车
2003 531532 349538 273613 185202 83916 2010 978857 707729 831759 653360 139829
A b s t r a c t ：With the continuous acceleration of social economization and urbanization, urban traffic problems have become increasingly prominent, and the number of urban motor vehicles has increased sharply, resulting in a series of traffic problems such as road congestion and atmospheric pollution. This paper first uses the multiple regression model to measure the factors that affect the number of motor vehicles in Shenyang, and then uses the GM（1，1）model to predict the value of the number of vehicles in Shenyang in the next 5 years, and predicts the 2016-2020 motor vehicle ownership of Shenyang through stepwise regression analysis.

N
其中 : Y( t) 为第 t 期的实际保有量 , y ( t) 为 模型预测的保有量 。 在此目标函数下 可以求出 3 个参数 ( m, a , b) 的具体值 。 本文以 SPSS13. 0 为计算工具 , 以 中国历年私人汽车保有量为模型数据 , 分别采用 不同的数据序列 , 用 NLS 分别估计 Logistic 模型的 参数 。 取 m 、 a 、 b 的 初 始 值 分 别 为 15000 ( 万 辆) 、 100 和 0. 5 进行迭代 , 迭代算法为经典的麦 夸特法 。 计算结果如表 2 所示 。
表 3 遗传算法的参数设置 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 参数类型 population size( 种群大小) Generations( 最大遗传代数) Time limit( 时限) Fitness limit( 适应度限) Stall generations( 停滞代数) Stall time limit( 停止时限) Pc( 交叉概率) Multation function( 变异函数) 参数设置 20 1000 ∞ 0. 005 ∞ ∞ 0. 8 Gaussian
[ 1]
集合模型基于效用最大化行为假设 , 以家庭或个 人作为决策单元建模 , 包括多项 Logit 模型 、 树状 Logit 模型 、 多项 Probit 模型等 , 多用于 短期动态 预测 。 相比之下 , 我国学者在这方面的研究仍处于 起步阶段 , 但也 有不少学者做 出了有益的工作 。 研究方向可分为两类 , 一类通过分析影响汽车需 求或保有量的各种因素 ( 如人均 GDP 、 城市化率 、 人均粗钢量 、 汽车价格 、 公路总量) 进而采用各 种回归模型预测未来汽车的发展趋势
min ∑[ Y( t)-y( t) ]

2022年数模国赛论文B题-2“互联网+”时代的出租车资源配置摘要关键词：主成分分析法、供求平衡阀法、对比比值法一、问题的重述二、问题分析三、模型的假设与符号说明1、模型假设2、符号说明四、模型建立与求解2.2.1指标体系的建立城市出租车合理运力规模万人拥有量里程利用率空载率居民出行量居民出行量乘客平均等乘客平均车时间等车时间1）万人拥有量:该项指标反映了城市出租车的客观需求。

依据国内外各大城市的经验,城市出租车万人拥有量应介于20-30辆之间,此时能表现出较好的市场接受度。

2）里程利用率:指出租车正常运营过程中一定时间内载客行驶里程占总行驶里程的百分比,其计算公式为:里程利用率=营运载客里程100%总行驶里程3）出租车空载率:是反映出租车营运状况的一个重要指标,其计算公式为:出租车空载率=出租车空车数量100%行驶中的出租车总量4）乘客平均等车时间:指乘客在选择出租车出行的时候等候出租车辆的平均时间,单位为min,其计算公式为:乘客平均等车时间=等车时间总候车次数5）居民出行量：指居民在单位时间内出行人数主成分分析法也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。

2、主成分分析法的算法步骤2.1原始指标数据的标准化设有n个样本,p项指标,可得数据矩阵某(某ij)n某p,i1,2,...,n 表示n个样本,j=1,2,...,p表示p个指标,某ij表示第i个样本的第j 项指标值.用Zcore法对数据进行标准化变换:Zij(某ij某j)/Sj式中,某j(某)/niji1nSj(某ij某j)21/(n1)2i1ni1,2,...,nj1,2,...,p2.2求指标数据的相关矩阵R(rjk)p某pj1,2,...,pk1,2,...,prjk为指标j与指标k的相关系数.1nrjk[(某ij某j)/Sj][(某ik某k)2/Sk]n1i11n即rjkZijZjk有rij1，rjkrkjn1i1i1,2,...,nj1,2,...,pk1,2,...,p2.3求相关矩阵R的特征根特征向量,确定主成分由特征方程式Ip,可求得的p个特征根g(g1,2,...,p),1将其按大小顺序排列为12p,它是主成分的方差,它的大小描述了各个主成分在描述对象上所起作用的大小。

的不确 定性 影响 ， 在 经 济 稳 定 增 长 期 间 可 以 作 为 短 期预 测方法 。
牟振 华等 （ ２ ０ ０ ９ ）运用人 工神经 网络 Ｂ Ｐ算 法 并 结 合 主 成 分 分 析 法 ，在 初 选 人 口等 ７个 影 响
（ 一 ）一 元 线 性 回 归 法
多 元 线 性 回 归 描 述 多 个 自变 量 和 一 个 因 变 量 之 间 关 系 。多元 回 归 算 法 是 汽 车 保 有 量 预 测 算
法 中被 采 用 最 为 广 泛 的 算 法 ，因 为 从 问题 描 述 中
薛佳平 等 （ ２ ０ １ ３ ）认 为 汽 车 保 有 量 主 要 与 经
来探索 变量 之 间的关系 的一类算 法 。 社 会 经 济 现 象 之 间 的 相 关 关 系 往 往 难 以 用 确 定 性 的 函 数 关
与 一 元 线 性 回 归 算 法 的预 测 一 样 ， 这 种 方 法 预测是 不够准确 的 。 （ 三 ） 多元 线 性 回 归 法
系 来 描 述 ，它 们 大 多 是 随 机 性 的 ，要 通 过 统 计 观 察 才 能 找 出 其 中 规 律 。回 归 算 法 是 利 用 统 计 学 原 理 描 述 随 机 变 量 问 相 关 关 系 的一 种 重 要 方 法 。
Ｌ ｏ ｇ ｉ ｓ ｔ ｉ Ｃ 模 型 主 要 用 来 预 测 离 散 因 变 量 和 组 自变 量 之 间 的关 系 ， 它 描 述 了概 率 与 自变 量
刘超 （ ２ ０ １ １ ） 在 对 各 种 算 法 进 行 了综 述 之 后 ，
么丽欣 等 （ ２ ０ １ ３ ） 选 取 了人 均 可 支 配 收 入 、
子 各 不 相 同 ，所 以预 测 结 果 也 是 差 异 很 大 。

线性代数建模案例汇编张小向东南大学数学系2012年6月目录案例一. 交通网络流量分析问题 (1)案例二. 配方问题 (4)案例三. 投入产出问题 (6)案例四. 平板的稳态温度分布问题 (8)案例五. CT图像的代数重建问题 (10)案例六. 平衡结构的梁受力计算 (12)案例七. 化学方程式配平问题 (15)案例八. 互付工资问题 (17)案例九. 平衡价格问题 (19)案例十. 电路设计问题 (21)案例十一. 平面图形的几何变换 (23)案例十二. 太空探测器轨道数据问题 (25)案例十三. 应用矩阵编制Hill密码 (26)案例十四. 显示器色彩制式转换问题 (28)案例十五. 人员流动问题 (30)案例十六. 金融公司支付基金的流动 (32)案例十七. 选举问题 (34)案例十八. 简单的种群增长问题 (35)案例十九. 一阶常系数线性齐次微分方程组的求解 (37)案例二十. 最值问题 (39)附录数学实验报告模板 (40)这里收集了二十个容易理解的案例. 和各类数学建模竞赛的题目相比, 这些案例确实显得过于简单. 但如果学生能通过这些案例加深对线性代数基本概念、理论和方法的理解, 培养数学建模的意识, 那么我们初步的目的也就达到了.案例一. 交通网络流量分析问题城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。

根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。

图1 某地交通实况图2 某城市单行线示意图【模型准备】某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(单位: 辆).图3 某城市单行线车流量(1) 建立确定每条道路流量的线性方程组.(2) 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪几条道路的流量统计? (3) 当x 4 = 350时, 确定x 1, x 2, x 3的值.(4) 若x 4 = 200, 则单行线应该如何改动才合理?【模型假设】 (1) 每条道路都是单行线. (2) 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等.【模型建立】 根据图3和上述假设, 在①, ②, ③, ④四个路口进出车辆数目分别满足500 = x 1 + x 2 ① 400 + x 1 = x 4 + 300 ② x 2 + x 3 = 100 + 200 ③ x 4 = x 3 + 300 ④ 【模型求解】根据上述等式可得如下线性方程组12142334500100300300x x x x x x x x +=⎧⎪-=-⎪⎨+=⎪⎪-+=⎩其增广矩阵(A , b ) =1100500100110001103000011300⎛⎫⎪--⎪⎪ ⎪-⎝⎭−−−−→初等行变换10011000101600001130000000--⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪⎪⎝⎭由此可得142434100600300x x x x x x -=-⎧⎪+=⎨⎪-=-⎩ 即142434100600300x x x x x x =-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩. 为了唯一确定未知流量, 只要增添x 4统计的值即可.当x 4 = 350时, 确定x 1 = 250, x 2 = 250, x 3 = 50.若x 4 = 200, 则x 1 = 100, x 2 = 400, x 3 = 100 < 0. 这表明单行线“③④”应该改为“③④”才合理.【模型分析】(1) 由(A , b )的行最简形可见, 上述方程组中的最后一个方程是多余的. 这意味着最后一个方程中的数据“300”可以不用统计.(2) 由142434100600300x x x x x x =-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩可得213141500200100x x x x x x =-+⎧⎪=-⎨⎪=+⎩, 123242500300600x x x x x x =-+⎧⎪=-+⎨⎪=-+⎩, 132343200300300x x x x x x =+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩, 这就是说x 1, x 2, x 3, x 4这四个未知量中, 任意一个未知量的值统计出来之后都可以确定出其他三个未知量的值.参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 16-17.Matlab 实验题某城市有下图所示的交通图, 每条道路都是单行线, 需要调查每条道路每小时的车流量. 图中的数字表示该条路段的车流数. 如果每个交叉路口进入和离开图4 某城市单行线车流量(1)建立确定每条道路流量的线性方程组. (2)分析哪些流量数据是多余的.(3)为了唯一确定未知流量, 需要增添哪几条道路的流量统计.案例二. 配方问题在化工、医药、日常膳食等方面都经常涉及到配方问题. 在不考虑各种成分之间可能发生某些化学反应时, 配方问题可以用向量和线性方程组来建模.图5 日常膳食搭配图6 几种常见的作料【模型准备】一种佐料由四种原料A、B、C、D混合而成. 这种佐料现有两种规格, 这两种规格的佐料中, 四种原料的比例分别为2:3:1:1和1:2:1:2. 现在需要四种原料的比例为4:7:3:5的第三种规格的佐料. 问: 第三种规格的佐料能否由前两种规格的佐料按一定比例配制而成?【模型假设】(1) 假设四种原料混合在一起时不发生化学变化. (2) 假设四种原料的比例是按重量计算的. (3) 假设前两种规格的佐料分装成袋, 比如说第一种规格的佐料每袋净重7克(其中A、B、C、D四种原料分别为2克, 3克, 1克, 1克), 第二种规格的佐料每袋净重6克(其中A、B、C、D四种原料分别为1克, 2克, 1克, 2克).【模型建立】根据已知数据和上述假设, 可以进一步假设将x袋第一种规格的佐料与y袋第二种规格的佐料混合在一起, 得到的混合物中A、B、C、D四种原料分别为4克, 7克, 3克, 5克, 则有以下线性方程组24,327,3,2 5.x yx yx yx y+=⎧⎪+=⎨+=⎪+=⎩【模型求解】上述线性方程组的增广矩阵(A, b) =214327113125⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭−−−−→初等行变换101012000000⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭,可见{1,2.x y==又因为第一种规格的佐料每袋净重7克, 第二种规格的佐料每袋净重6克, 所以第三种规格的佐料能由前两种规格的佐料按7:12的比例配制而成.【模型分析】(1) 若令α1 = (2, 3, 1, 1)T, α2 = (1, 2, 1, 1)T, β = (4, 7, 5, 3)T, 则原问题等价于“线性方程组Ax = b是否有解”, 也等价于“β能否由α1, α2线性表示”.(2) 若四种原料的比例是按体积计算的, 则还要考虑混合前后体积的关系(未必是简单的叠加), 因而最好还是先根据具体情况将体积比转换为重量比, 然后再按上述方法处理.(3) 上面的模型假设中的第三个假设只是起到简化运算的作用. 如果直接设x克第一种规格的佐料与y 克第二种规格的佐料混合得第三种规格的佐料, 则有下表因而有如下线性方程组214(),7619327(),7619113(),7619125().7619x y x y x y x y x y x y x y x y ⎧+=+⎪⎪⎪+=+⎪⎨⎪+=+⎪⎪⎪+=+⎪⎩ (*) 【模型检验】把x = 7, y = 12代入上述方程组(*), 则各等式都成立. 可见模型假设中的第三个假设不影响解的正确性.Matlab 实验题蛋白质、碳水化合物和脂肪是人体每日必须的三种营养, 但过量的脂肪摄入不利于健康.人们可以通过适量的运动来消耗多余的脂肪. 设三种食物(脱脂牛奶、大豆面粉、乳清)每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量以及慢跑5分钟消耗蛋白质、碳水化合物和脂肪的量如下表.问怎样安排饮食和运动才能实现每日的营养需求?案例三. 投入产出问题在研究多个经济部门之间的投入产出关系时, W. Leontief提出了投入产出模型. 这为经济学研究提供了强有力的手段. W. Leontief因此获得了1973年的Nobel经济学奖.图7 三个经济部门这里暂时只讨论一个简单的情形.【模型准备】某地有一座煤矿, 一个发电厂和一条铁路. 经成本核算, 每生产价值1元钱的煤需消耗0.3元的电; 为了把这1元钱的煤运出去需花费0.2元的运费; 每生产1元的电需0.6元的煤作燃料; 为了运行电厂的辅助设备需消耗本身0.1元的电, 还需要花费0.1元的运费; 作为铁路局, 每提供1元运费的运输需消耗0.5元的煤, 辅助设备要消耗0.1元的电. 现煤矿接到外地6万元煤的订货, 电厂有10万元电的外地需求, 问: 煤矿和电厂各生产多少才能满足需求?【模型假设】假设不考虑价格变动等其他因素.【模型建立】设煤矿, 电厂, 铁路分别产出x元, y元, z元刚好满足需求. 则有下表根据需求, 应该有(0.60.5)60000(0.30.10.1)100000(0.20.1)0x y zy x y zz x y-+=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩,即0.60.5600000.30.90.11000000.20.10x y zx y zx y z--=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩【模型求解】在Matlab命令窗口输入以下命令>> A = [1,-0.6,-0.5;-0.3,0.9,-0.1;-0.2,-0.1,1]; b = [60000;100000;0];>> x = A\bMatlab执行后得x =1.0e+005 *1.99661.84150.5835可见煤矿要生产1.9966⨯105元的煤, 电厂要生产1.8415⨯105元的电恰好满足需求.【模型分析】令x =xyz⎛⎫⎪⎪⎝⎭, A =00.60.50.30.10.10.20.10⎛⎫⎪⎪⎝⎭, b =60000100000⎛⎫⎪⎪⎝⎭, 其中x称为总产值列向量, A称为消耗系数矩阵, b称为最终产品向量, 则Ax =00.60.50.30.10.10.20.10⎛⎫⎪⎪⎝⎭xyz⎛⎫⎪⎪⎝⎭=0.60.50.30.10.10.20.1y zx y zx y+⎛⎫⎪++⎪+⎝⎭根据需求, 应该有x Ax = b, 即(E A)x = b. 故x = (E A )1b.Matlab实验题某乡镇有甲、乙、丙三个企业. 甲企业每生产1元的产品要消耗0.25元乙企业的产品和0.25元丙企业的产品. 乙企业每生产1元的产品要消耗0.65元甲企业的产品, 0.05元自产的产品和0.05元丙企业的产品. 丙企业每生产1元的产品要消耗0.5元甲企业的产品和0.1元乙企业的产品. 在一个生产周期内, 甲、乙、丙三个企业生产的产品价值分别为100万元, 120万元, 60万元, 同时各自的固定资产折旧分别为20万元, 5万元和5万元.(1) 求一个生产周期内这三个企业扣除消耗和折旧后的新创价值.(2) 如果这三个企业接到外来订单分别为50万元, 60万元, 40万元, 那么他们各生产多少才能满足需求?案例四. 平板的稳态温度分布问题在热传导的研究中, 一个重要的问题是确定一块平板的稳态温度分布. 根据…定律, 只要测定一块矩形平板四周的温度就可以确定平板上各点的温度.图8 一块平板的温度分布图【模型准备】如图9所示的平板代表一条金属梁的截面. 已知四周8个节点处的温度(单位°C), 求中间4个点处的温度T 1, T 2, T 3, T 4.图9 一块平板的温度分布图【模型假设】假设忽略垂直于该截面方向上的热传导, 并且每个节点的温度等于与它相邻的四个节点温度的平均值.【模型建立】根据已知条件和上述假设, 有如下线性方程组1232143144231(90100)41(8060)41(8060)41(5050)4T T T T T T T T T T T T ⎧=+++⎪⎪⎪=+++⎪⎨⎪=+++⎪⎪=+++⎪⎩ 【模型求解】将上述线性方程组整理得1231241342344190414041404100T T T T T T T T T T T T --=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-=⎪--+=⎪⎩. 在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4]; b = [190;140;140;100];>> x = A\b; x ’Matlab 执行后得ans =82.9167 70.8333 70.8333 60.4167可见T 1 = 82.9167, T 2 = 70.8333, T 3 = 70.8333, T 4 = 60.4167.参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 15-16.Matlab 实验题假定下图中的平板代表一条金属梁的截面, 并忽略垂直于该截面方向上的热传导. 已知平板内部有30个节点, 每个节点的温度近似等于与它相邻的四个节点温度的平均值. 设4条边界上的温度分别等于每位同学学号的后四位的5倍, 例如学号为16308209的同学计算本题时, 选择T l = 40, T u = 10, T r = 0, T d = 45.图10 一块平板的温度分布图(1) 建立可以确定平板内节点温度的线性方程组.(2) 用Matlab 软件求解该线性方程组.(3) 用Matlab 中的函数mesh 绘制三维平板温度分布图.案例五. CT 图像的代数重建问题X 射线透视可以得到3维对象在2维平面上的投影, CT 则通过不同角度的X射线得到3维对象的多个2维投影, 并以此重建对象内部的3维图像. 代数重建方法就是从这些2维投影出发, 通过求解超定线性方程组, 获得对象内部3维图像的方法.图11双层螺旋CT 图12 CT 图像 这里我们考虑一个更简单的模型, 从2维图像的1维投影重建原先的2维图像.一个长方形图像可以用一个横竖均匀划分的离散网格来覆盖, 每个网格对应一个像素, 它是该网格上各点像素的均值. 这样一个图像就可以用一个矩阵表示,其元素就是图像在一点的灰度值(黑白图像). 下面我们以33图像为例来说明.表4 消耗与产出情况33图像水平方向上 的叠加值x 1 + x 2 + x 3 = 1x 4 + x 5 + x 6 = 1x 7 + x 8 + x 9 = 1.5的叠加值x 1 + x 4 + x 7 = 1.5 x 2 + x 5 + x 8 = 0.5 x 3 + x 6 + x 9 = 1.5 每个网格中的数字x i 代表其灰度值, 范围在[0, 1]内. 0表示白色, 1表示黑色, 0.5表示灰色. 如果我们不知道网格中的数值, 只知道沿竖直方向和水平方向的叠加值, 为了确定网格中的灰度值, 可以建立线性方程组(含有6个方程, 9个未知数)123456369111x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪++=⎪⎩ 显然该方程组的解是不唯一的, 为了重建图像, 必须增加叠加值. 如我们增加从右上方到左下方的叠加值, 则方程组将增加5个方程x 1 = 1,x 2 + x 4 = 0,x 3 + x 5 + x 7 = 1,x 6 + x 8 = 0.5,x 9 = 1,和上面的6个方程放在一起构成一个含有11个方程, 9个未知数的线性方程组.【模型准备】设33图像中第一行3个点的灰度值依次为x 1, x 2, x 3, 第二行3个点的灰度值依次为x 4, x 5, x 6, 第三行3个点的灰度值依次为x 7, x 8, x 9. 沿竖直方向的叠加值依次为1.5, 0.5, 1.5, 沿水平方向的叠加值依次为1, 1, 1.5, 沿右上方到左下方的叠加值依次为1, 0, 1, 0.5, 1. 确定x 1, x 2, …, x 9的值.【模型建立】由已知条件可得(含有11个方程, 9个未知数的)线性方程组1234569111x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪=⎪⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,1,1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,1,1,0,0,0;0,0,0,0,0,0,1,1,1;1,0,0,1,0,0,1,0,0;0,1,0,0,1,0,0,1,0;0,0,1,0,0,1,0,0,1;1,0,0,0,0,0,0,0,0;0,1,0,1,0,0,0,0,0;0,0,1,0,1,0,1,0,0;0,0,0,0,0,1,0,1,0;0,0,0,0,0,0,0,0,1];>> b = [1;1;1.5;1.5;0.5;1.5;1;0;1;0.5;1];>> x = A\b; x ’Matlab 执行后得Warning: Rank deficient, rank = 8 tol = 4.2305e-015.ans =1.0000 0.0000 0 -0.0000 0.5000 0.5000 0.5000 -0.0000 1.0000可见上述方程组的解不唯一. 其中的一个特解为x 1 = 1, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 0.5, x 6 = 0.5, x 7 = 0.5, x 8 = 0, x 9 = 1.【模型分析】上述结果表明, 仅有三个方向上的叠加值还不够.可以再增加从左上方到右下方的叠加值. 在实际情况下, 由于测量误差, 上述线性方程组可能是超定的.这时可以将超定方程组的近似解作为重建的图像数据.Matlab 实验题给定一个33图像的2个方向上的灰度叠加值: 沿左上方到右下方的灰度叠加值依次为0.8, 1.2, 1.7, 0.2, 0.3; 沿右上方到左下方的灰度叠加值依次为0.6, 0.2,1.6, 1.2, 0.6.(1) 建立可以确定网格数据的线性方程组, 并用Matlab 求解.(2) 将网格数据乘以256, 再取整, 用Matlab 绘制该灰度图像.案例六. 平衡结构的梁受力计算在桥梁、房顶、铁塔等建筑结构中, 涉及到各种各样的梁. 对这些梁进行受力分析是设计师、工程师经常做的事情.图13埃菲尔铁塔全景图14 埃菲尔铁塔局部下面以双杆系统的受力分析为例, 说明如何研究梁上各铰接点处的受力情况. 【模型准备】在图15所示的双杆系统中, 已知杆1重G1 = 200牛顿, 长L1 = 2米, 与水平方向的夹角为1 = /6, 杆2重G2 = 100牛顿, 长L2= 米, 与水平方向的夹角为2 = /4. 三个铰接点A, B, C所在平面垂直于水平面. 求杆1, 杆2在铰接点处所受到的力.图15双杆系统【模型假设】假设两杆都是均匀的. 在铰接点处的受力情况如图16所示.【模型建立】对于杆1:水平方向受到的合力为零, 故N1 = N3,竖直方向受到的合力为零, 故N2 + N4 = G1,以点A为支点的合力矩为零, 故(L1sin1)N3 + (L1cos1)N4 = (12L1cos1)G1.图16 两杆受力情况对于杆2类似地有N5N6/6/4N 5 = N 7, N 6 = N 8 + G 2, (L 2sin 2)N 7 = (L 2cos 2)N 8 + (12L 2cos 2)G 2. 此外还有N 3 = N 7, N 4 = N 8. 于是将上述8个等式联立起来得到关于N 1, N 2, …, N 8的线性方程组:132414800N N N N G N N -=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪-=⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> G1=200; L1=2; theta1=pi/6; G2=100; L2=sqrt(2); theta2=pi/4;>> A = [1,0,-1,0,0,0,0,0;0,1,0,1,0,0,0,0;0,0,L1*sin(theta1),L1*cos(theta1),0,0,0,0;0,0,0,0,1,0,-1,0;0,0,0,0,0,1,0,-1;0,0,0,0,0,0,L2*sin(theta2),-L2*cos(theta2);0,0,1,0,0,0,-1,0;0,0,0,1,0,0,0,-1];>> b = [0;G1;0.5*L1*cos(theta1)*G1;0;G2;0.5*L2*cos(theta2)*G2;0;0];>> x = A\b; x ’Matlab 执行后得ans =95.0962 154.9038 95.0962 45.0962 95.0962 145.0962 95.0962 45.0962【模型分析】最后的结果没有出现负值, 说明图16中假设的各个力的方向与事实一致. 如果结果中出现负值, 则说明该力的方向与假设的方向相反.参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 157-158.Matlab 实验题有一个平面结构如下所示, 有13条梁(图中标号的线段)和8个铰接点(图中标号的圈)联结在一起. 其中1号铰接点完全固定, 8号铰接点竖直方向固定, 并在2号, 5号和6号铰接点上, 分别有图示的10吨, 15吨和20吨的负载. 在静平衡的条件下,任何一个铰接点上水平和竖直方向受力都是平衡的. 已知每条斜梁的角度都是45º.(1) 列出由各铰接点处受力平衡方程构成的线性方程组.(2) 用Matlab 软件求解该线性方程组, 确定每条梁受力情况.图17 一个平面结构的梁案例七. 化学方程式配平问题在用化学方法处理污水过程中, 有时会涉及到复杂的化学反应. 这些反应的化学方程式是分析计算和工艺设计的重要依据. 在定性地检测出反应物和生成物之后,可以通过求解线性方程组配平化学方程式.图18 污水处理 【模型准备】某厂废水中含KCN, 其浓度为650mg/L. 现用氯氧化法处理, 发生如下反应:KCN + 2KOH + Cl 2 = KOCN + 2KCl + H 2O.投入过量液氯, 可将氰酸盐进一步氧化为氮气. 请配平下列化学方程式:KOCN + KOH + Cl 2 === CO 2 + N 2 + KCl + H 2O.(注: 题目摘自福建省厦门外国语学校2008-2009学年高三第三次月考化学试卷)【模型建立】设x 1KOCN ＋ x 2KOH ＋ x 3Cl 2 === x 4CO 2 ＋ x 5N 2 ＋ x 6KCl ＋ x 7H 2O,则1261247141527362222x x x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪+=+⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎪=⎪⎩, 即1261247141527360200202020x x x x x x x x x x x x x x x +-=⎧⎪+--=⎪⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎪-=⎪⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,1,0,0,0,-1,0;1,1,0,-2,0,0,-1;1,0,0,-1,0,0,0;1,0,0,0,-2,0,0;0,1,0,0,0,0,-2;0,0,2,0,0,-1,0];>> x = null(A,’r ’); format rat, x ’Matlab 执行后得ans =1 2 3/2 1 1/2 3 1可见上述齐次线性方程组的通解为x = k (1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1)T .取k = 2得x = (2, 4, 3, 2, 1, 6, 2)T . 可见配平后的化学方程式如下2KOCN + 4KOH + 3Cl 2 === 2CO 2 + N 2 + 6KCl + 2H 2O.【模型分析】利用线性方程组配平化学方程式是一种待定系数法. 关键是根据化学方程式两边所涉及到的各种元素的量相等的原则列出方程. 所得到的齐次线性方程组Ax = 中所含方程的个数等于化学方程式中元素的种数s, 未知数的个数就是化学方程式中的项数n.当r(A) = n1时, Ax = 的基础解系中含有1个(线性无关的)解向量. 这时在通解中取常数k为各分量分母的最小公倍数即可. 例如本例中1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1分母的最小公倍数为2, 故取k = 2.当r(A) n2时, Ax = 的基础解系中含有2个以上的线性无关的解向量. 这时可以根据化学方程式中元素的化合价的上升与下降的情况, 在原线性方程组中添加新的方程.参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 84-85.Matlab实验题配平下列反应式(1) FeS + KMnO4 + H2SO4——K2SO4 + MnSO4 + Fe2(SO4)3 + H2O + S↓(2) Al2(SO4)3 + Na2CO3 + H2O ——Al(OH)3↓+ CO2↑+ Na2SO4案例八. 互付工资问题互付工资问题是多方合作相互提供劳动过程中产生的. 比如农忙季节, 多户农民组成互助组, 共同完成各户的耕、种、收等农活. 又如木工, 电工, 油漆工等组成互助组, 共同完成各家的装潢工作. 由于不同工种的劳动量有所不同, 为了均衡各方的利益, 就要计算互付工资的标准.图19 农忙互助 图20 装修互助 【模型准备】现有一个木工, 电工, 油漆工. 相互装修他们的房子, 他们有如下协议:(1) 每人工作10天(包括在自己家的日子),(2) 每人的日工资一般的市价在60~80元之间,(3) 日工资数应使每人的总收入和总支出相等.求每人的日工资. 【模型假设】假设每人每天工作时间长度相同. 无论谁在谁家干活都按正常情况工作, 既不偷懒, 也不加班.【模型建立】设木工, 电工, 油漆工的日工资分别为x , y , z 元, 则由下表可得 2610451044310x y z x x y z y x y z z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩, 即8604504470x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [-8,1,6;4,-5,1;4,4,-7];>> x = null(A,’r ’); format rat, x ’Matlab 执行后得ans =31/36 8/9 1可见上述齐次线性方程组的通解为x = k (31/36, 8/9, 1)T . 因而根据“每人的日工资一般的市价在60~80元之间”可知 60 3631k <98k < k 80, 即 312160 k 80. 也就是说, 木工, 电工, 油漆工的日工资分别为3631k 元, 98k 元, k 元, 其中312160 k 80. 为了简便起见, 可取k = 72, 于是木工, 电工, 油漆工的日工资分别为62元, 64元, 72元.【模型分析】事实上各人都不必付自己工资, 这时各家应付工资和各人应得收入如下由此可得6845447y z x x z y x y z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩, 即8604504470x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩可见这样得到的方程组与前面得到的方程组是一样的. Matlab 实验题甲, 乙, 丙三个农民组成互助组, 每人工作6天(包括为自己家干活的天数), 刚好完成他们三人家的农活, 其中甲在甲, 乙, 丙三家干活的天数依次为: 2, 2.5, 1.5; 乙在甲, 乙, 丙三家各干2天活, 丙在甲, 乙, 丙三家干活的天数依次为: 1.5, 2, 2.5. 根据三人干活的种类, 速度和时间, 他们确定三人不必相互支付工资刚好公平. 随后三人又合作到邻村帮忙干了2天(各人干活的种类和强度不变), 共获得工资500元.问他们应该怎样分配这500元工资才合理?案例九. 平衡价格问题为了协调多个相互依存的行业的平衡发展, 有关部门需要根据每个行业的产出在各个行业中的分配情况确定每个行业产品的指导价格, 使得每个行业的投入与产出都大致相等.图21 三个行业 【模型准备】假设一个经济系统由煤炭、电力、钢铁行业组成, 每个行业的产出在各个行业中的分配如下表所示:等的平衡价格.【模型假设】假设不考虑这个系统与外界的联系.【模型建立】把煤炭、电力、钢铁行业每年总产出的价格分别用x 1, x 2, x 3表示, 则123212331230.40.60.60.10.20.40.50.2x x x x x x x x x x x =+⎧⎪=++⎨⎪=++⎩, 即1231231230.40.600.60.90.200.40.50.80x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩.【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,-0.4,-0.6;-0.6,0.9,-0.2;-0.4,-0.5,0.8];>> x = null(A,’r ’); format short, x ’Matlab 执行后得ans =0.9394 0.8485 1.0000可见上述齐次线性方程组的通解为x = k (0.9394, 0.8485, 1)T .这就是说, 如果煤炭、电力、钢铁行业每年总产出的价格分别0.9394亿元, 0.8485亿元, 1亿元, 那么每个行业的投入与产出都相等.【模型分析】实际上, 一个比较完整的经济系统不可能只涉及三个行业, 因此需要统计更多的行业间的分配数据.Matlab实验题假设一个经济系统由煤炭、石油、电力、钢铁、机械制造、运输行业组成, 每个行业的产出在各个行业中的分配如下表所示:等的平衡价格.参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译, 北京: 人民邮电出版社, 2009. 页码: 49-50.案例十. 电路设计问题电路是电子元件的神经系统. 参数的计算是电路设计的重要环节. 其依据来自两个方面: 一是客观需要, 二是物理学定律.图22 USB 扩展板 【模型准备】假设图23中的方框代表某类具有输入和输出终端的电路. 用11v i ⎛⎫ ⎪⎝⎭记录输入电压和输入电流(电压v 以伏特为单位, 电流i 以安培为单位), 用22v i ⎛⎫ ⎪⎝⎭记录输出电压和输入电流. 若22v i ⎛⎫ ⎪⎝⎭= A 11v i ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则称矩阵A 为转移矩阵.图23 具有输入和输出终端的电子电路图 图24给出了一个梯形网络, 左边的电路称为串联电路, 电阻为R 1(单位: 欧姆). 右边的电路是并联电路, 电路R 2. 利用欧姆定理和楚列斯基定律, 我们可以得到串联电路和并联电路的转移矩阵分别是1101R -⎛⎫ ⎪⎝⎭和2101/1R ⎛⎫ ⎪-⎝⎭串联电路 并联电路图24 梯形网络设计一个梯形网络, 其转移矩阵是180.55-⎛⎫ ⎪-⎝⎭.v 2【模型假设】假设导线的电阻为零.【模型建立】设A 1和A 2分别是串联电路和并联电路的转移矩阵, 则输入向量x 先变换成A 1x , 再变换到A 2(A 1x ). 其中A 2A 1 =2101/1R ⎛⎫ ⎪-⎝⎭1101R -⎛⎫ ⎪⎝⎭=121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭就是图22中梯形网络的转移矩阵.于是, 原问题转化为求R 1, R 2的值使得121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭=180.55-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 【模型求解】由121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭=180.55-⎛⎫ ⎪-⎝⎭可得121281/0.51/5R R R R -=-⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩. 根据其中的前两个方程可得R 1 = 8, R 2 = 2. 把R 1 = 8, R 2 = 2代入上面的第三个方程确实能使等式成立. 这就是说在图22中梯形网络中取R 1 = 8, R 2 = 2即为所求.【模型分析】若要求的转移矩阵改为180.54-⎛⎫ ⎪-⎝⎭, 则上面的梯形网络无法实现. 因为这时对应的方程组是121281/0.51/4R R R R -=-⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩. 根据前两个方程依然得到R 1 = 8, R 2 = 2,但把R 1 = 8, R 2 = 2代入上第三个方程却不能使等式成立.参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译, 北京: 人民邮电出版社, 2009. 页码: 129-130.练习题根据基尔霍夫回路电路定律(各节点处流入和流出的电流强度的代数和为零, 各回路中各支路的电压降之和为零), 列出下图所示电路中电流i 1, i 2, i 3所满足的线性方程组, 并用矩阵形式表示:图25 简单的回路E 12案例十一. 平面图形的几何变换随着计算机科学技术的发展, 计算机图形学的应用领域越来越广, 如仿真设计、效果图制作、动画片制作、电子游戏开发等.图26 计算机图形学的广泛应用图形的几何变换, 包括图形的平移、旋转、放缩等, 是计算机图形学中经常遇到的问题. 这里暂时只讨论平面图形的几何变换.【模型准备】平面图形的旋转和放缩都很容易用矩阵乘法实现, 但是图形的平移并不是线性运算, 不能直接用矩阵乘法表示. 现在要求用一种方法使平移、旋转、放缩能统一用矩阵乘法来实现.【模型假设】设平移变换为(x, y ) (x+a, y+b)旋转变换(绕原点逆时针旋转θ角度)为(x, y ) (x cosθy sinθ, x sinθ + y cosθ)放缩变换(沿x轴方向放大s倍, 沿y轴方向放大t倍)为(x, y ) (sx, ty)【模型求解】R2中的每个点(x, y)可以对应于R3中的(x, y, 1). 它在xOy平面上方1单位的平面上. 我们称(x, y, 1)是(x, y)的齐次坐标. 在齐次坐标下, 平移变换(x, y ) (x+a, y+b)可以用齐次坐标写成(x, y , 1) (x+a, y+b, 1).于是可以用矩阵乘积1001001ab⎛⎫⎪⎪⎝⎭1xy⎛⎫⎪⎪⎝⎭=1x ay b+⎛⎫⎪+⎪⎝⎭实现.旋转变换(x, y ) (x cosθy sinθ, x sinθ + y cosθ) 可以用齐次坐标写成(x, y , 1) (x cosθy sinθ, x sinθ + y cosθ, 1).于是可以用矩阵乘积cos sin0sin cos0001θθθθ-⎛⎫⎪⎪⎝⎭1xy⎛⎫⎪⎪⎝⎭=cos sinsin cos1x yx yθθθθ-⎛⎫⎪+⎪⎝⎭实现.放缩变换(x, y ) (sx, ty) 可以用齐次坐标写成(x, y , 1) (sx, ty, 1).于是可以用矩阵乘积0000001s t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=1sx ty ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭实现. 【模型分析】由上述求解可以看出, R 2中的任何线性变换都可以用分块矩阵1⎛⎫ ⎪⎝⎭A O O 乘以齐次坐标实现, 其中A 是2阶方阵. 这样, 只要把平面图形上点的齐次坐标写成列向量, 平面图形的每一次几何变换, 都可通过左乘一个3阶变换矩阵来实现.参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译, 北京: 人民邮电出版社, 2009. 页码: 139-141.Matlab 实验题在Matlab 命令窗口输入以下命令>>clear all , clc,>>t = [1,3,5,11,13,15]*pi/8;>>x = sin(t); y=cos(t);>>fill(x,y,'r');>>grid on ;>>axis([-2.4, 2.4, -2, 2])运行后得图25.图26 Matlab 绘制的图形(1) 写出该图形每个顶点的齐次坐标; (2) 编写Matlab 程序, 先将上面图形放大0.9倍; 再逆时针旋转3π; 最后进行横坐标加0.8, 纵坐标减1的图形平移. 分别绘制上述变换后的图形.案例十二. 太空探测器轨道数据问题太空航天探测器发射以后, 可能需要调整以使探测器处在精确计算的轨道里. 雷达监测到一组列向量x 1, …, x k , 它们给出了不同时刻探测器的实际位置与预定轨道之间的偏差的信息.图28 火星探测器 【模型准备】令X k = [x 1, …, x k ]. 在雷达进行数据分析时需要计算出矩阵G k = X k X k T . 一旦接收到数据向量x k +1, 必须计算出新矩阵G k +1. 因为数据向量到达的速度非常快, 随着k 的增加, 直接计算的负担会越来越重. 现需要给出一个算法, 使得计算G k 的负担不会因为k 的增加而加重.【模型求解】因为G k = X k X k T = [x 1, …, x k ]T 1T k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦x x =T 1k i i i =∑x x ,G k +1 = X k +1T 1k +X = [X k , x k +1]T T 1k k +⎡⎤⎢⎥⎣⎦X x = X k X k T + x k +1T 1k +x = G k + x k +1T 1k +x ,所以一旦接收到数据向量x k +1, 只要计算x k +1T 1k +x , 然后把它与上一步计算得到的G k相加即可. 这样计算G k 的负担不会因为k 的增加而加重.【模型分析】计算机计算加法的时间与计算乘法的时间相比可以忽略不计. 因此在考虑计算矩阵乘积的负担时, 只要考察乘法的次数就可以了. 设x k 的维数是n , 则X k = [x 1, …, x k ]是n k 的矩阵, G k = X k X k T 是n n 的矩阵. 直接计算G k = X k X k T 需要做n 2k 次乘法. 因而计算的负担会随着k 的增加而增加. 但是对于每一个k , 计算x k T k x 始终只要做n 2次乘法.Matlab 实验题用Matlab 编写一个程序用于处理这个问题.参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译, 北京: 人民邮电出版社, 2009. 页码: 123.。

2019年中国研究生数学建模竞赛D题汽车行驶工况构建一、问题背景汽车行驶工况（Driving Cycle）又称车辆测试循环，是描述汽车行驶的速度-时间曲线（如图1、2，一般总时间在1800秒以内，但没有限制标准，图1总时间为1180秒，图2总时间为1800秒），体现汽车道路行驶的运动学特征，是汽车行业的一项重要的、共性基础技术，是车辆能耗/排放测试方法和限值标准的基础，也是汽车各项性能指标标定优化时的主要基准。

目前，欧、美、日等汽车发达国家，均采用适应于各自的汽车行驶工况标准进行车辆性能标定优化和能耗/排放认证。

本世纪初，我国直接采用欧洲的NEDC行驶工况（如图1）对汽车产品能耗/排放的认证，有效促进了汽车节能减排和技术的发展。

近年来，随着汽车保有量的快速增长，我国道路交通状况发生很大变化，政府、企业和民众日渐发现以NEDC工况为基准所优化标定的汽车，实际油耗与法规认证结果偏差越来越大，影响了政府的公信力（譬如对某型号汽车，该车标注的工信部油耗6.5升/100公里，用户体验实际油耗可能是8.5-10升/100公里）。

另外，欧洲在多年的实践中也发现NEDC工况的诸多不足，转而采用世界轻型车测试循环（WLTC，如图2）。

但该工况怠速时间比和平均速度这两个最主要的工况特征，与我国实际汽车行驶工况的差异更大。

作为车辆开发、评价的最为基础的依据，开展深入研究，制定反映我国实际道路行驶状况的测试工况，显得越来越重要。

另一方面，我国地域辽广，各个城市的发展程度、气候条件及交通状况的不同，使得各个城市的汽车行驶工况特征存在明显的不同。

因此，基于城市自身的汽车行驶数据进行城市汽车行驶工况的构建研究也越来越迫切，希望所构建的汽车行驶工况与该市汽车的行驶情况尽量吻合，理想情况下是完全代表该市汽车的行驶情况（也可以理解为对实际行驶情况的浓缩），目前北京、上海、合肥等都已经构建了各城市的汽车行驶工况。

为了更好地理解构建汽车行驶工况曲线的重要性，以某型号汽车油耗为例，简单说明标注的工信部油耗是如何测试出来？标注的工信部油耗并不是该型号汽车在实际道路上的实测油耗，而是基于国家标准（如《GB27840-2011重型商用车辆燃料消耗量测量方法》），在实验室里根据汽车行驶工况曲线，按照一定的标准，经检测、计算得出。

成品油价格与家庭汽车摘要随着汽车行业的兴起，汽车越来越成为百姓生活必需品，然而节节攀升的油价给人们的生活消费带来了负面影响。

在此题中我们根据搜集影响成品油价格因素等实际数据对有关成品油价格与家庭汽车的一些问题建立数学模型进行讨论。

对于问题一，对于此问我们首先确立了可能影响成品油价格的因素，我们认为可能影响成品油价格的因素有：中国原油生产量1x 、中国原油进口量2x 、中国原油出口量3x 以及国际原油价格4x 等。

在假设各个变量之间没有多重共线性的情况下，我们先用最小二乘法对其进行多元线性回归，最终结果未能通过显著性检验。

在此情况下我们对各个变量进行了多重共线性检验，列出了各个变量间的相关系数矩阵发现变量之间具有相关性，即原假设不成立，变量之间存在多重共线性。

为了修正多元共线性给模型带来的误差，接下来我们运用逐步回归的方法得出了最终该结果：957.904282311.02+=x y并根据此模型预测2016年国内成品油价格为11296.3（元/吨）。

对于问题二， 分析家庭汽车数量我们认为影响长沙市家庭汽车数量因素有：1成品油价格（元/吨）x 1、2人均可支配收入（元）x 2、3人口数量（人)x 3、4普通小汽车的价格指数x 4、5居民消费指数x 5以及6城市公交车乘坐人次（人）x 6。

由此建立统计回归模型，最终得到模型为：2383211045.840967.0859.40284.66x x x x y **-*+*+*=-运用此模型预测得2020年长沙市家庭汽车数量大概为1589400辆。

对于问题三，我们讨论了GPI 与国内成品油价格的关系，通过对其进行一元线性回归得到结果如下：0.1715*10.7295/y x =-（元升）对我国成品油价格定价机制来说GPI 每增长1个点成品有价格就增加0.1715元/升。

第四问中我们根据上述三问所建立的模型给给国家发改委提出中国成品油定价机制的建议有：宏观调控，放开价格；适当缩短成品油调价时间间隔，让其能够及时的反映成本，进一步向市场化迈进；成品油定价时要充分考虑GPI 等等关键词：最小二乘法、多元线性回归、多重共线性检验、逐步回归一、问题重述1.1问题背景：经济发展与人民生活息息相关。

第四章 系统动力学仿真模型由于上海地区的汽车市场只是全国市场的一部分，其供应系统除了上海本地汽车生产企业之外，还有全国各地的汽车企业。

随着加入WTO ，汽车产业逐步放开，将使我国的汽车市场成为国际市场的一部分，而价格也将与国际市场接轨。

另外世界汽车市场上潜在的生产能力极大，总体上已经形成生产过剩的卖方市场。

因此上海地区的汽车市场主要是需求问题。

研究上海市私车发展的主要问题也将是需求问题。

本文建立上海地区私车变化的系统动力学模型，从需求方面来研究上海市的私车发展。

§4.1 系统分析§4.1.1 系统边界的确定系统动力学分析的系统行为是基于系统内部要素相互作用而产生的，并假定系统外部环境的变化不给系统行为产生本质的影响，也不受系统内部因素的控制。

因此系统边界应规定哪一部分要划入模型，哪一部分不应划入模型，在边界内部凡涉及与所研究的动态问题有重要关系的概念模型与变量均应考虑进模型；反之，在界限外部的那些概念与变量应排除在模型之外。

图4-1 上海市私家车系统组成结构图根据系统论原理，一个完整的城市居民私家车消费系统不仅包括汽车的流通、交换和消费等环节，而且还包括城市人口、经济、社会环境和消费政策、公交等其他指系统，它是一个复杂的社会经济大系统（图4-1）。

只有建立一个适合于该系统的动态分析模型，才可能全面准确地研究系统中各因素间的相互作用关系和它们对系统行为的影响。

根据系统建模的目的，本文研究系统的界限大体包括以下内容： 私车的需求量 私车的报废量 私车的市场保有量 私车的价格 私车的使用费用 私车的上牌费用 牌照限额居民人均可支配收入 上海市人口数量 上海市总户数私车发展系统城市公交系统 城市市政系统 汽车市场系统人口经济系统政策因素公交汽车、出租车数量停车车位道路面积此外，还有其他许多内容，如摩托车的数量、汽车的质量、品牌种类等，均不划入系统的界限内。

§4.1.2 因果关系分析系统动力学的研究重点在于自反馈机制的系统动力学问题。

长安大学2015年数学建模竞赛控制页选择的题号（从A/B中选择一项填写）：参赛队成员（打印并签名，注明专业）：123队长：联系电话：邮箱：日期：年月日成品油价格与家庭汽车摘要现如今，越来越多的汽车开始走进千家万户，家庭汽车现已成为许多具有一定购买力的中国家庭的必需品。

然而，油价的起伏给人们的汽车消费活动带来了一些影响。

为此，本文在收集了部分有关成品油价格和家庭汽车消费状况的资料后，对相关的数据进行了深入分析与合理联系，并制订出了一份适合中国国情的成品油定价模型，进而给国家发改委提出了中国成品油定价机制的建议和促进新能源汽车健康发展的具体措施。

对问题一，经过问题的分析与资料的查阅，结合国内成品油价格的过去与现状，我们分析出以下七个因素：国际原油价格，中国年原油进口量，中国年原油出口量，中国年原油产量，中国年人均GDP，中国年原油消费量，中国年能源消费总量，均对中国成品油价格产生不可忽视的影响。

通过一元线性回归分析得出各影响因素与国内年平均成品油价格具有一定的相关性，然后用多元线性规划的方式最终得出成品油油价与各影响因素的总关系，并与当前油价比较，作出合理评价模型。

并通过建立各影响因素与时间的函数关系，利用评价模型对成品油油价作出合理的预测。

根据此模型预测2016年的成品油价格为122.15美元/桶。

对问题二，我们基本归纳出影响家庭汽车数量的三个关键因素：中国成品油价格，年人均GDP,公路总里程数。

通过excel做出各影响因素与家庭汽车数量的变化曲线，并运用灰色预测法对家庭汽车数量作出合理的预测。

并对其进行残差检验，得出模型具有高度的合理性。

预测到2020年西安市私家车的数量为830.2万辆对问题三，我们讨论了国际原油价格和国内原油出口量与国内成品油价格的关系，通过对其进行多元线性回归得到最终的定价模型：y=-2.4415+1.0794x1+0.0046x3.对问题四，根据前三问已建立的模型，我们给国家发改委提出中国成品油定价机制的建议有：完善价格管制办法，更深度的考虑产品的市场化，统筹考虑与资源环保类税种的接轨，调整消费税征管环节，健全生产企业成本核算。

车保有 量 的各因素—— 社 会总 产值 、 道路货 运量 、 路 道
客 运 量 、 口总 数 、 路 里 程 均 采 用 ＧＭ （ ， ） 色 预 人 公 １１灰
测 模 型 。通 过计 算 （ 灰色 预测 计 算过 程 省 略） Ｇ （ ， ， Ｍ １
１ 影 子 方 程 的 解 为 “ （ ） ＋ １ ）一 （ 。 １ （ （ ）一 ６ ） ｅ
｜
【 摘
要】 利用改进 Ｂ Ｐ神 经 网 络对 我 国 ２ ０ ００年 、０ ５ 、００年 的 汽 车 保 有 量进 行 预 测 ， ２０ 年 ２ １ 并与 灰 色预 测 的结 果 进
行对 比， 结果 表 明 ， 于 神 经 网 络 具 有 很 强 的 学 习 与泛 化能 力 ｔ 处 理 具 有 一 定程 度 不 确 定性 的 非 线 性 系 统 的 建 模 与 预 由 在
、
口总数 、 公路 里程 、 汽车保 有量 如表 １
。
袁 １ 汽车保有量及影响汽车保有量的主要 因素统计表
在 建 模 过 程 中 ， 社 会 总 产 值 、 路 货 运 量 ． 路 将 道 道 客 运 量 、 口总 数 、 路 里 程 作 为 Ｂ 网 络 的 输 入 ， 人 公 Ｐ 汽 车保 有 量作 为 Ｂ Ｐ网 络 的 输 出 ， Ｐ网 络 的输 入 层 节 点 Ｂ 数 为 ５ 隐 含层 节点 数 的确 定原 则 为其 数值 应 大 于 网 ， 络 的 输 入 层 的 节 点 数 ， 增 大 隐 含 层 节 点 数 能 使 网 络 但 的训 练 次 数 减 少 。 过 试 训 ， 后 确 定 隐 含 层 的 节 点 数 通 最 为 １ ， 论 已 经 证 明 ， 层 前 馈 网 络 是 一 种 通 用 的 逼 Ｏ理 多 近 器 ， 说 明 在 应 用 中失 败 必 然 性 是 由于 学 习不 合 适 、 它 隐 层 单 元 不 够 ， 者 是 插 入 与 期 望 输 出 之 间 没 有 确 定 或 关 系 所 引 起 的 。 然 ， 理 论 上 讲 ， 个 隐 层 已经 足 够 ， 虽 从 一

私家车保有量增长及控制问题一、摘要我国经济的快速发展为私人汽车提供了巨大的发展空间。

据统计，全国汽车保有量的60%左右为私人汽车。

私人汽车的多少直接影响国民经济的发展和环境问题。

本文在正确理解题意的基础上，提出了合理的假设，提出了解决问题的模型和方法，并取得了很好的效果。

我们根据相关性分析和偏相关分析，得出了除噪音外，其他因素均对私人汽车保有量有较强的影响。

我们根据历史数据建立了多元线性回归模型，得到了私人汽车保有量与人均国内生产总值、社会消费品零售总额等因素之间的线性关系，并通过了检验说明了多元线性回归模型的可行性，得出2010年的私人汽车保有量大约为150万辆。

并对问题进行了通径分析，从各个自变量对因变量的直接作用来看：全社会固定资产投资总额对私人汽车保有量有极强的负作用，人均国内生产总值、运营公交车辆数对私人汽车保有量有较强的负作用，居民储蓄款余额对私人汽车保有量有一定的负作用；道路总长、公交车营运总里程对私人汽车保有量有极强的正作用，汽油(93号)年均价、居民人均可支配收入对私人汽车保有量有较强的正作用，全社会消费品零售总额、公交营运总数、公交营运总数对私人汽车保有量有一定的正作用。

全社会固定资产投资总额越多，则用于购买私人汽车的资产就越少，这与实际相符；道路总长、公交车营运总里程越长，道路上行驶的私有汽车就可以越多，这与实际相符。

因为在自变量对因变量产生影响的同时，自变量之间也有相互影响，所以从各个自变量对因变量的直接作用来看：汽油(93号)年均价、道路总长、运营公交车辆数对私人汽车保有量有强的正作用，居民储蓄款余额对私人汽车保有量有较强的正作用，公交营运总数对私人汽车保有量几乎没有影响，说明其他变量对公交营运总数的影响相互抵消的已经所剩无几了，其余的对私人汽车保有量都有不同程度的负作用。

若要进行决策分析，从R(i)上看：若要增加私人汽车保有量，则主要依靠道路总长、汽油(93号)年均价，可以放松人均国内生产总值、全社会消费品零售总额、公交营运总数、城市交通干线噪音均值、居民储蓄款余额对私人汽车保有量的影响，极力抵制其余因数对私人汽车保有量的影响。

私家车保有量增长及调控问题摘要: 近年来，随着我国经济的快速发展，人民群众生活水平的不断提高，汽车进入普通老百姓的家庭已不再是一个遥远的梦，家有私车也成为了一件再寻常不过的事了，截止到 2006 年底，中国私人汽车保有量约为2650 万辆，全国汽车保有量的60%左右,与此同时,中国已成为仅次于美国的全球第二大新车市场.私有汽车的多少直接影响国民经济的发展和环境的种种问题时，许多社会问题和环境问题直接或间接影响着私家车的保有量。

研究表明,汽车保有量与人均国民收入成正比,且汽车特别是用于消费的私有汽车保有量的多少,与经济发展程度,居民收入以及道路建设的总长度密切相关.对于问题一，通过所给的数据,我们经过多元回归分析方程,从而得出各个因素各种因素对于私家车保有量的影响，再通过插值、多次曲线拟合预测出2010私家车保有量；对于问题二，分别拟合出1996—2007和2007，1—2008，1两段私家车保有量随时间变化的函数，分别做出各自的增长率或增长图表，比较即可得出结论；对于问题三，建立了线性规划模型，并定性的由该地区的汽车尾气的排放情况得出应该增加公交车的数量限制私人汽车保有量的调控措施，并根据该地区的汽车废气的排放情况综合各个方面的因素定性的得出应该增加公交车的数量来限制私人汽车保有量。

关键词：多元回归分析拟合线性规划一、问题的提出与分析汽车作为中国家庭拥有率最低的一种高档耐用消费品，随着居民收入水平的不断提高和中国政府鼓励轿车进入家庭政策的出台，制约需求的各种不合理费用逐步取消和汽车贷款正在被越来越多人所接受，汽车正在快速进入普通家庭。

而汽车特别是用于消费的私人汽车的保有量与经济发展程度﹑居民收入﹑消费者购买力﹑个体私营经济的快速发展及道路建设等多种社会经济发展因素有着密切的关系。

很显然，在所给的因素中，城市交通干线噪音均值和公交营运总数不能作为汽车保有量的因变量，我们选取的是人均国内生产总值、全社会消费品零售总额、全社会固定资产投资总额、道路总长、居民人均可支配收入、居民储蓄款余额、汽油年均价作为因变量，给出了1996年到2008年的汽车保有量和一些相关的其他方面的数据并预测出到2010年的汽车保有量。

基于灰色系统的私家车保有量增长及调控问题[摘要] 随着我国经济实力的不断增强和人民生活水平的不断改善，私家车的数量也在快速增长着。

总所周知，汽车具有高度的产业关联性，被称为“经济持续增长的发动机”。

汽车的发展，其意义不仅在于汽车工业本身，还在于它对加快产业结构调整和升级改造、促进产业布局调整，加快城郊基础设施建设等方面有重要的作用。

同时，汽车消费对社会的负面影响，也远远超出了汽车产业本身。

汽车的广泛使用不仅影响城市和乡村的结构，影响就业结构以及社会关系等，也将土地、能源、环境和交通等多方面问题呈现在人们面前，其外部性影响不容忽视。

因此如果我们对这种快速增长不从战略的高度加以科学引导和调整，汽车的迅猛增长将不再单纯体现和推动经济建设发展，巨大的负面效应也将成为社会发展的阻碍因素。

所以为了使汽车增长能够在环境允许的合理范围内促进经济增长和满足人民日益增长的社会生活需求，是时候也有必要去分析清楚私家车保有量与经济、环境保护等问题之间的关系，制定出合理的私家车保有量增长及调控方案。

有鉴于此，我们根据该地区1996-2008年相关的统计数据，运用灰色系统关联性分析、灰色预测、多目标规划、Matlab计算等方法对影响该地区的13个因素进行了数学建模分析，在对模型进行合理适当的修正后得到了各因素和汽车保有量的关联性及函数关系，从关联系数排名知居民储蓄款余额、全社会消费品零售总额(亿元)、全社会固定资产投资总额(亿元)、道路总长(公里)、人均国内生产总值(元)、居民人均可支配收入（元）等因素对私家车保有量影响较大，根据相关经济理论，上述结论与事实相符合。

然后我们根据改进后的模型给出了一个适用于短期预测的计量经济学模型及进行各项检验的详细过程，并据此较为准确合理的预测了我国2009年和2010年的私人汽车保有量，进而提出走可持续发展道路将是促进我国未来私人汽车良性发展的客观要求。

[关键词] 私人汽车保有量灰色系统居民储蓄款余额多目标规划汽车废气国III排放标准一、问题重述我国经济的快速发展为私人汽车提供了巨大的发展空间。

数学建模期末论文目录我国民用汽车拥有量分析研究 (1)摘要 (1)问题的重述 (1)1.总背景介绍 (1)2.问题的产生 (2)3.问题的提出 (2)模型的假设与符号说明 (2)一、模型的假设 (2)二、符号说明 (3)模型的建立与求解 (3)一、问题一的分析与模型的建立和求解 (3)二、问题二的分析与模型的建立和求解 (5)1．对问题的分析 (5)2．弹性系数法简介 (5)三、问题三的分析与模型的建立和求解 (7)1．变量的选择和描述性统计分析 (7)2．模型的设定 (7)3．回归分析 (8)4．显著性检验 (9)四、问题四的分析与模型的建立和求解 (10)1．变量的选择和描述性统计分析 (10)2．模型的设定 (11)3．回归分析 (12)误差分析 (14)针对问题三 (14)针对问题四 (16)模型的评价与推广 (17)参考文献 (19)附录 (20)我国民用汽车拥有量分析研究摘要本文针对我国民用汽车拥有量问题，运用最小二乘法、三次指数平滑法等，分别建立“民用汽车拥有量”与时间序列的数学建模，以“民用汽车拥有量”为因变量（或被解释变量），建立双变量研究模型，多变量研究模型（因变量为“民用汽车拥有量”）等，使用Matlab,Eviews等软件，得到不同条件下的各类模型。

针对问题一：建立“民用汽车拥有量”与时间序列的数学建模，并预测2016我国民用汽车拥有量。

针对问题二：以“民用汽车拥有量”为因变量（或被解释变量），建立双变量研究模型，进行弹性分析,即自变量变动百分之一，对因变量产生百分之几的影响。

针对问题三：建立多变量研究模型（因变量为“民用汽车拥有量”），在给定某一显著性水平下，说明模型的合理性，并做预测。

针对问题四：增加其它更多的相关变量与数据，建立更为合理的数学模型，说明理由。

关键词：Matlab、Eviews、最小二乘法、拥有量、时间序列问题的重述1.总背景介绍随着我国经济水平飞速的发展，人民群众的收入水平不断提高，特别是城镇，居民的收入不断提高，民用汽车拥有量不断增加，同时银行的按揭贷款买车等等的一系列推动措施，也促进了民用汽车拥有量的增加。

数模答辩
数模答辩 汽车保有量增长的 预测与调控
组员：许申平、余 飞、虞仙青
一、研究内容和背景 二、问题分析 三、模型建立与求解 模型建立与求解 四、模型评价 五、相关建议
研究内容和背景
随着我国人均GDP的稳健增长 近年来， 随着我国人均GDP的稳健增长， 近年来， 我国的家用 GDP的稳健增长， 汽车销量以两位数的增速急剧扩大。 汽车销量以两位数的增速急剧扩大。特别是用于消费的私 人汽车保有量的多少，与经济发展程度、 人汽车保有量的多少，与经济发展程度、居民收入以及道 路建设等有着密切的联系。 路建设等有着密切的联系。我国经济的快速发展为汽车工 业提供了巨大的发展空间，同时也带来了相应的问题， 业提供了巨大的发展空间，同时也带来了相应的问题，如 资源紧缺、交通堵塞、环境污染等 资源紧缺、交通堵塞、环境污染等。为了有效的控制中国 汽车保有量，现对某地区汽车情况进行分析， 汽车保有量，现对某地区汽车情况进行分析，并作出科学 预测及控制。 预测及控制。
结论三
理想情况下公交车和私家车的保有量
年份 2008 2009 2010 理想公交车数（辆） 7749 8306 8836 理想私家车数（万辆） 121.388 158.235 212.3
模型的评价
优点 1、建立的灰色预测模型与神经网络预测模型能与实际应用紧密联系， 灰色预测模型与神经网络预测模型能与实际应用紧密联系 、建立的灰色预测模型与神经网络预测模型能与实际应用紧密联系， 又结合实际情况建立以预测方法有效度为优化指标的求解组合预测权 重系数的优化模型,并对灰色 并对灰色-神经网络的二元组合预测模型采用简化求 重系数的优化模型 并对灰色 神经网络的二元组合预测模型采用简化求 解方法， 简化了计算复杂度又提高了预测的精确性； 解方法，既简化了计算复杂度又提高了预测的精确性； 2、综合运用多种模型对问题进行求解，而且建立的灰色预测模型、 、综合运用多种模型对问题进行求解，而且建立的灰色预测模型、 BP神经网络预测模型以及灰色 神经网络预测模型具有很好的通用性 神经网络预测模型以及灰色-神经网络预测模型具有很好的通用性 神经网络预测模型以及灰色 和推广性； 和推广性； 3、较好地运用了数学软件 、较好地运用了数学软件MATLAB，使得求解简洁、科学、精确； ，使得求解简洁、科学、精确； 4、对【附录 】中的数据进行合理的处理，发现了数据之间的许多潜 附录1】中的数据进行合理的处理， 、 在关系，为进一步的分析与利用数据提供了方面， 在关系，为进一步的分析与利用数据提供了方面，同时也为将来对模 型进行优化和改进提供了一种思路和方法； 型进行优化和改进提供了一种思路和方法； 5、在求解问题三时，LEAP模型综合参考了许多潜在因素，使模型的 模型综合参考了许多潜在因素 、在求解问题三 模型综合参考了许多潜在因素， 求解更准确且符合题目的要求。 求解更准确且符合题目的要求。

用回归分析的方法研究北京居民收入对汽车保有量的影响广东省德庆县香山中学梁伙明指导老师谢庆生【摘要】本文采用回归分析的方法研究北京市的保有量和居民收入的关系。

通过分析数据、建立数学模型，通过最小二乘估计得到一个拟合函数：ý=1O9.9Ox-789.85，用这个函数预测北京市汽车保有量的未来发展情况，帮助政府在城市建设的时候做出正确决策。

关键词：汽车保有量，居民收入一、前言改革开放以来，我国北京市居民的居民收入已经大大增加，居民的购买力增加，汽车成为人民青睐。

汽车已越来越多地走入普通人的家庭，随着汽车数量的增加，城市的交通压力越来越大，城市阻塞，热岛效应越来越明显。

如何去控制和预测未来的汽车拥有量已经成为一个非常重要的问题。

二、问题分析下表是我从网上找来的数据（数据来源网址在最后一页），再使用Microsoft Excel重新编辑得来，整理结果如表1：年份1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002收入（元）5868 6886 7813 8472 9183 10550 11578 12464保有量(百辆) 5894 6218 7843 8985 9514 10412 11447 13393表1再通过Microsoft Excel编辑得到其折线图如图1：图1从上图可以看出：随着居民收入的增加汽车保有量也在增加。

两者存在着明显的线性关系，因此可以用线性回归的方法对其进行研究，这样就可以把它转化为数学模型来研究。

三、模型假设影响汽车拥有量的因素：居民的收入水平、汽车价格、购车后的其它附加消费等。

在这里，我们将汽车的价格、购车后的附加费用归结于居民的收入因素，忽略这些因素从而得到汽车保有量与居民收入的函数关系。

四、模型的建立与求解居民收入对汽车保有量影响有多大呢？下面，我就对居民收入与汽车保有量之间的关系建立数学模型。

在这里，我以居民收入为变量(ⅹ)，汽车保有量为因变量（ｙ）。