2018年1月江苏省常州一模数学试题及参考答案解析常州市教育学会学生学业水平监测

江苏省常州市2018-2019第一学期教育学会学生学业水平监测高二数学期末统考卷（解析版）一、填空题（本大题共16小题，共80.0分）1.过点，的直线的斜率为______．【答案】【解析】解：根据直线的斜率公式得，故答案为：．根据直线的斜率公式直接进行计算即可．本题主要考查直线斜率的计算，根据两点间直线斜率公式是解决本题的关键．2.命题“，”的否定是______命题选填“真”、“假”之一【答案】假【解析】解：由得，，则命题“，”是真命题，则命题的否定是假命题，故答案为：假根据条件判断特称命题为真命题，则命题的否定为假命题．本题主要考查命题真假的判断，结合含有量词的命题的否定的真假关系是解决本题的关键．3.抛物线的准线方程是______．【答案】【解析】解：，，开口向右，准线方程是．故答案为．先根据抛物线的标准方程形式求出p，再根据开口方向，写出其准线方程．根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化为标准形式，求出的值，再确定开口方向，否则，极易出现错误．4.与正方体各面都相切的球，它的体积与该正方体的体积之比为______．【答案】【解析】解：设球的半径为r，则正方体的棱长为2r，所以，正方体的体积为，球的体积为．所以，球的体积与正方体的体积之比为．故答案为：．设球的半径为r，可得出正方体的棱长为2r，再利用球体的体积公式与正方体的体积公式可得出答案．本题考查球体的体积与正方体的体积公式，解决本题的关键在于弄清楚正方体内切球的半径与正方体棱长之间的关系，考查计算能力，属于中等题．5.若抛物线的顶点为坐标原点，焦点在y轴上，且经过点，则抛物线的方程为______．【答案】【解析】解：由题意可设抛物线方程为，抛物线经过点，，得．抛物线的方程为．故答案为：由题意设出抛物线方程，再由抛物线经过点求得p，则抛物线方程可求．本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的简单性质，是基础题．6.文科做曲线在处的切线方程为______．【答案】【解析】解：的导数为，可得曲线在处的切线斜率为，切点为，即有切线方程为．故答案为：．求得的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得切线方程．本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，直线方程的运用，考查方程思想，属于基础题．7.理科做在空间直角坐标系中，若三点5，，4，，3，共线，则______．【答案】7【解析】解：空间直角坐标系中，三点5，，4，，3，共线，则，；，解得，，．故答案为：7．由题意知、共线，列方程求出a、b的值，再求和．本题考查了空间直角坐标系的三点共线问题，是基础题．8.设，则“”是“”的______条件选填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”之一【答案】充分不必要条件【解析】解：解绝对值不等式“”，得或，又“”是“或”的充分不必要条件，即“”是“”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要条件由绝对值不等式的解法得：由“”，得或，由充分必要条件的有关知识可得：“”是“”的充分不必要条件，得解．本题考查了绝对值不等式的解法及充分必要条件，属简单题．9.若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：由题意可得，即，可得，即a的曲折范围是．故答案为：．由题意可得，由二次不等式的解法，可得所求范围．本题考查椭圆的方程和性质，考查不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．10.一个正四棱锥的底面边长为，侧棱长为5cm，则它的体积为______．【答案】24【解析】解：如图，正四棱锥的底面边长为，．连接AC，BD，交于O，连接PO，则底面ABCD，，又棱长，，．故答案为：24．由已知求得正四棱锥的底面积与高，代入棱锥体积公式求解．本题考查棱锥体积的求法，是基础的计算题．11.双曲线其中的离心率为2，则实数a的值为______．【答案】【解析】解：双曲线的，，可得，解得，故答案为：．求得双曲线的c，由离心率公式，解方程可得a的值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12.文科做已知函数在上存在极小值，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】由函数．得．令，解得．，且，．为的极小值点．函数在区间上存在极小值．即．故答案为：．求导函数，判断其极小值点，从而求得a取值范围．本题主要考察导数研究函数极小值的知识点，运用求导思想方法．13.理科做在长方体中，，则直线与所成角的余弦值为______．【答案】【解析】解：在长方体中，，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设，则0，，2，，2，，2，，2，，0，，设直线与所成角为，则．直线与所成角的余弦值为．故答案为：．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．14.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面在下列命题中，有且仅有一个是真命题，它的序号是______．若，，则；若，，则；，，，则；若，，，则．【答案】【解析】解：由m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，知：在中，若，，则m与相交、平行或，故错误；在中，若，，则m与相交、平行或，故错误；在中，，，，则m与相交、平行或，故错误；在中，若，，，则由线面垂直的判定定理得，故正确．故答案为：．在中，m与相交、平行或；在中，m与相交、平行或；在中，m与相交、平行或；在中，由线面垂直的判定定理得．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．15.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为A，射线交椭圆于若的面积为，内角A为，则椭圆的焦距为______．【答案】10【解析】解：由题意可得为等边三角形，即有，，可得椭圆方程为，设直线AB的方程为，代入椭圆方程可得，化为，解得或，即有的面积为，可得，即有椭圆的焦距为10．故答案为：10．由题意可得为等边三角形，可得椭圆方程为，设直线AB的方程为，代入椭圆方程，求得A，B的纵坐标，由三角形的面积公式，解方程可得c，即可得到焦距2c．本题考查椭圆的方程和性质，以及直线方程和椭圆方程联立求交点，考查化简运算能力，属于中档题．16.在平面直角坐标系xOy中，若直线l：其中上存在点P，在圆C：上存在两个不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，则实数k的最小值是______．【答案】【解析】解：圆心坐标，半径，则直径为2，要使在圆C：上存在两个不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，即，则MN的最大值为直径2，即MP的最大值为2，即圆心C到直线的最大值距离，即圆心到直线l：的距离d满足，即，则，平方得，得，得或舍，则k的最小值为，故答案为：根据条件，若在圆上存在两个不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，等价为圆心到直线的距离小于等于3即可．本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合转化为点到直线的距离问题是解决本题的关键．二、解答题（本大题共7小题，共102.0分）17.在平面直角坐标系xOy中，已知圆：其中设p：点在圆内，设q：圆与圆：外离．若p为真命题，求m的取值范围；若q为真命题，求m的取值范围；若“p或q”为真命题，求m的取值范围．【答案】解：若p为真命题，即点在圆：内，则，解得，即m的取值范围为；若q为真命题，即圆与圆外离，则，解得或，即m的取值范围是；因为“p或q为真命题，则p，q中至少有一个是真命题即可，所以m的取值范围为【解析】点在圆内；两圆外离等价于圆心距大于两圆半径之和；因为“p或q为真命题，则p，q中至少有一个是真命题即可本题考查了复合命题及其真假，属基础题．18.如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，E，F分别为BC，CD的中点，且平面求证：平面PBD；平面PEF．【答案】证明：，F分别是BC，CD的中点，，平面PBD，平面PBD，平面PBD．设，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，E，F分别为BC，CD的中点，且平面ABCD，，，，，，平面ABCD，平面ABCD，，，平面PEF．【解析】由E，F分别是BC，CD的中点，得，由此能证明平面PBD．设，求出，，，利用勾股定理得，由平面ABCD，得，由此能证明平面PEF．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.在平面直角坐标系xOy中，双曲线：经过点，其中一条近线的方程为，椭圆：与双曲线有相同的焦点椭圆的左焦点，左顶点和上顶点分别为F，A，B，且点F到直线AB的距离为．求双曲线的方程；求椭圆的方程．【答案】解：双曲线：经过点，可得，其中一条近线的方程为，可得，解得，，即有双曲线的方程为；椭圆：与双曲线有相同的焦点，可得，椭圆的左焦点，左顶点和上顶点分别为，，，由点F到直线AB：的距离为，可得，化为，由解得，，则椭圆的方程为．【解析】由双曲线经过点，可得m；再由渐近线方程可得m，n的方程，求得n，即可得到所求双曲线的方程；由椭圆的a，b，c的关系式，求得F，A，B的坐标，可得直线AB的方程，由点到直线的距离公式，可得a，b的关系式，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程．本题考查椭圆和双曲线的方程的求法，注意运用方程思想，考查运算能力，属于基础题．20.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：与x轴交于A，B两点其中点A在点B左侧，直线l过点．若直线l与圆C相切，求直线l的方程；若直线l上存在点M，满足．求直线l的斜率的取值范围；若点M不在x轴上，求面积的最大值及此时直线l的方程．【答案】解：若直线l与x轴垂直，则直线l的方程为，若直线l与x轴不垂直，则设l的方程为，即．若直线l与x轴垂直，则直线l和圆C相切，符号条件若直线l与x轴不垂直，若直线和圆相切，得圆心到直线的距离，解得，即直线l的方程为，综上直线l的方程为或设，则由，得，，即整理得：，即点M在圆上，根据题意直线l与圆有公共点，注意到直线l的斜率明显存在，因此直线l：与圆有公共点，即，解得，即直线l的斜率的范围在圆上，当点M的坐标为或时，M到x轴上的距离d取得最大值4，则面积的最大值为，此时直线l的方程为或．【解析】讨论直线斜率是否存在，结合直线和圆相切的等价条件，转化为圆心到直线的距离等于半径进行求解即可根据条件，求出M坐标满足的轨迹，结合直线和圆相切的等价条件进行转化即可本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，讨论直线斜率是否存在，以及利用直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．21.文科做已知函数．若，求的单调减区间；当a在区间上变化时，求的极小值的最大值．【答案】解：若，，则的单调递减区间为；若，则．令，得，即或．则的单调减区间为，；，．当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增．的极小值为为．当时，函数的极小值取得最大值为．【解析】若，利用二次函数单调性求的单调递减区间；若，求原函数的导函数，再由导函数小于0求得的单调减区间；求出原函数的导函数，由导函数的零点对函数定义域分段，可得函数的单调性，进一步求得极小值，再由配方法求得极小值的最大值．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．22.理科做如图，正四棱锥底面边长为4，侧棱长为以该正四棱锥的底面中心O为坐标原点建立直角坐标系，其中，，E为VC中点．求向量，的夹角的余弦值；求二面角的余弦值．【答案】解：根据条件知正四棱锥的高为，根据条件，2，，2，，，0，，1，，，3，，向量，的夹角的余弦值为．0，，设平面BVC的一个法向量y，，则，取，得3，，同理可得平面DVC的一个法向量0，，设二面角的平面角为，则，二面角的余弦值为．【解析】根据条件知正四棱锥的高为，求出，3，，由此能求出c向量，的夹角的余弦值．求出平面BVC的一个法向量和平面DVC的一个法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查两个向量的夹角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆过点，，其中e为椭圆的离心率，过定点的动直线l与椭圆交于A，B两点．求椭圆的方程；设椭圆的右准线与x轴的交点为M，若总成立，求m的值；是否存在定点其中，使得总成立？如果存在，求出点M的坐标用m表示；如果不存在，请说明理由．【答案】解：椭圆过点，，，解得，，椭圆方程为．椭圆的准线方程为，则，当直线l与x轴垂直或与x轴重合时，；当直线l与x轴不垂直且不重合时，设l的方程为，，设，，由，得，，，，总成立，又MA，MB斜率存在，故MA，MB的斜率和总为0，对恒成立，即对恒成立，即恒成立，代入式并整理得．假设存在这样的点，其中满足条件，则，的斜率同时存在且和为0，即，根据题意，只需要考虑直线l与x轴不垂直也不重合的情形，结合中式有：为定值，这样的点如果存在，其坐标只可能为，，满足条件，坐标为．【解析】由椭圆过点，，列出方程组，能求出椭圆方程．椭圆的准线方程为，则，当直线l与x轴垂直或与x轴重合时，；当直线l与x轴不垂直且不重合时，设l的方程为，，设，，由，得，由此利用韦达定理、直线方程，结合已知条件能求出m的值．假设存在这样的点，其中满足条件，则，从而为定值，由此能求出坐标．本题考查椭圆标准方程的求法，考查实数值的求法，考查满足两角相等的点是否存在的判断与求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、两角相等的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。

常州市二○一八年初中学业水平考试数学试题注意事项:1.本试卷共6页.全卷满分120分.考试时间为120分钟.考生应将答案全部填写在答题 卡相应位置上,写在本试卷上无效.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回，考试时 不允许使用计算器.2.答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填写好答题卡上的考生信息.3.作图必须用2B 铅笔，并请加黑加粗，描写清楚.一、选择题(本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的)1. 3-的倒数是( )A. 3-B. 3C. 31-D. 31 2. 已知苹集每千克m 元,则2千克带果共多少元?( ) A. 2-m B. 2+m C.2m D. m 2 3. 下列图形中，哪一个是圆锥的侧面展开图?( )A. B. C. D.4. 一个正比例函数的图像经过)1,2(-，则它的表达式为( )A. x y 2-=B. x y 2=C. x y 21-= D. x y 21= 5. 下列命题中，假命题．．．是( ) A.一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 三个角是直角的四边形是矩形C.四边相等的四边形是菱形D. 有一个角是直角的菱形是正方形6. 已知a 为整数，且53<<a ，则a 等于( )A. 1B. 2C. 3D. 47. 如图，AB 是O e 的直径，,MN 是O e 的切线，切点为N ，如果052=∠MNB ，则NOA ∠的度数为( )A. 076B. 056C. 054D. 052（第7题）常数 第 1 页 （共8页）8. 某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺，在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA 的0刻度固定在半圆的圆心O 处，刻度尺可以绕点O 旋转. 从图中所示的图尺可读出AOB ∠sin 的值是( ) A. 85 B. 87 C. 107 D. 54 （第8题）二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相．．．．应位置．．．上) 9. 计算：=--1|3|10. 化简：=---ba b b a a 11. 分解因式：=+-3632x x12. 已知点)1,2(-P ，则点P 关于x 轴对称的点的坐标是13. 地球与月球的平均距离大约384000km ，用科学计数法表示这个距离为 km14. 中华文化源远流长，下图是中国古代文化符号的太极图，圆中的黑色部分和白色部分关于圆心中心对称.在圆内随机取一点，则此点取黑色部分的概率是(第14题) （第15题）15. 如图，在ABCD Y 中，070=∠A ，DC=DB ，则=∠CDB 0. 16. 如图,ABC ∆是O e 的内接三角形，060=∠BAC ，»BC 的长是34π，则O e 的半径是 . 17. 下面是按一定规律排列的代数式：2a ，2a ，2a ，2a ，…则第8个代数式是 .(第16题) （第18题）18. 如图，在ABC ∆纸板中，AC=4,BC=2,AB=5,P 是AC 上一点，过点P 沿直线剪下一个与 ABC ∆相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP 长的取值范围是 .常数 第 2 页 （共8页）三、解答题(本大题共10小题，共84分.请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19.（本小题满分6分）计算：0030sin 4)21(4|1|+----20.（本小题满分8分）解方程组和不等式组：⎩⎨⎧-=+=-13732)1(y x y x ⎩⎨⎧-≥+≥-xx x 2062)2(21.（本小题满分8分）如图，把ABC ∆沿BC 翻折得DBC ∆.（1）连接AD ，则BC 与AD 的位置关系是（2）不在原图中添加字母和线段，只加一个条件使四边形ABCD 是平行四边形，写出添加的条件，并说明理由.（第21题）常数 第 3 页 （共8页）22.（本小题满分8分）为了解某市初中学生课外阅读情况，调查小组对该市这学期初中学生阅读课外书籍的册数进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图.（第22题）根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次抽样调查的样本容量是；（2）补全条形统计图；（3）该市共有12000名初中生，估计该市初中学生这学期课外阅读超过2册的人数.23.（本小题满分8分）将图中的A型、B型、C型矩形纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中.（第23题）（1）搅均后从中摸出1个盒子，求摸出的盒子中是A型矩形纸片的概率;（2）搅均后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，求2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率（不重叠无缝隙拼接）.常数第 4 页（共8页）24.（本小题满分8分）如图，已知点A 在反比例函数)0(4>=x x y 的图像上，过点A 作x AC ⊥轴，垂足是C ，AC=OC.一次函数b kx y +=的图像经过点A ，与y 轴的正半轴交于点B. (1)求点A 的坐标；(2)若四边形ABOC 的面积是3，求一次函数b kx y +=的表达式.（第24题）25.（本小题满分8分）京杭大运河是世界文化遗产.综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A 、B 和点C 、D ，先用卷尺量得AB=160m ，CD=40m ，再用测角仪测得，，006030=∠=∠DBA CAB 求该段运河的河宽（即CH 的长）.（第25题）常数 第 5 页 （共8页）26.（本小题满分10分）阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为a x =的形式.求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解;类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组。

中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．对于反比例函数2y x=，下列说法不正确的是（ ） A ．点（﹣2，﹣1）在它的图象上 B ．它的图象在第一、三象限C ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 【答案】C【解析】由题意分析可知，一个点在函数图像上则代入该点必定满足该函数解析式，点（-2，-1）代入可得，x=-2时，y=-1，所以该点在函数图象上，A 正确；因为2大于0所以该函数图象在第一，三象限，所以B 正确；C 中，因为2大于0，所以该函数在x ＞0时，y 随x 的增大而减小，所以C 错误；D 中，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，正确，故选C.考点：反比例函数【点睛】本题属于对反比例函数的基本性质以及反比例函数的在各个象限单调性的变化2．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念，可知：A 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不正确；B 不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不正确；C 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不正确；D 即是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确.故选D.考点：轴对称图形和中心对称图形识别3．姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．甲：函数图像经过第一象限；乙：函数图像经过第三象限；丙：在每一个象限内，y 值随x 值的增大而减小．根据他们的描述，姜老师给出的这个函数表达式可能是（）A ．3y x =B ．3y x =C ．1y x =-D ．2y x 【答案】B【解析】y=3x 的图象经过一三象限过原点的直线，y 随x 的增大而增大，故选项A 错误；y=3x的图象在一、三象限，在每个象限内y 随x 的增大而减小，故选项B 正确；y=−1x的图象在二、四象限，故选项C 错误； y=x²的图象是顶点在原点开口向上的抛物线，在一、二象限，故选项D 错误；故选B.4．如图，数轴上的,,A B C 三点所表示的数分别为a b c 、、，其中AB BC =，如果||||||a c b >>那么该数轴的原点O 的位置应该在（ ）A ．点A 的左边B ．点A 与点B 之间C ．点B 与点C 之间D ．点C 的右边【答案】C【解析】根据绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离，分别判断出点A 、B 、C 到原点的距离的大小，从而得到原点的位置，即可得解．【详解】∵|a|＞|c|＞|b|，∴点A 到原点的距离最大，点C 其次，点B 最小，又∵AB=BC ，∴原点O 的位置是在点B 、C 之间且靠近点B 的地方．故选：C ．【点睛】此题考查了实数与数轴，理解绝对值的定义是解题的关键．5．已知函数y=(k-1)x 2-4x+4的图象与x 轴只有一个交点,则k 的取值范围是( )A ．k≤2且k≠1B ．k<2且k≠1C ．k=2D ．k=2或1 【答案】D【解析】当k+1=0时，函数为一次函数必与x 轴有一个交点；当k+1≠0时，函数为二次函数，根据条件可知其判别式为0，可求得k 的值．【详解】当k-1=0，即k=1时，函数为y=-4x+4，与x 轴只有一个交点；当k-1≠0，即k≠1时，由函数与x 轴只有一个交点可知，∴△=（-4）2-4（k-1）×4=0，解得k=2，综上可知k 的值为1或2，故选D ．【点睛】本题主要考查函数与x 轴的交点，掌握二次函数与x 轴只有一个交点的条件是解题的关键，解决本题时注意考虑一次函数和二次函数两种情况．6．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P 截得的弦AB的长为42，则a的值是（）A．4 B．3＋2C．32D．33【答案】B【解析】试题解析：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC=3，PC=a，把x=3代入y=x得y=3，∴D点坐标为（3，3），∴CD=3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE=BE=12AB=1222，在Rt△PBE中，PB=3，∴223-22（），∴22，∴2．故选B．考点：1．垂径定理；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．勾股定理．7．将1、2、3、6按如图方式排列，若规定（m、n）表示第m排从左向右第n个数，则（6，5）与（13，6）表示的两数之积是（）A．6B．6 C．2D．3【答案】B【解析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．【详解】第一排1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，由此可知：（1，5）表示第1排从左向右第5个数是6，（13，1）表示第13排从左向右第1个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第13排是奇数排，最中间的也就是这排的第7个数是1，那么第1个就是6，则（1，5）与（13，1）表示的两数之积是1．故选B．8．“山西八分钟，惊艳全世界”.2019年2月25日下午，在外交部蓝厅隆重举行山西全球推介活动．山西经济结构从“一煤独大”向多元支撑转变，三年累计退出煤炭过剩产能8800余万吨，煤层气产量突破56亿立方米．数据56亿用科学记数法可表示为（）A．56×108B．5.6×108C．5.6×109D．0.56×1010【答案】C【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于56亿有10位，所以可以确定n＝10﹣1＝1．【详解】56亿＝56×108＝5.6×101，故选C．【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a 与n 值是关键．9．如图1，在等边△ABC 中，D 是BC 的中点，P 为AB 边上的一个动点，设AP=x ，图1中线段DP 的长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则△ABC 的面积为（ ）A ．4B ．23C ．12D ．3【答案】D【解析】分析： 由图1、图2结合题意可知，当DP ⊥AB 时，DP 最短，由此可得DP 最短=y 最小33，过点P 作PD ⊥AB 于点P ，连接AD ，结合△ABC 是等边三角形和点D 是BC 边的中点进行分析解答即可.详解：由题意可知：当DP ⊥AB 时，DP 最短，由此可得DP 最短=y 最小33，过点P 作PD ⊥AB 于点P ，连接AD ，∵△ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上的中点，∴∠ABC=60°，AD ⊥BC ，∵DP ⊥AB 于点P ，此时3∴BD=332sin 60PD ==， ∴BC=2BD=4，∴AB=4， ∴AD=AB·sin ∠B=4×sin60°=3∴S △ABC=12AD·BC=1234432⨯=故选D.点睛：“读懂题意，知道当DP⊥AB于点P时，DP最短=3”是解答本题的关键.x x+=的根是（）10．方程(2)0A．x=2 B．x=0 C．x1=0，x2=-2 D．x1=0，x2=2【答案】C【解析】试题解析：x（x+1）=0，⇒x=0或x+1=0，解得x1=0，x1=-1．故选C．二、填空题（本题包括8个小题）11．若4a+3b=1，则8a+6b-3的值为______.【答案】-1【解析】先求出8a+6b的值，然后整体代入进行计算即可得解．【详解】∵4a+3b=1，∴8a+6b=2，8a+6b-3=2-3=-1；故答案为：-1．【点睛】本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键．12．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为_____．【答案】x1＝1，x2＝﹣1．【解析】直接观察图象，抛物线与x轴交于1，对称轴是x＝﹣1，所以根据抛物线的对称性可以求得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而求得关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解．【详解】解：观察图象可知，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣1，0），∴一元二次方程﹣x 2+bx+c ＝0的解为x 1＝1，x 2＝﹣1．故本题答案为：x 1＝1，x 2＝﹣1．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系．一元二次方程-x 2+bx+c=0的解实质上是抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴交点的横坐标的值．13．如图，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过此正方形的顶点B 、D 作BF a ⊥于点F 、DE a ⊥ 于点E ．若85DE BF ==，，则EF 的长为________．【答案】13【解析】根据正方形的性质得出AD=AB ，∠BAD=90°，根据垂直得出∠DEA=∠AFB=90°，求出∠EDA=∠FAB ，根据AAS 推出△AED ≌△BFA ，根据全等三角形的性质得出AE=BF=5，AF=DE=8，即可求出答案；【详解】∵ABCD 是正方形(已知)，∴AB=AD,∠ABC=∠BAD=90°；又∵∠FAB+∠FBA=∠FAB+∠EAD=90°，∴∠FBA=∠EAD(等量代换)；∵BF ⊥a 于点F ，DE ⊥a 于点E ，∴在Rt △AFB 和Rt △AED 中，∵90{AFB DEA FBA EAD AB DA∠=∠=︒∠=∠=，∴△AFB ≌△AED(AAS)，∴AF=DE=8,BF=AE=5(全等三角形的对应边相等)，∴EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13.故答案为13.点睛：本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，能求出△AED ≌△BFA 是解此题的关键．14．在一次摸球实验中，摸球箱内放有白色、黄色乒乓球共50个，这两种乒乓球的大小、材质都相同．小明发现，摸到白色乒乓球的频率稳定在60%左右，则箱内黄色乒乓球的个数很可能是________．【答案】20【解析】先设出白球的个数，根据白球的频率求出白球的个数，再用总的个数减去白球的个数即可．【详解】设黄球的个数为x个，∵共有黄色、白色的乒乓球50个，黄球的频率稳定在60%，∴x＝60%，50解得x＝30，∴布袋中白色球的个数很可能是50－30＝20(个).故答案为：20.【点睛】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.15．一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是_____边形．【答案】1【解析】根据多边形的内角和定理：180°•（n-2）求解即可．【详解】由题意可得：180°•（n-2）=150°•n，解得n=1．故多边形是1边形．16．若a:b=1:3，b:c=2:5，则a:c=_____.【答案】2∶1【解析】分析：已知a、b两数的比为1：3，根据比的基本性质，a、b两数的比1：3=（1×2）：（3×2）=2：6；而b、c的比为：2：5=（2×3）：（5×3）=6：1；，所以a、c两数的比为2：1．详解：a：b=1：3=（1×2）：（3×2）=2：6；b：c=2：5=（2×3）：（5×3）=6：1；，所以a：c=2：1；故答案为2:1．点睛：本题主要考查比的基本性质的实际应用，如果已知甲乙、乙丙两数的比，那么可以根据比的基本性质求出任意两数的比．17．因式分解：9a2﹣12a+4＝______．【答案】（3a﹣1）1【解析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【详解】9a1-11a+4=（3a-1）1．故答案是：（3a﹣1）1.【点睛】考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．18．27的立方根为．【答案】1【解析】找到立方等于27的数即可．解：∵11=27，∴27的立方根是1，故答案为1．考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，热气球探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°，看这栋楼底部C 处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离AD 为100米，试求这栋楼的高度BC ．【答案】这栋楼的高度BC 是4003米． 【解析】试题分析：在直角三角形ADB 中和直角三角形ACD 中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得BD 和CD 的长，从而可以求得BC 的长．试题解析：解：∵90ADB ADC ∠∠＝＝°，30BAD ∠＝°，60CAD ∠＝°，AD ＝100，∴在Rt ABD 中，1003tan 3BD AD BAD ⋅∠＝＝ 在Rt ACD 中，tan 1003CD AD CAD ⋅∠＝＝.∴33BC BD CD ＝＋＝． 点睛：本题考查解直角三角形的应用－仰角俯角问题，解答此类问题的关键是明确已知边、已知角和未知边之间的三角函数关系．20．如图，已知一次函数y=32x ﹣3与反比例函数k y x=的图象相交于点A （4，n ），与x 轴相交于点B ． 填空：n 的值为 ，k 的值为 ； 以AB 为边作菱形ABCD ，使点C 在x轴正半轴上，点D 在第一象限，求点D 的坐标； 考察反比函数k y x =的图象，当2y ≥-时，请直接写出自变量x 的取值范围．【答案】 (1)3，1；133)；(3) x 6≤-或x 0>【解析】（1）把点A （4，n ）代入一次函数y=32x-3，得到n 的值为3；再把点A （4，3）代入反比例函数k y x=，得到k 的值为1； （2）根据坐标轴上点的坐标特征可得点B 的坐标为（2，3），过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E ，过点D 作DF ⊥x 轴，垂足为F ，根据勾股定理得到13AAS 可得△ABE ≌△DCF ，根据菱形的性质和全等三角形的性质可得点D 的坐标；（3）根据反比函数的性质即可得到当y≥-2时，自变量x 的取值范围．【详解】解：（1）把点A （4，n ）代入一次函数y=32x-3，可得n=32×4-3=3； 把点A （4，3）代入反比例函数k y x =，可得3=4k ， 解得k=1．（2）∵一次函数y=32x-3与x 轴相交于点B ， ∴32x-3=3， 解得x=2，∴点B 的坐标为（2，3），如图，过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E ，过点D 作DF ⊥x 轴，垂足为F ，∵A （4，3），B （2，3），∴OE=4，AE=3，OB=2，∴BE=OE-OB=4-2=2，在Rt △ABE 中， 22223123AE BE ++==∵四边形ABCD 是菱形，∴13AB ∥CD ，∴∠ABE=∠DCF ，∵AE ⊥x 轴，DF ⊥x 轴，∴∠AEB=∠DFC=93°，在△ABE 与△DCF 中，AEB DFC ABE DCF AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DCF （ASA ），∴CF=BE=2，DF=AE=3，∴1313∴点D 的坐标为（133）．（3）当y=-2时，-2=12x，解得x=-2． 故当y≥-2时，自变量x 的取值范围是x≤-2或x ＞3．21．某中学九年级甲、乙两班商定举行一次远足活动，A 、B 两地相距10千米，甲班从A 地出发匀速步行到B 地，乙班从B 地出发匀速步行到A 地.两班同时出发，相向而行.设步行时间为x 小时，甲、乙两班离A 地的距离分别为1y 千米、2y 千米，1y 、2y 与x 的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题：直接写出1y 、2y 与x 的函数关系式；求甲、乙两班学生出发后，几小时相遇？相遇时乙班离A 地多少千米？甲、乙两班相距4千米时所用时间是多少小时?【答案】（1）y 1=4x ，y 2=-5x+1．（2）409km ．（3）23h ． 【解析】（1）由图象直接写出函数关系式；（2）若相遇，甲乙走的总路程之和等于两地的距离.【详解】(1)根据图可以得到甲2.5小时,走1千米,则每小时走4千米,则函数关系是：y 1=4x ，乙班从B 地出发匀速步行到A 地,2小时走了1千米,则每小时走5千米,则函数关系式是：y 2=−5x+1.(2)由图象可知甲班速度为4km/h ，乙班速度为5km/h ，设甲、乙两班学生出发后，x 小时相遇，则4x+5x=1，解得x=109. 当x=109时,y 2=−5×109+1=409， ∴相遇时乙班离A 地为409km. (3)甲、乙两班首次相距4千米，即两班走的路程之和为6km ，故4x+5x=6，解得x=23h. ∴甲、乙两班首次相距4千米时所用时间是23h. 22．某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠.若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元.请问该学校九年级学生有多少人？【答案】1人【解析】解：设九年级学生有x 人，根据题意，列方程得：19361936?0.8x x 88⋅=+，整理得0.8（x+88）=x ，解之得x=1． 经检验x=1是原方程的解．答：这个学校九年级学生有1人．设九年级学生有x 人，根据“给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元”可得每个文具包的花费是：1936x元，根据“若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元”可得每个文具包的花费是：1936?x88+，根据题意可得方程19361936?0.8x x88⋅=+，解方程即可．23．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB 的延长线于G．求证：△ADE≌△CBF；若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形；证明见解析；【解析】（1）在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用（SAS，ASA，SSS）来证明全等；（2）先由菱形的性质得出AE=BE=DE，再通过角之间的关系求出∠2+∠3=90°即∠ADB=90°，所以判定四边形AGBD是矩形．【详解】解：()1证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴4C∠=∠，AD CB=，AB CD=．∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴12AE AB=，12CF CD=．∴AE CF=．在AED和CBF中，AD CBDAE CAE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ADE CBF SAS≅．()2解：当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴//AD BC．∵//AG BD ，∴四边形AGBD 是平行四边形．∵四边形BEDF 是菱形，∴DE BE =．∵AE BE =，∴AE BE DE ==．∴12∠=∠，34∠=∠．∵1234180∠+∠+∠+∠=，∴2223180∠+∠=．∴2390∠+∠=．即90ADB ∠=．∴四边形AGBD 是矩形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的基本性质和矩形的判定及全等三角形的判定．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．三角形全等的判定条件：SSS ，SAS ，AAS ，ASA ．24．学校为了提高学生跳远科目的成绩,对全校500名九年级学生开展了为期一个月的跳远科目强化训练。

2018年江苏省高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣4）＜0}，B={0，1，5}，则A∩B={1} ．【解答】解：∵集合A={x|x（x﹣4）＜0}={x|0＜x＜4}，B={0，1，5}，∴A∩B={1}．故答案为：{1}．2．（5分）设复数z=a+i（a∈R，i为虚数单位），若（1+i）•z为纯虚数，则a的值为1．【解答】解：∵z=a+i，∴（1+i）•z=（1+i）（a+i）=a﹣1+（a+1）i，又（1+i）•z为为纯虚数，∴a﹣1=0即a=1．故答案为：1．3．（5分）为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50，100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为1200．【解答】解：由频率分布直方图得：该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的频率为：1﹣（0.005+0.035+0.020+0.010）×10=0.3，∴估计该县小学六年级4000名学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为：4000×0.3=1200．故答案为：1200．4．（5分）执行如图所示的伪代码，若x=0，则输出的y的值为1．【解答】解：根据题意知，执行程序后，输出函数y=，当x=0时，y=e0=1．故答案为：1．5．（5分）口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为．【解答】解：口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，从袋中一次随机摸出2个球，基本事件总数n==6，摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有：（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个，∴摸出的2个球的编号之和大于4的概率为p=．故答案为：．6．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数p 的值为6．【解答】解：∵双曲线的方程，∴a2=4，b2=5，可得c==3，因此双曲线的右焦点为F（3，0），∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合，∴=3，解之得p=6．故答案为：6．7．（5分）设函数y=e x﹣a的值域为A，若A⊆[0，+∞），则实数a的取值范围是（﹣∞，2] ．【解答】解：函数y=e x﹣a的值域为A∵e x=2，∴值域为A=[2﹣a，+∞）．又∵A⊆[0，+∞），∴2﹣a≥0，即a≤2．故答案为：（﹣∞，2]．8．（5分）已知锐角α，β满足（tanα﹣1）（tanβ﹣1）=2，则α+β的值为．【解答】解：∵（tanα﹣1）（tanβ﹣1）=2，可得：tanα+tanβ+1=tanαtanβ，∴tan（α+β）=═﹣1，∵锐角α，β，可得：α+β∈（0，π），∴α+β=．故答案为：．9．（5分）若函数y=sinωx在区间[0，2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是（0，] ．【解答】解：由函数y=sinωx，图象过原点，若ω＜0，图象在x轴下方单调递减，∴ω＞0，因为y=Sinωx在[0，2π]单调递增，说明其至少在[0，2π]单调递增，则其周期至少8π，∴，即．故答案为：（0，]10．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若{a n}的前2017项中的奇数项和为2018，则S2017的值为4034．【解答】解：因为S n为等差数列{a n}的前n项和，且{a n}的前2017项中的奇数项和为2018，=a1+a3+a5+…+a2017=1009×（a1+a2017）×=2018，得a1+a2017═4．所以S奇则S2017=（a1+a2017）=2017×2=4034故答案为：4034．11．（5分）设函数f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=，若函数y=f（x）﹣m 有四个不同的零点，则实数m的取值范围是[1，）．【解答】解：由0≤x≤3可得f（x）∈[0，]，x＞3时，f（x）∈（0，1）．画出函数y=f（x）与y=m的图象，如图所示，∵函数y=f（x）﹣m有四个不同的零点，∴函数y=f（x）与y=m的图象有4个交点，由图象可得m的取值范围为[1，），故答案为：[1，）．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=k（x﹣3）上存在一点P，圆x2+（y﹣1）2=1上存在一点Q，满足=3，则实数k的最小值为﹣．【解答】解：【解法一】设P（x1，y1），Q（x2，y2）；则y1=k（x1﹣3）①，+（y2﹣1）2=1②；由=3，得，即，代入②得+=9；此方程表示的圆心（0，3）到直线kx﹣y﹣3k=0的距离为d≤r；即≤3，解得﹣≤k≤0．∴实数k的最小值为﹣．【解法二】设P（x，y），Q（x0，y0）；则+（y0﹣1）2=1①；由=3，得，即，代入①化简得x2+（y﹣3）2=9；∴点P的轨迹是圆心为（0，3），半径为3的圆的方程，又点P在直线kx﹣y﹣3k=0上，如图所示；则直线与该圆有公共点，即圆心到直线的距离为d≤r；∴≤3，解得﹣≤k≤0；∴实数k的最小值为﹣．故答案为：﹣．13．（5分）如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若A，B，C，D四点均位于图中的“晶格点”处，且A，B的位置所图所示，则的最大值为24．【解答】解：建立如图的直角坐标系，则A（，），B（0，0），那么容易得到C（0，5）时，D的位置可以有三个位置，其中D1（﹣，），D2（﹣，0），D3（﹣，），此时=（﹣，﹣），=（﹣，﹣），=（﹣，﹣5），=（﹣，﹣），则•=21，•=24，•=22.5，则的最大值为24，故答案为：24．14．（5分）若不等式ksin2B+sinAsinC＞19sinBsinC对任意△ABC都成立，则实数k的最小值为100．【解答】解：∵ksin2B+sinAsinC＞19sinBsinC，由正弦定理可得：kb2+ac＞19bc，∴k＞，又∵c﹣b＜a＜b+c，∴﹣b﹣c＜﹣a＜b﹣c，∴＜19+（）=20﹣（）2=100﹣（﹣10）2，当=10时，20﹣（）2取得最大值20×10﹣102=100．∴k≥100，即实数k的最小值为100．故答案为：100二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，点M，N分别是AB，A1B1的中点．（1）求证：BN∥平面A1MC；（2）若A1M⊥AB1，求证：AB1⊥A1C．【解答】证明：（1）因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AB∥A1B1，且AB=A1B1，又点M，N分别是AB、A1B1的中点，所以MB=A1N，且MB∥A1N．所以四边形A1NBM是平行四边形，从而A1M∥BN．又BN⊄平面A1MC，A1M⊂平面A1MC，所以BN∥平面A1MC；（2）因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥底面ABC，而AA1⊂侧面ABB1A1，所以侧面ABB1A1⊥底面ABC．又CA=CB，且M是AB的中点，所以CM⊥AB．则由侧面ABB1A1⊥底面ABC，侧面ABB1A1∩底面ABC=AB，CM⊥AB，且CM⊂底面ABC，得CM⊥侧面ABB1A1．又AB1⊂侧面ABB1A1，所以AB1⊥CM．又AB1⊥A1M，A1M、MC平面A1MC，且A1M∩MC=M，所以AB1⊥平面A1MC．又A1C⊂平面A1MC，所以AB⊥A1C．16．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c 已知c=．（1）若C=2B，求cosB的值；（2）若=，求cos（B）的值．【解答】解：（1）因为c=，则由正弦定理，得sinC=sinB．…（2分）又C=2B，所以sin2B=sinB，即2sinBcosB=sinB．…（4分）又B是△ABC的内角，所以sinB＞0，故cosB=．…（6分）（2）因为=，所以cbcosA=bacosC，则由余弦定理，得b2+c2﹣a2=b2+a2﹣c2，得a=c．…（10分）从而cosB==，…（12分）又0＜B＜π，所以sinB==．从而cos（B+）=cosBcos﹣sinBsin=．…（14分）17．（14分）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF是以O为圆心、∠EOF=120°的扇形，且弧，分别与边BC，AD相切于点M，N．（1）当BE长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？【解答】解：（1）在图甲中，连接MO交EF于点T．设OE=OF=OM=R，在Rt△OET中，因为∠EOT=∠EOF=60°，所以OT=，则MT=0M﹣OT=．从而BE=MT=，即R=2BE=2．故所得柱体的底面积S=S扇形OEF ﹣S△OEF=πR2﹣R2sin120°=﹣，又所得柱体的高EG=4，所以V=S×EG=﹣4．答：当BE长为1（分米）时，折卷成的包装盒的容积为﹣4立方分米．（2）设BE=x，则R=2x，所以所得柱体的底面积S=S扇形OEF﹣S△OEF=πR2﹣R2sin120°=（﹣）x2，又所得柱体的高EG=6﹣2x，所以V=S×EG=（﹣2）（﹣x3+3x2），其中0＜x＜3．令f（x）=﹣x3+3x2，0＜x＜3，则由f′（x）=﹣3x2+6x=﹣3x（x﹣2）=0，解得x=2．列表如下：所以当x=2时，f（x）取得最大值．答：当BE的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交于点P，Q，且点Q是线段OP的中点．当点N运动到点（）处时，点Q 的坐标为（）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线MN交y轴于点D，当点M，N均在y轴右侧，且=2时，求直线BM的方程．【解答】解：（1）由N（），点Q的坐标为（），得直线NQ的方程为y=x﹣，令x=0，得点B的坐标为（0，﹣）．所以椭圆的方程为+=1．将点N的坐标（，）代入，得+=1，解得a2=4．所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）：设直线BM的斜率为k（k＞0），则直线BM的方程为y=x﹣．在y=kx﹣中，令y=0，得x P=，而点Q是线段OP的中点，所以x Q=．所以直线BN的斜率k BN=k BQ==2k．联立，消去y，得（3+4k2）x2﹣8kx=0，解得x M=．用2k代k，得x N=．又=2，所以x N=2（x M﹣x N），得2x M=3x N，故2×==3×，又k＞0，解得k=．所以直线BM的方程为y=x﹣19．（16分）设数列{a n}满足a=a n+1a n﹣1+λ（a2﹣a1）2，其中n≥2，且n∈N，λ为常数．（1）若{a n}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；（2）若a1=1，a2=2，a3=4，且存在r∈[3，7]，使得m•a n≥n﹣r对任意的n∈N*都成立，求m的最小值；=a n对任意（3）若λ≠0，且数列{a n}不是常数列，如果存在正整数T，使得a n+T的n∈N*均成立．求所有满足条件的数列{a n}中T的最小值．【解答】解：（1）由题意，可得a=（a n+d）（a n﹣d）+λd2，化简得（λ﹣1）d2=0，又d≠0，所以λ=1．（2）将a1=1，a2=2，a3=4，代入条件，可得4=1×4+λ，解得λ=0，所以a=a na n﹣1，所以数列{a n}是首项为1，公比q=2的等比数列，+1所以a n=2n﹣1．欲存在r∈[3，7]，使得m•2n﹣1≥n﹣r，即r≥n﹣m•2n﹣1对任意n∈N*都成立，则7≥n﹣m•2n﹣1，所以m≥对任意n∈N*都成立．令b n=，则b n+1﹣b n=﹣=，＜b n；当n=8时，b9=b8；当n＜8时，b n+1＞b n．所以当n＞8时，b n+1所以b n的最大值为b9=b8=，所以m的最小值为；（3）因为数列{a n}不是常数列，所以T≥2，=a n恒成立，从而a3=a1，a4=a2，①若T=2，则a n+2所以，所以λ（a2﹣a1）2=0，又λ≠0，所以a2=a1，可得{a n}是常数列，矛盾．所以T=2不合题意．②若T=3，取a n=（*），满足a n+3=a n恒成立．由a22=a1a3+λ（a2﹣a1）2，得λ=7．则条件式变为a n2=a n+1a n﹣1+7．由22=1×（﹣3）+7，知a3k﹣12=a3k﹣2a3k+λ（a2﹣a1）2；由（﹣3）2=2×1+7，知a3k2=a3k﹣1a3k+1+λ（a2﹣a1）2；由12=2×（﹣3）+7，知a3k+12=a3k a3k+2+λ（a2﹣a1）2；所以，数列（*）适合题意．所以T的最小值为3．20．（16分）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+（a，b，c∈R）．（1）当c=0时，若函数f（x）与g（x）的图象在x=1处有相同的切线，求a，b 的值；（2）当b=3﹣a时，若对任意x0∈（1，+∞）和任意a∈（0，3），总存在不相等的正实数x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），求c的最小值；（3）当a=1时，设函数y=f（x）与y=g（x）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．求证：x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1．【解答】解：（1）由f（x）=lnx，得f（1）=0，又f′（x）=，所以f′（1）=1，当c=0时，g（x）=ax+，所以g′（x）=a﹣，所以g′（1）=a﹣b，因为函数f（x）与g（x）的图象在x=1处有相同的切线，所以，即，解得a=，b=﹣；（2）当x0＞1时，则f（x0）＞0，又b=3﹣a，设t=f（x0），则题意可转化为方程ax+﹣c=t（t＞0）在（0，+∞）上有相异两实根x1，x2．即关于x的方程ax2﹣（c+t）x+（3﹣a）=0（t＞0）在（0，+∞）上有相异两实根x1，x2．所以，得，所以c＞2﹣t对t∈（0，+∞），a∈（0，3）恒成立．因为0＜a＜3，所以2≤2•=3（当且仅当a=时取等号），又﹣t＜0，所以2﹣t的取值范围是（﹣∞，3），所以c≥3．故c的最小值为3．（3）当a=1时，因为函数f（x）与g（x）的图象交于A，B两点，所以，两式相减，得b=x1x2（1﹣），要证明x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1，即证x1x2﹣x2＜x1x2（1﹣）＜x1x2﹣x1，即证＜＜，即证＜ln＜，即证1﹣＜ln＜﹣1，令=t，则t＞1，此时即证1﹣＜lnt＜t﹣1．令φ（t）=lnt+﹣1，所以φ′（t）=﹣=＞0，所以当t＞1时，函数φ（t）单调递增．又φ（1）=0，所以φ（t）=lnt+﹣1＞0，即1﹣＜lnt成立；再令m（t）=lnt﹣t+1，所以m′（t）=﹣1=＜0，所以当t＞1时，函数m（t）单调递减，又m（1）=0，所以m（t）=lnt﹣t+1＜0，即lnt＜t﹣1也成立．综上所述，实数x1，x2满足x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1．[选做题]（在21.22.23.24四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选修4-1：几何证明选讲]图21．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点E，AD垂直DE于点D．若DE=4，求切点E到直径AB的距离EF．【解答】解：如图，连接AE，OE，因为直线DE与⊙O相切于点E，所以DE⊥OE，又因为AD⊥DE于D，所以AD∥OE，所以∠DAE=∠OEA，①在⊙O中，OE=OA，所以∠OEA=∠OAE，②…（5分）由①②得∠DAE=∠OAE，即∠DAE=∠FAE，又∠ADE=∠AFE，AE=AE，所以△ADE≌△AFE，所以DE=FE，又DE=4，所以FE=4，即E到直径AB的距离为4．…（10分）[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）已知矩阵M=，求圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程．【解答】解：设P（x0，y0）是圆x2+y2=1上任意一点，则=1，设点P（x0，y0）在矩阵M对应的变换下所得的点为Q（x，y），则=，即，解得，…（5分）代入=1，得=1，∴圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程为=1．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，直线ρcos（θ+）=1与曲线ρ=r（r＞0）相切，求r的值．【解答】解：直线ρcos（θ+）=1，转化为：，曲线ρ=r（r＞0）转化为：x2+y2=r2，由于直线和圆相切，则：圆心到直线的距离d=．所以r=1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数x，y满足x2+3y2=1，求当x+y取最大值时x的值．【解答】解：由柯西不等式，得[x2+（）2][12+（）2]≥（x•1+）2，即≥（x+y）2．而x2+3y2=1，所以（x+y）2，所以﹣，…（5分）由，得，所以当且仅当x=，y=时，（x+y）max=．所以当x+y取最大值时x值为．…（10分）25．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，OP⊥底面ABCD，点M为PC中点，AC=4，BD=2，OP=4．（1）求直线AP与BM所成角的余弦值；（2）求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值．【解答】解：（1）因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又OP⊥底面ABCD，以O为原点，直线OA，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．则A（2，0，0），B（0，1，0），P（0，0，4），C（﹣2，0，0），M（﹣1，0，2）．=（﹣2，0，4），=（01，﹣1，2），cos＜，＞===．故直线AP与BM所成角的余弦值为．…（5分）（2）=（﹣2，1，0），=（﹣1，﹣1，2）．设平面ABM的一个法向量为=（x，y，z），则，令x=2，得=（2，4，3）．又平面PAC的一个法向量为=（0，1，0），∴cos＜＞===．故平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为．…（10分）26．（10分）已知n∈N*，nf（n）=C n0C n1+2C n1C n2+…+nC n n﹣1C n n．（1）求f（1），f（2），f（3）的值；（2）试猜想f（n）的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．【解答】解：（1）由条件，nf（n）=C C C C①，在①中令n=1，得f（1）=1．在①中令n=2，得2f（2）=6，得f（2）=3．在①中令n=3，得3f（3）=30，故f（3）=10．（2）猜想f（n）=．要证猜想成立，只要证等式n=•+2•+…+n•成立．由（1+x）n=+x+x2+…+x n①，两边同时对x求导数，可得n（1+x）n﹣1=+2x+3x2+n x n﹣1②，把等式①和②相乘，可得n（1+x）2n﹣1=（+x+x2+…+x n）•（+2x+3x2+n x n﹣1）③．等式左边x n的系数为n，等式右边x n的系数为•+•2+•3+…+n•n=•+2•+3•+…+n•=C C C C，根据等式③恒成立，可得n=C C C C．故f（n）=成立．。

江苏省常州市2018-2019第一学期教育学会学生学业水平监测高二数学期末统考卷（解析版）一、填空题（本大题共16小题，共80.0分）1.过点，的直线的斜率为______．【答案】【解析】解：根据直线的斜率公式得，故答案为：．根据直线的斜率公式直接进行计算即可．本题主要考查直线斜率的计算，根据两点间直线斜率公式是解决本题的关键．2.命题“，”的否定是______命题选填“真”、“假”之一【答案】假【解析】解：由得，，则命题“，”是真命题，则命题的否定是假命题，故答案为：假根据条件判断特称命题为真命题，则命题的否定为假命题．本题主要考查命题真假的判断，结合含有量词的命题的否定的真假关系是解决本题的关键．3.抛物线的准线方程是______．【答案】【解析】解：，，开口向右，准线方程是．故答案为．先根据抛物线的标准方程形式求出p，再根据开口方向，写出其准线方程．根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化为标准形式，求出的值，再确定开口方向，否则，极易出现错误．4.与正方体各面都相切的球，它的体积与该正方体的体积之比为______．【答案】【解析】解：设球的半径为r，则正方体的棱长为2r，所以，正方体的体积为，球的体积为．所以，球的体积与正方体的体积之比为．故答案为：．设球的半径为r，可得出正方体的棱长为2r，再利用球体的体积公式与正方体的体积公式可得出答案．本题考查球体的体积与正方体的体积公式，解决本题的关键在于弄清楚正方体内切球的半径与正方体棱长之间的关系，考查计算能力，属于中等题．5.若抛物线的顶点为坐标原点，焦点在y轴上，且经过点，则抛物线的方程为______．【答案】【解析】解：由题意可设抛物线方程为，抛物线经过点，，得．抛物线的方程为．故答案为：由题意设出抛物线方程，再由抛物线经过点求得p，则抛物线方程可求．本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的简单性质，是基础题．6.文科做曲线在处的切线方程为______．【答案】【解析】解：的导数为，可得曲线在处的切线斜率为，切点为，即有切线方程为．故答案为：．求得的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得切线方程．本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，直线方程的运用，考查方程思想，属于基础题．7.理科做在空间直角坐标系中，若三点5，，4，，3，共线，则______．【答案】7【解析】解：空间直角坐标系中，三点5，，4，，3，共线，则，；，解得，，．故答案为：7．由题意知、共线，列方程求出a、b的值，再求和．本题考查了空间直角坐标系的三点共线问题，是基础题．8.设，则“”是“”的______条件选填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”之一【答案】充分不必要条件【解析】解：解绝对值不等式“”，得或，又“”是“或”的充分不必要条件，即“”是“”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要条件由绝对值不等式的解法得：由“”，得或，由充分必要条件的有关知识可得：“”是“”的充分不必要条件，得解．本题考查了绝对值不等式的解法及充分必要条件，属简单题．9.若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：由题意可得，即，可得，即a的曲折范围是．故答案为：．由题意可得，由二次不等式的解法，可得所求范围．本题考查椭圆的方程和性质，考查不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．10.一个正四棱锥的底面边长为，侧棱长为5cm，则它的体积为______．【答案】24【解析】解：如图，正四棱锥的底面边长为，．连接AC，BD，交于O，连接PO，则底面ABCD，，又棱长，，．故答案为：24．由已知求得正四棱锥的底面积与高，代入棱锥体积公式求解．本题考查棱锥体积的求法，是基础的计算题．11.双曲线其中的离心率为2，则实数a的值为______．【答案】【解析】解：双曲线的，，可得，解得，故答案为：．求得双曲线的c，由离心率公式，解方程可得a的值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12.文科做已知函数在上存在极小值，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】由函数．得．令，解得．，且，．为的极小值点．函数在区间上存在极小值．即．故答案为：．求导函数，判断其极小值点，从而求得a取值范围．本题主要考察导数研究函数极小值的知识点，运用求导思想方法．13.理科做在长方体中，，则直线与所成角的余弦值为______．。

常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题 2018年1月一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．若集合2{2,0,1},{|1}A B x x =-=>，则集合A B =I ▲ ．2．命题“2[0,1],10x x ∃∈-≥”是 ▲ 命题（选填“真”或“假”）． 3．若复数z 满足22i 1(i )z z ⋅=+其中为虚数单位，则z = ▲ ． 4．若一组样本数据2015，2017，x ，2018，2016的平均数为2017，则该组样本数据的方差为 ▲ ．5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲ ． 6．函数1()ln f x x=的定义域记作集合D ．随机地投掷一枚质地均匀的 正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数1,2,,6L ），记骰子 向上的点数为t ，则事件“t D ∈”的概率为 ▲ ．7．已知圆锥的高为6，体积为8．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为 ▲ ．8．各项均为正数的等比数列{}n a 中，若234234a a a a a a =++，则3a 的最小值为 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，设直线:10l x y ++=与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线都相交且交点都在y 轴左侧，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是 ▲ ．（第5题）10．已知实数,x y 满足0,220,240,x y x y x y -⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥则x y +的取值范围是 ▲ ．11．已知函数()ln f x bx x =+，其中b ∈R ．若过原点且斜率为k 的直线与曲线()y f x =相切，则k b -的值为 ▲ ．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数sin()(0,0π)y x ωϕωϕ=+><<的图象与x 轴的交点,,A B C 满足2OA OC OB +=，则ϕ= ▲ ．13．在ABC ∆中，3,7,5===BC AC AB ，P 为ABC ∆内一点（含边界），若满足)(41R ∈+=λλBC BA BP ，则BP BA ⋅的取值范围为 ▲ ． 14．已知ABC ∆中，3AB AC ==，ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积的最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知ABC ∆中，a b c ,, 分别为三个内角A B C ,, 的对边，3sin cos b C c B c =+． （1）求角B ； （2）若2b ac =，求11tan tan A C+的值． 16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，PC ABCD ⊥平面，PB PD =，点Q 是棱PC 上异于P ，C 的一点． （1）求证：BD AC ⊥；（2）过点Q 和AD 的平面截四棱锥得到截面ADQF （点F 在棱PB 上），求证：QF BC ∥．（第16题）1-1（第12题）17．（本小题满分14分）已知小明（如图中AB 所示）身高1.8米，路灯OM 高3.6米，AB ，OM 均垂直于水平地面，分别与地面交于点A ，O ．点光源从M 发出，小明在地面上的影子记作AB'．（1）小明沿着圆心为O ，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求AB'扫过的图形面积； （2）若3=OA 米，小明从A 出发，以1米/秒的速度沿线段1AA 走到1A ，3π1=∠OAA ，且101=AA 米．t 秒时，小明在地面上的影子长度记为)(t f （单位：米），求)(t f 的表达式与最小值．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(1:2222>>=+b a bya x C 的右焦点为F ，点A 是椭圆的左顶点，过原点的直线MN 与椭圆交于N M ,两点（M 在第三象限），与椭圆的右准线交于P 点．已知MN AM ⊥，且243OA OM b ⋅=u u u r u u u u r ． （1）求椭圆C 的离心率e ； （2）若103AMN POF S S a ∆∆+=，求椭圆C 的标准方程．（第17题）xy（第18题）19．（本小题满分16分）已知各项均为正数的无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1a a =（其中a 为常数），1(1)(1)n n nS n S n n +=+++*()n ∈N ．数列{}n b满足n b =(*)n ∈N ．（1）证明数列{}n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）若无穷等比数列{}n c 满足：对任意的*n ∈N ，数列{}n b 中总存在两个不同的项s b ，t b （*,s t ∈N ），使得s n t b c b ≤≤，求{}n c 的公比q ．20．（本小题满分16分） 已知函数2ln ()()xf x x a =+，其中a 为常数． （1）若0a =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在(0)a -，上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a =-，设函数()f x 在(01)，上的极值点为0x ，求证：0()2f x <-．常州市教育学会学生学业水平监测数学Ⅱ（附加题） 2018年1月21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲在ABC ∆中，N 是边AC 上一点，且2CN AN =，AB 与NBC ∆的外接圆相切，求BCBN的值． B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵421a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 不存在逆矩阵，求： （1）实数a 的值； （2）矩阵A 的特征向量． C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C 的参数方程为2cos 1,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），直线l 的极坐标方程为πsin()24ρθ+=，直线l与曲线C 交于M ，N 两点，求MN 的长． D ．选修4—5：不等式选讲注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1． 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有A 、B 、C 、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回．2． 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3． 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚． 4． 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5． 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． （选修4—1）已知0,0a b >>，求证：3322a b a b ++【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）已知正四棱锥ABCD P -的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量ξ的值：若这两条棱所在的直线相交，则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）； 若这两条棱所在的直线平行，则0=ξ；若这两条棱所在的直线异面，则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制）． （1）求)0(=ξP 的值；（2）求随机变量ξ的分布列及数学期望)(ξE ．23．（本小题满分10分）记11(1)()()2x x x n+⨯+⨯⨯+L （2n ≥且*n ∈N ）的展开式中含x 项的系数为n S ，含2x 项的系数为n T ． （1）求n S ； （2）若2nnT an bn c S =++，对2,3,4n =成立，求实数a b c ,,的值； （3）对（2）中的实数a b c ,,，用数学归纳法证明：对任意2n ≥且*n ∈N ，2n nT an bn cS =++都成立．常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．{2}- 2．真 3．1 4．2 5．7 6．567．38．3 9．(1,2)10．4[,8]3 11．1e 12．34π 13．525[,]84 14．523二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）由正弦定理得3sin sin cos sin sin B C B C C =+，ABC ∆中，sin 0C >，所以3sin cos 1B B -=，所以1sin()62B π-=，5666B πππ-<-<，66B ππ-=，所以3B π=； （2）因为2b ac =，由正弦定理得2sin sin sin B A C =，11cos cos cos sin sin cos sin()sin()sin tan tan sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin A C A C A C A C B BA C A C A C A C A C A C π++-+=+==== 所以，211sin 123tan tan sin sin 3B AC B B +====． 16．（1）证明：PC ABCD ⊥平面，BD ABCD ⊂平面，所以BD PC ⊥，记AC BD ，交于点O ，平行四边形对角线互相平分，则O 为BD 的中点，又PBD ∆中，PB PD =，所以BD OP ⊥， 又=PC OP P I ，PC OP PAC ⊂，平面，所以BD PAC ⊥平面，又AC PAC ⊂平面，所以BD AC ⊥；（2）四边形ABCD 是平行四边形，所以AD BC ∥，又AD PBC ⊄平面，BC PBC ⊂平面，所以AD PBC 平面∥， 又AD ADQF ⊂平面，ADQF PBC QF =I 平面平面，所以AD QF ∥，又AD BC ∥，所以QF BC ∥． 17．解：（1）由题意AB OM ∥，' 1.81' 3.62AB AB OB OM ===，3OA =，所以'6OB =，小明在地面上的身影AB'扫过的图形是圆环，其面积为226327()πππ⨯-⨯=平方米；（2）经过t 秒，小明走到了0A 处，身影为00'A B ，由（1）知000'12A B AB OB OM ==，所以22000000()'2cos f t A B OA OA AA OA AA OAA ===+-⋅∠，化简得2()39,010f t t t t =-+<≤，2327()24f t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当32t =时，()f t 的最小值为33， 答：2()39,010f t t t t =-+<≤，当32t =（秒）时，()f t 的最小值为33（米）．18．解：（1）由题意22222221()()22x y a b a a x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，消去y 得22220c x ax b a ++=，解得2122ab x a x c =-=-，， 所以22(,0)M ab x a c =-∈-，22243M A ab OA OM x x a b c ⋅===u u u r u u u u r ，2234c a =，所以e ；（2）由（1）2(,)3M b -，右准线方程为x ， 直线MN的方程为y，所以)P ，212POF P S OF y ∆=⋅=，222AMN AOM M S S OA y b ∆∆==⨯=，所以2210+33a =2203b =，所以b a == 椭圆C 的标准方程为12822=+y x ． 19．解：（1）方法一：因为1(1)(1)n n nS n S n n +=+++①， 所以21(1)(2)(1)(2)n n n S n S n n +++=++++②，由②-①得，211(1)(2)(1)2(1)n n n n n S nS n S n S n ++++-=+-+++， 即21(1)(22)(1)2(1)n n n n S n S n S n +++=+-+++，又10n +>， 则2122n n n S S S ++=-+，即212n n a a ++=+．在1(1)(1)n n nS n S n n +=+++中令1n =得，12122a a a +=+，即212a a =+． 综上，对任意*n ∈N ，都有12n n a a +-=， 故数列{}n a 是以2为公差的等差数列． 又1a a =，则22n a n a =-+．方法二：因为1(1)(1)n n nS n S n n +=+++，所以111n n S S n n +=++，又11S a a ==，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以a 为首项，1为公差的等差数列，因此1nS n a n=-+，即2(1)n S n a n =+-． 当2n ≥时，122n n n a S S n a -=-=-+，又1a a =也符合上式，故22n a n a =-+(*)n ∈N ，故对任意*n ∈N ，都有12n n a a +-=，即数列{}n a 是以2为公差的等差数列． （2）令12122n n n a e a n a +==+-+，则数列{}n e 是递减数列，所以211n e a<+≤． 考察函数1y x x =+(1)x >，因为2221110x y x x -'=-=>，所以1y x x=+在(1,)+∞上递增． 因此1422(2)n n e e a a <+++≤，从而n b =． 因为对任意的*n ∈N ，总存在数列{}n b 中的两个不同项s b ，t b ，使得s n t b c b ≤≤，所以对任意的*n ∈N都有n c ∈，明显0q >．若1q >，当1log q n +≥有111n n n c c q --=>不符合题意，舍去；若01q <<，当1log qn +≥111n n n c c q --=，不符合题意，舍去；故1q =． 20．解：（1）当0a =时，2ln ()xf x x =，定义域为(0)+∞，． 312ln ()xf x x-'=，令()0f x '=，得x =∴当x =()f x 的极大值为2e，无极小值． （2）312ln ()()ax x f x x a +-'=+，由题意()0f x '≥对(0)x a ∈-，恒成立． ∵(0)x a ∈-，，∴3()0x a +<， ∴12ln 0ax x+-≤对(0)x a ∈-，恒成立． ∴2ln a x x x -≤对(0)x a ∈-，恒成立．令()2ln g x x x x =-，(0)x a ∈-，， 则()2ln 1g x x '=+， ①若120ea -<-≤，即120ea ->≥-，则()2ln 10g x x '=+<对(0)x a ∈-，恒成立，∴()2ln g x x x x =-在(0)a -，上单调递减，则2()ln()()a a a a ---≤-，∴ln()a -0≤，∴1a -≤与12e a -≥-矛盾，舍去；②若12ea -->，即12ea -<-，令()2ln 10g x x '=+=，得12ex -=，当120e x -<<时，()2ln 10g x x '=+<，∴()2ln g x x x x =-单调递减，当12ex a -<<-时，()2ln 10g x x '=+>，∴()2ln g x x x x =-单调递增，∴当12ex -=时，1111122222min [()](e)2eln(e )e 2eg x g -----==-=-g ，∴122e a --≤． 综上122ea --≤．（3）当1a =-时，2ln ()(1)xf x x =-，312ln ()(1)x x x f x x x --'=-． 令()12ln h x x x x =--，(01)x ∈，， 则()12(ln 1)2ln 1h x x x '=-+=--，令()0h x '=，得12e x -=．①当12e1x -<≤时，()0h x '≤，∴()12ln h x x x x =--单调递减，12()(02e 1]h x -∈-，，∴312ln ()0(1)x x x f x x x --'=<-恒成立，∴2ln ()(1)x f x x =-单调递减，且12()(e )f x f -≤， ②当120ex -<≤时，()0h x '≥，∴()12ln h x x x x =--单调递增，其中1111()12ln()02222h =--⋅=， 又222225(e )e 12e ln(e )10e h ----=--⋅=-<， ∴存在唯一201(e ,)2x -∈，使得0()0h x =，∴0()0f x '=，当00x x <<时，()0f x '>，∴2ln ()(1)xf x x =-单调递增，当120ex x -<≤时，()0f x '<，∴2ln ()(1)x f x x =-单调递减，且12()(e )f x f -≥， 由①和②可知，2ln ()(1)xf x x =-在0(0)x ，单调递增，在0(1)x ，上单调递减，∴当0x x =时，2ln ()(1)xf x x =-取极大值．∵0000()12ln 0h x x x x =--=，∴0001ln 2x x x -=， ∴00220000ln 11()112(1)(1)2()22x f x x x x x ===----， 又01(0)2x ∈，，∴201112()(0)222x --∈-，，∴0201()2112()22f x x =<---．常州市教育学会学生学业水平监测 高三数学Ⅱ（附加题） 参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲解：记NBC ∆外接圆为圆O ，AB 、AC 分别是圆O 的切线和割线，所以2AB AN AC =⋅， 又A A ∠=∠，所以ABN ∆与ACB ∆相似，所以BC AB ACBN AN AB==，所以 23BC AB AC AC BN AN AB AN ⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭，BC BN = B ．选修4—2：矩阵与变换 （2）42=021λλ----，即(4)(1)40λλ---=，所以250λλ-=，解得120,5λλ== 10λ=时，42020x y x y --=⎧⎨--=⎩，2y x =-，属于10λ=的一个特征向量为12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦；25λ=时，20240x y x y -=⎧⎨-+=⎩，2x y =，属于10λ=的一个特征向量为21⎡⎤⎢⎥⎣⎦．C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：曲线22:(1)4C x y -+=，直线:20l x y +-=，圆心(1,0)C 到直线l 的距离为d ==MN =D ．选修4—5：不等式选讲证明：0,0a b >>，不妨设0a b >≥，则5522a b ≥，1122a b ≥，由排序不等式得5151515122222222a ab b a b b a ++≥，所以51515151222222222222a ab b a b b aa b a b ++++≥【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，容易得到PAC ∆，PBD ∆为等腰直角三角形．ξ的可能取值为：ππ0,,32，共2828C =种情况，其中：0ξ=时，有2种；π3ξ=时，有34+24=20⨯⨯种；π2ξ=时，有2+4=6种；（1）141282)0(===ξP ； （2）7528164)3π(=+==ξP ，143286)2π(===ξP ．再根据（1）的结论，随机变量ξ的分布列如下表：根据上表，π8414273140)(=⨯+⨯+⨯=ξE ． 23．解：（1）1122!(1)!nn n S n n ++++==-L ．（2）222=3T S ，3311=6T S ，447=2T S ， 则2=42311=93671692a b c a b c a b c ⎧++⎪⎪⎪++⎨⎪⎪=++⎪⎩，，， 解得1114126a b c ==-=-，，． （3）①当2n =时，由（2）知等式成立；②假设*(N ,2)n k k k =∈且≥时，等式成立，即21114126k k T k k S =--； 当1n k =+时，由2111()(1)()()()21111[(1)()()]()2111()()!1k k f x x x x x k k x x x x k k S x T x x k k =+⨯+⨯⨯+⨯++=+⨯+⨯⨯+⨯++=+++++L L L知211111112[1()]1(1)!14126k k kk T S T k k k k k ++=+=+--+-+，所以2211111112[1()]32(35)(1)!14126(1)11212122!k k k k k T k k k k k k k k k S k k ++++----+-+==++=+++⎛⎫⎪⎝⎭， 又2111(35)(1)(1)412612k k k k ++-+-=，等式也成立； 综上可得，对任意2n ≥且*n ∈N ，都有2nnT an bn c S =++成立．。

江苏省常州市教育学会2018-2019学年高一上学期期末学业水平监测数学试题一、填空题（本大题共14小题，共56.0分）1.已知集合0，1，2，，，则中元素的个数为______．A ={−1,3}B ={x|x <2}A ∩B 【答案】3【解析】解：集合B 表示小于2的一切实数，∵0，，∴A ∩B ={−1,1}中元素的个数为3．∴A ∩B 故答案为：3．直接利用交集运算得，然后可查个数．A ∩B 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.______．2lg2+lg25=【答案】2【解析】解： 2lg2+lg25 =lg4+lg25 =lg100．=2故答案为：2．利用对数的性质、运算法则直接求解．本题考查对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用．3.函数的定义域为______．f(x)=log 2x +3−x 【答案】(0,3]【解析】解：由，解得．{x >03−x ≥00<x ≤3函数的定义域为．∴f(x)=log 2x +3−x (0,3]故答案为：．(0,3]直接利用对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0，联立不等式组求解即可．本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题．4.已知角的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则实数yαP(−3,y)sinα=45的值为______．【答案】4【解析】解：角的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点，∵αP(−3,y)若，则实数，sinα=y 9+y2=45y =4故答案为：4．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得y 的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．5.已知向量，，若，则______．⃗a =(3,−2)⃗b =(cosθ,sinθ)⃗a⊥⃗b tanθ=【答案】32【解析】解：；∵⃗a⊥⃗b ；∴⃗a ⋅⃗b=3cosθ−2sinθ=0；∴3cosθ=2sinθ．∴tanθ=32故答案为：．32根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可得出，从而可求出的值．⃗a⊥⃗b ⃗a ⋅⃗b=03cosθ=2sinθtanθ考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，弦化切公式．6.若扇形的圆心角为2rad ，面积为，则该扇形的半径为______cm ．4cm 2【答案】2【解析】解：设扇形的圆心角大小为，半径为r ，α(rad)由题意可得：扇形的面积为：，可得：，S =12×α×r 24=12×2×r 2解得：．r =2故答案为：2．由题意根据扇形的面积得出结果．此题考查了扇形的面积公式，能够灵活运用是解题的关键，属于基础题．7.已知函数，则的值为______．f(x)={sinx,x ≤0f(x−π3),x >0f(π6)【答案】−12【解析】解：函数，∵f(x)={sinx,x ≤0f(x−π3),x >0．∴f(π6)=f(π6−π3)=f(−π6)=sin(−π6)=−sin π6=−12故答案为：．−12推导出，由此能求出结果．f(π6)=f(π6−π3)=f(−π6)=sin(−π6)本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.设，，，则a ，b ，c 的大小关系用“”连接为______．a =0.23b =30.2c =log 0.32<【答案】c <a <b【解析】解：，∵0<a =0.23<0.20=1，b =30.2>30=1，c =log 0.32<log 0.31=0则a ，b ，c 的大小关系用“”连接为．<c <a <b 故答案为：．c <a <b 利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.若二次函数在区间上是单调増函数，则实数m 的取值范围是______．f(x)=mx 2+x−m (−∞,l)【答案】[−12,0)【解析】解：二次函数在区间上是单调増函数，∵f(x)=mx 2+x−m (−∞,l)，解得，∴{m <0−12m ≥112≤m <0实数m 的取值范围是．∴[−12,0)故答案为：．[−12,0)由二次函数在区间上是单调増函数，得到，由此能求出实数m 的取值范f(x)=mx 2+x−m (−∞,l){m <0−12m ≥1围．本题考查实数的取值范围的求法，考查二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.若，，则______．tan(α−β)=17tanα=3tanβ=【答案】2【解析】解：，∵tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=17又，tanα=3，解得．∴3−tanβ1+3tanβ=17tanβ=2故答案为：2．直接利用两角差的正切函数公式求解即可．本题考查了两角差的正切函数公式，是基础题．11.已知函数的图象恒过定点P ，若幂函数的图象经过点P ，则f(x)=log a (x−3)+2(a >0,a ≠1)g(x)=x α的值为______．g(2)【答案】2【解析】解：令，则恒成立，x =4f(4)=log a (4−3)+2=2故函数恒过点，f(x)(4,2)幂函数的图象经过点P ，∵g(x)=x α则，解得，g(4)=4α=2α=12故，g(2)=2故答案为：．2令真数为1，可得P 点坐标，进而求出幂函数的解析式，解得答案．g(x)=x α本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，难度中档．12.在中，已知，，点D 满足，且，则AB 边的长为______．△ABC AC =6A =60∘⃗BD =2⃗DC AD =27【答案】6【解析】解：．⃗AD=⃗AB+⃗BD=⃗AB+23⃗BC=⃗AB+23(⃗AC −⃗AB)=13⃗AB+23⃗AC ∴⃗AD 2=(13⃗AB +23⃗AC )2=19AB 2+49AC 2+2×13×23AB ⋅AC ×cos 600⇒，AB 2+12AB−108=0或舍，∴AB =6AB =−18()故答案为：6．可得平方可得⃗AD=⃗AB+⃗BD=⃗AB +23⃗BC =⃗AB +23(⃗AC −⃗AB )=13⃗AB+23⃗AC .．⃗AD2=(13⃗AB+23⃗AC)2=19AB 2+49AC 2+2×13×23AB ⋅AC ×cos 600⇒AB =6本题考查了三角形中平面向量的基本定理，数量积运算，属于中档题．13.已知函数，下列结论中正确的是______写出所有正确结论的序号．f(x)=cos(2x−π6)()函数的图象关于直线对称；①f(x)x =7π12函数在区间上是单调增函数；②f(x)[π12,5π12]若函数的定义域为，则值域为；③f(x)(0,π2)(−12,1]函数的图象与的图象重合．④f(x)g(x)=−sin(2x−2π3)【答案】①④【解析】解：对于，，函数的图象关于直线对称，故正确；①∵f(7π12)=cosπ=−1∴f(x)x =7π12对于，时，，函数在区间上是单调减函数，故错；②x ∈[π12,5π12]2x−π6∈[0,2π3]⊆[0,π]f(x)[π12,5π12]对于，若函数的定义域为，则值域为，故错；③f(x)(0,π2)2x−π6∈(−π6,5π6)(−32,1]对于，，故正确．④∵g(x)=−sin(2x−2π3)=−sin(−π2+2x−π6)=sin[π2−(2x−π6)]=cos(2x−π6)故答案为：①④，求出即可判定；①f(7π12)，时，，即可判定；②x ∈[π12,5π12]2x−π6∈[0,2π3]⊆[0,π]，由，可得即可得值域；③x ∈(0,π2)2x−π6∈(−π6,5π6)，，即可．④g(x)=−sin(2x−2π3)=−sin(−π2+2x−π6)=sin[π2−(2x−π6)]=cos(2x−π6)本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，是综合性题目．14.已知是定义在R 上的奇函数，且，当时，，则函数f(x)f(x +2)=f(x)x ∈(0,1]f(x)=1−|2x−1|在区间内的所有零点之和为______．g(x)=f(x)−sin(x−1)[−1,3]【答案】3【解析】解：，∵f(x +2)=f(x)函数是以2为周期的周期函数，∴f(x)是定义在R 上的奇函数，∵f(x)，∴f(−x)=−f(x)f(0)=0当时，，x ∈(0,1]f(x)=1−|2x−1|可得时，，x ∈[−1,0)−x ∈(0,1]，f(−x)=1−|−2x−1|=1−|2x +1|=−f(x)可得，f(x)=−1+|2x +1|，∵g(x)=f(x)−sin(x−1)=0分别画出与的在上的图象，y =g(x)y =sin(x−1)[−1,3]结合图象可知，交点坐标为，，，∴(−12,−1)(1,0)(52,1)故零点之和为，−1+1+5=3故答案为：3．求出函数的解析式及函数的周期，利用数形结合判断函数的图象的交点个数，即可求出所有零点之和f(x)本题考查函数的零点问题解法，考查数形结合以及计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共64.0分）15.已知向量，．⃗a =(3,2)⃗b=(−1,2)求的值；(1)|⃗a−2⃗b|若与共线，求实数k 的值．(2)3⃗a −⃗b ⃗a +k ⃗b 【答案】解：；(1)⃗a−2⃗b=(5,−2)；∴|⃗a−2⃗b|=25+4=29；(2)3⃗a −⃗b=(10,4),⃗a+k ⃗b=(3−k,2+2k)与共线；∵3⃗a −⃗b ⃗a+k ⃗b ；∴10(2+2k)−4(3−k)=0解得．k =−13【解析】根据向量的坐标即可求出向量的坐标，从而求出；(1)⃗a ,⃗b ⃗a −2⃗b |⃗a −2⃗b |可以求出，根据与共线即可得出，(2)3⃗a −⃗b =(10,4),⃗a +k ⃗b =(3−k,2+2k)3⃗a −⃗b ⃗a +k ⃗b 10(2+2k)−4(3−k)=0解出k 即可．考查向量坐标的减法、加法和数乘运算，以及平行向量的坐标关系，根据向量坐标求向量长度的方法．16.设全集，函数的定义域为集合A ，函数的值域为集合B ．U =R f(x)=3+2x−x 2g(x)=e x+2求；(1)∁U (A ∩B)若集合，满足，求实数a 的取值范围．(2)C ={x|x +a >0}B ∪C =C 【答案】解：解得，；(1)3+2x−x 2≥0−1≤x ≤3；∴A =[−1,3]；∵e x >0；∴e x +2>2；∴B =(2,+∞)；∴A ∩B =(2,3]，；∴∁U (A ∩B)=(−∞,2]∪(3+∞)；(2)C ={x|x >−a}；∵B ∪C =C ；∴B ⊆C ；∴−a ≤2；∴a ≥−2实数a 的取值范围为．∴[−2,+∞)【解析】容易求出，，然后进行交集、补集的运算即可；(1)A =[−1,3]B =(2,+∞)可求出，根据即可得出，从而得出，解出a 的范围即可．(2)C ={x|x >−a}B ∪C =C B ⊆C −a ≤2考查函数定义域、值域的概念及求法，指数函数的值域，不等式的性质，以及交集、补集的运算，并集的定义，以及子集的定义．17.如图，某公园摩天轮的半径为40m ，点O 距地面的高度为50m ，摩天轮做匀速转动，每10min 转一圈，摩夭轮上的点P 的起始位置在最低点处．已知在时刻时点P 距离地面的高度为，(1)t(min)f(t)=Asin(ωt +φ)+B 其中，，，求的解析式；A >0ω>0−π≤φ<πf(t)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面超过70m ？(2)【答案】解：由题意可得，，，(1)A =40B =50φ=−π2，∵T =2πω=10，∴ω=π5，∴f(t)=40sin(π5t−π2)+50即．f(t)=−40cos π5t +50由，得，(2)f(t)=−40cos π5t +50>70cos π5t <−12，，∴2kπ+2π3<π5t <2kπ+4π3k ∈Z 解得，10k +103<t <10k +203，∴(10k +203)−(10k +103)=103故天轮转动的一圈内，有点P 距离地面超过70m ．103min【解析】由题意求出A 、B 和的值，结合周期求出的值，写出函数的解析式，(1)φωf(x)求出t 的取值范围，再由t 的区间端点值的差求得一圈中可以得到P 距离地面(2)f(t)=−40cos π5t +50>70超过70m ．本题考查了型函数解析式的求法与三角不等式的解法问题，是综合题．y =Asin(ωx +φ)18.已知向量，，函数．⃗a=(2sinx,1)⃗b=(2cos(x +π3),1)f(x)=⃗a ⋅⃗b+3求函数的最小正周期和它的单调增区间；(1)f(x)当时，若，求的值．(2)x ∈[π3,π2]f(x)=−35f(x−π6)【答案】解：(1)f(x)=2sinx ⋅2cos(x +π3)+1+3=4sinx(12cosx−32sinx)+1+3=sin2x−3(1−cos2x)+1+3=2sin(2x +π3)+1所以T =2π2=π由，得2kπ−π2≤2x +π3≤2kπ+π2kπ−5π12≤x ≤kπ+π12所以增区间为，；[kπ−5π12,kπ+π12]k ∈Z 由得(2)f(x)=−35sin(2x +π3)=−45因为，所以，所以x ∈[π,π]2x +π∈[π,4π]cos(2x +π3)=−1−sin 2(2x +π3)=−35f(x−π6)=2sin2x +1=2sin[(2x +π3)−π3]+1=2[sin(2x +π3)cos π3+cos(2x +π3)sin π3]+1=2[(−45)×12−(−35)×32]+1．=1+335【解析】根据向量数量积和三角变换将变成辅助角的形式后求出周期可增区间；(1)f(x)先得到，，再将化成后(2)sin(2x +π3)=−45cos(2x +π3)=−35f(x−π6)2[sin(2x +π3)cos π3+cos(2x +π3)sin π3]+1代入可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．19.已知函数，．f(x)=sin2x +a(sinx +cosx)a ∈R 当时，求函数的值域；(1)a =1f(x)若函数在上的最大值为，求实数a 的值．(2)f(x)[0,π2]−3【答案】解：令，(1)t =sinx +cosx =2sin(x +π4)∈[−2,2]，∵t 2=1+2sinxcosx =1+sin2x 当时，，∴a =1f(x)=g(t)=t 2−1+t =(t +12)2−54当时，，当时，，t =−1g(t )min =−5t =2g(t )max =1+2函数的值域为∴f(x)[−54,1+2].当时，，，(2)x ∈[0,π2]x +α4∈[π4,3π4]sin(x +α4)∈[22,1]∴t ∈[1,2].函数的对称轴为，∴g(t)=t 2+at−1t =−a2当时，即时，，−a2≥1+22a ≤−1−2g(t )min =g(1)=a =−3当时，，解得舍去，−a 21+22a>−1−2g(t )min =g(2)=2−1+2a =−3a =−22()综上所述a 的值为−3【解析】令，求出t 的范围，则，根据二次函数的性质即可求出函(1)t =sinx +cosx f(x)=g(t)=t 2−1+t 数的值域，由x 的范围，求出t 的范围，则函数的对称轴为，分类讨论，即可求出a 的值(2)g(t)=t 2+at−1t =−a2本题考查了函数的函数的化简和二次函数的性质，考查了转化能力，属于中档题20.已知函数是奇函数．f(x)=m−3xn +3x +1求实数m ，n 的值；(1)若函数的定义域为判断函数的单调性，并用定义证明；是否存在实数t ，使得关于x (2)f(x)R.①f(x)②的不等式在上有解？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，说明理|f(t ⋅3x +1+3x +3t)|≤16[−2,2]由．【答案】解：是奇函数，恒成立，(1)∵f(x)∴f(−x)=−f(x)由，整理得．m−3−xn +3−x +1=−m−3xn +3x +1(3m−n)(3x+3−x )+(2mn−6)=0，解得：或；∴{3m−n =02mn−6=0{m =1n =3{m =−1n =−3的定义域为R ，，则．(2)∵f(x)∴{m =1n =3f(x)=1−3x 3+3x +1，是R 上的单调减函数．①∵f(x)=1−3x 3+3x +1=−13+23(3x +1)∴f(x)证明：任取，，且，则：x 1x 2∈R x 1<x 2．f(x 1)−f(x 2)=(−13+23(3x 1+1))−(−13+23(3x 2+1))=2(3x2−3x1)3(3x 1+1)(3x 2+1)，，则，∵x 1<x 2∴3x 1<3x 23x2−3x 1>0又，，∵3x 1+1>03x 2+1>0，即，∴f(x 1)−f(x 2)>0f(x 1)>f(x 2)是R 上的单调减函数；∴f(x)由，得．②|f(t ⋅3x +1+3x +3t)|≤16−16≤f(t ⋅3x +1+3x +3t)≤16即．f(1)≤f(t ⋅3x +1+3x +3t)≤f(−1)是R 上的单调减函数，，∵f(x)∴−1≤t ⋅3x +1+3x +3t ≤1整理得：，即在上有解．−1−3x3+3x +1≤t ≤1−3x 3+3x +1−13≤t ≤f(x)[−2,2]又在上单调递减，．∵f(x)[−2,2]∴f(x )max =f(−2)=415．∴−13≤t ≤415【解析】由是奇函数，得恒成立，由此列式求得m ，n 的值；(1)f(x)f(−x)=−f(x)由的定义域为R ，得，则．(2)f(x){m =1n =3f(x)=1−3x3+3x +1，可知是R 上的单调减函数然后利用单调性定义证明；①f(x)=1−3x 3+3x +1=−13+23(3x +1)f(x).由，得，即，②|f(t ⋅3x +1+3x +3t)|≤16−16≤f(t ⋅3x +1+3x +3t)≤16f(1)≤f(t ⋅3x +1+3x +3t)≤f(−1)再由单调性转化为，整理可得，即在上有−1≤t ⋅3x +1+3x+3t ≤1−1−3x3+3x +1≤t ≤1−3x 3+3x +1−13≤t ≤f(x)[−2,2]解由单调性求得最值得答案．.本题考查函数的性质及其应用，考查恒成立问题的求解方法，考查数学转化思想方法，属中档题．。

2018年江苏省常州市高考数学一模试卷一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁U M= ．2．若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|= ．3．函数f（x）=的定义域为．4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为．6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．7．从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为．8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l 的右焦点，则双曲线的离心率为．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为．10．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为．11．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且•=1，则实数λ的值为．12．已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）= ．13．若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为．14．若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为．二.解答题：本大题共6小题，共计90分15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=（1）求边c的长；（2）求角B的大小．16．如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1（1）求证：E是AB中点；（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．17．某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC（如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）•高为h（单位：m）（S，h 为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）问当α为何值时l最小？并求最小值．18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．19．己知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a为正实数，且为常数）（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．20．己知n为正整数，数列{a n}满足a n＞0，4（n+1）a n2﹣na n+12=0，设数列。