凌波微步-数学建模融入基础课程教学-资料.ppt

其中
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因此, 就是
于是
同理得
3. 二阶行列式 — 平行四边形面积
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图2
是平行四边形 OAPB 的有向面积,
是两个向量
的函数,
称为二阶行列式, 记作
或
或
计算公式:
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图2
4. 代数算法
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三阶行列式与体积
1. 三元一次方程组的几何意义
• 隐函数存在定理严格证明 • F(x,y)=0. 将F(x,y)线性化得:
• aDx+bDy +d(Dx,Dy)=0
• 解得Dy =f(Dx,Dy)= Dx+d(Dx,Dy) • 迭代: Dy0=0, Dyn= Dx+d(Dx,Dyn-
1). • 则 Dyn -Dyn-1= dy’ (Dyn-1-Dyn-2 ) • 选 Dx,Dy 的范围充分小,可使|dy’| <0.5 且充分小, Dyn 收敛到所需范围.
A1, A2, A3 线性相关. • 方程可以换成任意对象,只要仍有加法和数乘 2020/12/30且满足运算律,证明仍成立 抽象向量空间
行列式的定义
二元一次方程组的几何意义
方程组 可写成向量形式
即
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(1.1)
1. 有唯一解的条件
不共线
即
2. 消元: 方程(1.1)两边与
作内积消去y, 得
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根据对手实力对得分加权
先验实力比： x1 ,… ,xj … ,xn 后验实力比： y1 ,… ,yj … ,yn y1 = a11x1 + … + a1j xj + … + a1nxn
…………
yi = ai1x1 + … + aij xj + … + ainxn
…………
yn = an1x1 + … + anj xj + … + annxn Y = AX = lX , X 是特征向量
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线性代数
空间为体, 矩阵为用
• 研究对象----几何：线性空间(向量) • 研究工具----代数：矩阵运算 • 向量 (问题) 矩阵语言描述
矩阵运算解决 向量(解答) • 与微积分的关系:
非线性 --微积分 线性 --线性代数
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多元微积分：线性代数模型
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将数学建模思想引入基础 课程教学（一）
利用基础课知识建立模型解 决问题: (1)来自现实生活的实际问题 (2)数学自身发展提出的问题
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将数学建模思想引入基础 课程教学（二）
从问题出发 建立数学模型解决 “发明”出基础课程的知识-2020人/12/30 类的旧知识,学生的新知识
看它是否有非零解 线性相关与线性无关 • “打假”到底:极大无关组,秩
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极大线性无关组，秩
• 方程组线性相关 • 有多余的方程（是其余方程的线性组
合） • 删去多余的方程 ---- 打假 • 将打假进行到底 • 极大线性无关组 • 剩下的方程的个数---- 秩rank
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线性变换前后的图形
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向量方向的变化
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选取特征向量为基
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数模赛案例. 足球队排名
根据足球比赛成绩给出各队实力名次
X1 … Xj … Xn
X1
… a1j … a1n
… …………
Xi ai1 … aij … ain … … … ……
Xn an1 … anj … ain
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随风潜入夜:概念的引入
方程个数的真与假
方程组
有几个方程？
3个? 2个?
某个方程是其余方程的线性组合 线性相关 2020/12/30
问题：怎样判断a, b, g线性无关？
• 分别解三个方程？ • xa+y b= g, x a+y g = b, x b+y g =a • 只须解一个方程 xa+ yb+ zg = 0
可写成 其中
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方程 两边同时与
当
作内积消去 y, z , 得到 时得
类似地可以得到 y, z 的表达式。
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2. 三阶行列式 — 平行六面体体积 从原点O出发作有向线段OA，OB，OC使
则
就是以OA,OB,OC为棱的平行六面
体的有向体积。称为三阶行列式，记作
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利用基本性质计算 n 阶行列式
(3.1) 当 i1,i2,…,in 中有两个相等时， 这样的项可以从 (3.1) 中去掉。只剩下 i1,i2,…, in 两两不相等的项, (3.1)中的 变成对1,2,…,n 的 全体排列 (i1,i2,…, in ) 求和, 成为:
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几何模型
凌波微步 = 数学建模
• 数学建模主要思想
• 实际问题 -建模 数学模型 i求解
实际解 检验- 数学解 • 难以解决 -转化 容易解决
• 凌波微步:打不赢就跑-转化
跑到打得赢的地方再打
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Biblioteka Baidu
润物细无声：应用案例
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问题：秩的唯一性
• 方程组(A1, A2 , A3) 与(B1, B2) 互为线性 组合
• A1 = a11B1 + a12B2 A2 = a21B1 + a22B2 A3 = a31B1 + a32 B2
• x1 A1+x2 A2+ x3 A3=0 :
• 未知数个数>方程个数 有非零解
(x1,x2,x3)
凌波微步--数学建模融入 基础课程教学
李尚志
北京航空航天大学
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数学建模主要思想
• 利用数学知识解决问题
• 实际问题 -建模 数学模型 i求解
实际解 检验- 数学解
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咏数学建模
数学精微何处寻,纷纭世界有模型. 描摹万象得神韵,识破玄机算古今. 岂是空文无实效,能生妙策济苍生. 经天纬地展身手,七十二行任纵横.
• 微积分基本思想 : 非线性线性
• 复合函数的导数:
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• 隐函数存在定理 • F(x,y) 在某点P0可微 • 何时由 F(x,y)=0 确定 y=f(x)?
• 一般F不好解决凌波微步
• 线性化: aDx+bDy 0,
• y=f(x) 在 x0 可微,导数为
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