数学分析第三章 函数极限

lim()x xf x A→= *点击以上标题可直接前往对应内容定理3.2（唯一性）证 不妨设以及 A x f x x =→)(lim 0.)(lim 0B x f x x =→由极限的定义，对于任意的正数 ,1δ存在正数,||010时当δ<-<x x (1),2|)(|ε<-A x f ,||020时当δ<-<x x )(lim 0x f x x →存在, 则此极限唯一.若 的基本性质 A x f xx =→)(lim 0,2δ,ε后退 前进 目录 退出(2) 式均成立，.|)(||)(|||ε<-+-≤-B x f x f A B A 由ε 的任意性，推得 A = B. 这就证明了极限是唯一的.12min{,},δδδ=令(1) 式与.2|)(|ε<-B x f (2)(1),2|)(|ε<-A x f 00||,x x δ<-<当时所以定理3.3（局部有界性）证 ,1=ε取.1|)(|<-A x f .1|||)(|+<A x f 由此得,)(lim 0A x f x x =→若上在)()(0x U x f,)(0x U则存在有界.这就证明了 在某个空心邻域 上有界.),(0δx U)(x f ,0>δ存在00x x δ<-<当时，注(1) 试与数列极限的有界性定理（定理 2.3）作一 (2) 有界函数不一定存在极限； 这上并不是有界的在但.)2,0(1,11lim )3(1xx x =→说明定理中 “局部” 这两个字是关键性的.比较；定理3.4（局部保号性）则对任何正数)(A r A r -<<或使得存在,)(,0x U.)0)((0)(<-<>>r x f r x f 或.|)(|ε<-A x f .)(r A x f >->ε由此证得 有对一切,)(0x U x∈有时，当δ<-<||00x x 证 不妨设 0.A >,)0(0)(lim 0<>=→或A x f x x 若 ,0>δ存在,r A -=ε取 (0,),r A ∈对于任何定理3.5（保不等式性）)(lim )(lim 0x g x f x x x x →→与设则内有且在某邻域,)()()(0x g x f x U ≤).(lim )(lim 0x g x f x x x x →→≤证 0lim (),lim (),x x x x f x A g x B →→==设;)(ε->A x f 有时而当,||020δ<-<x x .)(ε+<B x g 分别存在正数 12,,δδ有 都存在，0,ε>则对于任意使当 010||x x δ<-<时, 满足时则当令,||0,},min{021δδδδ<-<=x x ,)()(εε+<≤<-B x g x f A所以证得是任意正数因为从而有,.2εε+<B A .B A ≤定理3.6（迫敛性）lim ()lim (),x x x x f x g x A →→==设0x 且在的某个空心).()()(x g x h x f ≤≤.)(lim 0A x h x x =→那么证 因为 00lim ()lim (),x x x x f x g x A →→==有时当,||00δ<-<x x (),A f x A εε-<<+().A g x A εε-<<+.)()()(εε+<≤≤<-A x g x h x f A 再由定理的条件，又得这就证明了 0)(x x h 在点的极限存在，并且就是 A .0,ε>所以对于任意,0>δ存在0()U x 邻域内有定理3.7（四则运算法则）;)(lim )(lim )]()([lim )1(0x g x f x g x f x x x x x x →→→±=±;)(lim )(lim )()(lim )2(000x g x f x g x f x x x x x x →→→⋅=g f g f ⋅±,在点 x 0 的极限也存在, 且都存在, ,0)(lim )3(0≠→x g x x 又若在点 x 0 的极限也存在,g f则.)(lim )(lim )()(lim 00x g x f x g x f x x x x x x →→→=并有,)(lim 0x f x x →若)(lim 0x g xx → 则§2 函数极限概的性质A x f x x =→)(lim 0范例这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理, 这就可以知道这些定理是显然的.里将证明留给读者. 在下一节学过归结原则之后, 的基本性质 A x f xx =→)(lim 0的基本性质 §2 函数极限概的性质A x f xx =→)(lim 0范例arctan lim x x x→+∞πlim arctan ,2x x →+∞=因解为例1 .arctan limxxx ∞+→求002=⋅=π范例1lim 0,x x →∞=所以1=lim arctan lim x x x x →+∞→+∞⋅例 2 .1lim 0⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x x x 求有时又当,0<x 0>x 当,11lim )1(lim 00==-++→→x x x 由于,111x x x -≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<于是求得.11lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x x x 解 由取整函数的性质， .1111xx x ≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-时, 有 ,111≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-x x x 因此由迫敛性得 ;11lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→x x x 同理得 .11lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-→x x x例 3 求极限 π4lim(tan 1).x x x →-π4lim tan tan1,4x x π→==解 因为所以π4ππlim(tan 1)11 1.44x x x →-=⋅-=-例4 .)1(1lim 0>=→a a xx 求证特别又有.1111εε+<<<--NNa a ,1N=δ取,|0|0时当δ<-<x ,1111εε+<<<<--NxNa a a .1lim 0得证即=→xx a 证 ,11lim ,1lim ==∞→∞→n n nn aa 因为所以 ,,0N ∃>∀ε有时当,N n ≥,1111εε+<<<--nna a复习思考题1. lim (), lim (),x x x x f x a g x →→=设存在不存在试问02. lim (),lim (),x x u u g x u f u A →→==设这时是否必有lim (())?x x f g x A →=0lim ()()?x x f x g x →极限是否必定不存在。

第三章 函数极限 （计划课时：1 4 时）P42—68§1 函数极限概念 （ 4时 ）一、∞→x 时函数的极限： 1. 以+∞→x 时xx f 1)(=和arctgx x g =)(为例引入. 2. 介绍符号: +∞→x ,+∞→x ,+∞→x 的意义,)(lim x f 的直观意义. 3.函数极限的“M-ε”定义(A x f x =+∞→)(lim ,A x f x =-∞→)(lim ,A x f x =∞→)(lim ). 4. 几何意义: 介绍邻域{}M x x U >=+∞)(,{}M x x U -<=-∞)(,{}M x x U >=∞)(其中M 为充分大的正数．然后用这些邻域语言介绍几何意义．5. 函数在∞与∞+,∞-极限的关系: Th1 .)()( )(A f f A f =+∞=-∞⇔=∞例1验证.01lim=∞→xx 证明格式：0>∀ε（不妨设 <<ε0□）（不妨设>x □或>x □，<x □）要使-A x f )(ε， 只须>x □（∞→x ）或>x □（+∞→x ），<x □（-∞→x ）. 于是0>∀ε,=∃M □0>，当>x M （或>x M ，<x M -）时，有ε＜ □ - □.根据函数极限的“M -ε”定义知∞→x lim □ = □（或+∞→x lim □ = □，-∞→x lim □ = □）.例2 验证：1）2lim π=+∞→arctgx x ； 2）2lim π-=-∞→arctgx x .例3 验证.222lim 22=-+∞→x xx x证 . 422 2 4 24 222 2423222x xx x x x x x x x x x =-+-+=--+>>……6. ε的正值性, 任意性与确定性, ε以小为贵.7. M 的存在性与非唯一性,对M 只要求存在,在乎其大的一面.二．0x x →时函数)(x f 的极限：1. 由 ⎩⎨⎧=≠+=.2,0,2 ,12)(x x x x f 考虑2→x 时的极限引入. 2. 函数极限的“δε-”定义. 3. 几何意义.4. 用定义验证函数极限的基本思路.例4 验证 .lim 0C C xx=→ 例5验证 .lim 00x x xx =→ 例6 验证 .512372933lim 2233=+--+-→x x x x x x证 由,3≠x 512)3( )12()3( )3( 512372933 2223----+=-+--+-x x x x x x x x x = .12395125395 5121232---≤---=--+x x x x x x x x 为使 ,11635615595≤+-≤+-=-x x x 需有 ;13<-x 为使 ,1325562 12>--≥+-=-x x x 需有 .23<-x于是, 倘限制 130<-<x , 就有512372933223-+--+-x x x x x 12395---≤x x x ΛΛ .3111311-=-≤x x 证明格式：0>∀ε（不妨设 <<ε0□）（不妨设<-0x x □或>-0x x □，<-0x x □,则□<<x □）要使-A x f )(ε， 只须<-0x x □（0x x →）或<-<00x x □（00+→x x ），<-<x x 00□（00-→x x ）.于是0>∀ε,=∃δ□0>，当δ<-<00x x （或δ<-<00x x ，δ<-<x x 00）时，有: ε＜ □ - □.根据函数极限的“δε-”定义知0lim x x → □ = □（或00lim +→x x □ = □，00lim -→x x□ = □）.例7 验证 ). 1 ( ,11lim 02020<-=-→x x x xx 例8 验证 .sin sin lim 00x x x x =→ ( 类似有 ) .cos cos lim 00x x xx =→5. ε的正值性, 任意性与确定性, ε以小为贵.6. δ的存在性与非唯一性,对δ只要求存在,在乎其小的一面.7. A x f x x =→)(lim 0存在并不意味着)(x f 在0x 有定义,即就是有定义也并不意味着)(0x f A =(如例6). 例9 证明 1lim 0=→x x a )1(>a .三.单侧极限:1. 定义： 单侧极限的定义及记法.2.几何意义:介绍半邻域},0 {),(δδ<-≤=+a x x a Y =-),(δa Y ],(a a δ-). , (),( ), , (),( 0a a a a a a δδδδ-=+=-+Y Y 然后介绍)(lim 0x f x x +→等的几何意义.例9 验证 .01lim 21=--→x x证 考虑使 2221ε<-x的ΛΛ .δ3. 单侧极限与双侧极限的关系:Th2 .)0()0( )(lim 000A x f x f A x f xx =-=+⇔=→ 例10 证明: 极限 x x sgn lim 0→不存在. 例11设函数)(x f 在点0x 的某邻域内单调. 若)(lim 0x f xx →存在, 则有)(lim 0x f x x →=).(0x fEx [1]P47 1—7.§2 函数极限的性质（ 2时 ）我们引进了六种极限: ),(lim ),(lim ),(lim x f x f x f x x x ∞→-∞→+∞→ )(lim 0x f x x →,)0( ),0(00-+x f x f .以下以极限)(lim 0x f xx →为例讨论性质. 均给出证明或简证.一.函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.1. 唯一性:2. 局部有界性:3. 局部保号性:4.单调性( 不等式性质 ):Th 4 若)(lim 0x f x x →和)(lim 0x g xx →都存在, 且存在点0x 的空心邻域),(00δ'x Y , 使),(00δ'∈∀x x Y 都有 ),()(⇒≤x g x f )(lim 0x f x x →).(lim 0x g x x →≤证 设)(lim 0x f x x →=.)(lim ,0B x g A xx =→ ( 现证对,0>∀ε 有.2ε+<B a ) .2 ,)()( ),,( ,0 ,000εεεδδε+<⇒+<≤<-⇒∈∀>∃>∀B A B x g x f A x x Y註: 若在Th 4的条件中, 改“)()(x g x f ≤”为“)()(x g x f <”,未必就有.B A <以 0 ,1)( ,1)(02=≡+=x x g x x f 举例说明.5.迫敛性( 双逼原理 ):例1 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x x x 1lim 0. 6.四则运算性质: ( 只证“+”和“⨯”) Ex [1]P51 5——7.二． 利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限：;cos cos lim ,sin sin lim ,lim ,lim 0000x x x x x x C C xx x x x x x x====→→→→ .2lim ,01lim π±==±∞→∞→arctgx x x x （ 注意前四个极限中极限就是函数值 ）这些极限可作为公式用.通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1 ).1(lim 4-→xtgx x π( 利用极限224sin sin lim 4==→ππx x 和.22cos lim 4=→x x π ) 例2 ) 1 ( . 1311lim 31-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-→x x x例3 .523735lim 233+++-∞→x x x x x 註:关于x 的有理分式当∞→x 时的极限.例4 .11lim 1071--→x x x [ 利用公式).1)(1(121++++-=---a a a a a n n n Λ ]例5 .2122lim221-+-+-→x x x x x例6 .53132lim 22++++∞→x x x x例7 .23)102sin(lim254xx x x x --+∞→例8 .11lim31--→x x x例9 .1111lim3-+-+→x x x例10已知 .316lim23B x Ax x =--+→ 求 A 和.BEx [1]P51 1——4.补充题: 已知.74lim 222-=-++→B x B Ax x x 求A 和.B (.320,316=-=B A ) §3 函数极限存在的条件（ 2时 ）本节介绍函数极限存在的两个充要条件. 仍以极限)(lim 0x f x x →为例.一、Heine 归并原则 —— 函数极限与数列极限的关系：Th 1 设函数f 在点0x 的某空心邻域)(00x Y 内有定义.则极限)(lim 0x f x x →存在⇔对任何)(00x x n Y ∈且)(lim ,0n n n x f x x ∞→→都存在且相等. ( 证 )Heine 归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具. 对单侧极限,还可加强为}{n x 单调趋于0x . 参阅[1]P70.例1 证明函数极限的双逼原理.例2 证明.01sinlim 0≠→xx例3 证明xx 1sin lim 0→不存在.Th 2 设函数)(x f 在点0x 的某空心右邻域)(0x U ο+有定义.则A x f x x =+→)(lim 0⇔对任何以0x 为极限的递减数列{}⊂n x )(0x U ο+,有A x f n n =∞→)(lim . Th 3 设函数)(x f 为定义在)(0x U ο+上的单调有界函数.则)(lim 0x f x x +→存在. 二、Cauchy 准则:Th3 (Cauchy 准则)设函数)(x f 在点0x 的某空心邻域),(00δ'x Y 内有定义.则)(lim 0x f x x →存在∈'''∀'<>∃>∀⇔x x , ),(0 ,0 δδδε),(00δx Y ,.)()( ε<''-'⇒x f x f证 )⇒)⇐ ( 利用Heine 归并原则 )Cauchy 准则的否定: )(lim 0x f x x →不存在的充要条件.例4 用Cauchy 准则证明极限xx 1sin lim 0→不存在.证 取 .21 ,1πππ+=''='n x n x例5设在 [) , ∞+a 上函数)(x f ↘. 则极限)(lim x f x +∞→存在)( x f ⇔在[) , ∞+a 上有界. ( 简证, 留为作业 ). Ex [1]P55 1——4.§4 两个重要极限（ 2时 ）一． .1sin lim0=→x x x （证） （同理有 ,1sin lim 0=→x x x .11sin lim =∞→n n n ）例1 .sin lim x xx -→ππ例2 20cos 1lim xxx -→. 例3 .3sin 5sin lim 0x xx →例4 .arcsin lim 0xxx →例5 证明极限 xx x sin lim→不存在.二. .11lim e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→ .) 1 (lim 10e x x x =+→证 对 ,1+<≤n x n 有 ,1111111nx n +≤+<++⇒ ΛΛ ,11111111+⎪⎭⎫⎝⎛+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+<⎪⎭⎫ ⎝⎛++n xnn x n例6 ,1lim xx x k ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→ 特别当 21 ,1=-=k k 等.例7 .) 21 (lim 1xx x +→例8 .) sin 31 (lim csc 0x x x -→例9 nn n n ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→2111limEx [1]P58 1——4.§5 无穷小量与无穷大量 阶的比较（2时 ）一、无穷小量:1. 定义. 记法.2.无穷小的性质:性质1 (无穷小的和差积) 性质2 (无穷小与有界量的积)例1 ).53sin(1lim232+++∞→n n n n n 3. 无穷小与极限的关系:Th 1 =-⇔=→A x f A x f x x )( )(lim 0. , ) 1 (0x x →ο ( 证 )二、无穷小的阶: 设0x x →时 ). 1 ()( ), 1 ()(οο==x g x f1． 高阶（或低阶）无穷小： 2． 同阶无穷小： 3．等价:Th 2 ( 等价关系的传递性 ).等价无穷小在极限计算中的应用: Th 3 ( 等价无穷小替换法则 ) .几组常用等价无穷小: 设.0→x 以x 作为基本无穷小, 有等价关系:当0→x 时,x sin ～x , tgx ～x , 1-x a ～x , )1ln(x +～x , x arcsin ～x ,arctgx ～x , x cos 1-～22x , 11-+n x ～nx , n x )1(+～nx . 再加上∞→n 时 (或 ∞→x 时)n 的(或x 的)有理分式(分子次数小于分母次数)的等价无穷小.其中有些等价关系的证明以后陆续进行.例3 求xarctgx x 4sin lim0→. 例4 .sin sin lim 30x x tgx x -→ 三. 无穷大量:1. 定义:例5 验证+∞=→201limx x . 例6 验证∞=-→3lim 3x x x . 2. 性质:性质1 同号无穷大的和是无穷大.性质2 无穷大与无穷大的积是无穷大.性质3 与无界量的关系.无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论, 有平行的结果. 3. 无穷小与无穷大的关系:无穷大的倒数是无穷小, 非零无穷小的倒数是无穷大.四、曲线的渐近线：1. 定义：2. 结论：⑴若∞=→)(lim 0x f x x ,则直线0x x =为曲线)(x f y =的垂直渐近线.⑵若c x f x =∞→)(lim ,则直线c y =为曲线)(x f y =的水平渐近线. ⑶若,)(lima xx f x =∞→b ax x f x =-∞→})([lim ,则直线b ax y +=为曲线)(x f y =的斜渐近线. 注：0x x →可换为-→0x x ,+→0x x ;∞→x 可换为-∞→x ,-∞→x . 例7 求曲线32)(23-+=x x x x f 的渐近线. Ex [1]P66 1—6.希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：：1、世事忙忙如水流，休将名利挂心头。

第 三 章 函 数 极 限§1 函数极限概念一 x 趋于∞时函数的极限设函数 f 定义在 [ a , + ∞ ) 上 , 类 似于 数列情 形 , 我们 研究 当自变 量 x 趋 于 + ∞时 , 对应的函数值能否无 限地 接近 于某 个定 数 A .例如 , 对 于 函数 f ( x ) =1x, 从图象上可见 , 当 x 无限增大时 , 函数值无限 地接近 于 0; 而对 于函 数 g ( x) = arctan x , 则当 x 趋于 + ∞时函数值无限地接近于 π2 .我们称这 两个函数 当 x趋于 + ∞时有极限 .一般地 , 当 x 趋于 + ∞时函数极限的精确定义如下 :定义 1 设 f 为定义在 [ a , + ∞ ) 上的函数 , A 为定数 .若对任给的 ε> 0 , 存 在正数 M ( ≥ a) , 使得当 x > M 时有f ( x ) - A < ε,则称函数 f 当 x 趋于 + ∞时以 A 为极限 , 记作lim x → + ∞f ( x ) = A 或 f ( x ) → A ( x → + ∞ ) .在定义 1 中正数 M 的作用与数列 极限 定义 中的 N 相类似 , 表 明 x 充分 大 的程度 ; 但这里所考虑的是比 M 大的所有 实 数 x , 而不仅仅是正 整数 n .因 此 , 当 x → + ∞ 时函数 f 以 A 为极限意 味着 : A 的任 意小 邻 域内必含有 f 在 + ∞的某邻 域内的全 部函 数 值 .定义 1 的几何意义如图 3 - 1 所示 , 对 任 给的 ε> 0 , 在坐标平面上平行于 x 轴的两 条 直线 y = A + ε与 y = A - ε, 围成 以直 线 y =图 3 - 1A 为中心线、宽为 2ε的带形区域 ; 定义中的“当 x > M 时 有 | f ( x ) - A | < ε”表 示 : 在直线 x = M 的右方 , 曲线 y = f ( x) 全部落在这个带形区域之内 .如果正数 ε给得小一点 , 即当带形区域更窄一点 , 那么 直线 x = M 一般 要往 右平移 ; 但 无 论带形区域如何窄 , 总存在这样的正数 M , 使得曲线 y = f ( x ) 在直线 x = M 的§1 函数极限概念 43右边部分全部落在这更窄的带形区域内 .现设 f 为定义在 U( - ∞ ) 或 U ( ∞ ) 上的 函数 , 当 x → - ∞ 或 x →∞ 时 , 若 函数值 f ( x ) 能无限地接近某定数 A , 则称 f 当 x → - ∞或 x → ∞时 以 A 为 极 限 , 分别记作lim x → - ∞ lim x → ∞f ( x ) = A 或 f ( x ) → A ( x → - ∞ ) ;f ( x) = A 或 f ( x) → A ( x → ∞ ) .这两种函数极限的精确定义与 定义 1 相 仿 , 只 须把 定义 1 中 的“ x > M ”分别 改 为“ x < - M ”或“ | x | > M ”即可 .读者不难证明 : 若 f 为定义在 U ( ∞ ) 上的函数 , 则lim x → ∞f ( x) = A ! lim x → + ∞f ( x ) = lim x → - ∞f ( x ) = A .( 1)例 1 证明 lim 1= 0 .x → ∞x证 任给 ε> 0 , 取 M = 1ε, 则当 | x | > M 时有所以 l im 1= 0 .1 1 x - 0 =x<1 M= ε, x → ∞x例 2 证明 : 1) limarctan x = - π; 2) lim arctan x = π. x → - ∞证 任给 ε> 0 , 由于2x → + ∞2arctan x --π 2< ε( 2)等价于 - ε-π < arctan x < ε- π, 而此不等式的左半部分对任 何 x 都 成立 , 所 2 2以只要考察其右半部分 x 的变化范围 .为此 , 先限制 ε< π, 则有2x < tan ε - π 2 = - tan π2 - ε .故对任给的正数 ε <π 2 , 只须 取 M = tan π- ε , 则 当 x < - M 时 便有 ( 2) 2式成立 .这就证明了 1 ) .类似地可证 2 ) .注 由结论 (1 ) 可知 , 当 x →∞时 arctan x 不存在极限 .二 x 趋于 x 0 时函数的极限设 f 为定义在点x0 的某个空心邻域U°( x0 ) 内的函数.现在讨论当x 趋于x0 ( x≠x0 ) 时, 对应的函数值能否趋于某个定数 A .这类函数极限的精确定义如下:2 044第三章 函 数 极 限定义 2 ( 函 数 极 限 的 ε - δ 定 义 ) 设 函 数 f 在 点 x 0 的 某 个 空 心 邻 域 U °( x 0 ;δ′) 内有定义 , A 为定数 .若对任给 的 ε> 0 , 存在正数 δ( < δ′) , 使得当 0 < | x - x 0 | < δ时有f ( x ) - A < ε, 则称函数 f 当 x 趋于 x 0 时以 A 为极限 , 记作lim x → xf ( x) = A 或 f ( x) → A ( x → x 0 ) .下面我们举例说明如何应 用 ε- δ定义 来验 证 这种 类型 的函 数极 限 .请 读 者特别注意以下各例中 δ的值是怎样确定的 .例 3 设 f ( x) = x- 4 , 证明lim f ( x) = 4 .x - 2证 由于当 x ≠ 2 时 ,2x → 2 f ( x) - 4 =x - 4x - 2- 4 = x + 2 - 4 = x - 2 ,故对给定的 ε> 0 , 只要取 δ= ε, 则当 0 < | x - 2 | < δ时 有 | f ( x ) - 4 | < ε .这 就 证明了lim f ( x ) = 4 .x → 2例 4 证明 : 1) lim sin x = sin x 0 ; 2 ) lim cos x = cos x 0 .x → xx → x证 先建立一个不等式 : 当 0 < x < π时有2sin x < x < tan x . ( 3)事实上 , 在如图 3 - 2 的单位圆内 , 当 0 < x < π时 , 显 然2有S △ O A D < S 扇 形 O A D < S △ O AB ,1 2 sin x < 12 x < 1 2 tan x , 由此立得(3 ) 式 . 图 3 - 2又当 x ≥π时有 sin x ≤1 < x , 故对一切 x > 0 都有2sin x < x; 当 x < 0 时 , 由 sin ( - x) < - x 得 - sin x < - x .综上 , 我 们又得到 不 等式sin x ≤ x , x ∈ R ,( 4)其中等号仅当 x = 0 时成立 .现证 1) . 由 ( 4) 式得sin x - sin x 0 = 2 cosx + x 02sinx - x 0≤ x - x .2对任给的 ε> 0 , 只要取 δ= ε, 则当 0 < | x - x 0 | < δ时 , 就有sin x - sin x 0< ε .即0 1 - x 2 -1 - x 0 2或 等 § 1 函数极限概念 45所以 lim sin x = sin x 0 . 2) 的证明留给读者作为练习。

第三章函数极限2 函数极限的性质六种类型的函数极限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).定理3.2(唯一性)：若极限存在，则此极限是唯一的.证：设A，B都是f当x→x0时的极限，则∀ε>0，分别有正数δ1与δ2，使当0<|x-x0|<δ1时，有|f(x)-A|<ε；当0<|x-x0|<δ2时，有|f(x)-B|<ε.取δ=min{δ1,δ2}，则当0<|x-x0|<δ时，|A-B|≤|f(x)-A|+|f(x)-B|<ε,由ε的任意性，可知A=B. ∴存在时，此极限是唯一的。

定理3.3(局部有界性)：若存在，则f在x0的某空心邻域U⁰(x0)内有界. 证：设=A，取ε=1，则存在正数δ，使得对一切x∈U⁰(x0;δ)有|f(x)-A|<1=>|f(x)|<|A|+1. ∴存在时，f在U⁰(x0;δ)内有界.定理3.4(局部保号性)：若=A>0(或<0)，则对任何正数r<A(或r<-A)存在U⁰(x0)有：f(x)>r>0(或f(x)<-r<0).证：当=A>0时，对任何r∈(0,A)，取ε=A-r，则存在正数δ，使得对一切x∈U⁰(x0;δ)有f(x)>A-ε=r，∴f(x)>r>0.当=A<0时，对任何-r∈(A,0)，取ε=-r-A，则存在正数δ，使得对一切x∈U⁰(x0;δ)有f(x)<A+ε=-r，∴f(x)<-r<0.定理3.5(保不等式性)：若与都存在，且在某邻域U⁰(x0;δ’)内有：f(x)≤g(x)，则≤.证：设=A，=B，则对∀ε>0，分别有正数δ1与δ2，使当0<|x-x0|<δ1时，有Aε<f(x)；当0<|x-x0|<δ2时，有g(x)<Bε.取δ=min{δ’,δ1,δ2}，则当0<|x-x0|<δ时，Aε<f(x)≤g(x)<Bε，从而有A<B+ε. 由ε的任意性，可知A≤B. 即≤.注：当f(x)<g(x)时，仍有≤.反之，当时，在某U⁰(x0)内有f(x)<g(x). (证明见习题第6题)定理3.6(迫敛性)：设==A，且在某U⁰(x0;δ’)内有：f(x)≤h(x)≤g(x)，则=A.证：∵==A，∴对∀ε>0，分别有正数δ1与δ2，使当0<|x-x0|<δ1时，有A-ε<f(x)；当0<|x-x0|<δ2时，有g(x)<A+ε.取δ=min{δ’,δ1,δ2}，则当0<|x-x0|<δ时，A-ε<f(x)≤h(x)≤g(x)< A+ε，从而有|h(x)-A|<ε. ∴=A.定理3.7(四则运算法则)：若极限与都存在，则函数f±g，f·g 当x→x0时的极限也存在，且：(1)=；(2)=.(3)当≠0时，当x→x0时的极限也存在，且：=.证：设=A，=B，则对∀ε>0，分别有正数δ1与δ2，使当0<|x-x0|<δ1时，有|f(x)-A|<ε，即A-ε<f(x)<A+ε；当0<|x-x0|<δ2时，有|g(x)-B|<ε，即B-ε<g(x)<B+ε.取δ=min{δ1,δ2}，则当0<|x-x0|<δ时：(1)有A+B-2ε<f(x)+g(x)<A+B+2ε，A-B-2ε<f(x)-g(x)<A-B+2ε；∴=A±B=.(2)|f(x)g(x)-AB|=|g(x)(f(x)-A)+A(g(x)-B)|≤|g(x)||f(x)-A|+|A||g(x)-B|<(|g(x)|+|A|)ε又|g(x)|-|B|≤|g(x)-B|<ε，即|g(x)|<ε+|B|，∴|f(x)g(x)-AB|<(ε+|B|+|A|)ε；∴=AB=. (3)==≤<ε.又|B|-|g(x)|≤|g(x)-B|<ε，即|g(x)|> |B|-ε，∴<ε；∴==.ε例1：求.解：当x>0时，1-x<≤1；当x<0时，1≤<1-x.∵=1，由迫敛性得==1；∴=1.例2：求.解：===.例3：求.解：当x+10时，===-1.例4：证明(a>1).证：∀ε>0，不妨设ε<1，为使|a x-1|<ε，即1-ε<a x<1+ε，∵a>1，即(1-ε)<x<(1+ε). 只要令δ=min{(1+ε),-(1-ε)}，则当0<|x|<δ时，就有|a x-1|<ε，∴(a>1).习题1、求下列极限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)(n,m为正整数)；(6)；(7)(a>0)；(8).解：(1)=2(sinx-cosx-x2)=2(1-0)= 2(1).(2)==1.(3)===.(4)==== -3.(5)当n,m为正整数时，==.(6)===.(7)当a>0时，===.(8)==.2、利用迫敛性求极限：(1)；(2).解：(1)∵-1≤cosx≤1，∴=≤≤=；∵==1，根据迫敛性定理，=1.(2)∵-1≤sinx≤1，又x→+∞，即x2-4>0，∴=≤≤=；∵==0，根据迫敛性定理，=0.3、设f(x)=，a0≠0，b0≠0，m≤n，试求. 解：=；当m=n时，=；当m<n时，=0.，∴=4、设f(x)>0，=A. 证明：，其中n≥2为正整数. 证：∵f(x)>0，∴=A≥0.当A=0时，由=0可知，对∀ε>0，存在正数δ，当0<|x-x0|<δ时，有f(x)<εn，即<ε，∴.当A>0时，由=A可知，对∀ε>0，有正数δ，使当0<|x-x0|<δ时，|f(x)-A|<ε.又=≤<ε.∴.5、证明=1(0<a<1).证1：∀ε>0(不妨设ε<1)，要使1-ε<a x<1+ε，∵0<a<1，即log a(1+ε)<x< log a(1-ε)，只要取δ=min{ log a(1-ε),- log a(1+ε)}，则当0<|x|<δ时，就有|a x-1|<ε，∴=1(0<a<1).证2：∵=1，∴对∀ε>0，∃N>0，有0<1-<ε，由a x递减，∴当0<x<时，有a x>.∴0<1-a x<1-<ε，取δ=，则当0<x<δ时，就有0<|a x-1|<ε，∴=1. 又=1，∴对∀ε>0，∃N>0，有-ε<1-<0，由a x递减，∴当<x<时，有a x<.∴-ε<1-<1-a x <0，取δ=，则当-δ<x<0时，就有0<|a x-1|<ε，∴=1. ∴=1(0<a<1).6、设=A，=B，(1)若在某U⁰(x0)内有f(x)<g(x)，问是否必有A<B？为什么？(2)证明：若A<B，则在某U⁰(x0)内有f(x)<g(x).解：(1)不一定。

第三章函数极限4 两个重要的极限一、证明：limx→0sin xx=1.证：∵sinx<x<tanx(0<x<π2)，∴1<xsin x<1cos x(0<x<π2)，∴cosx<sin xx<1(0<x<π2)，又cos-x=cosx，sin−x−x =sin xx，∴对0<|x|<π2，有cosx<sin xx<1.由limx→0cosx=1，根据极限的迫敛性，limx→0sin xx=1.例1：求limx→πsin x π−x.解：令t=π-x，则sinx=sin(π-t)=sint，且当x→π时，t→0，∴limx→πsin xπ−x=limt→0sin tt=1.例2：求limx→01−cos xx2.解：limx→01−cos xx2=limx2→012sin x2x22=12，二、证明limx→∞1+1xx=e.证：设f(x)=1+1n+1n, g(x)=1+1nn+1, n≤x<n+1, n=1,2,…,则f(x)递增且有上界，g(x)递减且有下界，∴limx→+∞f x与limx→+∞g x都存在，取{x n}={n}，由归结原则得lim x→+∞f x=limn→+∞1+1n+1n=e，limx→+∞g x=limn→+∞1+1nn+1=e，又1+1n+1<1+1x≤1+1n，则1+1n+1n<1+1xx<1+1nn+1，根据迫敛性定理得limx→+∞1+1xx= e.设x=-y，则1+1x x=1−1y−y=1+1y−1y，且当x→-∞，y→+∞，从而有lim x→−∞1+1xx=limy→+∞1+1y−1y−1·1+1y−1=e.∴limx→∞1+1xx=e.注：e的另一种形式：lima→01+a1a=e.证：令a=1x ，则当a→0时，1x→∞，∴lima→01+a1a=lim1x→∞1+1xx=e.例3：求limx→01+2x1x.解：limx→01+2x1x=lim12x→∞1+2x12x2=e2.例4：求limx→01−x1x.解：limx→01−x1x=lim−1x→∞1[1+(−x)]−1x=1e.例5：求limn→∞1+1n−1n2n.解：1+1n −1n2n<1+1nn→e(n→∞)，又当n>1时有1+1n −1n2n=1+n−1n2n2n−1−nn−1≥1+n−1n2n2n−1−2→e(n→∞，即n−1n2→0).由迫敛性定理得：limn→∞1+1n−1n2n=e.习题1、求下列极限： (1)lim x →0sin 2x x；(2)limx →0sin x 3 (sin x)2；(3)lim x →π2cos xx −π2；(4)limx →0tan x x；(5)limx →0tan x −sin xx 3；(6)limx →0arctan xx；(7)lim x →+∞x sin 1x；(8)limx →asin 2 x −sin 2 ax −a；(9)limx → x +1−1(10)limx →0 1−cos x 21−cos x.解：(1)limx →0sin 2x x=lim2x →02sin 2x 2x=2；(2)lim x →0sin x 3(sin x)2=limx →0 x 3sin x 3x 3(sin x )2=limx 3→0sin x 3x3·lim x 2→0xsin x 2·lim x →0x =0； (3)lim x →π2cos x x −π2=lim x −π2→0−sin x −π2x −π2= -1；(4)limx →0tan x x=limx →0sin x x·limx →01cos x=1；(5)lim x →0tan x −sin xx 3=limx →0sinx 1cos x −1x 3=limx →0sin x·1−cos xcos x x 3=limx →02sinx 2cos x 2·2 sin x 2 2cos xx3=limx →04 sinx 2 3·cos x2cos x x3=limx →0sin x 2 3·cos x2cos x 2 x 23=lim x2→0sinx 2x 23·lim x 2→0cosx 22lim x →0cos x =12；(6)令arctan x=y ，则x=tany ，且x →0时，y →0， ∴limx →0arctan xx=limy →0ytan y =limy →0cos ysin y y=1；(7)lim x →+∞x sin 1x =lim 1x→0sin1x1x =1；(8)lim x →asin 2 x −sin 2 ax −a =limx →a sin x −sin a (sin x+sin a)x −a=limx →a2cosx +a 2 sin x −a2x −a·2sin a=limx −a2→0sinx −a2x −a 2·cos a ·2sin a= sin2a ；(9)limx →x +1−1lim x →0( x+1+1)sin 4xx=8lim4x →0sin 4x 4x=8；(10)lim x →0 1−cos x 21−cos x=limx →0 2sin x 222 sin x 22= 2limx →0sinx 22 x 22 sinx 2x 22= 2.2、求下列极限：(1)limx→∞1−2x−x；(2)limx→01+ax1x(a为给定实数)；(3)limx→01+tan x cot x；(4)limx→01+x1−x1x；(5)limx→+∞3x+23x−12x−1；(6)limx→+∞1+αxβx(α,β为给定实数)解：(1)limx→∞1−2x−x=lim−x2→∞1+1−x2−x22=e2；(2)limx→01+ax1x=lima x→01+ax1axa=e a；(3)limx→01+tan x cot x=limtan x→01+tan x1tan x=e；(4)limx→01+x1−x1x=limx→01+x1x1−x1x=limx→01+x1xlim−x→0[1+−x]1−x−1=e2；(5)limx→+∞3x+23x−12x−1=limx→+∞1+33x−16x−33=lim33x−1→0+1+33x−123x−1−13=lim33x−1→0+1+33x−123x−13lim33x−1→0+1+33x−113=e2；(6)limx→+∞1+αxβx=limx→+∞1+αxαβxα=limαx→0+1+αxxααβ=eαβ.3、证明：limx→0limn→∞cos xcos x2cos x22…cos x2n=1.证：∵cos xcos x2cos x22…cos x2n=2n+1cos xcos x2cos x22…cos x2nsin x2n2n+1sin x2n=sin 2x2n+1sin x2n=sin 2x2xsin x2nx2n=x2nsin x2n·sin 2x2x；∴当x≠0时，limn→∞ cos xcos x2cos x22…cos x2n=limx2n→0x2nsin x2n·sin 2x2x=sin 2x2x；lim x→0limn→∞cos xcos x2cos x22…cos x2n=lim2x→0sin 2x2x=1.当x=0时，cos xcos x2cos x22…cos x2n=1，∴limx→0limn→∞cos xcos x2cos x22…cos x2n=1.4、利用归结原则计算下列极限：(1)limn→∞n sinπn；(2)limn→∞1+1n+1n2n.解：(1)∵limx→∞x sinπx=limx→∞sinπxπx·x=limπx→0sinπxπx·limx→∞x=0根据归结原则，limn→∞n sinπn=0.(2)∵当x>0时，1+1x +1x2x>1+1xx→e(x→+∞)，又1+1x +1x2x=1+x+1x2x2x+1+xx+1<1+x+1x2x2x+1→e(x→+∞，即x+1x2→0)，∴limx→+∞1+1x+1x2x=e根据归结原则，limn→∞1+1n+1n2n=e.。

0sin lim 1x x x →=1lim 1e xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭*点击以上标题可直接前往对应内容)1(.cos 1sin 1xx x <<不等式中的三个表达式均是偶函数, 证πsin tan 0,2x x x x ⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭因为所以命题1π0||12x <<时,()式仍成立.后退前进目录退出x 故当sin lim 1x xx →=001lim =1=lim =1cos x x x →→=因为，0lim 1,sin x xx →=所以0sin lim 1.x xx →=即πsin lim πx x x →-解π,t x =-令所以例1 求πsin lim .πx xx →-()sin sin πsin ,x t t =+=-则0sin lim 1.t t t→-==-例2.arctan lim 0x xx →求x x x arctan lim 0→arctan ,tan ,t x x t ==令解.cos 1lim 20xxx -→求例3解2202sin 2lim xx x →=.21=20cos 1lim x x x -→2022sin 21lim ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x t t t tan lim 0→=t t tt t cos lim sin lim 00→→⋅=1=则命题2e 11lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→xx x .e 11lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-→xx x 和证我们只需证明：();,2,1,1,111 =+<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++=n n x n n x f n 设两个分段函数分别为1lim 1exx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭().,2,1,1,111=+<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n x n n x g n显然有()().),1[,11∞+∈≤⎪⎭⎫⎝⎛+≤x x g x x f x因为(),e 111lim lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∞→+∞→nn x n x f (),e 11lim lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→+∞→n n x n x g 所以由函数极限的迫敛性，得到1x§4 两个重要的极限sin lim 1x x x →=.e 11lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→xx x 这就证明了())3(.e 1lim 1=+→t t t 注,1xt =若令由此可得在实际应用中，公式(2)与(3)具有相同作用..e 111111lim 11lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∞→-∞→y y x y y xx .0,→∞→t x 时则1lim 1e xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.1111111xy y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+所以时，因为当,+∞→-∞→y x解),3(由公式例4xx x 1)21(lim +→求()10lim 12xx x →+()2120=lim 12xx x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦2e .=例51lim(1)xx x →-求解()10lim 1xx x →-()110=lim 1xx x --→⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1e .-=,01,e 11lim 2→-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n nn ＝而.e 11lim 122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∞→n n n n n 所以由归结原则，.111lim 2nn n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→求例6解因为2111nn n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭1122211111---⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n nn n nn n n n .112122--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≥n n n n 11e,nn ⎛⎫<+→ ⎪⎝⎭.e 111lim 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→nn n n 再由迫敛性, 求得。

第三章函数极限5 无穷小量与无穷大量一、无穷小量定义1：设f在U0(x0)内有定义，若limx→x0f(x)=0，则称f为当x→x0时的无穷小量. 记作f(x)=o(1) (x→x0).若函数g在U0(x0)内有界，则称g为当x→x0时的有界量. 记作f(x)=O(1) (x→x0).性质：1、两个(相同类型的)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量.2、无穷小量与有界量的乘积为无穷小量.例：当x→0时，x2是无穷小量，sin1x 为有界量，所以limx→0x2sin1x=0.结论：limx→x0f x=A limx→x0(f x−A)=0.二、无穷小量阶的比较设x→x0时，f与g均为无穷小量.1、若limx→x0f(x)g(x)=0，则称当x→x0时，f为g的高阶无穷小量，或称g为f的低阶无穷小量. 记作f(x)=o(g(x)) (x→x0).2、若存在正数K和L，使得在某U0(x0)上有：K≤f(x)g(x)≤L或limx→x0f(x)g(x)=c≠0，则称f与g为当x→x0时的同阶无穷小量.例：(1)当x→0时，1-cos x与x2皆为无穷小量. 又limx→01−cos xx2=12. 所以1-cos x与x2为当x→0时的同阶无穷小量.(2)当x→0时，x与x2+sin1x 皆为无穷小量. 又1≤2+sin1x≤3. 所以x与x2+sin1x为当x→0时的同阶无穷小量.若无穷小量f与g满足关系式f(x)g(x)≤L，x∈U0(x0). 则记作f(x)=O(g(x)) (x→x0). 当f(x)=o(g(x)) (x→x0)时，也有f(x)=O(g(x)) (x→x0).o(g(x))=f|limx→x0f xg x=0；f(x)=o(g(x))，即f(x)∈f|limx→x0f xg x=0.3、若limx→x0f(x)g(x)=1，称f与g为当x→x0时的等阶无穷小量. 记作f(x)~g(x) (x→x0).注：不是任何两个无穷小量阶都可以进行比较，如：当x→0时，x sin1x和x2都是无穷小量，但它们的比1x sin1x或xsin1x当x→0时，都不是有界量，所以不能进行阶的比较。