2011年全国高中数学联合竞赛试题(B卷)

（专家预测卷考前必做）2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案一 试一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1. 已知2a ≥-，且{}2A x x a =-≤≤，{}23,B y y x x A ==+∈，{}2,C t t x x A ==∈，若C B ⊆，则a 的取值范围是 。

2. 在ABC ∆中，若2AB = ，3AC = ，4BC =，O 为ABC ∆的内心，且A O AB BC λμ=+ ，则λμ+= .3. 已知函数()()()()21,0,1,0,x x f x f x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩若关于x 的方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 。

4. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n 时按下这个按键，会等可能的将其替换为0~n -1中的任意一个数。

如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是 。

5. 已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，过椭圆的右焦点作一条直线l 交椭圆于点P 、Q ，则△F 1PQ 内切圆面积的最大值是 ．6. 设{}n a 为一个整数数列，并且满足：()()()11121n n n a n a n +-=+--，n N +∈．若20072008a ，则满足2008n a 且2n ≥的最小正整数n 是 ．7. 如图，有一个半径为20的实心球，以某条直径为中心轴挖去一个半径为12的圆形的洞，再将余下部分融铸成一个新的实心球，那么新球的半径是 。

8. 在平面直角坐标系内，将适合,3,3,x y x y <<<且使关于t 的方程33421()(3)0x y t x y t x y-+++=-没有实数根的点(,)x y 所成的集合记为N ，则由点集N 所成区域的面积为 。

二、解答题（本题满分56分）9. （本小题满分16分）对正整数2n ≥，记11112n n k k n a n k --==⋅-∑，求数列{}n a 中的最大值．10.（本小题满分20分）已知椭圆 12222=+by a x 过定点A （1，0），且焦点在x 轴上，椭圆与曲线y x =的交点为B 、C 。

2011年全国高中数学联合竞赛（B 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2011B1、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若201011S S -=，则2011S = ． ◆答案：10092011★解析：因为{}n a 是等差数列，所以201011S S -=即120091006=a ，得200911006=a ， 所以2011S =()20092011201122011100620111==+a a a2011B 2、已知复数z 的模为1，若1z z =和2z z =时1z i ++分别取得最大值和最小值，则12z z -= .◆答案：()i +12★解析：由z i i z z i ++≤++≤-+111，即12112+≤++≤-i z ，当i z ++1取得最大值（最小值）时，z 与i +1共线，且方向相同（相反）， 又⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+4sin 4cos 21ππi i ，所以4sin 4cos 1ππi z +=，45sin45cos 2ππi z += 所以()i i i z z +=--+=-1245sin 45cos4sin4cos 21ππππ2011B 3、若正实数b a ,满足2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log . ◆答案： 1- ★解析：由2211≤+ba ，得ab b a 22≤+． 又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即ab b a 22≥+． ①于是 ab b a 22=+．②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab ．与②联立解得⎩⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎩⎨⎧-=+=,12,12b a ，故1log -=b a ．2011B 4、把扑克牌中,2,,,,A J Q K 的分别看作数字1,2,,11,12,13.现将一副扑克牌中的黑桃、红桃各13张放在一起，从中随机取出2张牌，其花色相同且两个数的积是完全平方数的概率为_____． ◆答案：652 ★解析：从26张牌中任意取出2张，共有325226=C 种取法。

2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。

填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。

直接将答案写在横线上。

） 1．计算：sin ²10º+sin ²20º+sin ²30º+…+sin ²90º=? 5 ．2．设等差数列﹛an ﹜的前n 项和为Sn ，已知S12=21，则a3+a4+a9+a10＝____7____．3．已知P 是△ABC 所在平面上一点，满足PA ﹙→﹚+PB ﹙→﹚+2PC ﹙→﹚=3AB ﹙→﹚，则△ABP 与△ABC 的面积之比为1:2．4．111(1)(1)(1)121231232011---+++++++ ＝6712011．5．满足方程x ²+8xsin ﹙xy ﹚+16=0（x ∈R,y ∈[0,2π﹚）的实数对﹙x,y ﹚的个数为 8 ． 6．已知函数2()2||2f x x x =-+的定义域为[,]a b （其中a b <），值域为[2,2]a b ，则符合条件的数组(,)a b 为1(,22+．7．设集合{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A =.如果方程20x mx n --=（,m n A ∈）至少有一个根0x A ∈，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为 23 ．8．已知关于x 的方程||x k -=[1,1]k k -+上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是01k <≤．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知二次函数2()y f x x bx c ==++的图象过点（1，13），且函数y =1()2f x -是偶函数. （1）求()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.解 （1）因为函数1()2y f x =-是偶函数，所以二次函数2()f x x bx c =++的对称轴方程为12x =-，故1b =. ------------------------------------------4分又因为二次函数2()f x x bx c =++的图象过点（1，13），所以113b c ++=，故11c =. 因此，()f x 的解析式为2()11f x x x =++. ------------------------------------------8分（2）如果函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，设为P 2(,)m n ，其中m 为正整数，n 为自然数，则2211m m n ++=，从而224(21)43n m -+=，即[2(21)][2(21)]43n m n m ++-+=.------------------------------------------12分 注意到43是质数，且2(21)2(21)n m n m ++>-+，2(21)0n m ++>，所以有2(21)43,2(21)1,n m n m ++=⎧⎨-+=⎩解得10,11.m n =⎧⎨=⎩因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.------------------------------------------16分10．已知a,b ∈R ，关于x 的方程x^4+ax^3+2x ²+bx+1=0有一个实根，求a ²+b ²的最小值． 解 设r 为方程432210x ax x bx ++++=的实根，则有432210r ar r br ++++=，即222(1)()0r r ar b +++=.显然0r ≠. ------------------------------------------5分 容易证明22224()()(1)ar b a b r +≤++，于是222224422222442424()(1)1(1)(21)[]11(1)(1)ar b r r r r a b r r r r r r r ++++++≥=-⋅==++++42244422424(1)4(1)414448(1)1r r r r r r r r r r +++++==++≥=++. ------------------------------------------15分当且仅当4224141r r r r +=+且2a r b =时等号成立，此时21r =，a b =.结合222(1)()0r r ar b +++=可求得2,1,a b r ==-⎧⎨=⎩或2,1.a b r ==⎧⎨=-⎩因此22a b +的最小值为8. ------------------------------------------20分11．已知数列{}n a 满足2*1121,(N )3n n n a a a a n n+==+∈.证明：对一切*N n ∈，有（1）11n n a a +<<； （2）1124n a n>-．解 （1）显然，0n a >，所以212nn n n a a a a n+=+>（*n N ∈）.所以，对一切*k N ∈，211221k k k k k k a a a a a a k k++=+<+，所以21111k k a a k +-<. --------------------5分所以，当2n ≥时，111121122111111111111()3[1]3[1()](1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=-->->-+=-+---∑∑∑∑ 13[11]111nn n =-+-=>--， 所以1n a <. 又1113a =<，故对一切*n N ∈，有1n a <. 因此，对一切*n N ∈，有11n n a a +<<. ------------------------------------------10分 （2）显然111113424a =>=-. 由1n a <，知2122k k k k k a a a a a k k +=+<+，所以2121k k k a a k +>+，所以2211122221111k k k k k k k k k a k a a a a a a a a k k k k +++=+>+⋅=+++，所以211111k k a a k +->+， ------------------------------------------15分 所以，当*n N ∈且2n ≥时，111121111111111111111()33()1(1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=--<-<-=--+++∑∑∑∑ 1213(1)n n n+=--=， 所以11112122(21)24n n a n n n>=->-++. ------------------------------------------20分。

2011年全国高中数学联合竞赛一试试卷（A 卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A {-3,0,2,6}．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是．5．现安排7名同学去参加5个运动工程，要求甲、乙两同学不能参加同一个工程，每个工程都有人参加，每人只参加一个工程，则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为．8．已知=n a C ())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（本小题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．2011年全国高中数学联合竞赛加试试卷（A卷）考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10二、（本题满分40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a xa x x f n n n ++++=--具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数kr r r ,,,21，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．三、（本题满分50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a jk ij ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <．四、（本题满分50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值．。

2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）考试时间：2011年10月16日 8：00—9：20一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为 ．8．已知=n a C ())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（本小题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10二、（本题满分40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21 ，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．三、（本题满分50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a jk i j ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <．四、（本题满分50分）设A是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个)9⨯nmm方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A n≤≤1(≤1,3≤中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

2０11年全国高中数学联赛一 试一、填空题（每小题8分,共6４分）1．设集合},,,{4321a a a a A =,若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A .２．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ． 3.设b a ,为正实数,2211≤+ba ,32)(4)(ab b a =-,则=b a log ． 4.如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-,)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 . 5.现安排7名同学去参加5个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答)６．在四面体A ＢCD 中,已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ,3==BD AD ,2=CD ,则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于A,Ｂ两点,C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ,则点C 的坐标为 .8．已知=n a C())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ．二、解答题（本大题共3小题,共56分)9.（16分)设函数|)1lg(|)(+=x x f ,实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ,求b a ,的值.10．(２0分)已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*． (１)求数列}{n a 的通项公式;（2）若0>t ,试比较1+n a 与n a 的大小.11．(本小题满分２0分）作斜率为31的直线l 与椭圆C :143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示)，且)2,23(P 在直线l 的左上方.(1)证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2)若︒=∠60APB ,求△PAB 的面积．解 答1．{3,0,2,6}-. 提示：显然，在A 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次,所以15853)1()(34321=+++-=+++a a a a ，故54321=+++a a a a ，于是集合A 的四个元素分别为5－(－１)=6,5－３＝2，5-５=0，５-８=－3,因此,集合}6,2,0,3{-=A .2.(,(1,)-∞+∞. 提示:设22,tan πθπθ<<-=x ,且4πθ≠,则)4sin(21cos sin 11tan cos 1)(πθθθθθ-=-=-=x f .设)4sin(2πθ-=u ,则12<≤-u ,且0≠u ,所以 ),1(]22,(1)(+∞--∞∈= u x f ．3.-1. 提示：由2211≤+ba ,得ab b a 22≤+.又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即ab b a 22≥+． ①于是ab b a 22=+． ②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab .与②联立解得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,12,12b a故1log -=b a .4．⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ. 提示:不等式 )cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-等价于θθθθ5353cos 71cos sin 71sin +>+．又5371)(x x x f +=是),(+∞-∞上的增函数，所以θθcos sin >，故 ∈+<<+k k k (45242ππθππＺ). 因为)2,0[πθ∈，所以θ的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ． 5.１50０0. 提示:由题设条件可知,满足条件的方案有两种情形: (1）有一个项目有3人参加，共有3600!5!51537=⋅-⋅C C 种方案；。

2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）考试时间：2011年10月16日 8：00—9：20一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上． 1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ．6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（本小题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++n n n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．2009年全国高中数学联合竞赛加试一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）1． 如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧BC 、AC 的中点．过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC ∆的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ． ⑴求证：MP MT NP NT ⋅=⋅；⑵在弧AB （不含点C ）上任取一点Q （Q A ≠，T ，B ），记AQC ∆，QCB △的内心分别为1I ，2I ，ITQ PNMCBA求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．2008年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）一、（本题满分50分）如题一图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠<，P 是平面上的动点，令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅．（Ⅰ）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C ,,,四点共圆；（Ⅱ）设E 是ABC ∆外接圆O 的AB 上一点，满足：32AE AB =，31BC EC =-，12ECB ECA ∠=∠，又,DA DC 是O 的切线，2AC =，求()f P 的最小值．2007年全国高中数学联合竞赛加试试卷（考试时间：上午10：00—12：00）一、（本题满分50分）如图，在锐角△ABC 中，AB<AC ，AD 是边BC 上的高，P 是线段AD 内一点。

2011年全国高中数学联合竞赛（A 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2011A1、设集合{}4321,,,a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成为{}8,5,3,1-=B ，则集合=A ◆答案： {3,0,2,6}-★解析：显然，在A 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以15853)1()(34321=+++-=+++a a a a ，故54321=+++a a a a ，于是集合A 的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3， 因此，集合}6,2,0,3{-=A ．2011A 2、函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ◆答案：(,(1,)2-∞-+∞ ★解析：提示：设22,tan πθπθ<<-=x ，且4πθ≠，则)4sin(21cos sin 11tan cos 1)(πθθθθθ-=-=-=x f ．设)4sin(2πθ-=u ，则12<≤-u ，且0≠u ，所以 ),1(]22,(1)(+∞--∞∈= u x f ．2011A 3、设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ◆答案： 1- ★解析：由2211≤+ba ，得ab b a 22≤+． 又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即ab b a 22≥+． ①于是 ab b a 22=+．②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab ．与②联立解得⎩⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎩⎨⎧-=+=,12,12b a ，故1log -=b a ．2011A 4、如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围为◆答案： ⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ ★解析：不等式)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-等价于θθθθ5353cos 71cos sin 71sin +>+. 又5371)(x x x f +=是),(+∞-∞上的增函数，所以θθcos sin >， 故∈+<<+k k k (45242ππθππZ )．因为)2,0[πθ∈，所以θ的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ．2011A 5、现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ◆答案：15000★解析：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：（1）有一个项目有3人参加，共有3600!5!51537=⋅-⋅C C 种方案；（2）有两个项目各有2人参加，共有11400!5!5)(21252527=⋅-⋅⋅C C C 种方案； 所以满足题设要求的方案数为15000114003600=+．2011A 6、在四面体ABCD 中，已知060=∠=∠=∠CDA BDC ADB ,3==BD AD ,2=CD ,则在四面体ABCD 的外接球的半径为◆答案：★解析：设四面体ABCD 的外接球球心为O ，则O 在过△ABD 的外心N 且垂直于平面ABD 的垂线上．由题设知，ABD ∆是正三角形，则点N 为ABD ∆的中心．设M P ,分别为CD AB ,的中点，则N 在DP 上，且DP ON ⊥，CD OM ⊥．因为︒=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ，设CD 与平面ABD 所成角为θ，可求得32sin ,31cos ==θθ．在DMN ∆中，33233232,121=⋅⋅=⋅===DP DN CD DM ． 由余弦定理得231312)3(1222=⋅⋅⋅-+=MN，故2=MN ．四边形DMON 的外接圆的直径 3322sin ===θMNOD ．故球O 的半径3=R ．2011A 7、直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，090=∠ACB ，则点C 的坐标为◆答案： )2,1(-或)6,9(-．★解析：设)2,(),,(),,(22211t t C y x B y x A ，由⎩⎨⎧==--,4,0122x y y x 得 0482=--y y ，则821=+y y ，421-=⋅y y ．又12,122211+=+=y x y x ，所以182)(22121=++=+y y x x ， 11)(24212121=+++⋅=⋅y y y y x x ．因为︒=∠90ACB ，所以0=⋅CB CA ，即有0)2)(2())((212212=--+--y t y t x t x t ，即0)(24)(21212212214=⋅++-+⋅++-y y t y y t x x t x x t ，即03161424=---t t t ，即0)14)(34(22=--++t t t t ．显然0142≠--t t ，否则01222=-⋅-t t ，则点C 在直线012=--y x 上，从而点C 与点A 或点B 重合．所以0342=++t t ，解得3,121-=-=t t ．故所求点C 的坐标为)2,1(-或)6,9(-．2011A 8、已知()nnnn C a ⎪⎭⎫⎝⎛=-2162003200（95,,2,1 =n ），则数列{}n a 中整数项的个数为 ◆答案： 15★解析：由题意 =n a 65400320020023n nnC --⋅⋅．要使)951(≤≤n a n 为整数，必有65400,3200nn --均为整数，从而4|6+n ． 当=n 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，3200n -和65400n-均为非负整数，所以n a 为整数，共有14个．当86=n 时，=86a 5388620023-⋅⋅C ，在!114!86!20086200⋅=C 中，!200中因数2的个数为1972200220022002200220022002200765432=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡， 同理可计算得!86中因数2的个数为82，!114中因数2的个数为110，所以86200C 中因数2的个数为511082197=--，故86a 是整数．当92=n 时，=92a 10369220023-⋅⋅C ，在!108!92!20092200⋅=C 中，同样可求得!92中因数2的个数为88,!108中因数2的个数为105,故86200C 中因数2的个数为410588197=--，故92a 不是整数．因此，整数项的个数为15114=+．二、解答题：本大题共3小题，共56分。

一、填空题（每小题8分，共64分）1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ． 3．设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ． 4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ．二、解答题（本大题共3小题，共56分）9．（16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．加 试1. （40分）如图，Q P ,分别是圆内接四边形ABCD 的对角线BD AC ,的中点．若DPA BPA ∠=∠，证明：CQB AQB ∠=∠．2. （40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质：4.（50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值。

2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。

填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。

直接将答案写在横线上。

）1．已知P 是△ABC 所在平面上一点，满足23PA PB PC AB ++=，则△ABP 与△ABC 的面积之比为 ．2．已知数列{}n a 满足：*1212122,1,(N )n n n n n n a a a a a a a a n ++++===++∈，则122011a a a +++=.3．已知R α∈，如果集合{sin ,cos 2}{cos ,sin 2}αααα=，则所有符合要求的角α构成的集合为 ．4．满足方程28sin()160x x xy ++=（R,[0,2)x y π∈∈）的实数对(,)x y 的个数为 ．5．设z 是模为2的复数，则1||z z-的最大值与最小值的和为 ． 6．对一切满足||||1x y +≤的实数,x y ，不等式3|23||1||23|2x y y y x a -++-+--≤恒成立，则实数a 的最小值为 ．7．设集合{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A =.如果方程20x mx n --=（,m n A ∈）至少有一个根0x A ∈，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为 ．8．已知关于x 的方程||x k -=[1,1]k k -+上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是 ．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知二次函数2()y f x x bx c ==++的图象过点（1，13），且函数y =1()2f x -是偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.10．已知数列{}n a 满足2*1121,(N )3n n n a a a a n n+==+∈.证明：对一切*N n ∈，有（1）11n n a a +<<； （2）1124n a n>-．11．已知椭圆C ：22142x y +=，过点P 1()33-而不过点Q 的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点.（1）求∠AQB ；（2）记△QAB 的面积为S ，证明：3S <．11:22 40223 {|2,}k k Z ααπ=∈4 85 462327 23 801k <≤9.解 （1）因为函数1()2y f x =-是偶函数，所以二次函数2()f x x bx c =++的对称轴方程为12x =-，故1b =. ------------------------------------------4分又因为二次函数2()f x x bx c =++的图象过点（1，13），所以113b c ++=，故11c =. 因此，()f x 的解析式为2()11f x x x =++. ------------------------------------------8分（2）如果函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，设为P 2(,)m n ，其中m 为正整数，n 为自然数，则2211m m n ++=，从而224(21)43n m -+=，即[2(21)][2(21)]43n m n m ++-+=.------------------------------------------12分 注意到43是质数，且2(21)2(21)n m n m ++>-+，2(21)0n m ++>，所以有2(21)43,2(21)1,n m n m ++=⎧⎨-+=⎩解得10,11.m n =⎧⎨=⎩因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.---------------------16分10.解（1）显然，0n a >，所以212n n n n a a a a n+=+>（*n N ∈）.所以，对一切*k N ∈，211221k k k k k k a a a a a a k k ++=+<+，所以21111k k a a k+-<. --------------------5分所以，当2n ≥时，111121122111111111111()3[1]3[1()](1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=-->->-+=-+---∑∑∑∑ 13[11]111nn n =-+-=>--，所以1n a <. 又1113a =<，故对一切*n N ∈，有1n a <.因此，对一切*n N ∈，有11n n a a +<<. -------------10分 （2）显然111113424a =>=-.由1n a <，知2122k k k k k a a a a a k k +=+<+，所以2121k k k a a k +>+，所以 2211122221111k k k k k k k k k a k a a a a a a a a k k k k +++=+>+⋅=+++，所以211111k k a a k +->+， ------------------------------------------15分所以，当*n N ∈且2n ≥时，111121111111111111111()33()1(1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k kk ----====+=--<-<-=--+++∑∑∑∑ 1213(1)n n n+=--=，所以11112122(21)24n n a n n n>=->-++. ------------------------------------------20分11. 解（1）如果直线l 的斜率存在，设它的方程为y kx b =+，因为点P 在直线l上，所以133k b -=+，故11)3b =-+.联立直线l 和椭圆C 的方程，消去y ，得222(21)4240k x kbx b +++-=.设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则122421kb x x k +=-+，21222421b x x k -=+， 212122242()222121k b by y k x x b b k k +=++=-+=++，222221212121222244()()()()2121b kby y kx b kx b k x x kb x x b k kb b k k -⋅=++=+++=⋅+⋅-+++222421b k k -=+ ------------------------------------------6分因为11(1)QA x y =-，22(1)QB x y =-，所以11221212(2,1)(2,1)((1)(1)QA QB x y x y x x y y =----=+--12121212)2()1x x x x y y y y =+++-++222222224442()2121212121b kb b k b k k k k --=-++-+++++2221[3221)1]21b k b k =++--+222112[1)21)1]2133k k =++-+--+ ＝0，所以QA QB ⊥，显然A 、Q 、B 三点互不相同，所以∠AQB ＝90°.如果直线l的斜率不存在，则A、B两点的坐标为(33±，容易验证∠AQB＝90°也成立.因此，∠AQB＝90°.------------------------------------------12分（2）由（1）知∠AQB＝90°，所以△QAB是直角三角形.如果直线QA或QB的斜率不存在，易求得△QAB的面积为3S=<.如果直线QA和QB的斜率都存在，不妨设直线QA的方程为(1y m x=+，代入椭圆C的方程，消去y，得222(21)41)1)40m x m x+--+--=，则||QA==. 又Q B⊥QA，所以，同理可求得21()1|||2()1mQBm-+==-+. --------------------------16分于是，△QAB的面积为22111|||||||22212mS QA QBm m+==⋅++22222222|1||||)|4(1)4(1)(21)(2)2(1)m m mm mm m m m+⋅-+=⋅+⋅=⋅+⋅++++222221||1142()1m mm mm-+++=⋅++.令22212cos,sin11m mm mθθ-==++，则21|sin|2412sin4Sθθθ+=⋅+.注意到13sin||sin()|22θθθϕ+=+≤，212sin24θ+≥，且等号不能同时取得，所以32432S<⋅=. ------------------------------------------20分。

2011年全国高中数学联合竞赛第一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合{}1234,,,A a a a a =，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为{}1,3,5,8B =-，则集合 ．2．函数()f x =的值域为 ．3．设为正实数，11a b+≤()()234a b ab -=，则 ．4．如果()5533cos sin 7sin cos θθθθ-<-，[)0,2θπ∈，那么的取值范围是 ．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）6．在四面体中，已知60ADB BDC CDA ∠=∠=∠=︒，3AD BD ==，2CD =，则四面体的外接球的半径为 ．7．直线210x y --=与抛物线24y x =交于,A B 两点，C 为抛物线上的一点，90ACB ∠=︒，则点C 的坐标为 ．8．已知()2002001,2,,95nnnn a C n -=⋅⋅=，则数列{}n a 中整数项的个数为 ．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．设函数()()lg 1f x x =+，实数(),a b a b <满足()12b f a f b +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，()106214lg 2f a b ++=，求,a b 的值．10．已知数列满足：()1231a t t t =-∈≠±R 且，()()()112321121n n n n n n t a t t a n a t ++-+--=∈+-N ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若0t >，试比较与的大小．11．作斜率为13的直线l 与椭圆C ：221364x y +=交于A 、B 两点（如图所示），且(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△P AB 的内切圆的圆心在一条定直线上； （2）若60APB ∠=︒，求△P AB 的面积．加试一、（本题满分40分）如图，P,Q分别是圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD的中点．若∠=∠．∠=∠，证明：AQB CQBBPA DPA二、（本题满分40分）证明：对任意整数，存在一个次多项式()1110n n n f x x a x a x a --=++++具有如下性质：（1）011,,,n a a a -均为正整数；（2）对任意正整数，及任意()2k k ≥个互不相同的正整数12,,,k r r r ，均有()()()()21k f m f r f r f r ≠．三、（本题满分50分）设()12,,,4n a a a n ≥是给定的正实数，12n a a a <<<．对任意正实数，满足()1j i k ja a r i j k n a a -=≤<<≤-的三元数组(),,i j k 的个数记为()n f r ．证明：()24n n f r <．四、（本题满分50分）设A是一个39⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个()⨯≤≤≤≤方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个的m n m n13,19小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．。