黄金30题系列高三年级数学（文）大题好拿分【提升版】
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．已知函数()ππ2sin cos cos 2cos 266f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-
++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭， x R ∈． （Ⅰ）求π12f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值． （Ⅱ）求函数()f x 在区间π
,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，及相应的x 的值．
（Ⅲ）求函数()f x 在区间π,π2
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
的单调区间．
2．在ABC ∆中， a ， b ， c 分别是角A ， B ， C 的对边，且满足2cos cos a b B
c C
-=
． （1）求角C 的大小；
（2）设函数(
)2
2sin cos cos 2sin sin f x x x C x C =+，求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的值域．
3．在数列{}n a 中， 14a =， ()()1121n n na n a n n +-+=+. （1）求证：数列n a n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为等差数列，并求出数列{}n a 通项公式n a ； （2）求数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S ．
4．已知数列{}n a ，其前n 项和为n S .
（1）若对任意的*
n N ∈， 21n a -， 21n a +， 2n a 组成公差为4的等差数列，且11a =，
求2n S ； （2）若数列n n S a a ⎧⎫
+⎨
⎬⎩⎭
是公比为q （1q ≠-）的等比数列， a 为常数， 求证：数列{}n a 为等比数列的充要条件为1
1q a
=+
. 5．随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷．为了解共享单车在A 市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）
（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关？
（2）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人．从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率．
参考公式：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中
n a b c d =+++．
参考数据：
6．2015 年 12 月，华中地区数城市空气污染指数“爆表”，此轮污染为 2015 年以来最严重的污染过程，为了探究车流量与 2.5PM 的浓度是否相关，现采集到华中某城市
由散点图知与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；（提示数据：
7
1
1372i i
i x y
==∑，
(2)利用(1)所求的回归方程，预测该市车流量为 12 万辆时 2.5PM 的浓度.
参考公式：回归直线的方程是ˆˆˆy
bx a =+， 其中()()()
1122211ˆˆˆ,n n
i i i i i i n n
i i i i x x y y x y nx y b a y bx x nx x x ====∑--∑-⋅===-∑-∑-. 7．甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学
生在该地区二模考试的数学成绩清况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下： 甲校：
乙校:
，1）计算,x y 的值；
，2）若规定考试成绩在[]120150,内为优秀，请根据样本估计乙校数学成绩的优秀率；
，3）由以上统计数据填写下面22⨯列联表，并判断是否有97.5%的把握认为两个学校
的数学成绩有差异.
附： ()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++， n a b c d =+++. 8．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AB DC ，90ABC ∠=︒，
AD SD =，1
2
BC CD AB ==
，侧面SAD ⊥底面ABCD ．
（1）求证：平面SBD ⊥平面SAD ；
（2）若120SDA ∠=︒，且三棱锥S BCD -SAB ∆的面积． 9．如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，
4PA BC ，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．
（I ）证明MN ∥平面PAB ； （II ）求四面体N BCM -的体积.
10．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，PAB ∆与ABC ∆是等腰三角
形，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，AD =AC BA ⊥，点E 是线段AB 上靠近点
B 的一个三等分点，点F ，G 分别在线段PD ，P
C 上．
（1）证明：CD AG ⊥； （2）若三棱锥E BCF -的体积为
16，求FD PD
的值． 11．已知点P ()2,2-，圆C ， 22
80x y x +-=，过P 的动直线l 与，C 交,A B 两点，
线段AB 中点为M ， O 为坐标原点． ，1）求点M 的轨迹方程；
，2）当OP OM =时，求直线l 的方程以及，POM 面积．
12．已知圆22:100C x y ++-=点A ,P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线I 和半径CP 相交于点Q ．
（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；
（Ⅱ）直线y kx =+Q 的轨迹交于不同两点A 和B ，
且1OA OB ⋅=（其中 O 为坐标
原点），求k 的值.
