黄金30题系列高三年级数学(文)大题好拿分【提升版】

大题好拿分【提升版】1．【题文】已知命题()()2:7100,:110p x x q x a x a -+≤--+-≤（其中0a >）。

（1）若2a =，命题“p 且q "为真，求实数x 的取值范围; (2)已知p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1)[]2,3；（2）[)4,+∞.【解析】试题分析：（1）分别求出,p q 的等价命题, 25,13p x q x ⇔≤≤⇔-≤≤，再求出它们的交集；(2）25p x ⇔≤≤, 11q a x a ⇔-≤≤+，因为p 是q 的充分条件，所以][2,51,1a a ⎡⎤⊆-+⎣⎦，解不等式组可得。

2．【题文】设命题p ：函数f （x)=lg （ax 2—x+116a ）的定义域为R ；命题q ：方程221104x y a a +=-+表示椭圆 （1)如果p 是真命题,求实数a 的取值范围;（2)如果命题”p 或q”为真命题,求实数a 的取值范围。

【答案】(1)2a >；（2)4a >-【解析】试题分析：(1）命题p ：函数f(x ）=lg(ax 2-x+116a ）的定义域为R 转化为ax 2—x+1016a >在R 上恒成立（ⅰ）()0a =舍；ⅱ） 20,10,4a a >∆=-<解不等式求解（2)由（1)知2,p a q >真，真： 100{40 ,104a a a a ->+>-≠+解得 410,3,a a -<<≠且 q p 或为真即求p 真q 真的并集即得解.试题解析:（1)命题p:函数f(x)=lg(ax 2-x+116a )的定义域为R 转化为ax 2-x+1016a >在R 上恒成立（ⅰ)()0a =舍;ⅱ）20,10,a 24a a >∆=-解得；所以2a >. （2）由（1）知2,p a q >真，真： 100{40 ,104a a a a ->+>-≠+解得 410,3,a a -<<≠且 q p 或为真即求p 真q真的并集，所以 4.a >-3．【题文】设命题p ：已知点()()3,1,4,6A B -，直线320x y a -+=与线段AB 相交；命题q ：函数()21lg 16f x ax x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的定义域为R 。

2014年高考数学走出题海之黄金30题系列1．已知集合A ＝{x |4≤x 2≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是（） A.(－∞，－2] B.[)+∞-,2 C.(－∞，2] D.[)+∞,2 2.设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,5},则∁U M 等于( ) (A){2,4,6}(B){1,3,5}(C){1,2,4}(D)U 3．设全集U=R ，A={x|(2)21x x -<}，B={|ln(1)}x y x =-，则右图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{|1}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x <≤D ．{|12}x x ≤< 4．已知a =312,b =l og 1312,c =l og 213,则（）A.a >b >cB.b >c >aC.b>a >cD.c >b >a 5．函数ln xy x=的最大值为( ) A ．1e -B ．e C ．2e D ．1036．已知52log 2a =， 1.12b =，0.812c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（）A.c b a <<B.a c b <<C.a b c <<D.b c a <<7．将函数()()3sin 2cos2f x x x x R =+∈的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()y g x =，则函数()y g x =（）A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数，也不是偶函数 8．若函数()y f x =是函数3xy =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（） A.2log 3- B.3log 2- C.19D.3 9．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+<=⎨-≥⎩.若()()0f a f a -+≤，则a 的取值范围是()A ．[]1,1-B ．[2,0]-C ．[]0,2D ．[]2,2-10．在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,若a 2-b 2=bc,sinC=2sinB,则A=( )(A)30°(B)60°(C)120°(D)150°11．已知等差数列{}n a 的公差和首项都不等于0，且2a ，4a ，8a 成等比数列，则36945a a a a a ++=+()A.2B.3C.5D.712．下列命题正确的是() A ．若Z k k x ∈≠,π,则4sin 4sin 22≥+x x B ．若,0<a 则44-≥+a aC ．若0,0>>b a ,则b a b a lg lg 2lg lg ⋅≥+D ．若0,0<<b a ,则2≥+b aa b13．设,a b ∈R ,则“2()0a b a -<”是“a b <”的__________. A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件14．如图，111A B C ABC -是直三棱柱，BCA ∠为直角，点1D 、1F 分别是11A B 、11A C 的中点，若1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是（）A ．22B ．32C ．15D ．3015．设a 、b 是不同的两条直线，α、β是不同的两个平面，分析下列命题，其中正确的是（）． A ．a α⊥，b β⊂，a b αβ⊥⇒⊥B ．α∥β，a α⊥，b ∥βa b ⇒⊥ C ．αβ⊥，a α⊥，b ∥a b β⇒⊥D ．αβ⊥，a αβ=，a b b β⊥⇒⊥16．已知三点)143()152()314(--，，、，，、，，λC B A 满足AC AB ⊥，则λ的值() A 、14B 、-14C 、7D 、-717．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为23，双曲线12222=-y x 的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（）A.12822=+y xB.161222=+y xC.141622=+y xD.152022=+y x 18．“函数y=sin(x ＋φ)为偶函数”是“φ＝2π”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件19．某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[l04，l06]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于102克的产品的个数是（）A ．90B ．75C ．60D ．4520．某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（）A ．1B ．2C ．3D ．421．已知n m ,是不重合的直线，βα,是不重合的平面，有下列命题： ①若α⊆m ，n ∥α，则m ∥n ； ②若m ∥α，m ∥β，则α∥β；③若n =βα ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β； ④若βα⊥⊥m m ,，则α∥β 其中真命题的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．322．在平面直角坐标系中，从下列五个点：A （0，0），B （2，0），C （1，1），D （0，2），E （2，2）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（） A ．52B ．53C ．54D ．1 23．袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次摸出2个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是（） A ．310B ．35C ．12D ．1424．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是()(A)45(B)50(C)55(D)60 25．求135101S =++++的流程图程序如右图所示，其中①应为()A ．101!A =B ．101!A ≤C ．101!A >D ．101!A ≥ 26．在复平面内，复数1i12iz -=+对应的点在() A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 27．设1i z =-（i 是虚数单位），则复数23i z+的实部是() A ．32B ．322C ．12-D ．1228．如图，在ABC ∆中，已知045=B ,D 是BC 上一点，6,14,10===DC AC AD ,则_______=AB29．若函数f (x )＝x 3＋ax 在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．30．已知实数,x y 满足不等式组0,0,26,312x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值是 ．。

黄金30题系列高三年级数学（文）大题好拿分【基础版】 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．已知函数()2cos cos f x x x x +．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期．（Ⅱ）求()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 2．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知asinA csinC bsinB +=. (Ⅰ)求B ；（Ⅱ）若075,2,A b ==a c 求，.3．在等差数列{n a }中，1a =3，其前n 项和为n S ，等比数列{n b }的各项均为正数，1b =1，公比为q,且b 2+ S 2=12，22S q b =． （1）求n a 与n b 的通项公式；（2）设数列{n c }满足1n nc S =，求{n c }的前n 项和n T ． 4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*11N 2n n S a n +=∈ （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设()()*113log 1N n n b S n +=-∈，令12231111n n n T b b b b b b +=+++，求n T 5．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重，经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间，将数据分成以下5组，第一组[]45,50，第二组[]50,55，第三组[]55,60，第四组，第五组[]65,70，得到如图所示的频率分布直方图，现采用分层抽样的方法，从第3、4、5组中随机抽取6名学生做初检． （Ⅰ）求每组抽取的学生人数．（Ⅱ）若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检，求这2名学生不在同一组的概率．PM 6．近年来许多地市空气污染较为严重，现随机抽取某市一年（365天）内100天的 2.5空气质量指数（AQI）的监测数据，统计结果如表：记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S（单位：元），AQI指数为x.当x在区0,100内时，对企业没有造成经济损失；当x在区间(100,300]内时，对企业造成间[]的经济损失与x成直线模型（当AQI指数为150时，造成的经济损失为1100元，当AQI 指数为200时，造成的经济损失为1400元）；当AQI指数大于300时，造成的经济损失为2000元.S x的表达式；（1）试写出()（2）试估计在本年内随机抽取1天，该天经济损失S大于1100且不超过1700元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，这30天中有8天为严重污染，完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气严重污染与供暖有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++ 7．据统计，目前微信用户已达10亿，2021年，诸多传统企业大佬纷纷尝试进入微商渠道，让这个行业不断地走向正规化、规范化.2021年3月25日，第五届中国微商博览会在山东济南舜耕国际会展中心召开，力争为中国微商产业转型升级，某品牌饮料公司对微商销售情况进行中期调研，从某地区随机抽取6家微商一周的销售金额（单位：百元）的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.（1）若销售金额（单位：万元）不低于平均值的微商定义为优秀微商，其余为非优秀微商，根据茎叶图推断该地区110家微商中有几家优秀？（2）从随机抽取的6家微商中再任取2家举行消费者回访调查活动，求恰有1家是优秀微商的概率.8．如图1，等腰梯形BCDP 中， BC PD ∥， BA PD ⊥于点A ， 3PD BC =，且1AB BC ==．沿AB 把PAB △折起到P AB '△的位置（如图2），使90P AD '∠=︒． （I ）求证：CD ⊥平面P AC '．（II ）求三棱锥A P BC '-的体积．（III ）线段P A '上是否存在点M ，使得BM ∥平面P CD '，若存在，指出点M 的位置并证明；若不存在，请说明理由．9．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知1AB =， 2BC =， 4CD =， AB CD ， BC CD ⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ， PA AB ⊥.（1）求证： BD ⊥平面PAC ；（2）已知F 点在棱PD 上，且PB 平面FAC ，若5PA =，求三棱锥D FAC -的体积D FAC V -.10．如图，在四棱锥P ABCD -中，122PC AD CD AB ====，//AB DC ，AD CD ⊥，PC ⊥平面ABCD .（1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）若M 为线段PA 的中点，且过,,C D M 三点的平面与线段PB 交于点N ，确定点N 的位置，说明理由；并求三棱锥A CMN -的高.11．已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√154， F 1,F 2是椭圆的两个焦点， P 是椭圆上任意一点，且△PF 1F 2的周长是8+2√15．（1）求椭圆C 的方程；（2）设圆T ：(x −t )2+y 2=49，过椭圆的上顶点作圆T 的两条切线交椭圆于E 、F 两点，当圆心在x 轴上移动且t ∈(1,3)时，求EF 的斜率的取值范围．12．如图，椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A,B 两点.|AF|的最大值是M ，|BF|的最小值是m ，满足M ⋅m =34a 2.(1) 求该椭圆的离心率；(2) 设线段AB 的中点为G ，AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴分别交于D,E 两点，O 是坐标原点.记ΔGFD 的面积为S 1，ΔOED 的面积为S 2，求2S 1S 2S 12+S 22的取值范围.13．如下图，已知点A(1,√2)是离心率为√22的椭圆C ：y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)上的一点，斜率为√2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合．（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：直线AB ，AD 的斜率之和为定值．14．已知函数()1ln f x a x b x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（,a b R ∈），()2g x x =.（1）若1a =，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直，求b 的值；（2）若2b =，试探究函数()f x 与()g x 的图象在其公共点处是否存在公切线.若存在，研究a 值的个数；，若不存在，请说明理由.15．已知函数()()1ln R f x a x a x=-∈． （I ）若()()2h x f x x =-，当3a =-时，求()h x 的单调递减区间；（II ）若函数()f x 有唯一的零点，求实数a 的取值范围．16．已知函数2()2ln f x x x a x =-+（aÎR ）．（Ⅰ）当a ＝2时，求函数()f x 在（1, f （1））处的切线方程；（Ⅱ）当a ＞0时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数()f x 有两个极值点1x , 2x （12x x <），不等式12()f x mx ≥恒成立，求实数m 的取值范围．17．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为3{1x y αα=+=+（α为参数）以原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线1:sin cos l θθρ-=交曲线C 于,M N 两点，求MN .18．已知曲线1C 的参数方程为1cos :{1sin x l y θθ=+=+（θ为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1ρ=．（1）把1C 的参数方程式化为普通方程， 2C 的极坐标方程式化为直角坐标方程； （2）求1C 与2C 交点的极坐标(),(0,02)ρθρθπ≥≤<．19．选修4-5：不等式选讲设实数x ， y 满足14y x +=. （1）若723y x -<+，求x 的取值范围；（2）若0x >， 0y >，求证：xy ≥.20．不等式选讲已知函数()212f x x x =--+.（1）求不等式()0f x >的解集；（2）若存在0R x ∈，使得()2024f x a a +<，求实数a 的取值范围.参考答案1．（Ⅰ）π；（Ⅱ）最大值和最小值分别是32， 0．【解析】试题分析：（1）将()2cos cos f x x x x +通过降幂公式、辅助角公式化简为()π1sin 262f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，得到周期；（2）通过整体思想，得到ππ5π2,666x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，求得π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以最大值和最小值分别是32， 0．试题解析：（Ⅰ） ()2cos cos f x x x x =+1cos2sin222x x +=+ π1sin 262x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． （Ⅱ）∵ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴ππ5π2,666x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， ∴π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴()30,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别是32， 0． 点睛：三角函数的化简需要对三角函数的二倍角公式（降幂公式）、辅助角公式熟悉应用，三角函数的性质考察通常利用整体思想解题，然后通过()sin f x x =的原始性质进行解题，得到对应的解.2．(I) 45B =（II ）1a =+c =【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得cos B 的值，进而求得B ．（Ⅱ）利用两角和公式先求得sin A 的值，进而利用正弦定理分别求得a 和c ．【详解】(I)由正弦定理得222a c b +=由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-.故cos B =45B = （II ）()sin sin 3045A =+sin30cos45cos30sin45=+=故sin 1sin A a b B =⨯==sin sin6026sin sin45C c b B =⨯=⨯=【点睛】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用．3．（1）3n a n =，13n n b -=；（2）23(1)n n T n =+. 【分析】（1）根据等差数列{n a }中，1a =3，其前n 项和为n S ，等比数列{n b }的各项均为正数，1b =1，公比为q,且b 2+ S 2=12，22S q b =，设出基本元素，得到其通项公式；（2）由于(33)2n n n S +=，所以12211()(33)31n n C S n n n n ===-++，那么利用裂项求和可以得到结论. 【详解】 （1） 设：{n a }的公差为d ,因为222212b S S q b +=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以6126q d d q q ++=⎧⎪+⎨=⎪⎩， 解得q =3或q =-4（舍）,d =3．故3n a n =，13n n b -=；（2）因为(33)12211,().2(33)31n n n n n S C S n n n n +====-++所以 故211111(1)()()32231n T n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥+⎣⎦212(1)313(1)n n n =-=++. 本题主要是考查了等差数列和等比数列的通项公式和前n 项和，以及数列求和的综合运用.4．（1）123nn a ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（2）24n n T n =+【解析】 【详解】试题分析：(1) 利用112n n S a += 得到相邻两项的关系，把问题转化为等比数列问题；(2) 利用裂项相消法求和. 试题解析：（1）由()*112n n S a n N +=∈，得112n n S a =- 111121S 1-,23n a a ∴===时，得()111111211222n n n n n n n n a S S a a a a 时，---⎛⎫⎛⎫≥=-=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得113n n a a -= ∴{}n a 是等比数列，且公比为1n 121,==2333na a ⎛⎫∴⨯ ⎪⎝⎭首项， （2）由（1）及112n n S a +=得11111123n n n S a +++⎛⎫-== ⎪⎝⎭()113log 11n n b S n +=-=+ ，()()111111212n n b b n n n n +==-++++ 11111123341224n n T n n n =-+-+⋯+-=+++ 5．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）1115P=．【解析】试题分析：（1）由直方图得第3、4、5组的学生人数之比为3:2:1，根据分层抽样的方法知依次抽取3名学生，2名学生，1名学生；（2）通过穷举法，求得概率为1115． 试题解析：（Ⅰ）由频率分布直方圆知，第3、4、5组的学生人数之比为3:2:1， 所以，每组抽取的人数分别为：第3组：3636⨯=， 第4组：2626⨯=，第5组：1616⨯=，所以从3、4、5组应依次抽取3名学生，2名学生，1名学生． （Ⅱ）解：记第3组的3为同学为1A ，2A ，3A ， 第4组的2位同学为1B ，2B ， 第5组的一位同学为C ，则从6位同学中随机抽取2位同学所有可能的情形为：()12,A A ，13(,A A ），()11,A B ，()12,A B ，()1,A C ，()23,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()2,A C ，()31,A B ，()32,A B ，()3,A C ，()12,B B ，()1,B C ，()2,B C ，共15种可能，其中2名学生不在学生不在同一组的有：()11,A B ，()12,A B ，()1,A C ，()21,A B ，()22,A B ，()2,A C ，()31,A B ，()32,A B ，()3,A C ，()1,B C ，()2,B C 共11种可能．故所求概率1115P =．6．(1)[]0,0,100,()6200,(100,300],2000,(300,).x S x x x x ⎧∈⎪=+∈⎨⎪∈+∞⎩(2)0.4；(3)有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关. 【解析】 ：试题分析：（1）根据在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元）；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2000元，可得函数关系式；（2）由500＜S≤900，得150＜ω≤250，频数为39，即可求出概率； （3）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论．解析：（1）依题意，可得()[](]()0,0,100,6200,100,300,2000,300,.x S x x x x ⎧∈⎪=+∈⎨⎪∈+∞⎩（2）设“在本年内随机抽取1天，该天经济损失S 大于1100元且不超过1700元”为事件A ，由11001700S <≤，得150250x <≤，由统计结果，知()0.4P A =，即在本年内随机抽取1天，该天经济损失S 大于1100元且不超过1700元的概率为0.4. （3）根据题中数据可得如下22⨯列联表：2K 的观测值()2100638227 4.575 3.84185153070k ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.点睛：本题考查概率知识，考查列联表，观测值的求法，是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关．概率问题是高考中和实际联系非常紧密的一道题目，容易出现新的题型新的情景；只要审题清楚，联系实际和数学知识，就能做好． 7．(1) 推断该地区110家微商中有55家优秀；(2)35【解析】 试题分析：（1）由题意得到销售金额的平均数，再判断优秀微商的数目，最后估计该地区110家微商中的优秀微商的数目．（2）根据古典概型概率公式计算即可． 试题解析：（1）6家微商一周的销售金额分别为8，14，17，23，26，35，故销售金额的平均值为1(81417232635)20.56x =+++++=． 由题意知优秀微商有3家，故优秀的概率为12，由此可推断该地区110家微商中有55家优秀．（2）从随机抽取的6家微商中再任取2家举行消费者回访调查活动，有2615C =种， 设“恰有1家是优秀微商”为事件A ，则事件A 包含的基本事件个数为11339C C =种，所以93()155P A ==. 即恰有1家是优秀微商的概率为35． 8．（I ）见解析；（II ）16；（III ）存在M ， M 为P A '中点. 【解析】试题分析：（Ⅰ）推导出P A '⊥AD ，AB ⊥P A '．从而P A '⊥面ABCD ．进而P A '⊥CD ，再求出AC ⊥CD ．由此能证明CD ⊥平面P AC '．（Ⅱ）由V A-P'BC =V P'-ABC ，能求出三棱锥A-P'BC 的体积．（Ⅲ）取P'A 中点M ，P'D 中点N ，连结BM ，MN ，NC ，推导出四边形BCNM 为平行四边形，由此能求出存在一点M ，M 为P A '的中点，使得BM ∥面P 'CD ． 试题解析：（I ）∵90P AD ∠='︒，故P A AD '⊥， ∵在等腰梯形中，AB AP ⊥， ∴在四棱锥中，AB AP ⊥'，又∵AD AB A ⋂=， ∴P A '⊥平面ABCD ， ∵CD ⊂平面ABCD ， ∴P A CD '⊥， ∵等腰梯形BCDE 中，AB BC ⊥，3PD BC =，且1AB BC ==，∴AC =CD =，2AD =，∴222AC CD AD +=， ∴AC CD ⊥， ∵P A AC A '⋂=， ∴CD ⊥平面P AC '． （II ）1122ABCSAB BC =⋅=， ∵P A '⊥平面ABCD ， ∴13A P BC P ABC ABCV V S P A -''-='=⨯，16=． （III ）存在点M ，M 为P A '中点，使得BM 平面P CD '， 证明：取P A '，P D '中点为M ，N ， 连接BM ，MN ，NC ， ∵M ，N 是P A '，P D '中点，∴12MN AD ， ∵12BC AD ， ∴MN BC ，∴BCNM 是平行四边形， ∴BM CN ， ∵BM ⊄面P CD '，CN ⊂面P CD '，∴BM 平面P CD '．点睛：本题第三问考查的是直线与平面平行的判定．通过证明平面外的直线与平面内的直线线平行，从而证明线面平行．寻找线线平行的一般办法有：一、利用三角形中位线定理，二、利用平形四边形的性质;三、利用两直线都垂直于同一平面，两直线平行;四、利用线面平行的性质等.9．（1）见解析；（2）163. 【解析】试题分析：（1）利用平面PAB ⊥平面ABCD 从而得到PA ⊥平面ABCD ，而后求证AC ⊥BD 来得证BD ⊥平面PAC ；（2）充分利用面面垂直，线面平行等关系求出高FM 与底面积来三棱锥的体积． 试题解析：（1）∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂ ABCD AB =，PA AB ⊥， PA ⊂平面PAB ，∴PA ⊥平面ABCD .∵BD ⊂平面ABCD ， PA BD ⊥，连结AC BD O ⋂=， ∵AB CD ， BC CD ⊥， 1AB =， 2BC =， 4CD =，BDC ACB ∠=∠，∴90ACB CBD BDC CBD ∠+∠=∠+∠=︒，则AC BD ⊥，∵AC PA A ⋂=，∴BD ⊥平面PAC . （2）作FM AD ⊥于M ，连接MO ， FO由（1）知：平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD = ∴FM ⊥平面ADC ， FMPA∵PB 平面FAC ， PB ⊂平面PBD , 平面PBD ⋂平面 FAC FO =. ∴FO PB ，∴平面FMO 平面PAB ∴MO AB ，45FM DM DO PA DA DB ===，又5PA =， 4FM = 1422ADC ABC ABCD AB DC S S S BC AB BC +=-=⋅-⋅=梯形.163D FAC F DAC V V --==.点睛：本题主要考查了几何体的体积的计算问题，解答中正确把握几何体的结构特征，抓住线面位置关系，合理计算三棱锥的高是解答的关键，此类问题解答中抓好三棱锥的特征，合理转换顶点是常见的一种求解方法，平时注意总结.10．（1）详见解析（2 【解析】 试题分析：(1)由题意可证得AC BC ⊥，PC BC ⊥，则BC ⊥平面PAC .(2)N 为PB 的中点，由几何关系可知：点N 为过,,C D M 三点的平面与线段PB 的交点，结合棱锥的体积公式可得三棱锥A CMN -试题解析：（1）在直角梯形ABCD 中，AC ==BC ==222AC BC AB +=，即AC BC ⊥，又PC ⊥平面ABCD ，所以PC BC ⊥，又AC PC C ⋂=，故BC ⊥平面PAC . （2）N 为PB 的中点，因为M 为PA 的中点，N 为PB 的中点，所以//MN AB ，且122MN AB ==， 又//AB CD ，所以//MN CD ，所以,,,M N C D 四点共面， 所以点N 为过,,C D M 三点的平面与线段PB 的交点，因为BC ⊥平面PAC ，N 为PB 的中点，所以N 到平面PAC 的距离12D BC ==又111222ACM ACP S S AC PC ∆∆==⨯⨯⨯=，所以1233N ACM V -==，有题意可知，在直角三角形PCA 中，PA CM ===在直角三角形PCB 中，PB CN ===CMN S ∆=设三棱锥A CMN -的高为12,33N ACM A CMN h V V h --===，解得h =故三棱锥A CMN -. 11．（1）x 216+y 2=1；（2）(625,18).【解析】试题分析：（1）利用椭圆的离心率和椭圆的定义得到的关系式进行求解；（2）设出圆的切线方程，利用直线与圆相切，得到的关系式以及两条切线的斜率的关系，分别联立切线与椭圆的方程，求得的坐标，求出斜率，再利用函数的单调性求其最值.试题解析：（1）由e =√154，可知，c =√15b因为的周长是8+2√15，所以2a +2c =8+2√15,所以,所求椭圆方程为x 216+y 2=14分（2）椭圆的上顶点为，设过点与圆相切的直线方程为y =kx +1，由直线y =kx +1与相切可知√k 2+1=23，即(9t 2−4)k 2+18tk +5=0∴k 1+k 2=−18t 9t 2−4,k 1k 2=59t 2−4， 6分由{y =k 1x +1x 216+y 2=1 得(1+16k 12)x 2+32k 1x =0 ∴x E =−32k 11+16k 12同理x F =−32k21+16k 228分 k EF =y E −y F x E −x F =(k 1x E +1)−(k 2x F +1)x E −x F =k 1x E −k 2x Fx E −x F=k 1+k21−16k 1k2=6t28−3t 11分 当时，f(t)=6t 28−3t 2为增函数,故的斜率的范围为(625,18)13分考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.直线与圆的位置关系. 12．（1）12；（2）(0,941)． 【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的离心率、椭圆与直线相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，设出F 点坐标，数形结合，根据椭圆的性质，得到M =a +c,m =a −c,代入已知M ⋅m =34a 2中，得到a =2c ，计算出椭圆的离心率；第二问，根据题意，设出椭圆方程和直线方程，两方程联立，消参，利用韦达定理，得到x 1+x 2和x 1x 2，利用三角形相似得到所求的比例值，最后求范围. 试题解析：(1) 设F(−c,0)(c >0)，则根据椭圆性质得M =a +c,m =a −c,而M ⋅m =34a 2，所以有a 2−c 2=34a 2，即a 2=4c 2，a =2c ， 因此椭圆的离心率为e =c a=12. （4分）(2) 由(1)可知a =2c ，b =√a 2−c 2=√3c ，椭圆的方程为x 24c 2+y 23c 2=1. 根据条件直线AB 的斜率一定存在且不为零，设直线AB 的方程为y =k(x +c)， 并设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)则由{y =k(x +c)x 24c2+y 23c2=1消去y 并整理得 (4k 2+3)x 2+8ck 2x +4k 2c 2−12c 2=0从而有x 1+x 2=−8ck 24k 2+3,y 1+y 2=k(x 1+x 2+2c)=6ck4k 2+3， （6分） 所以G(−4ck 24k 2+3,3ck4k 2+3).因为DG ⊥AB ，所以3ck 4k 2+3−4ck 24k 2+3−x D ⋅k =−1，.由RtΔFGD 与RtΔEOD 相似，所以S 1S 2=GD 2OD 2=(−4ck 24k 2+3+ck 24k 2+3)2+(3ck4k 2+3)2(−ck 24k 2+3)2=9+9k 2>9. （10分）令S1S 2=t ，则t >9，从而2S 1S 2S 12+S 22=2t+1t<29+19=941，即2S 1S 2S 12+S 22的取值范围是(0,941). （12分）考点：椭圆的标准方程、椭圆的离心率、椭圆与直线相交问题. 13．（1）y 24+x 22=1；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据离心率为√22可得e =ca =√22，把(1,√2)代入方程可得2a 2+1b 2=1，又a 2=b 2+c 2，解方程组即可求得方程；（2）设直线BD 的方程为y =√2x +m ，整理方程组，求得x 1+x 2=−√22m ，x 1x 2=m 2−44及参数m 的范围，由斜率公式表示出k AD +k AB ，结合直线方程和韦达定理整理即可得到定值. 试题解析：（1）由题意，可得e =c a=√22，代入(1,√2)得2a2+1b 2=1，又a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =√2，c =√2 所以椭圆C 的方程为y 24+x 22=1．（2）证明：设直线BD 的方程为y =√2x +m ，又A ，B ，D 三点不重合，∴m ≠0， 设D(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由得4x 2+2√2mx +m 2−4=0，所以Δ=−8m 2+64>0，解得−2√2<m <2√2， x 1+x 2=−√22m ，① x 1x 2=m 2−44，②设直线AB ，AD 的斜率分别为k AB ，k AD ，则k AD +k AB =y 1−√2x 1−1+y 2−√2x 2−1=√2x 1+m−√2x 1−1+√2x 2+m−√2x 2−1=2√2+m ⋅x 1+x 2−2x1x 2−x 1−x 2+1（∗），分别将①②式代入（∗）， 得2√2+m ⋅−√22m−2m 2−44+√22m+1=2√2−2√2=0，所以k AD +k AB =0，即直线AB ，AD 的斜率之和为定值0． 考点：椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系.【方法点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查了方程的思想和考试与运算能力，属于中档题.求椭圆方程通常用待定系数法，注意隐含条件a 2=b 2+c 2；研究圆锥曲线中的定值问题，通常根据交点与方程组解得对应性，设而不解，表示出待求定值的表达式，利用韦达定理代入整理，消去参数即可得到定值.14．（1）2b =；（2）当0a ≤时，函数()f x 与()g x 的图象在其公共点处不存在公切线，当0a >时，函数()f x 与()g x 的图象在其公共点处存在公切线，且符合题意的a 的值有且仅有两个.【解析】试题分析：（1）当1a =时， ()1ln f x x b x x=--，得到()'f x ，依题意()'10f =，即可求解b 的值；（2）假设()(),f x g x 的图象在其公共点()00,x y 处存在公切线，分别求出导数，令()()00f x g x '=，得02ax =，讨论a ，分别0a ≤， 0a >，令22a a f g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，研究方程解的个数，可构造函数，运用都是求出单调区间，讨论函数的零点个数即可判断.试题解析：（1）当1a =时， ()1ln f x x b x x=--，∴ ()22211'1b x bx f x x x x -+=+-=，依题意得()'120f b =-=，∴ 2b =.（2）假设函数()f x 与()g x 的图象在其公共点()00,x y 处存在公切线，∵2b =，∴ ()12ln f x a x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴ ()222'ax x a f x x -+=， ()'2g x x =， 由()()00''f x g x =得20002022ax x a x x -+=，即3200220x ax x a -+-=， ∴()()200120x x a +-=，故02ax =.∵函数()f x 的定义域为()0,+∞， 当0a ≤时， ()00,2ax =∉+∞，∴函数()f x 与()g x 的图象在其公共点处不存在公切线；当0a >时，令22a a f g ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵222ln 2ln 222222a a a a a f a a ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 224a ag ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴222ln 2224a a a --=，即28ln 82a a -=（0a >）. 下面研究满足此等式的a 的值的个数：设2at =，则2a t =，且0t >，方程28ln 82a a -=化为2ln 12t t =-， 分别画出ln y t =和212t y =-的图象，当1t =时， ln 0t =， 211022t -=-<， 由函数图象的性质可得ln y t =和212t y =-的图象有且只有两个公共点（且均符合），∴方程28ln 82a a-=有且只有两个根. 综上，当0a ≤时，函数()f x 与()g x 的图象在其公共点处不存在公切线；当0a >时，函数()f x 与()g x 的图象在其公共点处存在公切线，且符合题意的a 的值有且仅有两个. 点晴：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用函数的性质解决不等式、方程问题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中认真审题，注意导数在函数中的合理应用，试题有一定的难度，属于难题. 15．（I ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞；（II ） {}(0,)e -⋃+∞ 【分析】（I ）对()h x 求导，利用导数与单调性的知识可求得减区间； （II ）问题等价于1ln a x x =有唯一实根.当0a =时，无解，当0a ≠时，1ln x x a=，构造函数()ln x x x ϕ=，利用导数求得ln x x 的极小值为1e --，画出函数()ϕx 图象，根据图象求出a 的范围.【详解】（I ）()h x 定义域为()0+∞，， ()()()222221113231'2x x x x h x x x x x ---+=-+-=-=-， ∴()h x 的单调递减区间是102⎛⎫⎪⎝⎭，和()1+∞，. （II ）问题等价于1ln a x x=有唯一的实根， 显然0a ≠，则关于x 的方程1ln x x a=有唯一的实根，构造函数()ln x x x ϕ=，则()'1ln x x ϕ=+， 由()'1ln 0x x ϕ=+=，得1x e -=，当1)(0,e -∈时，()'0x ϕ<，()x ϕ单调递减；当1(,)x e -∈+∞时，()'0x ϕ>，()x ϕ单调递增，所以()x ϕ的极小值为()11eeϕ--=-，如图，画出函数()x ϕ的大致图象， 则要使方程1ln x x a=的唯一的实根， 只需直线1y a=与曲线()y x ϕ=有唯一的交点， 则11e a -=-或10a>，解得a e =-或0a >. 故实数a 的取值范围是{}()0e -⋃+∞，.【点睛】本题主要考查函数导数与单调性，考查数形结合的数学思想方法，考查函数零点问题转化的方法.利用导数求单调性的过程是：求定义域、求导通分，令导数等于零，通过函数的单调性，画原函数的图像.其中定义域是最容易漏掉的. 16．（Ⅰ）23y x =-；（Ⅱ）当12a ≥时，()f x 的单调递增区间是∞（0，+），当102a <<时，()f x 的单调递增区间是1(0,)2，1()2++∞，单调递减区间是；（Ⅲ）3(,ln 2]2-∞--.【解析】试题分析：（Ⅰ）当a ＝2时，2()22ln f x x x x =-+，求导即可得函数()f x 在（1, f （1））处的切线方程. （Ⅱ）（0x >），只需考虑222x x a -+在0x >时的符号.令()0f x '=，得2220x x a -+=.（1）当480a ∆=-≤，即12a ≥时，()0f x '≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（2）当480a ∆=->，即12a <时，由2220x x a -+=，得1,21122a x ±-=.显然根21121022a x +-=>>，需要考虑11122ax --=的符号. 由111202ax --=>得121,0a a -，所以分以下两种情况讨论：102a <<，0a =，根据导数的符号即可得出()f x 在(0,)+∞上的单调区间.（Ⅲ）由12()f x mx ≥得12()f x m x ≤，所以问题转化为求12()f x x 的最小值.由（Ⅱ）可知，函数()f x 有两个极值点1x , 2x ，则102a <<.由得由()0f x '=，得2220x x a -+=，则121x x =+，21122a x x =-.所以 222111*********()2ln 2(22)ln f x x x a x x x x x x x x x -+-+-==221111112(22)ln 1x x x x x x -+-=-1111112ln 1x x x x =-++-.又1x =102a <<，可得1102x <<.这样问题转化为求函数1()12ln 1h x x x x x =-++-（102x <<）的最小值. 试题解析：（Ⅰ）当a ＝2时，2()22ln f x x x x =-+，2()22f x x x=-+'， 则(1)1f =-，(1)2f '=，所以切线方程为23y x =-． 4分 （Ⅱ）（0x >），令()0f x '=，得2220x x a -+=，（1）当480a ∆=-≤，即12a ≥时，()0f x '≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）当480a ∆=->，即12a <时，由2220x x a -+=，得1,212x ±= ①若102a <<，由()0f x '>，得102x -<<或12x >；由()0f x '<，x <<②若0a =，则2()2f x x x =-，函数()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增； 综上，当12a ≥时，()f x 的单调递增区间是(0,)+∞； 当102a <<时，()f x的单调递增区间是1(0,2，1()2++∞；单调递减区间是； 9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，函数()f x 有两个极值点1x , 2x ，则102a <<， 由()0f x '=，得2220x x a -+=，则121x x =+，1x =2x =，由102a <<，可得1102x <<，2112x <<，222111*********()2ln 2(22)ln f x x x a x x x x x x x x x -+-+-==221111112(22)ln 1x x x x x x -+-=- 1111112ln 1x x x x =-++-， 令1()12ln 1h x x x x x =-++-（102x <<），则21()12ln (1)h x x x +-'=- 因为102x <<，1112x -<-<-，21(1)14x <-<，2141(1)x -<-<--，又2ln 0x <， 所以()0h x '<，即102x <<时，()h x 单调递减，所以3()ln 22h x >--，即12()3ln 22f x x >--， 故实数m 的取值范围是3ln 22m ≤--． 14分 考点：1、导数的应用；2、导数与不等式. 17．（1）6cos 2sin ρθθ=+（2【解析】试题分析：（Ⅰ）将曲线C 的参数方程消去参数即可得到普通方程()()223110x y -+-=，再将将{x cos y sin ρθρθ==代入普通方程可得极坐标方程为6cos 2sin ρθθ=+；（Ⅱ）根据条件可求得直线的直角坐标方程为1y x -=，由圆的弦长的求法可得弦长。

2017年高考数学走出题海之黄金30题系列母题1【集合运算】（2016甲卷文1）已知集合{}1,2,3A =，{}2|9B x x =<，则A B =I （ ）.A.{}2,1,0,1,2,3--B.{}2,1,0,1,2--C.{}1,2,3D.{}1,2 【答案】D【解析】 ()3,3B =-，{}1,2A B =I .故选D.母题2【充分条件和必要条件】（2016四川文5）设p ：实数x ，y 满足1x >且1y >，q ：实数x ，:y 满足2x y +>，则p 是q 的（ ）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A母题3【复数的概念】（2016全国乙文2）设()()12i i a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =（ ）．A ．3-B ．2-C ．2D ． 【答案】A【解析】 由题意()()()()12i i 221i a a a ++=-++，故221a a -=+，解得3a =-．故选A ．母题4【函数的性质】（2016甲卷文12）已知函数()()f x x ∈R 满足()(2)f x f x =-，若函数223y x x =--与()y f x =图像的交点为()()()1122,,,m m x y x y x y ⋯，，，，则1mi i x ==∑（ ）.A.0B.mC.2mD.4m 【答案】B【解析】 ()()222314f x x x x =--=--，其图像关于1x =对称，()f x y =的根图像关于1x =对称，故112m x x +=，2112m x x -+=，L ，12212m mx x ++=，相加得1222m x x x m+++=L ，故1mm i x m ==∑.故选B.母题5【函数的图象】（2016乙卷文9）函数22e xy x =-在[]2,2-的图像大致为（ ）.A. B. C. D.【答案】D 分析 对于函数图像识别题一般是利用函数性质排除不符合条件的选项.评注 排除B 选项的完整论述，设()g x =()f x '，则()4e x g x '=-.由()10g '>，()20g '<，可知存在()01,2x ∈使得()00g x '=且()0,2x x ∈时()0g x '<，所以()f x '在()0,2x 是减函数，即()0,2x x ∈时()f x 切线斜率随的增大而减小，排除B.母体6【导数的应用】已知a 是函数3()12f x x x =-的极小值点，则a =（ ）.A. 4-B. 2-C.4D.2 【答案】D【解析】 2()3123(2)(2).f x x x x '=-=+-令()0f x '=得，2x =-或2x =，易知()f x 在()2,2-上单调递减，在()2+∞，上单调递增，故()f x 极小值为(2)f ，由已知得2a =.故选D 母题7【三角形函数的图象和性质】（2016天津文8）已知函数)0(21sin 212sin )(2>-+=ωωωx xx f ，x ∈R .若)(x f 在区间(π,2π)内没有零点，则ω的取值范围是（ ）. A.10,8⎛⎤⎥⎝⎦ B.150,,148⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C.50,8⎛⎤⎥⎝⎦D.1150,,848⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【答案】D【解析】 1cos sin 1π()22224x x f x x ωωω-⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭. 由()0f x =，即πsin 04x ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得()ππ+4k x k ω=∈Z .又()()ππ+4π,2πk x k ω=∉∈Z ，因此115599,,,848484ω⎛⎫⎛⎫⎛⎫∉⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭115,,848⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1150,,848ω⎛⎤⎡⎤∈ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.故选D. 母题8【解三角形】（2016山东文8）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是，，，已知b c =，222(1sin )a b A =-，则A =（ ）.A ．3π4 B ．π3 C ．π4 D ．π6【答案】C母题9【平面向量数量积】（2016天津文7）已知ABC △是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为（ ）. A. 58-B.18C.14D.118【答案】B【解析】 由题意作图，如图所示.则()AF BC AE EF BC ⋅=+⋅=111cos60448AC BC ⋅==.故选B.FEDCBA母题10【等差数列通项公式和前n 项和公式】(2015·新课标全国Ⅰ，7)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172B.192 C.10 D.12 【答案】 B【解析】由S 8＝4S 4知，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝3(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)，又d ＝1，∴a 1＝12，a 10＝12＋9×1＝192.母题11【线性规划】(2015·陕西，11)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 C.17万元D.18万元线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示，可得目标函数在点A 处取到最大值．由⎩⎨⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2，3)，则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)． 答案 D母题12（2016全国丙文11）在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球.若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA = 则V 的最大值是（ ）.A.4πB.9π2C.6πD.32π3【答案】B则33max 4439πππ3322V r ⎛⎫===⎪⎝⎭.故选B.母题13（2016全国乙文11）平面α过正方体1111ABCD A BC D -的顶点A ，α∥平面11CB D ，α平面ABCD m =，α平面11ABB A n =，则,m n 所成角的正弦值为（ ）． A．2 C．13B ACC 1B 1A 1CBA【答案】A【解析】 解法一：将图形延伸出去，构造一个正方体，如图所示.通过寻找线线平行构造出平面α，即平面AEF ，即研究AE 与AF 所成角的正弦值，易知3EAF π∠=，所以其正弦值为A ． ABCDA 1B 1C 1D 1EF母题14【三视图】（2016全国丙文10）如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）.A.18+B.54+C.90D.81 【答案】.B【解析】 如图所示为其几何体直观图，该几何体为四棱柱1111AEFD A E F D -，所以表面积为(33363254⨯+⨯+⨯⨯=+故选B.F 1E 1F ED 1DB 1A 1C 1ABC母题15【直线和双曲线位置关系】（2016天津文4）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为（ ）.A.1422=-y xB.1422=-y x C.15320322=-y x D.12035322=-y x【答案】A【解析】由题意得12b c a ==，解得2,1a b ==，所以双曲线的方程为2214x y -=.故选A .母题16【直线和抛物线位置关系】 (2014·新课标全国Ⅱ，10)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303B.6C.12D.7 3 母题17【程序框图】（2016全国丙文8）执行右图的程序框图，如果输入的4,6a b ==，那么输出的n =（ ）.A. B. C. D. 【答案】B母题18【几何概型】（2016全国甲文8）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯维持时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）． A.710 B.58C.38D.310【答案】B 【解析】 概率40155408P -==.故选B. 母题19【直线和圆】（2016全国丙文17）已知直线:30l mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别做的垂线与轴交于C ，D两点，若AB =，则CD =__________________.【解析】 解法一：根据直线与圆相交弦长公式有AB =得223r d -=，又212r =，得3d =.因此圆心()0,0O到直线：30mx y m ++=的距离3d ==，解得3m =-因此直线的方程为y x =+所以直线的倾斜角为30.如图所示，过点C 作CE BD ⊥于点E ，则4cos30cos303CE AB CD ====. 母题20【线性规划】（2016全国丙文13）设，y 满足约束条件2102101x y x y x -+⎧⎪--⎨⎪⎩………，则235z x y =+-的最小值为______. 【答案】10-【解析】可行域为ABC △及其内部，其中()()()1,0,1,1,C 1,3A B --，直线235z x y =+-过点B 时取最小值10-.母题21【平面向量坐标运算】（2016山东文13）已知向量()1,1-a =，()6,4-b =．若()t ⊥+a a b ，则实数的值为________．【答案】5-【解析】 ()()(),6,46,4t t t t t +-+-=+--a b =，()()()6,41,12100t t t t +⋅+--⋅-=+=a b a =，解得5t =-.母题22【解三角形】（2016天津文15）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，，，已知sin 2sin a B A =.（1）求B ； （2）若1cos 3A =，求sin C 的值.母题23【等差数列通项公式和数列求和】（2016全国甲文17）等差数列{}n a 中，344a a +=，576a a +=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]2.62=.【解析】（1）3415712542106a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩，解得1125a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以()2231155nn a n +=+-=（*n ∈N ）. （2）[]121079111555b b b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L []1317192123355555⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦111223334424+++++++++=.母题24【数列递推公式和数列求和】（2016山东文19）已知数列{}n a 的前项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）令1(1).(2)n n n nn a c b ++=+求数列n C 的前项和n T.（2）由（1）知11(66)3(1)2(33)n n n nn c n n +++==+⋅+，又123n n T c c c c =+++⋅⋅⋅+， 得23413[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，345223[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，两式作差，得：2343[22222n n n T n ++-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯=224(21)3[4(1)2]3221n n n n n ++-⨯+-+⨯=-⋅-，所以232n n T n +=⋅.母题25【空间向量与立体几何】（2016全国乙文18）如图所示，已知正三棱锥P ABC -的侧面是直角三角形，6PA =，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E .连结PE 并延长交AB 于点G ． （1）求证：G 是AB 的中点；（2）在题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．PABD CGE【解析】 （1）由题意可得ABC △为正三角形，故6PA PB PC ===． 因为P 在平面ABC 内的正投影为点D ，故PD ⊥平面ABC . 又AB ⊂平面ABC ，所以AB PD ⊥．因为D 在平面PAB 内的正投影为点E ，故DE ⊥平面PAB . 又AB ⊂平面PAB ，所以AB DE ⊥． 因为AB PD ⊥，AB DE ⊥，PDDE D =，,PD DE ⊂平面PDG ，所以AB ⊥平面PDG .又PG ⊂平面PDG ，所以AB PG ⊥． 因为PA PB =，所以G 是AB 的中点．（2）过E 作EF BP ∥交PA 于F ，则F 即为所要寻找的正投影．E GCD BAP F理由如下，因为PB PA ⊥，PB EF ∥，故EF PA ⊥.同理EF PC ⊥，43D PEF V -=． 母题26【统计图表与概率的综合】（2016全国乙文19）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图.记x 表示台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的易损零件数． （1）若19n =，求y 与x 的函数解析式；（2）若要求 “需更换的易损零件数不大于”的频率不小于0.5，求n 的最小值；（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？（2）由柱状图可知更换易损零件数的频率如表所示.所以更换易损零件数不大于18的频率为：0.060.160.240.460.5++=<，更换易损零件数不大于19的频率为：0.060.160.240.240.700.5+++=>，故n 最小值为19．（3）若每台都购买19个易损零件，则这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为：10019200205002105004000100⨯⨯+⨯+⨯⨯=（元）；若每台都够买20个易损零件，则这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为：10020200105004050100⨯⨯+⨯=（元）.因为40004050<，所以购买台机器的同时应购买19个易损零件．母题27【直线和椭圆位置关系】（2016四川文20）已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点12P ⎫⎪⎭在椭圆E 上. （1）求椭圆E 的方程；（2）设不过原点O 且斜率为12的直线与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：MA MB MC MD ⋅=⋅（2）设直线的方程为()102y x m m =+≠，1,1()A x y ，22(,)B x y . 由方程组221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得222220x mx m ++-= ①方程①的判别式为242m ∆=-（），由0∆>，即220m ->，解得m <<由①得，122x x m +=-，21222x x m =-. 所以点M 坐标为,2m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线OM 的方程为12y x =-，由方程组221412x y y x⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得2C ⎛ ⎝⎭，2D -⎭.所以)()2524MC MD m m m ⋅=-=-. 又()()()22221212121211544416MA MB AB x x y y x x x x ⎡⎤⎡⎤⋅==-+-=+-=⎣⎦⎣⎦()()2225544222164m m m ⎡⎤--=-⎣⎦.所以=MA MB MC MD ⋅⋅.母题28【导数的综合运用】（2016乙卷文21）已知函数()()()22e 1xf x x a x =-+-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.（ⅱ）当()ln 21a -=，即e2a =-时， 当1x …时，10x -…，1e 2e e 0xa +-=…，所以()0f x '….同理1x >时，()0f x '>． 故()f x 的单调增区间为(),-∞+∞； （ⅲ）当()ln 21a -<，即e02a -<<时.令()0f x '>，则()ln 2x a <-或1x >， 所以()f x 的单调增区间为()(),ln 2a -∞-和()1,+∞，同理()f x 的单调减区间为()()ln 2,1a -．（2）解法一（直接讨论法）：易见()1e 0f =-<，如（1）中讨论，下面先研究（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）三种情况． ①当e2a <-时，由()f x 单调性可知，()()()ln 210f a f -<<，故不满足题意； ②当e2a =-时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增，显然不满足题意； ③当e02a -<<时，由()f x 的单调性，可知()()()1ln 2f f a <-， 且()()()()()()()2ln 2ln 222ln 21f a a a a a -=---+--()2ln 220a a a =--+<⎡⎤⎣⎦，故不满足题意；下面研究0a …， 当0a =时，()()2e x f x x =-，令()0f x =，则2x =，因此()f x 只有个零点，故舍去； 当0a >时，()1e 0f =-<，()20f a =>，所以()f x 在()1,+∞上有个零点；（i ）当01a <…时，由ln02a<，而2l n l n 2l n 12222a a a a f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23l n l n 0222a a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， 所以()f x 在(),1-∞上有个零点；（i i ）当1a >时，由20-<，而()()22424e 990e f a a --=-+=->， 所以()f x 在(),1-∞上有个零点；可见当0a >时()f x 有两个零点．所以所求a 的取值范围为()0,+∞． 解法二（分离参数法）：显然1x =不是()f x 的零点，当1x ≠时，由()0f x =，得()22e 1x xa x -=-()1x ≠．设()()22e 1x xg x x -=-()1x ≠，则问题转化为直线y a =与()g x 图像有两个交点，对()g x 求导得()()()()24e 1211x x x g x x ⎡⎤---+⎣⎦'=-， 所以()g x 在(),1-∞单调递增，在()1,+∞单调递减．①当0a …时，若(),1x ∈-∞，()0g x >，直线y a =与()g x 图像没有交点， 若()1,x ∈+∞，()g x 单调递减，直线y a =与()g x 图像不可能有两个交点， 故0a …不满足条件；评注 此题与2015年文科卷第（1）问基本一致，都是对函数零点个数的研究，基本形成分离与不分离两种解答方案，但不管是否分离，都涉及到零点的取值问题． 【1】②④可放一起研究，当e 2a <-或e02a -<<，由题意()()ln 20f a -<，()1e 0f =-<，故不满足题意．【2】用分离参数的方法很多时候只能初步感知结论，不能替代论证． 很多资料上在论证完()g x 的单调性后直接书写如下过程，当1x <时，()0g x >；当1x >时，令()0g x =，则2x =，所以12x <<时，()0g x >；2x >时，()0g x <． 综上所述：0a >时函数()f x 有两个零点．这里论述1x <时()0g x >是不完备的，这里涉及到极限的知识，仅仅用()0g x >是不够的，可能会有值的趋向性，因此这种解析不完备是会扣除步骤分． 【3】考试院提供的参考答案与去年提供的参考相仿：当e2a <-时，则由（1）知，()f x 在()()1,ln 2a -上单调递减，在()()ln 2,a -+∞上单调递增，又当1x …时，()0f x <，故()f x 不存在两个零点． 综上，a 的取值范围为()0,+∞.母题29【坐标系与参数方程】（2016全国乙文23）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（为参数，0a >）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4cos C ρθ=.（1）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（2）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a .【解析】 （1）将1C 化为直角坐标方程为()2221a x y +-=，从而可知其表示圆．令cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入得极坐标方程22s 2in 10a ρρθ+-=-．（2）将1C ，2C 化为直角坐标方程为22212:10y y C x a +-+-=，222:40C x y x +-=． 两式相减可得它们的公共弦所在直线为24210x y a -+-=.又12,C C 公共点都在3C 上，故3C 的方程即为公共弦24210x y a -+-=. 又3C 为0θα=，0tan 2α=，即为2y x =，从而可知1a =． 母题30【不等式选讲】（2016全国甲文24）已知函数11()22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集.（1）求M ；（2）证明：当a b M ∈，时，1a b ab +<+.。

黄金30题系列高三年级数学（文）大题好拿分【基础版】学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、解答题1. 已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期．（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．2. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知.(Ⅰ)求B；（Ⅱ）若.3. 在等差数列中，，其前n项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为q，且，.（1）求与；（2）设数列满足，求的前n项和.4. 已知数列的前项和为，且满足（1）求数列的通项公式；（2）设，令，求5. 为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重，经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于至之间，将数据分成以下组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，现采用分层抽样的方法，从第、、组中随机抽取名学生做初检．（Ⅰ）求每组抽取的学生人数．（Ⅱ）若从名学生中再次随机抽取名学生进行复检，求这名学生不在同一组的概率．6. 近年来许多地市空气污染较为严重，现随机抽取某市一年（365天）内100指数空气质优良轻度污染中度污染重度污染严重污染量天数 4 13 18 30 20 15记某企业每天由空气污染造成的经济损失为（单位：元），指数为.当在区间内时，对企业没有造成经济损失；当在区间内时，对企业造成的经济损失与成直线模型（当指数为150时，造成的经济损失为1100元，当指数为200时，造成的经济损失为1400元）；当指数大于300时，造成的经济损失为2000元.（1）试写出的表达式；（2）试估计在本年内随机抽取1天，该天经济损失大于1100且不超过1700元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，这30天中有8天为严重污染，完成列联表，并判断是否有的把握认为该市本年度空气严重污染非严重污染严重污染合计供暖季非供暖季合计0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0011.3232.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828，其中7. 据统计，目前微信用户已达10亿，2016年，诸多传统企业大佬纷纷尝试进入微商渠道，让这个行业不断地走向正规化、规范化.2017年3月25日，第五届中国微商博览会在山东济南舜耕国际会展中心召开，力争为中国微商产业转型升级，某品牌饮料公司对微商销售情况进行中期调研，从某地区随机抽取6家微商一周的销售金额（单位：百元）的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.（1）若销售金额（单位：万元）不低于平均值的微商定义为优秀微商，其余为非优秀微商，根据茎叶图推断该地区110家微商中有几家优秀？（2）从随机抽取的6家微商中再任取2家举行消费者回访调查活动，求恰有1家是优秀微商的概率.8. 如图，等腰梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置（如图），使．（I）求证：平面．（II）求三棱锥的体积．（III）线段上是否存在点，使得平面，若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由．9. 如图，在四棱锥中，已知，，，，，平面平面，.（1）求证：平面；（2）已知点在棱上，且平面，若，求三棱锥的体积.10. 如图，在四棱锥中，，，，平面.（1）求证：平面；（2）若为线段的中点，且过三点的平面与线段交于点，确定点的位置，说明理由；并求三棱锥的高.11. 已知椭圆C：的离心率为，是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，且的周长是．（1）求椭圆C的方程；（2）设圆T：，过椭圆的上顶点作圆T的两条切线交椭圆于E、F 两点，当圆心在轴上移动且时，求EF的斜率的取值范围．12. 如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点.的最大值是，的最小值是，满足.(1) 求该椭圆的离心率；(2) 设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点.记的面积为，的面积为，求的取值范围.13. 如下图，已知点是离心率为的椭圆：上的一点，斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点互不重合．（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线，的斜率之和为定值．14. 已知函数（），.（1）若，曲线在点处的切线与轴垂直，求的值；（2）若，试探究函数与的图象在其公共点处是否存在公切线.若存在，研究值的个数；，若不存在，请说明理由.15. 已知函数．（I）若，当时，求的单调递减区间；（II）若函数有唯一的零点，求实数的取值范围．16. 已知函数（aÎR）．（Ⅰ）当a＝2时，求函数在（1, f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，求函数的单调区间；（Ⅲ）若函数有两个极值点, （），不等式恒成立，求实数m的取值范围．17. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）若直线交曲线于两点，求.18. 已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）把的参数方程式化为普通方程，的极坐标方程式化为直角坐标方程；（2）求与交点的极坐标．19. 选修4-5：不等式选讲设实数，满足.（1）若，求的取值范围；（2）若，，求证：.20. 不等式选讲已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得，求实数的取值范围.。

2021年高考数学走出题海之黄金30题系列一、选择题1．【2021届青岛市高三4月统一质量检测数学（理）】已知1?bi?a?i（a,b?r），其中i为虚数单位，1?2i则a?b?（）a．?4b．4c．?10d．10【答案】a【解析】2．【2021届湖北省天门市高三4月调研考试数学（理）】设p:f(x)?x?2x?mx?1在（??,??）上单调递减；q:m≥324，则p就是q的（）3a．充要条件b．充分不必要条件c．必要不充分条件d．以上都不对【答案】a【解析】x21,0x23．【2021届山东省济南市高三3月模拟考试数学（理）】未知g(x)?ax?a,f(x)??2，对x,?2?x?0?x1?[?2,2],?x2?[?2,2]，使g(x1)?f(x2)成立，则a的取值范围是()(a)[-1，+?)(b)[?【答案】b【解析】4,1](c)(0，1](d)(-?，l]3第1页共24页4．【2021届四川省成都七中高三4月适应性训练（1）数学（理）】设a?0且a?1.若logax?sin2x对x?(0,)恒成立,则a的取值范围是（）4a.(0,??)b.(0,]c.(,1)?(1,)d.[,1)444425．【2021届上海市闵行区高三下学期教育质量调研数学（理）】未知子集a?{xx?3x?2?0}，2?x?a?．b??x?0,a?0?,若“x?a”是“x?b”的充分非必要条件，则a的取值范围是（）x?2??（a）0?a?1（b）a?2（c）1?a?2（d）a?16．【2021届四川省树德中学高三3月阶段性考试数学（理）】设sn是等差数列?an?的前n项和，若a69?，a511则s11?（）s91a．1b．－1c．2d．2第2页共24页【答案】a【解析】7．【2021届湖北省黄冈市重点中学高三第二学期3月月托福数学（理）】函数y?cos(x?)(?0,0??)为奇函数，该函数的部分图像如图所示，a、b分别为最高点与最低点，并且|ab|?22，则该函数图象的一条对称轴为()a.x?2?b.x?c.x?2d.x?1?2【答案】d【解析】8．【2021届河北省衡水中学高三下二调考试数学（理）】设锐角?abc的三内角a、b、c所对边的边长分别为a、b、c，且a?1，b?2a,则b的取值范围为（）a.2,3b.1,3c.2,2d.?0,2?【答案】a【解析】试题分析：∵b?2a，∴sinb?sin2a，∴sinb?2sinacosa，∴由正弦定理：b?2acosa，又∵a?1，∴b?2cosa，∵?abc为锐角三角形，∴0?a??2，0?b??2，0?c??2，即0?a??2，0?2a??2，0a?2a??2，第3页共24页∴6a4，∴32，∴3?2cosa?2，∴b?(3,2).?cosa?22【考点定位】1.正弦定理；2.三角函数最值.x2y29．【2021届湖北省七市高三联合考试数学（理）】已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点为f1、f2，ab其中一条渐近线方程为y?bx(b?n*)，p为双曲线上一点，且满足用户op?5（其中o 为座标原点），若2pf1、f1f2、pf2成等比数列，则双曲线c的方程为（）x2x2y2x2y2222?y?1b.x?y?1c.??1d.??1a.449416【答案】a【解析】【考点定位】1、余弦定理；2、双曲线的定义和标准方程；3、等比中项.10．【2021届四川省资阳市高三4月模拟考试数学（理）】已知实数x?[1,10]，执行右图所示的程序框图，则输出x的值不小于55的概率为（）1524（a）（b）（c）（d）9999第4页共24页【答案】c【解析】11．【2021届上海交大附中高三总复习数学（理）】某个几何体的三视图如图(其中正视图中的圆弧是半圆)所示，则该几何体的表面积为()a．92＋14πb．82＋14πc．92＋24πd．82＋24π【答案】a【解析】观察三视图可知，该几何体是长方体与一个半圆柱的组合体，根据所标注的尺寸可以计算出表面积为(4×5＋4×5＋4×4)×2－4×5＋π22＋π25＝92＋14π.【考点定位】1、三视图；2、几何体的表面积.12．【2021届福建省福州一中高三上期期末考试数学（理）】未知子集a、b、c，且a={直线}，b={平面}，c?ab，若a?a,b?b,c?c，有四个命题①??a//b?a?b?a//b?a?b?a//c;②??a//c;③??a?c;④??a?c;其中所有恰当命题的序号就是c//bcbcbc//b（）a．①②③b．②③④c．②④d．④第5页共24页。

2014年高考数学走出题海之黄金30题系列1．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围是 ( )． A.9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦B ．[－1,0]C ．(－∞，－2] D.9,4⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭【答案】A2．已知以4T =为周期的函数21,(1,1]()12,(1,3]x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >。

若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（）A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛3,315B ．15(,7)3C ．48(,)33D.()7,2【答案】B3．定义在R 上的可导函数()f x ，当(1,)x ∈+∞时，()'()'()f x f x xf x +<恒成立，1(2),(3),(21)(2)2a fb fc f ===+，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<【答案】A4．设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是A.当0a <时，12120,0x x y y +<+>B.当0a <时，12120,0x x y y +>+<C.当0a >时，12120,0x x y y +<+<D.当0a >时，12120,0x x y y +>+> 【答案】：B【解析】：令)()(x g x f =可得b ax x +=21zxxk 学科网设b ax y xy +=''=',12 不妨设21x x <，结合图形可知，5．已知函数2342013()1...2342013x x x x f x x =+-+-++,2342013()1 (2342013)x x x x g x x =-+-+--,设函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，则-b a 的最小值为（） A 、11B 、10C 、9D 、8 【答案】B 【解析】零点在(1,2)上，函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，(3)f x +的零点在(4,3)--上，(4)g x -的零点在(5,6)上，-b a 的最小值为6410-=．【考点定位】1、导数的应用,2、根的存在性定理.6．已知数列a n ：12132143211121231234，，，，，，，，，，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为()A.3724B.76C.1115D.715【答案】A7．现有两个命题：（1）若lg lg lg()x y x y +=+，且不等式2y x t >-+恒成立，则t 的取值范围是集合P ； （2）若函数()1xf x x =-，()1,x ∈+∞的图像与函数()2g x x t =-+的图像没有交点，则t 的取值范围是集合Q ；则以下集合关系正确的是（） A ．PQ B.Q P C.P Q = D.P Q =∅【答案】C 【解析】对()1xf x x =-求导得：21()(1)f x x '=--.由21()2(1)f x x '=-=--得212x =+.由此得切点为2(1,12)2++.代入()2g x x t =-+得223t =+.由图可知223t <+时，函数()1xf x x =-，8．函数2sin 8(,)1sin x x x f x x θθθ--+=--（x ＞2）的最小值（）A.42B.22C.142+D.142-+ 【答案】A 【解析】9．设实数,x y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则22x y u xy +=的取值范围是（）A ．5[2,2]B ．510[,]23C ．10[2,]3D ．1[,4]4【答案】C【考点定位】线性规划.10．如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中,P 为11D A 的中点,Q 为11B A 上任意一点,F E 、为CD 上任意两点,且EF 的长为定值,则下面四个值中不为定值的是A ．点P 到平面QEF 的距离B ．直线PQ 与平面PEF 所成的角C ．三棱锥QEF P -的体积D ．二面角Q EF P --的大小 【答案】Ｂ 【解析】考点：直线与平面所成的角，二面角，棱锥的体积及点到面的距离11．已知点A 在抛物线24y x =上，且点A 到直线10x y --=的距离为2，则点A 的个数为() A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C 【解析】考点：点到直线的距离，直线与圆锥曲线的公共点问题.12．已知函数2()(2),[2,)xf x x x e x =-∈-+∞,()f x '是函数()f x 的导函数，且()f x '有两个零点1x 和2x (12x x <),则()f x 的最小值为()A ．1()f xB ．2()f xC ．(2)f -D ．以上都不对 【答案】B 【解析】试题分析：22'()(22)(2)[(22)2]x x xf x x a e x ax e x a x a e =-+-=+--，由题意12'()'()0f x f x ==，当1x x <或2x x >时，'()0f x >，当12x x x <<时，'()0f x <，因此()f x 的最小值是2()f x ，选B ．考点：函数的极值与最值．13.设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点,P 是C 上一点,若126,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为()（A ）2（B ）22（C ）3（D ）433【答案】C 【解析】14．已知1a >，且函数xy a =与函数log a y x =的图象有且仅有一个公共点，则此公共点的坐标为 .【答案】(,)e e【考点】导数与切线．15.如图，在ABC ∆中，1,2,120===∠AC AB BAC，D 是边BC 上一点，BD DC 2=，则BC AD ⋅=_________．【答案】38- 【解析】试题分析：()AC AB AB AC AB BC AB BD AB AD 31323131+=-+=+=+=, AB AC BC -=()38323131313222-=-+⋅=-⎪⎭⎫⎝⎛+=⋅∴AB AC AC AB AB AC AC AB BC AD .考点：向量的数量积16．设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T . （Ⅰ）若114,2a q，求n T ； （Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n ，证明：120122()13q <<.（Ⅲ）证明：nn S T （1,2,3,n ）的充分必要条件为1,a q N N .【答案】（Ⅰ）,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==⎧⎪=⎨⎪⎩≥；（Ⅱ）答案详见解析；（Ⅲ）答案详见解析.【解析】zxxk 学科网即,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==⎧⎪=⎨⎪⎩≥（Ⅱ）证明：因为201421()n T n n =+≤，所以113b T ，120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤.因为[]n n b a ，所以1[3,4)a ∈，2014[2,3)(2)n a n ∈≤≤.（必要性）因为对于任意的n N ，n n S T ，当1n =时，由1111,a S b T ，得11a b ；当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，1n n n b T T -=-，得n n a b =.zxxk 学科网 所以对一切正整数n 都有n n a b =. 由nb Z ，0n a ，得对一切正整数n 都有na N ，所以公比21a q a =为正有理数. 假设q N ，令pqr，其中,,1p r r N ，且p 与r 的最大公约数为1.因此1a N ，q *∈N .【考点定位】1、等比数列的通项公式；2、数列前n 项和；3、充要条件.17．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为a 的正方形，PA ⊥平面ABCD ，点E 是PA 的中点．⑴求证：PC平面BDE ；⑵求证：平面PAC ⊥平面BDE ； ⑶若PA a =，求三棱锥C BDE -的体积．【答案】⑴见解析；⑵见解析；⑶231111332212C BDE E BCD BCD a V V EA S a a --==⨯⨯=⨯⨯=． 【解析】本试题主要是考查了立体几何中线面的平行的证明以及面面垂直的郑敏而后三棱锥体积的运算的因为ABCD 为正方形，所以M 为AC 中点，又因为E 为PA 的中点，所以ME 为PAC ∆的中位线， 所以MEPC ，……………3分又因为ME ⊂平面BDE ，PC ⊄平面BDE ，zxxk 学科网 所以PC平面BDE ．……5分⑵因为ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥，又ACPA A =，所以BD ⊥平面PAC ．………………………………………………………………8分 因为BD ⊂平面BDE ，所以平面PAC ⊥平面BDE ．…………………………10分 ⑶231111332212C BDE E BCD BCD a V V EA S a a --==⨯⨯=⨯⨯=．…………………………14分 【考点定位】空间直线与平面的位置关系；2、几何体的体积.zxxk 学科网18．如图①，已知∆ABC 是边长为l 的等边三角形，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD=AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将∆ABF 沿AF 折起，得到如图②所示的三棱锥A-BCF ，其中BC=22．(1)证明：DE//平面BCF ； (2)证明：CF ⊥平面ABF ； (3)当AD=23时，求三棱锥F-DEG 的体积F DEG V - 【答案】(1)详见解析，(2)详见解析，3zxxk 学科网 【解析】在折叠后的三棱锥A BCF -中也成立,//DE BC ∴ (2)DE ⊄平面BCF ,BC ⊂平面BCF ,//DE ∴平面BCF (4)（2）在等边三角形ABC 中,F 是BC 的中点,所以AF BC ⊥,12BF CF ==……..5 在三棱锥A BCF -中,22BC =,222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥.......7 BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥平面zxxk 学科网.. (9)（Ⅲ）由（1）可知//GE CF ，结合（2）可得GE DFG ⊥平面．1111113133232333F DEG E DFG V V DG FG GF --⎛⎫∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭………….13 【考点定位】线面平行判定定理，线面垂直判定定理,几何体的体积.19．菱形ABCD 的边长为3，AC 与BD 交于O ，且 60=∠BAD ．将菱形ABCD 沿对角线AC 折起得到三棱锥B ADC -（如图），点M 是棱BC 的中点，32DM =．（1）求证：平面ABC ⊥平面MDO ；（2）求三棱锥ABD M -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）9316. 【解析】zxxk 学科网试题解析：(1）由题意，32OM OD ==, 因为32DM =,所以90DOM ∠=，OD OM ⊥．3分【考点定位】面面垂直，几何体的体积.20．已知点12(1,0),(1,0)F F -分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点,点2(1,2P 在椭圆上C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程;（Ⅱ）设直线12:,:,l y kx m l y kx m =+=-若1l 、2l 均与椭圆C 相切,试探究在x 轴上是否存在定点M ,点M 到12,l l 的距离之积恒为1?若存在,请求出点M 坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）1222=+y x ；（2）满足题意的定点B 存在,其坐标为(1,0)-或(1,0) 【解析】试题解析：(1)法一：由12(1,0),(1,0)F F -,得1c =,1分222211211a b a b ⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩2分 2,1a b ==∴椭圆C 的方程为1222=+y x 4分法二：由12(1,0),(1,0)F F -,得1c =,1分222212222||||(11)(0)(11)(0)2222a PF PF =+=-+-++-=分 ∴2,1ab ==∴椭圆C 的方程为1222=+y x 4分21．已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且︒=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+． （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求21PP PP ⋅的值； （3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：2AB OM =．【答案】(1)2212y x -=；(2)29；(3)证明见解析． 【解析】试题分析：(1)从双曲线方程中发现只有一个参数，因此我们只要找一个关系式就可求解，而这个关系式在12Rt MF F ∆中，︒=∠3021F MF ，212221F F c b ==+21F M b =，通过直角三角形的关系就可求得b ；(2)由(1)知双曲线的渐近线为2y x =，这两条渐近线在含双曲线那部分的夹角为钝角，因此过双曲线上的点P 作该双曲线两条渐近线的垂线12,PP PP ，12PPP ∠为锐角，这样这题我们只要认真计算，设P 点坐标为00(,)x y ，由点到直线距离公式求出距离12,PP PP ，利用两条直线夹角公式求出12cos PPP ∠，从而得到向量的数量积21PP PP ⋅；(3)首先2AB OM =等价于OA OB ⊥，因此设1122(,),(,)A x y B x y ，我们只要则点Q 到两条渐近线的距离分别为00001222|||33x y x y PP PP -+==分因为00(,)Q x y 在双曲线C ：2212y x -=上，所以220022x y -= 又1cos 3θ=，所以220000002221233933x y x y x y θ-+-==⋅=10分（3）由题意，即证：OA OB ⊥zxxk 学科网设1122(,),(,)A x y B x y ，切线l 的方程为：002x x y y +=11分 ①当00y ≠时，切线l 的方程代入双曲线C 中，化简得：【考点定位】(1)双曲线的方程；(2)占到直线的距离，向量的数量积；(3)圆的切线与两直线垂直的充要条件．22．已知动点P 到点A (－2,0)与点B (2,0)的斜率之积为－14，点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)若点Q 为曲线C 上的一点，直线AQ ，BQ 与直线x ＝4分别交于M ，N 两点，直线BM 与椭圆的交点为D .求证，A ，D ，N 三点共线．【答案】（1）24x ＋y 2＝1(x ≠±2)．（2）见解析【解析】(1)解 设P 点坐标(x ，y )，则k AP ＝2y x +(x ≠－2)，k BP ＝2y x -(x ≠2)，由已知2y x +·2y x -＝－14，化简，得24x ＋y 2＝1，所求曲线C 的方程为24x ＋y 2＝1(x ≠±2)．＝2414kk＋，所以Q 222284(,)1414k k k k -＋＋. 当x ＝4，得y M ＝6k ，即M (4,6k )．zxxk 学科网 又直线BQ 的斜率为－14k ，方程为y ＝－14k (x －2)，当x ＝4时，得y N ＝－12k ，即N 1(4,)2k-.直线BM 的斜率为3k ，方程为y ＝3k (x －2)．因为k AD ＝－112k ，k AN ＝－112k，所以k AD ＝k AN .zxxk 学科网 所以A ，D ，N 三点共线．【考点定位】1、轨迹方程；2、直线与椭圆的关系.23．已知椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的离心率与双曲线1222=-x y 的离心率互为倒数，直线2:+=x y l 与以原点为圆心，以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆1C 的方程；（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直1l 于点P ，线段2PF 垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；（3）设第（2）问中的2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点S R ,在2C 上，且满足0=⋅RS QR ,求||QS 的取值范围.【答案】（1）12322=+y x ；（2）x y 42=（3）[)+∞,58 【解析】试题分析：（1）双曲线的离心率为3，所以椭圆的离心率为3。

2014年高考数学走出题海之黄金30题系列一、选择题1．已知集合}3,2,1,1{-=A ，}11{<--∈=x x R x B ，则右边韦恩图中阴影部分所表示的集合为()A.}1,1{-B.}3{C.}3,2{D.}3,2,1{2．设R d c b a ∈,,,，则“d c b a >>,”是“bd ac >”成立的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．设全集为R,函数1x -M,则∁R M 为( )(A)(-∞,1)(B)(1,+∞)(C)(-∞,1](D)[1,+∞)4．已知复数21i z i=+，则z 的共轭复数z 是() A.i -1 B.i +1 C.i D.i -5．在复平面内，复数52i z i=-的对应点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限角D.第四象限6．在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，且B A ∠=∠2，则B B 3sin sin 等于（） A ．c a B ．b c C ．ab D ．c b 7．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A ＞0，2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到()f x 的图象，则只需将g(x)=sin2x 的图象（）A.向右平移6π个长度单位B.向左平移6π个长度单位 C.向右平移3π个长度单位D.向左平移3π个长度单位 8．已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量AB 在CD 方向上的投影为( )(A)322(B)315(C)-322(D)-315 9．等比数列{}n a 中，21a =，864a =，则5a =（）A.8B.12C.8或8-D.12或12-10．从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a ，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b ，则向量(,)m a b =与向量(1,1)n =-垂直的概率为（A ）16（B ）13（C ）14（D ）1211．已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图面积为（）A ．32B ．34C ．1D ．12 12．设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是( )A ．若l ⊥α，α⊥β，则l ⊂βB ．若l ∥α，α∥β，则l ⊂βC ．若l ⊥α，α∥β，则l ⊥βD ．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β13．已知F 1、F 2为双曲线C:x 2-y 2=1的左、右焦点,点P 在C 上,∠F 1PF 2=60°,则P 到x 轴的距离为( )(A)3(B)6(C)3(D)6 14．已知椭圆110222=-+-my m x 的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于（） A ．8B ．7C ．6D ．515．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为2，则输出的x 的值为（）A ．3B ．126C ．127D ．128二、填空题16．命题:p 对0x ∀≥，都有310x -≥，则p ⌝是____________________.17．已知2tan α·sin α＝3，－2π＜α＜0，则cos(α－6π)＝____________． 18．已知点()4,2A ，向量()3,4a =，且2AB a =，则点B 的坐标为 。

2016-2017学年度上学期期末考试备考黄金30题之小题好拿分【提升版】(范围：高考范围)1.一个单位有职工160人，其中有业务员104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样的方法抽取样本，则在20人的样本中应抽取管理人员人数为( ) A.3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】苕32设在20人的样本中应抽取管理人员人数为兀，由分层抽样的特点，得务=面，解得*4,即在20人的样本中应抽取管理人员人数为4;故选氏考点：分层抽样.2.对于任意实数，符号[x]表示“不超过的最大整数”，如[-2] =-2, [1.3] = 1, [-2.5] =-3定义函数/(x) = sinf-[x]l给岀下列四个结论:12丿①函数y = f (x)的值域是；②函数尹=/(x)是奇函数；③函数y = /(x)是周期函数，且最小正周期为4；④函数y = /(x)的图像与直线y = x-l有三个不同的公共点.其中错误结论的个数为( )A.1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】・・•函数/(x) = sin 71 [x].12\ 兀/.f (-— ) =sin (- ) =~1；2 217Tf ( ) =sin (0 ) =0.2 2故①函数尸f (x)是奇函数，错误；函数y二f (x)的值域是{-1, 0, 1},故②错误；函数y二f (x)是周期函数，且最小正周期为4,故③正确；函数产f (x)的图象与直线尸x-l有无公共点，故④错误.故真命题的个数为1个考点：命题的真假判断与应用；进行简单的合情推理3. 以下四个命题中：① 在回归分析中，可用相关指数的值判断的拟合效果，A?越大，模型的拟合效果越好;② 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；③ 若数据和兀2*3,£的方差为1，贝!）2旺,2兀2,2兀3，・・・,2兀“的方差为2；④ 对分类变量与尹的随机变量/的观测值来说，越小，判断''与尹有关系”的把握程度越大.其中真命题的个数为（） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】根据回归分析相关指数和相关系数的概念可知①②正确•对③，由于莎=13D （2X ）=22DX = 4?故错误.对于④七越大约有把握，故错误•所以一共两个命题为真命题.考点：回归分析.4. 若a = sin2,b = log] 2,c = log]—,贝!I () 亍 i 3= sin2e (0,1), b = \og l 2< log )1 = 0, 3 3考点：不等式与不等关系.5. 已知条件p:x> y ,条件q ：\/x>y[y ,则〃是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件 A. a>h>c C. b> a>c 【答案】B【解析】B. c> a >bD. b>c> a1,则 c> a> h ,故选 B.D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由条件q：長>&，可得%>^>0,所以p是的必要不充分条件.考点：充分、必要条件的判定.6.下列说法正确的是()A.“若a>l,则/〉1”的否命题是“若。

（范围：高考范围）1．为了了解学生的体能情况，抽取了某学校同年级部分学生作为样本进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4，第四小组的频数为10．（1）求样本容量；（2）根据样本频率分布直方图，估计学生跳绳次数的中位数（保留整数）．【答案】（1）；（2）106.【解析】考点：频率分布直方图.2．已知集合是函数的定义域，集合是不等式（）的解集，：，：．（1）若，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1），．若，则必须满足解得,所以的取值范围是．考点：简易逻辑，不等式的解法3．已知数列满足.（1）若，求的取值范围；（2）若是等比数列，且，正整数的最小值，以及取最小值时相应的仅比；（3）若成等差数列，求数列的公差的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】由题得，.由题得，，且数列是等比数列，，∴，，.又由已知，∴，又∴的最小值为，此时，即考点：解不等式（组），数列的单调性，分类讨论，等差（比）数列的前项和.4．已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）若在区间上单调递增，试求的取值或取值范围．【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）.【解析】（1）当时，，∴，令，则，、和的变化情况如下表：单调递增极大值单调递减极小值单调递增即函数的极大值为，极小值为；考点：1、利用导数求函数极值；2、利用导数研究函数单调性．5．已知函数．（Ⅰ）讨论函数的单调区间与极值；（Ⅱ）若且恒成立，求的最大值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，且取得最大值时，设，且函数有两个零点，求实数的取值范围，并证明：．【答案】（Ⅰ）当时，函数的单调增区间为，无极值，当时，函数的单调减区间为，增区间为，极小值为；（Ⅱ）；（Ⅲ），证明见解析.【解析】（Ⅰ）当时，恒成立，函数的单调增区间为，无极值；当时，时，，时，，函数的单调减区间为，增区间为，有极小值。