浙江大学自动控制理论课第三章控制系统的时域分析
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自动控制原理 第三章 控制系统的时域分析—3高阶系统时域分析
ct 1 a1 exp nt cos d t a2 exp nt sind t a3 exp Pt
其中： d n 1 2
2
ct 1 a1 exp ntcosdt a2 exp ntsin dt a3 exp Pt
三阶 系统
ct
1
e
xp
n
t
cosd
t
1
2
s
ind
t
二阶 系统
从以上分析中看出，极点的类型决定了输出情况 ❖系统稳定 所有极点在s-p左半面（全为“左根”）
两者相比，仅仅是多了一项由新增极点确定的衰减项
1
a3 b 2 b 21
a3 0 a3 exp Pt 0
b 2 b 21 2 b 12 1 2 0
新增极点引发的自由运动模态项对过渡过程的影响是：
使最大超调减小，使调节时间增加
3
1.闭环极点对过渡过程的影响 s1,2 n jn 1 2
首先讨论典型三阶系统的瞬态响应，然后进行更具一般形式 的高阶系统的瞬态响应分析。从下面的讨论中，可以看到:
高阶系统的瞬态响应是由若干个一阶系统和二阶系 统的瞬态响应线性叠加而成。
1
1.三阶系统的单位阶跃响应
典型三阶系统的闭环传函可表示成：
(s)
C(s) R(s)
(s
P)(s2
Pn 2 2ns
n2 )
3-4 高阶系统的时域分析
由二阶以上微分方程描述的控制系统称为高阶系统。工 程上，高阶系统是普遍存在的。本节的目的不在于研究高阶 系统的过渡过程本身，而在于通过对三阶系统在单位阶跃函 数作用下的过渡过程讨论，引出闭环主导极点的概念。以便 将高阶系统在一定条件下转化为具有一对闭环主导极点的二 阶系统进行分析研究。
自动控制原理 第三章 控制系统的时域分析
图 3.2(d)所示， δ (t) 函数的定义为
δ
(t)
=
⎧ ⎨
0
⎩∞
t≠0 t=0
(3.6)
∫ ∞ δ (t)dt = 1 −∞
显然， δ (t) 函数是一种理想脉冲信号，实际上它是不存在的。工程实践中常常用实际
脉冲近似地表示理想脉冲。如图 3.2(e)所示，当 ε 远小于被控对象的时间常数时，这种单位 窄脉冲信号常近似地当作 δ (t) 函数来处理。
第 3 章 控制系统的时域分析
·39·
2. 稳态响应
如果一个线性系统是稳定的，那么从任何初始条件开始，经过一段时间就可以认为它 的过渡过程已经结束，进入了与初始条件无关而仅由外作用决定的状态，即稳态响应。所 以稳态响应是指当 t 趋于无穷大时系统的输出状态。稳态响应表征系统输出量最终复现输 入量的程度，提供系统有关稳态误差的信息，用稳态性能来描述。
的单位阶跃响应曲线。典型形状如图 3.1 所示。各项动态性能指标也示于图中。
(1) 延迟时间 td ：指响应曲线第一次达到其稳态值一半所需的时间，记作 td ； (2) 上升时间 tr ：指响应曲线首次从稳态值的 10%过渡到 90%所需的时间；对于有振 荡的系统，亦可定义为响应曲线从零首次达到稳态值所需的时间，记作 tr 。上升时间是系
在分析和设计线性控制系统时，究竟采用哪一种典型输入信号取决于系统常见的工作
状态；同时，在所有可能的输入信号中，往往选取最不利的信号作为系统的典型输入信号。
这种处理方法在许多场合是可行的。在一般情况下，如果系统的实际输入信号大部分为一
个突变的量，则应取阶跃信号为实验信号；如果系统的输入大多是随时间逐渐增加的信号，
数代表匀加速度变化的信号，故抛物线函数又称为等加速度函数，如图 3.2(c)所示。单位抛
浙江大学自动控制理论课第三章控制系统的时域分析
3、超调量Mp
tp
d
Mp
ct p c
c
或M p％
ct
p c
c
100 ％
M p c t p 1 e 1
4、超调量tp
阶跃响应曲线开始进入偏离稳态值± Δ的误差 范围,并且从此不现超越这个范围的时间称为 系统时间,用ts表示之，其中Δ为5%或2%。
图3-14 二阶系统的关系曲线
2020/6/16
q j 1
s
pj
r B s knk Cknk
k 1
s 2 2 knk s
1
2 nk
2 k
2020/6/16
课件
20
自动控制理论
即：
q
r
C t A0
Aj E pjt
B e knkkt k
cos
nk
1
2
t
k
j 1
k 1
r
C e knkt k
sinnk
1
2
t,
k
t 0
k 1
a0 s n a1s n1 an1s an 0, a0＞ 0
如果方程所有的根均位于S平面的左方，则方程中多项系数均为正值，
且无零系数。对此说明如下：
设 p1、 p2、 为实数根， a1 j1、 a2 j2、 为复数根。
其中p1、、p2、 和a1、a2、 都为正值，则上式改与为
a0 s p1 s p2 s a1 j1 s a1 j1
2 1
A3 2
1 2 1
2 1
C t
1 A e A e 2 1 nt 2
2 1 nt
3
二附中阻尼系统的近似处理
Cs Rs
自控原理课件第03-1,2章控制系统的时域分析
2020/4/6
8
典型响应：
C(s) G(s) R(s)
⒈ 单位脉冲函数响应：
C(s) G(s)1
⒉ 单位阶跃函数响应： ⒊ 单位斜坡函数响应： ⒋ 单位抛物线函数响应：
C(s) G(s) 1 s
C(s)
G(
s)
1 s2
C
(s)
G(s)
1 s3
[提示]：上述几种典型响应有如下关系：
积分
积分
单位脉冲
2020/4/6
14
❖第二节 一阶系统的时域分析
2020/4/6
15
用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。
R
其微分方程为
+
r(t)
i(t) C
+
c(t)
RC
duc dt
Uc
r(t)
•
T C(t) C(t) r(t)
（a） 电路图
其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电 路输入电压，T=RC为时间常数。
c(t) t T (1 e T ) t T Te T
t
1t
e(t) r(t) c(t) T (1 e T )
所以一阶系统跟踪单位斜坡信号 的稳态误差为
ess
lim e(t)
t
T
2020/4/6
19
2 一阶系统的单位脉冲响应
当输入信号为理想单位脉冲函数时，R(s)＝1，输出量的拉氏 变换与系统的传递函数相同，即
当初使条件为零时,其传递函数为 一阶系统的框图：
(s) C(s) 1
R(s) TS 1
a) 一阶系统框图 b) 等效框图
这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。
第三章 控制系统的时域分析
第三章 控制系统的时域分析系统的数学模型建立后，便可对系统进行分析和校正。
分析和校正是自动控制原理课程的两大任务。
系统分析是由已知的系统模型确定系统的性能指标；校正是根据需要在系统中加入一些机构和装置并确定相应的参数，用以改善系统性能，使其满足所要求的性能指标。
系统分析的目的在于“认识”系统，系统校正的目的在于“改造”系统。
系统的分析校正方法一般有时域法、根轨迹法和频域法，本章介绍时域法。
时域法是一种直接在时间域中对系统进行分析校正的方法，具有直观，准确的优点，它可以提供系统时间响应的全部信息，但在研究系统参数改变引起系统性能指标变化的趋势这一类问题，以及对系统进行校正设计时，时域法不是非常方便。
时域法是最基本的分析方法，该方法引出的概念、方法和结论是以后学习复域法、频域法等其他方法的基础。
3.1线性系统的稳定性分析稳定是控制系统正常工作的首要条件。
分析、判定系统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是自动控制理论的基本任务之一。
3.1.1 稳定性的概念如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。
否则，系统不稳定。
3.1.2 稳定的充要条件脉冲信号可看作一种典型的扰动信号。
根据系统稳定的定义，若系统脉冲响应收敛，即:0)(lim =∞→t g t则系统是稳定的。
设系统闭环传递函数为)()()()()()()()()(2121n n m m s s s a z s z s z s b s D s M s G λλλ------==设闭环极点为互不相同的单根，则脉冲响应的拉氏变换为:∑=-=-++-+-==ni ii n n s A s A s A s A s G s C 12211)()(λλλλ 式中，i A 为待定常数。
对上式进行拉氏反变换，得单位脉冲响应函数：2121()i n i nt tttn ii k t Ae A e A eAe λλλλ==+++=∑ 根据稳定性定义，系统稳定时应有：0lim )(lim 1∑=∞→∞→==ni ti t t i e A t g λ（3-21）考虑到系数i A 的任意性，要使上式成立，只能有0lim =∞→tt ie λ n i ,,2,1 = （3-22）式(3-22)表明，所有特征根均具有负的实部是系统稳定的必要条件。
自动控制原理第三章时域分析法
0.135/T 0.05/T 0.018/T
0
T 2T 3T 4T
t
单位脉冲响应曲线
精选课件
19
三.一阶系统的单位斜坡响应 R(t) t, R(s) 1
s2
C(s) (s) R(s) 1 1 1 T T 2
Ts 1 s2 s2 s Ts 1 拉氏反变换，单位斜坡响应为
Ct (t) (t T) Tet/T (t 0) 其中t T为稳态分量，Tet/T为暂态分量。
%h(tp)h( )10% 0
h( )
精选课件
9
超调量表示系统响应过冲的程度，超调量 大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的 工作条件下，而且使调节时间加长。
▪ 五.振荡次数N
在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值 次数的一半。
tr,tp和ts表示控制系统反映输入信号的快速 性，而σ%和N反映系统动态过程的平稳性。 即系统的阻尼程度。其中ts和σ%是最重要
精选课件
20
单位斜坡响应曲线如图所示：
c(t)
r(t)=t
T T
引入误差的概念：0
t
当时间t趋于无穷时，系统单位阶跃响应的实
际稳态值与给定值之差。即：
e hh( )
ss
0 精选课件
21
一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差 ess=t-(t-T)=T 从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应达到 稳态时具有和输入相同的斜率，只要在时间 上滞后T,这就存在着ess=T的稳态误差。
c(t) 0 0.63 0.86 0.950 0.98 0.99
1
25
2
3
c(0)1 T
精选课件
14
特点： （1）初始斜率为1/T； （2）无超调 （3）稳态误差ess=0 。
0
T 2T 3T 4T
t
单位脉冲响应曲线
精选课件
19
三.一阶系统的单位斜坡响应 R(t) t, R(s) 1
s2
C(s) (s) R(s) 1 1 1 T T 2
Ts 1 s2 s2 s Ts 1 拉氏反变换，单位斜坡响应为
Ct (t) (t T) Tet/T (t 0) 其中t T为稳态分量，Tet/T为暂态分量。
%h(tp)h( )10% 0
h( )
精选课件
9
超调量表示系统响应过冲的程度，超调量 大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的 工作条件下，而且使调节时间加长。
▪ 五.振荡次数N
在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值 次数的一半。
tr,tp和ts表示控制系统反映输入信号的快速 性，而σ%和N反映系统动态过程的平稳性。 即系统的阻尼程度。其中ts和σ%是最重要
精选课件
20
单位斜坡响应曲线如图所示：
c(t)
r(t)=t
T T
引入误差的概念：0
t
当时间t趋于无穷时，系统单位阶跃响应的实
际稳态值与给定值之差。即：
e hh( )
ss
0 精选课件
21
一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差 ess=t-(t-T)=T 从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应达到 稳态时具有和输入相同的斜率，只要在时间 上滞后T,这就存在着ess=T的稳态误差。
c(t) 0 0.63 0.86 0.950 0.98 0.99
1
25
2
3
c(0)1 T
精选课件
14
特点： （1）初始斜率为1/T； （2）无超调 （3）稳态误差ess=0 。
《自动控制理论》第三章 线性系统的时域分析PPT课件
电子笔
12
五、正弦函数（Sinusoidal function）
定义为：
自
r（t）＝ A Sinωt
动
控
制 式中,A为振幅；
理 论
ω为角频率。
用频率不同的正弦函数作为输入信号，可求得系统此时
的稳态响应，在频率法中广泛使用。
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2020/7/17
电子笔
13
3.3 控制系统的时域性能指标
电子笔
15
二. 动态过程和稳态过程
➢ 1.瞬时响应和稳态响应 Transient Response & Steady_state Response
自 动
➢ 在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时
控
间响应。
制
理 论
➢
瞬态响应 指系统从初始状态到最终状态的
响应过程。由于实际控制系统具有惯性、摩擦、
论
道的，可以用解析的方法或者曲线表示。
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2020/7/17
电子笔
6
➢ 在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、
比较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输
入信号，比较它们对特定的输入信号的响应来建立。
自 动
➢ 许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统
➢ 分析控制系统的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，第
二步 分析控制性能，分析有多种方法，主要有时域分析法，
频域分析法，根轨迹法等。每种方法，各有千秋。均有他们
自 的适用范围和对象。本章讨论时域法。
动
控 制
➢ 实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。
第三章控制系统的时域分析法11
Routh稳定判据
(4)Routh表中第一列元素都是正数 实部为正数的根的个数等于Routh表的第一列元素符号 改变的次数
由此可知e.g.1的(3)是稳定的。
Routh稳定判据的应用
e.g.3 某系统的特征方程为a3S3+a2S2+a1S+a0=0，判 断系统稳定的充要条件。
解: (1) 必要性：ai＞0，i=0,1,2,3
3.1 引言
➢ 传递函数：建立的数学模型
➢ 性能分析：稳定性、动态性能和稳态性能分析
➢ 分析方法：时域分析法、根轨迹法、频域分析法
➢ 时域分析法：直接在时间域中对系统进行分析， 具有直观，准确的优点，可以提供系统时间响应 的全部信息
适用范围
拉氏变换
系统微分方程(t)
传递函数(S)
稳定性
拉氏变换
输入信号(t)
b2
b3
S n3
c1
c2
c3
S n4 d1
d2
d3
S2
e1
e2
S1
f1
S0
g1
Routh稳定判据
Routh计算表的前两行元素由多项式的系数所组成。 从第三行开始，各行元素按下列公式计算：
an an2
b1
an1 an3 an1
an1 an3
c1
b1 b2 b1
b1 b2
d1
c1 c2 c1
(2) 列Routh表如下 S 4 1 3 2 S3 3 3 S2 2 2 S1 0 S0 0 0
？ (3)
Routh稳定判据的应用
Key:如果Routh表第一列元素出现0，则可以用一个小的
正数 代替它，然后继续计算其他元素
浙江大学自动控制理论课第三章控制系统的时域分析
➢稳定性是系统的一种固有特性，它与输入信 号无关只取决其本身的结构和参数
➢用系统的单位脉冲响应函数 gt来 描述系统的稳定性
如果 lim gt 0 t
2020/8/15
则系统是稳定的
课件
图3-30 系统稳定、不稳 定时根的分布
23
自动控制理论
令rt t, Rs 1;闭环系统有q个实数极点,对其复数极点
Js2 F Kd s K p 0
图3-15 具有PD校正的二阶系统
3- 34
2020/8/15
课件
17
自动控制理论
对比式3 -33和3 -34,可知校正后的系统方程中增加了Kds项,它表示在电动机的
轴上加了一个量值为Kd
dc 的负转矩,从面增大了系统的阻尼,若令K dt
Kp ,则系统
校正前后的ωn 都为
（1）一个输入信号导数的时域响应高于该输入信号的时域响应的导数 （2）一个输入信号积分的时域响应高于该输入信号的时域响应的积分
结论：了解一种典型信号的响应，就可据知于其它信号作用下的响应。
2020/8/15
课件
7
自动控制理论
第三节 二阶系统的时域响应
一、传递函数的导求
图3 - 7中:
Ve K p r c
2020/8/15
课件
22
自动控制理论
第六节 线性定常系统的稳定性
稳定的充要条件
➢设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它 在瞬间受到某一扰动而偏听偏离了原有的平衡 状态。当此扰动撤消后，系统借助于自身的调 节作用，如能使偏差不断的减小，最后仍能回 到原来的平衡状态，则称此系统是稳定的，反 之，则称为不稳定。如图3-30所示。
2n s n2
自动控制原理-控制系统的时域分析法 精品
3.2.2 一阶系统的单位阶跃响应
3.2.3 一阶系统的单位脉冲响应
3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应
3.2.5 一阶系统的单位加速度响应
自动控制原理
3.2 一阶系统的时域分析 第3章 控制系统的时域分析法
3.2.1 一阶系统的数学模型
微分方程 dc(t) T —— + c(t)=r(t) dt R(s) 1 G(S) = —— = —— = C(S) TS+1 K K/S
当 a0 1 时，则称为单位等加速度信号
其拉氏变换为
L[r (t )] 13 s
自动控制原理
第3章 控制系统的时域分析法
4. 脉冲信号(impulse signal)
t0 0， r (t ) H ， 0 t
单位脉冲函数 ：令H=1，记为 (t ) 理想单位脉冲函数：若 0 记为 (t ) 面积：
根轨迹法 频域分析法
自动控制原理
第3章 控制系统的时域分析法
本章主要内容
3.1控制系统的时域指标
3.2一阶系统的时域响应
3.3二阶系统的时域响应
3.4线性系统的稳定性分析
3.5线性系统的稳态误差
自动控制原理
第3章 控制系统的时域分析法
3.1控制系统的时域指标
3.1.1 典型输入信号 3.1.2 时域性能指标
稳态分量 瞬态分量
c(t ) 1 e
1 t T
,
(t 0)
自动控制原理
第3章 控制系统的时域分析法 斜率逐渐变小 ，最后趋于零
位置误差随时间 的增加而减小
动态性能指标：ts=3T(s) 对应5%误差带 ts=4T(s) 对应2%误差带 ∴T反映了系统的响应速度。 稳态误差：ess=1-h(t)=0 对于一阶系统，其单位阶跃响应没误差，可完 全复现输入信号。
自动控制原理-浙江大学控制科学与工程学院
自动控制原理Principle of Automatic Control
浙江大学控制科学与工程学系
第三章CHAPTER 3
连续时间控制系统的时域分析
当λ=σ+j ωd 时，系统暂态响应函数为A e σt sin(ωd t +φ)。
对于阻尼正弦情况，时间常数通过表征包络线A e σt 的参数σ来定义。
时间常数T 等于
n
T ζωσ
1
1
=
=
t
Ae
σ-t
Ae
σ（欠阻尼）
（过阻尼）
)
sin(φωσ+t Ae
d t
,12
1k k d
n n j j λσωζωωζ+=±=-±-σ
t o
最大偏离量：M p 峰值时间：T p
上升时间：T r ，t o 调节时间：T s
•衰减振荡过渡过程：应用0-100% 上升时间t o •非振荡过渡过程：应用10-90% 上升时间T r
最大偏离量
控制系统阶跃响应
上升时间
峰值时间
调节时间
稳态误差
假定系统在单位阶跃输入作用前都处于静止状态，而且系统输出量及其各阶导数都等于零（即零初始条件）
第2峰B ′
ω(y
R(s)Y(s)
选择增益K和参数p，使得百分比超调量。
第3章线性系统的时域分析法7 浙江大学
欠阻尼系统(0<ξ<1)的时域性能指标 1．上升时间tr：评价系统的响应速度； 2、峰值时间tp：评价系统的响应速度； 3、超调量σ％：评价系统的阻尼程度；
4、调节时间ts：
同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。
2013年9月 自动控制原理
欠阻尼时： 二阶系统的暂态特性时域指标的计算 1．上升时间tr, 在暂态过程中第一次达到稳态 值的时间称为上升时间。
3.2 一阶系统的暂态响应
R
+
r(t)
+
i(t) C
c(t)
用一阶微分方程描述的控制系 统称为一阶系统。 du (t ) duc T c uc (t ) r (t ) RC uc r (t ) dt dt
（ a） 电 路 图
R(s)
Uc( s) 1 G( s) R( s) TS 1
C(s)
K0
K0 T(s) C(s) R(s) 1 s K0 s
s
K0 s K0
1 Ts 1
R(s)
（ c） 等 效 方 块 图
2013年9月
C(s)
C(s) K T(s) R(s) Ts 1
K为闭环放大系数； T为一阶惯性时间常数。
自动控制原理
一阶系统的单位阶跃响应 Unit-Step Response of First-order System
1 X r ( s) 3 s
U(t)= t 2
, t0
1 2 2 Ut u(t) 0
t0 t0
2013年9月
自动控制原理
（4）冲激函数（Impulse function）
浙大控制系近年考研题分章集锦二)-时域分析
将已知条件：
X(s)
=
1 s3
， G1(s)
=
K1， G2(s)
=
K2 s(T1s +1)
， G3(s)
=
as2 +bs T2s +1)
代入上式。得
Y(s) == G2 (G1 + G3) =
K2 (as2 + (b + K1T2 )s + K1)
X(S)
1+ G1G2 T1T2s3 + (T1 + T2 )s2 + (1+ K1K2T2 )s + K1K2
、A。
解：根据状态转移矩阵的运算性质有：
φ −1(t)
=
φ (−t)
=
3et e2t
− e2t + 4et
3et − 2e2t
−
2e2t
+
2et
A＝
φ(0)Βιβλιοθήκη ＝− −3e−t + 2e−2t 2e−2t − 4e−t
− 3e−t 4e − 2t
+ 4e−2t
− 2e−t
t=0
=
−1 − 6
1 2
11、（20 分/150 分）已知下图所示系统的单位阶跃响应曲线，试确定参数 k1,k2 和 a 值
（提示：0
tp = ω0
π 1−ξ 2
−ξπ
σ ％＝ e 1−ς 2 ）
解：
2003 年第 3 题示意图
y(∞) = 2
σ% = 2.18 − 2 = 0.09 2
t p = 0.8
闭环传递函数G(s) = k1k2 s 2 + as + k2
精品课件-自动控制原理-第3章 线性控制系统的时域分析
控制系统的实际输入信号往往是未知的，为了便于对 系统进行分析和设计，常需要一些输入函数作为测试信号。根 据其响应情况，对系统的性能作出评价。选取的测试信号应具 有下列特点：
• （1）能反映系统工作时的实际情况； • （2）易于在实验室中获得； • （3）数学表达形式简单，以便数学上的分析和处理。
2020/12/14
自动控制 原理
第3章 线性控制系统的时域分析
2020/12/14
第三章 线性控制
1
自动控制
原理
3.1 系统时间响应的性能指标
一个控制系统的时域响应 不仅取决于系统本身的结构 和参数，即系统的传递函数 ，而且和系统的初始状态以及系 统的输入信号有关。为便于研究，规定系统在外加输入信号之 前是相对静止的，即为零初始状态。
C(s) 1 R(s) 1
Ts 1
Ts 1
（3.11）
对上式取拉氏反变换，得
c(t)
1
1t
eT
g (t )
T
（3.12）
可见，单位脉冲响应 g(t) 即为传递函数的拉氏反变换。单位脉冲响应曲线如图 3.7 所示。
2020/12/14
第三章 线性控制
15
自动控制 原理
一阶系统的时域分析
图3.7 一阶系统的单位脉冲响应
c(s)
K
r (s) Js2 Fs K
其中：阻尼系F 数f0
CmC R
e
，开环增益 K
K p Ka
Cm R
j
为了使研究的结果具有普遍的意义，可将式（3.16）改写为二
阶系统的标准形式C(s)
n2
R(s) s2 2ns n2
2020/12/14
第三章 线性控制
• （1）能反映系统工作时的实际情况； • （2）易于在实验室中获得； • （3）数学表达形式简单，以便数学上的分析和处理。
2020/12/14
自动控制 原理
第3章 线性控制系统的时域分析
2020/12/14
第三章 线性控制
1
自动控制
原理
3.1 系统时间响应的性能指标
一个控制系统的时域响应 不仅取决于系统本身的结构 和参数，即系统的传递函数 ，而且和系统的初始状态以及系 统的输入信号有关。为便于研究，规定系统在外加输入信号之 前是相对静止的，即为零初始状态。
C(s) 1 R(s) 1
Ts 1
Ts 1
（3.11）
对上式取拉氏反变换，得
c(t)
1
1t
eT
g (t )
T
（3.12）
可见，单位脉冲响应 g(t) 即为传递函数的拉氏反变换。单位脉冲响应曲线如图 3.7 所示。
2020/12/14
第三章 线性控制
15
自动控制 原理
一阶系统的时域分析
图3.7 一阶系统的单位脉冲响应
c(s)
K
r (s) Js2 Fs K
其中：阻尼系F 数f0
CmC R
e
，开环增益 K
K p Ka
Cm R
j
为了使研究的结果具有普遍的意义，可将式（3.16）改写为二
阶系统的标准形式C(s)
n2
R(s) s2 2ns n2
2020/12/14
第三章 线性控制
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则式3 43便改写为 m
K s z1
Gs Cs q
i 1 r
s s p1
s 2 2 knk s
2 nk
j 1
k 1
2
q
Aj
r B s knk Cknk 1
k
j1 s p1 k1
s 2 2 knk s
2 nk
q
r
gt
Ajepjt
B eknkkt k
cosnk
1
2
t
k
C eknkt k
sin nk
1
2
,t 0
k
j 1
k 1
若lim gt ，0 表示方程的所有根全位于S平面的左方，这是系统稳定的充要 t
条件。它不仅是零输入时系统稳定的充要条件，而且也是在给定信号作用下
系统稳定的充要条件
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25
自动控制理论
稳定的必要条件
令系统特征方程为
k 1
s 2 2 knk s
1
2 nk
2 k
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20
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的开关按键来实现功 能的一种设计方式。
传统机械按键结构层图：
按键
PCBA
开关键
传统机械按键设计要点： 1.合理的选择按键的类型，尽量选择 平头类的按键，以防按键下陷。 2.开关按键和塑胶按键设计间隙建议 留0.05~0.1mm，以防按键死键。 3.要考虑成型工艺，合理计算累积公 差，以防按键手感不良。
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14
自动控制理论
系统最大峰值出在ωdtp π处，即
3、超调量Mp
tp
d
Mp
ct p c
c
或M p％
ct
p c
c
100 ％
M p c t p 1 e 1
4、超调量tp
阶跃响应曲线开始进入偏离稳态值± Δ的误差 范围,并且从此不现超越这个范围的时间称为 系统时间,用ts表示之，其中Δ为5%或2%。
Es
1
1
Gs
Rs
s2
ss 2n
2n s n2
1 s2
ess
lim s0
sEs lim s0
s
s2
ss 2n
2n s n2
1 s2
2 n
四、二阶系统阶的动态校正
1、比例微分(PD)校正
校正前图3-7b所示系统的特征方程为：
Js 2 fs K 0
3 - 33
对应的
n
K, F
n n 2 1 s n n 2 1
令Rs 1 ,则
s
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12
自动控制理论
Cs n n 2 1 1
1
s s n n 2 1 s s n n 2 1
C t 1 e 2 1 nt
如令n 1, ,则输出响应的准确值为
C t 1 0.077 e3.73t 1.077 e0.027t
近似计算值： C t 1 e0.27t
三、二阶系统阶跃响应的性能指标
1、上升时间
当被控制量c(t)首次由零上升到其稳态值 所需的时间,称上升时间tr。
ctr 1
1
1 2
e ntr
sin
d tr
1
图3-13 二阶系统瞬态响应的性能指标
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13
自动控制理论
求得：
tr
d
s 2 2n s n 2
据此画出图3-19。
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Ct C1t C2 t
2
tn
Kd
当K d
2 n
,Ct t
rt , ess
0
图3-19 图3-18的等效图
19
自动控制理论
第四节 高阶系统的时域响应
设高阶系统闭环传递函数的一般形式
C s R s
b0 s m sn
b1s m1 bm1s bm a1s n1 an1s an
J
2 KJ
校正后，系统特征方程为：
Js2 F Kd s K p 0
图3-15 具有PD校正的二阶系统
3- 34
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17
自动控制理论
对比式3 -33和3 -34,可知校正后的系统方程中增加了Kds项,它表示在电动机的
轴上加了一个量值为Kd
dc 的负转矩,从面增大了系统的阻尼,若令K dt
图3-6
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8
自动控制理论
图3-7 图3-6所示系统的框图及简化框图
二、二阶系统的单位阶跃响应
标准形式：
Cs Rs
s2
n 2 2n s
n2
3 -13
为系统的阻尼比;n为系统的无阻尼自然频率
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自动控制理论
1、欠 阻 尼0＜＜1
图3-8 二阶系统的框图
s1.2 n jn 1 2 n jd
普通高等教育“九五”部级重点教 材
自动控制理论
第三章
控制系统的时域分析
2021/2/3
作者： 浙江大学 邹伯敏 教授
1
自动控制理论
第一节 典型的试验信号
典型的试验信号一般应具备两个条件
（1）信号的数学表达式要简单 （2）信号易于在实验室中获得
一、阶跃输入
rt
0 R0
＜t 0 t 0
图3-1
式中，R0
1
一、单位阶跃响应 图3-3
令Rs
1 s
则
Cs
1
S1 Ts
1 S
S
1 T 1
T
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5
自动控制理论
1
Ct 1 eT t
当T t时，则有:
CT
1
-
e
1 T
0.63
阶跃 响应曲线 C（t）上升到其终值的63.27，对应的时间就是系统的时间 常数T
二、单位斜坡响应
令Rs 1s 2 则
自动控制理论
即：
q
r
C t A0
Aj E pjt
B e knkkt k
cos
nk
j 1
k 1
2
1 t k
r
C e knkt k
sinnk
1
2
t,
k
t 0
k 1
式中q r n
结论
（1）高阶系统的时域响应瞬态分量是由一阶惯性环节和二阶震荡环节的响应 分量合成，其中控制信号极点所对应的拉氏反变换为系统响应的稳态分量， 传递函数极点所对应的拉氏反变换为系统响应的瞬态分量
四、脉冲信号
rt
H
＜t 0
＜t＜
2021/2/3
图3-2
3
自动控制理论
当H 1时，记为 t，若 ，则称 t为单位理想脉冲 函数，并用 t表示之
五、正弦信号
rt Asint
2021/2/3
4
自动控制理论
第二节 一阶系统的时域响应
一阶系统的方框图如图3-3所示，它的传递函数为
Gs
Cs Rs
1 TS
结论：了解一种典型信号的响应，就可据知于其它信号作用下的响应。
2021/2/3
7
自动控制理论
第三节 二阶系统的时域响应
一、传递函数的导求
图3 - 7中:
Ve K p r c
F
f0
CeSu R
K
KpKA
Suj R
系统的开环传递函数
Gs
K
SJS
F
开环传递函数
c s r s
Js 2
K FS
K
A2
A3
s s 2 2n s d 2 s s n n 2 1 s n n 2 1
A1 1
A2 2
1 2 1
2 1
A3 2
1 2 1
2 1
C t
1 A e A e 2 1 nt 2
2 1 nt
3
二附中阻尼系统的近似处理
Cs Rs
s1 s s1
（2）系统瞬态分量的形式由闭环胡点的性质决定，调整时间的长短主要取决 于最靠近虚轴的闭环极点；闭环零点只影响瞬态分量幅值的大小正负和符号 的正负
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22
自动控制理论
（3）如果闭环传递函数中有一极点距坐标原点很近，则其产生的瞬 态分量可略去不计 （4）如果闭环传递函数中有一个极点与一个零点十分靠近，则该极 点所对应的瞬态分量幅值小，也可略去 （5）如果所有闭环极点均具有负实部，则所有的瞬态分量将随着时 间的增长面不断衰减，最后只有稳态分量。闭环极点均位于S左半平 面系统，称为稳定系统 （6）如果闭环极点中有一对（或一个）极点距离虚轴最近，且其附 近没有闭环零点，而其它闭环极点与虚轴的距离都比该极点与虚轴距 离大5倍以上，则称此对极点为系统的主导极点
s
a2
j 2
s a2
j 2
0
即
a a0
s
p1 s
p2
s 2
2a1s
2
1
2 1
a s 2 2a2s
1 2 arctan
2、峰值时间
瞬态响应第一次出现峰值的时间叫峰值时间,用tp表示
dc t dt
t t p
1
1
ne ntp sin d t p
e nt p n
cos
d t p
0
nin d t p d cos d t p
tan 1 1
d t p 0、 、2
常量。R0
1，则称为单位阶跃信号，它的拉氏变换为Rs