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1 第1课时 菱形的定义及性质

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菱形的性质人教版八年级数学下册

菱形的性质人教版八年级数学下册

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2
O
D
C
1个定义 ：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
2个公式 3个特性
：S菱形=底×高 S菱形= 对角线乘积的一半
：特在“边、对角线、对称性”
=4×
1 2
B OA·OB
O
D
=
1 2
AC·BD
C
随堂练习
1.若菱形的边长等于一条对角线的长，则它 的一组邻角的度数分别为___6_0_°__和_1_2_0_°_.
2．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6，8，
则这个菱形的周长为(A )

1.菱形的性质与判定第1课时菱形的性质PPT课件(北师大版)

1.菱形的性质与判定第1课时菱形的性质PPT课件(北师大版)

新知导航
2．如图，菱形ABCD的边长为4 cm，对角线AC，BD 交于O，∠BAD＝60°.求对角线AC，BD的长．
解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∵∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝4 cm ∴BO＝2 cm，∴AO＝2 3 cm，∴AC＝4 3 cm
第1课时 菱形的性质
第1课时 菱形的性质
新知导航
知识点3：对角线平分对角
【例3】如图，菱形ABCD中，O是对角线AC上一点，
连接OB，OD，求证：OB＝OD.
【例3】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∠DAO＝∠BAO AD＝AB
在△ADO和△ABO中， ∠DAO＝∠BAO ， AO＝AO
∴△ADO≌△ABO(SAS)，∴OB＝OD.
第1课时 菱形的性质
新知导航
（一）基础呈现 菱形的定义：有一组邻边 相等 的 平行四边形 叫做 菱形． 菱形的性质 （1）菱形具有平行四边形的所有性质； （2）菱形不同于一般平行四边形的性质： ①四条边都 相等 ； ②两条对角线 垂直平分 ，并且每条对角线平分对角． ③菱形是轴对称图形，有 2 条对称轴．
（2）平行四边形的对角
相等
.
（3）平行四边形的对角线 互相平分 .
第1课时 菱形的性质
知识回顾
几何语言 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴（边）__如__A__B_＝__C_D_________________________； （角）____∠__A__＝__∠__C_________________________； （对角线）__O_A__＝__O_C_，__O__B_＝__O_D__等______________.
第1课时 菱形的性质

北师版九年级数学 1.1菱形的性质与判定(学习、上课课件)

北师版九年级数学 1.1菱形的性质与判定(学习、上课课件)
第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
学习目标
1 课时讲解 菱形的定义
菱形的性质 菱形的判定
2 课时流程 菱形的面积
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 菱形的定义
知1－讲两个条件缺一Fra bibliotek可.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
如图1-1-1，在ABCD 中，若
AB=BC( 或BC=CD 或CD=DA 或DA=AB)，
则ABCD 是菱形.
感悟新知
知1－讲
感悟新知
知1－讲
特别提醒 1.菱形的定义既是菱形的判定方法，又是菱形
的性质. 2.菱形是特殊的平行四边形，但平行四边形不
一定是菱形.
感悟新知
例 1 如图1-1-3，在△ ABC 中，CD 平分 ∠ ACB，CD 交AB 于点D，DE ∥AC，且DE 交BC 于点E，DF∥ BC，DF 交AC于点F. 四边形DECF 是菱形吗？为什么？
知1－练
感悟新知
知1－练
1-1. 如图， 在平行四边形ABCD 中， 点O 是AD 的中点， 连接CO 并延长交BA 的延长线于点E， 连接AC，DE.
感悟新知
(1)求证： 四边形ACDE 是平行四边形； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD.∴∠BEC＝∠DCE. ∵点O是AD的中点，∴AO＝DO. 又∵∠AOE＝∠DOC， ∴△AEO≌△DCO(AAS)．∴AE＝DC. 又∵AE∥DC，∴四边形ACDE是平行四边形．
感悟新知
知2－讲
图形
性质
数学表达式
对
是轴对称图形，对称轴是对角线所在 的直线
称
性 是中心对称图形，对称中心是对角线

菱形的性质与判定第1课时

菱形的性质与判定第1课时

重点难点 细解读 观察以下由火柴棒摆成的图形:
议一议:(1)三个图形都是平行四边形吗?
(2)与图1相比,图2与图3有什么共同特边形中，如果内角大小保持不变，仅
改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程
中，哪些关系没变？哪些关系变了？
平行四边形 邻边相等
菱形
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么 这个平行四边形成为怎样的四边形？
(C) 对角相等
(D) 邻角互补
2、已知菱形的周长是12cm，那么它的
边长是__3_c_m__.
3、如下图：菱形ABCD中∠BAD＝60
度，则∠ABD＝__6_0__0 __.
D
A
4、菱形的两条对角线长分别为 6cm和8cm，则菱形的边长是（C ）
O
C
B
A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm
菱形
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
判断一个四边形是菱形 应满足的两个条件：
（1）是平行四边形 （2）是有一组邻边相等
有一组邻边相等的 四边形一定是菱形？
注意：
有一组邻边相等的四 边形未必是菱形
我可不是 菱形哟^-^
菱形的性质……
具有平行四边形所有的性质
菱形还有一些特殊的性质?
小组 活动
∴OB=OD(菱形的对角线互相平分）
在等腰三角形ABD中
∵OB=OD ∴AO⊥BD
即 AC⊥BD
菱形 的性质
定理：每一条对角线 平分一组对角
菱形是特殊的平行四边形，具有平行 四边形的所有性质. 定理：菱形的四条边都相等
定理：菱形的对角线互相垂直
AB=BC=CD=AD AO⊥BD
应用能力 巧提高

北师大九年级上教案 第1课时 菱形的性质

北师大九年级上教案 第1课时 菱形的性质

∴AD∥BC，∴∠BAD+∠B=180°，
A
C
又∵∠BAD=2∠B, ∴∠B=60°，
∵AB =BC，∴△ABC是等边三角形.
D
3.如图，在菱形ABCD 中，BD=6，AC=8，求菱形
ABCD的周长.【选自教材P4页 习题1.1 第2题】
D
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直） A
1
菱形的性质
北师版九年级上册
复习导入
回忆一下，什么是平行四边形，它有哪些性质？
定义： 两组对边分别平行的四边形 叫做平行四边形。
复习导入
回忆一下，什么是平行四边形，它有哪些性质？ 性质：
边：平行四边形的对边平行且相等.
角：平行四边形的对角相等，邻角互补.
对角线：平行四边形的对角线互相平分. 对称性：平行四边形是中心对称图形.
∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）A. 在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD,
O
C
∴ AO⊥BD，即AC⊥BD.
D
定理
菱形的四条边都相等. A
菱形的对角线互相垂直.
B
O
C
D
例1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD
相交于点 O, ∠BAD = 60°，BD = 6，求菱形的
边长 AB 和对角线 AC 的长。
边
四条边都相等
对边平行
角 对角线 对称性
对角相等
对角线互相垂直 对角线互相平分 每一条对角线平分一组对角 既是中心对称图形又是轴对称图形
已知：如图，在菱形ABCD 中，AB=AD, 对角 线 AC 与 BD 相交于点O. 求证: （1）AB=BC=CD=AD;（2）AC⊥BD.

人教版八下数学课件第18章18.2.2第1课时菱形的性质

人教版八下数学课件第18章18.2.2第1课时菱形的性质
灿若寒星
解 ： 当 四 边 形 EDD′F 为 菱 形 时 ， △A′DE 是 等 腰 三 角 形 ， △A′DE≌△EFC′.理由：∵△BCA 是直角三角形，∠ACB＝90°，AD＝
DB，∴CD＝DA＝DB，∴∠DAC＝∠DCA，∵A′C∥AC，∴∠DA′E＝
∠A ， ∠DEA′ ＝ ∠DCA ， ∴∠DA′E ＝ ∠DEA′ ， ∴DA′ ＝ DE ，
7．如图，AC、BD 是菱形 ABCD 的对角线，那么下列结论一定正确的是( B ) A．△ABD 与△ABC 的周长相等 B．△ABD 与△ABC 的面积相等 C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍 D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
灿若寒星
8．如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD＝120°，AB＝4.
初中数学课件
灿若寒星*****整理制作
八年级数学(下册)·人教版
第十八章 平行四边形
18.2.2 菱形 第1课时 菱形的性质
灿若寒星
1．定义：四条边相等的四边形 叫做菱形．菱形是轴对称图形，它的对称 轴是 两条对角线所在的直线 . 2．性质：①菱形的四条边 相等 ；②菱形的对角线 互相垂直平分 ，并且 每条对角线 平分 一组对角． 3．菱形的面积等于两对角线长的乘积的 一半 .
解：∵四边形 ABCD 为菱形，∴AC⊥BD，OA＝12AC＝8cm，OD＝21BD＝ 6cm.∴AD＝ 62＋82＝10，∴C 菱形＝4AD＝40cm.由 S 菱形＝AB×DE＝12 ×AC×BD，即 10×DE＝12×16×12，∴DE＝9.6cm.
灿若寒星
5．如图，将一张直角三角形 ABC 纸片沿斜边 AB 上的中线 CD 剪开，得到 △ACD，再将△ACD 沿 DB 方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后 点 D′，未到达点 B 时，A′C′交 CD 于 E，D′C′交 CB 于点 F，连接 EF，当四边形 EDD′F 为菱形时，试探究△A′DE 的形状，并判断△A′DE 与△EFC′是否全等？请说明理由．

北师版九年级数学上册 1.1.1第1节 菱形的性质与判定


）B
A.78° B.75° C.60°
D.45°
10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， AB=5，AC=6.过D点作DE∥AC交BC的延长线于点E. （1）求△BDE的周长； （2）点P为线段BC上的点，连结PO并延长交AD于点Q. 求证：BP=DQ.
解:(1)∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD=BC=5,AD=BC,AC⊥BD.
点点对接
解：（1）由已知可得：∠EBC=∠EDC， 又AB∥DC， ∴∠APD=∠EDC， ∠APD=∠EBC;
（2）点P运动到AB的中点时，
理由是：
连接DB. ∵∠DAB=60°，AD=AB， ∴△ABD是等边三角形， 而P是AB边的中点， ∴DP⊥AB，
6.菱形的周长是40cm,两邻角的比是1∶2，则较短的对 角线长是 10 cm.
情景导入
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
平行四边形
一组邻边相等
菱形
邻边 是
相等
两 垂直
新识探究
生活中的菱形，菱形在日常生活中也很常见，请你举例。
新识探究
我们可以通过折纸，剪纸的方法得到菱形，将一 张长方形的纸对折，再对折，然后沿图中的虚线剪一 下，打开即可。
新识探究
观察得到的菱形，并思考：
=4cm,OB
AB·DH,
点点对接
例2：如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不 与A、B重合），连接DP交对角线AC于E，连接EB.（1 ）求证：∠APD=∠EBC;（2）若∠DAB=60°，试问P点 运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的 ？为1 什么？
4
解析：（1）先证△BCE≌△DCE，得∠EBC=∠EDC，再由 AB∥CD得∠APD=∠EDC;（2）连接BD，

1.1.1 菱形的性质与判定(第一课时)

于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝
1 2
AC，BO＝
1 2
BD.
∵AC＝6cm，BD＝12cm，
∴AO＝3cm，BO＝6cm.
在Rt△ABO中，由勾股定理得
AB AO2 BO2 32 62 3 5 cm.
∴菱形的周长＝4AB＝4×3 5 ＝12 5(cm)．
第一章 特殊平行四边形
1. 菱形的性质与判定（第1课时） 菱形的性质
学习目标
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系. 2.探索并证明菱形的性质定理.（重点） 3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难点）
情境引入
下面几幅图片中都含有一些平行四边形. 观察这些平行四 边形，你能发现它们有什么样的共同特征吗？
在Rt△AOB 中，由勾股定理，得 OA2 OB2 AB2 , ∴ OA AB2 OB2 62 32 3 3 . ∴ AC=2OA= 6 3（菱形的对角线互相平分）.
图1-2
随堂练习
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与 BD相交 于点O. 已知AB=5 cm，AO=4 cm，求 BD的长.
解：∵四边形ABCD是菱形， ∴ AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）. 在Rt△AOB中，由勾股定理得AO2+BO2=AB2, ∴ BO AB2 AO2 52 42 3 . ∵ BD=2BO=2×3=6（菱形的对角线互相平分）. ∴ BD=6 cm.
练习 1. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交
2. 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F， 求证：AE＝AF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，

第1课时 菱形的性质


知识点 3 菱形的对角线的性质 6．(益阳中考)下列性质中菱形不一定具有的性质是( C )
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．既是轴对称图形又是中心对称图形 7．(西安雁塔区期中)已知菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 的长 分别为 10 cm，24 cm，则这个菱形的周长为( D ) A．13 cm B．26 cm C．48 cm D．52 cm
14．如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E 为 AD 的中点．若 OE＝3，则菱形 ABCD 的周长为 24 .
15．如图，已知菱形 ABCD 的对角线相交于点 O，延长 AB 至 点 E，使 BE＝AB，连接 CE. (1)求证：BD＝EC； (2)若∠E＝50°，求∠BAO 的大小． 解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD. 又∵BE＝AB， ∴BE＝CD，BE∥CD. ∴四边形 BECD 是平行四边形． ∴BD＝EC.
AB＝6，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E 在 AC 上． 若 OE＝ 3，则 CE 的长为 4 3或 2 3 ．
11．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，
下列结论：①AC⊥BD；②OA＝OB；③∠ADB＝∠CDB；
④△ABC 是等边三角形．其中一定成立的是( D )
18．(陕西中考)如图，在菱形 ABCD 中，点 E，F，G，H 分别 是边 AB，BC，CD 和 DA 的中点，连接 EF，FG，GH 和 HE.若 EH＝2EF，则下列结论正确的是( D )
A．AB＝ 2EF B．AB＝2EF C．AB＝ 3EF D．AB＝ 5EFFra bibliotekA．①②
B．③④

第1讲 菱形的性质与判定(解析版)

第1讲 菱形的性质与判定 1.理解掌握菱形的概念性质及判定定理2.会用菱形的有关知识进行证明，会计算菱形的面积 知识点01 菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积12ab ．（a 、b 是两条对角线的长度） 【知识拓展1】菱形的两条对角线长的比是32，面积是cm 12，则它的对角线的长分别是 cm ， cm ． (★)解答方法：∵ 设菱形的两条对角线的长分别为厘米厘米x x 3,2，∴ 122132=⋅⋅=x x S 菱形，∴ 解得舍去）(2,221-==x x ， ∴ 对角线的长分别为cm cm 6,4。

答案：cm cm 6,4。

【总结方法】菱形的面积等于对角线乘积的一半。

【即学即练】两对角线分别是6cm 和8cm 的菱形面积是 _________ cm 2，周长是 _________ cm ． (★) 解答方法：菱形面积是224286cm =÷⨯；∵菱形的对角线互相垂直平分，根据勾股定理可得，边长为5cm ，则周长是20cm ． 知识精讲目标导航故答案为24，20．解答：24,20【知识拓展2】菱形的周长是它的高的8倍，则菱形较小的一个角为（）(★★) A．60°B．45°C．30°D．15°解答方法：菱形的周长为边长的4倍，又∵菱形周长为高的8倍，∴AB=2AE，∵△ABE为直角三角形，∴∠ABC=30°．故选 C．答案：C【总结方法】本题考查了菱形各边长相等的性质，考查了直角三角形中的特殊角，本题中根据特殊角求得∠ABC=30°是解题的关键．【即学即练1】菱形的一条对角线与边长相等，则菱形中较小的内角是（）(★★) A．60°B．15°C．30°D．90°解答方法：因为菱形的一条对角线与边长相等，所以该对角线和菱形的两边组成的是等边三角形，可得该菱形较小内角的度数是60°．解答：A【即学即练2】如果菱形的周长等于一条对角线长的4倍，那么这个菱形较小的一个内角等于度．(★★)解答方法：∵菱形的周长等于一条对角线长的4倍，∴AB=BD=AD，∴△ABD是等边三角形，∴∠A=60°．即这个菱形较小的一个内角等于60°．解答：60【知识拓展3】已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE． (★★)答案：证明：∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ BCD CA CD CB ∠=平分,．∴ CE CE DCE BCE =∠=∠又.,∴ △BCE ≌△COB （SAS ）．∴ ∠CBE=∠CDE ．∵ 在菱形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴∠AFD=∠FDC∴ ∠AFD=∠CBE ．【总结方法】通过菱形的基本性质可以得到三角形全等，进而推出对应角相等，然后利用平行内错角相等进行转化即可得到要证明的结论。

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[点拨] 菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的基本判定方
法．
解析总结反
知识点二 菱形的轴对称性
菱形是轴对称图形，有___两_____条对称轴，对称轴互相
思
___垂__直_____．菱形的对称轴是两条对角线所在的直线．
[点拨] 菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称中
心是两条对角线的交点．
解总 知识点三 菱形的性质定理
解目 析标 ∵AE＝BE， 突 ∴DE⊥AB(等腰三角形三线合一)． 破
在 Rt△ADE 中，AD＝AB＝2，AE＝12AB＝1，由勾股定理，得 DE＝ AD2－AE2＝ 22－12＝ 3.故选 B.
解目 归纳总结
析标
突 有关两条线段和的最小值问题通常用轴对称的知识来解决，
破
这类问题通常以动点所在的直线为对称轴，进而通过轴对称 的性质求得两条线段和的最小值．
全品学练考
数学 九年级 上册 北师版
第 一
特殊平行四边形
章
1 菱形的性质与判定
-
第1课时 菱形的定义及性质
目标突破 总结反思
解目 目标一 利用菱形的轴对称性计算
析标
突 例 1 [教材补充例题]如图 1－1－1，在菱形 ABCD 中，AB＝2，
破
∠BAD＝60°，E 是 AB 的中点，P 是对角线 AC 上的一个动点，
证明：∵四边形ABCD是菱形，AC是菱形ABCD的对角线，
突 破
∴AB＝AD，∠EAC＝∠FAC.
又∵BE＝DF，
∴AE＝AF.
在△ACE和△ACF中，
∵AE＝AF，∠EAC＝∠FAC，AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF(SAS)．
解析总结反
小结
知识点一
菱形的定义
思
有一组__邻__边__相__等__的平行四边形叫做菱形．
突 再证明△ABC是等边三角形，进而得到AC＝AB＝12 cm，然后再根
破 据勾股定理求出BO的长，进而可得BD的长．
解目 析标
解：∵菱形ABCD的周长为48 cm，
突 破
∴菱形的边长为48÷4＝12(cm)．
∵∠ABC∶∠BAD＝1∶2，∠ABC＋∠BAD＝180°(菱形
的邻角互补)，
∴∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，
“一边上的高平分这一边”这些条件之一，则可得出等边三角
形；
(2)因为菱形的对角线互相垂直平分，所以在计算时要注意勾
股定理的应用．
解目 析标
例3 [教材补充例题]如图1－1－3，AC是菱形ABCD的对角
突 线，点E，F分别在边AB，AD上，且BE＝DF.
破
求证：△ACE≌△ACF.
图1－1－3
解目 析标
解目 目标二 利用菱形的性质进行计算和证明
析标
突 例2 [教材例1变式题]如图1－1－2，在菱形ABCD中，对角 破 线AC与BD相交于点O，∠ABC与∠BAD的度数比为1∶2，
菱形的周长是48 cm.求两条对角线的长度．
图1－1－2
解目 析标
[解析] 首先根据菱形的性质可得菱形的边长为48÷4＝12(cm)，然后
析结
反 思
边对边平行
四条边
相等
对角相等
菱形的性质 角
邻角互补
互相 垂直
对角线
互相平分
解目 析标
[点拨] (1)菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边
突 破
形的所有性质；(2)菱形的两条对角线分别平分一组对角．
解析总结反 思
反思 判断下列命题的真假(在括号内填“真命题”或“假命题”)：
则 PE＋PB 的最小值为( B )
A．1
B. 3
C．2
D. 5
图1－1－1
解目 析标 [解析] B 连接DE，BD. 突 由菱形的对角线互相垂直平分，可得B，D两点关于AC对称，连接PD， 破
则PD＝PB， ∴PE＋PB＝PE＋PD， ∴当点D，P，E共线时，PE＋PD取得最小值， 即DE就是PE＋PB的最小值． ∵∠BAD＝60°，AD＝AB， ∴△ABD是等边三角形．
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝12 cm.
解目 ∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
析标
突 ∴AO＝CO＝6 cm，BO＝DO且AC⊥BD，
破
∴BO＝ 122－62＝6 3(cm)，
∴BD＝12 3 cm.
解目 归纳总结
析标 突
菱形的性质在计算中的应用：
破 (1)若菱形中出现“60°角”“120°角”“较短的对角线长等于边长”
(1)菱形的四条边相等，四个角相等；( 假命题 )
(2)菱形的短对角线与它的边长相等；( 假命题 )
(3)菱形