2020年辽宁省大连市中考数学试卷(含答案解析)

辽宁省大连市2020年中考数学试卷一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确)（共10题；共30分）1.下列四个数中，比-1小的数是( )C. 0D. 1A. -2B. −12【答案】A【考点】有理数大小比较＜0＜1.【解析】【解答】解：∵-2＜-1＜-12故答案为：A.【分析】把这些数按从小到大重新排列，即可得出结果.2.如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是( )A. B.C. D.【答案】B【考点】简单组合体的三视图【解析】【解答】解：由图可得，主视图下方是三个小正方形，右上方是一个小正方形.故答案为：B.【分析】主视图是由前向后看在正面所得的投影，据此分析即可判断.3.2020年6月23日，我国成功发射北斗系统第55颗导航卫星，暨北斗三号最后一颗全球组网卫星，该卫星驻守在我们上方36000公里的天疆，数36000用科学记数法表示为( )A. 360×102B. 36×103C. 3.6×104D. 0.36×105【答案】C【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：36000=3.6×104.故答案为：C.【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数-1.4.如图，OABC中，∠A=60°，∠B=40°，DE∥BC，则∠AED的度数是( )A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°【答案】 D【考点】平行线的性质，三角形内角和定理【解析】【解答】解：∵∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-40°=80°，∵DE∥BC，∴∠AED=∠C=80°.故答案为：D.【分析】利用三角形内角和定理先求出∠C的度数，再根据平行线的性质定理得出∠AED=∠C，则∠AED 可求.5.平面直角坐标系中，点P(3，1)关于x轴对称的点的坐标是( )A. (3，1)B. (3，-1)C. (-3，1)D. (-3，-1)【答案】B【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【解答】解：P(3，1)关于x轴对称的点的坐标是(3，-1).故答案为：B.【分析】关于x轴对称点的坐标特点是横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此求解即可.6.下列计算正确的是( )A. a2+a3=a5B. a2·a3=a6C. (a2)3=a6D. (-2a2)3=-6a6【答案】C【考点】同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方【解析】【解答】解： A、同底数幂相加不能套用同底数幂相乘的运算法则，不符合题意；B、a2·a3=a2+3= a5 , 不符合题意；C、(a2)3=a6，符合题意；D、(-2a2)3=-8a6，不符合题意；故答案为：C.【分析】同底数幂相乘底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方等于乘方的积；据此逐项计算判断即可.7.在一个不透明的袋子中有3个白球、4个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同。

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这个公司平均每人所创年利润是______万元． 13. 我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八
百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的
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面积为 864 平方步，宽比长少 12 步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为 x 步，根 据题意，可列方程为______． 14. 如图，菱形 ABCD 中，∠ACD=40°，则 ∠ABC=______°．
（1）当点 D 与点 A 重合时，求 t 的值； （2）求 S 关于 t 的函数解析式，并直接写出自变量 t 的取值范围．
D. （2，0）
A. 50°
B. 70°
C. 110°
D. 120°
二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）
11. 不等式 5x+1＞3x-1 的解集是______．
12. 某公司有 10 名员工，他们所在部门及相应每人所创年利润如下表所示．
部门
人数
每人所创年利润/万 元
A
1
10
B
2
8
C
7
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22. 某化肥厂第一次运输 360 吨化肥，装载了 6 节火车车厢和 15 辆汽车；第二次运输 440 吨化肥，装载了 8 节火车车厢和 10 辆汽车．每节火车车厢与每辆汽车平均各 装多少吨化肥？
23. 甲、乙两个探测气球分别从海拔 5m 和 15m 处同时出发，匀速上升 60min．如图是 甲、乙两个探测气球所在位置的海拔 y（单位：m）与气球上升时间 x（单位：min） 的函数图象． （1）求这两个气球在上升过程中 y 关于 x 的函数解析式； （2）当这两个气球的海拔高度相差 15m 时，求上升的时间．

2020年辽宁省大连市甘井子区中考数学双基试卷1.2的绝对值是()A. 2B. −2C. 12D. −122.如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是()A.B.C.D.3.今年参加国庆70周年阅兵的受阅官兵约15000名，是近几次阅兵中规模最大的一次，将15000用科学记数法表示为()A. 1.5×105B. 0.15×105C. 1.5×104D. 15×1034.在平面直角坐标系中，将点A(1,3)向右平移3个单位长度，得到的点A′的坐标为()A. (−2,3)B. (4,3)C. (1,6)D. (1,0)5.不等式2x−1≤3的解集在数轴上表示正确的是()A. B.C. D.6.下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. 直角三角形B. 等腰直角三角形C. 正五边形D. 矩形7.计算(−3x2)⋅2x3的结果是()A. −5x6B. −6x6C. −5x5D. −6x58.不透明袋子中装有红色、黑色扑克牌各一张，除颜色外无其他差别，随机摸出一张牌后，放回并摇匀，再随机摸出一张，两次都摸到黑色牌的概率为()A. 14B. 13C. 12D. 239.如图，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，将矩形沿对角线AC折叠，则△ACE的面积为()A. 156B. 78C. 60D. 3010.如图，抛物线y=x2+2x−1与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线上，且CD//AB，则线段CD的长为()A. 2B. 3C. 4D. √1711.如图，AB//CD，CE//GF，若∠1=60°，则∠2=______°.12.射击比赛中，10名选手的射击成绩如图所示，这些选手成绩的众数是______ ．13.如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，垂足为D，延长BC至点E，使CE=CD，连接DE，若AB=4，则DE的长为______ ．14.我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有兽，六首四足；禽，四首二足六首，上有七十六首，下有四十六足，问：禽、兽各几何？”其大意为：今有一只怪兽，有6个头4只脚；一只怪鸟，有4个头2只脚，现在上面有76个头，下面有46只脚.问：怪鸟、怪兽各有多少？若设有x只怪兽，有y只怪鸟，根据题意，可列方程组为______ ．15.某矩形交通指示牌CDEF如图所示，AB的距离为5m，从A点测得指示牌顶端D点和底端C点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度CD约为______ m.(精确到0.1m.参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732)16.甲、乙两人在一条直线跑道上同起点同终点同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息，已知甲先出发2秒，在跑步过程中，图1是乙离开起点后跑的路程y(单位：米)与所用时间t(单位：秒)的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离s(单位：米)与乙跑步所用时间t(单位：秒)的函数图象，则b−a=______ ．17.计算：(√2+1)2−√18+2√12．18.计算：aa−1÷a2−aa2−1−1a−1．19.如图，点C，F在BE上，BF=EC，AB=DE，∠B=∠E，求证：∠A=∠D．20.某校为了解九年级学生“英语听力”成绩的情况，对九年级所有学生进行了一次英语听力的模拟测试，并随机抽取了部分学生的成绩作为样本进行分析，以下是根据被抽取学生的成绩绘制的统计图表的一部分．成绩等级频数(人)频率A240.3BCD4合计1根据以上信息解答下列问题：(1)被抽取的学生中，成绩等级为“A”的人数为______ 人，成绩等级为“C”的人数占被抽取的学生总人数的百分比为______ %；(2)被抽取的学生总人数为______ 人，成绩等级为“D”的学生人数占被抽取学生总人数的百分比为______ %；(3)若该校九年级学生一共有600人，请估计该校九年级学生“英语听力”模拟测试成绩等级为“B”的人数．21.随着全国人民环保意识的增强，春节期间烟花爆竹的销售量逐年下降，某市2018年销售烟花爆竹10万箱，到2020年烟花爆竹的销售量为6.4万箱．(1)求该市2018年到2020年烟花爆竹年销售量的平均下降率；(2)假设2021年该市烟花爆竹年销售量的平均下降率与前两年的年平均下降率相同，请你预测该市2021年春节期间的烟花爆竹销售量是多少万箱？)在反比例函22.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(−2,32(x<0)的图象上，点B在OA的延长线上，BD⊥y数y=kx轴，垂足为D，BD与反比例函数的图象相交于点C，连接AC，AD．(1)求该反比例函数的解析式．(2)若S△ACD=3，设点D的坐标为(0,m)，求线段BC的长．423.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C的切线与AB、AD的延长线分别相交于点E、F，且EF⊥AF．(1)求证：∠ABC+∠DCF=90°；(2)若AF=3，EF=4，求⊙O的半径．x+4与x轴，y轴分别相交于点A，24.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−43OP，以AP，B，点P在射线AO上(不与原点重合)，点C在射线AB上，且AC=52 AC为邻边作▱ACDP.设点P的坐标为(m,0)，▱ACDP在y轴右侧部分的面积为S．(1)求△AOB的面积；(2)求S关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．25.阅读下面材料，完成(1)−(3)题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BD⊥BC，且BC=kBD，连接CD，作BE⊥CD，连接AE，探究线段AE与BD的数量关系，并证明.同学们经过思考后，交流了自己的想法．小明：“通过观察和度量，发现∠ACD与∠CBE相等”；小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理计算，可以得到线段AE与BD的数量关系”；……老师：“保留原题条件，若k=2，在图1中作CG⊥AE，垂足为F，AG⊥AC，AG、BE的延长线分别与CG相交于点G，H(如图2)，可以求出FH的值”．HG(1)求证：∠ACD=∠CBE；(2)探究线段AE与BD的数量关系(用含k的代数式表示)，并证明；(3)若k=2，求FH的值．HG26.定义：把函数C1：y1=ax2−4ax−5a(a≠0)的图象绕点P(O,n)旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数，C2的图象顶点纵坐标为m．(1)当n=0时，求新函数C2的顶点坐标(用含a的代数式表示)；≤x≤m时，函数C1的最大值为y1，最小值为y2，且y1+y2=7，(2)若a=1，当−32求C2的解析式；(3)当n=1时，C2的图象与直线y=2相交于A，B两点(点A在点B的右侧)，与y轴相交于点D.把线段AD绕点(0,2)逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，若线A′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，请直接写出a的取值范围______ ．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵2>0，∴|2|=2．故选：A．计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．本题考查了绝对值的意义，任何一个数的绝对值一定是非负数，所以2的绝对值是2.部分学生易混淆相反数、绝对值、倒数的意义．2.【答案】A【解析】解：从正面看第一层是3个小正方形，第二层左边一个小正方形．故选：A．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．3.【答案】C【解析】解：15000=1.5×104，故选：C．科学记数法就是将一个数字表示成(a×10的n次幂的形式)，其中1≤|a|<10，n表示整数，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．此题考查了对科学记数法的理解和运用．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.【答案】B【解析】解：将点A(1,3)向右平移3个单位长度，得到对应点B，则点B的坐标是(1+3,3)，即(4,3)，故选：B．根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．此题主要考查了坐标与图形的变化--平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．5.【答案】B【解析】解：∵2x−1≤3，∴2x≤3+1，2x≤4，x≤2，故选：B．根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．6.【答案】D【解析】解：A、直角三角形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；B、等腰直角三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；C、正五边形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D、矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7.【答案】D【解析】解：(−3x2)⋅2x3=−6x5，故选：D．根据单项式乘以单项式法则求出即可．本题考查了单项式乘以单项式法则和同底数幂的乘法，能灵活运用法则进行计算是解此题的关键．8.【答案】A【解析】解：两次摸球的所有的可能性树状图如下：∴两次都摸到黑色牌的概率为1，4故选：A．用列表法或树状图法可以列举出所有等可能出现的结果，然后看符合条件的占总数的几分之几即可．考查用树状图或列表法求等可能事件发生的概率，关键是列举出所有等可能出现的结果数，然后用分数表示，同时注意“放回”与“不放回”的区别．9.【答案】B【解析】解：∵在矩形ABCD中，∴AB=CD=12，AD=BC=18，AD//BC，∴∠DAC=∠ACB，由折叠得：∠DAC=∠EAC，∴∠CAE=∠ACE，∴AE=CE，设AE=x=EC，则BE=18−x，在Rt△ABE中，由勾股定理得：(18−x)2+122=x2，解得：x=13，×13×12=78，∴△ACE的面积：12故选：B．根据矩形的性质和等腰三角形的判定和性质定理以及勾股定理即可得到结论．本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、等知识，求出△AEC的底是关键．10.【答案】A【解析】解：函数的对称轴为直线x=−1，∵CD//AB，∴CD=1×2=2，故选：A．求出函数的对称轴的表达式，利用函数的对称性即可求解．本题考查的是抛物线与x轴的交点，利用函数对称性是此类题目求解的一般方法．11.【答案】60【解析】【分析】本题主要考查了平行线的性质，关键是根据平行线的性质证明∠1与∠2都等于同一个角∠CEF.先根据平行线的性质，得∠1与∠2都等于同一个角∠CEF，再由等量代换求得∠2的度数．【解答】解：∵AB//CD，∴∠1=∠CEF，∵CE//GF，∴∠2=∠CEF，∴∠2=∠1，∵∠1=60°，∴∠2=60°，故答案为60．12.【答案】9环【解析】解：射击比赛中，10名选手的射击成绩如图所示，这些选手成绩的众数是9环，故答案为：9环．根据众数定义可得答案．此题主要考查了众数，关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．13.【答案】2√3【解析】解：∵△ABC 是等边三角形，∴AC =AB =4，∠ACB =∠ABC =60°，又∵BD ⊥AC ，∴CD =12AC =2，∠DBC =30°， ∴BD =√42−22=2√3，∵CE =CD ，∠ACB =60°，∴∠E =∠CDE =30°，∴∠E =∠DBC ，∴DB =DE =2√3．故答案为：2√3．首先利用等边三角形的性质计算BD 长，再证明DE =BD ，进而可得DE 的长．此题主要考查了等边三角形的性质，关键是掌握等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．14.【答案】{6x +4y =764x +2y =46【解析】解：设有x 只怪兽，有y 只怪鸟，根据题意，可列方程组为：{6x +4y =764x +2y =46． 故答案为：{6x +4y =764x +2y =46． 直接利用有76个头，有46只脚，分别得出等式进而组成方程组得出答案．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键． 15.【答案】3.7【解析】解：在Rt△ADB中，∠DAB=60°，AB=5，∵tan∠DAB=DB，AB∴BD=5⋅tan60°=5√3，在Rt△BAC中，∵∠CAB=45°，∴AB=BC=5，∴CD=BD−BC=(5√3−5)m≈3.7(m)．故答案为：3.7．，求出DB，根据∠CAB=45°，求出BC，根据CD=DB−BC 根据已知和tan∠DAB=DBAB求出CD即可．本题考查的是解直角三角形的知识，掌握仰角的概念和锐角三角函数的概念是解题的关键．16.【答案】23【解析】解：由图1可得，乙的速度为500÷100=5(米/秒)，由题意可得，a=100，甲的速度为8÷2=4(米/秒)，b=500÷4−2=125−2=123，故b−a=123−100=23，故答案为：23．根据题意和函数图象，可以得到甲和乙的速度，再根据函数图象中的数据，即可得到a 和b的值，然后即可得到b−a的值，本题得以解决．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．17.【答案】解：原式=2+1+2√2−3√2+2×√22=2+1+2√2−3√2+√2=3．【解析】直接利用完全平方公式以及二次根式的加减运算法则计算得出答案．此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．18.【答案】解：原式=aa−1⋅a2−1a2−a−1a−1=aa−1⋅(a−1)(a+1)a(a−1)−1a−1=a+1a−1−1a−1=aa−1．【解析】分式分母能约分的先约分，然后把除法运算转化成乘法运算，再进行加减运算．本题考查了分式的混合运算，分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，在计算时要弄清楚运算顺序．19.【答案】证明：∵BF=CE，∴BC=EF，又∵AB=DE，∠B=∠E，∴△ABC≌△DEF(SAS)，∴∠A=∠D．【解析】由“SAS”可证△ABC≌△DEF，可得结论．本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABC≌△DEF是本题的关键．20.【答案】24 20 80 5【解析】解：(1)根据统计图表可知：被抽取的学生中，成绩等级为“A”的人数为24人，成绩等级为“C”的人数占被抽取的学生总人数的百分比为20%；故答案为24，20；(2)被抽取的学生总人数为：24÷0.3=80(名)．成绩等级为“D”的学生人数占被抽取学生总人数的百分比为：480×100%=5%，故答案为80，5；(3)被抽取的学生总人数中，成绩等级为“C”的学生人数80×20%=16，频率为：1680=0.2，被抽取的学生总人数中，成绩等级为“D ”的学生人数是4人，频率为：480=0.05， 成绩等级为“B ”的的人数对应的频率为1−0.3−0.2−0.05=0.45，600×0.45=270(人)，估计该校九年级学生“英语听力”模拟测试成绩等级为“B ”的人数为270人．(1)根据统计表即可得到答案；(2)利用A 的人数除以对应频率可求此次抽查了80名学生的成绩，用4除以80乘以100%即可求得成绩等级为“D ”的学生人数占被抽取学生总人数的百分比；(3)先得到B 的频率，再乘以600即可求解．本题考查读扇形图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．21.【答案】解：(1)设该市2018年到2020年烟花爆竹年销售量的平均下降率为x ，由题意得：10(1−x)2=6.4，解得：x 1=0.2=20%，x 2=1.8(不合题意，舍去)，答：该市2018年到2020年烟花爆竹年销售量的平均下降率20%；(2)6.4×(1−20%)=5.12(万箱)，答：该市2021年春节期间的烟花爆竹销售量是5.12万箱．【解析】(1)设该市2018年到2020年烟花爆竹年销售量的平均下降率为x ，由题意得等量关系：10万箱×(1−下降率)2=6.4万箱，根据等量关系列出方程，再解即可；(2)根据(1)中的数据进行计算即可．此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．22.【答案】解：(1)把A(−2,32)代入y =k x (x <0)得k =−2×32=−3，∴反比例函数解析式为y =−3x (x <0)；(2)设直线OB 的解析式为y =tx ，把A(−2,32)代入得32=−2t ，解得t =−34，∴直线OB的解析式为y=−34x，∵DB//y轴，点D的坐标为(0,m)，∴C点的纵坐标为m，当y=m时，m=−3x ，解得m=−3m，则C(−3m,m)，∵S△ACD=34，∴12×(m−32)×3m=34，解得m=3，∴C(−1,3)，当y=3时，−34x=3，解得x=−4，∴B(−4,3)，∴BC=−1−(−4)=3．【解析】(1)把A点代入y=kx中求出k得到反比例函数解析式；(2)先利用待定系数法求∴直线OB的解析式为y=−34x，再表示出C(−3m,m)，利用三角形面积公式得到12×(m−32)×3m=34，解得m=3，则C(−1,3)，然后计算出B点坐标，从而得到BC的长．本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设反比例函数解析式y=kx(k为常数，k≠0)，然后把一组对应值代入求出k得到反比例函数解析式．23.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC=180°，又∵∠ADC+∠CDF=180°，∴∠ABC=∠CDF，∵∠CDF+∠DCF=90°，∴∠ABC+∠DCF=90°；(2)如图，连接OC，∵AF=3，EF=4，∴AE=√AF2+EF2=√9+16=5，∵EF是⊙O的切线，∴OC⊥EF，∴∠ECO=∠EFA=90°，又∵∠E=∠E，∴△ECO∽△EFA，∴EOEA =COAF，∴5−AO5=AO3，∴AO=158，∴⊙O的半径为158．【解析】(1)由圆的内接四边形的性质可证∠ABC=∠CDF，由直角三角形的性质可得结论；(2)通过证明△ECO∽△EFA，可得EOEA =COAF，可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．24.【答案】解：(1)∵y=−43x+4，∴当x=0时，y=4，当y=0时，x=3，∴直线y=−43x+4与x轴的交点A的坐标为(3,0)，与y轴的交点B的坐标为(0,4)，∴OA=3，OB=4，∴S△AOB=12OA⋅OB=12×3×4=6；(2)∵OA=3，OB=4，∴AB=√OA2+OB2=5，当AC≥5时，即52OP≥5，∴OP≥2，∴|m|≥2，∴m≥2或m≤−2，∵m<3，当2≤m<3时，如图1，∵PD//AC，∴OEOB =OPOA，即OE=OP⋅OBOA，∵点P的坐标为(m,0)，OA=3，OB=4，∴OE=4m3，∴S△POE=12OP⋅OE=12m⋅4m3=23m2，∴S=S△AOB−S△POE=6−23m2，∴S=−23m2+6(2≤m<3)．当m≤−2时，如图2，则S=S△AOB=12×3×4=6(m≤−2)，当AC<5时，即52OP<5，∴OP<2，∴|m|<2，∵m≠0，∴0<m<2，或−2<m<0当−2<m<0时，如图3，∵FC//OA，∴BFBO =FCOA=BCBA，即BF4=FC3=5−52(−m)5，∴BF=4+2m，FC=3+32m，∴S=S△AOB−S△BCF=6−12(4+2m)(3+32m)，即S=−32m2−6m(−2<m<0)，当0<m<2时，如图4，∵FC//OA，∴BFBO =FCOA=BCBA，即BF4=FC3=5−52(−m)5，∴BF=4+2m，FC=3+32m，∵PE//AB，∴OPOA =OEOB，即m3=OE4，∴CE=43m，∴S=S△AOB−S△POE−S△BCF=6−12m⋅43m−12(4+2m)(3+32m)即S=−136m2−6m(0<m<2)，综上，S=6(m≤−2)或S=−32m2−6m(−2<m<0)或S=−136m2−6m(0<m<2)或S=−23m2+6(2≤m<3)．【解析】(1)由直线解析式求得点A，B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；(2)分四种情况：m≤−2；−2<m<0；0<m<2；2≤m<3.画出图形，数形结合进行解答．本题主要考查了一次函数的图象与性质，三角形的面积计算，平行四边形的性质，平行线分线段成比例性质，数形结合，关键是分情况讨论．25.【答案】(1)证明：如图1中，∵BE⊥CE，∴∠ECB+∠CBE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠ECB=90°，∴∠ACD=∠CEB．(2)结论：AE=k⋅√2k2−2k+1√1+k2⋅BD．理由：如图1中，过点A作AH⊥CD于H．∵∠ACH=∠CBE，∠AHC=∠CEB=90°，CA=CB，∴△ACH≌△CBE(AAS)，∴CH=BE，AH=CE，∵BC=kBD，CB⊥BD，∴∠CEB=∠CBD=90°，∴tan∠DCB=BEEC =BDBC=1k，∴CE=kBE，AH=kBE，∴AE =√AH 2+EH 2=√k 2BE 2+(k −1)2BE 2=√2k 2−2k +1⋅BE ， ∵BC =kBD ， ∴CD =√BC 2+BD 2=√1+k 2⋅BD ，∴BE =BC⋅BD CD =k⋅BD 2√1+k 2⋅BD =k √1+k 2⋅BD ， ∴AE =k⋅√2k 2−2k+1√1+k 2⋅BD ．(3)如图2中，过点A 作AM ⊥CD 于M ．∵△ACM≌△ABE ，∴CM =BE ，AM =CE ，∵k =2，∴EC =2BE ，∴CM =EM ，设CM =EM =a ，则AM =EC =2a ，∴AC =AE =√AM 2+CM 2=√5a ，∵12⋅EC ⋅AM =12⋅AE ⋅CF ，∴CF =2a⋅2a√5a =4√55a ， ∵∠ECF =∠ECH ，∠CFE =∠CEH =90°，∴△CFE∽△CEH ，∴EC 2=CF ⋅CH ，∴CH =4a 24√55=√5a ，∴FH =CH −CF =√5a −4√55a =√55a ， 同法可得：CA 2=CF ⋅CG ，∴CG =5a 24√55a =5√54a ，∴GH =CG −CH =5√54a −√5a =√54a ， ∴FH GH =√55a √54a =45． 【解析】(1)利用等角的余角相等证明即可．(2)如图1中，过点A 作AH ⊥CD 于H.证明△ACH≌△CBE(AAS)，推出CH =BE ，AH =CE ，由BC =kBD ，CB ⊥BD ，推出tan∠DCB =BE EC =BDBC =1k ，推出CE =kBE ，AH =kBE ，解直角三角形求出AE ，再利用面积法求出BE(用BD 表示)可得结论．(3)证明△ACM≌△ABE ，推出CM =BE ，AM =CE ，由题意EC =2BE ，推出CM =EM ，设CM =EM =a ，则AH =EC =2a ，利用相似三角形的性质求出FH ，GH(用a 表示)即可解决问题．本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．26.【答案】a ≤−15或0<a ≤15或a ≥1【解析】解：(1)∵y 1=ax 2−4ax −5a =a(x −2)2−9a ，∴函数C 1的顶点坐标为(2,−9a)．∵当n =0时，点P 的坐标为(0,0)，∴新函数C 2的顶点坐标为(−2,9a)；(2)∵a =1，∴函数C 1：y 1=x 2−4x −5=(x −2)2−9，∴函数C 1的顶点坐标为(2,−9)．把x =−32代入函数C 1，得：y 1=(−32)2−4×(−32)−5=134，根据抛物线的对称性可知，当x =112时y 2=134． ①当−32≤x ≤112时，y 1+y 2<7，不符合题意，舍去)． ②当m >112时，y 2=−9，y 1=m 2−4m −5，∴y 1+y 2=m 2−4m −5−9=7，解得m 1=7，m 2=−3(不合题意，舍去)．∴y 2=−(x +2)2+7=−x 2−4x +3，∴C 2的解析式为y 2=−x 2−4x +3；(3)∵n =1，函数C 1：y 1=ax 2−4ax −5a =a(x −2)2−9a ，∴函数C 2：y 2=−a(x +2)2+2+9a ，∵当y 2=2时，x =1或−5；当x =0时，y 2=5a +2，∴点A ，B ，D 的坐标分别为(1,2)，(−5,2)，(0,5a +2)．∵线段AD 绕点(0,2)逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，∴点A′的坐标为(0,3)，点D′的坐标为(−5a,2)．①当a>0时，当点D′在点B的左侧(含点B)时，线段A′D′与函数C2的图象有公共点，如图1：∴−5a≤−5，∴a≥1；当点D′在点B的右侧，且点D在点A′的下方(含点A′)时，线段A′D′与函数C2的图象有公共点，如图2：∴5a+2≤3，，解得a≤15∴0<a≤1．5②当a<0时，点D在点A′的下方(含点A′)时，线段A′D′与函数C2的图象有公共点，如图3：∴−5a≥1，∴a≤−15．综上所述，a≤−15或0<a≤15或a≥1．(1)先将函数C1写成顶点式，从而得出其顶点坐标，再得出n=0时，点P的坐标，然后根据对称性得出新函数C2的顶点坐标；(2)先由a=1得出函数C1的解析式，再分段讨论：①当−32≤x≤112时，②当m>112时，从而可解得m的值，则可求得C2的解析式；(3)先得出n=1时点A，B，D的坐标，再分①当a>0时，②当a<0时，两大类情况，分别画图分析解得相应的a的取值范围即可．本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的顶点坐标、二次函数的图象变换、直线或线段与函数图象的交点坐标等知识点，数形结合、分类讨论及熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．。

2020年辽宁省大连市中考数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分1．﹣3的相反数是（）A．B．C．3 D．﹣32．在平面直角坐标系中，点（1，5）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．方程2x+3=7的解是（）A．x=5 B．x=4 C．x=3.5 D．x=24．如图，直线AB∥CD，AE平分∠CAB．AE与CD相交于点E，∠ACD=40°，则∠BAE的度数是（）A．40° B．70° C．80° D．140°5．不等式组的解集是（）A．x＞﹣2 B．x＜1 C．﹣1＜x＜2 D．﹣2＜x＜16．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4随机摸出一个小球，不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的积小于4的概率是（）A．B．C．D．7．某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是（）A．100（1+x）B．100（1+x）2C．100（1+x2）D．100（1+2x）8．如图，按照三视图确定该几何体的全面积是（图中尺寸单位：cm）（）A．40πcm2B．65πcm2C．80πcm2D．105πcm2二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分9．因式分解：x2﹣3x=．10．若反比例函数y=的图象经过点（1，﹣6），则k的值为．11．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，则BD=．12．下表是某校女子排球队队员的年龄分布年龄/岁13 14 15 16频数 1 1 7 3则该校女子排球队队员的平均年龄是岁．13．如图，在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，则菱形的面积是．14．若关于x的方程2x2+x﹣a=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．15．如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为海里（结果取整数）（参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）．16．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B（m+2，0）与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为（m，c），则点A的坐标是．三、解答题：本大题共4小题，17、18、19各9分20题12分，共39分17．计算：（+1）（﹣1）+（﹣2）0﹣．18．先化简，再求值：（2a+b）2﹣a（4a+3b），其中a=1，b=．19．如图，BD是▱ABCD的对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：AE=CF．20．为了解某小区某月家庭用水量的情况，从该小区随机抽取部分家庭进行调查，以下是根据调查数据绘制的统计图表的一部分分组家庭用水量x/吨家庭数/户A 0≤x≤4.0 4B 4.0＜x≤6.5 13C 6.5＜x≤9.0D 9.0＜x≤11.5E 11.5＜x≤14.0 6F x＞4.0 3根据以上信息，解答下列问题（1）家庭用水量在4.0＜x≤6.5范围内的家庭有户，在6.5＜x≤9.0范围内的家庭数占被调查家庭数的百分比是%；（2）本次调查的家庭数为户，家庭用水量在9.0＜x≤11.5范围内的家庭数占被调查家庭数的百分比是%；（3）家庭用水量的中位数落在组；（4）若该小区共有200户家庭，请估计该月用水量不超过9.0吨的家庭数．四、解答题：本大题共3小题，21、22各9分23题10分，共28分21．A、B两地相距200千米，甲车从A地出发匀速开往B地，乙车同时从B地出发匀速开往A地，两车相遇时距A地80千米．已知乙车每小时比甲车多行驶30千米，求甲、乙两车的速度．22．如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E（1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．23．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠A=2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED=∠ABC （1）求证：DE与⊙O相切；（2）若BF=2，DF=，求⊙O的半径．五、解答题：本大题共3小题，24题11分，25、26各12分，共35分24．如图1，△ABC中，∠C=90°，线段DE在射线BC上，且DE=AC，线段DE沿射线BC运动，开始时，点D与点B重合，点D到达点C时运动停止，过点D作DF=DB，与射线BA相交于点F，过点E作BC的垂线，与射线BA相交于点G．设BD=x，四边形DEGF与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤m，1＜x≤m，m＜x≤3时，函数的解析式不同）（1）填空：BC的长是；（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．25．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：BC=2AE．小明经探究发现，过点A作AF⊥BC，垂足为F，得到∠AFB=∠BEA，从而可证△ABF≌△BAE（如图2），使问题得到解决．（1）根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是AAS（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：（2）如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为DC的中点，点F在AC的延长线上，且∠CDF=∠EAC，若CF=2，求AB的长；（3）如图4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=kDB（其中0＜k＜），∠AED=∠BCD，求的值（用含k的式子表示）．26．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称（1）填空：点B的坐标是；（2）过点B的直线y=kx+b（其中k＜0）与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k的式子表示），并判断点P是否在抛物线上，说明理由；（3）在（2）的条件下，若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标．2020年辽宁省大连市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分1．﹣3的相反数是（）A．B．C．3 D．﹣3【考点】相反数．【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可．【解答】解：（﹣3）+3=0．故选C．【点评】本题主要考查了相反数的定义，根据相反数的定义做出判断，属于基础题，比较简单．2．在平面直角坐标系中，点（1，5）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】点的坐标．【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．【解答】解：点（1，5）所在的象限是第一象限．故选A．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．3．方程2x+3=7的解是（）A．x=5 B．x=4 C．x=3.5 D．x=2【考点】一元一次方程的解．【专题】计算题；一次方程（组）及应用．【分析】方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解．【解答】解：2x+3=7，移项合并得：2x=4，解得：x=2，故选D【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．4．如图，直线AB∥CD，AE平分∠CAB．AE与CD相交于点E，∠ACD=40°，则∠BAE的度数是（）A．40° B．70° C．80° D．140°【考点】平行线的性质．【分析】先由平行线性质得出∠ACD与∠BAC互补，并根据已知∠ACD=40°计算出∠BAC的度数，再根据角平分线性质求出∠BAE的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠BAC=180°，∵∠ACD=40°，∴∠BAC=180°﹣40°=140°，∵AE平分∠CAB，∴∠BAE=∠BAC=×140°=70°，故选B．【点评】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，比较简单；做好本题要熟练掌握两直线平行①内错角相等，②同位角相等，③同旁内角互补；并会书写角平分线定义的三种表达式：若AP平分∠BAC，则①∠BAP=∠PAC，②∠BAP=∠BAC，③∠BAC=2∠BAP．5．不等式组的解集是（）A．x＞﹣2 B．x＜1 C．﹣1＜x＜2 D．﹣2＜x＜1【考点】解一元一次不等式组．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：，解①得x＞﹣2，解②得x＜1，则不等式组的解集是：﹣2＜x＜1．故选D．【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．6．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4随机摸出一个小球，不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的积小于4的概率是（）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号的积小于4的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号的积小于4的有4种情况，∴两次摸出的小球标号的积小于4的概率是：=．故选C．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7．某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是（）A．100（1+x）B．100（1+x）2C．100（1+x2）D．100（1+2x）【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】设出四、五月份的平均增长率，则四月份的市场需求量是100（1+x），五月份的产量是100（1+x）2，据此列方程即可．【解答】解：若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是：100（1+x）2，故选：B．【点评】本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．8．如图，按照三视图确定该几何体的全面积是（图中尺寸单位：cm）（）A．40πcm2B．65πcm2C．80πcm2D．105πcm2【考点】由三视图判断几何体．【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积．【解答】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；根据三视图知：该圆锥的母线长为8cm，底面半径为10÷2=5cm，故表面积=πrl+πr2=π×5×8+π×52=65πcm2．故选：B．【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分9．因式分解：x2﹣3x=x（x﹣3）．【考点】因式分解-提公因式法．【专题】因式分解．【分析】确定公因式是x，然后提取公因式即可．【解答】解：x2﹣3x=x（x﹣3）．故答案为：x（x﹣3）【点评】本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解．10．若反比例函数y=的图象经过点（1，﹣6），则k的值为﹣6．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】直接把点（1，﹣6）代入反比例函数y=，求出k的值即可．【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点（1，﹣6），∴k=1×（﹣6）=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．11．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，则BD=．【考点】旋转的性质．【分析】由旋转的性质得：AB=AD=1，∠BAD=∠CAE=90°，再根据勾股定理即可求出BD．【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点，∴AB=AD=1，∠BAD=∠CAE=90°，∴BD===．故答案为．【点评】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理，掌握旋转的性质是解决问题的关键．12．下表是某校女子排球队队员的年龄分布年龄/岁13 14 15 16频数 1 1 7 3则该校女子排球队队员的平均年龄是15岁．【考点】加权平均数；频数与频率．【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．【解答】解：根据题意得：（13×1+14×1+15×7+16×3）÷12=15（岁），即该校女子排球队队员的平均年龄为15岁．故答案为：15．【点评】此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键．13．如图，在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，则菱形的面积是24．【考点】菱形的性质．【分析】直接利用菱形的性质结合勾股定理得出BD的长，再利用菱形面积求法得出答案．【解答】解：连接BD，交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO=4，∴BO==3，故BD=6，则菱形的面积是：×6×8=24．故答案为：24．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确求出BD的长是解题关键．14．若关于x的方程2x2+x﹣a=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是a＞﹣．【考点】根的判别式；解一元一次不等式．【分析】由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，可以得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程2x2+x﹣a=0有两个不相等的实数根，∴△=12﹣4×2×（﹣a）=1+8a＞0，解得：a＞﹣．故答案为：a＞﹣．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是找出1+8a＞0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（不等式组或方程）是关键．15．如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为11海里（结果取整数）（参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】作PC⊥AB于C，先解Rt△PAC，得出PC=PA=9，再解Rt△PBC，得出PB=≈11．【解答】解：如图，作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中，∵PA=18，∠A=30°，∴PC=PA=×18=9，在Rt△PBC中，∵PC=9，∠B=55°，∴PB=≈≈11，答：此时渔船与灯塔P的距离约为11海里．故答案为11．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，含30°角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义．解一般三角形的问题可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．16．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B（m+2，0）与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为（m，c），则点A的坐标是（﹣2，0）．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得对称轴，根据A、B关于对称轴对称，可得A点坐标．【解答】解：由C（0，c），D（m，c），得函数图象的对称轴是x=，设A点坐标为（x，0），由A、B关于对称轴x=，得=，解得x=﹣2，即A点坐标为（﹣2，0），故答案为：（﹣2，0）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用函数值相等的点关于对称轴对称是解题关键．三、解答题：本大题共4小题，17、18、19各9分20题12分，共39分17．计算：（+1）（﹣1）+（﹣2）0﹣．【考点】实数的运算；零指数幂．【分析】本题涉及平方差公式、零指数幂、三次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：（+1）（﹣1）+（﹣2）0﹣=5﹣1+1﹣3=2．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握平方差公式、零指数幂、三次根式等考点的运算．18．先化简，再求值：（2a+b）2﹣a（4a+3b），其中a=1，b=．【考点】整式的混合运算—化简求值．【专题】计算题；整式．【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=4a2+4ab+b2﹣4a2﹣3ab=ab+b2，当a=1，b=时，原式=+2．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．如图，BD是▱ABCD的对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：AE=CF．【考点】平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，根据平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，求出∠AEB=∠CFD=90°，根据AAS推出△ABE≌△CDF，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE=CF．【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用；证明△ABE≌△CDF是解决问题的关键．20．为了解某小区某月家庭用水量的情况，从该小区随机抽取部分家庭进行调查，以下是根据调查数据绘制的统计图表的一部分分组家庭用水量x/吨家庭数/户A 0≤x≤4.0 4B 4.0＜x≤6.5 13C 6.5＜x≤9.0D 9.0＜x≤11.5E 11.5＜x≤14.0 6F x＞4.0 3根据以上信息，解答下列问题（1）家庭用水量在4.0＜x≤6.5范围内的家庭有13户，在6.5＜x≤9.0范围内的家庭数占被调查家庭数的百分比是30%；（2）本次调查的家庭数为50户，家庭用水量在9.0＜x≤11.5范围内的家庭数占被调查家庭数的百分比是18%；（3）家庭用水量的中位数落在C组；（4）若该小区共有200户家庭，请估计该月用水量不超过9.0吨的家庭数．【考点】扇形统计图；用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数．【分析】（1）观察表格和扇形统计图就可以得出结果；（2）利用C组所占百分比及户数可算出调查家庭的总数，从而算出D组的百分比；（3）从第二问知道调查户数为50，则中位数为第25、26户的平均数，由表格可得知落在C组；（4）计算调查户中用水量不超过9.0吨的百分比，再乘以小区内的家庭数就可以算出．【解答】解：（1）观察表格可得4.0＜x≤6.5的家庭有13户，6.5＜x≤9.0范围内的家庭数占被调查家庭数的百分比为30%；（2）调查的家庭数为：13÷26%=50，6.5＜x≤9.0 的家庭数为：50×30%=15，D组9.0＜x≤11.5 的家庭数为：50﹣4﹣13﹣6﹣3﹣15=9，9.0＜x≤11.5 的百分比是：9÷50×100%=18%；（3）调查的家庭数为50户，则中位数为第25、26户的平均数，从表格观察都落在C组；故答案为：（1）13，30；（2）50，18；（3）C；（4）调查家庭中不超过9.0吨的户数有：4+13+15=32，=128（户），答：该月用水量不超过9.0吨的家庭数为128户．【点评】本题考查了扇形统计图、统计表，解题的关键是要明确题意，找出所求问题需要的条件．四、解答题：本大题共3小题，21、22各9分23题10分，共28分21．A、B两地相距200千米，甲车从A地出发匀速开往B地，乙车同时从B地出发匀速开往A地，两车相遇时距A地80千米．已知乙车每小时比甲车多行驶30千米，求甲、乙两车的速度．【考点】一元一次方程的应用．【专题】应用题．【分析】根据题意，可以设出甲、乙的速度，然后根据题目中的关系，列出相应的方程，本题得以解决．【解答】解：设甲车的速度是x千米/时，乙车的速度为（x+30）千米/时，解得，x=60，则x+30=90，即甲车的速度是60千米/时，乙车的速度是90千米/时．【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，发现题目中的数量关系，列出相应的方程．22．如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E（1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．【分析】（1）利用坐标轴上点的特点求出A、B、C点的坐标，再用待定系数法求得直线BC的解析式；（2）设点D的横坐标为m，则纵坐标为（m，），E点的坐标为（m，），可得两点间的距离为d=，利用二次函数的最值可得m，可得点D的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，∴令y=0，可得x=或x=，∴A（，0），B（，0）；令x=0，则y=，∴C点坐标为（0，），设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有，，解得：，∴直线BC的解析式为：y=x；（2）设点D的横坐标为m，则纵坐标为（m，），∴E点的坐标为（m，m），设DE的长度为d，∵点D是直线BC下方抛物线上一点，则d=m+﹣（m2﹣3m+），整理得，d=﹣m2+m，∵a=﹣1＜0，∴当m==时，d===，最大∴D点的坐标为（，）．【点评】此题主要考查了二次函数的性质及其图象与坐标轴的交点，设出D的坐标，利用二次函数最值得D点坐标是解答此题的关键．23．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠A=2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED=∠ABC （1）求证：DE与⊙O相切；（2）若BF=2，DF=，求⊙O的半径．【考点】切线的判定．【分析】（1）连接OD，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，求得∠A+∠ABC=90°，等量代换得到∠BOD=∠A，推出∠ODE=90°，即可得到结论；（2）连接BD，过D作DH⊥BF于H，由弦且角动量得到∠BDE=∠BCD，推出△ACF与△FDB都是等腰三角形，根据等腰直角三角形的性质得到FH=BH=BF=1，则FH=1，根据勾股定理得到HD==3，然后根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∵∠BOD=2∠BCD，∠A=2∠BCD，∴∠BOD=∠A，∵∠AED=∠ABC，∴∠BOD+∠AED=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；（2）解：连接BD，过D作DH⊥BF于H，∵DE与⊙O相切，∴∠BDE=∠BCD，∵∠AED=∠ABC，∴∠AFC=∠DBF，∵∠AFC=∠DFB，∴△ACF与△FDB都是等腰三角形，∴FH=BH=BF=1，则FH=1，∴HD==3，在Rt△ODH中，OH2+DH2=OD2，即（OD﹣1）2+32=OD2，∴OD=5，∴⊙O的半径是5．【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．五、解答题：本大题共3小题，24题11分，25、26各12分，共35分24．如图1，△ABC中，∠C=90°，线段DE在射线BC上，且DE=AC，线段DE沿射线BC运动，开始时，点D与点B重合，点D到达点C时运动停止，过点D作DF=DB，与射线BA相交于点F，过点E作BC的垂线，与射线BA相交于点G．设BD=x，四边形DEGF与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤m，1＜x≤m，m＜x≤3时，函数的解析式不同）（1）填空：BC的长是3；（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由图象即可解决问题．（2）分三种情形①如图1中，当0≤x≤1时，作DM⊥AB于M，根据S=S△ABC﹣S△BDF﹣S即四边形ECAG可解决．②如图2中，作AN∥DF交BC于N，设BN=AN=x，在RT△ANC中，利用勾股定理求出x，再根据S=S△ABC ﹣S△BDF﹣S即可解决．四边形ECAG③如图3中，根据S=CD•CM，求出CM即可解决问题．【解答】解；（1）由图象可知BC=3．故答案为3．（2）①如图1中，当0≤x≤1时，作DM⊥AB于M，由题意BC=3，AC=2，∠C=90°，∴AB==，∵∠B=∠B，∠DMB=∠C=90°，∴△BMD∽△BCA，∴==，∴DM=，BM=，∵BD=DF，DM⊥BF，∴BM=MF，∴S△BDF=x2，∵EG∥AC，∴=，∴=，∴EG=（x+2），∴S= [2+（x+2）]•（1﹣x），四边形ECAG∴S=S△ABC﹣S△BDF﹣S=3﹣x2﹣[2+（x+2）]•（1﹣x）=﹣x2+x+．四边形ECAG②如图②中，作AN∥DF交BC于N，设BN=AN=x，在RT△ANC中，∵AN2=CN2+AC2，∴x2=22+（3﹣x）2，∴x=，∴当1＜x≤时，S=S△ABC﹣S△BDF=3﹣x2，③如图3中，当＜x≤3时，∵DM∥AN，∴=，∴=，∴CM=（3﹣x），∴S=CD•CM=（3﹣x）2，综上所述S=．【点评】本题考查四边形综合题、等腰三角形的性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，正确画出图形，属于中考压轴题．25．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：BC=2AE．小明经探究发现，过点A作AF⊥BC，垂足为F，得到∠AFB=∠BEA，从而可证△ABF≌△BAE（如图2），使问题得到解决．（1）根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是AAS（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：（2）如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为DC的中点，点F在AC的延长线上，且∠CDF=∠EAC，若CF=2，求AB的长；（3）如图4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=kDB（其中0＜k＜），∠AED=∠BCD，求的值（用含k的式子表示）．【考点】相似形综合题．【分析】（1）作AF⊥BC，判断出△ABF≌△BAE（AAS），得出BF=AE，即可；（2）先求出tan∠DAE=，再由tan∠F=tan∠DAE，求出CG，最后用△DCG∽△ACE求出AC；（3）构造含30°角的直角三角形，设出DG，在Rt△ABH，Rt△ADN，Rt△ABH中分别用a，k表示出AB=2a（k+1），BH=a（k+1），BC=2BH=2a（k+1），CG=a（2k+1），DN=ka，最后用△NDE∽△GDC，求出AE，EC即可．【解答】证明：（1）如图2，作AF⊥BC，∵BE⊥AD，∴∠AFB=∠BEA，在△ABF和△BAE中，，∴△ABF≌△BAE（AAS），∴BF=AE∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=BC，∴BC=2AE，故答案为AAS（2）如图3，连接AD，作CG⊥AF，在Rt△ABC中，AB=AC，点D是BC中点，∴AD=CD，∵点E是DC中点，∴DE=CD=AD，∴tan∠DAE===，∵AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC中点，∴∠ADC=90°，∠ACB=∠DAC=45°，∴∠F+∠CDF=∠ACB=45°，∵∠CDF=∠EAC，∴∠F+∠EAC=45°，∵∠DAE+∠EAC=45°，∴∠F=∠DAE，∴tan∠F=tan∠DAE=，∴，∴CG=×2=1，∵∠ACG=90°，∠ACB=45°，∴∠DCG=45°，∵∠CDF=∠EAC，∴△DCG∽△ACE，∴，∵CD=AC，CE=CD=AC，∴，∴AC=4；∴AB=4；（3）如图4，过点D作DG⊥BC，设DG=a，在Rt△BGD中，∠B=30°，∴BD=2a，BG=a，∵AD=kDB，∴AD=2ka，AB=BD+AD=2a+2ka=2a（k+1），过点A作AH⊥BC，在Rt△ABH中，∠B=30°．∴BH=a（k+1），∵AB=AC，AH⊥BC，∴BC=2BH=2a（k+1），∴CG=BC﹣BG=a（2k+1），过D作DN⊥AC交CA延长线与N，∵∠BAC=120°，∴∠DAN=60°，∴∠ADN=30°，∴AN=ka，DN=ka，∵∠DGC=∠AND=90°，∠AED=∠BCD，∴△NDE∽△GDC．∴，∴，∴NE=3ak（2k+1），∴EC=AC﹣AE=AB﹣AE=2a（k+1）﹣2ak（3k+1）=2a（1﹣3k2），∴=．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，中点的定义，解本题的关键是作出辅助线，也是本题的难点．26．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称（1）填空：点B的坐标是（0，）；（2）过点B的直线y=kx+b（其中k＜0）与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k的式子表示），并判断点P是否在抛物线上，说明理由；（3）在（2）的条件下，若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由抛物线解析式可求得A点坐标，再利用对称可求得B点坐标；（2）可先用k表示出C点坐标，过B作BD⊥l于点D，条件可知P点在x轴上方，设P点纵坐标为y，可表示出PD、PB的长，在Rt△PBD中，利用勾股定理可求得y，则可求出PB的长，此时可得出P点坐标，代入抛物线解析式可判断P点在抛物线上；（3）利用平行线和轴对称的性质可得到∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，则可求得OC的长，代入抛物线解析式可求得P点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+与y轴相交于点A，∴A（0，），∵点B与点O关于点A对称，∴BA=OA=，∴OB=，即B点坐标为（0，），故答案为：（0，）；（2）∵B点坐标为（0，），∴直线解析式为y=kx+，令y=0可得kx+=0，解得x=﹣，∴OC=﹣，∵PB=PC，∴点P只能在x轴上方，如图1，过B作BD⊥l于点D，设PB=PC=m，则BD=OC=﹣，CD=OB=，∴PD=PC﹣CD=m﹣，在Rt△PBD中，由勾股定理可得PB2=PD2+BD2，即m2=（m﹣）2+（﹣）2，解得m=+，∴PB+，∴P点坐标为（﹣，+），当x=﹣时，代入抛物线解析式可得y=+，∴点P在抛物线上；（3）如图2，连接CC′，∵l∥y轴，∴∠OBC=∠PCB，又PB=PC，∴∠PCB=∠PBC，∴∠PBC=∠OBC，又C、C′关于BP对称，且C′在抛物线的对称轴上，即在y轴上，∴∠PBC=∠PBC′，∴∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，在Rt△OBC中，OB=，则BC=1∴OC=，即P点的横坐标为，代入抛物线解析式可得y=（）2+=1，∴P点坐标为（，1）．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有轴对称的性质、平行线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、二次函数的性质等．在（2）中构造直角三角形，利用勾股定理得到关于PC的长的方程是解题的关键，在（3）中求得∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．。