运筹学第四章作业答案1ppt课件
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《运筹学》 第四章习题及 答案
《运筹学》第四章习题及答案一、思考题1．运输问题的数学模型具有什么特征？为什么其约束方程的系数矩阵的秩最多等于m，n,1？2．用左上角法确定运输问题的初始基本可行解的基本步骤是什么？ 3．最小元素法的基本思想是什么？为什么在一般情况下不可能用它直接得到运输问题的最优方案？4．沃格尔法（Vogel 法）的基本思想是什么？它和最小元素法相比给出的运输问题的初始基本可行解哪一个更接近于最优解？为什么？5．试述用闭回路法检验给定的调运方案是否最优的原理，其检验数的经济意义是什么？6．用闭回路法检验给定的调运方案时，如何从任意空格出发去寻找一条闭回路？这闭回路是否是唯一的？7．试述用位势法求检验数的原理、步骤和方法。
8．试给出运输问题的对偶问题（对产销平衡问题）。
9．如何把一个产销不平衡的运输问题（产大于销或销大于产）转化为产销平衡的运输问题。
10．一般线性规划问题应具备什么特征才可以转化为运输问题的数学模型？11．试述在表上作业法中出现退化解的涵义及处理退化解的方法。
二、判断下列说法是否正确1．运输问题模型是一种特殊的线性规划模型，所以运输问题也可以用单纯形方法求解。
2．因为运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而求其解也可能出现下列四种情况：有唯一最优解；有无穷多个最优解；无界解；无可行解。
3．在运输问题中，只要给出一组（,,xijm，n,1）个非零的，且满足nmx,aijix,b,,ijjj,1 i,1，，就可以作为一个基本可行解。
4．表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。
5．按最小元素法或元素差额法给出的初始基本可行解，从每一空格出发都可以找到一闭回路，且此闭回路是唯一的。
6．如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数k ，最优调运方案将不会发生变化。
7．如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别乘上一个常数k ，最优调运方案将不会发生变化。
8．用位势法计算检验数时，先从某一行（或列）开始，给出第一个位势的值，这个先给出的位势值必须是正的。
运筹学习题答案(第四章)
售价（ /kg） 售价（元/kg） 5.5 5.0 4.8
解： x11 = 1125 , x12 = 300 , x13 = 75 , x 21 = 1125 , x 22 = 200 , x 23 = 675 , x 31 = 0 , x 32 = 1000 , x 33 = 0 , d 1− = 225 , d 3− = 50 , d 5− = 375 , d 7+ = 250 满足所有目标
} } }
(2) max 不正确
{d {d {d
−
−d+ −d+
}
−
(4) min
−
} }
d + = 0时正确
+
(6) min
+
−d−
d + = 0时正确
d − = 0时正确
page 2 24 September 2011
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第四章习题解答
4.2 用图解法解下列目标规划问题： 用图解法解下列目标规划问题：
page 13 24 September 2011
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第四章习题解答
表4-15 项 目 维生素A mg） 维生素A（mg） 维生素B mg） 维生素B（mg） 维生素C mg） 维生素C（mg） 胆固醇（单位） 胆固醇（单位） 费用（ 费用（元） 牛奶 牛肉 鸡蛋 500g） 500g） 500g） （500g） （500g） （500g） 1 100 10 70 1.5 1 10 100 50 8 10 10 10 120 4 每日最少 需要量 1 30 10
page 14 24 September 2011
运筹学第四章
x1
22
九.
（1）必要条件： ）必要条件：
极小点的判定条件
f ( x ) = min f ( x) f ( x ) = 0
f ( x ) = 0 （2）充分条件： ）充分条件： f ( x ) = min f ( x) 2 f (x ) > 0
23
十.
1.一般迭代算法 一般迭代算法
19
例
如下非线性规划是否为凸规划：
2 2 min f ( X ) = x1 + x2 4 x1 + 4 g1 ( X ) = x1 x2 + 2 ≥ 0 2 g 2 ( X ) = x1 + x2 1 ≥ 0 x , x ≥ 0 1 2 f ( X )的海赛矩阵
解
2 f x 2 1 H f (X ) = 2 f x x 2 1
T
12
而 2 f 2 f x 2 x x 4 1 2 * 1 H (x ) = = 2 2 f f 0 x x 2 2 1 x2 x = x* 4 = 4 > 0, 4 0 0 4 0 4
= 16 > 0, H ( x * )正定 ,
* * x1 = 2, x 2 = 1为严格局部极小点
λ
为最优步长， 称 λk 为最优步长，且有 f ( x k + λk d k )T d k = 0 。
25
十二. 十二 收敛速度
k 设算法A所得的点列为 设算法 所得的点列为 { x } ，如果
|| x
k +1
x || < λ || x x || ,
* k *
α
λ ,α > 0 .
k 则称 { x } 的收敛阶为 α 。
运筹学习题答案(第四章)
9 page 9 23 May 2012
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第四章习题解答
4.5 某成品酒有三种商标 红、黄、蓝)，都是由 某成品酒有三种商标(红 ， 三种原料酒(等级 Ⅱ 等级Ⅰ 兑制而成。 三种原料酒 等级 Ⅰ ,Ⅱ， Ⅲ )兑制而成。 三种等级的原 兑制而成 料酒的日供应量和成本见表4-13，三种商标的成品酒 料酒的日供应量和成本见表 ， 的兑制要求和售价见表4-14。决策者规定 ： 首先必须 的兑制要求和售价见表 。 决策者规定： 严格按规定比例兑制各商标的酒；其次是获利最大； 严格按规定比例兑制各商标的酒 ； 其次是获利最大 ； 再次是红商标的酒每天至少生产2 000kg。试列出该问 再次是红商标的酒每天至少生产 。 题的数学模型。 题的数学模型。
13 page 13 23 May 2012
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第四章习题解答
已知单位牛奶、牛肉、 4.7 已知单位牛奶、牛肉、鸡蛋中的维生素及胆 固醇含量等有关数据见表4 15。 固醇含量等有关数据见表4 - 15 。如果只考虑这三种食 并且设立了下列三个目标： 物，并且设立了下列三个目标： 第一，满足三种维生素的每日最小需要量； 第一，满足三种维生素的每日最小需要量； 第二，使每日摄人的胆固醇最少； 第二，使每日摄人的胆固醇最少； 第三，使每日购买食品的费用最少。 第三，使每日购买食品的费用最少。 要求建立问题的目标规划模型。 要求建立问题的目标规划模型。
售价（ /kg） 售价（元/kg） 5.5 5.0 4.8
解： x11 = 1125 , x12 = 300 , x13 = 75 , x 21 = 1125 , x 22 = 200 , x 23 = 675 , x 31 = 0 , x 32 = 1000 , x 33 = 0 , d 1− = 225 , d 3− = 50 , d 5− = 375 , d 7+ = 250 满足所有目标
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第四章习题解答
4.5 某成品酒有三种商标 红、黄、蓝)，都是由 某成品酒有三种商标(红 ， 三种原料酒(等级 Ⅱ 等级Ⅰ 兑制而成。 三种原料酒 等级 Ⅰ ,Ⅱ， Ⅲ )兑制而成。 三种等级的原 兑制而成 料酒的日供应量和成本见表4-13，三种商标的成品酒 料酒的日供应量和成本见表 ， 的兑制要求和售价见表4-14。决策者规定 ： 首先必须 的兑制要求和售价见表 。 决策者规定： 严格按规定比例兑制各商标的酒；其次是获利最大； 严格按规定比例兑制各商标的酒 ； 其次是获利最大 ； 再次是红商标的酒每天至少生产2 000kg。试列出该问 再次是红商标的酒每天至少生产 。 题的数学模型。 题的数学模型。
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第四章习题解答
已知单位牛奶、牛肉、 4.7 已知单位牛奶、牛肉、鸡蛋中的维生素及胆 固醇含量等有关数据见表4 15。 固醇含量等有关数据见表4 - 15 。如果只考虑这三种食 并且设立了下列三个目标： 物，并且设立了下列三个目标： 第一，满足三种维生素的每日最小需要量； 第一，满足三种维生素的每日最小需要量； 第二，使每日摄人的胆固醇最少； 第二，使每日摄人的胆固醇最少； 第三，使每日购买食品的费用最少。 第三，使每日购买食品的费用最少。 要求建立问题的目标规划模型。 要求建立问题的目标规划模型。
售价（ /kg） 售价（元/kg） 5.5 5.0 4.8
解： x11 = 1125 , x12 = 300 , x13 = 75 , x 21 = 1125 , x 22 = 200 , x 23 = 675 , x 31 = 0 , x 32 = 1000 , x 33 = 0 , d 1− = 225 , d 3− = 50 , d 5− = 375 , d 7+ = 250 满足所有目标
运筹学-第四章-运输问题和指派问题 PPT课件
A1 A2 A3 销量
B1
B2
B3
B4
1
32
11 4 3
3 10
3 1 3 9 1 2 -1 8
4
7
6 4 12 10 3 5
3
6
5
6
产量
7 4 9 20
检验数<0表示：例如（A2,B4）如果增加A2到B4的1单位产 品，将会降低1单位的运费，所以，该解不是最优解。
13
解的改进
（1）以 xij 为换入变量，找出它在运输表中的闭回路；
B2 4 11 29
4
6
B3 3
22
3 10
5
B4 产量 10 7
8
4
65
9
5
6
20
求平衡运输问题初始解方法—西北角方法
西
B1
B2
B3
B4 产量
北 角
A1 3
34
11
3
10 7
方
A2
12
92
2
8
4
法
A3
7
43
10 6 5
9
初 始
需求量
3
6
5
6
20
解
x11 3, x12 4, x22 2, x23 2, x33 3, x34 6
min cij xij
s.t.
n
xij si
j 1
m
xij d j
i 1
xij 0
目标函数
n表示物资的n个销地 m表示物资的m个产地
供给约束
需求约束
非负约束
18
问题分析
决策变量 目标函数 约束条件：产量约束、销量约束、非负
电力出版社运筹学答案 第四章
第4章训练题实践能力训练1．某工厂生产A 、B 两种产品，产品A 每件利润为$10，而产品B 每件利润为$8，产品A 每件需3小时装配时间，而B 为2小时，每周总装配有效时间为120小时。
工厂允许加班，但加班生产出来的产品的利润得减去1美元，根据最近合同，厂商每天至少得向用户提供两种产品各30件。
通过与厂商经理交谈，确认如下事实：（1）与用户签定的合同必须遵守，且工厂正常工作时间只有120小时； （2）尽可能不加班；（3）求利润最大； 试建立此问题的数学模型。
1．设正常生产A 产品1x 件，B 产品3x 件，加班生产A 产品2x 件，B 产品4x 件。
则},,{m in 5443321ηρ-ηρ-η+η+η=a lex30..1121=ρ-η++x x t s 302243=ρ-η++x x 120233331=ρ-η++x x0234442=ρ-η++x x54078910554321=ρ-η++++x x x x0,,41≥x x 且为整数2．考虑双A 牌啤酒的混合问题。
D 厂用三种级别的白兰地（一，二，三）来生产三种混合酒(DT ,DTA ,QL )，三种级别的白兰地酒供应量受到严格限制，他们的供应量和成本如下： 一级 1,500加仑/日 $6.00 /加仑 二级 2,100加仑/日 $4.50 /加仑 三级 950 加仑/日 $3.00 /加仑双A 牌酒的信誉很高，为了保证质量，其生产配方受到严格控制，其配方如右表所示。
在此题中，把日供应量和混合比例设为硬约束，其余按其优先顺序表示如下：（1）求利润极大；（2）每日至少生产2，000加仑DT 酒。
试建立此问题的数学模型。
2．变量假设如表：},,{m in 1110987654321ηηη+ρ+η+ρ+η+ρ+ρ+ρ+ρ=a lex 1500..11312111=ρ-η+++x x x t s 210022322212=ρ-η+++x x x 95033332313=ρ-η+++x x x1.04413121112=ρ-η+++x x x x5.05513121111=ρ-η+++x x x x6.06623222123=ρ-η+++x x x x2.07723222121=ρ-η+++x x x x5.08833323133=ρ-η+++x x x x1.09933323131=ρ-η+++x x x x13650)(3)(5.4)(6)(5)(5.5)(61010332313322212312111333231232221131211=ρ-η+++-++-++-++++++++x x x x x x x x x x x x x x x x x x20001111131211=ρ-η+++x x x .3,2,1,,0=≥j i x ij3．动力公司生产单一类型的机动自行车（即小型汽油机动摩托车），称为美洲神风，这家公司同时也进口意大利的安全牌机器摩托车，神风牌每辆售价为$650，安全牌$725，需求情况是厂家生产或进口摩托车都能轻易地卖出去。
运筹学教材课件(第四章动态规划)
最优解的存在性
对于多阶段决策问题，如果每个 阶段的决策空间是有限的，则存 在最优解。
最优解的唯一性
对于某些多阶段决策问题，可能 存在多个最优解。在这种情况下， 我们需要进一步分析问题的性质 和约束条件，以确定最优解的个 数和性质。
最优解的稳定性
在某些情况下，最优解可能受到 参数变化的影响。我们需要分析 最优解的稳定性，以确保最优解 在参数变化时仍然保持最优。
VS
详细描述
排序问题可以分为多种类型，如冒泡排序 、快速排序、归并排序等。动态规划可以 通过将问题分解为子问题，逐一求解最优 解，最终得到全局最优解。在排序问题中 ，动态规划可以应用于求解最小化总成本 、最大化总效益等问题。
04
动态规划的求解方法
逆推法
逆推法
从问题的目标状态出发，逆向推算出达到目标状态的 最优决策，直到达到初始状态为止。
案例二：投资组合优化问题
要点一
总结词
要点二
详细描述
投资组合优化问题是动态规划在金融领域的重要应用，通 过合理配置资产，降低投资风险并提高投资收益。
投资组合优化问题需要考虑市场走势、资产特性、风险偏 好等多种因素，通过动态规划的方法，可以确定最优的投 资组合，使得投资者在风险可控的前提下，实现收益最大 化。
详细描述
在背包问题中，给定一组物品，每个物品都有一定的重量和价值，要求在不超过背包容量的限制下， 选择总价值最大的物品组合。通过动态规划的方法，可以将背包问题分解为一系列子问题，逐一求解 最优解。
排序问题
总结词
排序问题是动态规划应用的另一个重要 领域，主要涉及到将一组元素按照一定 的顺序排列，以达到最优的目标。
本最小化和效率最大化。
感谢您的观看
运筹学习题答案(第四章)(课堂PPT)
Ⅰ
1500
6
Ⅱ
2000
4.5
Ⅲ
1000
3
page 9 28 April 2020
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运筹学教程
第四章习题解答
表4-14
商标
兑制要求
售价（元/kg）
红
Ⅲ少于10% Ⅰ多于50%
5.5
黄
Ⅲ少于70% Ⅰ多于20%
5.0
蓝
Ⅲ少于50% Ⅰ多于10%
4.8
解：x11 1125, x12 300, x13 75, x21 1125,
x2
d1
d
2
d3
d1
d
2
d3
150 40 40
x1
,
x2
,
d
i
,
d
i
0, i
1,2,3
解：x1
55, x2
40,
d
2
15
满足P1，不满足P2
page 3 28 April 2020
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第四章习题解答
min
P1
(d
3
d
4
第四章习题解答
解：目标规划模型如下：
min
P1d1
,
P2
(d
2
d
3
d
4
),
P3d
5
,
P4
d
6
x1 x2 x3 1000
x1
d1
d1
300,
x2
d
3
d
3
350,
x1
《运筹学》全套课件(完整版)
负指数分布、几何分布、爱尔朗分布等。
服务时间分布
负指数分布、确定型分布、一般分布等。
顾客到达和服务时间的独立性
假设顾客到达和服务时间是相互独立的。
单服务台排队系统
M/M/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从负指 数分布，单服务台。
M/D/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从确定 型分布，单服务台。
投资组合优化
确定投资组合中各种资产的最 优配置比例，以最大化收益或
最小化风险。
03
整数规划
整数规划问题的数学模型
01
整数规划问题的定 义
整数规划是数学规划的一个分支 ，研究决策变量取整数值的规划 问题。
02
整数规划问题的数 学模型
包括目标函数、约束条件和决策 变量，其中决策变量要求取整数 值。
03
Edmonds-Karp算法
介绍Edmonds-Karp算法的原理、步骤和实现方法，以及其与FordFulkerson算法的比较。
网络最大流问题的应用
列举网络最大流问题在资源分配、任务调度等领域的应用案例。
最小费用流问题
最小费用流问题的基本概 念
介绍最小费用流问题的定义、 分类和应用背景。
Bellman-Ford算法
优点是可以求解较大规模的整数规划问题，缺点是计算量较大，需 要较高的计算精度。
割平面法
割平面法的基本思想
通过添加新的约束条件（割平面）来缩小可行域的范围，从而逼 近最优解。
割平面法的步骤
包括构造割平面、求解子问题和更新割平面三个步骤，通过不断 迭代找到最优解。
割平面法的优缺点
优点是可以处理较复杂的整数规划问题，缺点是构造割平面的难 度较大，需要较高的数学技巧。
服务时间分布
负指数分布、确定型分布、一般分布等。
顾客到达和服务时间的独立性
假设顾客到达和服务时间是相互独立的。
单服务台排队系统
M/M/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从负指 数分布，单服务台。
M/D/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从确定 型分布，单服务台。
投资组合优化
确定投资组合中各种资产的最 优配置比例，以最大化收益或
最小化风险。
03
整数规划
整数规划问题的数学模型
01
整数规划问题的定 义
整数规划是数学规划的一个分支 ，研究决策变量取整数值的规划 问题。
02
整数规划问题的数 学模型
包括目标函数、约束条件和决策 变量，其中决策变量要求取整数 值。
03
Edmonds-Karp算法
介绍Edmonds-Karp算法的原理、步骤和实现方法，以及其与FordFulkerson算法的比较。
网络最大流问题的应用
列举网络最大流问题在资源分配、任务调度等领域的应用案例。
最小费用流问题
最小费用流问题的基本概 念
介绍最小费用流问题的定义、 分类和应用背景。
Bellman-Ford算法
优点是可以求解较大规模的整数规划问题，缺点是计算量较大，需 要较高的计算精度。
割平面法
割平面法的基本思想
通过添加新的约束条件（割平面）来缩小可行域的范围，从而逼 近最优解。
割平面法的步骤
包括构造割平面、求解子问题和更新割平面三个步骤，通过不断 迭代找到最优解。
割平面法的优缺点
优点是可以处理较复杂的整数规划问题，缺点是构造割平面的难 度较大，需要较高的数学技巧。
运筹学第四章作业答案1.
max Z = 2x 1 + x 2 x 1 ≤ 10 + 2λ x 1 + x 2 ≤ 25 - λ s.t. x 2 ≤ 10 + 2λ x , x ≥ 0 1 2
X = (10,10,0,5,0)T
2 CB 0 0 0 XB X3 X4 X5 X1 1 1 0 2 2 0 X1 X4 1 0
3
试分析下列参数线性规划问题，当 0 参数时 最优解的变化。
max Z = (3 + 2λ)x 1 + (5 - λ)x 2 x1 ≤ 4 2x 2 ≤ 12 s.t. 3x 1 + 2x 2 ≤ 18 x , x ≥ 0 1 2
X (2,6,2,0,0)T
3 CB 0 0 0 XB X3 X4 X5 X1 1 0 3 3 0 5 X3 X2 1 0
b1=45
5 b1 / 3 0 3 b1 / 5 0
60 30 b1
（３）由于技术上的突破，每单位产品B原材料的需 要减少为２单位，这时是否需要改变生产计划？为什么？
1 / 3 1 / 3 3 1 j c j CB B Pj 1 3 5 1 0 1 / 5 2 / 5 2
当a的右端常数变 为30时，最优解将 改变。
1
0 b1 22.5
1 0 30 30 B b 4 1 90 30
CB 5 0 5 13
XB X2 S2 X2 X3
0 13
S1 X3
-5 X1 -1 16 0 23 -8 -16 -23/5 6/5 -20
不需要改变生产计划
（４）假如这时，又试制成新产品D，生产一个单位新 产品D需要劳动力４单位，原材料３单位，而每单位的新 产品D的利润为1元，请问这时生产计划是否要进行修改？ 为什么？
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CB 0 0 13 0
XB S1 S2 X3 S2
5 0
X2 S2
-5 X1 -1 12 -5 -1/3 46/3 -2/3 -1 16 0
5 X2 1 4 5 1/3 2/3 2/3 1 0 0
13 X3 3 10 13 1 0 0 3 -2 -2
0 S1 1 0 0 1/3 -10/3 -13/3 1 -4 -5
不需要改变生产计划
（４）假如这时，又试制成新产品D，生产一个单位新 产品D需要劳动力４单位，原材料３单位，而每单位的新 产品D的利润为1元，请问这时生产计划是否要进行修改？ 为什么？
1 / 3 1 / 3 4 c C B P 1 3 5 2 0 j j 1 / 5 2 / 5 3
３
目标函数中x3的系数由１３变为８；
从最优单纯形表中我们可以看到x3为非基变量，则只 要 cj j 最优解不会发生变化， x3仍然为非基变量。
CB
5 0
XB
X2 S2
-5 X1 -1 16 0
5 X2 1 0 0
13 X3 3 -2 -2
0 S1 1 -4 -5
0 S2 0 1 0
b
20 10
当a的右端常数变 为30时，最优解将 改变。
1
0 b 22 . 5 1
30 1 0 30 Bb 41 90 30
CB 5 0 5 13
XB X2 S2 X2 X3
0 13
S1 X3
-5 X1 -1 16 0 23 -8 -16 -23/5 6/5 -20
0 S2 0 1 0 0 1 0 0 1 0
b 20 90 20/3 70/3
20 10
１
1
约束条件(a)的右端常数由２０变为３０；
1 0 B 4 1
20 b 10
20 b1 0 10 4b1 0
20 b 5 发生 变化。
４、X1的系数列向量由 1
1 2
变为 0
5
10 0 c C B P 5 5 0 5 0 j j 4 1 5
２
约束条件(b)的右端常数由９０变为７０；
1 0 B 4 1
1
20 b 10
10 b 0 2
b2 80
b 10 2
当b的右端常数变 为70时，最优解将 改变。
1
20 1 0 20 Bb 41 70 10
5 X2 1 0 0 1 0 0 -1/5 2/5 0
13 X3 3 -2 -2 0 1 0 0 1 1/2
0 S1 1 -4 -5 -5 2 -1 1 0 0
0 S2 0 1 0 3/2 -1/2 -1 3/10 -11/10 -5/4
b 30 -30 -15 15
3 9
最优解为[0,0,9,3,0]
1 B j
不需要修改生产计划
2
已知线性规划问题
m a xZ =5 x 5 x 1 3 x 1+ 2+ 3 x x 3 x 2 0 1+ 2+ 3≤ s .t. 1 2 x 4 x 1 0 x 9 0 1+ 2+ 3≤ x,x,x 0 1 2 3≥ ( a ) ( b )
先用单纯形方法求出最优解，然后分析在下列各条件 下，最优解分别有什么变化？
1
2
0
0
s1
3 3/5
-1
-1 4/5
-3
1 1 0
0
-1 1/5
-1
15 6
最优解为：[0,0,6,15,0]
最优值为30
（２）求出使得最优解不发生变化的劳动力资源 b 1 变 动范围。
B 1 1 3 1 5 1 3 2 5
5 b 3
运筹学第四章作业答案1
作业
1 某公司制造三种产品A,B,C，需要两种资源 （劳动力和原材料），要求确定总利润最大的 最优生产计划，该问题的线性规划模型如下：
m a x Z=3 x x 5 x 1+ 2+ 3 6 x 3 x 5 x 4 5 1+ 2+ 3≤ s .t. 3 x 4 x 5 x 3 0 1+ 2+ 3≤ x,x,x 0 1 2 3≥
CB 5 0 5 13
XB X2 S2 X2 X3
-5 X1 -1 16 0 23 -8 -16
5 X2 1 0 0 1 0 0
13 X3 3 -2 -2 0 1 0
0 S1 1 -4 -5 -5 2 -1
0 S2 0 1 0 3/2 -1/2 -1
b 20 -10 5 5
最优解为[0,5,5,0,0]
其中
x1 , x2 , x3
( 劳 动 力 ) ( 原 材 料 )
是产品A,B,C的产量。
这个线性规划问题的最优单纯形表如下所示：
（１）求出使得最优解不变的产品A的单位利润变动 范围。问 c 2 时最优解是否会发生变化。
1
C1
0
C1
-4+C1/3
1-C1/3
-2+C1/3
-4+C1/3≤0 1-C1/3 ≤0 -2+C1/3 ≤0
b1=45
5 b1 / 3 0 3 b1 / 5 0
30 b 60 1
（３）由于技术上的突破，每单位产品B原材料的需 要减少为２单位，这时是否需要改变生产计划？为什么？
1 / 3 1 / 3 3 1 c C B P 1 3 5 1 0 j j B j 1 / 5 2 / 5 2
C1 ≤12 C1 ≥3 C1 ≤6 3 ≤ C1 ≤6
C1=2最优解发生变化
（１）求出使得最优解不变的产品A的单位利润变动 范围。问 c 2 时最优解是否会发生变化。
1
2
0
2
-10/3
1/3
-4/3
（１）求出使得最优解不变的产品A的单位利润变动 范围。问 c 2 时最优解是否会发生变化。