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高一数学知识点全部归纳一、集合1. 集合的概念：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合。
2. 集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性。
3. 集合的表示方法：列举法、描述法、图示法。
4. 集合间的关系：子集、真子集、相等。
5. 集合的运算：交集、并集、补集。
二、函数1. 函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B的一个函数。
2. 函数的三要素：定义域、值域、对应法则。
3. 函数的表示方法：解析法、列表法、图象法。
4. 函数的单调性：设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x₁，x₂，当 x₁ x₂时，都有 f(x₁) f(x₂)（或 f(x₁) > f(x₂)），那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数（或减函数）。
5. 函数的奇偶性：设函数 f(x)的定义域为 D，如果对于定义域D 内任意一个 x，都有x∈D，且 f(x) = f(x)（或 f(x) = f(x)），那么函数 f(x)就叫做奇函数（或偶函数）。
三、指数函数和对数函数1. 指数函数：一般地，函数 y = a^x（a > 0 且a ≠ 1）叫做指数函数。
指数函数的图象和性质：当 a > 1 时，函数在 R 上单调递增；当 0 a 1 时，函数在 R 上单调递减。
2. 对数函数：一般地，如果 a^x = N（a > 0 且a ≠ 1），那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x = logₐN。
函数 y = logₐx （a > 0 且a ≠ 1）叫做对数函数。
对数函数的图象和性质：当 a > 1 时，函数在(0, +∞) 上单调递增；当 0 a 1 时，函数在(0, +∞) 上单调递减。
高一数学知识点的讲解大全随着中学生的进一步学习，高一数学成为了学生们的主要科目之一。
高一数学知识是中学数学学科的基础，为后续学习和应用各个数学领域打下了坚实的基础。
在本文中，将对高一数学中重要的知识点进行讲解，帮助学生们更好地理解数学知识。
一、函数与方程高一数学中，最常见的数学概念之一就是函数与方程。
函数是一种关系，它将一个集合的每个元素映射到另一个集合中唯一的元素。
函数可以用来描述自然界中的各种变化和规律。
常见的函数类型有线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
方程是两个表达式之间用等号连接的数学语句。
方程是数学建模和问题解决中的重要工具，它可以帮助我们找到未知数的值。
常见的方程类型有一元一次方程、一元二次方程、一元高次方程和二元方程等。
解方程需要掌握多种转化和求解方法。
二、三角函数三角函数作为数学中的重要分支，被广泛用于物理、工程、建筑和计算机图形等领域。
在高一数学中，常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数可以帮助我们描述和计算各种三角形的边长和角度。
在学习三角函数时，需要熟悉三角函数的定义和性质，掌握如何在单位圆上确定角度和弧度的关系，以及如何应用三角函数解决实际问题。
此外，还需要了解三角函数的图像和周期性特点，以及求解三角方程的方法。
三、数列与数列的通项公式数列是按照一定规律排列的数的集合。
在高一数学中，需要学习如何根据给定的规律确定数列的通项公式，并利用通项公式计算数列的各项值。
常见的数列有等差数列和等比数列。
等差数列是指相邻两项之差恒定的数列，其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
而等比数列是指相邻两项之比恒定的数列，其通项公式为an = a1 *r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
四、平面几何平面几何是数学的一个分支，它研究平面上的点、线、面与其之间的关系。
在高一数学中，我们将学习平面几何中的基本概念和定理，如点、直线、射线、角度、四边形等。
高一数学的知识点归纳总结ppt一、导言高一数学是学生在学习数学的过程中的重要阶段，对于数学基础的打牢、学习方法的培养都有着至关重要的作用。
本篇文章旨在总结高一数学的知识点，并以PPT的形式呈现，帮助学生更好地梳理和掌握这些知识。
二、数列与数列的运算1. 数列的概念与性质- 数列的定义与表示方法- 等差数列与等比数列的性质- 递推公式与通项公式2. 数列的运算- 数列的加减运算- 数列的乘法运算- 数列的数乘运算三、函数与方程1. 函数的概念与性质- 函数的定义与表示方法- 函数的奇偶性与周期性 - 函数的单调性与极值2. 一次函数- 一次函数的表示与性质 - 一次函数的图像与性质3. 二次函数- 二次函数的表示与性质 - 二次函数的图像与性质 - 二次函数的最值与零点4. 方程与不等式- 方程的基本概念与解法 - 一元二次方程的解法- 不等式的基本概念与解法四、三角函数1. 角度与弧度的转换- 角度的定义与性质- 弧度的定义与性质- 角度与弧度之间的换算公式2. 三角函数的定义- 正弦函数的定义与性质- 余弦函数的定义与性质- 正切函数的定义与性质3. 三角函数的图像与性质- 正弦函数的图像与性质- 余弦函数的图像与性质- 正切函数的图像与性质5. 三角函数的基本关系式- 三角函数间的基本关系式- 三角函数的周期性与对称性五、空间几何与向量1. 点、线、面- 点、线、面的基本概念与性质 - 各种特殊线段的性质2. 空间几何的基本定理- 直线与平面的关系定理- 平面与平面的关系定理3. 向量的定义与运算- 向量的基本概念与表示方法 - 向量的加法与减法- 向量的数量积与叉积4. 空间向量的应用- 向量在几何中的运用- 平面向量的应用- 空间向量的应用六、概率与统计1. 随机事件与概率- 随机事件的基本概念与性质 - 概率的定义与性质- 概率的计算方法2. 统计与统计量- 数据的收集与整理- 统计量的计算与分析- 统计图的绘制与分析七、解析几何1. 坐标系与平面几何- 平面直角坐标系的概念与性质- 点、直线、圆的坐标表示与性质- 面积与距离的计算公式2. 二次曲线与方程- 抛物线的定义与性质- 椭圆的定义与性质- 双曲线的定义与性质3. 平面的位置关系与变换- 平面的位置关系与判定- 平移、旋转、对称的性质与变换八、总结与展望通过对高一数学知识点的归纳与总结，我们可以更好地掌握和理解这些知识，为后续学习打下坚实的基础。
高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念—、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确走性如：世界上最高的山⑵元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合｛H,A,P,Y｝⑶元素的无序性：如：｛a,b,c｝和｛a,c,b｝是表示同f 集合3•集合的表示如：｛我校的篮球队员｝, ｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝(1)用拉丁字母表示集合：A=｛我校的篮球队员｝,B=｛1,2,3A5｝(2)集合的表示方法：列举法与描述法。
♦注意：常用数集及其记法：非负整数集〔即自然数集〕记作：N正整数集N*或N+ 整数集Z有理数集Q 实数集R1)列举法：｛a,b,c .... ｝2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
｛xeR| x-3>2｝ ,｛x| x-3>2｝3 )语言描述法：例：｛不是直角三角形的三角形｝4) Venn 图：4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合⑶空集不含任何元素的集合例：｛x|x2= - 5 ｝二、集合间的差不多关系1. *包含"关系一子集注意：A匸3有两种可能(1) A是B的冷分,;(2) A与B 是同一集合。
反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A匕B或B^A2 . •相等"关系：A=B (5>5,且5s5,那么5=5)实例：设A=｛x|x2-l=0｝ B=｛-1,1｝'元素相同那么两集合相等”即：①任］可一个集合是它本身的子集。
AcA②真子集:假如A©B,且A H B那就讲集合A是集合B的真子集，记U D作AH B（或BHA）③假如AcB, BcC 吆AcC④假如AyB同时BcA那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为。
规定：空集是任1可集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
♦有n个元素的集合，含有2n个子集,2n-l个真子集性APA=A AUA=A(CuA) PI (GB)A A<P=O>AU<P=A=C u (AU B)AAB=BriA AUB=BUA(CuA) U (CuB)AABcA AUBpA=CJAfl B)质AQBcB AUBpB AU (C U A)=UAPI (GA)=(P .例题：1•以下四组对象，能构成隼合的是〔〕A某班所有高个子的学生B闻名的艺术家C 一切专门大的书D倒数等于它目身的实数2•隼合{a , b, c }的真子隼共有个3•假设隼合M={y|y=x2-2x+l/xe R},N={x|x>0}，那么M与N的关系是・4•设隼合A二卜卩<x<2} , B二{»•卜<“} ■假设AcB r那么〃的取值范畴是5.50名学生做的物理、化学两种实验,物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人.两种实验都做错得有4人,那么这两种实验都做对的有_ A.6.用描述法表示图中阴影部分的点〔含边界上的点〕组成的隼合M= .7•隼合A={x| x2+2x-8=0L B={x| x2-5x+6=0}f C={x| x2-mx+m2-19=0LBAC^tP f AAC=<P「求m 的值二、函数的有关概念1 .函数的概念：设A、B是非空的数集，假如按照某个确走的对应关系f ,使关于集合A中的任意一个数x ,在集合B中都有唯独确走的数f(x)和它对应,那么就称f: A-B为从集合A到集合B的一个函数•记作：y=f(x), xeA •其中，x叫做自变呈,x的取值范畴A叫做函数的走义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| xeA }叫做函数的值域•:1.走义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的走义域。
《高一数学课本知识点大全》高中数学是一门重要的学科，它不仅能够培养我们的逻辑思维能力，还能为我们的未来学习和生活打下坚实的基础。
高一是高中数学学习的关键时期，掌握好高一数学课本的知识点至关重要。
本文将对高一数学课本的知识点进行全面梳理。
一、集合与常用逻辑用语1. 集合的概念集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。
集合中的对象称为元素。
集合通常用大写字母表示，元素用小写字母表示。
2. 集合的表示方法（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，用花括号括起来。
（2）描述法：用集合中元素的共同特征来表示集合。
3. 集合的关系（1）子集：如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，则称 A是 B 的子集，记作 A⊆B。
（2）真子集：如果 A 是 B 的子集，且存在元素x∈B 但 x∉A，则称 A 是 B 的真子集，记作 A⊂B。
（3）相等：如果 A⊆B 且 B⊆A，则称 A 与 B 相等，记作A=B。
4. 集合的运算（1）交集：由既属于集合 A 又属于集合 B 的所有元素组成的集合，记作A∩B。
（2）并集：由属于集合 A 或属于集合 B 的所有元素组成的集合，记作A∪B。
（3）补集：在全集 U 中，由不属于集合 A 的所有元素组成的集合，记作∁UA。
5. 常用逻辑用语（1）命题：可以判断真假的陈述句叫做命题。
（2）充分条件与必要条件：若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。
（3）全称量词与存在量词：全称量词表示“所有”，存在量词表示“存在”。
二、函数的概念与性质1. 函数的概念设 A、B 是非空的数集，如果对于集合 A 中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y=f(x)，x∈A。
2. 函数的三要素（1）定义域：函数中自变量 x 的取值范围。
（2）值域：函数值 y 的取值范围。
高一数学知识点归纳总结ppt 一、数与式1. 自然数与整数- 自然数的定义及性质- 整数的定义及性质2. 有理数与无理数- 有理数的定义及性质- 无理数的定义及性质3. 实数与复数- 实数的定义及性质- 复数的定义及性质4. 数的分类与运算- 实数的分类- 数的加法、减法、乘法、除法5. 代数式与多项式- 代数式的基本概念- 多项式的定义及性质二、函数与方程1. 函数的概念与性质- 函数的定义及应用- 函数的性质与分类2. 一次函数与二次函数- 一次函数的特征与图像- 二次函数的特征与图像3. 指数函数与对数函数- 指数函数的定义与性质4. 幂函数与根式函数- 幂函数的定义与性质- 根式函数的定义与性质5. 方程的解与解法- 一元一次方程的解与解法 - 一元二次方程的解与解法三、几何与三角1. 几何基础知识与证明方法 - 几何基础概念回顾- 几何证明方法讲解2. 直线、射影与平行- 直线与射影的基本概念3. 三角形与四边形- 三角形的分类与性质- 四边形的分类与性质4. 圆和圆心角- 圆的基本概念与性质- 圆心角与弧的关系5. 三角函数与三角恒等式- 三角函数的定义与性质- 常用三角恒等式的证明与应用四、概率与统计1. 统计基础概念与分析- 数据的收集与整理方法- 统计分析的基本方法2. 概率的定义与计算- 概率的概念与性质- 概率的计算方法3. 随机变量与概率分布- 随机变量的定义与性质- 概率分布的类型与应用4. 统计图与统计量- 统计图的绘制与应用- 均值、中位数、众数等统计量的计算5. 抽样与推断- 抽样方法与样本误差- 统计推断的基本原理与应用以上是高一数学知识点的归纳总结，希望这个PPT能够帮助你对数学知识的整体把握和理解。
祝你学业顺利！。
高中高一数学各章知识点总结高中高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2．集合的表示方法：列举法与描述法。
注意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 aA举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x R| x-3>2}或{x| x-3>2}4、集合的分类：1．有限集含有有限个元素的集合2．无限集含有无限个元素的集合3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B 是同一集合。
高一数学知识点讲解大全集导言：数学作为一门理科学科，对于高中生来说是必修科目之一。
高一是数学知识转变与拓展的重要阶段，学生在这个阶段需要全面掌握并深入理解数学的基础知识。
本篇文章将为大家详细讲解高一数学的各个知识点，帮助大家更好地掌握并应用数学知识。
1.函数与方程1.1 函数的概念函数是数学中重要的概念，用来描述两个集合之间的对应关系。
在高一数学中，我们主要学习一次函数、二次函数及其图像、性质等。
通过函数的学习，我们可以更好地理解各种变化规律，并应用到实际问题中。
1.2 方程的解与方程组方程表示两个式子相等，在高一数学中，我们需要学习解一元一次方程、一次方程组以及二次方程等。
解方程是数学中常见的求解问题的方法，也是解决实际问题的基础。
2.三角函数2.1 三角函数的定义三角函数是研究角与边的关系的重要工具，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
通过学习三角函数，我们可以更好地理解角的概念，并应用到几何、物理等领域中。
2.2 三角函数的性质与图像三角函数具有一些特定的性质，如周期性、奇偶性等。
通过学习三角函数的性质和图像，我们可以更好地理解函数的变化规律，解决与三角函数相关的问题。
3.平面向量3.1 向量的概念与性质向量是数学中用来表示有大小和方向的量的工具，通过学习向量的概念和性质，我们可以更好地理解向量的运算规则，并应用到几何等领域中。
3.2 平面向量的加法与减法平面向量的加法和减法是指将两个向量的相应分量相加或相减，通过学习平面向量的加法和减法，我们可以更好地理解向量之间的关系，并应用到几何等相关问题的求解中。
4.数列与数学归纳法4.1 数列的概念与性质数列是由一系列数字按照一定规律排列而成的，通过学习数列的概念与性质，我们可以更好地理解数列的变化规律，并应用到实际问题中。
4.2 等差数列与等比数列等差数列和等比数列是数学中常见的数列类型，通过学习等差数列和等比数列的性质和变化规律，我们可以更好地应用到实际问题中，并解决相关的数学计算问题。
高一数学知识点讲解42讲数学是一门非常重要的学科，它在我们的日常生活中起着重要的作用。
作为高中阶段学习的一部分，高一数学知识点涉及的内容十分广泛。
在本文中，我将为大家解析42个高一数学知识点，帮助大家更好地理解和掌握这些知识。
一、代数与函数1. 一次函数：一次函数是指形如y = kx + b的函数，其中k和b 为常数。
它的图像是一条直线，k代表斜率，b代表纵轴截距。
2. 二次函数：二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是常数，a不等于0。
它的图像是一个抛物线，开口方向取决于a的正负。
3. 指数函数：指数函数是指形如y = a^x的函数，其中a是一个大于0且不等于1的常数。
它的图像是一条递增或递减的曲线，曲线在x轴上从左向右逼近但永远不会触及。
4. 对数函数：对数函数是指形如y = log_a(x)的函数，其中a是一个大于0且不等于1的常数。
它的图像是一条递减的曲线，曲线在y轴上的值始终为0。
5. 幂函数：幂函数是指形如y = x^a的函数，其中a是一个实数。
它的图像形状取决于a的正负和大小。
二、几何与三角6. 平面几何基本概念：点、线、面、角等几何基本概念是研究平面几何的基础。
7. 直线与线段：直线是由一系列点组成的，它没有长度和宽度；线段是直线上的两个端点及它们之间的部分，具有长度。
8. 角度：角度是由两条射线共享一个公共端点构成的图形。
9. 三角函数：三角函数是指正弦、余弦、正切等与三角比有关的函数。
10. 相似三角形：相似三角形是指有相同的形状但可能不同的大小的三角形。
11. 三角恒等式：三角恒等式是指对于某些特定角度，两个三角函数之间满足的恒等关系。
12. 勾股定理：勾股定理是指直角三角形中，直角边的平方之和等于斜边的平方。
13. 中心与圆：圆是指平面上一组与固定点的距离相等的点的集合，其中的固定点被称为圆心。
三、概率与统计14. 概率基础概念：概率指某件事情发生的可能性。
高一数学知识点的归纳总结ppt1. 引言高一数学是学生们进入高中阶段的第一门数学课程，它为后续的数学学习奠定了基础。
本次PPT的目的是对高一数学知识点进行归纳和总结，帮助学生们更好地掌握这一阶段的数学内容。
2. 代数与函数2.1 一元一次方程与一元一次不等式- 方程的定义和基本性质- 方程的解法：等式的性质和逻辑推理- 不等式的定义和基本性质- 不等式的解法：图像法和待定系数法2.2 二次函数与一元二次方程- 二次函数的定义和性质- 一元二次方程的定义和基本形式- 一元二次方程的求解方法：配方法、因式分解、公式法等- 二次函数与一元二次方程的应用：图像、最值、交点等2.3 等差数列与等比数列- 等差数列的定义和通项公式- 等差数列的性质和常用公式- 等比数列的定义和通项公式- 等比数列的性质和常用公式- 等差数列与等比数列的应用：求和、图像、项数等3. 几何与三角函数3.1 平面几何- 点、线、面的基本概念- 直线与平面的交点及其性质- 三角形的性质和分类- 三角形的周长、面积和斜率的计算3.2 向量- 向量的定义和基本运算- 向量的线性相关性和线性无关性- 向量的模、方向角和坐标表示- 向量在平面几何中的应用：平移、旋转、垂直、共线等3.3 三角函数- 弧度制和角度制- 常用角的三角函数值的计算- 三角函数的图像和性质- 三角恒等式和解三角形的应用4. 概率与统计4.1 随机事件与概率- 随机事件的概念和基本性质- 概率的定义和性质- 事件的互斥和相容- 概率的计算方法：古典概型、频率法、几何概型等4.2 统计与统计图- 数据的收集和整理- 统计指标的计算：平均数、中位数、众数等- 统计图的绘制和分析5. 总结与展望通过本次PPT的归纳总结，我们回顾了高一数学的重要知识点，并对学习方法和策略进行了梳理。
希望同学们可以通过这份资料更好地掌握相关内容，为数学学习打下坚实的基础。
谢谢收听！注意：本文所陈述的高一数学知识点仅供参考，并不穷尽所有内容。
高中数学知识点汇总（高一）高中数学知识点汇总（高一） (1)一、集合和命题 (2)二、不等式 (4)三、函数的基本性质 (6)四、幂函数、指数函数和对数函数 (12)（一）幂函数 (12)（二）指数& 指数函数 (13)（三）反函数的概念及其性质 (14)（四）对数& 对数函数 (15)五、三角比 (17)六、三角函数 (24)一、集合和命题一、集合：（1）集合的元素的性质：确定性、互异性和无序性；（2）元素与集合的关系：① a A a 属于集合 A ；② a A a 不属于集合 A ．（3）常用的数集：N 自然数集；N *正整数集；Z 整数集；Q 有理数集；R 实数集；空集；C 复数集；Z 正整数集Q；Z 负整数集Q 正有理数集R；负有理数集R正实数集．负实数集（4）集合的表示方法：有限集集合无限集列举法；描述法例如：①列举法：{ z, h, a, n, g }（5）集合之间的关系：；②描述法：{ x x 1} ．①A B 集合A 是集合B 的子集；特别地， A A ；A BA C ．B CA B② A B 或A B集合 A 与集合 B 相等；③ A B 集合A 是集合B 的真子集．例：N Z Q R C ；N Z Q R C ．④空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（6）集合的运算：①交集：A B { x x A且x B} 集合A 与集合B 的交集；②并集：A B { x x A或x B} 集合A 与集合B 的并集；③补集：设U 为全集，集合 A 是U 的子集，则由U 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做集合 A 在全集U 中的补集，记作CUA ．④得摩根定律：CU( A I B )C U A U C U B ；C U ( A U B) C U A I C U B（7）集合的子集个数：若集合 A 有 n(n N *) 个元素，那么该集合有 2n个子集； 2n1个真子集； 2n1个非空子集；2n2 个非空真子集．二、四种命题的形式：（1）命题：能判断真假的语句．（2）四种命题：如果用 和 分别表示原命题的条件和结论，用 和 分别表示 和 的否定，那么四种命题形式就是：逆否命题关系同真同假关系 原命题逆否命题逆命题否命题（3）充分条件，必要条件，充要条件：①若，那么 叫做 的充分条件， 叫做 的必要条件；②若且，即，那么 既是 的充分条件，又是的必要条件，也就是说， 是 的充分必要条件，简称充要条件．③欲证明条件是结论 的充分必要条件，可分两步来证：第一步：证明充分性：条件 结论 ； 第二步：证明必要性：结论条件 ．（4）子集与推出关系：设 A 、 B 是非空集合， A{ x x 具有性质} ， B{ y y 具有性质 } ，则 A B 与等价．结论：小范围 大范围；例如：小明是上海人小明是中国人．小范围是大范围的充分非必要条件； 大范围是小范围的必要非充分条件．命题原命题逆命题否命题逆否命题表示形式 若 ，则若 ，则 ； 若 ，则 ； 若 ，则 ． 逆命题关系 原命题 逆命题逆否命题 否命题 否命题关系 原命题 否命题 逆否命题 逆命题1 2 0 0 1 2 二、不等式一、不等式的性质：1、a b,b ca c ； 2、ab ac b c ；不等式的性质3、a b,c 0ac bc ；4、a b, c d a c b d ；5、a b 0, c d 0ac bd ；6、 a b 01 1 ；ab7、a b 0二、一元一次不等式：anb n(n N *) ；8、a b 0 nanb (n N *,n 1) ．一元一次不等式 ax b a 0a 0解集xb xb aaa 0b 0b 0R三、一元二次不等式：ax 2bx c0(a 0)△ b24ac 0△ b24 a c 0△ b 24ac 0的根的判别式y ax2bx c(a 0)ax 2bx c 0(a 0){ x 1 , x 2} ，x 1 x 2{ x 0 }ax 2bx c 0(a 0) ( , x ) U (x , ) ( , x ) (x , )Rax 2bx c 0(a 0) ( x 1 , x 2 )ax 2bx c 0(a 0)( , x ] U [ x , )RR2axbx c 0(a 0)[ x 1 , x 2 ]{ x 0 }四、含有绝对值不等式的性质：（1） a ba b a b ；（2） a 1 a 2 a n a 1 a 2 a n ．五、分式不等式：（1） ax b 0 cx d(ax b)(cx d) 0 ；（ 2） ax b 0cx d(ax b )(cx d ) 0 ．六、含绝对值的不等式：x aa 0a 0x aa 0 a 0 x aa 0 a 0 a 0 x aa 0 a 0 a 0a x ax a 或xaRa x ax 0x a 或xaR七、指数不等式：（1） af ( x )a( x)(a 1) f ( x)( x) ； （ 2） af ( x)a( x )(0a 1) f ( x)( x) ．八、对数不等式：(x) 0 （1） log a f (x)log a ( x)(a 1)f (x)；( x)（2） log af (x) log a ( x)(0 a 1)f (x) f (x)0 ． ( x)九、不等式的证明：（1）常用的基本不等式：① a2b 22ab( a 、b R ，当且仅当 a b 时取“ ”号) ；②a b 2ab (a 、 b Ra2b2，当且仅当 aa b b 时取“ ”号) ；2 补充公式： 2ab．21 1 a b③ a3b3c3 3abc (a 、b 、c R ，当且仅当 a b c 时取“ ”号 ) ；④ a b c3 3abc (a 、b 、c R ，当且仅当 a b c 时取“ ”号 ) ； ⑤a 1 a 2n a nna 1 a 2a n (n 为大于 1 的自然数， a 1 , a 2 , , a nR ，当且仅当a 1a 2a n 时取“ ”号) ；（2）证明不等式的常用方法：①比较法； ②分析法；③综合法．0 三、函数的基本性质一、函数的概念：（1）若自变量对应法则x 因变量y ，则y 就是x 的函数，记作y f (x), x D ；x 的取值范围 D 函数的定义域；y 的取值范围函数的值域．求定义域一般需要注意：①y1，f ( x)f ( x) 0 ；②y n f (x) ， f ( x) 0 ；③y ( f ( x)) ， f ( x) 0 ；④y logaf ( x) ，f ( x) 0 ；⑤y log f ( x ) N ， f ( x) 0 且f ( x) 1 ．（2）判断是否函数图像的方法：任取平行于y 轴的直线，与图像最多只有一个公共点；（3）判断两个函数是否同一个函数的方法：①定义域是否相同；②对应法则是否相同．二、函数的基本性质：（1）奇偶性：函数y f (x), x D“定义域D 关于0 对称”成立①“定义域 D 关于0 对称”；前提条件 f ( x) f ( x) f ( x) f ( x)②“ f(x) f ( x) ”；③“f (x) f ( x) ”成立成立①不成立或者①成立②、③都不成立奇偶性偶函数奇函数奇偶函数图像性质关于y 轴对称关于O(0,0) 对称非奇非偶函数注意：定义域包括0 的奇函数必过原点（2）单调性和最值：O(0,0) ．前提条件y f ( x), x D ，I D ，任取x1, x2区间I单调增函数x1 x2或x1 x2f (x1 ) f (x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )单调减函数x1 x2或x1 x2f (x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f (x2 )最小值yminf ( x0 ) 任取x D ,存在x0 D , f (x) f (x0 )最大值ymax f ( x) 任取x D ,存在x0 D , f (x) f ( x) f注意：①复合函数的单调性：函数外函数 yf (x)内函数复合函数 y g (x)yf [g (x)]②如果函数 yf ( x) 在某个区间 I 上是增（减）函数，那么函数 y f (x) 在区间 I 上是单调函数，区间 I 叫做函数 yf ( x) 的单调区间 ．（3）零点：若 yf ( x), x D ， c D 且 f ( c) 0 ，则 x c 叫做函数 y f (x) 的零点．y零点定理 ：f ( x ), x [a,b]存在x 0(a,b)；特别地， 当yf ( x), x [ a, b] 是单调函数 ，f (a) f (b) 0 f (x 0 ) 0且 f (a ) f (b) 0 ，则该函数在区间 [a ,b] 上有且仅有 一个零点， 即存在 唯一 x 0 (a,b) ，使得 f (x 0 ) 0 ．（4）平移的规律：“左加右减，下加上减” ．函数 向左平移 k 向右平移 k向上平移 h向下平移 h备注yf ( x) y f (x k ) y f ( x k)y hf ( x)y hf ( x)k, h 0（5）对称性：①轴对称的两个函数：函数yf ( x)对称轴x 轴 y 轴y xyxx m y n函数yf ( x)yf ( x)xf ( y)xf ( y)yf (2 m x)2n yf (x)②中心对称的两个函数：函数 对称中心函数yf ( x) ( m, n)2n yf ( 2m x)③轴对称的函数：函数y f (x)对称轴y 轴x m条件f (x)f ( x)f ( x)f (2 m x)单调性ZZ Z]]Z ]] Z]]Z注意： f (a x)f (b x) f (x) 关于 xa b 对称；2f (a x)f (a x)f (x) 关于 x a 对称；f (x)f ( x)f (x) 关于 x 0 对称，即 f (x) 是偶函数．④中心对称的函数：函数对称中心yf (x)(m, n)条件f ( x) 2n f (2 m x)注意： f (a x) f (b x) cf (x) 关于点 ( a b , c) 对称；2 2 f (a x) f (b x) 0a bf (x) 关于点 ( ,0) 2 对称；f (a x)f (a x) 2bf ( x) 关于点 (a, b) 对称；f (x) f ( x) 0f (x) 关于点 (0,0) 对称，即 f (x) 是奇函数．（6）凹凸性：设函数 yf ( x), x D ，如果对任意 x , xD ，且 xx ，都有 f x 1 x 2 f ( x 1 ) f ( x 2 )，则称121222函数 yf ( x) 在 D 上是凹函数；例如： y x 2 ．进一步，如果对任意x , x ,L xD ，都有 fx 1x 2 L x n f ( x 1 ) f ( x 2 ) L f (x n ) ，则称函1 2 nnn数 yf ( x) 在 D 上是凹函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式；设函数 yf ( x), x D ，如果对任意 x , xD ，且 xx ，都有 f x 1 x 2 f ( x 1 ) f ( x 2 )，则称121222函数 yf ( x) 在 D 上是凸函数．例如： y lg x ．进一步，如果对任意x , x ,L xD ，都有 fx 1x 2 L x n f ( x 1 ) f ( x 2 ) L f (x n ) ，则称函1 2 nnn数 y f ( x) 在 D 上是凸函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式．（7）翻折：函数翻折后翻折过程y f ( x ) 将y f ( x) 在y 轴右边的图像不变，并将其翻折到y 轴左边，并覆盖．y f ( x) 将y f ( x) 在x 轴上边的图像不变，并将其翻折到x 轴下边，并覆盖．y f (x) y f ( x ) 第一步：将y f ( x) 在y 轴右边的图像不变，并将其翻折到左边，并覆盖；第二步：将x 轴上边的图像不变，并将其翻折到x 轴下边，并覆盖．y f (x) （8）周期性：将y f ( x) 在x 轴上边的图像保持不变，并将x 轴下边的图像翻折到x 轴上边，不覆盖．若y f ( x), x R ，T 0，任取x R ，恒有 f ( x T ) f ( x) ，则称T 为这个函数的周期．注意：若T 是y f ( x) 的周期，那么kT (k Z ,k 0) 也是这个函数的周期；周期函数的周期有无穷多个，但不一定有最小正周期．① f ( x a) f ( x b) ，a b f ( x) 是周期函数，且其中一个周期T a b ；（阴影部分下略）② f (x) f ( x p) ，p 0 T 2 p ；③ f (x a) f ( x b )，a b T 2 a b ；④ f (x) 1 或f (x p )f ( x)1，p 0f ( x p )T 2 p ；⑤ f (x) 1 f ( x p)或f ( x) f (x p) 1，p 0T 2 p ；11 ⑥ f (x) f ( x p )f ( x p )或f ( x)f (x p) 1f (x p) 1，p 0T 4 p ；1 f ( x p) f (x p) 1⑦ f (x) 关于直线x a ，x b ，a b 都对称T 2 a b ；⑧ f (x) 关于两点( a, c) ，(b, c) ，a b 都成中心对称T 2 a b ；⑨ f (x) 关于点(a, c) ，a 0 成中心对称，且关于直线x b ，a b 对称T 4 a b ；⑩若 f ( x) f (x a ) f ( x 2a) L f (x na ) m（m 为常数，n N *），则f ( x) 是以(n 1)a 为周期的周期函数；若 f ( x) f (x a) f ( x 2a )L f ( x na ) m （m 为常数，n 为正偶数），则 f ( x) 是以2( n 1)a 为周期的周期函数．三、V 函数：定义形如y a x m h(a 0) 的函数，称作V 函数．分类y a x m h, a 0 y a x m h, a 0 图像定义域R值域[ h, ) ( , h]对称轴x m开口向上向下顶点( m, h)在( , m] 上单调递减；在( , m] 上单调递增；单调性在[ m, ) 上单调递增．在[ m, ) 上单调递减．注意当m 0时，该函数为偶函数四、分式函数： 定义 形如 y xa (a x0) 的函数，称作 分式函数 ．分类y x a ,ax0 （耐克函数 ）y x a, a 0x图像定义域(,0) U (0, )值域(, 2 a ] U [2 a,)R渐近线x 0， y x单调性在 ( , a ] ， [ a , ) 上单调递增；在( ,0) ， (0,) 上单调递增；在[a ,0) ， (0, a ] 上单调递减．五、曼哈顿距离：在平面上， M ( x 1, y 1 ) ， N ( x 2 , y 2 ) ，则称 dx 1 x 2y 1 y 2 为 MN 的曼哈顿距离．六、某类带有绝对值的函数：1、对于函数 yx m ，在 x m 时取最小值；2、对于函数 y x mx n ， m n ，在 x [ m , n] 时取最小值；3、对于函数 y x mx n x p ， m n p ，在 x n 时取最小值；4、对于函数 y x mx n x px q ， m n p q ，在 x [ n, p ] 时取最小值；x 2n ， x 1x 2 L x 2n ，在 x [ x n , x n 1 ] 时取最小值；x 2n 1 ，x 1 x 2 Lx 2 n 1 ，在 x x n 时取最小值．思考：对于函数 y x 1 2 x 3 x 2 ，在 x时取最小值．5、推广到 y x x 1x x 2 L x y x x 1x x 2Lx四、幂函数、指数函数和对数函数（一）幂函数（1）幂函数的定义：形如y x a (a R) 的函数称作幂函数，定义域因 a 而异．（2）当a 0,1 时，幂函数y x a (a R) 在区间[ 0, ) 上的图像分三类，如图所示．（3）作幂函数y x a ( a0,1) 的草图，可分两步：①根据a 的大小，作出该函数在区间[ 0, ) 上的图像；②根据该函数的定义域及其奇偶性，补全该函数在( ,0] 上的图像．（4）判断幂函数y x a (a R) 的a 的大小比较：方法一：y x a ( a R) 与直线x m(m 1) 的交点越靠上， a 越大；方法二：y x a ( a R) 与直线x m(0 m 1) 的交点越靠下， a 越大（5）关于形如y ax b(ccx d0) 的变形幂函数的作图：①作渐近线（用虚线）：x d、ya；c c②选取特殊点：任取该函数图像上一点，建议取(0, b ) ；d③画出大致图像：结合渐近线和特殊点，判断图像的方位（右上左下、左上右下）．x x xx xxy（二）指数 & 指数函数1、指数运算法则：①a a yax y；② (a )a ；③ (a b)xxa xa b ；④ ( )a xx ，其中( a, b 0, x 、y R) ．2、指数函数图像及其性质：/yxa (a 1)bbxy a (0a 1)图像定义域R值域(0,)奇偶性 非奇非偶函数渐近线x 轴单调性在( ,) 上单调递增；在(,) 上单调递减；①指数函数 ya x的函数值恒大于零；②指数函数 y性质a 的图像经过点 (0,1) ；③当 x 0 时， y 1；③当 x 0时， 0 y 1；当 x 0 时， 0y 1 ．当 x 0时， y 1 ．3、判断指数函数 y a 中参数 a 的大小：方法一： y a 与直线x m(m 0) 的交点越靠上， a 越大；方法二： y a x与直线 x m(m 0) 的交点越靠下， a 越大．yx11 1（三）反函数的概念及其性质1、反函数的概念：对于函数y f (x) ，设它的定义域为 D ，值域为 A ，如果对于 A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应，且满足y f ( x) ，这样得到的x 关于y 的函数叫做y f ( x) 的反函数，记作x f ( y) ．在习惯上，自变量常用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为y f ( x)( x A) ．2、求反函数的步骤：（“解”“换”“求”）①将y f ( x) 看作方程，解出x f ( y) ；②将x 、y 互换，得到y f 1( x) ；③标出反函数的定义域（原函数的值域）．3、反函数的条件：定义域与值域中的元素一一对应．4、反函数的性质：①原函数y f ( x) 过点(m, n) ，则反函数y f 1 ( x) 过点(n, m) ；②原函数y f ( x) 与反函数y f (x) 关于y x 对称，且单调性相同；③奇函数的反函数必为奇函数．5、原函数与反函数的关系：/ 函数y f (x) y f 1 ( x)定义域 D A值域 A D（四）对数 & 对数函数1、指数与对数的关系：ab NabNlog a Nb指数幂 底数对数真数2、对数的运算法则：① log a 1 0 ， log a a 1 ， a loga NN ；②常用对数 lg Nlog 10 N ，自然对数 ln Nlog e N ；③ log a (MN ) log a Mlog a M N ，log a Nlog a M log a N ， log a Mn log a M ；④ log Nlog aN，log b1 m， log nbm log b ， log c bloglog bb ，a Nlog abN．blog a blog b aana3、对数函数图像及其性质：/y log a x(a 1) y log a x(0 a 1)图像定义域(0, )值域 R 奇偶性非奇非偶函数渐近线y 轴单调性在(0, ) 上单调递增；在(0, ) 上单调递减；①对数函数 y log a x 的图像在 y 轴的右方；②对数函数 y 性质log a x 的图像经过点 (1,0) ；③当 x 1时， y 0 ；③当 x 1时， y 0 ；当 0 x 1 时， y 0 ．当 0 x 1 时， y 0 ．a a a cn4、判断对数函数y logx, x 0 中参数a 的大小：a方法一：y logx, x 0 与直线y m( m 0) 的交点越靠右，a 越大；a方法二：y logx, x 0 与直线y m(m 0) 的交点越靠左，a 越大．a五、三角比1、角的定义：（1）终边相同的角：①与2k , k Z 表示终边相同的角度；②终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；③与k , k Z 表示终边共线的角（同向或反向）．（2）特殊位置的角的集合的表示：位置角的集合在x 轴正半轴上{ 2k, k Z}在x 轴负半轴上{ 2k, k Z}在x 轴上{k , k Z} 在y 轴正半轴上{ 2k , k Z }2在y 轴负半轴上{ 2k 3,k Z } 2在y 轴上{k , k Z }2在坐标轴上{k , k Z }2在第一象限内{ 2k 2 k, k Z }2在第二象限内{ 2k22k , k Z }在第三象限内{ 2k 2k 32, k Z }在第四象限内{ 2k 322k 2 ,k Z }（3）弧度制与角度制互化：180①rad 180 ；②1rad ；③1180rad ．（4）扇形有关公式：①l；r②弧长公式：l r ；③扇形面积公式：S 1 lr 1r 2（想象三角形面积公式）．2 2 （5）集合中常见角的合并：x 2k x 2kx 2k x 2k x 2kx kxk2x k2224x kxk, k Z4x 2k x 2k 5 44xk3 2 4x 2k4x k4 4（6）三角比公式及其在各象限的正负情况：以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴建立直角坐标系，在的终边上任取一个异于原点的点P( x, y) ，点P 到原点的距离记为r ，则（ 7）特殊角的三角比：角度制弧度制0 sin1 2270360 3 222 3 1 0 1 022cos13 2 2 1 0 1 0 122tan3 13无 0 无 03（ 8）一些重要的结论： （注意，如果没有特别指明， k 的取值范围是 k Z ）①角 和角 的终边：角 和角 的终边关于 x 轴对称关于 y 轴对称关于原点对称sin sin cos cos tantansin sin cos cos tantansin sin cos cos tantan② 的终边与的终边的关系． 2的终边在第一象限 (2k,2 k ) 2(k , k) ； 2 4 的终边在第二象限 (2 k ,2 k 2 ) (k 2, k ) ； 4 2 的终边在第三象限 (2k ,2 k 3 )( k, k 3) ； 2 22 4的终边在第四象限 (2k3 ,2 k2 )(k 3 , k ) ．③ sin 与 cos 的大小关系： 32, 2 k 24 0 ）； 4 4,2 k50 ）； 4 4 ，2k 5 0 ）． 44 304560901806432sin cos (2 k sin cos (2 k sin cos{2 k) 的终边在直线 y x 右边（ x y )} 的终边在直线的终边在直线 y y x 左边（x 上（ x xy y④sin 与cos 的大小关系：, k ) 4 4x y的终边在x y0 x y 0或；0 x y 0, k 3)x y的终边在0 x y 0或；4 4 x y 0 x y 0, k 3} ，k Z 的终边在y x ．4 42、三角比公式：（1）诱导公式：（诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限）第一组诱导公式：第二组诱导公式：第三组诱导公式：（周期性）（奇偶性）（中心对称性）sin( 2k) sin sin( ) sin sin( ) sincos(2 k) cos cos( ) cos cos( ) costan(2k ) tan tan( ) tan tan( ) tancot( 2k) cot cot( ) cot cot( ) cot第四组诱导公式：（轴对称）第五组诱导公式：（互余性）第六组诱导公式：sin( ) sin sin(2) cos sin(2) coscos( tan( cot( ) cos) tan) cotcos(2tan(2cot(2) sin) cot) tancos( )2tan( )2cot( )2sincottan（2）同角三角比的关系：倒数关系：商数关系：平方关系：sin csc 1 tan sin (cos 0) sin 2cos 2 1cos tan sec 1cot 1 cotcoscossin(sin 0)21 tan21 cot2sec2csc（3）两角和差的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin ；两角和差的余弦公式：两角和差的正切公式：cos(tan() cos cos)tan tansin．sin ；1 tan tansin cos (k sin cos (k sin cos { k（ 4）二倍角的正弦公式： sin 22 sin cos ；二倍角的余弦公式：二倍角的正切公式： cos 2tan 2cos 22 tansin2；1 2 sin22 cos21 ；1 tan 2降次公式：万能置换公式：1 cos 2sin 2sin221 cos22 2 1 cos 2cos 21 cos2 2sin 22 tan 1 tan 21 tan2 cos2 2；1 sinsincos cos 2 1 tan 2 tan21 cos2 1 cos22 221 sin sin cos2 2tan 22 tan 1 tan 2sin1 cos半角公式： tan ；2 1 cos（ 5）辅助角公式：①版本一：sinsinb a 2b 2a sinb cos②版本二： a2b2sin( ) ，其中 0 2 ,cos． a a2b2a sinbcosa2b 2sin() ，其中 a, b 0,0, tan b ．2a3、正余弦函数的五点法作图：以 y sin( x) 为例，令 x依次为 0, , , 3, 2 2 2，求出对应的 x 与 y 值，描点 ( x, y) 作图．4、正弦定理和余弦定理：（ 1）正弦定理： a sin A b sin B csin C2R(R 为外接圆半径 ) ；其中常见的结论有： ① a 2Rsin A ， b 2Rsin B ， c 2Rsin C ；② sin A a ， sin B2Rb ， sin Cc ； 2R 2R ③ sin A : sin B : sin C a : b : c ；aRsin B sin C④S △ ABC 2R 2sin A sin B sin C ； S △ ABCbR sin A sin C ； S △ ABC abc ．4 R cRsin A sin B（ 2）余弦定理：版本一：a2b 2c 2 b2 a 2c2 c2a2b22bc cosA 2accosB 2abcosC；版本二：cos AcosB cosCb2c2a22bca 2c 2b ；2ac b2a 2 c 2 2ab（ 3）任意三角形射影定理（第一余弦定理） ：5、与三角形有关的三角比：（ 1）三角形的面积：a b c os C c cos B b c cos A a cos C ． ca cos Bb cos A① S △ ABC② S △ ABC 1dh ； 2 1 absin C 1 bcsin A1ac sin B ；2 2 2③ S △ ABCl l al b l c ， l 为 △ABC 的周长． 2 2 2 2（ 2）在 △ABC 中，① a b A B sin A sin B cos A cosB cot A cot B ；②若 △ ABC 是锐角三角形，则 sin A cosB ；sin( A B ) sin C cos( A B ) cos C tan( A B ) tan C ③ sin( B C ) sin A ； cos(B C ) cos A ； tan( B C )tan A ；sin( A C ) sin Bcos( A C )cos Btan( A C )tan Bsin A cos B C tan A cot B C22 2 2 ④ sinBcos A C ； tan B cot A C； 2 2 2 2 sinC cos A B tan C cot A B22 2 2sin Acos Bsin Bcos A sin C cos A⑤ 2 2 ；sin A cos C2 2 ； sin B cos C 2 2 ； sin C cos B 2 2 2 2 2 2sin A sin B cos A cos B2 2 2 2 sin A sin C cos A cosC sin A sin B sinCcos A cos B cos C；2 2 2 2 2 2 2 2 2 2sin B sin C cos B cos C2 2 2 22( ] sin A sin B sin C 4cos A cos B cosC2 2 2⑥ cos A cosB cosC 1 4sin A sin B sin C；2 2 2 sin A sin B sin C 4sin A sin B cosC2 2 2sin 2A sin 2B sin 2C 4sin Asin B sin C ； cos2A cos2B cos2C4cos A cosB cosC 1sin A ⑦cos A sin B cosBsin C cosC(0,3 3 ] 2 ； 3(1, 2sin Asin B sin C sin Asin B sin C cos A cosB cosC (0,3 3] 8 cosA cosB cosC ． 1 1, 8其中，第一组可以利用琴生不等式来证明；第二组可以结合第一组及基本不等式证明．（ 3）在 △ABC 中，角 A 、 B 、 C 成等差数列 B．3（ 4） △ABC 的内切圆半径为 r6、仰角、俯角、方位角：略2S ．a b c7、和差化积与积化和差公式（理科） ：（ 1）积化和差公式： sin coscos sincos cossin sin1[sin( ) sin( )] 2 1[sin( ) sin( )] 2 ； 1[cos( ) cos( )] 2 1[cos( ) cos()]2（ 2）和差化积公式： sin sin 2sinsinsin 2coscoscos 2coscoscos2sincos 22 sin2 2．cos 2 2 sin22]六、三角函数1、正弦函数、余弦函数和正切函数的性质、图像：y sin xy cosxy tan x定 义 RR域{ x x k, k Z}2值 [ 1,1]域 奇 [ 1,1]R偶 奇函数偶函数奇函数性 周期 性 最小正周期 T 2最小正周期 T 2 最小正周期 T[2 k 单 ,2 k 2 ] Z ； 2 [2 k, 2k ] Z ；(k, k ) Z 调 [2 k,2 k 3] ] ． [2 k , 2 k] ] ．22性22（ k Z ）（ k Z ）（ k Z ）当 x 2k最时， y min 1 ； 2当 x 2k时， y min1 ；无值 当 x 2k时， y 2max1；当 x 2k 时， y max 1 ；图像例 1：求函数 y 5sin(2 x) 的周期、单调区间和最值． （当 x 的系数为负数时，单调性相反） 3解析：周期 T22，由函数 y sin x 的递增区间 [2 k , 2 k 22] ，可得2k2x2k ，即 k5 x k ， 232 1212 5 于是，函数 y 5sin(2 x) 7 的递增区间为 [ k 3, k ] ． 12 12 7同理可得函数 y 5sin(2 x) 7 递减区间为 [ k 3, k ] ． 1212当 2x 2k3，即 x k 2 时，函数 y 12 5sin(2 x ) 取最大值 5； 3当2x 2k ，即3 2 x k5时，函数y125sin(2 x ) 取最大值 5 ．3例2：求函数y 5sin(2x ) 7, x3 [0, ] 的单调区间和最值．2解析：由x [0, ] ，可得2x2[ ,4] ．3 3 3然后画出 2 x的终边图，然后就可以得出3当2x [ , ] ，即x3 3 24 [0, ] 时，函数y125sin(2 x ) 7 单调递增；3当2x [ , ] ，即x3 2 3 [ , ] 时，函数y12 25sin(2 x ) 7 单调递减．3同时，当2x ，即x3 2时，函数y125sin(2 x ) 7 取最大值12；3当2 x4，即3 3x 时，函数y25sin(2 x ) 7 取最小值735 3；2注意：当x 的系数为负数时，单调性的分析正好相反．2、函数y A s in( x ) h &y A cos( x ) h &y A tan( x ) h ，其中A0, 0 ：（1）复合三角函数的基本性质：三角函数y A s in( x ) h y A c os( x ) h y A tan( x ) h其中A0, 0 其中A0, 0 其中A0, 0 振幅 A 无基准线y h定义域( , ) { x x k , k Z }2 值域[ A h, A h] ( , )最小正周期T2T1 1频率 f fT 2 T 相位x初相2（ 2）函数 y A s in( x) h 与函数 y sin x 的图像的关系如下：①相位变换： 当0 时， ysin x向左平移个单位y sin( x ) ；当0 时， y ②周期变换： sin x向右平移 个单位y sin( x) ；当1时， ysin( x所有各点的横坐标缩短到原来的)1倍（纵坐标不变）y sin( x) ；当 01时， y ③振幅变换：sin( x所有各点的横坐标伸长到原来的)1倍（纵坐标不变）y sin( x) ；当 A 1时， y sin( x) 所有各点的纵坐标伸长到原来的A 倍（横坐标不变）y A sin( x ) ；当 0 A 1时， y sin( x)所有各点的纵坐标缩短到原来的A 倍（横坐标不变）y A s in( x) ；④最值变换：当 h 0时，当 h 0 时， y A s in( xy A s in( x所有各点向上平行移动所有各点向下平行移动 h 个单位h 个单位y A sin( xy A sin( x) h ；) h ；注意：函数 y A cos( x) h 和函数 y A tan( x) h 的变换情况同上．3、三角函数的值域：（1）） y a sin x b 型：设 t sin x ，化为一次函数 y at b 在闭区间 [ 1,1] 上求最值．（2）） ya sinx b cos x c ， a ,b 0 型：引入辅助角 , tanb，化为 ya ab sin(x) c ．（3）） ya sin2x b sin x c 型：设 t sin x [ 1,1]，化为二次函数 y at 2 bt c 求解．（4）） ya sinxcos x b(sin x cos x) c 型：a (t21)设t sin x cos x [ 2, 2] ，则t 21 2sin x cos x ，化为二次函数 ybt c 在闭2区间 t [ 2, 2] 上求最值．2) )22 2（5）） y a tan x b cot x 型：设 t（6）） y tan x ，化为a sin x b 型：c sin x dy atb ，用“ Nike 函数”或“差函数”求解．t方法一：常数分离、分层求解；方法二：利用有界性，化为 1 sin x 1 求解．（7）） y a sin x b 型： c cosx d化为 a sin x yc cos x b dy ，合并 ay c sin( x) b dy ，利用有界性，sin(x)b dy [ 1,1]求解．a2y 2c2（8）） a sinx cos x b sin 2 x c cos 2x ，（ a 0,b, c 不全为 0）型：利用降次公式，可得 asin x cosx b sin 2x ccos 2xasin 2 x c b cos2x b c，然后利用辅 助角公式即可． 4、三角函数的对称性： 2 2 2对称中心 对称轴方程y sin x(k ,0) ， k Z xk ， k Z2y cos x ( k,0) ， k Z 2x k ， k Zytan xy cot xk( ,0) k Z / 2 ( k,0) k Z /2备注：① y sin x 和 y cosx 的对称中心在其函数图像上；② y tan x 和 y cot x 的对称中心不一定在其函数图像上． （有可能在渐近线上）例 3：求函数 y 5sin(2 x) 7 的对称轴方程和对称中心．3解析：由函数 ysin x 的对称轴方程 x k， k Z 2，可得 2x k3 ， k Z2解得 xk ， k Z ．122k 所以，函数 y 5sin(2 x) 7 的对称轴方程为 3 x ， k Z ． 122由函数 y sin x 的中心对称点 (k ,0) ， k Z ，可得 2x3k ， k Z解得 xk ， k Z ．62所以，函数 y 5sin(2 x) 7 的对称中心为 ( 3 k ,7) ， k Z ．6 25、反正弦、反余弦、反正切函数的性质和图像：y arcsin x y arccosx y arctanx 定义域[ 1,1] [ 1,1] ( , )值域[ , ]2 2 [ 0, ] ( , )2 2奇偶性奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在[ 1,1]上是增函数在[ 1,1]上是减函数在( , ) 上是增函数对称中心点(0,0) 点(0, )2点(0,0) 图像重要结论：（1）先反三角函数后三角函数：①a [ 1,1] sin(arcsin a) cos(arccosa ) a ；②a R tan(arctan a ) a ．（2）先三角函数后反三角函数：①[ , ]2 2arcsin(sin ) ；②[0, ] arccos(cos ) ；③( , )2 2arctan(tan ) ．（3）反三角函数对称中心特征方程式：①a [ 1,1] arcsin( a)arcsin a ；②a [ 1,1] arccos( a) arccos a；③a ( , ) arctan( a )arctan a．6、解三角方程公式：sin x a, a 1 x k ( 1)k arcsina, k Zcos x a, a 1 x 2k arccosa, k Z．tan x a, a R x k arctana, k Z。
高一数学上册全部讲解知识点一、知识概述《集合》①基本定义：集合就像是把一些有共同特征的东西放在一起的一个“大筐”。
比如你们班的同学就可以组成一个集合，这些同学就是这个集合里的元素。
②重要程度：在高一数学中算是入门基础的东西，是理解函数等很多知识的基石。
③前置知识：基本的数的概念，像自然数、整数啥的要有个大概了解。
④应用价值：在生活中安排活动分组时就像划分集合，比如打篮球分组把人分成两组，这两组就是两个集合。
《函数的概念》①基本定义：函数就像一个机器，给它一个输入（自变量），然后就会有确定的输出（因变量）。
例如，一个卖水果的，你输入要的苹果数量（自变量），根据苹果的单价，就会得到要付的钱（因变量）。
②重要程度：函数贯穿整个高中数学，是非常重要的内容。
③前置知识：集合的知识要掌握，因为函数是建立在两个非空数集之间的对应关系。
④应用价值：在经济领域计算成本与利润关系等，通过改变生产量（自变量）得出利润（因变量）的值。
《函数的定义域与值域》①基本定义：定义域就是自变量能取的那些值的范围，值域就是函数值（因变量的值）的范围。
好比做蛋糕，面粉（自变量）的量有个可用的范围（定义域），最后做出蛋糕的大小（函数值）也有个范围（值域）。
②重要程度：这对于准确理解函数很重要。
③前置知识：函数概念要清楚。
④应用价值：在现实中规划产量（定义域）时要考虑最终产出（值域），避免资源浪费或者产量不足。
二、知识体系①知识图谱：集合是基础，函数的定义域、值域等都是函数这个大内容下的细分部分。
②关联知识：集合与函数是层层递进的关系，后续的函数性质等都和定义域值域等相关知识有关。
③重难点分析：- 集合那里难点在于集合元素的性质理解准确。
比如互异性，说实话有时候很容易忽略。
- 函数概念重点在于理解对应关系，难点在于一些复杂的函数关系的理解。
- 定义域值域难点在于准确求出根据不同情况的取值范围。
④考点分析：- 集合在考试中会考查元素的从属关系，集合间的运算（交、并、补）等。
高中数学高一课本知识点知识点总结高一数学课本知识点总结在高一数学课本中，我们学习了许多重要的数学知识点，这些知识点对我们的学习和日常生活都具有重要的意义。
下面是我对高一数学课本的知识点进行的总结。
一、函数与方程1. 函数的概念和性质：函数的定义、自变量和因变量、定义域和值域、奇偶性、周期性等。
2. 一次函数：一次函数的定义、图像、性质以及方程的解法。
3. 二次函数：二次函数的定义、图像、性质、抛物线及其与坐标轴的交点等。
4. 不等式：一元一次不等式的解法、一元二次不等式的解法、绝对值不等式的解法等。
二、平面解析几何1. 坐标系与直线：笛卡尔坐标系、平面直角坐标系、直线的方程及其相关性质等。
2. 二次曲线：圆的方程、椭圆的方程、双曲线的方程、抛物线的方程等。
三、三角函数与向量1. 三角函数的概念：正弦、余弦、正切等的定义及其性质。
2. 三角函数的应用：在平面直角坐标系中，计算三角函数的值，解三角方程等。
3. 向量的概念与性质：向量的定义、向量的模、向量的运算、向量的夹角等。
四、概率与统计1. 随机事件与概率：随机事件的定义、样本空间和事件域、概率的计算等。
2. 排列组合与概率：排列的计数、组合的计数、重复排列与重复组合、多项式定理等。
3. 统计与误差处理：数据的整理与分析、平均数与标准差、误差的处理等。
五、数列与数学归纳法1. 等差数列与等比数列：数列的概念、等差数列的性质、等比数列的性质、求和公式等。
2. 递归数列与通项公式：递归数列的概念、通项公式的推导、递推式求解等。
六、立体几何1. 空间几何体的性质：点、线、面的性质、平行线和垂直线的判定等。
2. 空间向量与平面向量：空间向量的定义与运算、平面向量的加法与减法、数量积与夹角、平面向量方向余弦等。
七、导数与微分1. 函数的导数：导数的概念、导数的计算、导函数的性质等。
2. 微分与微分近似：微分的概念、微分的计算、微分近似问题等。
以上是我对高一数学课本知识点的总结，这些知识点是我们在高一学习数学时需要掌握的重要内容。
高中数学知识点汇总（高一）高中数学知识点汇总（高一） (1)一、集合和命题 (2)二、不等式 (4)三、函数的基本性质 (6)四、幂函数、指数函数和对数函数 (12)（一）幂函数 (12)（二）指数&指数函数 (13)（三）反函数的概念及其性质 (14)（四）对数&对数函数 (15)五、三角比 (17)六、三角函数 (24)一、集合和命题一、集合：（1）集合的元素的性质：确定性、互异性和无序性； （2）元素与集合的关系：①a A ∈↔a 属于集合A ； ②a A ∉↔a 不属于集合A ． （3）常用的数集：N ↔自然数集；↔*N 正整数集；Z ↔整数集； Q ↔有理数集；R ↔实数集；Φ↔空集；C ↔复数集；⎪⎩⎪⎨⎧↔↔-+负整数集正整数集Z Z ；⎪⎩⎪⎨⎧↔↔-+负有理数集正有理数集Q Q ；⎪⎩⎪⎨⎧↔↔-+负实数集正实数集R R ．（4）集合的表示方法：集合⎩⎨⎧↔↔描述法无限集列举法有限集；例如：①列举法：{,,,,}z h a n g ；②描述法：{1}x x >． （5）集合之间的关系：①B A ⊆↔集合A 是集合B 的子集；特别地，A A ⊆；A BA CBC ⊆⎧⇒⊆⎨⊆⎩．②B A =或A BA B ⊆⎧⎨⊇⎩↔集合A 与集合B 相等； ③A B ⊂≠↔集合A 是集合B 的真子集．例：N Z Q R ⊆⊆⊆C ⊆；N Z Q R C ⊂⊂⊂⊂≠≠≠≠． ④空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （6）集合的运算：①交集：}{B x A x x B A ∈∈=且I ↔集合A 与集合B 的交集； ②并集：}{B x A x x B A ∈∈=或Y ↔集合A 与集合B 的并集；③补集：设U 为全集，集合A 是U 的子集，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 在全集U 中的补集，记作A C U ．④得摩根定律：()U U U C A B C A C B =I U ；()U U U C A B C A C B =U I（7）集合的子集个数：若集合A 有*()n n N ∈个元素，那么该集合有2n 个子集；21n -个真子集；21n -个非空子集；22n -个非空真子集．二、四种命题的形式：（1）命题：能判断真假的语句．（2）四种命题：如果用α和β分别表示原命题的条件和结论，用α和β分别表示α和β的否定，①若βα⇒，那么α叫做β的充分条件，β叫做α的必要条件；②若βα⇒且αβ⇒，即βα⇔，那么α既是β的充分条件，又是β的必要条件，也就是说，α是β的充分必要条件，简称充要条件．③欲证明条件α是结论β的充分必要条件，可分两步来证： 第一步：证明充分性：条件⇒α结论β； 第二步：证明必要性：结论⇒β条件α． （4）子集与推出关系：设A 、B 是非空集合，}{α具有性质x x A =，}{β具有性质y y B =， 则B A ⊆与βα⇒等价．结论：小范围⇒大范围；例如：小明是上海人⇒小明是中国人． 小范围是大范围的充分非必要条件； 大范围是小范围的必要非充分条件．二、不等式不等式的性质1、c a c b b a >⇒>>,；2、c b c a b a +>+⇒>；3、bc ac c b a >⇒>>0,；4、d b c a d c b a +>+⇒>>,；5、bd ac d c b a >⇒>>>>0,0；6、ba b a 1100<<⇒>>； 7、)(0*N n b a b a n n ∈>⇒>>； 8、)1,(0*>∈>⇒>>n N n b a b a n n ．一元一次不等式b ax >0>a0<a0=a0≥b0<b解集ab x >ab x <Φ R)0(02>=++a c bx ax的根的判别式042>-=ac b △ 042=-=ac b △ 042<-=ac b △)0(2>++=a c bx ax y)0(02>=++a c bx ax },{21x x ，21x x < }{0x Φ )0(02>>++a c bx ax 12(,)(,)x x -∞+∞U),(),(00+∞-∞x x YR)0(02><++a c bx ax ),(21x x Φ Φ )0(02>≥++a c bx ax 12(,][,)x x -∞+∞URR)0(02>≤++a c bx ax],[21x x }{0xΦ四、含有绝对值不等式的性质：（1）b a b a b a -≥±≥+； （2）n n a a a a a a +++≥+++ΛΛ2121． 五、分式不等式：（1）0))((0>++⇔>++d cx b ax d cx b ax ； （2）0))((0<++⇔<++d cx b ax dcx bax ．（1）)()()1()()(x x f a a a x x f ϕϕ>⇔>>； （2）)()()10()()(x x f a a a x x f ϕϕ<⇔<<>． 八、对数不等式：（1）⎩⎨⎧>>⇔>>)()(0)()1)((log )(log x x f x a x x f a a ϕϕϕ；（2）⎩⎨⎧<>⇔<<>)()(0)()10)((log )(log x x f x f a x x f a a ϕϕ．九、不等式的证明：（1）常用的基本不等式：①R b a ab b a ∈≥+、(222，当且仅当b a =时取“=”号)； ②+∈≥+R b a ab ba 、(2，当且仅当b a =时取“=”号)； 211a b+． ③+∈≥++R c b a abc c b a 、、(3333，当且仅当c b a ==时取“=”号)；④+∈≥++R c b a abc c b a 、、(33，当且仅当c b a ==时取“=”号)； ⑤n a a a na a a nn n (2121ΛΛ≥+++为大于1的自然数，+∈R a a a n ,,,21Λ，当且仅当 n a a a ===Λ21时取“=”号)； （2）证明不等式的常用方法：①比较法； ②分析法； ③综合法．三、函数的基本性质一、函数的概念：（1）若自变量−−−→−fx 对应法则因变量y ，则y 就是x 的函数，记作D x x f y ∈=),(； x 的取值范围D ↔函数的定义域；y 的取值范围↔函数的值域． 求定义域一般需要注意： ①1()y f x =，()0f x ≠；②y ()0f x ≥； ③0(())y f x =，()0f x ≠； ④log ()a y f x =，()0f x >； ⑤()log f x y N =，()0f x >且()1f x ≠．（2）判断是否函数图像的方法：任取平行于y 轴的直线，与图像最多只有一个公共点； （3）判断两个函数是否同一个函数的方法：①定义域是否相同；②对应法则是否相同． 二、函数的基本性质：注意：定义域包括0的奇函数必过原点(0,0)O ． （注意：②如果函数)(x f y =在某个区间I 上是增（减）函数，那么函数)(x f y =在区间I 上是单调函数，区间I 叫做函数)(x f y =的单调区间．（3）零点：若D x x f y ∈=),(，D c ∈且0)(=c f ，则c x =叫做函数)(x f y =的零点．零点定理：⎩⎨⎧<⋅∈=0)()(],[),(b f a f b a x x f y ⇒00(,)()0x a b f x ∈⎧⎨=⎩存在；特别地，当(),[,]y f x x a b =∈是单调函数， 且()()0f a f b ⋅<，则该函数在区间[,]a b 上有且仅有一个零点，即存在唯一0(,)x a b ∈，使得0()0f x =．（4 （5注意：()()f a x f b x +=-⇒()f x 关于2a bx +=对称； ()()f a x f a x +=-⇒()f x 关于x a =对称；()()f x f x =-⇒()f x 关于0x =对称，即()f x 是偶函数．注意：()()f a x f b x c ++-=⇒()f x 关于点(,)22b c+对称； ()()0f a x f b x ++-=⇒()f x 关于点(,0)2a b+对称；()()2f a x f a x b ++-=⇒()f x 关于点(,)a b 对称；()()0f x f x +-=⇒()f x 关于点(0,0)对称，即()f x 是奇函数． （6）凹凸性：设函数(),y f x x D =∈，如果对任意12,x x D ∈，且12x x ≠，都有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，则称函数()y f x =在D 上是凹函数；例如：2y x =．进一步，如果对任意12,,n x x x D ∈L ，都有1212()()()n n x x x f x f x f x f n n +++++⎛⎫<⎪⎝⎭L L ，则称函数()y f x =在D 上是凹函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式；设函数(),y f x x D =∈，如果对任意12,x x D ∈，且12x x ≠，都有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，则称函数()y f x =在D 上是凸函数．例如：lg y x =．进一步，如果对任意12,,n x x x D ∈L ，都有1212()()()n n x x x f x f x f x f n n +++++⎛⎫>⎪⎝⎭L L ，则称函数()y f x =在D 上是凸函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式．若R x x f y ∈=),(，0≠∃T ，x R ∈任取，恒有)()(x f T x f =+，则称T 为这个函数的周期． 注意：若T 是)(x f y =的周期，那么)0,(≠∈k Z k kT 也是这个函数的周期； 周期函数的周期有无穷多个，但不一定有最小正周期．①()()f x a f x b +=+，a b ≠⇒()f x 是周期函数，且其中一个周期T a b =-； （阴影部分下略）②()()f x f x p =-+，0p ≠⇒2T p =； ③()()f x a f x b +=-+，a b ≠⇒2T a b =-； ④1()()f x f x p =+或1()()f x f x p =-+，0p ≠⇒2T p =；⑤1()()1()f x p f x f x p -+=++或()1()()1f x p f x f x p ++=+-，0p ≠⇒2T p =；⑥1()()1()f x p f x f x p ++=-+或()1()()1f x p f x f x p +-=++，0p ≠⇒4T p =；⑦()f x 关于直线x a =，x b =，a b ≠都对称⇒2T a b =-； ⑧()f x 关于两点(,)a c ，(,)b c ，a b ≠都成中心对称⇒2T a b =-；⑨()f x 关于点(,)a c ，0a ≠成中心对称，且关于直线x b =，a b ≠对称⇒4T a b =-； ⑩若()()(2)()f x f x a f x a f x na m +++++++=L （m 为常数，*n N ∈），则()f x 是以(1)n a +为周期的周期函数；若()()(2)()f x f x a f x a f x na m -+++-++=L （m 为常数，n 为正偶数），则()f x 是以2(1)n a +为周期的周期函数．定义 形如(0)y a x m h a =++≠的函数，称作V 函数．分类,0y a x m h a =++> ,0y a x m h a =++<图像定义域 R值域 [,)h +∞(,]h -∞对称轴 x m =-开口 向上向下顶点(,)m h -单调性在(,]m -∞-上单调递减；在[,)m -+∞上单调递增．在(,]m -∞-上单调递增； 在[,)m -+∞上单调递减．注意 当0m =时，该函数为偶函数定义 形如(0)ay x a x=+≠的函数，称作分式函数．分类,0a y x a x =+>（耐克函数） ,0a y x a x=+<图像定义域 (,0)(0,)-∞+∞U值域 (,2][2,)a a -∞-+∞UR渐近线0x =，y x =单调性在(,]a -∞-，[,)a +∞上单调递增；在[,0)a -，(0,]a 上单调递减．在(,0)-∞，(0,)+∞上单调递增；在平面上，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则称1212d x x y y =-+-为MN 的曼哈顿距离． 六、某类带有绝对值的函数：1、对于函数y x m =-，在x m =时取最小值；2、对于函数y x m x n =-+-，m n <，在[,]x m n ∈时取最小值；3、对于函数y x m x n x p =-+-+-，m n p <<，在x n =时取最小值；4、对于函数y x m x n x p x q =-+-+-+-，m n p q <<<，在[,]x n p ∈时取最小值；5、推广到122n y x x x x x x =-+-++-L ，122n x x x <<<L ，在1[,]n n x x x +∈时取最小值； 1221n y x x x x x x +=-+-++-L ，1221n x x x +<<<L ，在n x x ∈时取最小值． 思考：对于函数1232y x x x =-+++，在x _________时取最小值．四、幂函数、指数函数和对数函数（一）幂函数（1）幂函数的定义：形如)(R a x y a ∈=的函数称作幂函数，定义域因a 而异．（2）当1,0≠a 时，幂函数)(R a x y a ∈=在区间),0[+∞上的图像分三类，如图所示．（3）作幂函数)1,0(≠=a x y a 的草图，可分两步：①根据a 的大小，作出该函数在区间),0[+∞上的图像；②根据该函数的定义域及其奇偶性，补全该函数在]0,(-∞上的图像． （4）判断幂函数)(R a x y a ∈=的a 的大小比较：方法一：)(R a x y a ∈=与直线(1)x m m =>的交点越靠上，a 越大； 方法二：)(R a x y a ∈=与直线(01)x m m =<<的交点越靠下，a 越大（5）关于形如()ax by c cx d+=≠+0的变形幂函数的作图： ①作渐近线（用虚线）：d x c=-、ay c =；②选取特殊点：任取该函数图像上一点，建议取(0,)bd；③画出大致图像：结合渐近线和特殊点，判断图像的方位（右上左下、左上右下）．（二）指数&指数函数1、指数运算法则： ①yx yxaa a +=⋅；②xyyxa a =)(；③xxxb a b a ⋅=⋅)(；④()xx x a a b b=，其中),0,(R y x b a ∈>、．2/)1(>=a a y x)10(<<=a a y x图像定义域 R值域 ),0(+∞奇偶性 非奇非偶函数渐近线 x 轴单调性在(,)-∞+∞上单调递增；在(,)-∞+∞上单调递减；性质①指数函数x a y =的函数值恒大于零； ②指数函数x a y =的图像经过点)1,0(；③当0>x 时，1>y ； 当0<x 时，10<<y ．③当0>x 时，10<<y ； 当0<x 时，1>y ．3、判断指数函数x y a =中参数a 的大小：方法一：x y a =与直线(0)x m m =>的交点越靠上，a 越大； 方法二：x y a =与直线(0)x m m =<的交点越靠下，a 越大．（三）反函数的概念及其性质1、反函数的概念：对于函数()y f x =，设它的定义域为D ，值域为A ，如果对于A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应，且满足()y f x =，这样得到的x 关于y 的函数叫做()y f x =的反函数，记作1()x f y -=．在习惯上，自变量常用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为1()()y f x x A -=∈．2、求反函数的步骤：（“解”→“换”→“求”） ①将()y f x =看作方程，解出()x f y =； ②将x 、y 互换，得到1()y f x -=； ③标出反函数的定义域（原函数的值域）．3、反函数的条件：定义域与值域中的元素一一对应． 4、反函数的性质：①原函数)(x f y =过点),(n m ，则反函数)(1x f y -=过点),(m n ；②原函数)(x f y =与反函数)(1x f y -=关于x y =对称，且单调性相同；③奇函数的反函数必为奇函数． 5（四）对数&对数函数1ab N N a b =底数指数幂 b N a =log对数真数2 ①01log =a ，1log =a a ，N a N a =log ；②常用对数N N 10log lg =，自然对数N N e log ln =； ③N M MN a a a log log )(log +=，N M NMa a a log log log -=，M n M a n a log log =； ④bN N a a b log log log =，a b b a log 1log =，b n mb a m a n log log =，b b ac a c log log =，log log N N b a a b =．3/)1(log >=a x y a)10(log <<=a x y a图像定义域 ),0(+∞值域 R 奇偶性 非奇非偶函数渐近线 y 轴单调性在),0(+∞上单调递增；在),0(+∞上单调递减；性质①对数函数x y a log =的图像在y 轴的右方； ②对数函数x y a log =的图像经过点)0,1(；③当1>x 时，0>y ； 当10<<x 时，0<y ．③当1>x 时，0<y ； 当10<<x 时，0y >．4、判断对数函数log ,0a y x x =>中参数a 的大小：方法一：log ,0a y x x =>与直线(0)y m m =>的交点越靠右，a 越大； 方法二：log ,0a y x x =>与直线(0)y m m =<的交点越靠左，a 越大．五、三角比1、角的定义：（1）终边相同的角：①α与2,k k Z πα+∈表示终边相同的角度；②终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； ③α与,k k Z πα+∈表示终边共线的角（同向或反向）． （2（3）弧度制与角度制互化： ①180rad π=︒； ②1801rad =︒； ③1rad π︒=．（4）扇形有关公式：①rl=α；②弧长公式：r l α=；③扇形面积公式：21122S lr r α==（想象三角形面积公式）．（5）集合中常见角的合并：22222222,244542424324424x k x k x k k x x k x k x k k x k Z x k x k x k k x x k x k x k ππππππππππππππππππππππππππ⎫⎫=⎫⎫=⎪⎪⎬⎪=+⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫=⎬⎬⎪=+⎪⎪⎪⎪⎪=+⎬⎪⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎭⎪⎪⎫⎫⎫=∈⎬=+⎪⎪⎪⎪⎪⎪=+⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪=+⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪=+⎬⎬⎪⎫⎪⎪⎪=+⎪⎪⎪⎪⎪=-⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪⎭⎪⎭⎭⎭（6）三角比公式及其在各象限的正负情况：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴建立直角坐标系，在α的终边上任取一个异 于原点的点(,)P x y ，点P 到原点的距离记为r ，则（7（8）一些重要的结论：（注意，如果没有特别指明，k 的取值范围是k Z ∈） ①角α和角β的终边：②α的终边与2的终边的关系． α的终边在第一象限⇔(2,2)2k k παππ∈+⇔(,)24k k απππ∈+；α的终边在第二象限⇔(2,2)2k k παπππ∈++⇔(,)242k k αππππ∈++；α的终边在第三象限⇔3(2,2)2k k παπππ∈++⇔3(,)224k k αππππ∈++；α的终边在第四象限⇔3(2,22)2k k παπππ∈++⇔3(,)24k k αππππ∈++． ③sin θ与cos θ的大小关系：sin cos θθ<⇔3(2,2)44k k ππθππ∈-+⇔θ的终边在直线y x =右边（0x y ->）； sin cos θθ>⇔5(2,2)44k k ππθππ∈++⇔θ的终边在直线y x =左边（0x y -<）；sin cos θθ=⇔5{22}k k ππθππ∈++，⇔θ的终边在直线y x =上（0x y -=）．④sin θ与cos θ的大小关系： sin cos θθ<⇔(,)44k k ππθππ∈-+⇔θ的终边在00x y x y +>⎧⎨->⎩或00x y x y +<⎧⎨-<⎩； sin cos θθ>⇔3(,)44k k ππθππ∈++⇔θ的终边在00x y x y +>⎧⎨-<⎩或00x y x y +>⎧⎨-<⎩；sin cos θθ=⇔3{}44k k ππθππ∈++,，k Z ∈⇔θ的终边在y x =±．2、三角比公式： （1）诱导公式：（诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限）第一组诱导公式： 第二组诱导公式： 第三组诱导公式： （周期性） （奇偶性） （中心对称性）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+ααπααπααπααπcot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(k k k k⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-=--=-ααααααααcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin( ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-=+-=+ααπααπααπααπcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin( 第四组诱导公式： 第五组诱导公式： 第六组诱导公式：（轴对称） （互余性）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=--=-=-ααπααπααπααπcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin( ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-ααπααπααπααπtan )2cot(cot )2tan(sin )2cos(cos )2sin(⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+-=+=+ααπααπααπααπtan )2cot(cot )2tan(sin )2cos(cos )2sin( （2）同角三角比的关系：倒数关系： 商数关系： 平方关系：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅1cot tan 1sec cos 1csc sin αααααα⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠=≠=)0(sin sin cos cot )0(cos cos sin tan αααααααα ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+αααααα222222csc cot 1sec tan 11cos sin （3）两角和差的正弦公式：βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；两角和差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=±； 两角和差的正切公式：βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(μ±=±．（4）二倍角的正弦公式：αααcos sin 22sin =；二倍角的余弦公式：1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=ααααα；二倍角的正切公式：ααα2tan 1tan 22tan -=； 降次公式： 万能置换公式：22222221cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2cos 21cos 2cos 21sin sin cos 221cos 2tan 1cos 21sin sin cos22ααααααααααααααααα⎧-=⎪-⎧⎪=⎪⎪+=⎪⎪+⎪⎪=⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪-=- ⎪-⎪⎪⎝⎭=⎪⎪+⎩⎛⎫⎪+=+ ⎪⎪⎝⎭⎩； ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+=ααααααααα2222tan 1tan 22tan tan 1tan 12cos tan 1tan 22sin 半角公式：αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+=； （5）辅助角公式： ①版本一：)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a ，其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=<≤2222cos sin ,20b a a b a b ϕϕπϕ．②版本二：sin cos )a b θθθϕ±=±，其中,0,0,tan 2ba b aπϕϕ><<=．3、正余弦函数的五点法作图：以sin()y x ωϕ=+为例，令x ωϕ+依次为30,,,,222ππππ，求出对应的x 与y 值，描点(,)x y 作图．4、正弦定理和余弦定理：（1）正弦定理：R R CcB b A a (2sin sin sin ===为外接圆半径)；其中常见的结论有：①A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=；②R a A 2sin =，R b B 2sin =，RcC 2sin =；③c b a C B A ::sin :sin :sin =； ④22sin sin sin ABC S R A B C =△；sin sin sin sin sin sin ABCaR B CS bR A C cR A B⎧⎪=⎨⎪⎩△；4ABC abc S R =△．（2）余弦定理：版本一：⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222；版本二：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=ab c a b C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 222222222；（3）任意三角形射影定理（第一余弦定理）：cos cos cos cos cos cos a b C c Bb c A a C c a B b A =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩．5、与三角形有关的三角比： （1）三角形的面积：①12ABC S dh =△；②111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ===△；③ABC S =△l 为ABC △的周长． （2）在ABC △中，①sin sin cos cos cot cot a b A B A B A B A B >⇔>⇔>⇔<⇔<； ②若ABC △是锐角三角形，则sin cos A B >；③sin()sin sin()sin sin()sin A B C B C A A C B +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩；cos()cos cos()cos cos()cos A B C B C A A C B +=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩；tan()tan tan()tan tan()tan A B C B C A A C B +=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩；④sin cos 22sin cos 22sin cos 22A B C BA C CA B +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩；tan cot 22tan cot 22tan cot 22A B C B A C C A B +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩；⑤sin cos 22sin cos 22A B A C ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩；sin cos 22sin cos 22B A B C ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩；sin cos22sin cos 22C AC B ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩； ⇒sin sin cos cos 2222sin sin cos cos 2222sin sin cos cos 2222A B A B AC A C BC B C ⎧<⎪⎪⎪<⎨⎪⎪<⎪⎩⇒sin sin sin cos cos cos 222222A B C A B C <；⑥sin sin sin 4cos cos cos 222cos cos cos 14sin sin sin 222sin sin sin 4sin sin cos 222A B C A B C A B C A B C A B C A B C ⎧++=⎪⎪⎪++=+⎨⎪⎪+-=⎪⎩；sin 2sin 2sin 24sin sin sin cos 2cos 2cos 24cos cos cos 1A B C A B CA B C A B C ++=⎧⎨++=--⎩；⑦sin sin sin (0,]23cos cos cos (1,]2A B C A B C ⎧++∈⎪⎪⎨⎪++∈⎪⎩；sin sin sin (0,8sin sin sin cos cos cos 1cos cos cos (1,]8A B C A B C A B C A B C ⎧∈⎪⎪⎪>⎨⎪⎪∈-⎪⎩． 其中，第一组可以利用琴生不等式来证明；第二组可以结合第一组及基本不等式证明． （3）在ABC △中，角A 、B 、C 成等差数列⇔3B π=．（4）ABC △的内切圆半径为2Sr a b c=++．6、仰角、俯角、方位角： 略7、和差化积与积化和差公式（理科）：（1）积化和差公式： 1sin cos [sin()sin()]21cos sin [sin()sin()]21cos cos [cos()cos()]21sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ⎧=++-⎪⎪⎪=+--⎪⎨⎪=-++⎪⎪⎪=--+⎩； （2）和差化积公式：sin sin 2sin cos 22sin sin 2cos sin 22cos cos 2cos cos 22cos cos 2sin sin 22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-⎧+=⎪⎪+-⎪-=⎪⎨-+⎪+=⎪⎪-+⎪-=-⎩．六、三角函数x y sin =x y cos = x y tan =定义域 RR},2{Z k k x x ∈+≠ππ值域 ]1,1[-]1,1[-R 奇偶性 奇函数 偶函数奇函数周期性 最小正周期π2=T最小正周期π2=T最小正周期π=T单调性[2,2]22k k ππππ-+Z ； 3[2,2]22k k ππππ++]．（Z k ∈） [2,2]k k πππ-Z ；[2,2]k k πππ+]．（Z k ∈）(,)22k k ππππ-+Z （Z k ∈）最值当22ππ-=k x 时，1min -=y ； 当22ππ+=k x 时，1max =y ；当ππ+=k x 2时，1min -=y ；当πk x 2=时，1max =y ；无图像例1：求函数5sin(2)3y x π=+的周期、单调区间和最值．（当x 的系数为负数时，单调性相反）解析：周期22T ππ==，由函数x y sin =的递增区间[2,2]22k k ππππ-+，可得 222232k x k πππππ-≤+≤+，即51212k x k ππππ-≤≤+， 于是，函数5sin(2)73y x π=++的递增区间为5[,]1212k k ππππ-+． 同理可得函数5sin(2)73y x π=++递减区间为7[,]1212k k ππππ++．当2232x k πππ+=+，即12x k ππ=+时，函数5sin(2)3y x π=+取最大值5；当2232x k πππ+=-，即512x k ππ=-时，函数5sin(2)3y x π=+取最大值5-． 例2：求函数5sin(2)7,[0,]32y x x ππ=++∈的单调区间和最值．解析：由[0,]2x π∈，可得42[,]333x πππ+∈．然后画出23x π+的终边图，然后就可以得出当2[,]332x πππ+∈，即[0,]12x π∈时，函数5sin(2)73y x π=++单调递增； 当42[,]323x πππ+∈，即[,]122x ππ∈时，函数5sin(2)73y x π=++单调递减．同时，当232x ππ+=，即12x π=时，函数5sin(2)73y x π=++取最大值12；当4233x ππ+=，即2x π=时，函数5sin(2)73y x π=++取最小值7；注意：当x 的系数为负数时，单调性的分析正好相反．2、函数sin()y A x h ωϕ=++&cos()y A x h ωϕ=++&tan()y A x h ωϕ=++，其中0,0A ϕ>≠： （（2）函数sin()y A x h ωϕ=++与函数sin y x =的图像的关系如下： ①相位变换：当0ϕ>时，sin sin()y x y x ϕϕ=−−−−−−→=+向左平移个单位； 当0ϕ<时，sin sin()y x y x ϕϕ=−−−−−−→=+向右平移个单位； ②周期变换：当1ω>时，1sin()sin()y x y x ωϕωϕ=+−−−−−−−−−−−−−−→=+所有各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）； 当01ω<<时，1sin()sin()y x y x ωϕωϕ=+−−−−−−−−−−−−−−→=+所有各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）； ③振幅变换：当1A >时，sin()sin()A y x y A x ωϕωϕ=+−−−−−−−−−−−−−−→=+所有各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）； 当01A <<时，sin()sin()A y x y A x ωϕωϕ=+−−−−−−−−−−−−−−→=+所有各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）； ④最值变换：当0h >时，sin()sin()h y A x y A x h ωϕωϕ=+−−−−−−−−−→=++所有各点向上平行移动个单位； 当0h <时，sin()sin()h y A x y A x h ωϕωϕ=+−−−−−−−−−→=++所有各点向下平行移动个单位； 注意：函数cos()y A x h ωϕ=++和函数tan()y A x h ωϕ=++的变换情况同上．3、三角函数的值域： （1）sin y a x b =+型：设sin t x =，化为一次函数y at b =+在闭区间[1,1]-上求最值． （2）sin cos y a x b x c =±+，,0a b >型：引入辅助角,tan baϕϕ=，化为)y x c ϕ=±+． （3）2sin sin y a x b x c =++型：设sin [1,1]t x =∈-，化为二次函数2y at bt c =++求解． （4）sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+型：设sin cos [t x x =±∈，则212sin cos t x x =±，化为二次函数2(1)2a t y bt c -=±++在闭区间[t ∈上求最值．（5）tan cot y a x b x =+型：设tan t x =，化为by at t=+，用“Nike 函数”或“差函数”求解．（6）sin sin a x by c x d+=+型：方法一：常数分离、分层求解；方法二：利用有界性，化为1sin 1x -≤≤求解．（7）sin cos a x by c x d +=+型：化为sin cos a x yc x b dy -=-)x b dy ϕ+=-，利用有界性，sin()[1,1]x ϕ+=-求解．（8）22sin cos sin cos a x x b x c x ++，（0,,a b c ≠不全为0）型：利用降次公式，可得22sin cos sin cos sin 2cos 2222a cb bc a x x b x c x x x -+++=++，然后利用辅 助角公式即可．4备注：①x y sin =和x y cos =的对称中心在其函数图像上；②x y tan =和x y cot =的对称中心不一定在其函数图像上．（有可能在渐近线上） 例3：求函数5sin(2)73y x π=++的对称轴方程和对称中心．解析：由函数sin y x =的对称轴方程2ππ+=k x ，Z k ∈，可得232x k πππ+=+，Z k ∈解得122k x ππ=+，Z k ∈． 所以，函数5sin(2)73y x π=++的对称轴方程为122k x ππ=+，Z k ∈．由函数sin y x =的中心对称点)0,(πk ，Z k ∈，可得23x k ππ+=，Z k ∈解得62k x ππ=-+，Z k ∈． 所以，函数5sin(2)73y x π=++的对称中心为(,7)62k ππ-+，Z k ∈．5、反正弦、反余弦、反正切函数的性质和图像：x y arcsin = x y arccos =x y arctan =定义域 ]1,1[-]1,1[-),(+∞-∞值域 ]2,2[ππ-],0[π )2,2(ππ-奇偶性 奇函数非奇非偶函数 奇函数单调性 在[1,1]-上是增函数在[1,1]-上是减函数在),(+∞-∞上是增函数对称中心点(0,0)点(0,)2π点(0,0)图像重要结论：①[1,1]sin(arcsin )cos(arccos )a a a a ∈-⇒==； ②tan(arctan )a R a a ∈⇒=． （2）先三角函数后反三角函数： ①[,]22ππθ∈-⇒arcsin(sin )θθ=； ②[0,]θπ∈⇒arccos(cos )θθ=；③(,)22ππθ∈-⇒arctan(tan )θθ=． （3）反三角函数对称中心特征方程式：①[1,1]a ∈-⇒arcsin()arcsin a a -=-； ②[1,1]a ∈-⇒arccos()arccos a a π-=-； ③(,)a ∈-∞+∞⇒arctan()arctan a a -=-． 6、解三角方程公式：sin ,1(1)arcsin ,cos ,12arccos ,tan ,arctan ,k x a a x k a k Z x a a x k a k Z x a a R x k a k Z πππ⎧=≤=+-∈⎪=≤=±∈⎨⎪=∈=+∈⎩．。
