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C：y f ( x) . B
A. )
S ) )
x
则 K lim lim d 称为曲线 C 在点
S0 S S0 S dS A 处的曲率. ( 它刻划了曲线在一点处的弯曲程度)
（这里取绝对值是为了使平均曲率、曲率都是正数）
2. 曲率的计算公式
由定义知 K d
dS
设曲线 C : y f ( x)，a x b, 且 f 二阶可导,
d2y dx2
d dx
dy dx
rsin
r cos
d
rcos r sin dx
r 2 2(r)2 r r
(r cos r sin )3
,
y
r 2 2(r)2 r r
K
(1 y2 )3 2
[r 2 (r)2 ]3 2
.
例1 1) 求直线 y ax b 的曲率，
AOB S ,
R
K S 1 .
S RS R
1
K lim . S0 S R
同理可得 K 1 . R
.O )
R .B
s
.
)
.A
O.
R
R R, K K ,
. O 比 . O
弯曲得厉害 .
或用公式: K
(t)(t) (t) (t)
3
.
2(t) 2(t) 2
圆
:
若曲线 C : r r( ) , , r( ) 在[ , ]
连续，
C
:
x y
r( r(
) )
cos sin
, 为参数
,则
ds [(r( )cos )]2 [(r( )sin )]2 d
[r( )]2 [r( )]2 d
二. 曲率及其计算 1. 曲率的定义
曲线的弯曲程度 .
3.6 弧微分 曲率 函数作图
一. 弧 微 分
y
设函数f ( x)在区间(a, b) 内具有连续导数.
y f (x) N
C A M s y
x
取定点 A( x0 , y0 ) C， o x0 x x x x
基点 , M( x, y)C, 有 AM s s( x) ,
给 x 以增量 x, 相应有 y f ( x x ) f ( x) ,
MN
MN
2
1
y x
2
当 x 0 N M, lim MN lim MN 1 , x0 MN N M MN
ds 2
dx
lim x0
s x
2
1 dy 2 dx
ds dx
1
dy
2
,
dx
s( x) 是单调递增函数，y
ds
1
dy
2
,
y
CA
f ( x) N. M. s
y
T
dy
dx
dx
x ds
o x0 x x x x
(ds)2 (dx)2 (dy)2
ds (dx)2 (dy)2
弧微分公式
或ds 1 y2 dx
若曲线C :
x
y
(t)
,
(t)
t
,
在 [， ] 连续且不全为零，则
(t), (t)
ds [(t)]2 [ (t)]2 dt
A
A
) 1
1 2
) 2
. S .
A
B
B
A .S . B
弧长相等的两曲线段，
B
切线转动的角度越大曲线弯曲得越厉害 .
切线转角相同的两曲线段
. . 弧长越短曲线弯曲得越厉害 .
)
由此可见，曲线的弯 A B
曲程度不仅与其切线方向
S
S S
变化的角度 的大小有
. . 关，而且还与所考察的曲
S
线的弧长 S 有关 .
率的倒数，称为曲线C 在该点的曲率半径 ,
记作：
1 K
（当K 0 时，则
曲率半径 ）
如 图 ， 在 曲 线C 上 点 M 处 作 法 线, 并 在 曲 线 凹 的 一 侧 法 线
O. .M
上 取 一 点O, 使 OM .
C
以 O 为圆心, 为半径作一个圆，称这个圆为曲
线 C 在点 M 处的曲率圆 . O 点称为曲率中心 .
(t )
,
y K (1 y2 )3 2
(t ) (t ) (t ) (t )
3
2(t) 2(t) 2
.
若曲线 C : r r( ) , , r( ) 二阶可导，
则
x y
r( r(
) cos ) sin
, 为参数 ，
dy r( )sin r( )cos , dx r( )cos r( )sin
tan y, 有 arctan y,
d
y 1 y2
dx,
dS
1 y2 dx .
则曲线上横坐标为 x 的点 A 处的曲率为：
K
d
dS
y
3
(1 y2 ) 2
曲率公式
若曲
线C
由
参数
方 程 xy
(t) (t)
给出
，
则 dy (t) , dx (t)
d2y dx2
(t ) (t ) (t ) [ (t )]3
x
y
R R
cos t sint
,
x Rsint
y
Rcos t
,
x
y
Rcos t R sin t
,
K 1 . R
结论：圆上各点处的曲率都等于其半径的倒
数 1 R ，且半径越小曲率越大 ; 圆的半径
恰好是其曲率的倒数R 1 K .
一般地，把曲线C : y f ( x) 上一点的曲
曲线 C 在点 M 处与
其曲率圆有下列关系：
(1) 有ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ同的切线，即曲率圆
O.
与曲线C 在 M 点相切；
(2) 有相同的曲率，都等于1 ，C
y f (x)
.M
即它们的弯曲程度一样，亦即曲率圆与曲线
A
B
所以，应该用比 来衡量曲线的弯曲程度.
S
单位弧长切线方向变化的角度 .
定义 设 A 为曲线 C : y f ( x) 上一点, B 为 C
上 A 附近的一点, AB 的弧长记为 S，从 A 到 B
切线方向变化的角度为 ， y 则 K 称为 AB 弧
S
平均曲率（平均弯曲程度），
当 B 沿 C A S 0， o
N ( x x, y y) C,
s s( x x) s( x) AN AM MN
s AN AM MN y
而 MN 2 (x)2 (y)2
s 2 MN 2
y f (x) N
C A M s y
x
x x
o x0 x x x x
2
2
MN
MN
MN
x
2) 求半径为 R 的圆的曲率 .
解 1) 若用定义，由于直线上任一点处的切线
就是它本身， 切线方向变化的角度 0，
0,
S
K 0, K 0.
y a, y 0 .
或由公式K
(1
y y2 )3 2
直接得：K 0 .
结论：直线上任一点处的曲率均为零， 即 直线不弯曲.
2) 若用定义，如图： 切线转动的角度：
