苏教版数学必修五：3.3.3简单的线性规划问题-作业纸

苏教版必修5第3章第三节二元一次不等式组与简单的线性规划问题 3 简单的线性规划问题（习题+解析）值；（2）求x y 的取值范围；（3）求x 2＋y 2的取值范围。

**8. 已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥m y x x y y 12,1，若目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围是[－2，－1]，求目标函数的最大值的取值范围。

***9. 某家具厂有方木料90 m 3，木工板600 m 3，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，木工板2 m 3；生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，木工板1 m 3，出售一张书桌可以获利80元，出售一张书橱可以获利120元。

问：怎样安排生产可以获利最大？1. [4，8]解析：作出满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≤≤≤122010x y y x 的可行域（如图所示）。

作直线2y －2x ＝0，并将其平移，由图象可知当直线经过点A （0，2）时，z max ＝2×2－2×0＋4＝8；当直线经过点B （1，1）时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4。

所以z 的取值范围是[4，8]。

2. 16解析：设票面8角的买x 套，票面2元的买y 套。

由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧≤⨯+⨯∈≥∈≥504258.0,2,2**y x N y y N x x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≤+≥≥*,,2542,2,2N y x y x y x画出如图平面区域得y ＝2时，x ＝2，3，4，5，6，7，8；y ＝3时，x ＝2，3，4，5，6；y ＝4时，x ＝2，3，4；y ＝5时，x ＝2。

共有7＋5＋3＋1＝16种买法。

3. （－1，－2）解析：不等式组表示的平面区域如图所示： ∵平面区域不包括边界，∴平面区域内的整点共有（－1，－1），（－1，－2），（－2，－1）三个。

代入检验知，整点为（－1，－2）时，x ＋2y 取得最小值。

简单的线性规划问题(一)课时目标 1. 认识线性规划的意义.2. 会求一些简单的线性规划问题．线性规划中的基本观点名称意义拘束条件由变量 x， y 构成的不等式或方程线性拘束条件由 x， y 的一次不等式(或方程)构成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所波及的变量x， y 的函数分析式线性目标函数对于 x， y 的一次分析式可行解知足线性拘束条件的解 ( x，y)可行域拘束条件表示的平面地区最优解使目标函数获得最大值或最小值的可行解求线性目标函数在 __________条件下的最大值或最小值线性规划问题问题一、填空题x＋3y－3≥0，．若实数x ，y知足不等式组2x－y－3≤0，则x＋y的最大值为________．1x－ y＋1≥0，x＋ y≤4，．已知点，的坐标知足条件 y≥，则2＋2的最大值为．P( x y)x y________ 2x≥1，x＋ y≥3，3．设变量x， y 知足拘束条件x－ y≥－1，则目标函数z＝2x＋3y 的最小值为2x－y≤3.________．4．已知－ 1<x＋y<4 且 2<x－y<3，则z＝ 2x－ 3y的取值范围是 ________． ( 答案用区间表示 )x＋2y－5≤0，5．已知实数x，y知足x≥1，yy≥0，则x的最大值为 ____________．x＋2 －3≥0，yx－ y＋2≥0，．设变量x ，知足拘束条件x－5y＋10≤0，则目标函数z＝－4y的最大值和6y3xx＋ y－8≤0，最小值分别为 ________和________．y≥07．在座标平面上有两个地区和，此中地区＝x ，y|y≤ x，地区M N My≤2－ xN＝{( x， y)|t ≤x≤ t ＋1,0≤ t ≤1}，地区 M和 N公共部分的面积用函数 f ( t )表示，则f ( t )的表达式为________．x≥1，8．设不等式组x－2y＋3≥0，所表示的平面地区是Ω 1，平面地区Ω2与Ω1对于y≥ x直线 3x－ 4y－ 9＝ 0 对称．对于Ω1中的随意点 A与Ω2中的随意点 B，则 AB的最小值为________．二、解答题x ＋3 ≥12y．线性拘束条件x＋ y≤10下，求z ＝2x－y的最大值和最小值．93 ＋≥12x y2x＋y－5≥02210．已知3x－y－5≤0，求x＋y的最小值和最大值．能力提高x－ y＋6x＋ y－6≥011．已知实数x， y 知足，求x2＋y2－2的取值范围．1≤x≤42x＋y－2≥0y＋112．已知实数x、 y 知足x－2y＋4≥0，试求z＝x＋1的最大值和最小值．3x－y－3≤01．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各极点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中界限直线的斜率进行比较，确立最优解．2．在解决与线性规划有关的问题时，第一考虑目标函数的几何意义，利用数形联合方法可快速解决有关问题．3． 3.3简单的线性规划问题( 一 )答案知识梳理线性拘束作业设计1． 9分析画出可行域如图：当直线 y＝－ x＋ z 过点 A时， z 最大．2 －－ 3＝0，x y得 A(4,5)，∴ z＝ 4＋5＝ 9.由maxx－y＋1＝02. 10分析画出不等式组对应的可行域以下列图所示：易得 A (1,1) ， | OA | ＝ 2， B (2,2) ，| OB | ＝2 2，C (1,3) ， | OC | ＝ 10.2 2)22∴ ( x ＋ y＝|OC| ＝(10) ＝ 10.max3． 7分析 作出可行域以下图．由图可知， z ＝ 2x ＋ 3y 经过点 A (2,1) 时， z 有最小值， z 的最小值为 7. 4． (3,8)－ 1<x ＋ y <4，分析 由得平面地区如图暗影部分所示．2<x － y <3由x ＋ y ＝－ 1，x － y ＝ 3得x ＝ 1，y ＝－ 2.由x ＋ y ＝ 4，x－ y ＝ 2得x ＝ 3，y ＝ 1.∴ 2×3－3×1< z ＝ 2x － 3y <2×1－3×( － 2) ， 即 3<z <8，故 z ＝ 2x － 3y 的取值范围是 (3,8) ． 5． 2x ＋ 2y －5≤0，x ≥1，y y － 0分析画出不等式组y ≥0，对应的平面地区 Ω， x ＝ x － 0表示平面区x ＋2 －3≥0y域 Ω 上的点 P ( x ， y ) 与原点的连线的斜率．yA (1,2) ，B (3,0) ，∴ 0≤ x ≤2.6．3－11分析作出可行域如图暗影部分所示，由图可知z＝3x－4y 经过点过点 B时 z 有最大值．易求 A(3,5)，B(5,3)．∴ z 最大＝3×5－4×3＝＝－ 11.A 时 z 有最小值，经3，z最小＝3×3－4×52 17．f ( t ) ＝－t＋t＋2分析y≥0作出不等式组y≤ x所表示的平面地区．y≤2－ x由 t ≤x≤ t ＋1,0≤ t ≤1，得△ OEF△AOD△ BFC1 2 1221f ( t )＝S － S － S＝ 1－2t－2(1 －t ) ＝－t＋t＋2.8． 4分析以下图．由拘束条件作出可行域，得D(1,1)， E(1,2)， C(3,3)．要求 ( AB) min，可经过求D、E、C三点到直线3x－4y－9＝0距离最小值的 2 倍来求．经剖析， D(1,1)到直线|3 ×1－4×1－ 9|3x－ 4y－ 9＝ 0 的距离d＝5＝2 最小，∴ ( AB) min＝ 4.9．解如图作出线性拘束条件x＋3y≥12x＋ y≤10下的可行域，包括界限：此中三条直线中x＋3y＝12与3x＋ y＝12交3x＋y≥12于点 A(3,3)，x＋＝10与x＋3 ＝12交于点 (9,1)，y y Bx＋ y＝10与 3x＋y＝ 12交于点 C(1,9)，作一组与直线2x－y＝ 0 平行的直线l： 2x－y＝z，即 y＝2x－ z，而后平行挪动直线 l ，直线 l 在 y 轴上的截距为－ z，当 l 经过点 B时，－ z 取最小值，此时 z 最大，即 z max＝2×9－1＝17；当 l 经过点 C时，－ z 取最大值，此时 z 最小，即 z min＝2×1－9＝－7.∴z max＝17，z min＝－7.10．解作出不等式组2x＋y－5≥03x－y－5≤0的可行域以下图，x－2y＋5≥0x－2y＋5＝0由，得 A(1,3)，2x＋y－ 5＝0x－2y＋5＝0由，得 B(3,4)，3x－y－ 5＝03x － y － 5＝0，得 C (2,1) ，由2x ＋ y － 5＝0设 z ＝x 2＋ y 2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，联合图形知，原点到点 B的距离最大，注意到OC ⊥AC ，∴原点到点 C 的距离最小．故 z max ＝ | OB | 2＝ 25，z min＝ | | 2＝5.OC11．解 作出可行域如图，由 x 2＋ y 2＝( x － 0) 2＋( y － 0) 2，能够看作地区内的点与原点的距离的平方， 最小值为原点到直线x ＋y － 6＝ 0 的距离的平方，22即 OP ，最大值为 OA ，此中 A (4,10) ，OP ＝ |0 ＋0－ 6| ＝62， 2 2 ＝ 3 1 ＋ 1 2OA ＝ 42＋ 102＝ 116，∴ ( x 2＋ y 2－2) min ＝ (3 2) 2－ 2＝ 18－2＝ 16， ( x 2＋ y 2－ 2) max ＝( 116) 2 －2＝ 116－2＝ 114， ∴ 16≤ x 2＋ y 2－2≤114.即 x 2＋ y 2－2 的取值范围为 16≤ x 2＋ y 2－2≤114.y ＋ 1 y －－ 112．解因为 z ＝ x ＋ 1＝ x － － 1 ，所以 z 的几何意义是点 ( x ， y ) 与点 M ( － 1，－ 1) 连线的斜率，所以y ＋1的最值就是点 ( x ， y ) 与点 M ( － 1，－ 1) 连线的斜率的最值，x ＋ 1联合图可知，直线 MB 的斜率最大，直线 MC 的斜率最小，即z max ＝ k MB ＝ 3，此时 x ＝ 0，y ＝ 2；1z min ＝ k MC ＝ 2，此时 x ＝ 1，y ＝ 0.1∴ z 的最大值为3，最小值为 2.。

3.3.3 简单的线性规划问题(一)课时目标 1.了解线性规划的意义.2.会求一些简单的线性规划问题．问题一、填空题1．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为________．2．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为________．3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3.则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________．4．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)5．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0，则yx的最大值为____________． 6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为________和________．7．在坐标平面上有两个区域M 和N ，其中区域M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤x y ≤2－x ，区域N ＝{(x ，y )|t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1}，区域M 和N 公共部分的面积用函数f (t )表示，则f (t )的表达式为________．8．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0y ≥x，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，则AB 的最小值为________．二、解答题9．线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下，求z ＝2x －y 的最大值和最小值．10．已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0，求x 2＋y 2的最小值和最大值．能力提升11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋6)(x ＋y －6)≥01≤x ≤4，求x 2＋y 2－2的取值范围．12．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥03x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值．1．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．3．3.3 简单的线性规划问题(一)答案知识梳理 线性约束 作业设计 1．9解析 画出可行域如图：当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9. 2. 10解析 画出不等式组对应的可行域如下图所示：易得A (1,1)，|OA |＝2，B (2,2)， |OB |＝22，C (1,3)，|OC |＝10.∴(x 2＋y 2)max ＝|OC |2＝(10)2＝10. 3．7解析 作出可行域如图所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7. 4．(3,8)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ＋y <4，2<x －y <3得平面区域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝－1，x －y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1. ∴2×3－3×1<z ＝2x －3y <2×1－3×(－2)，即3<z <8，故z ＝2x －3y 的取值范围是(3,8)． 5．2解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0对应的平面区域Ω，y x ＝y －0x －0表示平面区域Ω上的点P (x ，y )与原点的连线的斜率． A (1,2)，B (3,0)，∴0≤yx≤2.6．3 －11解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时z 有最小值，经过点B 时z 有最大值．易求A (3,5)，B (5,3)．∴z 最大＝3×5－4×3＝3，z 最小＝3×3－4×5＝－11.7．f (t )＝－t 2＋t ＋12解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤xy ≤2－x所表示的平面区域．由t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1，得f (t )＝S △OEF －S △AOD －S △BFC ＝1－12t 2－12(1－t )2＝－t 2＋t ＋12.8．4解析 如图所示．由约束条件作出可行域，得D (1,1)，E (1,2)，C (3,3)．要求(AB )min ，可通过求D 、E 、C 三点到直线3x －4y －9＝0距离最小值的2倍来求． 经分析，D (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3×1－4×1－9|5＝2最小，∴(AB )min ＝4.9．解 如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下的可行域，包含边界：其中三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3,3)，x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)， x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，作一组与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点B 时， －z 取最小值，此时z 最大，即z max ＝2×9－1＝17；当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7. ∴z max ＝17，z min ＝－7. 10．解 作出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0的可行域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5＝02x ＋y －5＝0，得A (1,3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝03x －y －5＝0，得B (3,4)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝02x ＋y －5＝0，得C (2,1)， 设z ＝x 2＋y 2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B 的距离最大，注意到OC ⊥AC ，∴原点到点C 的距离最小．故z max ＝|OB |2＝25， z min ＝|OC |2＝5.11．解 作出可行域如图，由x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，可以看作区域内的点与原点的距离的平方，最小值为原点到直线x ＋y －6＝0的距离的平方， 即OP 2，最大值为OA 2，其中A (4,10)，OP ＝|0＋0－6|12＋12＝62＝32，OA ＝42＋102＝116，∴(x 2＋y 2－2)min ＝(32)2－2＝18－2＝16， (x 2＋y 2－2)max ＝(116)2－2＝116－2＝114， ∴16≤x 2＋y 2－2≤114.即x 2＋y 2－2的取值范围为16≤x 2＋y 2－2≤114. 12．解 由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)，所以z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率， 因此y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，结合图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即 z max ＝k MB ＝3，此时x ＝0，y ＝2； z min ＝k MC ＝12，此时x ＝1，y ＝0.∴z 的最大值为3，最小值为12.。

．简单的线性规划问题(一)
学习目标.了解线性规划的意义.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．
引例已知，满足条件①
该不等式组所表示的平面区域如图，求＋②
的最大值．
以此为例，试通过下列问题理解有关概念．
知识点一线性约束条件
在上述问题中，不等式组①是一组对变量、的约束条件，这组约束条件都是关于、的次不等式，故又称线性约束条件．
知识点二目标函数
在上述问题中，②是要研究的目标，称为目标函数．因为它是关于变量、的次解析式，这样的目标函数称为线性目标函数．
知识点三线性规划问题
一般地，在线性约束条件下求的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题．
知识点四可行解、可行域和最优解
满足线性约束条件的解(，)叫．作出约束条件所表示的平面区域，这一区域称为可行域．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．在上述问题的图中，阴影部分叫，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个，其中能使②式取最大值的可行解称为．
类型一最优解问题
命题角度问题存在唯一最优解
例已知，满足约束条件
该不等式组所表示的平面区域如图，
求＋的最大值．。

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3.3。

3简单的线性规划问题（1）【学习目标】1．了解线性规划的意义、了解可行域的意义；2．掌握简单的二元线性规划问题的解法．【学习重点】二元线性规划问题的解法的掌握．【学习难点】求非线性目标函数的最值．【学习过程】一、引入某工厂生产甲、乙两种产品，生产1t甲种产品需要A种原料4t、B种原料12t，产生的利润为2万元;生产1t乙种产品需要A种原料1t、B种原料9t,产生的利润为1万元．现有库存A种原料10t，B种原料60t，问如何安排才能使利润最大？二、新授内容：1、目标函数、线性目标函数：诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．y=2是欲达到最大值或最小值所涉及的P+x变量x,y的解析式，我们把它称为目标函数．由于y=2又是关于x，y的一次解析式，所xP+以又可叫做线性目标函数．注意:线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．2、线性规划问题:一般地，求______________在______________下的________________的问题，统称为线性规划问题．3、可行解、可行域、最优解：满足线性约束条件的解(x ，y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域(类似函数的定义域)．在问题中，可行域就是约束条件所表示的平面区域．其中可行解0011(,),(,)A x y B x y (一般是区域的顶点）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．线性规划是一种重要的优化模型，生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题．4、线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1)根据题意，设出变量x 、y ；（2)找出线性约束条件；(3）确定线性目标函数z =f （x ，y ）；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域)；(5）利用线性目标函数作平行直线系f （x ,y ）=t （t 为参数）；（6)观察图形，找到直线f （x ,y )=t 在可行域上使t 取得欲求最值的位置，以确定最优解；（7）将最优解带入目标函数，求出最值．例1．若已知y x ,满足4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，．求y x z +=2的最大值和最小值．【变式拓展】画出以A（3，－1）、B（－1，1）、C（1，3）为顶点的△A BC的区域(包括各边)，写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z=3x－2y的最大值和最小值．例2．已知yx,满足不等式组230236035150x yx yx y-->⎧⎪+-<⎨⎪--<⎩，，．求使yx+取最大值的整数yx,的值．例3．设实数x，y满足错误!则错误!的最大值为________．【变式拓展】设实数x,y满足错误!则22x y+的最大值是___________．三、课堂反馈:1．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”)（1)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．（ ） （2)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．（ ) (3)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距． （ ）2．若0,0x y ≥≥,且1x y +≤,则z x y =-的最大值为___________．3．设,z x y =-其中,x y 满足条件30,20,x y x y +-≥⎧⎨-≥⎩则 z 的最小值为___________．4．已知点(,)P x y 在不等式组20,10,220,x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域内运动,则z x y =-的取值范围是_________________．5。

典型例题
【例1】求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积.
【例2】某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?
参考答案
例1：
【分析】依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积.
【解】｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化为
或或或
其平面区域如图：
∴面积S=×4×4=8
【点拨】画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.
例2：
【分析】弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.
【解】设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么
z=252x+160y，
作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图
作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小.
观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求.
此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，
zmin=252×2+160×5=1304.
答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低.
【点拨】用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.。

[学业水平训练]一、填空题1．给出下列命题：①线性规划中的最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量x 和y 的值； ②线性规划中的最优解指的是目标函数的最大值或最小值；③线性规划中的最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域； ④线性规划中的最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解． 其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号) 答案：①④2．已知1≤a ≤2，－1≤b ≤3，则2a ＋b 的取值范围是________．解析：在平面直角坐标aOb 中画出可行域(图略)，可得目标函数z ＝2a ＋b 的最小值和最大值分别为1与7，故2a ＋b 的取值范围是[1，7]．答案：[1，7]3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥2，y ≥3x －6，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为________．解析：因为变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥2，y ≥3x －6，在坐标系中画出可行域△ABC ，A (2，0)，B (1，1)，C (3，3)，则使目标函数z ＝2x ＋y 取最小值的点是B 点，代入即可得z min ＝3.答案：34．满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0，并使目标函数z ＝6x ＋8y 取得最大值的点的坐标是________．解析：可行域(如图所示)是四边形OABC 及其内部的区域．作出l 0：6x ＋8y ＝0即3x ＋4y ＝0，平移直线l 0到l 的位置，由图形知，当l 过点C (0，5)时，z 取得最大值．答案：(0，5)5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，则a 的取值范围是________．解析：作出可行域如图所示，直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，即－4<a <2.答案：(－4，2)6．(2014·浙江省嘉兴一中月考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x －y ＋1≤02x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．解析：画出满足条件的可行域(如图)，根据x 2＋y 2表示可行域内一点到原点的距离，可知x 2＋y 2的最小值是|AO |2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －y ＋1＝0得A (1，2)，所以|AO |2＝5.答案：57．配制A ，B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3mg 、乙料5mg ；配一剂B 种药需甲料5mg 、乙料4mg.今有甲料20mg 、乙料25mg ，若A ，B 两种药至少各配一剂，则不同的配制方法的种数是________．解析：设A ，B 两种药分别配x ，y 剂．则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥1，3x ＋5y ≤20，作出可行域（如图）.5x ＋4y ≤25，x ，y ∈N .上述不等式组的解集是可行域中的整点．运用画网格的方法，可得这个区域内的整点为：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，所以在至少各配一剂的情况下，共有8种不同的配制方法．答案：8 二、解答题8．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x ＋y ≤s y ＋2x ≤4下，当3≤s ≤5时，求目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围．解：如图，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝s y ＋2x ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－sy ＝2s －4，交点为B (4－s ，2s －4)，其他各交点分别为A (2，0)，C (0，s )，C ′(0，4)． (1)当3≤s ＜4时，可行域是四边形OABC ，此时7≤z max ＜8； (2)当4≤s ≤5时，可行域是△OAC ′，此时z max ＝8.由(1)，(2)可知目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是[7，8]．9．一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？解：设水稻种x 亩，花生种y 亩，得到的利润为P ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，240x ＋80y ≤400，x ≥0，y ≥0.而利润P ＝(3×400－240)x ＋(5×100－80)y＝960x ＋420y (目标函数)，可行域如图所示，可联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，240x ＋80y ＝400，得交点B (1.5，0.5)．故当x ＝1.5，y ＝0.5时，P max ＝960×1.5＋420×0.5＝1650，即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大．[高考水平训练]一、填空题1．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－222x ＋3y ≥92x ≤11，则z＝10x ＋10y 的最大值是________．解析：先画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ＝－22，2x ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5.5，y ＝4.5，但x ∈N *，y ∈N *，结合图知当x ＝5，y ＝4时，z max ＝90. 答案：902．(2014·湖北省襄阳四中期中考试)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0y ≥a0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．解析：作出满足条件的可行域(如图)，当y ＝a 过点A (0，5)时表示的平面区域为△ABC ；当5<a <7时表示的平面区域均为三角形．综上，5≤a <7.答案：5≤a <7 二、解答题3．某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t ，需矿石4t 、煤3t ，生产乙种产品1t ，需矿石5t 、煤10t ，每1t 甲种产品的利润是7万元，每1t 乙种产品的利润是12万元，工厂在生产这两种产品的计划中，要求消耗矿石不超过200t ，煤不超过300t ，问：甲、乙两种产品应各生产多少，能使利润总额达到最大？解：设生产甲、乙两种产品分别为x t 、y t ，利润总额为z 万元，则z ＝7x ＋12y ，且⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0，作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得P (20，24)． ∴当x ＝20，y ＝24时，z 取得最大值．所以应生产甲种产品20t ，乙种产品24t ，能使利润总额达到最大．4．某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，现销售给A 地10台、B 地8台．已知从甲地调运1台至A 地、B 地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至A 地、B 地的运费分别为300元和500元．请你设计调运方案，使总运费不超过9000元．解：设从甲地调x 台给A 地，则给B 地(12－x )台；从乙地调y 台给A 地，则给B 地(6－y )台．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，400x ＋800（12－x ）＋300y ＋500（6－y ）≤9000，0≤x ≤12，0≤y ≤6，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，2x ＋y ≥18，0≤x ≤12，0≤y ≤6，x ，y ∈N .作出可行域如图所示．由图知，符合条件的x ，y 为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝0.所以为使运费不超过9000元，可有三种调运方案．方案1从甲地调8台给A地、4台给B地；再从乙地调2台给A地、4台给B地．方案2从甲地调9台给A地、3台给B地；再从乙地调1台给A地、5台给B地．方案3从甲地调10台给A地，2台给B地，再从乙地调6台给B地．。

简单的线性规划问题（二）一、自主学习学习目标：1.能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能给出解答；2.培养学生的数学应用意识和解决问题的能力．3.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．学习重点：将实际问题转化为线性规划问题求解（建立线性规划模型）学习难点：如何把实际问题转化为简单的线性规划问题，并准确给出解答．学习方法：通过实例学习，感受线性规划中的建模问题，培养应用数学的能力。

解决重点、难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．为突出重点，突破难点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化．二、学习过程问题一：（1）线性规划及其有关概念是什么？（2）解线性规划问题的一般方法和步骤是什么？问题二：前面我们用图解法解决了一些求线性目标函数最大值、最小值的问题．在现实生活中，我们还会遇到什么样的与线性规划有关的问题呢？下面通过以下事例，了解有关线性规划问题。

例1 （教材例1）投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？分析：这是一个二元线性规划问题，可先将题中数据整理成下表，以方便理解题意：然后根据此表数据，设出未知数，列出约束条件和目标函数，最后用图解法求解．例2（教材例2）某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180吨．该公司有8辆载重为6吨的A型卡车与4辆载重为10吨的B型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返的次数为A型车4次，B型车3次．每辆卡车每天往返的成本费为A型车320元，B型车为504元．试为该公司设计调配车辆的方案，使公司花费的成本最低．。

3.3.3 简单的线性规划问题(二)学习目标 1.了解实际线性规划中的整数解求法.2.会求一些简单的非线性函数的最值．知识点一 非线性约束条件思考 类比探究二元一次不等式表示平面区域的方法，画出约束条件(x －a )2＋(y －b )2≤r 2的可行域．梳理 约束条件不是________________不等式，这样的约束条件称为非线性约束条件．知识点二 非线性目标函数思考 在问题“若x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，x ≤4，y ≤4，求z ＝y －1x －1的最大值”中，你能仿照目标函数z ＝ax ＋by 的几何意义来解释z ＝y －1x －1的几何意义吗？梳理 下表是一些常见的非线性目标函数．类型一 实际生活中的线性规划问题例1 要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？反思与感悟 在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用列举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．跟踪训练1 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才是最好的选择？类型二 非线性目标函数的最值问题命题角度1 斜率型目标函数例2 已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值．引申探究1．若将目标函数改为 z ＝3y ＋12x ＋1，求z 的取值范围．2．若将目标函数改为z ＝2x ＋y ＋1x ＋1，求z 的取值范围．命题角度2 两点间距离型目标函数例3 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，试求z ＝x 2＋y 2的最大值和最小值．反思与感悟 (1)对于形如cx ＋dy ＋fax ＋b 的目标函数，可变形为定点到可行域上的动点连线的斜率问题．(2)当斜率k 、两点间的距离、点到直线的距离与可行域相结合求最值时，注意数形结合思想方法的灵活运用．跟踪训练2 变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．1．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有________种． 2．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为________．3．若x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，x ≤4，y ≤4，则z ＝y －1x －1的最大值是________．4．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤1，x ＋y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为______．1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．答案精析问题导学 知识点一 思考梳理 二元一次 知识点二思考 z ＝y －1x －1的几何意义是点(x ，y )与点(1,1)连线的斜率．梳理在y 轴上的截距 在y 轴上的截距最大(或最小) (x ，y ) (a ，b ) 平方 交点 (x ，y ) (a ，b ) 斜率 斜率 题型探究例1 解 设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥15，x ＋2y ≥18，x ＋3y ≥27，x ∈N ，y ∈N .作出可行域如图(阴影部分)目标函数为z ＝x ＋y ，作出一组平行直线x ＋y ＝t ，其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线x ＋3y ＝27和直线2x ＋y ＝15的交点M ⎝⎛⎭⎫185，395，直线方程为x ＋y ＝575.由于185和395都不是整数，而最优解(x ，y )中，x ，y 必须都是整数，所以可行域内点M ⎝⎛⎭⎫185，395不是最优解．经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x ＋y ＝12，经过的整点是B (3,9)和C (4,8)，它们都是最优解．答 要截到所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法都最少要截两种钢板共12张．跟踪训练1 解 设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ≤2 000，y ≥x ，y ≤1.5x ，x ∈N ，y ∈N .由⎩⎪⎨⎪⎧ 50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得⎩⎨⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫2007，2007.由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点坐标为(25，752)．所以满足条件的可行域是以 A ⎝⎛⎭⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎫25，752，O ()0，0 为顶点的三角形区域(含边界)(如图)，由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内经过点B ⎝⎛⎭⎫25，752时取得最大值， 但注意到x ∈N ，y ∈N ，故取⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．例2 解 作出不等式组表示的平面区域如图(阴影部分)所示．由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)，故z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率， 因此y ＋1x ＋1的最值是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，由图可知直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小， 又∵B (0,2)，C (1,0)， ∴z max ＝k MB ＝3，z min ＝k MC ＝12.∴z 的最大值为3，最小值为12.引申探究1．解 z ＝32·y ＋13x ＋12，其中k ＝y ＋13x ＋12的几何意义为点(x ，y )与点N ⎝⎛⎭⎫－12，－13连线的斜率．由图易知，k NC ≤k ≤k NB ，即29≤k ≤143，∴13≤32k ≤7，∴z 的取值范围是[13，7]．2．解 z ＝2(x ＋1)＋y －1x ＋1＝y －1x ＋1＋2.设k ＝y －1x ＋1，仿例2解得－12≤k ≤1.∴z ∈[32，3]．例3 解 z ＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形(例2图)知，原点到点A 的距离最大，原点到直线BC 的距离最小． 故z max ＝OA 2＝13，z min ＝⎝⎛⎭⎫OB ·OC BC 2＝⎝⎛⎭⎪⎫2×152＝45.跟踪训练2 解由约束条件⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫1，225； 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)； 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． (1)因为z ＝y x ＝y －0x －0，所以z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率． 观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝OC ＝2，d max ＝OB ＝29， 即2≤z ≤29.(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到点(－3,2)的距离中， d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8.所以16≤z ≤64. 当堂训练1．7 2.10 3.3 4.12§3.4 基本不等式 ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0)。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作新课程同步课时练习----3.3线性规划（2）【基础练习】1．目标函数z=2x-y,将其看成直线方程时，z 的意义是 ( )A ．该直线的截距B ． 该直线的纵截距C ．该直线纵截距的相反数D ．该直线的横截距2．设E 为平面上以A （4，1），B （-1，-6），C （-3，2）为顶点的三角形区域（包括边界），则z=4x-3y 的最大值与最小值分别为 .3．在约束条件：102,632,1052≤+-≥-≥+y x y x y x 下，求22y x z +=的最小值．【巩固练习】1．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例是2：3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人数的约束条件是 ( ) A ．⎩⎨⎧∈≤+N y x y x 、532 B. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=≤+Ny x y x y x 、3220004050 C ．⎪⎩⎪⎨⎧=≤+321004050y x y x D ．⎪⎩⎪⎨⎧=≤+3220004050y x y x 2．在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分包括周界），目标函数z=x+ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为 （ ）A ．3- yC(4,2)B ． 3C ．1-D ．13．4枝牡丹花与5枝月季花的价格之和小于22元，而6枝牡丹花 与3枝月季花的价格之和大于24元，则2枝牡丹花与3枝月季花的价格比较结果是 （ ）A ．2枝牡丹花贵B ． 3枝月季花贵C ．相同D ．不确定4．△ABC 中，三个顶点的坐标分别为A （2，4）B （-1，0）C （1，0），当点P （x,y ）在△A BC的内部及边界上运动时，z=x-y 的最大值与最小值分别是 .5．满足约束条件,0,0625⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+y x y x y x 的点（x,y ）中使目标函数z=6x+8y 取得最大值的点的坐标是 ．6．设R 为平面上不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≥+-≥++≤-+020204340634y x y x y x y x 表示的平面区域.求点(x,y)在R 上变动时，y －2x 的最大值.7．某饲料厂生产甲、乙两种品牌的饲料，已知生产甲种饲料1t 需耗玉米0.4t ，麦麸0.2t ，其余添加剂0.4t ；生产乙种饲料1t 需耗玉米0.5t ，麦麸0.3t ，其余添加剂0.2t 。

高中数学学习材料唐玲出品3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题（苏教版必修5）建议用时 实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共30分）1.已知点P x y （，）在不等式组20,10,220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域上运动，则z x y =-的取值范围是.2.若不等式组50,,02x y y a x -+≥⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是.3.如果点P 在不等式组120x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，，表示的平面区域上，点M 的坐标为(3，0)，那么PM 的最小值是.4.若,x y 均为整数，且满足约束条件20,20,0,x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最大值为，最小值为.5．不等式组0,0,4312x y x y >⎧⎪>⎨⎪+<⎩表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有个.6．某人上午7时乘摩托艇以匀速 km/h(420)v v ≤≤从A 港出发到距50km 的B 港去，然后乘汽车以匀速 km/h(30100)w w ≤≤自B 港向距300km 的C 市驶去.应该在同一天下午4时至晚上9时之间到达C 市.设乘摩托艇、汽车所需要的时间分别是 h x 、 h y .如果所需的经费为1003(5)2(8)p y x +-+-＝元，那么此人所需的最少经费为元.二、解答题(共70分)7．（15分）画出不等式组240,2,x yx yy+-≤⎧⎪>⎨⎪≥⎩所表示的平面区域.8.（15分）用不等式组表示由直线20,2x y x y++=+10,210x y+=++=围成的三角形区域(包括边界).9.（20分）医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质.试问：应如何使用甲、乙两种原料，才能满足既营养，又使费用最省？10．(20分)某玩具生产工厂每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元.（1）用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w（元）.（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题（苏教版必修5）答题纸得分：一、填空题1. 2. 3． 4． 5. 6.二、解答题7.8.9.10.3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题(苏教版必修5)参考答案1.[-1，2] 解析：作出可行域（如图所示），因为目标函数z x y =-中y 的系数-1＜0，而直线y x z =-表示斜率为1的一族直线，所以当它过点（2，0）时，在y 轴上的截距最小，此时z 取最大值2；当它过点（0，1）时，在y 轴上的截距最大，此时z 取最小值-1，所以z x y =-的取值范围是[-1，2].第1题图 第2题图2.57a ≤＜解析：作出如图所示图形，根据图形可知57a ≤＜.3.322解析：点P 所在的可行域如图中阴影部分所示，点M 到点(11)A ，，(22)B ，的距离分别为5，5.又点M (3，0)到直线0x y -=的距离为322，故PM 的最小值为322.第3题图 第4题图4.4 -4 解析：作出满足约束条件的可行域（如图阴影部分所示），可知在可行域内的整点有（-2，0），（-1，0），（0，0），（1，0），（2，0），（-1，1），（0，1），（1，1），（0，2），分别代入2z x y =+可知当20x y ==，时，z 的最大值为4；当20x y =-=，时，z 的最小为-4.5.3 解析：（1，1），（1，2），（2，1），共3个.6.93 解析：依题意得504203003010091400x yx y x y ⎧≤≤⎪⎪⎪≤≤⎨⎪≤+≤⎪⎪>>⎩，，，，，考查23z x y =+的最大值，作出可行域，平移直线230x y +=，当直线经过点（4，10）时，z 取得最大值38.故当12.530v w ==，时所需要的经费最少，此时所需的经费为93元.7.解：先画出直线240x y +-=，由于含有等号，所以画成实线.取直线240x y +-=左下方的区域的点（0，0），由于2×0+0-4＜0，所以不等式240x y +-≤表示直线240x y +-=及其左下方的区域.同理对另外两个不等式选取合适的测试点，可得不等式2x y >表示直线2x y =右下方的区域，不等式0y ≥表示x 轴及其上方的区域.取三个区域的重叠部分，就是上述不等式组所表示的平面区域，如图所示.第7题图 第8题图8.解：画出三条直线，并用阴影表示三角形区域，如图所示. 取原点（0，0），将00x y ==，代入2x y ++得2＞0，代入21x y ++，得1＞0，代入21x y ++得1＞0.结合图形可知，三角形区域用不等式组可表示为20,210,210.x y x y x y ++≥⎧⎪++≤⎨⎪++≤⎩9.解：设甲、乙两种原料分别用10x g 和10y g ，总费用为z 元，则5735,10440,0,0,x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩目标函数为32z x y =+，作出可行域如图所示.第9题图把32z x y =+变形为322zy x =-+，得到斜率为32-，在y 轴上的截距为2z ，随z 变化的一族平行直线.由图可知，当直线322zy x =-+经过可行域上的点A 时，截距2z 最小，即z 最小.由10440,5735,x y x y +=⎧⎨+=⎩得14,35A ⎛⎫ ⎪⎝⎭.∴min 1432314.45z =⨯+⨯=. ∴选用甲种原料145×10=28（g ），乙种原料3×10=30（g ）时，费用最省. 10.解：（1）依题意每天生产的伞兵个数为100x y --，所以利润563(100)23300w x y x y x y =++--=++.（2）约束条件574(100)600100000(,)x y x y x y x y x y ++--≤⎧⎪--≥⎨⎪≥≥∈⎩，，，，N整理，得320010000(,).x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥∈⎩，，，N目标函数为23300w x y =++.作出可行域（如图中阴影部分中的整点）.第10题图初始直线0230l x y +=：，平移初始直线经过点A 时，w 有最大值. 由3200100x y x y +=⎧⎨+=⎩，，得5050.x y =⎧⎨=⎩，最优解为(5050)A ，，所以max w =550.答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元.。

§3.3.3 简单的线性规划问题 第 课时 班级__________ 姓名_________【学习目标】1.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；2.了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；会根据条件建立线性目标函数；3.了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值．【重点难点】培养学生从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题．【学习过程】一、 自主学习与交流反馈1．线性条件与线性约束条件：2．目标函数与线性目标函数：3．可行域：4．线性规划：二、新知学习与重难点突破：例1 在约束条件41043200x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩下，求目标函数P = 2x + y 的最大值.例2 设变量x , y 满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>∈≤+≤+0,0,1141023y x Zy x y x y x ，求S=5x+4y 的最大值.例3 投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？分析：这是一个二元线性规划问题，可先将题中数据整理成下表，以方便理解题意：然后根据此表数据，设出未知数，列出约束条件和目标函数，最后用图解法求解例4 某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180吨．该公司有8辆载重为6吨的A型卡车与4辆载重为10吨的B型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返的次数为A 型车4次，B型车3次．每辆卡车每天往返的成本费为A型车320元，B型车为504元．试为该公司设计调配车辆的方案，使公司花费的成本最低．小结：解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出约束条件；③建立目标函数；④求最优解．三、巩固练习：1．若0,0≥≥y x ，且1≤+y x ，则y x z -=的最大值是__________________．2．设y x z -=，其中y x ,满足条件⎩⎨⎧≥-≥-+,02,03y x y x 则z 的最小值是____________．3．已知点),(y x P 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-022,01,02y x y x 所表示的平面区域内运动，则y x z -=的取值范围是________________．4．已知实数y x ,满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤-+≥+0,0,03,32y x y x y x ，求y x 3+的最大值．四、回顾反思：五、作业批改情况记录及分析。

3.3.3 简单的线性规划问题A 级 基础巩固一、选择题1．目标函数z ＝3x －y ，将其看成直线方程时，z 的意义是( ) A ．该直线的截距 B ．该直线在y 轴上的截距 C ．该直线在y 轴上的截距的相反数 D ．该直线在x 轴上的横截距解析：把目标函数变形为y ＝3x －z ，由此可见，z 是该直线在y 轴上的截距的相反数． 答案：C2．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( ) A.14 B.12C ．1D ．2 解析：根据约束条件画出可行域，将最大值转化为y 轴上的截距，当z ＝2x ＋y 经过点B 时，z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，代入y ＝a (x －3)得a ＝12.答案：B3．平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12解析：作出可行域，由图象可知当点M 位于点A 时，OM 的斜率最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即A (3，－1)，此时OM 的斜率为－13＝－13.答案：C4．(2014·广东卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则z ＝2x ＋y 的最大值等于( )A ．7B ．8C ．10D ．11解析：画出x ，y 约束条件限定的可行域如图阴影部分所示，作直线l ：y ＝－2x ，平移直线l ，经过可行域上的点A (4，2)时，z 取最大值，即z max ＝2×4＋2＝10，故选C.答案：C5．设点P (x ，y )，其中x ，y ∈N ，满足x ＋y ≤3的点P 的个数为( ) A ．10个 B ．9个 C ．3个D ．无数个解析：选择单位长度，找整数点． 答案：A 二、填空题6．图中阴影部分的点满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0，在这些点中，使目标函数z ＝6x ＋8y取得最大值的点的坐标是________．解析：目标函数可化为y ＝－34x ＋z 8，因为－34>－1，所以当过点(0，5)时，目标函数z ＝6x ＋8y 取得最大值． 答案：(0，5)7．设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k＝________.解析：画出可行域，根据线性规划知识，目标函数取最大值12时，最优解一定为A (4，4)，这时12＝4k ＋4，k ＝2.答案：28．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0，则z ＝x －y 的取值范围为________．解析：画出可行域，如图中的阴影部分所示．由图知，－z 是直线y ＝x －z 在y 轴上的截距，当直线y ＝x －z 经过点A (2，0)时，－z 取最小值，此时x ＝2，y ＝0，则z 的最大值是x －y ＝2－0＝2；当直线y ＝x －z 经过点B (0，1)时，－z 取最大值，此时x ＝0，y ＝1，则z 的最小值是x －y ＝0－1＝－1，所以z ＝x －y 的取值范围为－1≤z ≤2.答案：[－1，2] 三、解答题9．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元．在满足需要的条件下，最少要花费多少元？解：设购买重量为每袋35千克的x 袋，重量为每袋24千克的y 袋，则所要花费的金额z ＝140x ＋120y ，依题意，可得关于x 、y 的约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧35x ＋24y ≥106，x ∈N ，y ∈N ，如图所示，当直线经过点⎝⎛⎭⎪⎫10635，0时，目标函数z 的值最小，又x ，y ∈N ，寻找可行域上靠近边界的几个点．令x ＝0，知y ≥5，当x ＝1，知y ≥3，当x ＝2，知y ≥2， 当x ＝3，知y ≥1，当x ＝4，知y ≥0，将靠近边界的几个点(0，5)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)分别代入目标函数， 可知直线z ＝140x ＋120y 过点(1，3)时，目标函数z 有最小值500元．10．某工厂要制造A 种电子装置45台，B 种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2 m 2，可做A 、B 的外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3 m 2，可做A 、B 的外壳分别为6个．两种薄钢板各用多少张，才能使总的面积最小？解：设用甲种薄钢板x 张，乙种薄钢板y 张，则可做A 种产品外壳(3x ＋6y )个，B 种产品外壳(5x ＋6y )个，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，x ∈N ，y ∈N ，所有的薄钢板的总面积是z ＝2x ＋3y . 可行域是如图所示的阴影部分，其中l 1：3x ＋6y ＝45；l 2：5x ＋6y ＝55，l 1与l 2的交点为A (5，5)， 因目标函数z ＝2x ＋3y 在可行域上的最小值在区域边界的A (5，5)处取得，此时z 的最小值为2×5＋3×5＝25.即甲、乙两种板各5张，既能保证制造A ，B 的两种外壳的用量，同时又能使用料总面积最小．B 级 能力提升一、选择题11．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1 解析：如下图，画出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0的解(x ，y )构成的可行域△ABO ，求得B (2，2)．因为根据目标函数的几何意义是可行域上一点与点(－1，1)连线的斜率，可求得目标函数的最小值－1，最大值13.故ω的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13. 答案：A12．若函数y ＝2x图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12 B ．1 C.32D ．2 解析：如图所示，当直线x ＝m 经过y ＝2x与x ＋y －3＝0的交点时，函数y ＝2x的图象上仅有一个点在可行域内，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x，x ＋y －3＝0得x ＝1，所以m ≤1.答案：B13．某学校用800元购买A ，B 两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A ，B 两种用品应各买的件数为( )A ．2件，4件B ．3件，3件C ．4件，2件D ．不确定解析：设买A 种用品x 件，B 种用品y 件，剩下的钱为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧100x ＋160y ≤800，x ≥1，y ≥1，x ，y ∈N*求z ＝800－100x －160y 取得最小值时的整数解(x ，y )，用图解法求得整数解为(3，3)． 答案：B 二、填空题14．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0画出可行域，得交点A (1，2)，B (3，4)，如图所示，根据x 2＋y2表示可行域一点到原点的距离，可知x 2＋y 2的最小值是|AO |2＝5.答案：515．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y在D 上取最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．解析：画出可行域，其中z ＝x ＋y 取最小值的整点为(0，1)，取得最大值时的整点为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，共5个．故可确定的直线有5＋1＝6(条)．答案：6 三、解答题16．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：韭菜各多少亩？并求出最大利润．解：设种植黄瓜和韭菜的面积分别为x 亩和y 亩，则依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ，y ＞0.目标函数z ＝0.55×4x ＋0.3×6y －1.2x －0.9y ＝x ＋0.9y ，作出可行域如图所示．由图知，z ＝x ＋0.9y 经过点A 时，z 最大， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50，1.2x ·0.9y ＝54⇒A (30，20)，所以种植30亩黄瓜和20亩韭菜时，总利润最大，最大利润为48万元．。

高中数学 3.3.3简单的线性规划问题（二）课时作业苏教版必修5课时目标 1.准确利用线性规划知识求解目标函数的最值.2.掌握线性规划实际问题中的两种常见类型．1．用图解法解线性规划问题的步骤： (1)分析并将已知数据列出表格； (2)确定线性约束条件； (3)确定线性目标函数； (4)画出可行域；(5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)．2．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．一、填空题1．某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1、b 1千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 2、b 2千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d 1、d 2元．月初一次性购进本月用的原料A 、B 各c 1、c 2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润z ＝d 1x ＋d 2y 最大的数学模型中，约束条件为________．2.如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为________．3．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为________万元．4．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料耗费工时6小时，可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为甲车间加工原料________箱，乙车间加工原料________箱．5．某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元．6．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，则z ＝10x ＋10y 的最大值是________．7．某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品______吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大． 8．如图所示，目标函数z ＝kx －y 的可行域为四边形OABC ，点B (3,2)是目标函数的最优解，则k 的取值范围为______________．二、解答题9．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？10．某家具厂有方木料90 m 3，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，五合板2 m 2，生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五合板1 m 2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元． (1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大？能力提升11．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为________．12．要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规模类型钢板类型A 规格B 规格C 规格第一种钢板 2 1 1 第二种钢板 1 2 3今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别至少为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．3．3.3 简单的线性规划问题(二)答案作业设计1．⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋a 2y ≤c 1，b 1x ＋b 2y ≤c 2，x ≥0，y ≥02．35解析 由y ＝－ax ＋z 知当－a ＝k AC 时，最优解有无穷多个． ∵k AC ＝－35，∴a ＝35.3．31.2解析 设投资甲项目x 万元，投资乙项目y 万元，可获得利润为z 万元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤60，x ≥23y ，x ≥5，y ≥5，z ＝0.4x ＋0.6y .由图象知，目标函数z ＝0.4x ＋0.6y 在A 点取得最大值．∴y max ＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)． 4．15 55解析 设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤70，10x ＋6y ≤480，x ≥0，y ≥0.甲、乙两车间每天总获利为z ＝280x ＋200y . 画出可行域如图所示．点M (15,55)为直线x ＋y ＝70和直线10x ＋6y ＝480的交点，由图象知在点M (15,55)处z 取得最大值． 5．2 300解析 设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ∈N *，y ∈N *.目标函数为z ＝200x ＋300y .作出其可行域，易知当x ＝4，y ＝5时，z ＝200x ＋300y 有最小值2 300元． 6．90解析该不等式组表示平面区域如图阴影所示，由于x ，y ∈N *，计算区域内与点⎝ ⎛⎭⎪⎫112，92最近的整点为(5,4)，当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90. 7．20 24解析 设每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，总利润为S 万元， 依题意约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤300，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥15，y ≥15，目标函数为S ＝7x ＋12y .从图中可以看出，当直线S ＝7x ＋12y 经过点A 时，直线的纵截距最大，所以S 也取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y －200＝0，3x ＋10y －300＝0，得A (20,24)，故当x ＝20，y ＝24时，S max ＝7×20＋12×24＝428(万元)． 8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－23 解析 y ＝kx －z .若k >0，则目标函数的最优解是点A (4,0)或点C (0，4)，不符合题意．∴k <0，∵点(3,2)是目标函数的最优解． ∴k AB ≤k ≤k BC ，即－2≤k ≤－23.9．解 将已知数据列成下表：原料/10 g 蛋白质/单位铁质/单位甲 5 10 乙 7 4 费用32设甲、乙两种原料分别用10x g 和10y g ，总费用为z ，那么⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ≥35，10x ＋4y ≥40，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图所示：把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上的截距为z2，随z 变化的一族平行直线．由图可知，当直线y ＝－32x ＋z 2经过可行域上的点A 时，截距z2最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋4y ＝40，5x ＋7y ＝35，得A (145，3)，∴z min ＝3×145＋2×3＝14.4.∴甲种原料145×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)，费用最省．10．解 由题意可画表格如下：方木料(m 3) 五合板(m 2) 利润(元) 书桌(个) 0.1 2 80 书橱(个)0.21120(1)设只生产书桌x 个，可获得利润z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧ 0.1x ≤902x ≤600z ＝80x⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900x ≤300x ≤300.所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元． (2)设只生产书橱y 个，可获利润z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y ≤901·y ≤600z ＝120y⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450y ≤600y ≤450.所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元．(3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤902x ＋y ≤600x ≥0y ≥0⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y .在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域， 即可行域．作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600解得点M 的坐标为(100,400)．所以当x ＝100，y ＝400时，z max ＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大． 11．－3解析 当a ＝0时，z ＝x .仅在直线x ＝z 过点A (1,1)时， z 有最小值1，与题意不符． 当a >0时，y ＝－1a x ＋za.斜率k ＝－1a<0，仅在直线z ＝x ＋ay 过点A (1,1)时，直线在y 轴的截距最小，此时z 也最小，与目标函数取得最小值的最优解有无数个矛盾． 当a <0时，y ＝－1a x ＋z a ，斜率k ＝－1a>0，为使目标函数z 取得最小值的最优解有无数个， 当且仅当斜率－1a ＝k AC .即－1a ＝13，∴a ＝－3.12．解 设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张．⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥15x ＋2y ≥18x ＋3y ≥27x ≥0，y ≥0.作出可行域(如图)：(阴影部分) 目标函数为z ＝x ＋y .作出一组平行直线x ＋y ＝t ，其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线x ＋3y ＝27和直线2x ＋y ＝15的交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫185，395，直线方程为x ＋y ＝575.由于185和395都不是整数，而最优解(x ，y )中，x ，y 必须都是整数，所以可行域内点⎝ ⎛⎭⎪⎫185，395不是最优解．经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x ＋y ＝12，经过的整点是B (3,9)和C (4,8)，它们都是最优解．答 要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法都最少要截两种钢板共12张．。

第3章 不等式3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.3.3 简单的线性规划问题A 级 基础巩固一、选择题1．目标函数z ＝3x －y ，将其看成直线方程时，z 的意义是( ) A ．该直线的截距 B ．该直线在y 轴上的截距C ．该直线在y 轴上的截距的相反数D ．该直线在x 轴上的横截距解析：把目标函数变形为y ＝3x －z ，由此可见，z 是该直线在y 轴上的截距的相反数．答案：C2．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 解析：根据约束条件画出可行域，将最大值转化为y 轴上的截距，当z ＝2x ＋y 经过点B 时，z 最小，由⎩⎨⎧x ＝1，2x ＋y ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1，代入y ＝a (x －3)得a ＝12.答案：B3．平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12解析：作出可行域，由图象可知当点M 位于点A 时，OM 的斜率最小，由⎩⎨⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0⇒⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1，即A (3，－1)，此时OM 的斜率为－13＝－13.答案：C4．(2014·广东卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则z ＝2x ＋y 的最大值等于( )A ．7B ．8C ．10D ．11解析：画出x ，y 约束条件限定的可行域如图阴影部分所示，作直线l ：y ＝－2x ，平移直线l ，经过可行域上的点A (4，2)时，z 取最大值，即z max ＝2×4＋2＝10，故选C.答案：C5．设点P (x ，y )，其中x ，y ∈N ，满足x ＋y ≤3的点P 的个数为( )A ．10个B ．9个C ．3个D ．无数个解析：选择单位长度，找整数点． 答案：A 二、填空题6．图中阴影部分的点满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0，在这些点中，使目标函数z ＝6x ＋8y 取得最大值的点的坐标是________．解析：目标函数可化为y＝－34x＋z8，因为－34>－1，所以当过点(0，5)时，目标函数z＝6x＋8y取得最大值．答案：(0，5)7．设z＝kx＋y，其中实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥2，x－2y＋4≥0，2x－y－4≤0.若z的最大值为12，则实数k＝________.解析：画出可行域，根据线性规划知识，目标函数取最大值12时，最优解一定为A(4，4)，这时12＝4k＋4，k＝2.答案：28．已知x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x－2≤0，y－1≤0，x＋2y－2≥0，则z＝x－y的取值范围为________．解析：画出可行域，如图中的阴影部分所示．由图知，－z 是直线y ＝x －z 在y 轴上的截距，当直线y ＝x －z 经过点A (2，0)时，－z 取最小值，此时x ＝2，y ＝0，则z 的最大值是x －y ＝2－0＝2；当直线y ＝x －z 经过点B (0，1)时，－z 取最大值，此时x ＝0，y ＝1，则z 的最小值是x －y ＝0－1＝－1，所以z ＝x －y 的取值范围为－1≤z ≤2.答案：[－1，2] 三、解答题9．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元．在满足需要的条件下，最少要花费多少元？解：设购买重量为每袋35千克的x 袋，重量为每袋24千克的y 袋，则所要花费的金额z ＝140x ＋120y ，依题意，可得关于x 、y 的约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧35x ＋24y ≥106，x ∈N ，y ∈N ，如图所示，当直线经过点⎝⎛⎭⎪⎫10635，0时，目标函数z 的值最小，又x ，y ∈N ，寻找可行域上靠近边界的几个点．令x ＝0，知y ≥5，当x ＝1，知y ≥3，当x ＝2，知y ≥2， 当x ＝3，知y ≥1，当x ＝4，知y ≥0，将靠近边界的几个点(0，5)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)分别代入目标函数，可知直线z ＝140x ＋120y 过点(1，3)时，目标函数z 有最小值500元．10．某工厂要制造A 种电子装置45台，B 种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2 m 2，可做A 、B 的外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3 m 2，可做A 、B 的外壳分别为6个．两种薄钢板各用多少张，才能使总的面积最小？解：设用甲种薄钢板x 张，乙种薄钢板y 张，则可做A 种产品外壳(3x ＋6y )个，B 种产品外壳(5x ＋6y )个，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，x ∈N ，y ∈N ，所有的薄钢板的总面积是z ＝2x ＋3y . 可行域是如图所示的阴影部分，其中l 1：3x ＋6y ＝45；l 2：5x ＋6y ＝55，l 1与l 2的交点为A (5，5)， 因目标函数z ＝2x ＋3y 在可行域上的最小值在区域边界的A (5，5)处取得，此时z 的最小值为2×5＋3×5＝25.即甲、乙两种板各5张，既能保证制造A ，B 的两种外壳的用量，同时又能使用料总面积最小．B 级 能力提升一、选择题11．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1 解析：如下图，画出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0的解(x ，y )构成的可行域△ABO ，求得B (2，2)．因为根据目标函数的几何意义是可行域上一点与点(－1，1)连线的斜率，可求得目标函数的最小值－1，最大值13.故ω的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13. 答案：A12．若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12 B ．1 C.32D ．2 解析：如图所示，当直线x ＝m 经过y ＝2x 与x ＋y －3＝0的交点时，函数y ＝2x 的图象上仅有一个点在可行域内，由方程组⎩⎨⎧y ＝2x ，x ＋y －3＝0得x ＝1， 所以m ≤1.答案：B13．某学校用800元购买A ，B 两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A ，B 两种用品应各买的件数为( )A ．2件，4件B ．3件，3件C ．4件，2件D ．不确定解析：设买A 种用品x 件，B 种用品y 件，剩下的钱为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧100x ＋160y ≤800，x ≥1，y ≥1，x ，y ∈N*求z ＝800－100x －160y 取得最小值时的整数解(x ，y )，用图解法求得整数解为(3，3)．答案：B 二、填空题14．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0画出可行域，得交点A (1，2)，B (3，4)，如图所示，根据x 2＋y 2表示可行域一点到原点的距离，可知x 2＋y 2的最小值是|AO |2＝5.答案：515．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．解析：画出可行域，其中z ＝x ＋y 取最小值的整点为(0，1)，取得最大值时的整点为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，共5个．故可确定的直线有5＋1＝6(条)．答案：6 三、解答题16．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：蔬菜 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜6吨0.9万元0.3万元)最大，求应分别种植黄瓜和韭菜各多少亩？并求出最大利润．解：设种植黄瓜和韭菜的面积分别为x 亩和y 亩，则依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ，y ＞0.目标函数z ＝0.55×4x ＋0.3×6y －1.2x －0.9y ＝x＋0.9y ，作出可行域如图所示．由图知，z ＝x ＋0.9y 经过点A 时，z 最大，由⎩⎨⎧x ＋y ＝50，1.2x ·0.9y ＝54⇒A (30，20)， 所以种植30亩黄瓜和20亩韭菜时，总利润最大，最大利润为48万元．。

创作；朱本晓 2022年元月元日创作；朱本晓 2022年元月元日简单的线性规划问题 〔第1课时〕 课后作业2z x y 的最大值，使,x y 满足约束条件11y x x y y35z x y 的最大值和最小值，使,x y 满足约束条件5315153x y yxx y3.某厂你消费甲乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元.甲乙产品都需要在A 、B 两种设备上加工，在每台A 、B 设备上加工1件甲设备所需一共识分别为1h 、2h 加工1件以设备所需工时分别为2h 、1h,AB 两种设备每月有效使用时数分别为400h 和500h.如何安排消费可是收入最大？励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

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