球坐标系,三位坐标变换,旋转

三维空间中直角坐标与球坐标的相互转换三维直角坐标系三维直角坐标系是一种利用直角坐标(x,y,z)来表示一个点 P 在三维空间的位置的三维正交坐标系。

注：本文所讨论的三维直角坐标系，默认其x-轴、y-轴、z-轴满足右手定则（如右图所示）。

在三维空间的任何一点 P ，可以用直角坐标(x,y,z)来表达其位置。

如左下图显示了三维直角坐标的几何意义：点P在x-轴、y-轴、z-轴上的投影距离分别为x、y、z。

如右下图所示，两个点 P 与 Q 的直角坐标分别为(3,0,5)与(-5,-5,7) 。

球坐标系球坐标系是一种利用球坐标(r, , )来表示一个点 P 在三维空间的位置的三维正交坐标系。

下图描述了球坐标的几何意义：原点O与目标点P之间的径向距离为r，O到P的连线与正z-轴之间的夹角为天顶角，O到P的连线在xy-平面上的投影线与正x-轴之间的夹角为方位角。

假设 P 点在三维空间的位置的三个坐标是。

那么， 0 r 是从原点到 P 点的距离， 0 是从原点到 P 点的连线与正 z-轴的夹角， 0 <>时，与都一起失去意义。

当或时，失去意义。

三维空间下直角坐标与球坐标的相互转换直接坐标转球坐标、、。

球坐标转直角坐标、、。

基于Flex的坐标转换实现直角坐标定义类CartesianCoord.cs package hans_gis.coord{public class CartesianCoord{public var x:Number;public var y:Number;public var z:Number;static private var temp:CartesianCoord = CartesianCoord.ZE RO;public function CartesianCoord(x:Number=0, y:Number=0, z:Number=0){this.x = x;this.y = y;this.z = z;}public function clone():CartesianCoord{return new CartesianCoord(this.x, this.y, this.z);}public function copyTo(n:CartesianCoord):void{n.x = this.x;n.y = this.y;n.z = this.z;}public function copyFrom(n:CartesianCoord):void{this.x = n.x;this.y = n.y;this.z = n.z;}public function reset(newx:Number = 0, newy:Number = 0, newz:Number = 0):void{this.x = newx;this.y = newy;this.z = newz;}static public function get ZERO():CartesianCoord{return new CartesianCoord(0, 0, 0);}}}球坐标定义类SphericalCoord.cspackage hans_gis.coord{public class SphericalCoord{public var radius:Number;public var theta:Number;public var phi:Number;static private var temp:SphericalCoord = SphericalCoord.ZE RO;public function SphericalCoord(radius:Number=0, theta:Nu mber=0, phi:Number=0){this.radius = radius;this.theta = theta;this.phi = phi;}public function clone():SphericalCoord{return new SphericalCoord(this.radius, this.theta, this.phi);}public function copyTo(n:SphericalCoord):void{n.radius = this.radius;n.theta = this.theta;n.phi = this.phi;}public function copyFrom(n:SphericalCoord):void{this.radius = n.radius;this.theta = n.theta;this.phi = n.phi;}public function reset(newradius:Number = 0, newtheta:Nu mber = 0, newphi:Number = 0):void{this.radius = newradius;this.theta = newtheta;this.phi = newphi;}static public function get ZERO():SphericalCoord{return new SphericalCoord(0, 0, 0);}}}坐标转换定义类CoordsTransform.cspackage hans_gis.coord{public class CoordsTransform{public function CoordsTransform(){}public function CartesianT oSpherical(coord:CartesianCoord): SphericalCoord{var radius = this.GetModuloFromCartesianCoord(coord);var theta = this.GetThetaFromCartesianCoord(coord);var phi = this.GetPhiFromCartesianCoord(coord);return new SphericalCoord(radius, theta, phi);}protected function GetModuloFromCartesianCoord(coord:C artesianCoord):Number{return Math.sqrt( coord.x*coord.x + coord.y*coord.y + coor d.z*coord.z );}protected function GetThetaFromCartesianCoord(coord:Car tesianCoord):Number{// return Math.atan(Math.sqrt(coord.x*coord.x + coord.y*co ord.y)/coord.z);return Math.acos(coord.z/this.GetModuloFromCartesianCoo rd(coord));}protected function GetPhiFromCartesianCoord(coord:Cartes ianCoord):Number{return Math.atan(coord.y/coord.x);}public function SphericalToCartesian(coord:SphericalCoord): CartesianCoord{var x = this.GetXFromSphericalCoord(coord);var y = this.GetYFromSphericalCoord(coord);var z = this.GetZFromSphericalCoord(coord);return new CartesianCoord(x, y, z);}protected function GetXFromSphericalCoord(coord:Spheric alCoord):Number{return coord.radius*Math.sin(coord.theta)*Math.cos(coord.p hi);}protected function GetYFromSphericalCoord(coord:Spherica lCoord):Number{return coord.radius*Math.sin(coord.theta)*Math.sin(coord.p hi);}protected function GetZFromSphericalCoord(coord:Spherica lCoord):Number{return coord.radius*Math.cos(coord.theta);}}}实例运行结果附：实例下载。

坐标系转换方法和技巧1.二维坐标系转换：二维坐标系转换是将平面上的点从一个坐标系转换到另一个坐标系中。

常用的方法有旋转、平移和缩放。

-旋转：通过改变坐标系的旋转角度，可以将点从一个坐标系转换到另一个坐标系。

-平移：通过改变坐标系的平移量，可以将点从一个坐标系平移到另一个坐标系。

-缩放：通过改变坐标系的比例尺，可以将点从一个坐标系缩放到另一个坐标系。

2.三维坐标系转换：三维坐标系转换是将空间中的点从一个坐标系转换到另一个坐标系中。

常用的方法有旋转、平移和缩放。

-旋转：通过改变坐标系的旋转角度，可以将点从一个坐标系转换到另一个坐标系。

-平移：通过改变坐标系的平移量，可以将点从一个坐标系平移到另一个坐标系。

-缩放：通过改变坐标系的比例尺，可以将点从一个坐标系缩放到另一个坐标系。

3.地理坐标系转换：地理坐标系转换是将地球表面点的经纬度坐标转换为平面坐标系（如UTM坐标系）或其他地理坐标系中的点。

常用的方法有投影转换和大地坐标转换。

-投影转换：根据不同的地理投影模型，将地理坐标系中的点投影到平面上。

常用的地理投影包括墨卡托投影、兰伯特投影等。

-大地坐标转换：根据椭球模型和大地测量的理论，将地理坐标系中的点转换为具有X、Y、Z三维坐标的点。

常见的大地坐标系包括WGS84和GCJ-02等。

4.坐标系转换的技巧：-精度控制：在坐标系转换过程中，需要注意精度的控制，以确保转换后的坐标满足要求。

-参考点选择：在坐标系转换过程中，选取合适的参考点可以提高转换的准确性和稳定性。

-坐标系转换参数的确定：在进行坐标系转换时，需要确定旋转角度、平移量和比例尺等参数，可以通过多点共面条件、最小二乘法等方法进行确定。

-转换效率优化：针对大规模的坐标系转换，可以采用分块处理、并行计算等技术来提高转换效率。

在进行坐标系转换时，需要根据具体的需求选择适当的方法和技巧，并结合具体的软件工具进行实现。

同时，还需要注意坐标系转换的精度和准确性，确保转换结果符合要求。

❝§3-1 球面坐标系、坐标变换的意义与一般公式❝§3-2 决定新极Q 的地理坐标φ0，λ0❝§3-3 地理坐标φ，λ换算为球面极坐标α，Z❝球面余弦公式Ac b c b a cos sin sin cos cos cos ⋅⋅+⋅=Cc B b A a sin sin sin sin sin sin ==Bc a c a b cos sin sin cos cos cos ⋅⋅+⋅=Cb a b ac cos sin sin cos cos cos ⋅⋅+⋅=❝球面正弦公式sinacos B =cos b sin c －sin b cos c cos A❝球面边正弦与邻角余弦之积公式球面三角形的基本公式边的余弦公式定理：球面三角形任意边的余弦等于其它两边余弦的乘积加上这两边的正弦及其夹角余弦的连乘积。

Ac b c b a cos sin sin cos cos cos +=正弦公式定理：球面三角形各边的正弦和对角的正弦成正比。

Cc B b A a sin sin sin sin sin sin ==一、球面坐标系、坐标变换为在球面上确定点位可是需要采用不同的坐标系。

制图实践中常使用的有地理坐标系（φ、λ），球面坐标系（a, z）和球面直角坐标系（x,y）。

目前以上三种坐标系在测绘技术上应用最为广泛。

三者之间可以进行简单的相互换算。

如下图，其中K 为球面上一点地理坐标为，球面极坐标为。

P 是地理坐标系极点，Q 是球面极坐标系新极点。

二、坐标变换的一般公式()λϕ，()00λϕ，()z ，α由地理坐标系到球面极坐标系之间的变换：()000cos cos cos sin sin cos λλϕϕϕϕ-+=z 在球面三角形PQA ，由边的余弦公式有：()()ϕϕ--=︒︒90cos 90cos cos 0z ()()()00cos 90sin 90sin λλϕϕ---+︒︒即式中φ0、λ0是球面坐标原点Q的地理坐标()000cos sin cos cos sin cos sin λλϕϕϕϕ--=a z )sin(cos sin sin 0λλϕ-=a z 由第一正余弦公式有()()ϕϕ--=︒︒90cos 90sin cos sin 0a z ()()()00cos 90sin 90cos λλϕϕ----︒︒即由正弦公式有()a z sin 90sin )sin(sin 0ϕλλ-=-︒由此得到：()000cos cos cos sin sin cos λλϕϕϕϕ-+=z ()()0000cos sin cos cos sin sin cos λλϕϕϕϕλλϕ---=tga由球面极坐标到地理坐标之间的变换：a z z cos sin cos cos sin sin 00ϕϕϕ+=在球面三角形PKQ ，由余弦公式有：()()zcos 90cos 90cos 0ϕϕ-=-︒︒()αϕcos sin 90sin 0z -+︒即式中φ0、λ0是球面坐标原点Q的地理坐标()αϕϕλλϕcos sin sin cos cos cos cos 000z z -=-)sin(cos sin sin 0λλϕ-=a z 由第一正余弦公式有()()()z cos 90sin cos 90sin 00ϕλλϕ-=--︒︒()αϕcos sin 90cos 0z --︒即由正弦公式有()a z sin 90sin )sin(sin 0ϕλλ-=-︒由此得到：αϕϕϕcos sin cos cos sin sin 00z z +=()zz tg sin cos sin cos cos sin cos 000αϕϕαϕλλ-=-由地理坐标到球面直角坐标间的变换：如图POP 1为中央经线，其经度为，新极点Q 位于赤道上，其经度为球面上点A 地理坐标为，，过A 点作垂直圈QAB 与中央经线交于B ，令BO＝x,，BA ＝y 则A 的球面直角坐标为（x ，y）0λ︒+900λϕλ在球面直角三角形PBA 有()()()0cos 9090ctg ctg x λλφ︒︒-=--()()0sin 90sin sin λλϕ--=︒y 于是得到由地理坐标到球面直角坐标的变换公式为()0sec λλϕ-=tg tgx ()0sin cos sin λλϕ-=y在球面直角三角形PBA 有()()yx cos 90cos 90cos -=-︒︒ϕ()()090sin λλ-=-︒tgyctg x 于是得到yx cos sin sin =ϕ()xtgy tg sec 0=-λλ在一般情况下，大多数地图投影都采用地理坐标表示球面位置建立平面直角坐标与的关系。

三维坐标系的旋转变换三维坐标系的旋转变换是计算机图形学和几何学中一个非常重要的概念。

它能够将一个物体在三维空间中绕着指定的轴进行旋转，从而改变它相对于其他物体的位置和方向。

本文将介绍三维坐标系的旋转变换的原理、方法和应用，并提供一些指导意义的实例。

一、三维坐标系的基本概念在介绍旋转变换之前，我们先来了解一下三维坐标系的基本概念。

三维坐标系由三个相互垂直的坐标轴组成：X轴、Y轴和Z轴。

X轴代表左右方向，Y轴代表前后方向，Z轴代表上下方向。

每个点在三维空间中都可以由三个坐标值来表示，分别表示其在X轴、Y轴和Z轴上的位置。

二、旋转变换的原理旋转变换是通过改变坐标系的方向和角度来实现的。

在三维坐标系中，我们可以选择一条旋转轴，将其视为一个固定不动的轴，然后将其他点围绕着这个轴进行旋转。

旋转角度可以是正数（顺时针方向）或负数（逆时针方向），单位通常是弧度或角度。

三、旋转变换的方法通过旋转变换，我们可以在三维空间中实现各种各样的变换效果，例如旋转、翻转、缩放等。

以下是几种常见的旋转变换方法：1. 绕X轴旋转：围绕X轴进行旋转变换时，我们可以通过改变Y 轴和Z轴的坐标值，来实现点在平面上的旋转效果。

2. 绕Y轴旋转：围绕Y轴进行旋转变换时，我们可以通过改变X 轴和Z轴的坐标值，来实现点在平面上的旋转效果。

3. 绕Z轴旋转：围绕Z轴进行旋转变换时，我们可以通过改变X 轴和Y轴的坐标值，来实现点在平面上的旋转效果。

四、旋转变换的应用旋转变换在计算机图形学和几何学中有广泛的应用。

它可以用来进行三维模型的角度调整，实现刚体变换，以及修正物体在三维空间中的位置和方向。

例如，在计算机游戏中，我们可以通过旋转变换来实现角色的动画效果，使其在三维空间中做出各种各样的动作。

五、旋转变换的指导意义掌握三维坐标系的旋转变换对于计算机图形学和几何学的研究和应用都非常重要。

它可以帮助我们理解和分析三维空间中的物体运动和变化，并通过数学方法实现对其的控制和调整。

圆柱坐标系与球坐标系的变换关系是什么在数学和物理学中，我们常常需要使用不同的坐标系来描述和研究问题。

其中，圆柱坐标系和球坐标系是两种常见的三维坐标系。

本文将探讨圆柱坐标系和球坐标系之间的变换关系。

圆柱坐标系圆柱坐标系是由笛卡尔坐标系（也称为直角坐标系）旋转形成的。

它可以通过给定距离原点r、极角 $\\theta$、高度z来确定空间中的一个点。

具体而言，对于一个点P，它在圆柱坐标系下的坐标为 $(r, \\theta, z)$。

其中，r表示点P到z轴的距离，$\\theta$ 表示点P在x−y平面上与x轴的夹角，以弧度为单位。

而z则表示点P在z轴上的高度。

球坐标系球坐标系是由笛卡尔坐标系旋转形成的另一种坐标系。

在球坐标系下，一个点P可以通过给定半径r、极角 $\\theta$、方位角 $\\phi$ 来描述。

具体而言，点P在球坐标系下的坐标表示为 $(r, \\theta, \\phi)$。

其中，r表示点P到原点的距离， $\\theta$ 表示点P在x−y平面上与x轴的夹角，$\\phi$ 表示点P与z轴的夹角。

圆柱坐标系到球坐标系的变换关系为了方便研究和计算，我们需要了解圆柱坐标系和球坐标系之间的变换关系。

下面给出从圆柱坐标系到球坐标系的变换公式：•$r = \\sqrt{x^2 + y^2}$•$\\theta = \\arctan\\left(\\frac{y}{x}\\right)$•$\\phi = \\arccos\\left(\\frac{z}{\\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\\right)$这些变换关系可以帮助我们在两种不同的坐标系下进行问题的转化和计算。

例如，当我们在圆柱坐标系下给出一个点的坐标 $(r, \\theta, z)$，我们可以使用上述变换关系将其转换为球坐标系下的坐标 $(r', \\theta', \\phi')$。

球坐标系到圆柱坐标系的变换关系同样地，我们也可以得到从球坐标系到圆柱坐标系的变换公式，如下所示：•$r = r' \\sin \\phi'$•$\\theta = \\theta'$•$z = r' \\cos \\phi'$这些变换关系使得我们能够方便地在两种不同的坐标系之间进行转换和计算。