2024中考数学核心几何模型重点突破专题01线段的中点模型模型分析【理论基础】如图，已知点M 是线段AB 的中点⇒AB BM AM 21==【模型变式1】双中点求和型如图已知点M 是线段AB 上任意一点，点C 是AM 的中点，点D 是BM 的中点⇒AB CD 21=【证明】点C 是AM 的中点，点D 是BM 的中点MB MD AM CM 21,21==∴MD CM CD +=AB MB AM CD 212121=+=∴AB CD 21=∴【模型变式2】双中点求差型如图点M 是线段AB 延长线上任意一点，点C 是线段AM 的中点，点D 是线段BM 的中点⇒AB CD 21=【证明】点C 是线段AM 的中点，点D 是线段BM 的中点MB MD AM CM 21,21==∴MDCM CD -=)(212121MB AM MB AM CD -=-=∴AB CD 21=∴【模型总结】两中点之间的线段，等于原线段的一半。
典例分析【例1】已知线段AB=10cm ，点C 是直线AB 上一点，BC=4cm ，若M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，则线段MN 的长度是（）A ．7cm B ．3cm C ．7cm 或3cm D ．5cm【例2】如图，点C 是线段AB 上一点，AC <CB ，M 、N 分别是AB 和CB 的中点，8AC =，5NB =，则线段MN =__________．【例3】如图，已知点,,A B C 在同一直线上，,M N 分别是,AC BC 的中点．（1）若20,8AB BC ==，求MN 的长；（2）若,8AB a BC ==，求MN 的长；（3）若,AB a BC b ==，求MN 的长；（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？模型演练一、单选题1．（2021·内蒙古·中考真题）已知线段4AB =，在直线AB 上作线段BC ，使得2BC =．若D 是线段AC 的中点，则线段AD 的长为（）A ．1B ．3C ．1或3D ．2或32．点C 在线段AB 上，下列条件中不能确定点C 是线段AB 中点的是（）A ．AC BC =B ．AC BC AB +=C ．2AB AC =D ．12BC AB =3．如图，C 、D 是线段AB 上的两点，且D 是线段AC 的中点．若AB=10cm ，BC=4cm ，则BD 的长为（）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm4．如图，C ，D 是线段AB 上的两点，E 是AC 的中点，F 是BD 的中点，若EF ＝8，CD ＝4，则AB 的长为（）A ．10B ．12C ．16D ．18二、填空题5．如图，点D 是线段AB 的中点，C 是线段AD 的中点，若AB ＝8cm ，则CD ＝___cm ．6．在直线上取A ，B ，C 三点，使得AB ＝9cm ，BC ＝4cm ，如果O 是线段AC 的中点，则线段OA 的长为_____．7．如图所示，B 、C 是线段AD 上任意两点，M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，若MN ＝7cm ，BC ＝3cm ，则AD 的长为_____cm ．8．如图，C ，D 两点将线段AB 分为三部分，AC ∶CD ∶DB ＝3∶4∶5，且AC ＝6．M 是线段AB 的中点，N 是线段DB 的中点．则线段MN 的长为____________．三、解答题9．（2022·安徽·宣城市第六中学一模）如图所示，已知C ，D 是线段AB 上的两个点，点M 、N 分别为AC 、BD 的中点(1)若AB =16cm ，CD =6cm ，求AC +BD 的长和M ，N 的距离；(2)如果AB =m ，CD =n ，用含m ，n 的式子表示MN 的长10．已知线段AB 如图所示，延长AB 至C ，使BC ＝AB ，反向延长AB 至D ，使AD ＝BC ．点M 是CD 的中点，点N 是AD 的中点．(1)依题意补全图形；(2)若AB 长为10，求线段MN 的长度．11．已知点B 、D 在线段AC 上，（1）如图，若20AC =，8AB =，点D 为线段AC 的中点，求线段BD 的长度；（2）如图，若1134BD AB CD ==，AE BE =，13EC =，求线段AC 的长度．12．如图，点C 为线段AB 上一点，AB =30，且AC -BC =10．（1）求线段AC 、BC 的长．（2）点P 从A 点出发，以1个单位/秒的速度在线段AB 上向B 点运动，设运动时间为t 秒（20t <），点D 为线段PB 的中点，点E 为线段PC 的中点，若CD =25DE ，试求点P 运动时间t 的值．（3）若点D 为直线AB 上的一点，线段AD 的中点为E ，且12AD BD CE -=，求线段AD 的长．13．如图，线段AB ＝20，BC ＝15，点M 是AC 的中点．（1）求线段AM 的长度；（2）在CB 上取一点N ，使得CN ：NB ＝2：3．求MN 的长．14．如图，点C 在线段AB 上，8,6AC cm CB cm ==，点,M N 分别是AC BC ，的中点．()1求线段MN 的长;()2若C 为线段AB 上任一点，满足AC CB a +=，其它条件不变，猜想MN 的长度，并说明理由;()3若C 在线段AB 的延长线上，且满足,,AC BC b M N -=分别为AC BC ，的中点，猜想MN 的长度，请画出图形，写出你的结论，并说明理由;()4请用一句简洁的话，描述你发现的结论．参考答案与详细解析典例分析【例1】已知线段AB=10cm ，点C 是直线AB 上一点，BC=4cm ，若M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，则线段MN 的长度是（）A ．7cmB ．3cmC ．7cm 或3cmD ．5cm【答案】D【分析】先根据题意画出图形，再利用线段的中点定义求解即可．【解析】解：根据题意画图如下：∵10,4AB cm BC cm ==，M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，∴1115222MN MC CN AC BC AB cm =+=+==；∵10,4AB cm BC cm ==，M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，∴1115222MN MC CN AC BC AB cm =-=-==．故选：D ．【例2】如图，点C 是线段AB 上一点，AC <CB ，M 、N 分别是AB 和CB 的中点，8AC =，5NB =，则线段MN =__________．【答案】4【分析】根据中点的性质可得BC 的长，根据线段的和差可得AB 的长，根据中点的性质可得BM 的长，再根据线段的和差可得MN 的长．【解析】由N 是CB 的中点，NB =5，得：BC =2NB =10．由线段的和差，得：AB =AC +BC =8+10=18．∵M 是AB 的中点，∴1118922MB AB ==⨯=，由线段的和差，得：MN =MB -NB =9-5=4，故答案为：4.【例3】如图，已知点,,A B C 在同一直线上，,M N 分别是,AC BC 的中点．（1）若20,8AB BC ==，求MN 的长；（2）若,8AB a BC ==，求MN 的长；（3）若,AB a BC b ==，求MN 的长；（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？【答案】（1）10；（2）12a ；（3）12a ；（4）线段MN 的长度等于线段AB 的一半，与B 点的位置无关.【分析】（1）先求解,AC 再利用中点的含义求解,,MC NC 再利用线段的差可得答案；（2）先利用含a 的代数式,AC 再利用中点的含义，用含a 的代数式,,MC NC 再利用线段的差可得答案；（3）先利用含,a b 的代数式,AC 再利用中点的含义，用含,a b 的代数式,,MC NC 再利用线段的差可得答案；（4）由（1）（2）（3）总结出结论即可.【解析】解：（1）20,8AB BC ==，,M N 分别是,AC BC 的中点，1128,14,4,22AB BC AC MC AC NC BC ∴+======14410.MN MC NC ∴=-=-=（2）,8AB a BC ==，,M N 分别是,AC BC 的中点，1118,4,4,222AB BC AC a MC AC a NC BC ∴+==+==+==1144.22MN MC NC a a ∴=-=+-=（3）,AB a BC b ==，,M N 分别是,AC BC 的中点，11111,,,22222AB BC AC a b MC AC a b NC BC b ∴+==+==+==1111.2222MN MC NC a b b a ∴=-=+-=（4）由（1）（2）（3）的结果中可得：线段MN 的长度等于线段AB 的一半，与B 点的位置无关.模型演练一、单选题1．（2021·内蒙古·中考真题）已知线段4AB =，在直线AB 上作线段BC ，使得2BC =．若D 是线段AC 的中点，则线段AD 的长为（）A ．1B ．3C ．1或3D ．2或3【答案】C【分析】先分C 在AB 上和C 在AB 的延长线上两种情况，分别画出图形，然后运用中点的定义和线段的和差进行计算即可．【解析】解：如图：当C 在AB 上时，AC =AB -BC =2,∴AD =12AC =1如图：当C 在AB 的延长线上时，AC =AB +BC =6,∴AD =12AC =3故选C ．2．点C 在线段AB 上，下列条件中不能确定点C 是线段AB 中点的是（）A ．AC BC=B ．AC BC AB +=C ．2AB AC =D ．12BC AB =【答案】B【分析】根据线段中点的定义，结合选项一一分析，排除答案．显然A 、C 、D 都可以确定点C 是线段AB 中点．【解析】解：A 、AC =BC ，则点C 是线段AB 中点；B 、AC +BC =AB ，则C 可以是线段AB 上任意一点；C 、AB =2AC ，则点C 是线段AB 中点；D 、BC =12AB ，则点C 是线段AB 中点．故选：B ．3．如图，C 、D 是线段AB 上的两点，且D 是线段AC 的中点．若AB=10cm ，BC=4cm ，则BD的长为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】B【分析】利用线段和的定义和线段中点的意义计算即可．【解析】∵AB=AC+BC，且AB=10，BC=4，∴AC=6，∵D是线段AC的中点，∴AD=DC=12AC=3，∴BD=BC+CD=4+3=7，故选B．4．如图，C，D是线段AB上的两点，E是AC的中点，F是BD的中点，若EF＝8，CD＝4，则AB的长为（）A．10B．12C．16D．18【答案】B【分析】由已知条件可知，EC+FD=EF-CD=8-4=4，又因为E是AC的中点，F是BD的中点，则AE+FB=EC+FD，故AB=AE+FB+EF可求．【解析】解：由题意得，EC+FD=EF-CD=8-4=4，∵E是AC的中点，F是BD的中点，∴AE=EC，BF=DF∴AE+FB=EC+FD=4，∴AB=AE+FB+EF=4+8=12．故选：B．二、填空题5．如图，点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB＝8cm，则CD＝___cm．【答案】2【分析】由点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，可得14CD AB，即可求得答案．【解析】解：∵点D是线段AB的中点，∴12AD AB=，∵C是线段AD的中点，∴12CD AD=，∴1182cm44CD AB==⨯=，故答案为：2．6．在直线上取A，B，C三点，使得AB＝9cm，BC＝4cm，如果O是线段AC的中点，则线段OA的长为_____．【答案】2.5cm或6.5cm【分析】分两种情况：①当点C在线段AB上时，②当点C在线段AB的延长线上时，线求出AC，根据线段中点的定义求出OA．【解析】解：分两种情况：①当点C在线段AB上时，∵AB＝9cm，BC＝4cm，∴AC=AB-BC=9-4=5cm，∵O是线段AC的中点，∴1 2.52OA AC cm==；②当点C在线段AB的延长线上时，∵AB＝9cm，BC＝4cm，∴AC=AB+BC=9+4=13cm，∵O是线段AC的中点，∴1 6.52OA AC cm==；故答案为：2.5cm或6.5cm．7．如图所示，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD的中点，若MN＝7cm，BC＝3cm，则AD的长为_____cm．【答案】11【分析】由已知条件可知，MN＝MB+CN+BC，又因为M是AB的中点，N是CD中点，则AB+CD＝2（MB+CN），故AD＝AB+CD+BC可求．【解析】解：∵MN＝MB+BC+CN，MN＝7cm，BC＝3cm，∴MB+CN＝7﹣3＝4cm，∵M是AB的中点，N是CD的中点，∴AB＝2MB，CD＝2CN，∴AD＝AB+BC+CD＝2（MB+CN）+BC＝2×4+3＝11cm．故答案为：11．8．如图，C，D两点将线段AB分为三部分，AC∶CD∶DB＝3∶4∶5，且AC＝6．M是线段AB的中点，N是线段DB的中点．则线段MN的长为____________．【答案】7【分析】先根据已知条件求出CD，DB的长，再根据中点的定义求出BM，BN的长，进而可求出MN的长．【解析】解：∵AC∶CD∶DB＝3∶4∶5，且AC＝6，∴CD=6÷3×4=8，∴DB=6÷3×5=10，∴AB=6+8+10=24，∵M是线段AB的中点，∴MB=12AB=12×24=12，∵N是线段BD的中点，∴NB=12DB=12×10=5，∵MN=MB-NB，∴MN=12-5=7．故答案为：7．三、解答题9．（2022·安徽·宣城市第六中学一模）如图所示，已知C，D是线段AB上的两个点，点M、N分别为AC、BD的中点(1)若AB=16cm，CD=6cm，求AC+BD的长和M，N的距离；(2)如果AB=m，CD=n，用含m，n的式子表示MN的长【答案】(1)10cm ；11cm ；(2)2m n +．【分析】（1）根据AC +BD =AB -CD 列式进行计算即可求解，根据中点定义求出AM +BN 的长度，再根据MN =AB -（AM +BN ）代入数据进行计算即可求解；（2）根据（1）的求解，把AB 、CD 的长度换成m 、n 即可【解析】(1)∵AB =16cm ，CD =6cm ，∴AC +BD =AB -CD =10cm ，∴MN =AB -（AM +BN ）=AB -12（AC +BD ）=16-5=11（cm ）；(2)∵AB =m ，CD =n ，∴AC +BD =AB -CD =m -n ，∴MN =AB -（AM +BN ）=AB -12（AC +BD ）=m -12（m -n ）=2m n +．10．已知线段AB 如图所示，延长AB 至C ，使BC ＝AB ，反向延长AB 至D ，使AD ＝BC ．点M 是CD 的中点，点N 是AD 的中点．(1)依题意补全图形；(2)若AB 长为10，求线段MN 的长度．【答案】(1)见解析(2)线段MN 的长度为10．【分析】（1）根据题意画出图形；（2）由图，根据线段中点的意义，根据线段的和与差进一步解决问题．【解析】(1)解：补全图形如图所示：；(2)解：由题意知可知AD =AB =BC ，且AB =10，∴AD =AB =BC =10，即CD =30，∵点M 是CD 的中点，点N 是AD 的中点，∴DM =12CD =15，DN =12AD =5，∴MN =DM -DN =10，∴线段MN 的长度为10．11．已知点B 、D 在线段AC 上，（1）如图，若20AC =，8AB =，点D 为线段AC 的中点，求线段BD 的长度；（2）如图，若1134BD AB CD ==，AE BE =，13EC =，求线段AC 的长度．【答案】（1）2；（2）16．【分析】（1）由20AC =，点D 为线段AC 的中点，求得AD=DC=10，由8AB =，可求BD=AD-AB=2；（2）由1134BD AB CD ==，推出34AB BD CD BD ==，，由AE BE =，可用BD 表示3=2AE BE BD =，表示EC=132BD =13，求出2BD =，再求AE=3=可求，AC=AE+EC=16．【解析】（1）∵20AC =，点D 为线段AC 的中点，∴AD=DC=11201022AC =⨯=，∵8AB =，∴BD=AD-AB=10-8=2；（2）∵1134BD AB CD ==，∴34AB BD CD BD ==，，∵AE BE =，∴13=22AE BE AB BD ==，∵EC=313422BE BD DC BD BD BD BD ++=++==13，∴2BD =，∴AE=33=2322BD ⨯=，∴AC=AE+EC=3+13=16．12．如图，点C 为线段AB 上一点，AB =30，且AC -BC =10．（1）求线段AC 、BC 的长．（2）点P 从A 点出发，以1个单位/秒的速度在线段AB 上向B 点运动，设运动时间为t 秒（20t <），点D 为线段PB 的中点，点E 为线段PC 的中点，若CD =25DE ，试求点P 运动时间t 的值．（3）若点D 为直线AB 上的一点，线段AD 的中点为E ，且12AD BD CE -=，求线段AD 的长．【答案】（1）20,10；（2）14t =或6t =；（3）AD 的长为：1609或160.【分析】（1）由30AC BC +=，10AC BC -=，再两式相加，即可得到AC ，再求解BC 即可；（2）以A 为原点画数轴，再利用数轴及数轴上线段的中点知识分别表示,,,,,A C B P D E 对应的数，由CD =25DE ，利用数轴上两点之间的距离公式建立绝对值方程，解方程可得答案；（3）以A 为原点画数轴，分三种情况讨论，当D 在A 的左侧，当D 在线段AB 上，当D 在B 的右侧，利用数轴与数轴上线段的中点知识，结合数轴上两点之间的距离分别表示,,AD BD CE ，再利用1,2AD BD CE -=建立方程，解方程即可得到答案．【解析】解：（1）AB =30，30AC BC ∴+=①又AC -BC =10②，①+②得：240,AC =20AC ∴=，10.BC ∴=（2）如图，以A 为原点画数轴，则,,,,A P C B 对应的数分别为：0,,20,30t ，点D 为线段PB 的中点，D ∴对应的数为：()1130+15,22t t =+点E 为线段PC 的中点，E ∴对应的数为：()1120+10,22t t =+1115205,22CD t t ∴=+-=-11111510151052222DE t t t ⎛⎫=+-+=+--= ⎪⎝⎭，CD =25DE ，1255,25t ∴-=152,2t ∴-=1522t ∴-=或152,2t -=-解得：14t =或6t =．由20t <，经检验：14t =或6t =都符合题意．（3）如图，以A 为原点画数轴，设D 对应的数为m ，当D 在A 的左侧时，AD BD -＜0，12AD BD CE ∴-≠，舍去，当D 在AB 上时，线段AD 的中点为E ，E ∴对应的数为：()110,22m m +=此时E 在AC 上，,30,AD m BD m ∴==-120,2CE m =-1,2AD BD CE -=()113020,22m m m ⎛⎫∴--=- ⎪⎝⎭123010,4m m ∴-=-940,4m ∴=160,9m ∴=1609AD ∴=，当D 在B 的右侧时，如图，同理：,30,AD m BD m ==-120,2CE m =-1,2AD BD CE -=()113020,22m m m ∴--=-12060,2m ∴-=120602m ∴-=或12060,2m -=-解得：80m =-（舍去），160,m =160AD ∴=，综上：AD 的长为：1609或160.13．如图，线段AB ＝20，BC ＝15，点M 是AC 的中点．（1）求线段AM 的长度；（2）在CB 上取一点N ，使得CN ：NB ＝2：3．求MN 的长．【答案】（1）52；（2）172【分析】（1）根据图示知AM ＝12AC ，AC ＝AB ﹣BC ；（2）根据已知条件求得CN ＝6，然后根据图示知MN ＝MC +NC ．【解析】解：（1）线段AB ＝20，BC ＝15，∴AC ＝AB ﹣BC ＝20﹣15＝5．又∵点M 是AC 的中点．∴AM ＝12AC ＝12×5＝52，即线段AM 的长度是52．（2）∵BC ＝15，CN ：NB ＝2：3，∴CN ＝25BC ＝25×15＝6．又∵点M 是AC 的中点，AC ＝5，∴MC ＝12AC ＝52，∴MN ＝MC +NC ＝172，即MN 的长度是172．14．如图，点C 在线段AB 上，8,6AC cm CB cm ==，点,M N 分别是AC BC ，的中点．()1求线段MN 的长;()2若C 为线段AB 上任一点，满足AC CB a +=，其它条件不变，猜想MN 的长度，并说明理由;()3若C 在线段AB 的延长线上，且满足,,AC BC b M N -=分别为AC BC ，的中点，猜想MN 的长度，请画出图形，写出你的结论，并说明理由;()4请用一句简洁的话，描述你发现的结论．【答案】()17cm ；()22aMN =，证明解解析；()32bMN =，证明见解析；()4见解析【分析】()1根据“点M 、N 分别是AC 、BC 的中点”，先求出MC 、CN 的长度，再利用MN CM CN =+即可求出MN 的长度即可；()2当C 为线段AB 上一点，且M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则存在12MN a =；()3点在AB 的延长线上时，根据M 、N 分别为AC 、BC 的中点，即可求出MN 的长度；()4根据前面的结果解答即可．【解析】解：()1,M N 分别是,AC BC 的中点，8,6AC cm CB cm ==11,22MC AC CN BC ∴==()12MN MC CN AC BC =+=+Q ()18672MN cm \=+=()22aMN =,M N 分别是,AC BC 的中点11,22MC AC CN BC ∴==又MN MC CN =+Q ()122a MN AC BC ∴=+=()32bMN =∵AC BC b -=，∴C 在点B 的右边，如图示：,M N 分别是,AC BC 的中点，AC BC b -=11,22MC AC NC BC ∴==又NM MC NC =-()122b MN AC BC ∴=-=()4只要满足点C 在线段AB 所在直线上，点M N ，分别是AC BC ，的中点．那么MN 就等于AB 的一半。
