线段中点的练习

数线段练习题数线段练习题在数学中，线段是指两个端点之间的连续部分。

它是几何学中的基本概念，广泛应用于各个领域。

今天，我们来通过一些练习题来加深对线段的理解和运用。

1. 给定线段AB，长度为5cm，C是AB的中点，求线段AC的长度。

解析：由于C是AB的中点，所以AC的长度等于AB的一半。

即AC = 5cm / 2 = 2.5cm。

2. 线段DE的长度是线段BC长度的3倍，而线段DE的长度是12cm，求线段BC的长度。

解析：设线段BC的长度为x，则线段DE的长度为3x。

根据题目中的信息，我们可以列出方程3x = 12。

解这个方程得到x = 4，所以线段BC的长度为4cm。

3. 线段FG和线段HI的长度之和是10cm，线段FG的长度是线段HI长度的2倍，求线段FG和线段HI的长度。

解析：设线段HI的长度为x，则线段FG的长度为2x。

根据题目中的信息，我们可以列出方程2x + x = 10。

解这个方程得到x = 2，所以线段FG的长度为4cm，线段HI的长度为6cm。

4. 线段JK和线段LM的长度之比是2:3，线段JK的长度是6cm，求线段LM的长度。

解析：设线段LM的长度为x，则线段JK的长度为2x。

根据题目中的信息，我们可以列出方程2x = 6。

解这个方程得到x = 3，所以线段LM的长度为9cm。

5. 线段NO的长度是线段PQ长度的1/4，线段PQ的长度是线段RS长度的2倍，线段RS的长度是10cm，求线段NO的长度。

解析：设线段PQ的长度为x，则线段RS的长度为2x。

根据题目中的信息，我们可以列出方程2x = 10。

解这个方程得到x = 5，所以线段PQ的长度为5cm，线段NO的长度为5cm / 4 = 1.25cm。

通过以上的练习题，我们可以发现线段之间的关系可以通过方程来表示和求解。

在实际应用中，线段的长度和比例关系经常出现，因此掌握线段的相关知识和运用方法对我们的数学学习和实际问题解决都有很大的帮助。

双中点(角平分线)模型一、模型口决：两线中点齐出现，一半一半又一半。

有线重叠大减小，无线重叠内加外。

二、模型解读：第一种情况，如图，点A 、B 、C 顺次在直线上，点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点．则两中点MN 的长度就有双中点模型的特点。

两线中点齐出现，看已知标记部分，双中点模型已经出现，又因为是，有线重叠，看图AC 与BC 有部分叠合在了一起，故应该是有线重叠大减小，所以AB BC AC MN 21)(21=-=，而一半一半又一半的意思是：两中点MN 的距离=有中点线段AC 的一半减去有中点线段BC 的一半。

第二种情况，如图，点A 、B 、C 顺次在直线上，点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点．则两中点MN 的长度就有双中点模型的特点。

两线中点齐出现，看已知标记部分，双中点模型已经出现，又因为是，无线重叠，看图AC 与BC 没有线段叠合在一起，故应该是无线重叠内加外，所以图2图3CD AB MN 2121+=，即为有中点两线段外端点组成线段与内端点组成线段，而又因为一半一半又一半，故每条线段都是取一半，故乘以21。

如图2就是标准情况，而当C 、D 重叠时，因为CD 没有长度，故成为图3这种情况，这种情况又可以得到AB MN 21=。

1、如图，点A 、B 、C 顺次在直线l 上，点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点．若想求出MN 的长度，那么只需条件（）A ．AB=12B ．BC=4C ．AM=5D ．CN=2【考点】比较线段的长短．【分析】根据点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点，可知：，继而即可得出答案．【解答】解：根据点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点，可知：，∴只要已知AB 即可．故选A ．【点评】本题考查了比较线段的长短的知识，注意理解线段的中点的概念．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．2、已知线段AB=10cm ，点C 是直线AB 上一点，BC=4cm ，若M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，则线段MN 的长度是（）A ．7cmB ．3cmC ．7cm 或3cmD ．5cm【考点】比较线段的长短．【分析】本题应考虑到A 、B 、C 三点之间的位置关系的多种可能，即当点C 在线段AB 上时和当点C 在线段AB 的延长线上时．【解答】解：（1）当点C 在线段AB 上时，则MN=AC+BC=AB=5；（2）当点C 在线段AB 的延长线上时，则MN=AC ﹣BC=7﹣2=5．综合上述情况，线段MN 的长度是5cm ．故选D ．【点评】首先要根据题意，考虑所有可能情况，画出正确图形．再根据中点的概念，进行线段的计算．3、A 、B 、C 三点在同一条直线上，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，且AB=60，BC=40，则MN 的长为（）A ．30B ．30或10C ．50D ．50或10【考点】比较线段的长短．【分析】此题首先要考虑A、B、C三点在直线上的不同位置：点C在线段AB上或点C在线段AB的延长线上．再根据线段中点的概念进行计算．【解答】解：如图所示，∵M，N分别为AB，BC的中点，∴BM=AB=30，BN=BC=20．在图1中，MN=BM﹣BN=10；在图2中，MN=BM+BN=50．故选D．【点评】此题的难点在正确考虑三点在直线上的不同位置，掌握线段的中点概念．4、如图，点C为线段AB的中点，点D为线段AC的中点、已知AB=8，则BD=（）A．2B．4C．6D．8【考点】比较线段的长短．【分析】根据两中点进行解答．【解答】解：∵点C为线段AB的中点，AB=8，则BC=AC=4．点D为线段AC的中点，则AD=DC=2．∴BD=CD+BC=6．故选C．【点评】利用中点性质转化线段之间的长短关系是解题的关键．5、如图所示，点P，Q，C都在直线AB上，且P是AC的中点，Q是BC的中点，若AC=m，BC=n，则线段PQ的长为（）A．B．C．D．【考点】比较线段的长短．【分析】根据题意，结合图形，可求得PC=AC、CQ=BC，故PQ=PC+CQ可求．【解答】解：∵P是AC的中点∴PC=AC∵Q是BC的中点∴CQ=BC若AC=m，BC=n则PQ=PC+CQ=AC+BC=故选C．【点评】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．6、如果点C在线段AB上，E是AC的中点，D是BC的中点，若ED=6，则AB的长为（）A．6B．8C．12D．16【考点】比较线段的长短．【分析】因为E是AC的中点，D是BC的中点，所以AB=2ED．【解答】解：AB=2ED=2×6=12．故选C．【点评】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．7、如图所示．B，C是线段AD上两点，M是AB的中点，N是CD的中点．若MN=a，BC=b，求AD．【考点】比较线段的长短．【分析】由已知条件可知，MN=MB+CN+BC，又因为M是AB的中点，N是CD中点，则AB+CD=2（MB+CN），故AD=AB+CD+BC可求．【解答】解：∵MN=MB+CN+BC=a，BC=b，∴MB+CN=a﹣b，∵M是AB的中点，N是CD中点∴AB+CD=2（MB+CN）=2（a﹣b），∴AD=2（a﹣b）+b=2a﹣b．8、如图，A，B，C，D是直线L上顺次四点，M，N分别是AB，CD的中点，且MN=6cm，BC=1cm，则AD的长等于（）A．10cmB．11cm C．12cmD．13cm【考点】比较线段的长短．【分析】由已知条件知MB+CN=MN﹣BC，MB+CN=（AB+CD），故AD=AB+BC+CD可求．【解答】解：∵MN=6cm∴MB+CN=6﹣1=5cm，AB+CD=10cm∴AD=11cm．故选B．【点评】本题的关键是根据图形分清线段的关系利用已知条件求出AD的长．9、如图，AB=20cm，C是AB上一点，且AC=12cm，D是AC的中点，E是BC的中点，求线段DE的长．【考点】比较线段的长短．【分析】根据题意可知DE=DC+CE，然后求出线段DC和CE的长即可．【解答】解：∵AB=20cm，AC=12cm，∴CB=AB﹣AC=20﹣12=8cm，又∵D是AC中点，E是BC中点，∴DC=AC=×12=6cm，CE=CB=×8=4cm，∴DE=DC+CE=6+4=10cm．【点评】本题考查了比较线段的长短的知识，注意理解线段的中点的概念．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．。

2．如图，AB＝6 cm，点 C 是线段 AB 的中点，点 D 在 CB 上，且 CD ＝12 DB，求 AD 的长．
解：因为 AB＝6 cm，点 C 是线段 AB 的中点， 所以 AC＝CB＝12 AB＝3(cm)， 因为点 D 在 CB 上且 CD＝12 DB， 所以 CD＝13 CB＝1(cm)， 所以 AD＝AC＋CD＝3＋1＝4(cm)
5．如图，点C，D，E将线段AB分成2∶3∶4∶5四部分，M，P，Q，N 分别是线段AC，CD，DE，EB的中点，且MN＝21，求线段PQ的长度．
解：设AC＝2x，则CD＝3x，DE＝4x，EB＝5x，于是有MC＝x，EN＝ 2.5x，由题意得，MN＝MC＋CD＋DE＋EN，又因为MN＝21，可得x＋ 3x＋4x＋2.5x＝21，解得x＝2.所以PQ ＝PD＋DQ＝0.5(CD＋DE)＝3.5x＝ 7.
3．如图，已知线段AB＝13 cm，BC＝9 cm，点M是线段AC的中点．
(1)求线段AC的长度； (2)在线段CB上取一点N，使得NB＝2CN，求线段MN的长．
解：(1)因为 AB＝13 cm，BC＝9 cm，所以 AC＝AB－BC＝13－9＝4 (cm) (2)因为 M 是线段 AC 的中点，所以 MC＝12 AC＝12 ×4＝2 (cm).因为 NB＝ 2CN，所以 CN＝13 BC＝3(cm).所以 MN＝MC＋CN＝2＋3＝5 (cm)
类型五 角的计算中的动点问题 8．如图①，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将 一直角三角板AOB(∠OAB＝30°)的直角顶点放在点O处，一条直角边OA 在射线OD上，另一边OB在直线DE上方．将直角三角板绕着点O按每秒 10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． (1)当直角三角板旋转到如图②所示的位置时，OA恰好平分∠COD，此 时，∠BOC与∠BOE之间有何数量关系？请说明理由；

四边形拓展练习——中点应用中点，特别是线段的中点是几何图形中的一个特殊点，直角三角形斜边中线、等腰三角形三线合一、中心对称图形、三角形中位线和梯形中位线等都有其身影．那么，如何恰当地利用中点和处理与中点有关的问题呢？关键在于：充分挖掘中点所包含的信息，合理联想构造含中点的图形来解决问题．一、利用中点构造三角形中线例1．如图，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 是中线，AE BD ⊥交BC 于点E ．求证：2BE CE =．例2．如图，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 是中线，AM BD ⊥于M ，交BC 于点E ．求CDE S ∆．【注】如果是等腰三角形的问题，则腰上的中点即为构造全等三角形创造了条件．三角形中线的性质是分三角形为两个面积相等的小三角形．在涉及求面积时，往往是常用的结论之一．二、利用中点构造中心对称三角形例3．如图，在梯形ABCD 中，90D ∠=︒，M 为AB 中点． 若 6.5CM =，17BC CD DA ++=，求梯形ABCD 的面积．BB例4．如图，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ．求直线BF 与DE 所夹的锐角的度数．【注】：在四边形问题中，若已知条件中有一边的中点，往往可利用中点构造中心对称的全等的三角形，从而把分散的条件相对集中，为解题创造有利条件．三、利用中点构造三角形中位线例5．如图，在ABC ∆中，7AC =，4BC =，D 为AB 的中点，E 为AC 上一点，且1902AED C ∠=︒+∠．求CE 的长．例6．如图，已知AD 为ABC ∆的角平分线，AB ＜AC ，在AC 上截取CE AB =，M 、N 分别为边BC 、AE 的中点．求证：//MN AD ．【注】：在四边形问题中，当已知条件中出现四边形对边的两个中点时，常见的方法是：另外作对角线的中点，再利用三角形的中位线来解题．EA四、利用中点构造直角三角形斜边中线和三角形中位线例7．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，E G 、分别为AD AC 、的中点，DF BE ⊥，垂足为F ．求证：FG DG =．例8．如图，在ABC ∆内取一点P ，使PBA PCA ∠=∠，作PD AB ⊥于点D ，PE AC ⊥于点E ．求证：DE 的垂直平分线必经过BC 的中点M ．【注】：当题目的条件中涉及到三角形一边的中点和直角三角形时，常用的方法是：另取一边（一般取斜边）的中点，为沟通直角三角形斜边中线定理和三角形中位线定理架起一座桥梁．五、利用中点构造梯形中位线例9．在梯形ABCD 中，90ABC DCB ∠=∠=︒，AD 上有一点E 使得BE EC ⊥，且45CED ∠=︒．求证：AB CD BC +=．例10．如图，M N 、分别是四边形ABCD 边AB CD 、的中点，BN 与MC 交于点P ，AN 与MD 交于点Q ．求证：BCP ADQ MQNP S S S ∆∆=+四边形．六、利用多个中点构造三角形和四边形例11．如图，在任意五边形ABCDE 中，M N P Q 、、、分别为AB CD BC DE 、、、的中点，K L 、分别为MN PQ 、的中点．求证：//KL AE 且1=4KL AE ．例12．在六边形ABCDEF 中，//AB DE ，//BC EF ，//CD FA ，AB DE BC EF +=+，1111A B D E 、、、分别是边AB BC DE EF 、、、的中点，且1111A D B E =．求证：CDE AFE ∠=∠．ABE1ADABCD配套练习：1．如图，在菱形ABCD 中，100A ∠=︒，M N 、分别是边AB BC 、的中点，MP CD ⊥于点P ，求NPC ∠的度数．2．如图，在ABC ∆中，D 为边BC 的中点，点E F 、分别在边AC AB 、上，且ABE ACF ∠=∠，BE 与CF 交于点O ，作OP AC ⊥，OQ AB ⊥，P Q 、为垂足．求证：DP DQ =．3．如图，在ABC ∆中，2A B ACB ∠+∠=∠，8BC =，D 为AB 的中点，且CD =，求AC 的长．BBD BAFE MABCDM4．如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，AD BC ⊥于D ，M 为BC 的中点，求证：12DM AB =5．如图，在ABC ∆中，2ABC C ∠=∠，AD 平分BAC ∠，过BC 的中点M 作AD 的垂线，交AD 的延长线于F ，交AB 的延长线于E ，求证：12BE BD =．6．如图，已知五边形ABCDE 中，90,ABC AED BAC EAD ∠=∠=︒∠=∠。