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初二数学三角形辅助线

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初二数学三角形辅助线————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:（１）“取长补短法“证线段的和差关系１、如图,AC ∥B Ｄ,EA,ＥＢ分别平分∠CAB,∠DB Ａ,CD 过点E,求证;A Ｂ＝A Ｃ+BD2：如图,ΔABＣ是等腰直角三角形,∠BA Ｃ=90°，B Ｄ平分∠ＡBC 交AC 于点D,ＣE 垂直于B Ｄ，交ＢD 的延长线于点E 。

求证：BD=２CE 。

３.已知：如图1-4，在△AB Ｃ中,∠C ＝２∠Ｂ,AD 平分∠BAC ，求证：ＡB-AC=CD_E_C_D_B_A图1-4ABCDE4、如图，已知在ABC ∆中，︒=∠60B ,ABC ∆的角平分线A Ｄ,CE 相交于点O .求证:OD OE =５、已知,如图１，在四边形ABCD 中，B Ｃ>ＡB ,AD =DC ，BD 平分∠ＡＢC 。

求证:∠B ＡD +∠BCD =1８0°。

（2)利用三角形全等证明角或线段全等1．如图所示，在△ABC 中，∠C=9０°,A Ｃ=BC ， AD 平分∠CAB ，并交ＢC 于D ，ＤE ⊥A Ｂ于E ，若A Ｂ＝6ｃｍ,求△DE Ｂ的周长。

FODEACB2.如右图，已知BE⊥AC于E，ＣF⊥ＡB于Ｆ，BＥ、CF相交于点D,若BＤ=ＣD．求证：ＡD平分∠BＡC.(３)若遇到三角形的中线，可倍长中线,使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

1．如图,已知ΔABC中,AD是∠BＡC的平分线,ＡD又是BC边上的中线。

求证:ΔＡBC是等腰三角形。

（4)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线。

1．已知,如图，ＡC平分∠ＢAD，ＣD=CB,ＡB>AＤ。

求证:∠B+∠ADC=180°。

２.如图，ABC ∆中,AC AB 2=，AD 平分BAC ∠,且BD AD =,求证:AC CD ⊥3．如图2-２，在△AB Ｃ中,∠A ＝90 ,A Ｂ=AC ，∠A ＢＤ=∠C ＢD 。

求证：BC ＝AB ＋ＡＤ图2-2ABCDEMCABD4.已知如图２－３,△AB Ｃ的角平分线ＢM 、CN 相交于点Ｐ。

求证：∠B ＡＣ的平分线也经过点P 。

(5）连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决。

１．如图７:AB ∥C Ｄ,AD ∥ＢC 求证:AB=CD 。

(6）.连接已知点,构造全等三角形。

(易)1．已知:如图AB=AD,C Ｂ=ＣD ，证：∠Ｂ＝∠D.图2-3PABCM N DF ABCD 7图1234（课后练习) 一、选择题:1． 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A. 两直角边对应相等 ﻩﻩﻩﻩB ． 一锐角对应相等C. 两锐角对应相等ﻩD. 斜边相等２. 根据下列条件，能画出唯一ABC ∆的是（ ） A. 3AB =,4BC =,8CA =ﻩ Ｂ. 4AB =，3BC =，30A ∠=Ｃ. 60C ∠=，45B ∠=，4AB = D. 90C ∠=，6AB =3. 如图,已知12∠=∠，AC AD =,增加下列条件：①AB AE =;②BC ED =；③C D ∠=∠；④B E ∠=∠。

其中能使ABC AED ∆≅∆的条件有( )ﻩA. 4个ﻩﻩﻩB. 3个ﻩ ﻩC ． ２个ﻩD. 1个（第３题） (第4题) （第5题） (第6题） 4. 如图，已知AB CD =，BC AD =,23B ∠=,则D ∠等于( )A. 67ﻩﻩﻩＢ. 46ﻩﻩＣ. 23ﻩﻩＤ. 无法确定二、填空题:5. 如图，在ABC ∆中,90C ∠=，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，且:2:3CD AD =，10AC cm =,则点D 到AB 的距离等于______＿_＿_cm ;6. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠，,BC BD 为折痕，则CBD ∠的大小为＿______＿_; 三、解答题：7. 如图,ABC ∆为等边三角形，点,M N 分别在,BC AC 上，且BM CN =,AM 与BN 交于Q 点。

求AQN ∠的度数。

8. 如图，90ACB ∠=，AC BC =,D 为AB 上一点，AE CD ⊥,BF CD ⊥，交CD 延长线于F 点。

求证：BF CE =。

9. 如图,已知A Ｅ⊥AD ，AF ⊥A Ｂ,ＡF ＝AB ，ＡE=AD=ＢC,AD//BC ．求证：（１)AC=EF ，（２)A Ｃ⊥E Ｆ10. 已知:如图，在Ｒt △ＡBC 中，AB=AC,∠ＢA Ｃ=９０°，∠1=∠２，CE ⊥ＢＤ的延长线于E.求证：BD ＝2ＣE.11、如图,△ABC 中,ＡＤ是高，ＣＥ是中线，DC=BE,ＤＧ⊥CE 于G 。

(1）求证:G 是C Ｅ的中点； （２）∠B ＝2∠B ＣＥ。

１2、在△ＡBC 中,AB ≠AC ，D 、E 在ＢC 上，且D Ｅ=ＥC,过D 作DF ∥B Ａ交AE 于点F ，DF ＝ＡC ，求证：ＡＥ平分∠ＢＡC 。

13、如图，在△A ＢC 中,∠B ＝22.50，∠C ＝600,ＡB 的垂直平分线交BC 于点D,BD=26，AE ⊥ＢC 于点E,求ＥＣ的长。

一、选择题： １． A ﻩﻩﻩ２. Ｃ3. B ﻩﻩ4. C二、填空题: ５． 4ﻩ ﻩ6. 90ﻩﻩ三、解答题: 7． 解:ABC ∆为等边三角形∴AB BC =,60ABC C ∠=∠=在ABM ∆与BCN ∆中AB BCABC CBM CN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABM BCN∆≅∆（SAS)∴NBC BAM∠=∠∴60 AQN ABQ BAM ABQ NBC∠=∠+∠=∠+∠=。

8．证明:AE CD⊥,BF CD⊥∴90F AEC∠=∠=∴90ACE CAE∠+∠=90ACB∠=∴90ACE BCF∠+∠=∴CAE BCF∠=∠在ACE∆与CBF∆中F AECCAE BCFAC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACE CBF∆≅∆(AＡＳ）∴BF CE=。

9.证明：(１)∵AＤ/／ＢC，∴∠B+∠DAB＝180°又∵∠DＡＢ+∠4+∠EＡF+∠3=360°，∠３=∠４＝90°∴∠ＤＡB＋∠EＡF＝180°∴∠Ｂ=∠EAF在△AＢC和△FＡE中∴△AＢC≌△ＦAE(ＳAS）∴AC=EF(2）∵△ABＣ≌△FAＥ∴∠1=∠F又∵∠1+∠３＝∠2+∠F∴∠2=∠３又∵∠3=９0° ∴∠2=９0°∴ＡG⊥EF,即AC⊥EＦ１0.证明:延长BA、CＥ交于点F.∵∠３=90°,∴∠5+∠F=90°又∵BE⊥CE,∴∠4＝９0°,∠7=90°∴∠1＋∠F=9０°，∠6=１80°－9０°＝90°∴∠１=∠5在△ABD和△ACF中∴△AＢD≌△ACＦ(ＡSA)∴BD=FC在△BEＦ和△BEC中∴△BEF≌△BEＣ（ASA）∴ＥＦ=EC∴ＦＣ=2EC∴ＢD=2E C１1.提示：连结EＤ1２、延长FE 到G ，使EG ＝E Ｆ,连结ＣG,证△DE Ｆ≌△CEG１3、连结AD ，DF 为ＡB 的垂直平分线,AD ＝ＢD=26,∠B ＝∠DAB ＝２2.５0 ∴∠ＡDE ＝450,AE ＝22AD=2622⨯＝６ 又∵∠C ＝600∴EC=32363==AE2０09,7.如图,给出下列四组条件： ①AB DE BC EF AC DF ===，，; ②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，； ④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，.其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ) Ａ.1组 ﻩB ．２组 ﻩC ．3组 ﻩD ．４组2０08,２１.(A 类）已知如图,四边形ＡBCD 中,AB ＝ＢC,AD=ＣD,求证：∠A ＝∠C.（B 类)已知如图,四边形ＡBCD 中，ＡB ＝BC,∠A＝∠C,求证:A Ｄ=C Ｄ.A C BDFE（第7DCBA（图A BCDO2００7,19.已知：如图6，直线AD 与BC 交于点O ，OA OD =，OB OC =．求证:AB ∥CD ．2012，２3．如图,Ｃ为AB 的中点。

四边形AC ＤE 为平行四边形,BE 与CD 相交于点Ｆ。

求证:EF=BF 。

2０1０，23题，如图,在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 、F 分别在AD 及其延长线上， CE ∥B Ｆ,连接BE 、CF.(1)求证:△BDF ≌△CDE ；（2)若ＡB=AC ，求证：四边形BFCE 是菱形２011，23．如图，在四边形ＡBCD中,AB＝CＤ,BＦ=DE，AE⊥BＤ,CF⊥BＤ，垂足分别为E、Ｆ。

（1）求证：△ＡＢE≌△CDF;(2)若AＣ与ＢD交于点O,求证:ＡO=CＯ.AB CDEF（第23题）。

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初中数学三角形辅助线技巧

初中数学三角形辅助线技巧

初中数学三角形辅助线技巧
在解决初中数学中的三角形问题时，添加辅助线是一种常见的策略。

以下是一些常见的三角形辅助线添加技巧：
1. 中点连线：如果已知三角形的一个中点，可以通过连接这个中点到其他顶点来找到新的等腰三角形或平行四边形，从而简化问题。

2. 平行线：通过作平行线，可以构造新的平行四边形或相似三角形，从而利用这些图形的性质来解决问题。

3. 延长线：在某些情况下，延长线可以帮助我们找到新的角或线段，从而利用这些信息解决问题。

4. 作高：在直角三角形中，可以通过作高来找到新的线段或角，从而找到解决问题的线索。

5. 作角平分线：角平分线可以将一个角分为两个相等的角，从而帮助我们找到新的等腰三角形或平行线。

6. 构造全等三角形：通过添加辅助线，可以构造两个或多个全等的三角形，从而利用全等三角形的性质解决问题。

7. 倍长中线：在已知中点的情况下，可以通过倍长中线来找到新的等腰三角形或平行四边形。

8. 构造相似三角形：通过添加辅助线，可以构造两个相似的三角形，从而利用相似三角形的性质解决问题。

以上技巧并非一成不变，需要根据具体的问题和条件灵活运用。

在解决三角形问题时，多思考、多实践是提高解题能力的关键。

初二全等三角形辅助线方法()

初二全等三角形辅助线方法()

D C BAED F CB A三角形辅助线专题常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；（遇垂线及角平分线时延长垂线段，构造等腰三角形）5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、中线问题1：（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.2：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.3：如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.ED CBAC中考应用（09崇文二模）以Rt ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ，线段AM 与DE 的数量关系是 ；（2）将图①中的等腰Rt ABD∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．二、截长补短1.如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC2：如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BCCDBABACBA3：如图，已知在ABC ∆内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。

八年级数学三角形辅助线大全(精简、全面)

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三角形作辅助性方法大全1.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.例：已知D 为△ABC 内任一点，求证：∠BDC ＞∠BAC证法（一）：延长BD 交AC 于E ，∵∠BDC 是△EDC 的外角，∴∠BDC ＞∠DEC同理：∠DEC ＞∠BAC ∴∠BDC ＞∠BAC 证法（二）：连结AD ，并延长交BC 于F ∵∠BDF 是△ABD 的外角， ∴∠BDF ＞∠BAD 同理∠CDF ＞∠CAD∴∠BDF ＋∠CDF ＞∠BAD ＋∠CAD 即：∠BDC ＞∠BAC2.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF证明：在DA 上截取DN = DB ，连结NE 、NF ，则DN= DC 在△BDE 和△NDE 中，DN = DB ∠1 = ∠2ED = ED ∴△BDE ≌△NDE∴BE = NE同理可证：CF = NF在△EFN 中，EN ＋FN ＞EF ∴BE ＋CF ＞EF3. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF证明：延长ED 到M ，使DM = DE ，连结CM 、FM△BDE 和△CDM 中， BD = CD ∠1 = ∠5 ED = MD∴△BDE ≌△CDM ∴CM = BE又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4∠1＋∠2＋∠3 ＋ ∠4 = 180oFABC DE D C B A4321NF E DC B A∴∠3 ＋∠2 = 90o 即∠EDF = 90o∴∠FDM = ∠EDF = 90o△EDF 和△MDF 中 ED = MD ∠FDM = ∠EDFDF = DF ∴△EDF ≌△MDF ∴EF = MF∵在△CMF 中，CF ＋CM ＞MF BE ＋CF ＞EF（此题也可加倍FD ，证法同上）4. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD证明：延长AD 至E ，使DE = AD ，连结BE∵AD 为△ABC 的中线 ∴BD = CD 在△ACD 和△EBD 中BD = CD ∠1 = ∠2AD = ED∴△ACD ≌△EBD∵△ABE 中有AB ＋BE ＞AE ∴AB ＋AC ＞2AD5.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段a 、b 、c 、d 有下列情况之一时用此种方法： ①a ＞b ②a ±b = c ③a ±b = c ±d例：已知，如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1 = ∠2，P 为AD 上任一点，求证：AB －AC ＞PB －PC证明：⑴截长法：在AB 上截取AN = AC ，连结PN在△APN 和△APC 中， AN = AC∠1 = ∠2AP = AP ∴△APN ≌△APC ∴PC = PN ∵△BPN 中有PB －PC ＜BNMA BC D E F12345 12E DC B AP 12N DCB A∴PB －PC ＜AB －AC⑵补短法：延长AC 至M ，使AM = AB ，连结PM 在△ABP 和△AMP 中 AB = AM ∠1 = ∠2 AP = AP∴△ABP ≌△AMP ∴PB = PM 又∵在△PCM 中有CM ＞PM －PC ∴AB －AC ＞PB －PC练习：1.已知，在△ABC 中，∠B = 60o ,AD 、CE 是△ABC 的角平分线,并且它们交于点O求证：AC = AE ＋CD2.已知，如图，AB ∥CD ∠1 = ∠2 ,∠3 = ∠4. 求证：BC = AB ＋CD6.证明两条线段相等的步骤：①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。

初中数学14种方法教会你给三角形加辅助线!

初中数学14种方法教会你给三角形加辅助线!

初中数学14种方法教会你给三角形加辅助线!1.垂线：对于任意三角形ABC，可以从顶点A引一条垂线AD，垂足D位于BC边上。

通过垂线可以将三角形分成两个直角三角形，进而使用直角三角形的性质解决问题。

2.中线：对于任意三角形ABC，可以从任意两个顶点A和B引两条中线CD和EF，其中C和D是AB边的中点，E和F是AC边和BC边的中点。

通过中线可以将三角形分成三个等边三角形，进而使用等边三角形的性质解决问题。

3.角平分线：对于任意三角形ABC，可以从顶点A引一条角平分线AD，使得∠CAD=∠BAD。

通过角平分线可以将一个角平分成两个相等的角，从而使用相等角的性质解决问题。

4.内切圆：对于任意三角形ABC，可以画出其内切圆，该圆与三角形的三条边都相切。

通过内切圆可以获得三个切点，进而使用切点的性质解决问题。

5.外切圆：对于任意三角形ABC，可以画出其外切圆，该圆与三角形的三条边都相切。

通过外切圆可以获得三个切点，进而使用切点的性质解决问题。

6.高线：对于任意三角形ABC，可以从顶点A引一条高线AH，垂足H位于BC边上。

通过高线可以将三角形分成两个直角三角形，进而使用直角三角形的性质解决问题。

7.中位线：对于任意三角形ABC，可以从任意两个顶点A和B引两条中位线CD和EF，其中C和D是AB边的中点，E和F是AC边和BC边的中点。

通过中位线可以将三角形分成三个面积相等的三角形，进而使用面积相等的性质解决问题。

8.三角形的对称性：对于任意三角形ABC，可以观察到三个顶点关于其中一条边的对称性，根据这种对称性可以找到一些相等的角或边，从而简化问题的解决。

9.倒错：对于任意三角形ABC，可以考虑将这个三角形倒转或翻转，从而改变三角形的位置和形态，进而简化问题的解决。

10.几何图形的组合：对于给定的三角形ABC，可以考虑将它与其他几何图形进行组合，例如，与一个正方形、矩形或平行四边形组合，从而改变问题的形式，解决新问题。