线性规划知识点总结

高考数学丨线性规划知识点汇总

一、知识梳理

1 目标函数：P=2x＋y是一个含有两个变量x和y的函数，称为目标函数。

2 可行域：约束条件表示的平面区域称为可行域。

3 整点：坐标为整数的点叫做整点。

4 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题。只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决。

5 整数线性规划：要求量整数的线性规划称为整数线性规划。

二难知识导析

线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科，主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定和条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。

1 对于不含边界的区域，要将边界画成虚线。

2 确定二元一次不等式所表示的平面区域有种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一端为所求的平面区域。若直线不过原点，通常选择原点代入检验。

3 平移直线y=-kx+P时，直线必须经过可行域。

4 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点。

5 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等于表示的平面区域做出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解。

基础知识：

一、

1．占P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+

y0+C=0

2．点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上方（左上或右下），则当B>0时，Ax0+ y0+C >0；当B<0时，Ax0+ y0+C<0 3．点P（x0+，y0）D在直线Ax0+ y0+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+ y0+C<0；当B>0时，Ax0+ y0+C>0

线性规划知识点总结

线性规划知识点总结 1.线性规划的有关概念：

①线性约束条件：

在上述问题中，不等式组是一组变量x，y的约束条件，这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数：

关于x，y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 2.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解 3.解线性规划实际问题的步骤：

（1）将数据列成表格；

（2）列出约束条件与目标函数；

（3）根据求最值方法：①画：画可行域；

②移：移与目标函数一致的平行直线；

③求：求最值点坐标；

④答； 求最值；

（4）验证. 4.两类主要的目标函数的几何意义: （1）-----直线的截距；

（2）-----两点的距离或圆的半径；

（3）-----直线的斜率

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活动过程：

1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”

主持人口述谜语：

“双手抓不起，一刀劈不开，

煮饭和洗衣，都要请它来。”

主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”

1 数学专题：线性规划常考题型归类解析

一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题

例1、设变量x、y满足约束条件1122yxyxyx，则yxz32的最大值为 。

解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z最大值为18

点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。

二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题

例2、已知1,10,220xxyxy则22xy的最小值是 .

解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而22xy表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A（1，2）是满足条件的最优解。22xy的最小值是为5。

点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。

三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。

例3、在约束条件0024xyyxsyx下，当35s时，目标函数32zxy的最大值的变化范围是（）

A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8]

解析：画出可行域如图3所示,当34s时, 目标函数32zxy在(4,24)Bss处取得最大值, 即max3(4)2(24)4[7,8)zsss;当45s时, 目标函数32zxy在点(0,E处取得最大值,即max30248z,故[7,8]z,从而选D;

点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z关于S的函数关系是求解的关键。

四、已知平面区域，逆向考查约束条件。

例4、已知双曲线224xy的两条渐近线与直线3x围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）

1 2010年高考线性规划归类解析

线性规划问题是解析几何的重点，每年高考必有一道小题。

一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题

例1、设变量x、y满足约束条件1122yxyxyx，则yxz32的最大值为

。

解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z最大值为18

点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。

二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题

例2、已知1,10,220xxyxy则22xy的最小值是 .

解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而22xy表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A（1，2）是满足条件的最优解。22xy的最小值是为5。

点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。

三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。

例3、在约束条件0024xyyxsyx下，当35s时，目标函数32zxy的最大值的变化范围是（）

A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8]

解析：画出可行域如图3所示,当34s时, 目标函数32zxy在(4,24)Bss处取得最大值, 即max3(4)2(24)4[7,8)zsss;当45s时, 目标函数32zxy在点(0,4)E处取得最大值,即max30248z,故[7,8]z,从而选D;

点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z关于S的函数关系是求解的关键。

四、已知平面区域，逆向考查约束条件。