2017-2018学年高中数学人教B版选修2-3教学案：1-3-2
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1．3.2 杨辉三角
[对应学生用书P16]
(a＋b)n的展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：
问题1：从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？
提示：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和．
问题2：计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？
提示：2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n.
问题3：二项式系数的最大值有何规律？
提示：n＝2,4,6时，中间一项最大，n＝3,5时中间两项最大．
二项式系数的性质
(1)每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和．即C0n＝Cnn＝1，Cmn＋1＝Cm－1n＋Cmn.
(2)每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等，即Cmn＝Cn－mn.
(3)如果二项式的幂指数n是偶数，那么其展开式中间一项T12n＋的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式中间两项Tn12＋与T112n＋＋的二项式系数相等且最大．
(4)二项展开式的各二项式系数的和等于2n.
即C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n.
且C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.
由“杨辉三角”可直观地看出二项式系数的性质，同时当二项式乘方次数不大时，可借助于它直接写出各项的二项式系数．
[对应学生用书P16]
与杨辉三角有关的问题
[例1] 如图，在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为Sn，求S19的值．
[思路点拨] 由图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.
[精解详析] S19＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C210＋C110)＋C211＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C210＋C211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C312＝2＋10×92＋220＝274.
[一点通]
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路：
(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察；
(2)找规律：通过观察，找出每一行的数之间、行与行之间的数据的规律．
1.如图是一个类似杨辉三角的图形，则第n行的首尾两个数均为________．
解析：由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以an＝2n－1.
答案：2n－1
2．如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右第14个数与第15个数之比为2∶3.
解析：设第n行从左至右第14与第15个数之比为2∶3，
则3C13n＝2C14n，
即3n！13！n－13！＝2n！14！n－14！.
解得n＝34.
答案：34
二项展开式中各项的系数和
[例2] 设(1－2x)2 014＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 014·x2 014(x∈R)．
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 014的值．
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 013的值．
(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 014|的值．
[思路点拨] 先观察所要求的式子与展开式各项的特点，用赋值法求解．
[精解详析] (1)令x＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a2 014＝(－1)2 014＝1.①
(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a2 014＝32 014.②
①－②得
2(a1＋a3＋…＋a2 013)＝1－32 014，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 013＝1－32 0142.
(3)∵Tr＋1＝Cr2 014(－2x)r＝(－1)r·Cr2 014·(2x)r，
∴a2k－1<0(k∈N＋)，a2k>0(k∈N)．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 014|
＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 014
＝32 014.
[一点通]
赋值法是解决二项展开式中项的系数问题的常用方法．根据题目要求，灵活赋给字母不同值是解题的关键．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项的和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．
3．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式中各项系数的和为( )
A．2n＋1 B．2n－1
C．2n＋1－1 D．2n＋1－2
解析：令x＝1，则2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.
答案：D
4．已知(1＋2x－x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14.
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a14；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a13.
解：(1)令x＝1，
则a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27＝128.①
(2)令x＝－1，
则a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝(－2)7＝－128.②
①－②得2(a1＋a3＋…＋a13)＝256，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a13＝128.
二项式系数的性质
[例3] (10分)已知xx2233＋n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为
32.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
[思路点拨] 根据已知条件求出n，再根据n为奇数或偶数确定二项式系数最大的项和系数最大的项．
[精解详析] 令x＝1，
则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n.
又展开式中二项式系数和为2n，
∴22n2n＝2n＝32，n＝5.
(1)∵n＝5，展开式共6项，
∴二项式系数最大的项为第三、四两项，
∴T3＝C25(x23)3(3x2)2＝90x6，
T4＝C35(x23)2(3x2)3＝270x223.
(2)设展开式中第k＋1项的系数最大，
则由Tk＋1＝Ck5(x23)5－k(3x2)k＝3kCk5xk1043＋，
得 3kCk5≥3k－1Ck－15，3kCk5≥3k＋1Ck＋15，，∴72≤k≤92，∴k＝4，
即展开式中系数最大的项为
T5＝C45(x23)(3x2)4＝405x263.
[一点通]
1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
2．求展开式中系数最大项与二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式的方法求得．
5．若x3＋1x2n的展开式中第6项系数最大，则不含x的项是( )
A．210 B．120
C．461 D．416
解析：由题意知展开式中第6项二项式系数最大，
n2＋1＝6，∴n＝10，
Tr＋1＝Cr10x3(10－r)1x2r＝Cr10x30－5r.
∴30－5r＝0.∴r＝6.
常数项为C610＝210.
答案：A
6．已知(1＋3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．
解：由题意知Cnn＋Cn－1n＋Cn－2n＝121，
即C0n＋C1n＋C2n＝121，
∴1＋n＋nn－12＝121，即n2＋n－240＝0，
解得n＝15或－16(舍)．
∴在(1＋3x)15的展开式中二项式系数最大的项是第八、九两项，且T8＝C715(3x)7＝C71537x7，
T9＝C815(3x)8＝C81538x8.
二项式系数的有关性质的形成过程体现了观察——归纳——猜想——证明的数学方法，并且在归纳证明的过程中应用了函数、方程等数学思想．大致对应如下：
[对应课时跟踪训练八]
1．已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8等于( )
A．180 B．－180
C．45 D．－45
解析：a8＝C810·22＝180.
答案：A
2．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( )
A．第15项 B．第16项
C．第17项 D．第18项
解析：第6项的二项式系数为C520，又C1520＝C520，所以第16项符合条件．
答案：B
3．已知C0n＋2C1n＋22C2n＋…＋2nCnn＝729，则C1n＋C3n＋C5n的值等于( )
A．64 B．32
C．63 D．31
解析：C0n＋2C1n＋…＋2nC2n＝(1＋2)n＝3n＝729，
∴n＝6，∴C16＋C36＋C56＝32.
答案：B
4．已知关于x的二项式x＋a3xn展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为( )
A．1 B．＋1
C．2 D．±2
解析：由题意知2n＝32，n＝5，
Tr＋1＝Cr5(x)5－rar·xr13－＝Cr5arx5526－r，
令52－56r＝0，得r＝3，
∴a3C35＝80，解得a＝2.
答案：C
5．在(1＋2x)7的展开式中，C27是第________项的二项式系数，第3项的系数是________．
解析：由二项式系数的定义知Ckn为第k＋1项的系数，
∴C27为第3项的二项式系数．
∵T2＋1＝C27·(2x)2＝22·C27x2，
∴第3项的系数为22·C27＝84.
答案：3 84
6．若(x＋2)5的展开式第二项的值大于1 000，则实数x的取值范围为________．
解析：∵T2＝C15·(x)4·21＝10x2>1 000，且x≥0，
∴x>10.
答案：(10，＋∞)
7．已知x－2x2n(n∈N＋)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1，求展开式中含x32的项．
解：由题意知第五项的系数为C4n·(－2)4，第三项的系数为C2n·(－2)2，则C4n·－24C2n·－22＝101，
