备战中考数学 圆与相似综合试题含答案解析

备战中考数学 圆与相似综合试题含答案解析

一、相似

1．在△ABC中，∠ABC=90°．

（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；

（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP=∠C，tan∠PAC= ，求tanC的值；

（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC= ， ，直接写出tan∠CEB的值．

【答案】（1）解：∵AM⊥MN，CN⊥MN，

∴∠AMB=∠BNC=90°，

∴∠BAM+∠ABM=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠ABM+∠CBN=90°，

∴∠BAM=∠CBN，

∵∠AMB=∠NBC，

∴△ABM∽△BCN

（2）解：如图2，过点P作PM⊥AP交AC于M，PN⊥AM于N.

∵∠BAP+∠1=∠CPM+∠1=90°，

∴∠BAP=∠CPM=∠C，

∴MP=MC

∵tan∠PAC=，

设MN=2m,PN=m, 根据勾股定理得，PM=,

∴tanC=

（3）解：在Rt△ABC中，sin∠BAC= = ，

过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，

∵∠DEB=90°，

∴CH∥AG∥DE，

∴ =

同（1）的方法得，△ABG∽△BCH

∴ ，

设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，

∵AB=AE，AG⊥BE，

∴EG=BG=4m，

∴GH=BG+BH=4m+3n，

∴ ，

∴n=2m，

∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，

在Rt△CEH中，tan∠BEC= =

【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得出∠AMB=∠BNC=90°，根据同角的余角相等得出∠BAM=∠CBN，利用两个角对应相等的两个三角形相似得出：△ABM∽△BCN；

（2）过点P作PF⊥AP交AC于F，在Rt△AFP中根据正切函数的定义，由tan∠PAC=,同（1）的方法得，△ABP∽△PQF，故,设AB= a，PQ=2a，BP= b，FQ=2b（a＞0，b＞0），然后判断出△ABP∽△CQF，得从而表示出CQ，进根据线段的和差表示出BC，再判断出△ABP∽△CBA，得出再得出BC，从而列出方程，表示出BC,AB，在Rt△ABC中，根据正切函数的定义得出tanC的值；

（3）在Rt△ABC中，利用正弦函数的定义得出：sin∠BAC=,过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，根据平行线分线段成比例定理得出 ， 同（1）的方法得，△ABG∽△BCH ，故 ， 设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，根据等腰三角形的三线合一得出EG=BG=4m，故GH=BG+BH=4m+3n，根据比例式列出方程，求解得出n与m的关系，进而得出EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，在Rt△CEH中根据正切函数的定义得出tan∠BEC的值。

2．已知二次函数y＝ax2＋bx－2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(4，0)，且当x＝－2和x＝5时二次函数的函数值y相等．

（1）求实数a，b的值；

（2）如图①，动点E，F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动，点F以每秒 个单位长度的速度沿射线AC方向运动．当点E停止运动时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF.

①是否存在某一时刻t，使得△DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．

【答案】（1）解：由题意得： ，解得：a= ，b=

（2）解：①由（1）知二次函数为 .∵A（4，0），∴B（﹣1，0），C（0，﹣2），

∴OA=4，OB=1，OC=2，∴AB=5，AC= ，BC= ，∴AC2+BC2=25=AB2 ，

∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°．

∵AE=2t，AF= t，∴ .

又∵∠EAF=∠CAB， ∴△AEF∽△ACB，∴∠AEF=∠ACB=90°，

∴△AEF沿EF翻折后，点A落在x轴上点D处；

由翻折知，DE=AE，∴AD=2AE=4t，EF= AE=t．

假设△DCF为直角三角形，当点F在线段AC上时：

ⅰ）若C为直角顶点，则点D与点B重合，如图2，

∴AE= AB= t= ÷2= ；

ⅱ）若D为直角顶点，如图3．

∵∠CDF=90°，∴∠ODC+∠EDF=90°．

∵∠EDF=∠EAF，∴∠OBC+∠EAF=90°，

∴∠ODC=∠OBC，∴BC=DC．

∵OC⊥BD，

∴OD=OB=1，

∴AD=3，

∴AE= ，

∴t= ；

当点F在AC延长线上时，∠DFC＞90°，△DCF为钝角三角形． 综上所述，存在时刻t，使得△DCF为直角三角形，t= 或t= ．

②ⅰ）当0＜t≤ 时，重叠部分为△DEF，如图1、图2，∴S= ×2t×t=t2；

ⅱ）当 ＜t≤2时，设DF与BC相交于点G，则重叠部分为四边形BEFG，如图4，

过点G作GH⊥BE于H，

设GH=m，则BH= ，DH=2m，∴DB= ．

∵DB=AD﹣AB=4t﹣5，∴ =4t﹣5，∴m= （4t﹣5），

∴S=S△DEF﹣S△DBG= ×2t×t﹣ （4t﹣5）× （4t﹣5）= ；

ⅲ）当2＜t≤ 时，重叠部分为△BEG，如图5．

∵BE=DE﹣DB=2t﹣（4t﹣5）=5﹣2t，GE=2BE=2（5﹣2t），

∴S= ×（5﹣2t）×2（5﹣2t）=4t2﹣20t+25． 综上所述： ．

【解析】【分析】（1）根据已知抛物线的图像经过点A，以及当x=-2和x=5时二次函数的函数值y相等两个条件，列出方程组求出待定系数的值即可。

（2）①由x=0及y=0时，求出点A、B、C三点的坐标，以及线段OA、OB、OC的长，利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，用含t的代数式表示出线段AD、AE、AF（即DF）的长，则根据AE、EF、OA、OC的长以及公共角∠OAC能判定△AEF、△AOC相似，可证得△AEF也是一个直角三角形，及∠AEF是直角；若△DCF是直角三角形，可分成三种情况讨论：

i）点C为直角顶点，由于△ABC恰好是直角三角形，且以点C为直角顶点，所以此时点B、D重合，由此得到AD的长，进而求出t的值；

ii）点D为直角顶点，此时∠CDB与∠CBD恰好是等角的余角，由此可证得OB=OD，再得到AD的长后可求出t的值；

iii）、点F为直角顶点，当点F在线段AC上时，∠DFC是锐角，而点F在射线AC的延长线上时，∠DFC又是钝角，所以这种情况不符合题意．

②此题需要分三种情况讨论：

i）当点E在点A与线段AB中点之间时，即当0＜t≤，两个三角形的重叠部分是整个△DEF；

ii）当点E在线段AB中点与点O之间时，即＜t≤2时，重叠部分是个不规则四边形，根据S=S△DEF﹣S△DBG可求解。

iii）当点E在线段OB上时，即2＜t≤时，重叠部分是个小直角三角形，根据三角形的面积公式，即可求解。

3．如图，抛物线y= x2+bx+c 与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接BD，点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；

（3）如图2，若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，求点Q的坐标．

【答案】（1）解：把B（6，0），C（0，6）代入y= x2+bx+c，得

解得 ,抛物线的解析式是y= x2+2x+6, 顶点D的坐标是（2，8）

（2）解：如图1，过F作FG⊥x轴于点G，

设F（x， x2+2x+6），则FG= ，

∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，∴△FBG∽△BDE，∴ ，

∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，∴BG=6-x，

∴

当点F在x轴上方时，有 ，∴x=-1或x=6（舍去），此时F1的坐标为（-1， ）, 当点F在x轴下方时，有 ，∴x=-3或x=6（舍去），此时F2的坐标为（-3， ）,

综上可知F点的坐标为（-1， ）或（-3， ）

（3）解：如图2，

不妨M在对称轴的左侧，N在对称轴的左侧，MN和PQ交于点K，由题意得点M，N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ为正方形，且点P在x轴上

∴点P为抛物线的对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上 ,

∴KP=KM=k，则Q（2，2k），M坐标为（2-k，k），

∵点M在抛物线y= x2+2x+6的图象上，∴k= (2-k)2+2(2-k)+6

解得k1= 或k2=

∴满足条件的点Q有两个，Q1（2， ）或Q2（2， ）.

【解析】【分析】（1）根据点B、C的坐标，利用待定系数法建立关于b、c的方程组，求解就可得出函数解析式，再求出顶点坐标。

（2）过F作FG⊥x轴于点G，设出点F的坐标，表示出FG的长，再证明△FBG∽△BDE，利用相似三角形的性质建立关于x的方程，当点F在x轴上方时和当点F在x轴下方时，求出符合题意的x的值，求出点F的坐标。

（3）由点M，N关于抛物线的对称轴对称，可得出点P为抛物线的对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上 ,设Q（2，2k），M坐标为（2-k，k），再由点M在抛物线上，列出关于k的方程，求解即可得出点Q的坐标。

4．如图1，等腰△ABC中，AC＝BC，点O在AB边上，以O为圆心的圆与AC相切于点C，交AB边于点D，EF为⊙O的直径，EF⊥BC于点G．