2016年高考新课标乙卷全国Ⅰ文科数学答案
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2016 年普通高等学校招生全国统一考试·乙卷（全国卷Ⅰ）
文科数学答案
(1)B 【解析】由题意得， A {1,3,5,7} ， B { x |2 剟 x 5}，则 A B {3,5} ．选 B．
(2)A 【解析】因为 (1 2i )(a i ) (a 2) (2 a 1)i ,由已知条件，得 a 2 2a 1，解得
a 3 ，故选 A．
(3)C【解析】从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花
种在另一个花坛中，共有 6 种选法．红色和紫色的花不在同一花坛的有 4 种选法，根
据古典概率的概率计算公式，所求的概率为 4 2 ．故选 C．
6 3
(4)D 4 b
2 2 2b cos A 5
，整理得 3b
2 8b 3 0
，解得 b 3 【解析】 由余弦定理， 得
或 b 1
（舍去），故选 D ．
3
(5)B 【解析】不妨设直线 l 过椭圆的上顶点 (0, b) 和左焦点 ( c,0) ， b 0, c 0 ，则直线 l
的 方 程 为 b x c y b c 0 ， 由 已 知 得 bc 1 2b ， 解 得 b2 3c2 ， 又
b2 c2 4
b 2 a 2 2 c2 1 1 ，故选 B．
c ，所以
a2 4 ，即 e
2
(6)D 【解析】函数 y 2sin(2 x
6) 的周期为 ，所以将函数 y 2sin(2 x ) 的图像向
6
右平移 个单位长度后，得到函数图像对应的解析式为 y 2sin[2( x ) ]
4 4 6
= 2sin(2 x ) ，故选 D．
3
(7)A 【解析】由三视图可得此几何体为一个球切割掉 1 后剩下的几何体，设球的半径为 r ，
8
故 7 4 r 3 28 ，所以 r 2 ，表面积 S 7 4 r 2 3 r 2 17 ，选 A．
8 3 3 8 4
(8)B 【解析】因为 0 c 1，所以 y logc x 在 (0, ) 上单调递减，又 0 b a ，所以
log c a logc b ，故选 B．
(9)D【解析】 易知 y 2 x2 e|x| 是偶函数， 设 y 2 x2 e|x| ，则 f (2) 2 2 2 e2 8 e2 ，
所以 0 f (2) 1 ，所以排除 A ，B ；当 0 剟 x 2 时， y 2x2 ex ，所以 y 4x ex ，
又 ( y ) 4 ex ，当 0 x ln 4 时， ( y ) 0 ，当 ln 4 x 2 时， ( y ) 0 ，所以
y 4 x ex 在 (0,ln4) 单调递增，在 (ln4,2) 单调递减，所以 y 4x ex 在 [0,2] 有
1 y 4(ln4 1) ，所以 y 4x ex 在 [0,2] 存在零点 ，所以函数 y 2x 2 ex
在 [0, ) 单调递减，在 ( ,2] 单调递增，排除 C，故选 D ．
(10)C 【解析】输入 x 0, y 1,n 1 ，得 x 0, y 1,x2 y2 1 36 ，不满足条件，执
行 循 环 ： n 2, x 1 , y 2, x2 y 2 1 4 36 ，不满足条件，执行循环：
2 4
n 3, x 3 , y 6, x2 y2 9 36 36 ，满足条件，结束循环，所以输出的
3, y 2 4
x 6 ，满足 y 4x ，故选 C．
2
(11)A 【解析】因为过点 A 的平面 与平面 CB1 D1 平行，平面 ABCD ∥平面 A1 B1C1D1 ，所
以 m ∥BD ∥ BD ，又 AB∥平面 CBD ，所以 n ∥ AB，则 BD 与 AB所成的角
1 1 1 1 1 1 1
为所求角，所以 m ， n 所成角的正弦值为 3，选 A．
2
(12)C 【 解 析 】 函 数 f ( x) x 1 sin 2x a sin x 在 ( , ) 单调递增，等价于
2 3
4
5
f ( x) 1 cos2 x a cos x cos2 x a cos x 0 在 ( , ) 恒成立．设
3
4 t2 3 5 0 3
cosx t ， 则 g( t) at 在 [ 1,1] 恒 成 立 ， 所 以
3 3
g(1) 4 a 5 0 1 1
3 3 ，解得
a ．故选 C．
g ( 1) 4 a 5 0 3 3
3 3
2 【解析】 因为 a ( x, x 1), b (1,2), a b ，所以 x 2( x 1) 0 ，解得 x 2 (13) ．
3 3
4 【解析】因为 sin( ) 3 ) sin[ ( )] sin( ) (14) ，所以 cos(
2 4
3 3 4 5 4 4
为第四象限角，所以 2k 2k , k Z， 所 以 ， 因 为
2
5
3 2k
4 2k
4 , k ，Z 所以 sin( ) 1 (3)2 4 ，所以
4 4 5 5
sin( )
4
tan( ) 4 ．
4 cos( ) 3
4
(15) 4 【解析】圆 C 的方程可化为 x2 ( y a) 2 a 2 2 ，可得圆心的坐标为 C (0, a) ，
半径 r a2 2 ，所以圆心到直线 x y 2a 0 的距离为 | a 2a | | a | ，所以
2 2
( | a |)2 ( 3)2 ( a2 2) 2 ，解得 a2 2 ，所以圆 C 的半径为 2，所以圆 C 的面积
2
为 4 ．
(16)216 000 A
生产 x
件，产品 B
生产 y 件，利润 z 2100x 900 y
， 【解析】由题意，设产品
1.5x 0.5y , 150
x 0.3y , 90
线性约束条件为 ，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分
5x 3y , 600
x 厖0, y 0
所 示 ， 又 由 x N ， y N ，可知取得最大值时的最优解为(60，100)，所以
zmax 2100 60 900 100 216000（元）．
（17）【解析】（Ⅰ）由已知， a1b2 b2 b1,b1 1,b2 1 ,得 a1 2 ，所以数列 an 是首项
3
为 2，公差为 3 的等差数列，通项公式为 an 3 n 1 .
（Ⅱ） 由（Ⅰ）和 anbn 1 bn 1 nbn ，得 bn 1 bn ，因此 bn 是首项为 1，公比为 1
3 3
的等比数列 .记 bn 的前 n项和为 Sn ，则
1 (1) n
3 1
Sn 3 . 1 2 2 3n 1
1
3
（18）【解析】（Ⅰ）因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D ，所以 AB PD.
因为 D 在平面 PAB 内的正投影为 E ，所以 AB DE .
所以 AB 平面 PED ，故 AB PG.
又由已知可得， PA PB，从而 G是 AB 的中点.
（Ⅱ）在平面 PAB 内，过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F ，F 即为 E 在平面 PAC
内的正投影 .
理由如下：由已知可得 PB PA，PB PC ，又 EF / /PB ,所以 EF PA ，
EF PC ,因此 EF 平面 PAC ，即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影 .
连接 CG ，因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D ， 所以 D 是正三角形 ABC 的中心 .
由（Ⅰ）知， G 是 AB 的中点，所以 D 在 CG 上，故 CD 2 CG.
3
由题设可得 PC 平面 PAB ， DE 平面 PAB ，所以 DE//PC ， 因 此
PE 2 PG, DE 1 PC.
3 3
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA 6 ，可得 DE 2,PE 2 2.
在等腰直角三角形 EFP 中，可得 EF PF 2.
所以四面体 PDEF 的体积 V 1 1 2 2 2 4 .
3 2 3
（19）【解析】（Ⅰ）当 x 19 时， y 3800 ；
当 x 19 时， y 3800 500(x 19) 500x 5700 ，所以 y 与 x 的函数解析式为
3800, x 19, y
5700, x ( x N ) .
500x 19,
（Ⅱ）由柱状图知， 需更换的零件数不大于 18 的概率为 0.46，不大于 19 的概率为 0.7，
故 n 的最小值为 19.
（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件，则这 100 台机器中有 70 台在购
