解析几何-2020年高考数学十年真题精解(全国Ⅰ卷) 解析几何(原卷版)

专题09 解析几何第二十三讲 双曲线2019年1.(2019全国III 文10）已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为A ．32B ．52C ．72D ．922.（2019江苏7）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 .3.（2019浙江2）渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A B ．1CD ．24.（2019全国1文10）双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为 A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒5.（2019全国II 文12）设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为AB C．2D6.（2019北京文5）已知双曲线2221x y a-=（a >0a =（A（B ）4（C ）2（D ）127.（2019天津文6）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为（A（B（C ）2（D2015-2018年一、选择题1．(2018浙江)双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．(，B ．(2,0)-，(2,0)C ．(0,，D ．(0,2)-，(0,2)2．(2018全国卷Ⅱ)双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a bA ．=yB ．=yC ．2=±y x D ．2=±y x3．(2018全国卷Ⅲ)已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为AB ．2C ．2D ．4．(2018天津)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A ．22139x y -= B ．22193x y -= C ．221412x y -= D ．221124x y -=5．（2017新课标Ⅰ）已知F 是双曲线C ：2213y x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)．则APF ∆的面积为A ．13 B ．12 C ．23 D ．326．（2017新课标Ⅱ）若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A ．)+∞B ．2)C ．D ．(1,2)7．（2017天津）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．2213x y -= D ．2213y x -= 8．（2016天津）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为A ．1422=-y xB ．1422=-y x C ．15320322=-y x D ．12035322=-y x 9．（2015湖南）若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点(3,4)-，则此双曲线的离心率为A B ．54 C ．43 D ．5310．（2015四川）过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于,A B 两点，则||AB ＝A ．3B ．C ．6D ．11．（2015重庆）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12,A A ，过F 做12A A 的垂线与双曲线交于,B C 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的渐近线的斜率为 A ．12 B ．22C ．1D ．2二、填空题12．(2018北京)若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为2，则a =_________．13．(2018江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c ，则其离心率的值是 ． 14．（2017新课标Ⅲ）双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =，则a = ． 15．（2017山东）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ，B 两点，若||||4||AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 ．16．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中 ，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是1F ，2F ，则四边形12F PF Q 的面积是 ．17．（2016年北京）已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的一条渐近线为20x y +=，一个焦点为，则a =_______；b =_____________．18．（2016年山东）已知双曲线E ：22x a –22y b=1（a >0，b >0）．矩形ABCD 的四个顶点在E上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______．19．（2015新课标1）已知双曲线过点)3,4(，且渐近线方程为x y 21±=，则该双曲线的标准方程为 ．20．（2015山东）过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>> 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P ，若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为 ．21．（2015新课标1）已知F 是双曲线C ：2218y x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(0,66)A ，当APF ∆ 周长最小时，该三角形的面积为 ．专题09 解析几何第二十三讲 双曲线答案部分2019年1.【解析】如图所示，不妨设F 为双曲线22:145x y C -=的右焦点，P 为第一象限点．由双曲线方程可得，24a =，25b =，则223c a b +=， 则以O 为圆心，以3为半径的圆的方程为229x y +=．联立22229145x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得53y =±．则1553232OPF S =⨯⨯=△．故选B ． 2.【解析】 因为双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，所以221631b-=，解得22b =，即2b =． 又1a =，所以该双曲线的渐近线方程是2y x =±．3.【解析】根据渐进线方程为0x y ±=的双曲线，可得a b =，所以2c a =，则该双曲线的离心率为2ce a==，故选C ． 4.【解析】由双曲线的对称性可得另一条渐近线的倾斜角为50︒，所以tan 50b a =︒，2222111tan 50sec 50cos50c b e a a ==+=+︒=︒=︒. 故选D ． 5.【解析】解法一：由题意，把2c x =代入222x y a +=，得2224c PQ a =-，再由PQ OF =，得2224ca c -=，即222a c =，所以222c a=，解得2c e a ==.故选A ．解法二：如图所示，由PQ OF =可知PQ 为以OF 为直径圆的另一条直径， 所以,22c c P ⎛⎫±⎪⎝⎭，代入222x y a +=得222a c =， 所以222c a=，解得2c e a ==.故选A ．解法三：由PQ OF =可知PQ 为以OF 为直径圆的另一条直径，则12222OP a OF c ===，2c e a ==故选A ．6.【解析】 由题意知，1b =，c e a===12a =.故选D.7.【解析】因为抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，所以()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.因为()2210,0y a b b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且4AB OF ==4=，即2b a =，所以c =故选D ．2015-2018年1．B 【解析】由题可知双曲线的焦点在x 轴上，因为222314c a b =+=+=，所以2c =，故焦点坐标为(2,0)-，(2,0)．故选B ．2．A 【解析】解法一 由题意知，==ce a，所以=c ，所以=b ，所以=b a =±=by x a，故选A ．解法二 由===c e a ，得=b a ，所以该双曲线的渐近线方程为=±=by x a．故选A ．3．D 【解析】解法一 由离心率ce a==c =，又222b c a =-，得b a =，所以双曲线C 的渐近线方程为y x =±，由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C 的渐近=．故选D ．解法二 离心率e =y x =±，由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C=．故选D ．4．A 【解析】通解 因为直线AB 经过双曲线的右焦点，所以不妨取2(,)b A c a，2(,)b B c a -，取双曲线的一条渐近线为直线0bx ay -=，由点到直线的距离公式可得221bc b d c -==，222bc b d c +==， 因为126d d +=，所以226bc b bc b c c-++=，所以26b =，得3b =．因为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，所以2c a =，所以2224a b a +=，所以2294a a +=，解得23a =， 所以双曲线的方程为22139x y -=，故选A ．优解 由126d d +=，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以3b =．因为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，所以2c a =，所以2224a b a +=，所以2294a a +=，解得23a =， 所以双曲线的方程为22139x y -=，故选A ．5．D 【解析】由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=，得(2,3)P ±，所以||3PF =，又A 的坐标是(1,3)，所以点A 到PF 的距离为1， 故APF ∆的面积为133(21)22⨯⨯-=，选D ．6．C 【解析】由题意e ==1a >，21112a <+<，∴1e <<C ．7．D 【解析】由题意，2222tan 60c c a b ba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪=⎩，解得21a =，23b =，选D ．8．A【解析】由题意得c =12b a =，由222c a b =+，解得2,1a b ==，所以双曲线的方程为22141x y -=，选A ．9．D 【解析】由已知可得双曲线的渐近线方程为by x a=±，点(3,4)-在渐近线上， ∴43b a =，又222a b c +=，∴2222162599c a a a =+=，∴53c e a ==． 10．D 【解析】双曲线2213y x -=的右焦点为(2,0)，渐近线方程为y =，将2x =代入y =得y =±，所以||AB =．11．C 【解析】由题意，得12(,0),(,0),(,0)A a A a F c -，将x c =代入双曲线方程，解得2b y a =±．不妨设2(,)bB c a，2(,)b C c a -，则1222,A B A C b b a ak k c a c a-==+-，根据题意， 有221b b a a c a c a-⋅=-+-，整理得1b a =，所以双曲线的渐近线的斜率为1±． 12．4【解析】由题意得22454a a +=，得216a =，又0a >，所以4a =，故答案为4． 13．2【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为b y x a =2b ==，所以222234b c a c =-=，得2c a =，所以双曲线的离心率2ce a==． 14．5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为：3y x a=±，结合题意可得：5a =．15．2y x =±【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义有1212||||22p p AF BF y y y y p +=+++=++，而||2p OF =，所以1242py y p ++=⨯，即12y y p +=， 由2222212x y a b x py⎧-=⎪⎨⎪=⎩得2222220a y pb y a b -+=，所以21222pb y y a +=， 所以222pb p a =，即2a b =，所以渐近性方程为22y x =±． 16．23【解析】由题意，右准线的方程为232a x c ==，渐近线的方程为33y x =±，设33(,)22P ，则33(,)22Q -，1(2,0)F -，2(2,0)F ， 所以四边形12F PF Q 的面积为1211||||432322F F PQ =⨯⨯=． 17．1,2a b ==【解析】依题意有52c b a⎧=⎪⎨=-⎪⎩，因为222c a b =+，解得1,2a b ==．18．2【解析】依题意，不妨设6,4AB AD ==作出图像如下图所示则2124,2;2532,1,c c a DF DF a ===-=-==故离心率221c a == 19．2214x y -=【解析】因为双曲线的渐近线方程为x y 21±=，故可设双曲线的方程为22(0)4x y λλ-=>，又双曲线过点)3,4(，所以224(3)4λ-=，所以1λ=， 故双曲线的方程为2214x y -=．20．23【解析】设直线方程为()b y x c a =-，由22221()x y a b b y x c a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得222a c x c +=， 由2222a c a c+=，c e a =，解得2e =+2e =． 21．C ：2218y x -=的右焦点为(3,0)F ，实半轴长1a ，左焦点为(3,0)M -，因为P 在C 的左支上，所以ΔAPF 的周长|||||l AP PF AF =++||||||||PF AF AM PM ++-≥=||||21515232AF AM a ++=++=，当且仅当,,A P M 三点共线且P 在,A M 中间时取等号，此时直线AM的方程为13x +=-，与双曲线的方程联立得P的坐标为(2,-，此时，ΔAPF的面积为116622⨯⨯⨯⨯=．。

专题09 解析几何第二十一讲 直线与圆2019年1.（2019北京文8）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（A ）4β+4cos β （B ）4β+4sin β （C ）2β+2cos β （D ）2β+2sin β 2.（2019北京文11）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．3.（2019浙江12）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =_____，r =______.4.（2019全国1文21）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │－│MP │为定值？并说明理由．2015-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅲ)直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2,32]D ．[22,32] 2．（2016年北京）圆22(1)2x y ++=的圆心到直线3y x =+的距离为A ．1B ．2CD ．3．（2016年山东）已知圆M ：2220(0)x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是M 与圆N ：22(1)1x y +-=（-1）的位置关系是 A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离4．（2016年全国II 卷）圆x 2+y 2−2x −8y +13=0的圆心到直线ax +y −1=0的距离为1，则a =A ．−43B ．−34C D ．2 5．（2015北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是 A ．22(1)(1)1x y -+-= B ．22(1)(1)1x y +++=C ．22(1)(1)2x y +++=D ．22(1)(1)2x y -+-=6．（2015安徽）直线34x y b +=与圆222210x y x y +--+=相切，则b 的值是A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或127．（2015新课标2）已知三点)0,1(A ，)3,0(B ，)3,2(C ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为A ．35B ．321C ．352D ．34 二、填空题8．(2018全国卷Ⅰ)直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A ，B 两点，则||AB =__． 9．(2018天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为__．10．(2018江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r ，则点A 的横坐标为 ．11．（2017天津）设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若120FAC ∠=︒，则圆的方程为 ．12．（2017山东）若直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为 ． 13．（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=上，若20PA PB ⋅u u u r u u u r ≤，则点P 的横坐标的取值范围是 ．14．（2016年天津）已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点(0,5)M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -= 的距离为45，则圆C 的方程为__________ 15．（2016年全国I 卷）设直线2y x a =+与圆C ：22220x y ay +--=相交于,A B 两点，若||23AB =，则圆C 的面积为 .16．（2016年全国III 卷）已知直线l ：360x y -+=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =_____________.17．（2015重庆）若点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．18．（2015湖南）若直线3450x y -+=与圆()2220x y r r +=>相交于,A B 两点，且120o AOB ∠=（O 为坐标原点），则r =_____．19．（2015湖北）如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B在A 的上方），且||2AB =．（1）圆C 的标准方程为 ．（2）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为 ．20．（2015江苏）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线2mx y m ---10=()m ∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．三、解答题21．（2018全国卷Ⅰ）设抛物线C ：22=y x ，点(2,0)A ，(2,0)-B ，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：ABM ABN =∠∠．22．（2017新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC BC ⊥的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．23．（2016江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点(2,4)A ．（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=u u r u u r u u u r 求实数t 的取值范围．24．（2015新课标1）已知过点(0,1)A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：22(2)(3)1x y -+-=交于,M N 两点．（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）若12OM ON ⋅=u u u u r u u u r ，其中O 为坐标原点，求MN ．专题09 解析几何第二十一讲 直线与圆答案部分2019年1.【解析】由题意和题图可知，当P 为优弧»AB 的中点时，阴影部分的面积取最大值，如图所示，设圆心为O ，2AOB β∠=，()1222BOP AOP ββ∠=∠=π-=π-. 此时阴影部分面积 211222222AOP BOP AOB S S S S β=++=⨯⨯+⨯⨯⨯△△扇形()sin 44sin βββπ-=+.故选B.2.【解析】 24y x =的焦点为()1,0，准线为1x =-，故符合条件的圆为()2214x y -+=. 3.【解析】解法一：如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得1122m +=-，解得2m =-． 所以圆心为（0，-2），则半径22(20)(12)5r =--+-+=解法二：由22034(1)41m r m ⨯-+==+++，得2m =-，所以55r ==4.【解析】（1）因为M e 过点,A B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0x y 上，且,A B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y x =上，故可设(, )M a a .因为M e 与直线x +2=0相切，所以M e 的半径为|2|r a =+.由已知得||=2AO ，又MO AO ⊥uuu r uuu r ，故可得2224(2)a a +=+，解得=0a 或=4a .故M e 的半径=2r 或=6r .（2）存在定点(1,0)P ，使得||||MA MP -为定值.理由如下：设(, )M x y ，由已知得M e 的半径为=|+2|,||=2r x AO .由于MO AO ⊥uuu r uuu r ，故可得2224(2)x y x ++=+，化简得M 的轨迹方程为24y x =.因为曲线2:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，所以||=+1MP x .因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---，所以存在满足条件的定点P .2015-2018年1．A 【解析】圆心(2,0)到直线的距离d ==所以点P 到直线的距离1d ∈．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(2,0)A -，(0,2)B -，所以||AB =所以ABP ∆的面积111||2S AB d ==．因为1d ∈，所以[2,6]S ∈，即ABP ∆面积的取值范围是[2,6]．故选A ．2．C 【解析】圆心坐标为(1,0)-，由点到直线的距离公式可知d ==，故选C.3．B 【解析】由2220x y ay +-=（0a >）得()222x y a a +-=（0a >），所以圆M 的圆心为()0,a ，半径为1r a =，因为圆M 截直线0x y +=所得线段的长度是，所=2a =，圆N 的圆心为()1,1，半径为21r =，所以MN ==123r r +=，121r r -=，因为1212r r r r -<MN <+，所以圆M 与圆N 相交，故选B ．4．A 【解析】由题意知圆心为(1,4)，1=，解得43a =-，故选A ．5．D 【解析】由题意可得圆的半径为r =()()22112x y -+-=． 6．D 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)1x y -+-=，圆心(1,1)到直线34x y b +=的距离|7|15b -=，所以2b =或12b =． 7．B 【解析】由题意可得，2AB BC AC ===，∴ΔABC 为等边三角形，故ΔABC 的外接圆圆心时ΔABC 的中心，又等边ΔABC，故中心为，故ΔABC3=． 8．【解析】由题意知22(1)4x y ++=，所以圆心坐标为(0,1)-，半径为2，则圆心到直线1y x =+的距离d ==，所以||AB == 9．2220x y x +-=【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->，则0110420F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩，解得2D =-，0E =，0F =，故圆的方程为2220x y x +-=．10．3【解析】因为0AB CD ⋅=u u u r u u u r ，所以AB CD ⊥，又点C 为AB 的中点，所以45BAD ∠=o ，设直线l 的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为k ，则tan 2θ=，tan()34k πθ=+=-．又(5,0)B ，所以直线AB 的方程为3(5)y x =--，又A 为直线l ：2y x =上在第一象限内的点，联立直线AB 与直线l 的方程，得3(5)2y x y x =--⎧⎨=⎩，解得36x y =⎧⎨=⎩，所以点A 的横坐标为3．11．22(1)(1x y ++-= 【解析】设圆心为(1,)C m -，由题意(0,)A m ，(1,0)F ，所以(1,0)AC =-u u u r ，(1,)AF m =-u u u r ，所以1cos 2||||AC AF CAF AC AF ⋅∠===-⋅u u u r u u u u u r，解得m = 因为以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ，所以0m >，取m =所求圆的方程为22(1)(1x y ++-=．12．8【解析】由题意有121a b+=，所以1242(2)()448b a a b a b a b a b +=++=+++=≥． 当且仅当4b a a b =，即4b =，2a =时等号成立． 13．[-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅u u u r u u u r ≤，得250x y -+≤，x如图由250x y -+≤可知，P 在¼MN上， 由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得(1,7)M ，(5,5)N --， 所以P 点横坐标的取值范围为[-．14．22(2)9.x y -+=【解析】设(,0),(0)C a a >2,3a r ===，故圆C 的方程为22(2)9.x y -+=15．4π【解析】圆C 的方程可化为222()2x y a a +-=+，可得圆心的坐标为(0,)C a ，半径r =，所以圆心到直线20x y a -+=的距离为=，所以222+=，解得22a =，所以圆C 的半径为2，所以圆C 的面积为4π．16．4【解析】设112234(,),(,),(,0),(,0)A x y B x x C x D x，由60x -+=，得6x =-，代入圆的方程，并整理，得260y -+=，解得1y =2y =，所以10x =，23x =-，所以直线AC的方程为y -=，令0y =得32x =，直线BD的方程为3)y x -=+，令0y =得42x =-， 则34||||4CD x x =-=．17．250x y +-=【解析】由点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为：225x y +=，所以该圆在点P 处的切线方程为125x y ⨯+⨯=即250x y +-=．18．2 【解析】如图直线3450x y -+=与圆2220x y r r +=（＞） 交于,A B 两点，O 为坐标原点，且120o AOB ∠=，则圆心(0,0)到直线3450x y -+=的距离为2r ，2r =，∴2r =． 19．（Ⅰ）22(1)(2x y -+=；（Ⅱ）1-【解析】（Ⅰ）设点C 的坐标为00(,)x y ，则由圆C 与x 轴相切于点(1,0)T 知，点C 的横坐标为1，即01x =，半径0r y =．又因为2AB =，所以222011y +=，即0y r ==，所以圆C的标准方程为22(1)(2x y -+=．（Ⅱ）令0x =得：1)B +.设圆C 在点B处的切线方程为1)kx y -=，则圆心C到其距离为：d =1k =．即圆C 在点B处的切线方程为1)y x =+，于是令0y =可得1x =，即圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为1--22(1)(2x y -+-=和1-20．22(1)2x y -+=【解析】因为直线210()mx y m m R ---=∈恒过点(2,1)-，所以当点(2,1)-为切点时，半径最大，此时半径r =，故所求圆的标准方程为22(1)2x y -+=．21．【解析】(1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为2=x ，可得M 的坐标为(2,2)或(2,2)-．所以直线BM 的方程为112=+y x 或112y x =--． (2)当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠=∠ABM ABN ．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则10>x ，20>x ．由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得2240--=ky y k ，可知122+=y y k ，124=-y y ． 直线BM ，BN 的斜率之和为1221121212122()22(2)(2)++++=+=++++BM BN y y x y x y y y k k x x x x ．① 将112y x k =+，222y x k=+及12+y y ，12y y 的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0++-++++===y y k y y x y x y y y k k． 所以0+=BM BN k k ，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠=∠ABM ABN ． 综上，∠=∠ABM ABN ．22．【解析】（1）不能出现AC BC ⊥的情况，理由如下：设1(,0)A x ，2(,0)B x ，则1x ，2x 满足220x mx +-=，所以122x x =-．又C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112x x --⋅=-， 所以不能出现AC BC ⊥的情况. （2）BC 的中点坐标为21(,)22x ，可得BC 的中垂线方程为221()22x y x x -=-． 由（1）可得12x x m +=-，所以AB 的中垂线方程为2m x =-． 联立2221()22m x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，又22220x mx +-=，可得212m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以过A 、B 、C 三点的圆的圆心坐标为1(,)22m --，半径r = 故圆在y轴上截得的弦长为3=，即过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上的截得的弦长为定值．23．【解析】圆M 的标准方程为()()226725x y -+-=，所以圆心M(6，7)，半径为5,（1）由圆心N 在直线6x =上，可设()06,N y .因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以007y <<，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =.因此，圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=.(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为2y x m =+，即20x y m -+=，则圆心M 到直线l的距离d因为BC OA === 而222,2BC MC d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()252555m +=+，解得5m =或15m =-. 故直线l 的方程为250x y -+=或2150x y --=.(3)设()()1122,,Q ,.P x y x y 因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ +=u u r u u r u u u r ,所以212124x x t y y =+-⎧⎨=+⎩ ……① 因为点Q 在圆M 上，所以()()22226725.x y -+-= …….②将①代入②，得()()22114325x t y --+-=.于是点()11,P x y 既在圆M 上，又在圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦上，从而圆()()226725x y -+-=与圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦有公共点， 所以5555,-≤≤+解得22t -≤≤+. 因此，实数t的取值范围是22⎡-+⎣. 24．【解析】（Ⅰ）由题设，可知直线l 的方程为1y kx =+．因为l 与C1<．解得4433k -<<．所以k的取值范围是4433⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． （Ⅱ）设1122(,y ),(,y )M x N x ．将1y kx =+代入方程()()22231x y -+-=，整理得22(1)4(1)70k x k x +-++=， 所以1224(1)1k x x k ++=+，12271x x k =+． 21212121224(1)1181k k OM ON x x y y k x x kx x k +⋅=+=++++=++u u u u r u u u u r ， 由题设可得24(1)8=121k k k +++，解得=1k ，所以l 的方程为1y x =+． 故圆心在直线l 上，所以||2MN =．。

专题08 平面解析几何（解答题）1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；（2）证明：直线C D 过定点.2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．4．【2020年高考北京】已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．5．【2020年高考浙江】如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （B ，M 不同于A ）． （Ⅰ）若116p =，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．6．【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．7．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．8．【2020年新高考全国Ⅱ卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.9．【2020年高考天津】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．10．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │=4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │−│MP │为定值？并说明理由．11．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．12．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点； （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程． 13．【2019年高考北京卷文数】已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点．14．【2019年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已|2||OA OB =（O 为原点）.（1）求椭圆的离心率； （2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x =4上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.15．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．16．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ． （1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．17．【2018年高考全国Ⅰ文数】设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠．18．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．19．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：2||||||FP FA FB =+．20．【2018年高考北京卷文数】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为3.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B . （1）求椭圆M 的方程；（2）若1k =，求||AB 的最大值；（3）设(2,0)P -，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)44Q -共线，求k .21．【2018年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为3，||AB = （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．22．【2018年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．23．【2018年高考浙江卷】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．（1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（2）若P是半椭圆x2+24y=1(x<0)上的动点，求△P AB面积的取值范围．。

专题08 平面解析几何（解答题）1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.2．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且43CD AB =．（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．3．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．4．【2020年高考北京】已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅰ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．5．【2020年高考浙江】如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （B ，M 不同于A ）． （Ⅰ）若116p =，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．6．【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．7．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．8．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.9．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若，求|AB |．10．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM的斜率之积323AP PB =为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.11．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 12．【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．13．【2019年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4 （1）求椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率．14．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．15．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ． （1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．16．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．17．【2018年高考北京卷理数】已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．18．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．19．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．20．【2018年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为7，求直线l 的方程．21．【2018年高考浙江卷】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．（1）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（2）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．22．【2018年高考天津卷理数】设椭圆22221x y a b+=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率A 的坐标为(,0)b，且FB AB ⋅= （1）求椭圆的方程；（2）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点)，求k 的值．。

专题07平面解析几何（选择题、填空题）1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知圆 x 2 y 26x 0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A ．1B ．2D ．4C ．3【答案】B 【解析】圆 x2y 2 6x 0化为(x 3)2 y 29，所以圆心C 坐标为C (3,0)，半径为3，设 P (1,2)，当过点 P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点 P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时|CP | (3 1) ( 2) 2 22 2根据弦长公式得最小值为2 9 |CP |22 9 8 2 .故选：B ．【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.2．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若 AC BC =1，则点 C 的轨迹为A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线【答案】A 【解析】设AB 2a a 0 ，以 AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，，设则： A a ,0 ,B a ,0C x , y，可得： AC x a , y ,BC x a , y ，从而： AC BC x a x a y 2，结合题意可得： x a xa y 21，整理可得： x y a2 2 21，即点 C 的轨迹是以 AB 中点为圆心， a 1为半径的圆.2故选：A ．【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】点(0， 1)到直线 y k x 1 距离的最大值为A ．1【答案】BB ． 2C ． 3D ．2【解析】由 y k (x 1)可知直线过定点 P ( 1,0)，设 A (0, 1)，当直线 y k (x 1)与 AP 垂直时，点 A 到直线 y k (x 1)距离最大，即为| AP | 2 .故选：B ．【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.4．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 2x −y −3=0的距离为5B ． 2 55C ． 3 55D ． 4 55A ．5【答案】B【解析】由于圆上的点 2,1 在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，a设圆心的坐标为 a ,a ，则圆的半径为，圆的标准方程为 x a y a 2 a2. 2由题意可得 2 a 1 a 2 a2，2可得a26a 5 0，解得 a 1或a 5，所以圆心的坐标为 1,1 或 5,5 ，的距离均为d 1 2 1 1 3 2 5；5圆心到直线5的距离均为d 2 2 5 5 32 55圆心到直线5圆心到直线2x y 3 0的距离均为d 252 5；5所以，圆心到直线2x y 3 0的距离为 2 5 .5故选：B ．【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.5．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设 O 为坐标原点，直线 x =2与抛物线 C ： y 2若 OD ⊥OE ，则 C 的焦点坐标为2px p 0交于 D ，E 两点，A ．（ 14，0）【答案】BB ．（ 12，0）C ．（1，0）D ．（2，0）【解析】因为直线 x 2与抛物线 y22px (p 0)交于 E ,D 两点，且OD OE ，根据抛物线的对称性可以确定 DOx EOx ，所以D 2,2 ，4代入抛物线方程4 4p ，求得 p 1，所以其焦点坐标为(1 ,0)，2故选：B ．【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.y 126．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设 F 1,F 2是双曲线C : x 2O的两个焦点，为坐标原点，点 P 在C 上3且|OP | 2，则△PF 1F 2的面积为A ． 72B ．3C ． 52D ．2【答案】B【解析】由已知，不妨设 F 1( 2,0),F 2(2,0)，则 a 1,c 2，因为|OP | 1 1 | F 1F 2 |，2所以点 P 在以 F 1F 2为直径的圆上，即 F 1F 2P 是以 P 为直角顶点的直角三角形，故| PF 1 | | PF 2 | | F 1F 2 |2 2 2，即| PF 1 | | PF 2 | 16，又| PF 1 | | PF 2 | 2a 2，2 2所以4 | PF 1 | | PF 2 | 2 | PF 1 |2 | PF 2 |2 2 | PF 1 || PF 2 | 16 2 | PF 1 || PF 2 |，解得| PF 1 || PF 2 | 6，所以S △F 1F 2P 1 | PF 1 || PF 2 | 32故选：B【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.7．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】设 O 为坐标原点，直线 x =a 与双曲线 C ： x 22 b 2y 2 =l(a >0，b >0)的两条渐近a线分别交于 D ，E 两点．若△ODE 的面积为 8，则 C 的焦距的最小值为A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B【解析】 C : x a 22 by 22 1(a 0,b 0)， 双曲线的渐近线方程是 y b x ，a直线 x a 与双曲线C : xa22 by 2 1(a 0,b 0)的两条渐近线分别交于 D ， E 两点2不妨设 D 为在第一象限， E 在第四象限，x ax a联立 b ，解得 ，y x y ba 故 D (a ,b )，x a联立 x ab ，解得y b ，y xa 故 E (a ,b )，| ED | 2b ，ODE 面积为：S △ODE 1 a 2b ab 8，2双曲线C : x 22 by 2 1(a 0,b 0)，2a其焦距为2c 2 a 2 b 2 2 2ab 2 16 8，当且仅当a b 2 2取等号，C 的焦距的最小值：8.故选：B ．【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.8．【2020年高考天津】设双曲线C 的方程为 x22 by 2 1(a 0,b 0)，过抛物线2y24x 的焦点和点(0,b )a的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ． x 2y2y 12C ． x2y41B ． x221D ． x y 12 2444【答案】Dx y 1，即直线的斜率为 b ，【解析】由题可知，抛物线的焦点为 1,0 ，所以直线的方程为lb 又双曲线的渐近线的方程为 y b x ，所以 b b ， b b 1，因为a 0,b 0，解得a 1,b 1．a a a故选： D ．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．9．【2020年高考北京】已知半径为 1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为A ． 4B ． 5D ． 7C ． 6【答案】A【解析】设圆心C x , y ，则 x 3 2 y 4 2 1，化简得 x 3 2 y 4 2 1，所以圆心C 的轨迹是以M (3,4)为圆心，1为半径的圆，|OC | 1 |OM | 3 42 5，所以|OC | 5 1 4，所以2当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选：A．【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.10．【2020年高考北京】设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ l于Q，则线段FQ的垂直平分线A.经过点OB.经过点 PD.垂直于直线OPC.平行于直线OP【答案】B因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，PQ PF，所以线段FQ的垂直平分线经过点P .故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.11．【2020年高考浙江】已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y 3 4 x2图象上的点，则|OP|=222B ． 4 105A ．C ． 7D ． 10【答案】D【解析】因为| PA | | PB | 2 4，所以点 P 在以 A ,B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支4 1 3，即双曲线的右支方程为 x 2 y 1 x 0，而点 P 还在2c 2,a 1可得， b 2 c 2 a上，由23函数 y 3 4 x 的图象上，所以，2132 y 3 4 x 2 x 13 27 ，即 OP 10．由 x，解得 y 3 1 x 0 223 3244 y故选：D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．12．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知曲线C :mx ny 1.2 2A ．若 m >n >0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上B ．若 m =n >0，则C 是圆，其半径为 nmC ．若 mn <0，则 C 是双曲线，其渐近线方程为 y x nD ．若 m =0，n >0，则 C 是两条直线【答案】ACDx 2y2 1可化为 1 11【解析】对于 A ，若m n 0，则mx ，ny 2 2mn因为m n 0，所以 m 1 1n，y即曲线C 表示焦点在轴上的椭圆，故 A 正确；对于 B ，若m n 0，则mx2ny21可化为 x 2 y21，n此时曲线C 表示圆心在原点，半径为n 的圆，故 B 不正确；nx 1可化为 1 11，对于 C ，若mn 0，则mx ny 2 22y2m n此时曲线C 表示双曲线，m由mx ny2 20可得 y x ，故 C 正确；n对于 D ，若m 0,n 0，则mx 2 ny 2 1可化为y 2 1，nn ，此时曲线C 表示平行于轴的两条直线，故 D 正确；xyn 故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.13．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为 x ±y =0的双曲线的离心率是2A ．B ．1D ．22C ． 2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为 x y 0，所以a b ，则c a 2 b22a ，所以双曲线的离心率e c 2 .故选 C.a【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得 a b ，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.14．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】双曲线 C ： x a22 by 2 1(a 0,b 0)的一条渐近线的倾斜角为 130°，则 C2的离心率为A ．2sin40°B ．2cos40°11C ．D ．sin50cos50【答案】D【解析】由已知可得 b tan130 , b tan50 ，a a1 b 250 sin 50 cos2 250501 e c 1 tan 50 1 sin 22， a a cos 2cos 250 cos50故选 D ．【名师点睛】对于双曲线： x2y 21 b 22 1 a 0 , b 0 ，有e c ；a 2 ba a 2对于椭圆 x2y 22 1 a b 0 ，有e c 1 b ，防止记混．a 2 ba a 15．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆 C 的焦点为 F 1( 1,0)，F 2(1,0)，过 F 的直线与 C 交于 A ，B 两2点．若| AF 2 | 2| F 2B |，| AB | | BF 1 |，则 C 的方程为A ． x2B ． x 2 y 12y 12232C ． x 2y 12D ． x 2y 124354【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设 F 2B n ，则 AF 2 2n , BF 1 AB 3n ，由椭圆的定义有2a BF 1 BF 2 4n , AF 1 2a AF 2 2n ．中，由余弦定理推论得cos F 1AB 4n 29n 29n 21．在△AF 1B2 2n 3n33．2在△AF 1F 2中，由余弦定理得4n 24n 22 2n 2n 1 4，解得n 323 1 2 , 所求椭圆方程为 x 2a 4n 2 3 , a 3 , b a c 2 22 y 1，故选 B ．232法二：由已知可设 F 2B n ，则 AF 2 2n , BF 1 AB 3n ，由椭圆的定义有2a BF 1 BF 2 4n , AF 1 2a AF 2 2n ．4n4 2 2n 2 cos AF 2F 14n2 2在△AF 1F 2和△BF 1F 2中，由余弦定理得，n 2 4 2 n 2 cos BF 2F 1 9n 2又 AF 2F 1 , BF 2F 1互补， cos AF 2F 1 cos BF 2F 1 0，两式消去cos AF 2F 1,cos BF 2F 1，得3． 2a 4n 2 3 , a 3 , ba c2 23 1 2 , 所求椭圆3n 6 11n2 2，解得n22方程为 x 2y 1，故选 B ．232【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．x 2 y 1的一个焦点，则 p =216．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若抛物线 y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆3p pA ．2B ．3D ．8C ．4【答案】D2px (p 0)的焦点( p ,0)是椭圆 x y 23p221的一个焦点，所以3p p ( p )2【解析】因为抛物线 y ，2p 2解得 p 8，故选 D ．【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于 p 的方程，从而解出 p ，或者利用检验排除的方法，如 p 2时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除 A ，同样可排除 B ，C ，从而得到选 D ．17．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设 F 为双曲线 C ： x 22 b 22 1（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，y a以 OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于 P ，Q 两点．若|PQ |=|OF |，则 C 的离心率为A ． 2B ． 3D ． 5C ．2【答案】Ax【解析】设 PQ 与轴交于点A ，由对称性可知 PQ x 轴，又 PQ |OF | c ， | PA | c , PA 为以OF 为直径的圆的半径，2∴|OA | c ，c c ,，P 2 22a 上， c2c a ，即 c 22 ca 2 2．2又 P 点在圆 x 2y222 a 2, e2442e 2，故选 A ．【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出 P 点坐标，代入圆的方程得到 c 与 a 的关系，可求双曲线的离心率．18．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知 F 是双曲线 C ： x2y 1的一个焦点，点 P 在 C 上，O 为坐标原245点，若 OP = OF ，则△OPF 的面积为3252A ．C ．B ．D ．7292【答案】B，则 x 0 y 1①．22【解析】设点 P x 0, y045又 OP OF 4 5 3， x 02y 0 9②．225，即 y 0 5，由①②得 y 0293S △OPF 1 OF y 0 1 3 5 5，2223故选 B ．【名师点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅.设P x 0, y 0 ，由OP = OF ，再结合双曲线方程可解出19．【2019年高考北京卷文数】已知双曲线A ． 6y 0，利用三角形面积公式可求出结果.x 22 y 21（a >0）的离心率是 5，则 a =a B ．41C ．2D ．2【答案】D【解析】∵双曲线的离心率e c 5，c a21，a2 1 5，解得a 1a ∴，2a故选 D.【名师点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中 a ，b ，c 的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．【 2019年高考天津卷文数】已知抛物线 y 24x 的焦点为 F ，准线为 l .若 l 与双曲线x 22 by 2 1(a 0,b 0)的两条渐近线分别交于点 A 和点 B ，且|AB | 4|OF |（O 为原点），则双曲2a线的离心率为A ． 2B ． 3D ． 5C ．2【答案】D 【解析】抛物线 y24x 的准线l 的方程为 x 1，双曲线的渐近线方程为 y b x ，a则有 A ( 1, b ),B ( 1, b )，a a ∴ AB 2b 2b， a 4，b 2a ，a∴e c a b2 25 .aa故选 D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出 AB 的长度.解答时，只需把 AB 4 OF 用a ,b ,c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.21．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C ： xa22y 2 1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为41A ．312B ．2D ． 2 23C ．2【答案】Cb c【解析】由题可得c 2，因为b 4，所以a 8，即a 2 2，2 2 2 222，故选 C ．所以椭圆C 的离心率e22 2【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及离心率，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中a ,b ,c 的关系求得结果.22．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知 F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点， P 是C 上的一点，若 PF 1 PF 2，且PF 2F 1 60 ，则C 的离心率为3A ．1B ．2 3D ． 3 123 1C ．2【答案】D【解析】在△F 1PF 2中， F 1PF 2 90设 PF 2 m ，, PF 2F 1 60 ，则2c F 1F 2 2m , PF 1 3m ，又由椭圆定义可知2a PF 1 PF 2 ( 3 1)m ，则e c 2c2m 3 1，故选 D ．a2a ( 3 1)m【名师点睛】本题主要考查椭圆的定义和简单的几何性质，考查考生的数形结合能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.结合有关平面几何的知识以及椭圆的定义、性质加以灵活分析，关键是寻找椭圆中 a ，c 满足的关系式.椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.23．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】双曲线 x a22 by 2 1(a 0,b 0)的离心率为 3，则其渐近线方程为2A ． y 2xB ． y 3xC ． y 2 xD ． y 3 x22【答案】A【解析】因为 e c 3，所以 b22c 2 a 2b 2，因为渐近线方程为 e 2 1 3 1 2，所以 aaa a 2y b x ，所以渐近线方程为 y 2x ，故选 A ．a【名师点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.(1)焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为 x a22 by 2 1(a 0,b 0)，焦点坐标为(±c ，0)，实轴长为 2a ，2虚轴长为 2b ，渐近线方程为 y b x ；a(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为 2 bx 2 1(a 0,b 0)，焦点坐标为(0，±c )，实轴长为 2a ，y 22a虚轴长为 2b ，渐近线方程为 y a x .b24．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】直线 x y 2 0分别与 x 轴， y 轴交于 A ， B 两点，点 P 在圆(x 2)2 y 2 2上，则△ABP 面积的取值范围是B ． 4，8 A ． 2，6C ． 2，3 2 2 2，3 2D ．【答案】A【解析】直线 x y 2 0分别与轴，轴交于 A ，B 两点， A 2,0 ,B 0, 2 ，则 AB 2 2 .x y 点 P 在圆(x 2)2 y22上， 圆心为（2，0），则圆心到直线的距离d 1 2 0 2 2 2 .22,3 2，则S △ABP 1 AB d 2 2d 2 2,6 .故点 P 到直线 x y 2 0的距离d 2的范围为2故答案为 A.【名师点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题 .先求出 A ，B 两点坐标得到 AB ，再计算圆心到直线的距离，得到点 P 到直线距离的范围，由面积公式计算即可.25．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知双曲线C : x 22 by2 21(a 0,b 0)的离心率为 2，则点(4,0)到Ca的渐近线的距离为A ． 2B ．2C ． 3 22D ．2 2【答案】D【解析】 e c 1 (b )2， b 1，所以双曲线C 的渐近线方程为 x y 0，所以点(4,0)2aaa4到渐近线的距离d2 2，故选 D ．1 1【名师点睛】本题主要考查双曲线的性质、点到直线的距离公式，考查考生的运算求解能力、化归与转化能力、逻辑思维能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算、直观想象.熟记结论：若双曲线 x a22 by 2 1(a 0,b 0)是等轴双曲线，则 a =b ，离心率 e = 2，渐近线方程为2y =±x ，且两条渐近线互相垂直.26．【2018年高考浙江卷】双曲线 x2y21的焦点坐标是3A ．(− 2，0)，( 2，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，− 2 )，(0， 2 )D ．(0，−2)，(0，2)【答案】B 【解析】设 x22 1的焦点坐标为( c ,0)，因为c 2 a 2 b 23 1 4，c 2， y3所以焦点坐标为( 2,0)，故选 B ．【名师点睛】本题主要考查双曲线基本量之间的关系，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.解答本题时，先根据所给的双曲线方程确定焦点所在的坐标轴，然后根据基本量之间的关系进行运算.27．【2018年高考天津卷文数】已知双曲线 x a22 by 2 1(a 0, b 0)的离心率为2，过右焦点且垂直于轴2x的直线与双曲线交于 A ，B 两点．设 A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为d1和d 2，且d 1 d 2 6，则双曲线的方程为A ． x 2y 12B ． x 2y 123993C ． x 2y 12D ．x 2 y 12412124【答案】A【解析】设双曲线的右焦点坐标为 F (c ,0)(c 0)，则 x A x B c ，由 c 2a 2 by 2 1可得 ya ，2b 2不妨设 A (c , b)， B (c , b2 2)，a a 双曲线的一条渐近线方程为bx ay 0，据此可得d 1 |bc b 2| bc b 2，d 2 |bc b| bc b2 2，cb2a 2b 2ca 2则d 1 d 2 2bc 2b 6，则b 3，b29，c21 a 92 2，据此可得a23，则双曲线的方程为 x 2 y 1．2双曲线的离心率e c 1 b aa 239故选 A ．【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据 a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出 a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为 x a22 by 2 0 ，2再由条件求出λ的值即可.解答本题时，由题意首先求得 A ，B 的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b 的值，之后求解 a 的值即可确定双曲线方程.28．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设双曲线 C : x a22 by 2 1 (a >0,b >0)的一条渐近线为 y = 2 x ，则 C 的离心2率为_________．【答案】3【解析】由双曲线方程 xa 22 by2 1可得其焦点在轴上，2x因为其一条渐近线为y 2x，b a 2，e ac 1 ba2 3 .2所以故答案为：3【点睛】本题考查的是有关双曲线性质，利用渐近线方程与离心率关系是解题的关键，要注意判断焦点所在位置，属于基础题.29．【2020年高考天津】已知直线x 3y 8 0和圆 x2 y2 r2(r 0)相交于A,B两点．若| AB| 6，则r的值为_________．【答案】58【解析】因为圆心 0,0 到直线x 3y 8 0的距离d 4，1 3由| AB | 2 r d 2可得6 2 r2 42，解得r = 5．2故答案为：5．【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．30．【2020年高考北京】已知双曲线C : x2 y 1，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐263近线的距离是_________．【答案】 3,0 ；3【解析】在双曲线C中，a 6，b 3，则c a22 3，则双曲线C的右焦点坐标为 3,0 ，b双曲线C的渐近线方程为y2 x，即x 2y 0，23所以，双曲线C的焦点到其渐近线的距离为 3 .1 22故答案为： 3,0 ； 3 .【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.31．【2020年高考浙江】已知直线 y kx b (k 0)与圆 x 2 y 2 1和圆(x 4)2 y 2 1均相切，则k _______，b =_______．3； 2 3【答案】33|b | 1|4k b |1，【解析】由题意，C 1,C 2到直线的距离等于半径，即1，k 12 2k22所以|b | 4k b ，所以k 0（舍）或者b 2k ，解得k 3 ,b 2 3 .333 ; 2 33故答案为：3【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.32．【2020年高考江苏】在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x 22 y 1(a 0)的一条渐近线方程为 y 5 x ，2a 52则该双曲线的离心率是▲．3【答案】2【解析】双曲线 x a22 y 1，故 b 5 .由于双曲线的一条渐近线方程为 y 25 x ，即52b 5 a 2，所以c a b 2 c 4 5 3，所以双曲线的离心率为 a 3222.a32故答案为：【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.33．【2020年新高考全国Ⅰ卷】斜率为 3的直线过抛物线 C ：y AB =________．2=4x 的焦点，且与 C 交于 A ，B 两点，则163【答案】【解析】∵抛物线的方程为 y24x ，∴抛物线的焦点 F 坐标为 F (1,0)，又∵直线 AB 过焦点 F 且斜率为 3，∴直线 AB 的方程为： y 3(x 1)代入抛物线方程消去 y 并化简得3x 2 10x 3 0，解法一：解得 x 1 1,x 2 33| x 1 x 2 | 1 3 |3 1 | 16所以| AB | 1 k233解法二： 100 36 64 0设 A (x 1, y 1),B (x 2, y 2)，则 x 1 x 2 103,过 A ,B 分别作准线 x 1的垂线，设垂足分别为C ,D 如图所示.| AB | | AF | | BF | | AC | | BD | x 1 1 x 2 1 x 1 x 2+2=16316故答案为：3【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.3，0)，A ，B 是圆 C ： x (y 1) 36上的两2234．【2020年高考江苏】在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P (22个动点，满足 PA PB ，则△PAB 面积的最大值是【答案】10 5▲．【解析】Q PA PB PC AB3 1 14 4设圆心C 到直线 AB 距离为d ，则|AB |=2 36 d 2,| PC | 所以 S V PAB 1 2 36 d(d 1) (36 d (0 d 6) y 2(d 1)( 2d 当0 d 4时，y 0；当4 d 6时，故答案为：10 5)(d 1)2 222令 y (36 d 2)(d 1)22d 36) 0 d 4（负值舍去）y y 0，因此当 d 4时，取最大值，即S PAB 取最大值为10 5，【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.35．【2019年高考北京卷文数】设抛物线 y =4x 的焦点为 F ，准线为 l ．则以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的2方程为__________．【答案】(x 1) y 42 2【解析】抛物线 y =4x 中，2p =4，p =2，2焦点 F （1，0），准线 l 的方程为 x =−1，以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为(x −1)+y =22，即为(x 1)22y24 .2【名师点睛】本题可采用数形结合法，只要画出图形，即可很容易求出结果.36．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设 F 1，F 2为椭圆 C : x2y21的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限．若+36 20△MF 1F 2为等腰三角形，则 M 的坐标为___________.【答案】 3, 15【解析】由已知可得a236 ,b 2 20 , c 2 a 2b 2 16 ,c 4，MF 1 F 1F 2 2c 8，∴ MF 2 4．1 F 1F2 y 0 4y 0，△MF 1F 2设点M 的坐标为 x 0 , y x0, y 0 00 ，则S 02又 S △MF 1F 2 1 4 8 2 4 15 , 4y 0 4 15，解得 y 0 15，222215 1，解得 x 0 3（ x 0 3舍去），20 x 236\ M 的坐标为 3, 15．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出 MF 1、MF2，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.y237．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x 2 2 1(b 0)经过点（3，4)，则该双b曲线的渐近线方程是▲.【答案】 y 2x4【解析】由已知得3221，解得b 2或b 2，b2因为b 0，所以b 2 .因为 a 1，所以双曲线的渐近线方程为 y 2x .【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的 a ,b 密切相关，事实上，标准方程中化 1为 0，即得渐近线方程.438．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 y x (x 0)上的一个动点，则点 P 到x直线 x +y =0的距离的最小值是【答案】4▲.【解析】当直线 x +y =0平移到与曲线 y x 4相切位置时，切点 Q 即为点 P ，此时到直线 x +y =0的距x离最小.由 y 1 42 1，得 x 2(x 2舍)， y 3 2，即切点Q ( 2,3 2)，x2 3 2则切点 Q 到直线 x +y =0的距离为 4，1 12 2故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.39．【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,m )r，半径长是 .若直线2x y 3 0与圆 C 相切于点 A ( 2, 1)，则mr=___________， =___________．【答案】 2， 5【解析】由题意可知k AC 1 AC : y 1 1 (x 2)，把(0,m )代入直线 AC 的方程得m 2，22此时r | AC | 4 1 5 .【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线 AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,m )代入后求得m ，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.40．【2019年高考浙江卷】已知椭圆 x 2y 1的左焦点为 F ，点 P 在椭圆上且在轴的上方，若线段 PF2x95的中点在以原点O 为圆心， OF 为半径的圆上，则直线 PF 的斜率是___________．【答案】 15【解析】方法 1：如图，设 F 1为椭圆右焦点.由题意可知|OF |=|OM |= c= 2，由中位线定理可得 PF 1 2|OM | 4，设 P (x , y )，可得(x 2)y2 216，与方程 x 2y 1联立，可解得 x 3,x 2212（舍），9521515 P3 ,21x 又点 P 在椭圆上且在轴的上方，求得 ，所以k PF15 . 222方法 2：（焦半径公式应用）由题意可知|OF |=|OM |= c= 2，32由中位线定理可得PF1 2|OM | 4，即a ex p 4 x p ，1515，所以P 3 ,21从而可求得 k PF 15 .222【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁. 41．【2018年高考全国I卷文数】直线y x 1与圆x y2 22y 3 0交于A，B两点，则AB ________．【答案】2 2y 1 2 4，所以圆的圆心为0, 1，且半径是2，【解析】根据题意，圆的方程可化为 x20 1 1根据点到直线的距离公式可以求得d 1 2 2，12结合圆中的特殊三角形，可知AB 2 4 2 2 2，故答案为2 2 .【名师点睛】该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形，即半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形，利用勾股定理求得弦长.42．【2018年高考天津卷文数】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．【答案】x y 2x 02 2【解析】设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），F 0 D 2则 1 1 D E F 0，解得 E 0，则圆的方程为 x2 y22x 0.F 04 0 2D F 0【名师点睛】求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．43．【2018年高考浙江卷】已知点 P (0，1)，椭圆 x2+y =m (m >1)上两点 A ，B 满足 AP 2PB ，则当24m =___________时，点 B 横坐标的绝对值最大．【答案】5【解析】设 A (x 1, y 1)， B (x 2, y 2)，x 1 2x 2，1 y 1 2(y 2 1)，由 AP 2PB 得所以 y 1 2y 2 3，x 12x 22因为 A ， B 在椭圆上，所以 4 y 12m ， 4 y 22 m ，4x 22(2y 2 3)2 m ，所以4所以 x 22(y 2 3)m 2，424与 x 22m 对应相减得 y 3 m 1 (m y 22， x 22210m 9) 4，2444当且仅当m 5时取最大值．【名师点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.44．【2018年高考北京卷文数】若双曲线 x a22 y 1(a 0)的离心率为25，则a ________________．24【答案】4【解析】在双曲线中c a2b 2a 2 4，且e ac 5，2a 2 4 5，即a 2 16，2所以a因为a 0，所以a 4．数学运算.在求解有关离心率的问题时，一般不直接求出 c 和 a 的值，而是根据题目给出的条件，建立关于参数 c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.45．【2018年高考北京卷文数】已知直线 l 过点（1，0）且垂直于轴，若 l 被抛物线 y 4ax 截得的线段2长为 4，则抛物线的焦点坐标为_________.【答案】 1,0 【解析】由题意可得，点 P 1,2 在抛物线上，将 P 1,2 代入 y 2 4ax 中，解得a 1， y 4x ，由2抛物线方程可得：2p 4, p 2, p 1， 焦点坐标为 1,0 .2【名师点睛】此题考查抛物线的相关知识，属于易得分题，关键在于能够结合抛物线的对称性质，得到抛物线上点的坐标，再者熟练准确记忆抛物线的焦点坐标公式也是保证本题能够得分的关键.根据题干描述画出相应图形，分析可得抛物线经过点 1,2 ，将点 1,2 坐标代入可求参数的值，进而可求焦点坐a标.x 22 by 22 1(a 0,b 0)的右焦点F (c ,0)46．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线a到一条渐近线的距离为 3 c ，则其离心率的值是________________．2【答案】2bc 0bcc【解析】因为双曲线的焦点 F (c ,0)到渐近线 y b x ，即bx ay 0的距离为a b2 2b ，a所以b3 c ，2因此a 2c 2b 2c23 c 2 1 c 2，a 1 c ，e 2．442。

10年高考数学卷1(理) 解析几何试题(附答案)1.(2020全国卷1理4) 已知A 为抛物线2:2(0)C ypx p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．92.(2020全国卷1理15)已知F为双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 斜率为3，则C 的离心率为_______．3.(2020全国卷1理20)已知,A B 分别为椭圆222:1(1)x E y a a+=>的左、右顶点，G 为E的上顶点，8AG GB ⋅=．P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点．4.(2019全国卷1理10)已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=5.(2019全国卷1理16)已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．6.(2019全国卷1理20)已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．7.(2018全国卷1理8)设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →= A ．5B ．6C ．7D ．88.(2018全国卷1理11)已知双曲线C ：x 23 - y 2=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N.若ΔOMN 为直角三角形，则|MN|= A ．32B ．3C ．2 3D ．49.(2018全国卷1理19)设椭圆C: x 22 + y 2=1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A,B两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.10.已知F 为抛物线C ：24y x =的交点，过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，AB DE+的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．1011.(2017全国卷1理15) 已知双曲线2222:x y C a b -，（0a >，0b >）的右顶点为A ，以A为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为_______．12.(2017全国卷1理20)已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，四点()111P ，，()201P ，，31P ⎛- ⎝⎭，41P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．13.(2016全国卷1理5)已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值围是（A ）()1,3- （B ）(- （C ）()0,3 （D ）(14.(2016全国卷1理10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=DE|=则C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 15.(2016全国卷1理20)设圆222150xy x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ,D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值围.16.(2015全国卷1理5)已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF •2MF ＜0，则y 0的取值范围是（A ）（） （B ）（，）（C ）（） （D ）（） 17.(2015全国卷1理14)一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 。

（2011-2020）123山东真题专题08解析几何解答题（理科）1．【2020年全国1卷理科20】已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2=1（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅GB ⃑⃑⃑⃑⃑ =8，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.2．【2020年全国2卷理科19】已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.3．【2020年全国3卷理科20】已知椭圆C:x 225+y 2m 2=1(0<m <5)的离心率为√154，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且|BP|=|BQ|，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积． 4．【2020年山东卷22】已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a >b >0)的离心率为√22，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．5．【2019年新课标3理科21】已知曲线C ：y =x 22，D 为直线y =−12上的动点，过D 作C的两条切线，切点分别为A ，B ． （1）证明：直线AB 过定点；（2）若以E （0，52）为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．6．【2019年全国新课标2理科21】已知点A （﹣2，0），B （2，0），动点M （x ，y ）满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12．记M 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ．（i ）证明：△PQG 是直角三角形； （ii ）求△PQG 面积的最大值．7．【2019年新课标1理科19】已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若|AF |+|BF |＝4，求l 的方程； （2）若AP →=3PB →，求|AB |．8．【2018年新课标1理科19】设椭圆C ：x 22+y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为（2，0）． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB ．9．【2018年新课标2理科19】设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k （k ＞0）的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．10．【2018年新课标3理科20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24+y 23=1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M （1，m ）（m ＞0）． （1）证明：k ＜−12；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →+FA →+FB →=0→．证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．11．【2017年新课标1理科20】已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），四点P 1（1，1），P 2（0，1），P 3（﹣1，√32），P 4（1，√32）中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为﹣1，证明：l 过定点．12．【2017年新课标2理科20】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22+y 2＝1上，过M作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →=√2NM →． （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x ＝﹣3上，且OP →•PQ →=1．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．13．【2017年新课标3理科20】已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆． （1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，﹣2），求直线l 与圆M 的方程．14．【2016年新课标1理科20】设圆x 2+y 2+2x ﹣15＝0的圆心为A ，直线l 过点B （1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ． （Ⅰ）证明|EA |+|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围． 15．【2016年新课标2理科20】已知椭圆E ：x 2t +y 23=1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k ＞0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （Ⅰ）当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围．16．【2016年新课标3理科20】已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点． （Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程． 17．【2015年新课标1理科20】在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y =x 24与直线l ：y ＝kx +a （a＞0）交于M ，N 两点．（Ⅰ）当k ＝0时，分別求C 在点M 和N 处的切线方程．（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？（说明理由） 18．【2015年新课标2理科20】已知椭圆C ：9x 2+y 2＝m 2（m ＞0），直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ． （1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（2）若l 过点（m3，m ），延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．19．【2014年新课标1理科20】已知点A （0，﹣2），椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，F 是椭圆的右焦点，直线AF 的斜率为2√33，O 为坐标原点．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． 20．【2014年新课标2理科20】设F 1，F 2分别是C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N ． （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b ．21．【2013年新课标1理科20】已知圆M ：（x +1）2+y 2＝1，圆N ：（x ﹣1）2+y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |．22．【2013年新课标2理科20】平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）右焦点的直线x +y −√3=0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12． （Ⅰ）求M 的方程（Ⅱ）C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．23．【2012年新课标1理科20】设抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ∈C ，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点；（1）若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为4√2，求p 的值及圆F 的方程；（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．24．【2011年新课标1理科20】在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，﹣1），B 点在直线y ＝﹣3上，M 点满足MB →∥OA →，MA →⋅AB →=MB →•BA →，M 点的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．25．【2011年新课标1理科22】如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn ＝0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．。

2020年高考数学试题分项版——解析几何（原卷版）一、选择题1．(2020·全国Ⅰ理，4)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p 等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．92．(2020·全国Ⅰ理，11)已知⊙M ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，直线l ：2x ＋y ＋2＝0，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |·|AB |最小时，直线AB 的方程为( ) A ．2x －y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝03．(2020·全国Ⅱ理，5)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( ) A.55 B.255 C.355 D.4554．(2020·全国Ⅱ理，8)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．325．(2020·全国Ⅲ理，5)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫14，0 B.⎝⎛⎭⎫12，0 C ．(1,0) D ．(2,0) 6．(2020·全国Ⅲ理，10)若直线l 与曲线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x ＋12C ．y ＝12x ＋1D ．y ＝12x ＋127．(2020·全国Ⅲ理，11)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为 5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a 等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．88．(2020·新高考全国Ⅰ，9)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.( ) A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nxD ．若m ＝0，n >0，则C 是两条直线9．(2020·新高考全国Ⅱ，10)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.( ) A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nx D ．若m ＝0，n >0，则C 是两条直线10．(2020·北京，5)已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．711．(2020·北京，7)设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l .P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线( ) A ．经过点O B ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP12．(2020·天津，7)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过抛物线y 2＝4x 的焦点和点(0，b )的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 24＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 2＝113．(2020·浙江，8)已知点O (0,0)，A (－2,0)，B (2,0)，设点P 满足|PA |－|PB |＝2，且P 为函数y ＝34－x 2图象上的点，则|OP |等于( ) A.222 B.4105C.7D.10 14．(2020·全国Ⅰ文，6)已知圆x 2＋y 2－6x ＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．415．(2020·全国Ⅰ文，11)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |＝2，则△PF 1F 2的面积为( ) A.72 B ．3 C.52D ．2 16．(2020·全国Ⅱ文，8)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( ) A.55 B.255 C.355 D.45517．(2020·全国Ⅱ文，9)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．3218．(2020·全国Ⅲ文，7)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫14，0 B.⎝⎛⎭⎫12，0 C ．(1,0) D ．(2,0) 19．(2020·全国Ⅲ文，8)点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 二、填空题1．(2020·全国Ⅰ理，15)已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为________． 2．(2020·新高考全国Ⅰ，13)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.3．(2020·新高考全国Ⅱ，14)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.4．(2020·北京，12)已知双曲线C ：x 26－y 23＝1，则C 的右焦点的坐标为________；C 的焦点到其渐近线的距离是________．5．(2020·天津，12)已知直线x －3y ＋8＝0和圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点．若|AB |＝6，则r 的值为________．6．(2020·江苏，6)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 25＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，则该双曲线的离心率是________． 7．(2020·江苏，14)在平面直角坐标系xOy 中，已知P ⎝⎛⎭⎫32，0，A ，B 是圆C ：x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝36上的两个动点，满足PA ＝PB ，则△PAB 面积的最大值是________．8．(2020·浙江，15)已知直线y ＝kx ＋b (k >0)与圆x 2＋y 2＝1和圆(x －4)2＋y 2＝1均相切，则k ＝________，b ＝________.9．(2020·全国Ⅲ文，14)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为y ＝2x ，则C的离心率为________． 三、解答题1．(2020·全国Ⅰ理，20)已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的左、右顶点，G 为E的上顶点，AG →·GB →＝8.P 为直线x ＝6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D . (1)求E 的方程；(2)证明：直线CD 过定点．2．(2020·全国Ⅱ理，19)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |＝43|AB |.(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |＝5，求C 1与C 2的标准方程．3．(2020·全国Ⅲ理，20)已知椭圆C ：x 225＋y 2m 2＝1(0<m <5)的离心率为154，A ，B 分别为C的左、右顶点． (1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线x ＝6上，且|BP |＝|BQ |，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积．4．(2020·新高考全国Ⅰ，22)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且过点A (2,1)．(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．5．(2020·新高考全国Ⅱ，21)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点M (2,3)，点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12.(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值．6．(2020·北京，20)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1过点A (－2，－1)，且a ＝2b .(1)求椭圆C 的方程；(2)过点B (－4,0)的直线l 交椭圆C 于点M ，N ，直线MA ，NA 分别交直线x ＝－4于点P ，Q .求|PB ||BQ |的值．7．(2020·天津，18)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0，－3)，右焦点为F ，且|OA |＝|OF |，其中O 为原点．(2)已知点C 满足3OC →＝OF →，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．8.(2020·江苏，18)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B .(1)求△AF 1F 2的周长；(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP →·QP →的最小值； (3)设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2＝3S 1，求点M 的坐标．9.(2020·浙江，21)如图，已知椭圆C 1：x 22＋y 2＝1，抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)，点A 是椭圆C 1与抛物线C 2的交点．过点A 的直线l 交椭圆C 1于点B ，交抛物线C 2于点M (B ，M 不同于A )．(1)若p ＝116，求抛物线C 2的焦点坐标；(2)若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．10．(2020·全国Ⅰ文，21)已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的左、右顶点，G 为E的上顶点，AG →·GB →＝8.P 为直线x ＝6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D . (1)求E 的方程；(2)证明：直线CD 过定点．11．(2020·全国Ⅱ文，19)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |＝43|AB |.(1)求C 1的离心率；(2)若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．12．(2020·全国Ⅲ文，21)已知椭圆C：x225＋y2m2＝1(0<m<5)的离心率为154，A，B分别为C的左、右顶点．(1)求C的方程；(2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．。

专题07 平面解析几何（选择题、填空题）1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p = A ．2 B ．3C ．6D ．92．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为 A ．210x y --= B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=3.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 A ． 1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ． 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ． (1,0)D ． (2,0)4．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】11.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a = A ． 1 B ． 2C ． 4D ． 85.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为A BC D 6．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为A ．4B ．8C ．16D ．327．【2020年高考天津】设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -= B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -= 8．【2020年高考北京】已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为 A ． 4 B ． 5C ． 6D ． 79．【2020年高考北京】设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线A ． 经过点OB ． 经过点PC ． 平行于直线OPD ． 垂直于直线OP10．【2020年高考浙江】已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =图象上的点，则|OP |=A ．2B ．5CD 11．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知曲线22:1C mx ny +=. A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线12．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y +=D ．22154x y += 13．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．814．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A BC ．2D15．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A BC ．D ．16．【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b17．【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 A ．① B ．② C ．①②D ．①②③18．【2019年高考天津卷理数】已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为A BC ．2D 19．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A ．2B ．1CD ．220．【2018年高考北京卷理数】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．421．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣22．【2018年高考全国Ⅱ理数】已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23 B ．12 C ．13D ．1423．【2018年高考浙江卷】双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．，0)，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，，(0D ．(0，−2)，(0，2)24．【2018年高考全国Ⅰ理数】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．2y x =±D ．y x = 25．【2018年高考全国III 理数】设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1|||PF OP =，则C 的离心率为A B ．2C D26．【2018年高考全国I 理数】设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=A ．5B ．6C ．7D ．827．【2018年高考全国I 理数】已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN = A ．32B ．3C ．D ．428．【2018年高考天津卷理数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．22139x y -= D ．22193x y -= 29．【2020年高考全国I 卷理数】已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 .30．【2020年高考天津】已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．31．【2020年高考北京】已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．32．【2020年高考浙江】已知直线(0)y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______，b =_______．33．【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率是 ▲ ．34．【2020年新高考全国Ⅰ卷】C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB=________．35．【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知0)P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是 ▲ ．36．【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________．37．【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．38．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.39．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．40．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .41．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ .42．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________．43．【2018年高考浙江卷】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．44．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c，则其离心率的值是________________． 45．【2018年高考北京卷理数】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________________；双曲线N 的离心率为________________．46．【2018年高考全国Ⅰ理数】已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________．。

2020全国1卷高考数学试题（试卷版+解析版）1．若1z i =+，则2|2|(z z -= )A ．0B ．1C ．2D ．22．设集合}04|{2≤-=x x A ，}02|{≤+=a x x B 且}12|{≤≤-=x x B A ,则(a = )A ．4-B ．2-C ．2D ．43．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A 51-B 51-C 51+D 51+ 4．已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则(p = )A ．2B ．3C ．6D ．95．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C)︒的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(i x ，)(1i y i =，2，⋯，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C ︒至40C ︒之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．xy a be =+D ．y a blnx =+6．函数43()2f x x x =-的图象在点(1，f （1）)处的切线方程为( ) A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+7．设函数()cos()6f x x πω=+在[π-，]π的图象大致如图，则()f x 的最小正周期为( )A ．109πB ．76π C ．43π D ．32π 8．25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为( )A ．5B ．10C ．15D ．209．已知(0,)απ∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin (α= )A 5B ．23C ．13D 510．已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC ∆的外接圆．若1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为( )A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π11．已知22:2220M x y x y +---=，直线:220l x y ++=，P 为l 上的动点．过点P 作M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当||||PM AB 最小时，直线AB 的方程为( )A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=12．若242log 42log aba b +=+，则( ) A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。