sinx放缩二次函数

二次函数与三角函数的组合在数学学科中，二次函数和三角函数都是重要的概念。

二次函数是一个以 x 的二次多项式所定义的函数，三角函数是以角度或弧度作为自变量的函数。

本文将讨论二次函数与三角函数的组合，以探讨它们之间的关系和特点。

一、二次函数的基本形式二次函数的基本形式为 f(x) = ax² + bx + c，其中 a、b、c 是实数常数，且a ≠ 0。

根据 a 的正负性质，二次函数的开口方向分为向上和向下两种情况。

具体形状和特征取决于 a 的值。

例如，当 a > 0 时，二次函数开口向上，且顶点坐标为 (-b/(2a), f(-b/(2a)))。

二、三角函数的基本形式三角函数中最常见的有正弦函数、余弦函数和正切函数。

它们分别用 sin(x)、cos(x) 和 tan(x) 表示，其中 x 为角度或弧度。

三角函数图像的周期性和振荡性是其显著特征。

例如，sin(x) 和 cos(x) 的周期都是2π，tan(x) 的周期是π。

三、二次函数与三角函数的组合将二次函数与三角函数进行组合，可以得到形式各异的函数。

常见的组合包括二次函数与正弦函数的乘积、二次函数与余弦函数的乘积等。

这些组合函数可以表示实际问题中的各种变化规律。

下面以几个具体例子来说明。

例一：f(x) = x²sin(x)考虑函数 f(x) = x²sin(x)，它是一个二次函数与正弦函数的乘积。

当x 取不同的值时，f(x) 的值受到 x²和 sin(x) 同时影响。

因为二次函数 x²的取值范围是非负实数，而 sin(x) 的取值范围在 [-1, 1] 之间，所以 f(x) 的值在不同区间内呈现出不同变化趋势。

例二：g(x) = (x-π)cos(x)考虑函数g(x) = (x-π)cos(x)，它是一个二次函数与余弦函数的乘积。

函数中的 (x-π) 部分对二次函数起到平移作用，使得 g(x) 的图像在 x 轴上发生左右平移。

二次函数与三角函数的复合与应用二次函数和三角函数是高中数学中的重要内容，它们在数学和实际问题中都有广泛的应用。

本文将介绍二次函数和三角函数的复合，以及它们在实际问题中的应用。

一、二次函数与三角函数的复合1. 二次函数的复合二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c都是常数且a ≠ 0。

对于二次函数f(x)，可以将其中的x用另一个函数g(x)表示，即令x = g(x)，那么将g(x)代入f(x)中，就得到了二次函数的复合形式。

例如，对于二次函数f(x) = x^2 + 2x + 1，我们可以将x用另一个函数g(x) = sin(x)来表示，即令x = sin(x)，那么将sin(x)代入f(x)中，可以得到复合函数：h(x) = f(g(x)) = (sin(x))^2 + 2sin(x) + 1。

2. 三角函数的复合三角函数是以角的度数为自变量的函数，常见的三角函数有正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。

对于三角函数f(x)，可以将其中的x用另一个函数g(x)表示，即令x = g(x)，那么将g(x)代入f(x)中，就得到了三角函数的复合形式。

例如，对于三角函数f(x) = sin(x) + cos(x)，我们可以将x用另一个函数g(x) = 2x表示，即令x = 2x，那么将2x代入f(x)中，可以得到复合函数：h(x) = f(g(x)) = sin(2x) + cos(2x)。

二、二次函数与三角函数的应用1. 物理问题中的应用二次函数和三角函数在物理问题中有广泛的应用。

例如，抛体运动中的轨迹可以用二次函数来描述，而声波的振幅可以用正弦函数来表示。

通过将二次函数和三角函数进行组合和复合，可以更好地描述和解决物理问题。

2. 经济问题中的应用二次函数和三角函数在经济问题中也有重要的应用。

例如，利润函数、成本函数和需求函数等都可以用二次函数来表示，而周期性的经济波动可以用正弦函数来描述。

高等（泰勒、定积分）放缩这种放缩其实是不难的，题目出来出去也就这么几种，这种放缩类型的题在高考中尤其受欢迎，近几年也频频出现，它有着浓厚的高等数学背景，大多跟泰勒展开和定积分有关，下面我们先简单介绍一下泰勒公式和定积分的知识。

一 在初等数学中，我们可直接认为泰勒公式是：(2)()20000000()()()()()()()...()1!2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x n '=+-+-++-特别的，取00x =，我们有(2)()2(0)(0)(0)()(0)...1!2!!n nf f f f x f x x x n '=++++下面列举常见的泰勒展开式：()()()()21213521...1!2!!1sin ...3!5!21!nxn n n n x x x e o x n x x x x x o x n --=+++++-=-++++- ()()()224211cos 1...2!4!2!nn n x x x x o x n +-=-++++ ()()()()35512312tan 31511ln 1...123nn n x x x x o x x x x x x o x n+=++++=-+++-+ ()211...1n n x x x o x x=+++++- 上述泰勒展开式是用于函数放缩的有力工具，可以将一切难看的函数（sin,cos,ln 等）转化为一元多项式，便于导数求解。

定积分其实从几何图形上理解就是求面积，比如求函数2()f x x =的图像与x 轴从1到3围成的图形的面积（如下图）阴影部分的面积S 3233331111180313333x dx x ===⨯-⨯=⎰。

积分的运算就相当于导数的逆运算，322311,33x x x x 求导就是的原函数就是，所以放缩中就会利用构造图形比较面积大小来出题，这时它的背景就是定积分，著名的2003年江苏高考压轴题就是典型的例子，后面会有介绍。

二次函数与三角函数的联立在数学学科中，二次函数和三角函数是两个重要的分支，在解决实际问题时经常会遇到它们的联立方程。

本文将介绍二次函数和三角函数的基本概念，并通过一些例子探讨如何联立这两种函数来解决问题。

一、二次函数的基本概念二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是实数，且a ≠ 0。

其中，a决定了抛物线的开口方向，b决定了抛物线的位置，c则是抛物线与y轴的交点。

二次函数在代数学中有很多应用，如描述自由落体运动的物理规律、分析经济模型中的成本和利润等。

二、三角函数的基本概念三角函数是以角作为自变量的函数，主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)是周期函数，其周期为2π，而正切函数tan(x)则是无穷函数。

三角函数在几何学、物理学、电学以及信号处理等领域有广泛的应用。

三、二次函数与三角函数的联立在实际问题中，我们经常遇到需要联立二次函数和三角函数来解决的方程。

以下是一些例子：例一：求解抛物线与正弦函数的交点已知二次函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1和正弦函数g(x) = sin(x)，求解方程f(x) = g(x)的解。

解：将二次函数和正弦函数的表达式代入方程中，得到2x^2 - 3x +1 = sin(x)。

这个方程可以通过图像的相交点或数值逼近的方法来求解。

例二：求解抛物线与余弦函数的交点已知二次函数f(x) = -x^2 + 4x - 2和余弦函数g(x) = cos(x)，求解方程f(x) = g(x)的解。

解：将二次函数和余弦函数的表达式代入方程中，得到-x^2 + 4x - 2 = cos(x)。

通过进一步的变形和数值逼近，我们可以求得该方程的解。

通过这两个例子可以看出，在联立二次函数和三角函数时，可以根据具体的问题将两者的表达式代入方程中，然后通过数值逼近或图像相交的方法来求解方程。

四、结论二次函数和三角函数在数学中是重要的分支，联立这两种函数可以帮助我们解决实际问题。

常用放缩不等式必备篇，进阶篇，拓展篇一：.必备篇(解析)①指数“0”线1.e x ≥x +1，(x ∈R )证明：f (x )=e x -x -1，令f (x )=e x -1=0，∴x 0=0∴f (x )≥f (0)=0∴e x ≥x +1,x ∈R 常见变式：Ⅰ.x n e x =e x +nlnx ≥x +nlnx +1，（x 0+nlnx 0=0)Ⅱ.e xxn =e x -nlnx ≥x -nlnx +1，(x 0-nlnx 0=0)Ⅲ.x ≥ln (x +1)，证明：①式同取对数PS ：千万注意Ⅰ和Ⅱ的取等条件！！！例如：e x x=e x -lnx ≥x -lnx +1，(经典的错误，标准的零分)x -lnx 取不到0正确：e xx =e (e x -lnx -1)≥e (x -lnx )，当x =1时：e x ≥ex2.xe x ≥x ，(x ∈R )证明：f (x )=xe x -x =x (e x -1)≥0，∴xe x ≥x ②指数“1”线1.e x ≥ex ，(x ∈R )证明：f (x )=e x -ex ，f (x )=e x -e =0，∴x 0=1∴f (x )≥f (1)=0，即e x ≥ex ，x ∈R 2.xe x ≥2ex -e ，(x ∈R )mst 涛哥数学证明：f (x )=xe x -2ex +e ，f (x )=(x +1)e x -2e∴f (x )在x ∈(-∞,1)上单调递减，在x ∈(1,+∞)上单调递增∴f (x )≥f (1)=0，即xe x ≥2ex -e ，x ∈R③对数“1”线：x 2-x ≥xlnx ≥x -1≥lnx ≥1-1x ≥lnxx，(x >0，x 0=1)1.x -1≥lnx证明：f (x )=x -1-lnx ，令f (x )=x -1x=0，∴x 0=1∴f (x )≥f (1)=0，∴x -1≥lnx ，x ∈(0，+∞)2.xlnx ≥x -1证明：：f (x )=xlnx -x +1，令f (x )=lnx =0，∴x 0=1∴f (x )≥f (1)=0，∴xlnx ≥x -1，x ∈(0，+∞)3.x 2-x ≥xlnx ，证明：1式左右同乘x4.1-1x≥lnx x ，证明：1式左右同除x 5.lnx ≥1-1x，证明：2式左右同除x④：飘带函数：12(x -1x )≤lnx ≤2(x -1)x +1，0<x ≤12(x -1)x +1≤lnx ≤12(x -1x)，x ≥1 PS :谐音记忆,12(x -1x)为飘带函数，x >1时，就飘了,所以最大考试证明：①：令f (x )=lnx -2(x -1)x +1，∴f(x )=1x -4x (x +1)2=(x -1)2x (x +1)2≥0∴f (x )在x ∈(0，+∞)上单调递增，∵f (1)=0∴当0<x ≤1时，f (x )≤f (1)=0，即lnx ≤2(x -1)x +1∴当x ≥1时，f (x )≥f (1)=0，即lnx ≥2(x -1)x +1∴原式得证！mst 涛哥数学②：令g (x )=lnx -12(x -1x )，∴g(x )=-(x -1)22x2≤0∴g (x )在x ∈(0，+∞)上单调递减，∵f (1)=0∴当0<x ≤1时，f (x )≥f (1)=0，即lnx ≥12(x -1x )∴当x ≥1时，f (x )≤f (1)=0，即lnx ≤12(x -1x )∴原式得证！⑤：对数均值不等式：x 1x 2<x 2-x 1lnx 2-lnx 1<x 1+x 221.左式证明：不妨设x 2>x 1，x 2x 1>1，由飘带函数得(过程需读者自证)∵lnt <12(t -1t )，t >1，∴ln x 2x 1<12(x 2x 1-x 1x 2)∴lnx 2-lnx 1<x 2x 1-x 1x 2=x 2-x 1x 1x 2∴x 1x 2<x 2-x 1lnx 2-lnx 1，∴原式得证！2.右式证明：不妨设x 2>x 1，x 2x 1>1，由飘带函数得(过程需读者自证)∵lnt>2(t-1)t+1，t>1，∴lnx2x1>2(x2x1-1)x2x1+1=2(x2-x1)x2+x1∴x2-x1lnx2-lnx1<x1+x22∴原式得证！⑥：指数均值不等式：e m+n2<em-e nm-n<e m+e n2证明：由对数均值不等式得x1x2<x2-x1lnx2-lnx1<x1+x22∴令x2=e m，x1=e n，m>n∴e m e n<e m-e nlne m-lne n <e m+e n2∴e m+n2<e m-e nm-n<e m+e n2，∴原式得证！对均：21a+1b<ab<a-blna-lnb<a+b2<a2+b22指均：e m+n2<em-e nm-n<e m+e n2二：进阶篇(120+)由带有佩亚诺余项(o (x n ))的麦克劳林(Maclaurin)公式:f (x )=f (0)+f (0)1!x +f 0 2!x 2+⋯⋯+f n (0)n !x n+o (x n )得到以mst 涛哥数学下常用函数的展开式e x=1+x +x 22+x 36+⋯⋯⋯⋯+x n n !+o (x n)ln (x +1)=x -x 22+x 33+⋯⋯+(-1)n -1x nn+o (x n )sinx =x -x 36+x 5120⋯⋯⋯⋯+(-1)n -1x 2n -1(2n -1)!+o (x 2n -1)cosx =1-x 22+x 424+⋯⋯⋯⋯+(-1)n x 2n (2n )!+o (x 2n)tanx =x +x 33+x 515⋯⋯⋯⋯⋯+o (x 5)(1+x )a=1+ax +a (a -1)2x 2+⋯⋯+a !n !(n -1)!x n +o (x n )PS ：记忆和注意1.sinx 是奇函数，只有奇次幂；cosx 是偶函数，只有偶次幂，ln (x +1)分母无阶乘2.建议读者最多只需掌握，指对前三项，三角前两项，无需背通式3.o (x n )：x →0时比x n 高阶的无穷小，简单理解为展开式与原函数的误差量即可①指数“0”线1.e x≥x 22+x +1，(x >0)证明：f (x )=e x-x 22-x -1,f (x )=e x -x -1≥0∴当x ≤0时，f (x )≤f (0)=0，即e x≤x 22+x +1∴当x ≥0时，f (x )≥f (0)=0，即e x≥x 22+x +12.e x -e -x ≥2x ，(x >0)证明：f (x )=e x -e -x -2x ，f (x )=e x +e -x -2≥2e x e -x -2=0，∴x 0=0∴f (x )在x ∈R 上单调递增，f (0)=0∴当x ≤0时，f (x )≤f (0)=0，即e x -e -x ≤2x ∴当x ≥0时，f (x )≥f (0)=0，即e x -e -x ≥2x3.e x+e-x≥x2+2，(x∈R)证明：f(x)=e x+e-x-x2-2,∵f x =e x-e-x-2x，f (0)=0由2得∴f(x)在x∈(-∞,0)上单调递减，在x∈(0,+∞)上单调递增∴f(x)≥f(0)=0，即e x+e-x≥x2+24.e x-e-x≥13x3+2x，(x>0)证明：f(x)=e x-e-x-13x3-2x，∵f (x)=e x+e-x-x2-2由3得∴f(x)在x∈R上单调递增，f0 =0∴当x≤0时，f(x)≤f(0)=0，即e x-e-x≤13x3+2x ∴当x≥0时，f(x)≥f(0)=0，即e x-e-x≥13x3+2x PS:利用泰勒快速推导e x≥1+x，x∈Re x≥1+x+x22,x≥0e x≥1+x+x22+x36,x∈R1.e x≥1+x+x22e-x≤1-x+x22e x-e-x≥2x，x≥02.e x≥1+x+x22+x36e-x≥1-x+x22-x36e x+e-x≥x2+2，x∈R3.e x≥1+x+x22+x36+x424e-x≤1-x+x22-x36+x424e x-e-x≥x33+2x，x≥0②：对数“0”线1.x-x22≤ln(x+1)≤x，(x≥0)证明：f(x)=ln(x+1)-x+x22，f(x)=1x+1+x+1-2≥0(基本不等式)∴f(x)在x∈(-1，+∞)上单调递增，∵f(1)=0∴当-1<x≤0时，f(x)≤f(0)=0，即ln(x+1)≤x-x2 2∴当x≥0时，f(x)≥f(1)=0，即ln(x+1)≥x-x22③：指数“1”线1.e x≥ex+(x-1)2，(x≥0，x=0/x=1)证明：f(x)=e x-ex-(x-1)2，f (x)=e x-e-2(x-1)令f (x)=e x-2=0，∴x0=ln2∴f (x)在x∈(-∞，ln2)上单调递减，在x∈(ln2,+∞)上单调递增∵f (0)=3-e>0，f(ln2)<f(1)=0∴∃x1∈(0,ln2)，x2=1，使得f (x1)=f (x2)=0∴f(x)在x∈(-∞,x1)，(1,+∞)上单调递增，在x∈(x1,1)上单调递减∴当x≥0时，f(x)≥0，即e x≥ex+(x-1)2∴当x≤0时，f(x)≤0，即e x≤ex+(x-1)22.e x≥ex+e2(x-1)2,(x≥1) e x≥e2x2+e2，(x≥1)证明：f(x)=e x-ex-e2(x-1)2，f (x)=e x-ex≥0，(必备篇)∴f(x)在x∈R上单调递增，∵f(1)=0∴当x≥1时，f(x)≥f(1)=0，即e x≥ex+e2(x-1)2∴当x≤1时，f(x)≤f(x)=0，即e x≤ex+e2(x-1)23.(x-1)e x≥12x2-1证明：f(x)=(x-1)e x-12x2+1，f (x)=x(e x-1)≥0，(必备篇)∴f(x)在x∈R上单调递增，∵f(0)=0∴当x≥0时，f(x)≥f(0)=0，即(x-1)e x≥12x2-1∴当x≤0时，f(x)≤f(0)=0，即(x-1)e x≥12x2-1飘带函数找点1已知函数：f (x )=lnx -ax -1x +1，讨论函数f (x )的零点个数，并说明理由【解析】PS ：飘带函数隐藏性质：f (1x )=-lnx -a1-x 1+x ，∴f (x )+f (1x)=0，即两零点之积为1∵f(x )=1x -2a (x +1)2=x 2+(2-2a )x +1x (x +1)2设函数f (x )的极值点为x 1，x 2，零点为x 3，x 4,x 5①当a ≤0时∴f (x )在x ∈(0，+∞)上单调递增，∵f (1)=0，∴f (x )有且仅有一个零点②当0<a ≤2时∵g (x )=x 2+(2-2a )x +1，∴∆=4a (a -2)≤0∴f (x )在x ∈(0，+∞)上单调递增，∵f (1)=0，∴f (x )有且仅有一个零点③当a >2时，x 1x 2=1x 1+x 2=2a -2∆=4a (a -2)≥0∴x 1∈(0，1)，x 2∈(1，+∞)∴f (x )在x ∈(0，x 1)和(x 2，+∞)上单调递增，在x ∈(x 1，x 2)上单调递减.第一个：∵f (1)=0，∴x 4=1(显零点)第二个：∵f (e a)=a -a e a -1e a+1=2a e a +1>0,∵e a >1，∴存在唯一零点x 5∈(x 2，e a )，使得f (x 5)=0第三个：方法1：∵f (1e a )=-a -a 1-e a 1+e a =-2a 1+e a <0，∵1ea <1∴存在唯一零点x 3∈(1ea ，x 1)，使得f (x 3)=0方法2：∵x 3x 5=1∴存在唯一零点x 3∈(1e a，x 1)，使得f (x 3)=0∴综上当a ≤2时，f (x )存在唯一零点当a >2时，f (x )存在三个零点x 4(1,0)x 11e ax 3x 2x 5e a飘带函数找点2已知函数f (x )=x -a (x -1x),ln 讨论函数f (x )的零点个数，并说明理由【解析】PS 1：飘带函数隐藏性质：f (1x )=-x ln -a (1x -x )，∴f (x )+f (1x )=0，即两零点之积为1PS 2:飘带变形x ln ≤x -1x ，x ∈(1，+∞)∵f(x )=1x -a (1+1x 2)=-ax 2+x -a x 2设函数f (x )的极值点x 1，x 2，零点为x 3，x 4，x 5①：当a ≤0时f (x )在x ∈(0，+∞)上单调递增，∵f (1)=0，∴f (x )有且仅有一个零点②：当a ≥12时，△=1-4a 2≤0f (x )在x ∈(0，+∞)上单调递减，∵f (1)=0，∴f (x )有且仅有一个零点③：当0<a <12时，x 1x 2=1x 1+x 2=1a ∆=1-4a 2>0 ∴x 1∈(0，1)，x 2∈(1，+∞)∴f (x )在x ∈(0，x 1)和(x 2，+∞)上单调递减，在x ∈(x 1，x 2)上单调递增.第一个：∵f (1)=0，∴x 4=1(显零点)第二个：∴f (x )<(x -1)(1x-a (x +1)x )∴f (1a 2-1)<0，∵1a2-1>1∴存在唯一零点x 5∈(x 2，1-a 2a2)，使得f (x 5)=0第三个：∵x 3x 5=1∴存在唯一零点x 3∈(a 21-a 2，x 1)，使得f (x 3)=0综上当a ≤0或a >0时，f (x )存在唯一零点当0<a <12时，f (x )存在三个零点x 4(1,0)x 2x 1x 51-a 2a 2x 3a 21-a 2④：三角放缩1正弦：x≥sinx≥x-x36,(x>0)左式证明：f(x)=sinx-x，f (x)=cosx-1≤0，f (x0)=0∴f(x)在x∈R上单调递减∴当x≤0时，f(x)≥f(0)=0，即sinx≥x∴当x≥0时，f(x)≤f(0)=0，即sinx≤x右式证明：g(x)=sinx-x+x36，g(x)=cosx-1+x22，且g(x0)=0∵g (x)=x-sinx，由左式得∴g (x)在x∈(-∞，0)上单调递减，在x∈(0，+∞)上单调递增∴g(x)在x∈mst涛哥数学R上单调递增∴当x≤0时，g(x)≤g(0)=0，即sinx≤x-x36∴当x≥0时，g(x)≥g(0)=0，即sinx≥x-x362余弦：1-x22≤cosx≤1，(x∈R)左式证明：f(x)=cosx-1+x22，f(x)=x-sinx∵由1式得f(x)在x∈(-∞，0)上单调递减，在x∈(0，+∞)上单调递增∴f(x)≥f(0)=0，即cosx≥1-x2 23正切：tanx≥x，(0≤x<π2)证明：f(x)=tanx-x，∴f (x)=1cos2x-1≥0∴f(x)在x∈R上单调递增∴当-π2<x≤0时，f(x)≤f(0)=0，即tanx≤x ∴当0≤x<π2时，f(x)≥f(0)=0，即tanx≥x4正切：tanx≥x+13x3，(0≤x<π2)证明：f(x)=tanx-x-x33，f(x)=1cos2x-1-x2=tan2x-x2≥0∴f(x)在x∈(-π2，π2)上单调递增∴当-π2<x≤0时，f(x)≤f(0)=0，即tanx≤x+13x3∴当0≤x<π2时，f(x)≥f(0)=0，即tanx≥x+13x3 PS：tan2x+1=sec2x=1cos2x常见变式：1.sinx≥2πx，(0≤x≤π2)证明：(小题)几何作图法：割线2.sinx-xcosx≥0，(0≤x≤π2)证明：f(x)=sinx-xcosx=cosx tanx-x由3得：tanx~x，∵x∈-π2,π2时，cosx≥0∴当0≤x≤π2时，f(x)≥f(0)=0，即sinx-xcosx≥0∴当-π2≤x≤0时，f(x)≤f(0)=0，即sinx-xcosx≤03.xcosx+2x-3sinx≥0，(x≥0)证明：f(x)=x3-sinx2+cosx，f(x)=(1-cosx)23(2+cosx)2≥0∴f(x)在x∈R上单调递增，∵f(0)=0∴当x≤0时，f(x)≤f(0)=0，即xcosx+2x-3sinx≤0∴当x≥0时，f(x)≥f(0)=0，即xcosx+2x-3sinx≥0PS：x3是sinx2+cosx在0处的切线(π2,1)y=sinxl:y=2πxe x -e -x 2e x +e x 2e x 2e -x 2-e x 2拔高篇(130-140)一.130以下无需掌握：1.双曲正余切双曲正弦函数：shx =e x -e -x 2,奇函数双曲余弦函数：chx =e x +e -x 2,偶函数双曲正切函数：thx =shx chx =e x -e -x e x +e -x PS :有以下常用结论：1.th 2x =1-1ch 2x ，ch 2x -sh 2x =12.(shx ) =chx ，(chx ) =shx ，(thx ) =1ch 2x3.shx ，chx ，在第一象限无限趋近于e x 2，无渐进线4.sh (x +y )=shxchy +chxshy sh (x -y )=shxchy -chxshysh (2x)=2shxchx ch (x +y )=chxchy +shxshy ch (x -y )=chxchy -shxshy ch (2x )=ch 2x +sh 2x【解析】：由结论易知A 正确，B 错误,D 错误;C :设A (t ，e t +e -t 2)，B (t ，e t -e -t 2)，∴AB =1et 为减函数，∴C 正确；综上AC 正确2.x-1x<lnx≤4(x-1)x+1,0<x≤1 4(x-1)x+1<lnx<x-1x,x>1证明：将x→x代入飘带放缩即可3.(2-x)e x≥2+x，x≤0(2-x)e x<2+x，x>0证明：将x→e x代入飘带放缩即可3.(140以下无需掌握)1.lnx<(x-1)(x+5)4x+2，(x>0)证明：f(x)=lnx-(x-1)(x+5)4x+2，∴f(x)=1x-x2+x+7(2x+1)2=(1-x)3x(2x+1)2∴f(x)在x∈(0，1)上单调递增，在x∈(1，+∞)上单调递减∴f(x)≤f(1)=0，即lnx<(x-1)(x+5)4x+2，(x>0)2.lnx≥3x2-3x2+4x+1，(x≥1)证明：f(x)=lnx-3x2-3x2+4x+1，f(x)=(x-1)4x(x2+4x+1)2≥0∴f(x)在x>0上单调递增，∵f(1)=0∴当x≥1时，f(x)≥f(1)=0，即lnx≥3x2-3x2+4x+1 3.e x≥ax2+1，x≥0，(a≈1.5441)通常取a=32，即ex≥32x2+14..ln1+x1-x≥2x+23x3，x≥0证明：∵ln(1+x)≥x-x22+x33-x44，ln(1-x)≤-x-x22-x33-x44∴ln(1+x)-ln(1-x)=ln1+x1-x≥2x+23x3，x≥0帕德逼近：。

二次函数与三角函数的关系与计算在数学中，二次函数和三角函数是常见的数学函数类型。

二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0，而三角函数是巧妙地描述角度与弧度之间关系的函数。

本文将探讨二次函数与三角函数之间的关系，并介绍它们的计算方法。

二次函数与三角函数之间的关系可以通过图像来理解。

首先，我们来观察二次函数的图像。

对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c来说，它的图像是一个抛物线。

抛物线的开口方向（向上还是向下）取决于a的正负。

当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

b和c则决定了抛物线的位置和形状。

接下来，我们来看三角函数的图像。

常见的三角函数有正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。

这些函数的图像是周期性的，其周期为2π（或360°）。

在图像上，正弦函数和余弦函数的波形是连续的曲线，而正切函数则具有无穷多个趋近于无穷大的垂直渐近线。

关于二次函数和三角函数之间的关系，我们可以发现一些有趣的现象。

首先，我们可以通过将变量x替换为角度θ来将二次函数与三角函数联系起来。

例如，如果我们将x替换为θ，并选择合适的常数a、b、c，那么二次函数y = ax^2 + bx + c可以被转化为三角函数的表达式，如y = a sin^2(θ) + b sin(θ) + c。

此外，二次函数和三角函数之间还存在一些近似关系。

例如，当抛物线的曲率比较缓和时，它的形状可能与正弦函数或余弦函数的图像相似。

而当抛物线的曲率比较陡峭时，它的形状可能与正切函数的图像相似。

在计算二次函数和三角函数时，我们通常需要借助数学工具和公式。

对于二次函数，我们可以使用求根公式来求解其零点，从而确定函数的交点。

对于三角函数，我们可以使用特定的数学公式来计算其值，如正弦函数和余弦函数的和差角公式、倍角公式，以及正切函数的倒数公式等。

导数三角放缩
我们要证明一个关于三角函数的放缩不等式，具体来说，我们要证明：
当0 < x < π/2时，有sin x < x < tan x。

首先，我们需要理解导数在数学分析中的作用。

导数描述了一个函数在某一点的切线的斜率，也描述了函数值随自变量变化的速率。

对于函数f(x)，其导数f'(x)描述了f(x)在x点的切线斜率。

如果f'(x) > 0，那么函数在该区间内是增函数；如果f'(x) < 0，那么函数在该区间内是减函数。

现在，我们来分析题目中的三个函数：sin x, x 和tan x。

1. 对于sin x，其导数为cos x。

在0 < x < π/2的区间内，cos x < 1，所以sin x是增函数。

2. 对于x，其导数始终为1，所以在任何区间内都是增函数。

3. 对于tan x，其导数为sec^2 x = 1 + tan^2 x。

在0 < x < π/2的区间内，tan x > 0，所以sec^2 x > 1，tan x是增函数。

由于这三个函数在0 < x < π/2的区间内都是增函数，且tan x
和x在该区间内始终大于sin x，所以有sin x < x < tan x。

二次函数与三角函数的复合在数学学科中，二次函数和三角函数都是非常重要的概念。

二次函数可以描述抛物线的形状和性质，而三角函数则用来研究角度和周期性现象。

本文将探讨二次函数与三角函数的复合，即将二次函数和三角函数相互组合运用。

一、二次函数的基本形式首先，我们来回顾一下二次函数的基本形式：$$f(x) = ax^2 + bx + c$$其中，$a$、$b$和$c$为常数，且$a \neq 0$。

这样的函数图像是一个抛物线，开口的方向由二次系数$a$的正负决定。

二、三角函数的基本形式接下来，我们来了解一下三角函数的基本形式。

常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。

以正弦函数为例，其基本形式为：$$y = A\sin{Bx + C}$$其中，$A$、$B$和$C$为常数。

正弦函数的图像呈现出周期性变化，周期为$2\pi/B$，振幅为$A$。

三、二次函数与正弦函数的复合现在我们考虑将二次函数与正弦函数进行复合运算。

我们可以将正弦函数的自变量$Bx + C$替换为二次函数$ax^2 + bx + c$，得到复合函数的形式：$$f(x) = A\sin{(ax^2 + bx + c)}$$这样的复合函数图像会在抛物线上进行周期性振动。

具体来说，当二次函数的抛物线开口向上时，正弦函数的振动将在抛物线上方进行；当抛物线开口向下时，正弦函数的振动将在抛物线下方进行。

四、二次函数与余弦函数的复合同样地，我们也可以将二次函数与余弦函数进行复合运算。

将余弦函数的自变量$Bx + C$替换为二次函数$ax^2 + bx + c$，得到复合函数的形式：$$f(x) = A\cos{(ax^2 + bx + c)}$$这样的复合函数图像同样会在抛物线上进行周期性变化。

但与二次函数与正弦函数的复合不同的是，余弦函数的振动相位与抛物线的开口方向相关。

具体来说，当抛物线开口向上时，余弦函数的振动相位会向右移动；当抛物线开口向下时，余弦函数的振动相位会向左移动。

For personal use only in study and research; not forcommercial use(高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1.⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>.将这些不等式简单变形如下： exx ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。

例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(⋅≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。

放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。

第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭， )ln 1x x<>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥->（放缩成类反比例函数）1ln 1x x ≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， （放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤≤-，()10x e x x<-<， （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++， 第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x =-，ln y x x =. 拓展阅读：为何高考中总是考这些超越函数呢？和x e x ln 因为高考命题专家是大学老师，他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。

二次函数与三角函数的关系二次函数和三角函数在数学中都是非常重要的概念，它们在许多数学问题和实际应用中起着重要的作用。

本文将探讨二次函数与三角函数之间的关系，并分析它们在数学和物理中的应用。

一、二次函数的定义和性质二次函数是一个具有形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a ≠ 0。

二次函数的图像通常是一个抛物线，它的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。

二次函数的性质包括：1. 对称性：二次函数关于抛物线的顶点具有轴对称性，即f(x) = f(-x)。

2. 开口方向：a的正负决定了二次函数的开口方向，当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

3. 零点和判别式：二次函数的零点是方程ax^2 + bx + c = 0的解，判别式b^2 - 4ac可以确定二次函数的零点情况。

二、三角函数的定义和性质三角函数包括正弦函数(sin)，余弦函数(cos)，正切函数(tan)等。

它们是以角度或弧度作为自变量的函数。

三角函数的定义和性质如下：1. 正弦函数(sin)：在直角三角形中，正弦函数表示的是对边与斜边的比值，即sinθ = opp osite/hypotenuse。

2. 余弦函数(cos)：在直角三角形中，余弦函数表示的是邻边与斜边的比值，即cosθ = adjacent/hypotenuse。

3. 正切函数(tan)：在直角三角形中，正切函数表示的是对边与邻边的比值，即tanθ = opposite/adjacent。

4. 周期性：三角函数都具有周期性，其中正弦函数和余弦函数的周期是2π，正切函数的周期是π。

三、二次函数和三角函数之间的关系1. 正弦函数与二次函数的关系：正弦函数的图像可以用二次函数来逼近，具体地，可以使用形式为f(x) = a*sin(bx + c) + d的二次函数来逼近正弦函数的周期部分。

其中，a决定了振幅，b影响了周期，c表示水平方向的平移，d表示垂直方向的平移。

二次函数与三角函数的结合在数学领域，二次函数与三角函数的结合是一种重要的数学概念，它们的结合不仅在理论上具有丰富的数学意义，而且在实际应用中也得到了广泛的应用。

本文将介绍二次函数与三角函数的结合及其应用。

一、二次函数的基本概念二次函数是指形式为y = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a ≠ 0。

二次函数的图像呈现抛物线的形状，其顶点为最值点，即抛物线的最高点或最低点。

在二次函数中，a决定了抛物线的开口方向，a > 0时开口向上，a < 0时开口向下；b决定了抛物线在x轴方向的平移，正值向左平移，负值向右平移；c则决定了抛物线在y轴方向的平移，正值向上平移，负值向下平移。

二、三角函数的基本概念三角函数是指根据角的大小关系得出的函数，其中最常见的三角函数是正弦函数、余弦函数和正切函数。

三角函数的定义涉及到直角三角形中的比值关系，它们常用来描述角度与线段之间的关系。

正弦函数sinθ表示一个角的对边与斜边的比值；余弦函数cosθ表示一个角的邻边与斜边的比值；正切函数tanθ表示一个角的对边与邻边的比值。

三、二次函数与三角函数的结合二次函数与三角函数的结合主要体现在二次函数的系数或变量上与三角函数的关系。

例如，可以将二次函数的自变量或系数与三角函数的角度进行结合，得到新的函数形式。

一种常见的结合方式是将二次函数的自变量与三角函数的角度相乘。

例如，考虑函数y = x²sinx，其中x为自变量，sinx为三角函数。

这种结合方式在描述某些物理现象或周期性变化时具有重要的意义。

另一种常见的结合方式是将二次函数的系数与三角函数的角度相乘。

例如，考虑函数y = asin(2x) + b，其中a和b为常数，sin(2x)为三角函数。

通过改变a和b的取值，可以对函数的振幅和平移进行调整，从而得到不同的图像。

四、二次函数与三角函数的应用二次函数与三角函数的结合在各个领域都有广泛的应用。

二次函数与三角函数的复合复合函数是数学中的一种重要概念，指的是将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

在数学中，二次函数和三角函数是常见的函数类型，它们的复合也是一个有趣且值得探讨的话题。

本文将简要介绍二次函数与三角函数的复合，并探讨其在数学领域的应用。

一、简介二次函数是函数表达式中含有二次项的函数，一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。

而三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)等。

二、二次函数与三角函数的复合可以将二次函数的输出作为三角函数的输入，如将二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的输出作为sin或cos函数的输入。

这种复合可以用符号表示为sin(f(x))或cos(f(x))。

同样，也可以将三角函数的输出作为二次函数的输入，如将sin(x)或cos(x)的输出作为二次函数g(x) = ax^2 + bx + c的输入，表示为g(sin(x))或g(cos(x))。

三、复合函数的图像通过绘制复合函数的图像，可以更直观地理解二次函数与三角函数的复合。

以sin(f(x))为例，我们可以首先绘制出二次函数f(x)的图像，然后将其输出作为sin函数的输入，绘制出sin(f(x))的图像。

同样地，对于g(sin(x))，我们可以首先绘制sin(x)的图像，然后将其输出作为二次函数g(x)的输入，绘制出g(sin(x))的图像。

四、应用领域二次函数与三角函数的复合在数学领域有着广泛的应用。

一方面，在图像处理、计算机图形学等领域中，利用复合函数可以对图像进行变换和处理，从而达到特定的效果。

另一方面，在物理学、工程学等实际应用中，复合函数可以描述出现在自然界和人工系统中的复杂现象，如振动、波动等。

五、总结通过本文的介绍，我们了解到二次函数与三角函数的复合是一种常见的数学方法。

复合函数的概念使得我们可以将不同类型的函数联系起来，拓展了数学的应用领域。

二次函数的特殊情况与变化规律二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在各个领域有着广泛的应用。

在二次函数的研究中，我们发现了一些特殊情况和变化规律，它们对于我们理解和应用二次函数都起到了重要的指导作用。

一、特殊情况1. 常数项为0的情况当二次函数的常数项为0时，我们可以将其表示为f(x) = ax²，其中a是一个实数。

这种情况下，二次函数经过原点(0,0)，其图像关于原点对称。

并且，如果a大于0，则二次函数的图像开口向上；如果a小于0，则二次函数的图像开口向下。

这个特殊情况在实际问题中常常出现。

例如，当我们研究抛物线的轨迹时，如果不考虑任何外力因素，那么抛物线的形状就可以用常数项为0的二次函数来描述。

2. 线性函数的情况线性函数是一次函数的特殊情况，它在二次函数中也有一种特殊的表示形式。

当二次函数的系数a为0时，我们可以将其表示为f(x) = bx，其中b是一个实数。

这样的二次函数实际上就是一条直线。

线性函数的特殊情况在解决一些简单的数学问题时非常有用。

例如，在一个简单的物理问题中，若要求物体在匀速直线运动中的位移与时间的关系，我们可以用线性函数来描述。

二、变化规律1. 平移变化在二次函数的研究中，我们经常需要对其进行平移变化。

平移变化可以让二次函数的图像在平面上上下左右移动，而不改变其形状。

对于一般的二次函数f(x) = ax² + bx + c，平移变化可以表示为f(x - h) = a(x - h)² + b(x - h) + c，其中h是一个实数。

当h大于0时，表示二次函数图像向右平移；当h小于0时，表示二次函数图像向左平移。

平移变化能够帮助我们更好地理解二次函数的图像特征。

例如，在研究抛物线的轨迹时，我们可以通过平移变化将抛物线的顶点平移到坐标原点，这样可以更方便地进行计算和分析。

2. 缩放变化二次函数的缩放变化是改变其图像的形状和大小，但不改变其顶点的位置和开口的方向。

二次函数的性质与图像变换二次函数是高中数学中重要的一个概念，它在代数学和几何学中都有广泛的应用。

二次函数的性质与图像变换是我们对二次函数的深入了解的重要方面。

本文将从二次函数的性质以及图像变换两个方面来展开讨论。

首先，我们来了解二次函数的性质。

二次函数的一般形式可以表示为：f(x) =ax^2 + bx + c，其中a，b，c分别为实数，且a ≠ 0。

二次函数的性质可以总结为以下几点：1. 对称性：二次函数的图像关于抛物线的顶点对称。

这意味着如果(x, y)是抛物线上的一个点，那么(2h - x, y)也是抛物线上的一个点，其中h为抛物线的顶点的横坐标。

2. 奇偶性：二次函数关于y轴是偶函数，即满足f(-x) = f(x)；关于x轴是奇函数，即满足f(-x) = -f(x)。

这个性质可以从二次函数的图像中看出来。

3. 零点：二次函数的零点是使得函数值为0的x值。

可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0来求得二次函数的零点。

当判别式D = b^2 - 4ac为正时，二次函数有两个不相等的实根；当D = 0时，二次函数有两个相等的实根；当D为负时，二次函数没有实根。

4. 极值：二次函数的顶点是函数的极值点。

当二次函数的导数为0时，即f'(x) = 0，解这个方程可以得到函数的极值点。

通过了解这些性质，我们可以更好地理解二次函数的特点，进一步应用于实际问题的解决中。

其次，我们来讨论二次函数的图像变换。

二次函数的图像可以通过改变系数a，b，c来进行平移、伸缩、翻转等操作。

1. 平移：二次函数的图像可以沿x轴和y轴进行平移。

当抛物线的顶点的横坐标加上一个常数h时，抛物线向左移动h个单位；当抛物线的顶点的纵坐标加上一个常数k时，抛物线向上移动k个单位。

2. 伸缩：二次函数的图像可以沿x轴和y轴进行伸缩。

当系数a的绝对值增大时，抛物线变得更加狭长；当系数a的绝对值减小时，抛物线变得更加扁平。

初中数学知识归纳二次函数与三角函数的像和性质在初中数学中，我们学习了很多数学知识，其中包括二次函数与三角函数。

本文将对二次函数与三角函数的像和性质进行归纳整理，并介绍它们在数学中的应用。

一、二次函数的像和性质二次函数是一种形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数且 a ≠ 0。

二次函数的图象是一条抛物线，其像和性质有以下几点：1. 抛物线的开口方向当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

2. 抛物线的顶点抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中-b/2a为抛物线的对称轴的横坐标。

3. 对称轴抛物线的对称轴是一条垂直于x轴的直线，其方程为x = -b/2a。

4. 零点二次函数的零点即为方程ax^2 + bx + c = 0的解，可以通过求根公式或配方法求得。

5. 函数值的正负性当a大于0时，抛物线在顶点两侧函数值为正；当a小于0时，抛物线在顶点两侧函数值为负。

6. 函数的增减性当a大于0时，函数在对称轴的左侧递增，在对称轴的右侧递减；当a小于0时，函数在对称轴的左侧递减，在对称轴的右侧递增。

二、三角函数的像和性质三角函数是描述角度和关联边之间的关系的函数，常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。

以下是它们的像和性质：1. 正弦函数的定义域和值域正弦函数sin(x)的定义域是整个实数集，值域在[-1, 1]之间。

2. 正弦函数的图象正弦函数的图象是一条连续的曲线，周期为2π。

3. 余弦函数的定义域和值域余弦函数cos(x)的定义域是整个实数集，值域在[-1, 1]之间。

4. 余弦函数的图象余弦函数的图象也是一条连续的曲线，周期为2π，与正弦函数的图象相位差为π/2。

5. 正切函数的定义域和值域正切函数tan(x)的定义域是除去所有使得cos(x)等于0的点，其余全体实数，值域是整个实数集。

6. 正切函数的图象正切函数的图象也是一条连续的曲线，其周期为π，每个周期内都有一个渐近线。

高中导数放缩常用公式及证明
导数放缩常用公式是：ln(1+x)0，sinx0。

导数是函数的局部性质。

一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。

如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

导数也叫导函数值。

又名微商，是微积分中的重要基础概念。

当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。

二次函数像压缩二次函数是高中数学中的重要内容之一，是一条抛物线的图像。

二次函数的表达式为y=a(x-h)²+k，其中a、h、k是给定的常数，a决定了抛物线的开口方向和大小，h和k决定了抛物线的平移。

在二次函数中，压缩是指将抛物线的图像进行变换，使其在x轴上的宽度变窄，而高度保持不变。

下面我们将详细讨论如何对二次函数进行压缩。

首先，我们来考虑a的影响。

当a的绝对值大于1时，图像将在x轴上压缩，而当a的绝对值小于1时，图像将在x轴上拉伸。

假设我们有两个二次函数y₁=a₁(x-h)²+k₁和y₂=a₂(x-h)²+k₂，其中|a₁|>|a₂|。

比较这两个函数的图像，我们可以发现，a₁的绝对值较大，这将导致图像在x轴上压缩，使得抛物线的宽度更窄。

而a₂的绝对值较小，图像则在x轴上拉伸，使得抛物线的宽度更宽。

其次，我们来考虑h的影响。

h表示抛物线在x轴方向上的平移量。

当h为正数时，抛物线向左平移，当h为负数时，抛物线向右平移。

在进行压缩时，我们可以通过调整h的值来改变抛物线的位置，使得图像更紧凑。

当h的绝对值较大时，抛物线在x轴的方向上的平移量更大，图像更加压缩，宽度更窄。

最后，我们来考虑k的影响。

k表示抛物线在y轴方向上的平移量。

当k为正数时，抛物线向上平移，当k为负数时，抛物线向下平移。

在进行压缩时，我们可以通过调整k的值来改变抛物线的位置，使得图像更紧凑。

与h类似，当k的绝对值较大时，抛物线在y轴的方向上的平移量更大，图像更加压缩，高度更高。

综上所述，二次函数的压缩可以通过调整a、h和k的值来实现。

通过适当选择这些值，我们可以将抛物线的图像在x轴上变窄，使得它更加紧凑。

二次函数的压缩在实际中有着广泛的应用，比如在物理学中研究抛物线的轨迹，以及在工程学中研究曲线的变化等等。

总而言之，二次函数的压缩是通过调整函数中的参数来实现的。

通过调整a的值可以改变抛物线在x轴上的宽度，通过调整h和k的值可以改变抛物线的位置。