当前位置：文档之家 › 第九章 欧氏空间复习资料

第九章 欧氏空间复习资料

  • 格式：doc
  • 大小：400.00 KB
  • 文档页数：19

下载文档原格式

  / 19

合集下载

高等代数课件(北大版)第九章-欧式空间§9

高等代数课件(北大版)第九章-欧式空间§9
L (1 ,2 , ,s)
中向量 Y 使 B 到它的距离 ( Y B ) 比到
L (1 ,2 , ,s)中其它向量的距离都短.
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
设 C B Y B A X ,
为此必 C L (1 ,2 , ,s )
这等价于 ( C , 1 ) ( C , 2 ) ( C , s ) 0 , （4）
第九章 欧氏空间
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间
§6 对称矩阵的标准形 §7 向量到子空间的
距离─最小二乘法 §8酉空间介绍 小结与习题
2024/10/23
数学与计算科学学院
§9.7 向量到子空间的距离
一、向量到子空间的距离 二、最小二乘法
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
即为
1 0 6 . 7 5 a 2 7 . 3 b 1 9 . 6 7 5 0 2 7 . 3 a 7 b 5 . 1 2 0 解得 a 1 .0 5 , b 4 .8 1（取三位有效数字）.
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
可能无解， 即任意 x1,x2, ,xn都可能使
n
ai1x1ai2x2 ainxnbi 2
i 1
不等于零．
（2）
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
设法找实数组 x10,x02,
,x0 使（2）最小, n
这样的 x10,x02,
,x0 为方程组（1）的最小二乘解， n
此问题叫最小二乘法问题.
最小二乘法的表示:
设
n
n

高等代数考研复习[欧氏空间]

高等代数考研复习[欧氏空间]
( , ) 义为 cos , , 0 , . | || | 正交：如果欧氏空间V中向量 , 的内积为零，
即 ( , ) 0, 则称 与 正交，记为 .
非零向量组 1, 2 , , n如果满足 (i , j ) 0,(i j).
实数
称为向量 的长度，记为 0
1的向量称为单位向量.如果 长度为
则
称为
的单位化向量.长度有以下性质：
a) | | 0 当且仅当 0 时取等号； b) | k | k | |; c)
| || | | | .
夹角：欧氏空间V中向量 , 的夹角 , 定
(1 ,1 ) (1 , 2 ) ( , ) ( , ) 2 2 2 1 ( m ,1 ) ( m , 2 ) (1 , m ) ( 2 , m ) ( m , m )
则称 1, 2 , , n 是正交向量组. a)正交向量组一定是线性无关的； b) 若1, 2 , , n 是正交组，则
| 1 2 n || 1 | | 2 | | n | .
2 2 2 | | | | | | . c) 如果 , 则
为基 1, 2 , , n 的度量矩阵.
2) 度量矩阵的性质
a) 设 , 在n维欧氏空间V的基 1, 2 , , n 下的 坐标分别为 X ( x1, x2 , , xn ), Y ( y1, y2 , , yn ), 则 ( , ) X AY , 其中A是基 1, 2 , , n 的度量矩 阵.特别当 1, 2 , , n 是标准正交基时，A=E,则
高等代数考研复习
第九章 欧氏空间

第九章欧式空间 (2)

第九章欧式空间 (2)

( ), ( )
( ( )), ( ( )) ( ), ( )
( , )

为欧氏空间V到V"的同构映射.
§9.3 同构
5、两个有限维欧氏空间V与V'同构
d im V d im V .
'
§9.3 同构
标准正交基， 在这组基下，V中每个向量 可表成
x 1 1 x 2 2 x n n ,
xi R
作对应 : V R n , ( ) ( x 1 , x 2 , , x n ) 易证 是V到 R n 的 1 1 对应. 且 满足同构定义中条件1）、2）、3）， 故 为由V到 R n 的同构映射，从而V与 R n 同构.
( , ) (

1
是

1
( )), (
1
( ))

1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( ),
1
( )


1
为欧氏空间V'到V的同构映射.
§9.3 同构
③ 若 , 分别是欧氏空间V到V'、V'到V"的同构映射， 则 是欧氏空间V到V"的同构映射. 事实上，首先， 是线性空间V到V"的同构映射. 其次，对 , V , 有
第九章 欧氏空间
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间
§6 对称矩阵的标准形
§7 向量到子空间的 距离─最小二乘法 §8酉空间介绍 小结与习题
§9.3 同构
一、欧氏空间的同构 二、同构的基本性质

图形学欧氏空间具体概念

图形学欧氏空间具体概念
2. n 维欧氏空间 中的线性变换 σ 是正交变换 维欧氏空间V中的线性变换 交矩阵． 交矩阵．
(α , β ) ≤ α β
三、欧氏空间中向量的夹角（续） 欧氏空间中向量的夹角（
〈α , β 〉 = arc cos (α , β )
α β
( 0 ≤ 〈α , β 〉 ≤ π )
(α , β ) = 0
定义： 为欧氏空间中两个向量， 定义：设 α、β为欧氏空间中两个向量，若内积
正交或互相垂直， 则称 α 与 β 正交或互相垂直，记作 α ⊥ β . 注： ① 零向量与任意向量正交 零向量与任意向量正交.
3) 非零向量 α 的单位化： α α . 的单位化：
1
三、欧氏空间中向量的夹角
1. 柯西－布涅柯夫斯基不等式 柯西－ 对欧氏空间V中任意两个向量 α、β 对欧氏空间V
线性相关时等号成立. 当且仅当 α、β 线性相关时等号成立. 2. 欧氏空间中两非零向量的夹角 定义: 为欧氏空间， 中任意两非零向量， 夹角定义为 α 定义: 设V为欧氏空间， 、β 为V中任意两非零向量，α、β 的夹角定义为 ，有
π α ⊥ β ⇔ 〈α , β 〉 = 即 cos〈α , β 〉 .= 0 , ② 2
3. 勾股定理 为欧氏空间， 设V为欧氏空间，∀α , β ∈ V , α ⊥ β ⇔ α + β 2 = α 2 + β 为欧氏空间 推广：若欧氏空间V中向量 两两正交， 推广：若欧氏空间 中向量 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m 两两正交， 即 (α i ,α j ) = 0, i ≠ j , i , j = 1, 2,⋯ , m 2 2 2 2 α1 + α 2 + ⋯ + α m = α1 + α 2 + ⋯ + α m . 则

第09章 欧式空间

第09章 欧式空间

= α s−1
−
(α s−1, ε1 ) (ε1,ε1 )
ε
1
−⋯
−
(α s−1 (ε s−2
,ε ,ε
s −2 s−2
) )
ε
s
−2
，ε s
= αs
−
s −1 k=1
(α s (εk
− εk ) ,εk )
ε
k
① L(ε1 ,⋯,ε s ) = L (α1 ,⋯,αs ) ⇔ ε1,⋯,ε s 与 α1,⋯, αs 等价
α = (ε1,⋯,ε n ) X = (η1,⋯,ηn ) X ， X = T X ， β = (ε1,⋯,ε n)Y = (η1,⋯,η n)Y ，Y = T Y
(α, β )在基 ε1,⋯,ε n ，η1,⋯,ηn下的度量矩阵分别为 G, G
(α ,
β)
=
X
'GY
=
X
'
T
'GT Y
=
X
'
GY
∴G = T 'GT 即 G~G
⎧R欧式空间
线性空间定义度量性质后 ⎪⎪C酉空间
⎨⎪思维时空空间 ⎪⎩辛空间
三维几何空间 R3
R
2
：设
� a
=
(a1
,
a2
),
� b
=
(b1,
b2)
�� a ⋅b = a1b1 + a2b2 ∈R
� a 的长度：
� a
=
a2 + a2 =
�� a⋅a
1
2
�� a,b
的夹角：
<
�� a, b
>= ar

欧氏空间复习

欧氏空间复习

欧氏空间复习 一、欧氏空间定义如果V 是实数域R 上维线性空间，而且存在V 上二元实函数(,)满足： 1）(,)(,)αββα=2）(,)(,)(,)k l k l αβγαγβγ+=+3）(,)0αα≥，而且等于0的充分必要条件是0α=其中,,,,V k l R αβγ∈∈。

则称V 为具有内积(,)的欧氏空间，简称为欧氏空间。

我们有： ●(,0)0α=●1111(,)(,)rsrsi i j j i ji j i j i j k l k lαβαβ=====∑∑∑∑● 2(,)(,)(,)αβααββ≤（可以用其定义角度，证明一些不等式）如果设12,,,n εεε 为V 基，则定义(,)i j n n A εε⨯⎡⎤=⎣⎦，称其为基12,,,n εεε 的度量矩同样我们有：● 基的度量矩阵正定；● 不同基的度量矩阵合同（由此可以证明标准正交基的存在性） ●如果设1212[,,,],[,,,]n n X Y αεεεβεεε== ，则有：(,)T X AY αβ=二、标准正交基和正交补欧氏空间V 的基12,,,n εεε 称为标准正交基，如果有(,)i j ij εεδ=。

标准正交基的存在性一可以通过基的度量矩阵为正定矩阵及其正定矩阵和单位矩阵合同的性质证明。

其次可以通过施密特正交化方法证明。

我们有： ●n 维列向量12,,,n ααα 为n R 标准正交基的充分必要条件是矩阵12[,,,]n A ααα= 满足T A A E =，换句话说A 是正交矩阵。

注意一个正交矩阵决定两组正交基，一个是正交矩阵的列向量组，另外一个是正交矩阵的行向量组。

● 标准正交基的过度矩阵是正交阵。

●根据施密特正交化我们可以推出，对任意实可逆矩阵A 存在正交矩阵U 和上（或者下）三角矩阵T 使得A TU =或者A U T =。

●如果12,,,n εεε 为欧氏空间V 的标准正交基，而且：1212[,,,],[,,,]n n X Y αεεεβεεε==则有(,)T X Y αβ=。

考研高数总复习第九章欧几里得空间第七节(讲义)

考研高数总复习第九章欧几里得空间第七节(讲义)

3.8a + b - 0.9 = 0 , 3.9a + b - 0.81 = 0 , 4.0a + b - 0.60 = 0 , 4.1a + b - 0.56 = 0 , 4.2a + b - 0.35 = 0
都成立.
实际上是不可能的.
任何 a , b 代入上面
各式都会发生些误差.
于是想找 a , b 使得上面各
第七节
向量到子空间的距离 最小二乘法
主要内容
定义 向量到子空间各向量间的最短距离 最小二乘法
一、定义
在解析几何中，两个点 和 间的距离等于向 量 - 的长度. 在欧氏空间中我们同样可引入长度 | - | 称为向量 和 的
定义 13
记为 d( , ) .
距离
不难证明距离的三条基本性质：
现在回到前面的例子，易知
3 .6 3 .7 3. 8 A 3 .9 4. 0 4 .1 4. 2
1 1 1 1 , 1 1 1
1.00 0.90 0.90 B 0.81 . 0.60 0.56 0.35
回忆矩阵乘法规则，上述一串等式可以写成矩阵相 乘的式子，即
1T C = 0 , 2T C = 0 , … , sT C = 0 .
而 1T , 2T , … , sT 按行正好排成矩阵 AT ，上述 一串等式合起来就是 AT(B - AX) = 0 ，
或
AT AX = AT B .
这就是最小二乘解所满足的代数方程，它是一个线 性方程组，系数矩阵是 ATA，常数项是 ATB. 线性方程组总是有解的. (参见第5章习题17) 这种

高代第9章讲义

高代第9章讲义

(α,α) 第九章Euclid(欧几里得)空间知识点考点精要一、欧几里得空间的基本概念1、设V 是实数域 R 上的线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作(α,β) ，它具有以下性质：（1） (α,β) = (β,α) ; （2） (k α,β) = k (α,β) ; （3） (α+ β,γ) = (α,γ) + (β,γ) ；（4） (α,α) ≥ 0, 当且仅当α= 0 时， (α,α) = 0 。

这里α,β,γ是V 中任意向量， k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间。

2、向量的长度 α= 。

3、柯西 - 布涅柯夫斯基不等式对于欧氏空间V 中的任意向量α,β，有 (α,β) ≤ αβ。

当且仅当α,β线性相关时，等号成立。

4、非零向量α, β的夹角< α,β> 规定为 < α,β>= arccos (α,β),0 ≤< α,β>≤ π。

αβ5、如果(α,β) = 0, 称α与β正交，记为α⊥ β。

6、度量矩阵 设V 是 n 维欧氏空间，ε1 ,ε2 , ,εn 是⎨ V 的一组基，令 a ij= (εi ,εj )(i ,j = 1,2,.., n ) 矩阵 A= (a ij )n ⨯n 称为基ε1 ,ε2 , ,εn 的度量矩阵,⎛ (ε1 ,ε1 ) (ε1 ,ε2 ) (ε ,ε)(ε ,ε ) (ε1 ,εn ) ⎫ (ε ,ε ) ⎪A = 2 1222n⎪ ⎪ (ε ,ε) (ε ,ε )(ε ,ε ) ⎪⎝ n 1n2 n n ⎭1） 度量矩阵为正定矩阵； 2） 不同基的度量矩阵是合同的。

7、标准正交基1） ε1 ,ε2 , ,εn 是欧氏空间 V 的一组基，如果(ε,ε ) = ⎧1 (i = j )ij ⎩0 (i ≠ j ) ，那么称ε1 ,ε2 , ,εn 是V的一组标准正交基。

2） 标准正交基的度量阵是单位阵。

欧几里得空间复习

欧几里得空间复习

(7) 对n级实对称阵A, 都存在n级正交矩阵T， 使T AT T 1 AT 为对角阵.
9
二、基本题型
1. 欧氏空间的判定（内积是否满足4条） 2. 向量的内积，长度，距离，夹角的计算 欧氏空间中度量矩阵的计算 3.标准正交基的求法（重点） 4.子空间正交补（内射影）的计算
5.实对称矩阵对角化方法（重点）
n级实数矩阵A是正交矩阵 AA E .
标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵;
A是正交矩阵 A的列向量组和行向量组都构成 R 的标准正交基.
n
4.2. 对称变换与对称矩阵
设 是n维欧氏空间V 的一个线性变换. 是 对称变换的刻化 : 1) 对 , V ,( ( ), ) ( , ( )); 2) 是对称变换 在标准正交基下的矩阵 是对称矩阵.
内射影
4. 欧氏空间的线性变换 4.1. 正交变换与正交矩阵 设 是n维欧氏空间V 的一个线性变换. 是正
交变换的刻化 : 1) 对 , V ,( ( ), ( )) ( , ); 2) 对 V , 都有 | ( ) || |; 3) 设 1 , 2 , , n 是V 的标准正交基, 是正交 变换 ( 1 ), ( 2 ), , ( n )也是V 的标准正交基; 4) 是正交变换 在任意标准正交基下的 矩阵是正交阵.
解得基础解系1 (2, 2,1,0), 2 (5, 4,0, 3)
于是 W L(1 ,2 ).

注 : 当已知 W 的基向量时, 求正交补W 的过 程就是求一个相应的齐次线性方程组的解空间的 过程.
1 1 例 2 设1 2 , 求一个 3阶正交矩阵T , 3 2 使得T的第一列是 1 .

第九章欧氏空间综合练习题解答

第九章欧氏空间综合练习题解答

第九章 欧氏空间(综合练习)一、选择题1. 设σ是欧氏空间V 的线性变换，那么σ不是正交变换的充分必要条件是（ Ａ ） A. σ保持非零向量的夹角； B. σ保持内积；C. σ保持向量的长度；D. σ把标准正交基映射为标准正交基． 2.下列命题正确的是（ C ） .A. 线性变换保持向量长度不变；B. 对称变换保持向量的内积不变；C.正交变换保持向量夹角不变；D.线性变换保持向量的线性无关性. 3．欧氏空间3R 中的标准正交基是（ A ）．A. ();;0,1,0； B. ()1111,,0;,;0,0,12222⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；C. ();;0,0,0； D. ()()()1,1,1;1,1,1;1,1,1---.4.欧氏空间中不同基下的度量矩阵是（ Ａ ）．A ．合同的；B ．相似的；C ．相等的；D ．正交的. 5. n 维欧氏空间V 中，下列命题不成立的是（ C ）． A ． V ∈βα,,若α⊥,则222βαβα+=+；B ．V ∈βα,，若βα与线性相关，则)(,2ββααβα，），（）（=； C ．若()()γβγαβα=⇒=,,； D ．若V ∈∀β，都有()0,=βα，则0=α． 6. A 是n 级正交矩阵，则下列结论错误的是（ D ）．A. 11-=或A ；B. A A '=-1；C.A 的列向量组是n R 的一个标准正交组；D.A 的特征值必为实数. 7．在3R 中,与向量()()1,2,1,1,1,121==a a 都正交的单位向量为（ C ）．A ． ()1,0,1；B ．()2,0,2- ；C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,0,21 ；D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0,21；β8．V 是欧氏空间，γβα,,是V 中的向量，则下列结论正确的是（ C ）．A ．若),(),(γαβα=，则γβ=；B ．若βα=， 则 ；C ．若1),(=αα，则1=α；D ．若0),(>βα，则 βα=． 9．V 是欧氏空间，V ∈γβα,,，则下列结论不成立的是（ D ）． A ．βαβα≤),(； B ． βαβα+≤+； C ．βγγαβα-+-≤-； D ．222βαβα+=+．10．对于n 阶实对称矩阵A ，以下结论正确的是（ B ）。

第九章欧氏空间资料.

第九章欧氏空间资料.
间称为欧几里得空间，简称为欧氏空间.
(2) 一些常见的欧氏空间：
1) Rn——对于实向量 = (a1 , a2 , … , an ) , = (b1 ,
b2 , … , bn ) ,内积为
( , ) = a1 b1 + a2 b2 + … + an bn= T.
2) R s×n——对于实矩阵A=(aij)s×n, B=(bij)s×n,内积为
2) 基的度量矩阵是对称正定的；
3) 设 1 , 2 , … , n 是欧氏空间 V 的另外一组基，而 由 1 , 2 , … , n 到 1 , 2 , … , n 的过渡矩阵为 C, 即
(1 , 2 , … , n ) = (1 , 2 , … , n ) C . 则基1 , 2 , … , n的度量矩阵A和基 1 , 2 , … , n 的度
(5) 正交向量组的性质(设V是欧氏空间， , , iV )：
1) 当 时, |+ |2=| |2+| |2；
2) 如果1 , 2 , …, s 两两正交,则| 1 + 2 + …+ s |2 = | 1 |2 + | 2 |2 + … + | s |2 ；
3) 两两正交的非零向量组是线性无关的.
第九章 欧氏空间
内容摘要 1 内积和欧几里得空间
(1) 设 V 是实数域 R 上一个线性空间，如果对V中
任意两个元素 , 有一个确定的实数( , )与它们对应，
且满足：
1) ( , ) = ( , )； 2) (k , ) = k( , )； 3) ( + , ) = ( , ) + ( , ) ； 4) ( , ) 0，当且仅当 = 0 时 ( , ) = 0 . 则称( , ) 为与的内积，定义了内积的实线性空

习题解答 第九章 欧氏空间(定稿)

习题解答 第九章 欧氏空间(定稿)
定理 1 （柯西—布涅柯夫斯基不等式）设 V 是欧氏空间，则 , V , 有 （，）
当且仅当 与 线性相关时，等号成立. 2. 标准正交基
定义 6 称欧氏空间 V 中一组两两正交的非零向量组1,2 , ,m 为一个正交向量组. 定义 7 设1,2,L ,n 是 n 维欧氏空间 V 中的一组基，若它们两两正交，则称 1,2,L ,n 为 V 的一组正交基；若正交基中的向量1,2,L ,n 都为单位向量，则称为标
n
( A, A) 0 ai2j 0 A 0 i, j1
此即证V是欧式空间。
(1)证：Eij是(i, j)元为1，其余一元皆为0的n阶方阵，那么可证 B11 E11, B12 E12 E21,L , B1n E1n En1 B22 E22 , B2n E2n En2 ,L , Bnn Enn 为V的一组基，于是
故○1 成立，且
V =S (S )
故S和(S)是同一子空间S的正交补，由正交补的唯一性，即证 ○2 .
4.设 是欧式空间V的线性变换，设 是V的一个变换，且, V ,都有(( ), )=(,( )). 证明：
(1) 是V的线性变换 (2)的值域 Im 等于的核ker的正交补。
四、典型题解析
例1.设A, B是n阶实对称阵，定义
(A, B) trAB
○1
证明：所有n阶实对称阵V 关于( A, B)成一欧式空间。 (1)求V的维数。 (2)求使trA=0的空间S的维数。 (3)求S的维数。
证 首先可证V {A Rnn | A A}是R上的一个线性空间。 再证○1 是V 的内积，从而得证V 是关于内积○1 的欧式空间. 事实上A,B,CV ,k R,有

第九章 欧氏空间

第九章 欧氏空间

= ( , ) + ( , ) .
3 ) ( , 0 ) = (0 , ) = 0；
4) ( ki i , l j j ) ki l j ( i , j );
i 1 j 1 i 1 j 1
s
n
s
n
5 ) | ( , ) | | | | |，当且仅当 , 线性相
关时，等号才成立.
2 长度、夹角与正交
(1) 设V是欧氏空间，对任意V，非负实数 ( , ) 称为向量 的长度，记为 | |. 即| | 度为1的向量称为单位向量. 如果≠0，则
( , ) ，长
1 | |
是单位
向量，称为将单位化.
(2) 非零向量 , 的夹角 < , > 规定为
为 V1 . 如果V1 V2 ，且V=V1 + V2 ，则称V2为V1的
正交补，记为V1.
(2) 正交子空间有下列结果： 1) 设V是欧氏空间， , i , j V，则
L(1 , 2 , … , t) 等价于 j (j=1, 2, ..., t);
L(1 , 2 , … , s) L(1 , 2 , … , t)等价于i j
第九章
欧氏空间
内 容 摘 要
1 内积和欧几里得空间
(1) 设 V 是实数域 R 上一个线性空间，如果对V中 任意两个元素 , 有一个确定的实数( , )与它们对应， 且满足：
1) ( , ) = ( , )；
2) (k , ) = k( , )；
3) ( + , ) = ( , ) + ( , ) ； 4) ( , ) 0，当且仅当 = 0 时 ( , ) = 0 .

第九章 欧氏空间与线性变换.

第九章 欧氏空间与线性变换.

(1)设线性变换/A在一组标准正交基下的矩阵为A, 则/A的共轭变换在这组基下的矩阵为 A / . (2)共轭变换满足(/A*)*=/A,(/A+/B)*=/A*+/B*,
(/A/B)*=/B*/A*,(k/A)*= k /A*. (3)设酉空间V的子空间W是线性变换/A的不变子 空间,则W的正交补W⊥是/A*的不变子空间.
(4)若/AX= X,则/A*X= (5)若线性变换/A特征根为 1 , 2 ,, n ,则/A* 的特征根为 , ,, .
1 2 n
X.
(6)若线性变换/A满足/A*/A=/A/A*,则称/A为正规变 换.正交变换、对称变换都是正规变换.
(7)设/A是正规变换,则属于/A的不同特征根的特征 向量正交. (8)若/A是正规变换,W是/A的不变子空间,则W⊥也 是/A的不变子空间. (9)若线性变换/A满足/A*=-/A,则称/A为酉空间的反 对称变换.显然反对称变换也是正规变换,且它满足对 任意的 , V 有 (/ A , ) ( , / A ) . 二、基本方法 常用的欧氏空间: (1)线性空间Rn,对如下定义的内积构成欧氏空间
祝福大家好运!
(2)设/A是欧氏空间V的对称变换,若V1是/A的不变 子空间,则V1的正交补V1⊥也是/A的不变子空间. (3)对称变换得所有特征根全为实数,且属于不同特 征根的特征向量互相正交. 4.共轭变换与正规变换 设V是复数域上的线性空间,并定义了内积,则称V 为酉空间.这里的内积是二元复函数,满足 ( , ) ( , ) . 其它性质类似于欧氏空间的内积.对应于欧氏空间的 正交变换和对称变换,在酉空间中有酉变换和对称变 换.设/A是酉空间中的线性变换,若对任意的 , V 有(/ A , ) ( , / B ) ,则称/B是/A的共轭变换,并记为 /B=/A*.

第九章 欧式空间(第二讲)

第九章 欧式空间(第二讲)
由内积性质1，知
( , ) xi y j ( i , j ).
i 1 j 1
m
n
令
aij ( i , j ),
i. j 1, 2, , n,
显然aij=aji.于是矩阵
a11 a 21 A an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
定义2.2 每个向量都是单位向量的正交组称为一个标 准正交组或单位正交组.
定义2.3 在欧氏空间中，由正交向量组形成的基称为 正交基；由标准正交组形成的基称为标准正交基或单位正 交基.
n维欧氏空间的n个向量ε1，ε2 ，· · ·，ε n构成标准正交 基的充要条件是
1, ( i , j ) ij 0,
1
x2 ( x
( k 2 3)
于是
(3) g3 ( x) k1(3) g1 ( x) k2 g2 ( x) f3 ( x) 1 1 x x2 3 2 1 2 x x . 6
在将g1(x) ，g2(x) ，g3(x)单位化.由前面计算已得 1 2 2 g1 ( x) 1, g 2 ( x) . 再计算出 12
线性代数
机动
目录
上页
下页
返回
结束
§ 度量矩阵与标准正交基
2.1 欧氏空间的度量矩阵
设V是n维欧氏空间. ε1，ε2 ，· · ·，ε n是V的一个基.对 于V中两个向量 x1 1 x2 2 xn n ,
y1 1 y2 2 yn n ,
为一个实对称矩阵.向量α, β的内积可表为
( , ) x T Ay.
（1）
这里x,y分别是α, β的坐标.我们称A为在基ε1，ε2 ，· · ·， ε n下的度量矩阵.上述结果表明，当知道了某组基下的度 量矩阵A时，任意两向量的内积可以通过这两个向量的坐 标按（1）式来计算.可见，度量矩阵完全确定了内积.

高代竞赛辅导第9章欧氏空间

高代竞赛辅导第9章欧氏空间

9.欧氏空间1.（华南理工大学2006）4R正交基，其中1111111111222211A --⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭。

解 分析：设m n A R ⨯∈的列向量为12,,,n ααα ，则12(,,,)n A ααα= ， 列空间12,,,Im n W A ααα=<>= 。

0Ti i x Wx W x x αα⊥∈⇔⊥⇔⊥⇔=0Ker T TA x x A ⇔=⇔∈，从而有(Im )K er TWA A⊥⊥==，这表明：将A 改成T A ，又可以得到以上是两个非常重要的结论，在很多地方都用的上。

具体到本题：相当于求Ker TA 也就是求齐次线性方程组0T A x =的解空间的一个 标准正交基，这是一个标准问题。

先求0T A x =的一个基础解系：121331,2002αα-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；任何将12,αα正交化、单位化得121414,14140707ββ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

2.（中山大学2006）设由向量123(1,1,2,1),(3,1,4,1),(1,1,0,1)T T Tααα=-=-=-生成的子空间为W ，求一个线性方程组，使得它的解空间为恰好W 。

解 设矩阵()123,,A ααα=，则Im WA =()Im K er T A A⊥=。

这样问题就归结为：求齐次线性方程组0T A x =的解空间的一个基础解系1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 0101⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 这个基础解系生成的空间就是Ker T A ，而它的正交补也就是W ，恰好是和以上两个向量都正交的向量全体，这正好就是齐次线性方程组123240x x x x x ++=⎧⎨-+=⎩的解空间，因此123240x x x x x ++=⎧⎨-+=⎩就是要求的线性方程组。

3.（南开大学2006）设线性方程组123451245123452303220390x x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-+=⎩ 的解空间为V 。

欧氏空间的知识点总结

欧氏空间的知识点总结

欧氏空间的知识点总结一、欧氏空间的基本概念1. 欧氏空间的定义欧氏空间是指具有度量的线性空间，它可以是具有内积的实数线性空间或者复数线性空间。

在欧氏空间中有一种特殊的度量，即欧氏距离。

欧氏距离是指在n维空间中，两点之间的距离d(x, y)定义为：d(x, y) = √((x1-y1)^2 + (x2-y2)^2 + ... + (xn-yn)^2)其中x=(x1, x2, ..., xn)和y=(y1, y2, ..., yn)分别是空间中的两个点。

2. 欧氏空间的维度欧氏空间的维度是指空间中的向量所属的维度数，通常用n表示。

在n维欧氏空间中，一个向量可以用n个实数或复数表示。

例如，在二维欧氏空间中，一个向量可以表示为(x, y)。

在三维空间中，一个向量可以表示为(x, y, z)。

3. 欧氏空间的内积在n维欧氏空间中，可以定义内积的概念。

内积是指两个向量之间的数量积，通常用"a·b"表示。

在欧氏空间中，两个向量a和b的内积定义为：a·b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn内积满足交换律、线性性和正定性等性质。

内积可以用来定义向量的长度、夹角和投影等概念，是欧氏空间中重要的工具。

二、欧氏空间的性质和定理1. 欧氏空间的性质欧氏空间具有许多重要的性质，例如：- 距离的非负性：两点之间的距离永远是非负的。

- 距离的对称性：两点之间的距离与它们的顺序无关。

- 三角不等式：两点之间的最短距离加起来不大于第三个点所在的线段的长度。

- 同伦性：欧氏空间是同伦的，即两个点之间总可以找到一条连续的路径相连接。

2. 欧氏空间的定理在欧氏空间中，有许多重要的定理，例如：- 柯西-施瓦茨不等式：对于欧氏空间中的任意两个向量a和b，它们的内积满足|a·b| ≤ ||a|| * ||b||，其中||a||和||b||分别是向量a和b的长度。

- 皮亚诺定理：在欧氏空间中，任意有界闭集都是紧的。

考研高数总复习第九章欧几里得空间第二节

考研高数总复习第九章欧几里得空间第二节
第二节 标准正交基
主要内容
定义 标准正交基的求法 举例 正交矩阵
一、定义
1. 正交向量组的定义
定义 5 欧氏空间 V 中一组非零的向量，如 果它们两两正交，就称为一正交向量组.
应该指出，按定义，由单个非零向量所成的向
量组也是正交向量组. 组都是非空的.
当然，以下讨论的正交向量
2. 正交向量组的性质 性质 正交向量组是线性无关的. 证明 设 1 , 2 , … , m 是一正交向量组，
得到进一步的说明.
下面我们将结合内积的特点来讨论标准正交基
的求法.
二、标准正交基的求法
定理 1 n 维欧氏空间中任一个正交向量组都
能扩充成一组正交基.
证明 设 1 , 2 , … , m 是一正交向量组，
我们对 n - m 作数学归纳法.
当 n - m = 0 时， 1 , 2 , … , m 就是一组正交
n ，使
L(1 , 2 , … , i ) = L(1 , 2 , … , i) , i = 1,2,…,n .
证明 设 1 , 2 , … , n 是一组基，我们来逐
个地求出向量 1 , 2 , … , n .
首先，可取
1
|
1
1
|
1
.
一般地，假定已经
求出 1 , 2 , … , m ，它们是单位正交的，具有性
k1 , k2 , … , km 是 m 个实数，且有
k1 1 + k2 2 + … + kmm = 0 . 用 i 与等式两边作内积，得
ki (i , i ) = 0 . 由 i 0，有 (i , i ) > 0 ，从而
ki = 0 ( i = 1, 2, …, m) .
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第九章 欧氏空间一. 内容概述1.欧氏空间的定义设V 是实数域R 上一个向量空间,在V 上定义了一个二元实函数，称为内积,记作),(βα,它具有以下性质:1) ),(),(αββα=;2) ),(),(βαβαk k =; 3) ),(),(),(γβγαγβα+=+; 4) 0),(≥αα,当且仅当0=α时, 0),(=αα这里γβα,,是V 任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间V 称为欧几里得空间. 常见的欧氏空间举例:例1 在线性空间nR 中,对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα, 定义内积.),(2211n n b a b a b a +++= βα (1) 则内积(1)适合定义中的条件，这样nR 就成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间.在3=n 时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式. 例2 在n R 里, 对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα定义内积.2),(2211n n b na b a b a +++= βα 则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就也成为一个欧几里得空间.对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成不同的欧几里得空间.例 3 在闭区间],[b a 上的所有实连续函数所成的空间),(b a C 中,对于函数)(),(x g x f 定义内积⎰=b a dx x g x f x g x f )()())(),((. (2)对于内积(2)，),(b a C 构成一个欧几里得空间.例4 设R m n ⨯为一切m n ⨯矩阵所成的线性空间.内积定义为()()3,B A B A t r '=则称R mn ⨯为R 上的欧氏空间,2.欧氏空间的内积的主要性质:1）定义中条件1）表明内积是对称的. ),(),(),(),()2αββααββαk k k k ==='),(),(),(),(),(),()3γαβααγαβαγβγβα+=+=+=+' 定义2 非负实数),(αα称为向量α的长度，记为α.显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质：αα||k k = (3)这里V R k ∈∈α,.长度为1的向量叫做单位向量.如果,0≠α由(3)式，向量αα1就是一个单位向量.用向量α的长度去除向量α，得到一个与α成比例的单位向量，通常称为把α单位化.柯西-布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量βα,有βαβα≤),( (5)当且仅当βα,线性相关时，等式才成立.对于例1的空间nR ，(5)式就是 .22221222212211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ 对于例2的空间),(b a C ，(5)式就是()()212212)()()()(⎰⎰⎰≤b a ba ba dx x g dx x f dx x g x f 定义3 如果向量βα,的内积为零，即0),(=βα那么βα,称为正交或互相垂直，记为βα⊥. 设V 是一个n 维欧几里得空间，在V 中取一组基n εεε,,,21 ，对于V 中任意两个向量n n x x x εεεα+++= 2211, n n y y y εεεβ+++= 2211, 由内积的性质得∑∑===++++++=n i nj ji j i n n n n y x y y y x x x 1122112211),(,),(εεεεεεεεβα 设),,2,1,(),(n j i a j i ij==εε (8)显然 .ji ij a a =于是∑∑===n i nj j i ij y x a 11),(βα (9)利用矩阵，),(βα还可以写成AY X '=),(βα, (10)其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n y y y Y x x x X 2121, 分别是βα,的坐标，而矩阵nn ij a A )(=称为基n εεε,,,21 的度量矩阵.3. 标准正交基定义4 欧氏空间V 的一组非零的向量,如果它们两两正交，就称为一个正交向量组. 按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组.正交向量组是线性无关的.这个结果说明，在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过n 个.定义6 在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基组.定理：正交向量组是线性无关的.定义 n 组实数矩阵A 称为正交矩阵，如果E A A ='（即A A '=-1）例2 考虑定义在闭区间]2,0[π上一切连续函数所作成的欧氏空间]2,0[πC .函数组 .,sin ,cos ,,sin ,cos ,1 nx nx x x 构成]2,0[πC 的一个正交组.例3 欧氏空间nR 的基 ））（0,,0,1,0,,0( i i =ε（其中n i,,2,1 =） 是n R 的一个标准正交基.定理：正交矩阵的乘积是正交矩阵, 正交矩阵的逆是正交矩阵.掌握施密特正交化的方法实对称矩阵的标准形（对角化问题）.引理1：设A 是实对称矩阵,则A 的特征值皆为实数.引理2： 设A 是实对称矩阵,则R n 中属于A 的不同特征值的特征向量必正交.引理3：实对称矩阵的k 重特征值一定有k 个线性无关的特征向量。

定理：对于任意一个n 级实对称矩阵，A 都存在正交矩阵T ，使Λ='=-AT T ATT 1成对角形。

定理：任意一个实二次型 ji ij n i nj j i ij a a x x a =∑∑==,11都可以经过正交的线性替换变成平方和2222211n n y y y λλλ+++ ,其中平方项的系数n λλλ,,,21 就是矩阵A 的特征多项式全部的根熟练掌握求正交矩阵T 的方法：正交矩阵T 的求法可以按以下步骤进行：1. 求出A 的特征值.设r λλ,,1 是A 的全部不同的特征值.2. 对于每个i λ，解齐次方程组0)(21=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n i x x x A E λ 求出一个基础解系，这就是A 的特征子空间i V λ的一组基.由这组基出发，按施密特正交化的方法求出i V λ的一组标准正交基i ik i ηη,,1 .3. 因为r λλ,,1 两两不同，所以向量组r rk r k ηηηη,,,,,,11111 还是两两正交的，它们的个数就等于n ，因此它们就构成n R 的一组标准正交基，并且也都是A 的特征向量.这样，正交矩阵T 也就求出了.二．例题选讲例1． 设A=(ij a )是一个n 级正定矩阵，而),,(),,,(2121n n y y y x x x ==βα在n R 中定义内积为:'),(βαβαA =（1） 证明在这个定义之下，n R 成一欧氏空间。

（2） 求单位向量)1,0,0(),0,,1,0(),00,1(21 ===n εεε， 的度量矩阵。

（3） 具体写出这个空间中的柯西—布涅柯夫斯基不等式。

解：（1）只要按定义逐条验证就行。

).,()(),(''''''αβαβαββαβαβα=====A A A A ).,()()(),(''βαβαβαβαk A k A k k ===),(),()(),('''''γβγαγβγαγβαγβα+=+=+=+A A A j i ij y x a A ∑∑=='),(αααα由于A 是正定矩阵，j i ij y x a ∑∑∴是正定二次型，从而0),(≥αα。

且仅当0=α时，0),(=αα。

由此可见，n R 在这一 定义下成一欧氏空间。

（2）设单位向量的度量矩阵为)(ij b B=， 那么，==),(j i ij b εεij n s n t t s st a y x a =∑∑==11，此即B=A 。

（3）略。

例2． 求齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-+=-+-+0032532154321x x x x x x x x x 的解空间的一组标准正交基。

解： 首先可求得基础解系为)1,4,1,0,0()1,4,0,1,0()1,5,0,0,1(321=--=--=ααα的交化得)2,1,15,6,7(151)152,151,1,156,157()92,91,0,1,97()1,5,0,0,1(321==---=--=βββ 单位化得)2,1,15,6,7(1531)2,1,0,9,7(1531)1,5,0,0,1(331321=---=--=ηηη 321,,ηηη即为所求的标准正交基。

例3． 设V 是一n 维欧氏空间，0≠α是V 的一固定向量，则1）{}Vx x x V ∈==,0),(|1α是V 的一个子空间。

2）11-=n DimV 。

证 1）10V ∈ 1V ∴非空R k k V ∈∀∈∀21121,,,ββ0),(),(),(22112211=+=+αβαβαββk k k k 12211v k k ∈+∴ββ1V ∴是V 的子空间 。

2）将α扩充为V 的一组正交基n ααα,,,2则 132,,,V n ∈ααα132),,,(V L n ⊆ααα反之n n k k k V αααββ ++=∈∀221,，0),,,(),(0=∴==k k αααβ ),,(),,,,(2132n n L V L αααααβ =∈∴.1l i m 1-=∴n V例: 设 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0111101111011110A 求一正交矩阵T,使AT T AT T 1-='成对角形.解: (1)先求出A 的特征多项式与特征根: 3)1)(3(||+-=-λλλA E 特征根11-=λ （三重根），32=λ（2）求出特征值11-=λ对应的特征向量，把11-=λ代入方程组0)(4321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x A E λ求得基础解系为)1,0,0,1(),0,1,0,1(),0,0,1,1(321-=-=-=ααα,32=λ对应的特征向量为)1,1,1,1(4=α。

（3）正交化，单位化得)0,0,1,1(11-==αβ)0,1,21,21()0,0,1,1(21)0,1,0,1()()(1111222--=---=-=ββββααβ，，)1,31,31,31()()()()(222231111333---=--=ββββαββββααβ，，，，。

)123,121,121,121(1)0,62,61,61(1),0,0,1,1(211333222111---==--==-==ββηββηββη)1,1,1,1(4=α 单位化得)21,21,21,21()1,1,1,1(214==η ∴ 求得正交矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=211230021121620211216121211216121T则⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=='-31111AT T AT T 例试证反对称实矩阵的特征值是零或纯虚数. 证: 设A 是任一反对称矩阵,即,,A A A A =-=' 令 λ是A 的任一特征值,ξ为 A 的属于λ的特征向量,λξξ=∴A 0≠ξ 0≠'∴ξξ .于是由.)()()()(ξξλξλξξξξξξξλξξξξλ'-='-='-='-'='='='A A A 即得 λλ-=即 λ为零或纯虚数.例：证明:若A 为奇数阶的正交矩阵，且1-≠A ，则1为A 的一个特征值.证:设A 为下证01=-⋅A E ，事实上, A E A E A E A AA A A E n --='--='--=-'=-)()1(0=-∴A E 即以1为它的一个特征值.。