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数学史上的重要时刻从一到无穷大的回顾数学史上有许多重要的时刻，这些时刻标志着数学领域的重大发展和突破。
从一这个最基本的数字开始，数学的发展逐渐延伸到无穷大，不断探索出新的领域和概念。
本文将回顾数学史上的一些重要时刻，探讨它们对数学发展的影响。
一、草创时期：从古代到中世纪数学的起源可以追溯到古代文明，如古埃及和巴比伦的数学发展。
这个时期的重要时刻集中在数的发现和初步的数学理论的形成。
在古希腊，毕达哥拉斯定理的发现和欧几里得的《几何原本》的出版开创了几何学的历史。
同时，印度的数学家发展出了十进制系统和算术运算符号，为未来的数学奠定了基础。
而中国古代数学家贾宪三的《数书九章》更是对几何、代数和算术方面的研究作出了卓越贡献。
中世纪是数学史上的一个重要时期，这个时期的数学家继续对古代数学进行研究和发展。
阿拉伯数学家通过翻译、注释和扩展古希腊和印度的数学著作，将这些知识传播到欧洲。
斯内尔和费马等数学家对代数学的发展做出了杰出贡献，同时，无穷级数和数列的研究也取得了重大进展。
二、近代数学：从微积分到线性代数进入近代，数学的发展进入了一个全新的阶段。
微积分的发现可以说是数学史上的一个重要时刻。
牛顿和莱布尼茨分别独立地发展出了微积分学，为物理学、工程学和许多其他学科的发展奠定了基础。
微积分的发现不仅在数学理论上是一个突破，而且在实际应用中也产生了广泛的影响。
线性代数的发展也是数学史上的一个重要时刻。
由于其在向量空间、矩阵论和线性方程组等方面的应用广泛，线性代数成为了现代数学和科学领域中非常重要的一个分支。
高斯的工作对线性代数理论的发展起到了决定性的作用，他的消元法为线性方程组的解法提供了一种有效的途径。
三、现代数学：从集合论到数论进入20世纪以后，数学的发展进入了一个更加抽象和理论化的阶段。
集合论作为数学的基础理论之一，奠定了数学发展的新基础。
由于康托尔和罗素等数学家的研究，集合论为数学提供了一种统一和严密的表达方式。
数学传奇知识点总结一、勾股定理勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯发现的一条至关重要的定理。
它表明：在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
即a²+b²=c²，其中a、b分别为直角三角形两直角边的长度，c为斜边的长度。
这一简洁而精妙的公式，不仅在几何学中具有广泛的应用，而且还为后人提供了许多启发和灵感。
勾股定理的数学传奇之处在于，它是数学历史上最早的一次证明几何学的示例，同时也是几何学与代数学结合的先驱。
勾股定理的证明方法多种多样，其中既有几何证明，也有代数证明，甚至还有概率证明。
通过这些证明，人们不仅了解了数学世界的多样性，也感受到了数学思维的广阔与深邃。
此外，勾股定理还开拓了数学领域的研究思路，为后人提供了许多研究方向和方法。
尤其是在三角函数的发展中，勾股定理为人们提供了一个重要的理论基础，使得三角函数的研究得到了深入的发展和丰富的内涵。
可以说，勾股定理是数学传奇中的佼佼者，它不仅为我们提供了一个优秀的几何工具，还极大地丰富了数学的内涵和理论体系。
二、黄金比例黄金比例是数学中一个神秘而美丽的比例。
它是古希腊数学家欧几里得发现的，表现为a/b=(a+b)/a=Φ(希腊字母phi)，其中a/b即为黄金比例。
而黄金比例常常出现在数学和自然界中，它不仅在建筑、绘画、音乐等方面发挥了重要作用，而且还在生物学中有着深刻的内涵。
黄金比例的数学传奇之处在于，它不仅是一个神秘而美丽的比例，而且还是一种有着深刻内涵和丰富历史的文化符号。
黄金比例所散发出的美感和神秘感吸引着无数数学家和艺术家，他们将黄金比例运用到自己的研究和创作中，使得黄金比例成为了数学与艺术的完美结合。
此外，黄金比例还在几何学、代数学和数论学中发挥了重要作用。
例如，在几何学中，黄金比例可以用来构造黄金长方形和黄金三角形，从而丰富了几何学的理论体系。
在代数学和数论学中，黄金比例可以用连分数法和斐波那契数列来表示，从而为后人提供了一个重要的研究方向和方法。
数学经典故事数学是一门神奇的学科，它不仅存在于我们生活的方方面面，还有许多有趣的故事和趣味的数学问题。
今天，我就来给大家讲几个数学经典故事，让我们一起领略数学的魅力。
故事一，费马大定理。
费马大定理是数论中的一个经典问题，由法国数学家皮埃尔·德·费马在17世纪提出，直到1994年才被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。
费马大定理的内容是，对于大于2的整数n，不存在三个正整数x、y、z，使得x^n + y^n = z^n成立。
这个问题被数学家们称为“世界上最难的数学问题”，经过几百年的探索，最终由怀尔斯给出了精妙的证明，成为数学史上的一大壮举。
故事二，黄金分割。
黄金分割是一个古老而又神秘的数学问题，它源自古希腊人对美的追求和探索。
黄金分割点是指一条线段，将其分为两部分，使得整条线段与较短部分的比值等于较短部分与较长部分的比值。
这个比值约等于1.618，被称为“黄金分割率”，在艺术、建筑、音乐等领域都有着广泛的应用。
黄金分割点的神秘之处在于，它既是一个理想的几何比例，又是一个无理数，具有很高的美学价值和数学价值。
故事三，希尔伯特问题。
希尔伯特问题是20世纪初德国数学家大卫·希尔伯特提出的23个未解决的数学问题。
这些问题涉及到几乎所有数学领域，包括代数、几何、数论、分析等。
希尔伯特问题的提出激发了一代又一代数学家的热情和探索欲望，许多问题在后来的发展中被一一解决，成为数学领域的经典成果。
希尔伯特问题的提出，不仅推动了数学的发展，也展现了数学的深厚内涵和无限魅力。
以上就是我为大家讲的几个数学经典故事，这些故事不仅展现了数学的伟大和美丽，也启发了我们对数学的思考和探索。
数学是一座永远不会被探尽的宝库，让我们一起走进这个神奇的世界，感受数学的魅力！。
数学万花镜摘抄
数学万花镜是一系列有趣的数学文章和概念，下面是一些摘抄：
1. "数学的魔力：探索无穷的数学世界"。
2. "数学的韵律：音乐、数学和美学的交融"。
3. "数学的悖论：理解自相矛盾的数学概念"。
4. "数学的几何之美：从欧几里得几何到非欧几里得几何"。
5. "数学的无限：康托尔的无穷集合论"。
6. "数学的逻辑：从哥德尔不完备定理到图灵机"。
7. "数学的算法：计算机科学与数学的交汇点"。
8. "数学的数列：斐波那契数列、黄金分割与朱利亚集合"。
9. "数学的概率：预测不确定的未来"。
10. "数学的应用：从物理学到金融学的数学模型"。
这些摘抄涵盖了数学的多个方面，包括几何、逻辑、算法、数列、概率和应用等，展示了数学的多样性和广泛性。
七年级数学下册 5.1相交线经典回眸一、两直线相交1.邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角。
互为邻补角的两个角和为180°。
2.对顶角：一个角的两边分别为另一个角两边的反向延长线，这样的两个角叫做对顶角；对顶角相等。
例题1：如图，直线AB，CD相交于O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度数。
例题2：直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠BOC-∠BOD=20°，求∠BOE的度数。
经典练习：1、在如图所示的四个图中，∠1和∠2是对顶角的是（）A B C D2.关于领补角的说法正确的是（）A. 和为180°的两个角B. 有公共顶点且互补的两个角C. 有一条公共边且相等的两个角D. 有公共顶点且有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角3. 如图1，直线AB，CD相交于点O，且∠AOC=80°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE：∠OD=2:3，则∠EOD=4. 如图2，长方形ABCD沿EF翻折，∠DEF=72°，则∠AEH的度数为5. 如图3，直线a，b，c两两相交，∠1=60°，∠2=23∠4，则∠3= ，∠5=图1 图2 图34、如图，直线a，c相交于点O，射线b过点O，且∠1=∠2，∠3：∠1=8:1，求∠4的度数。
5、如图，直线AB与CD相交于点E，∠1=∠2，EF平分∠AED，且∠1=50°，求∠AEC的度数。
6、如图，AC为一条直线，O是AC上一点，且∠AOB=120°，OE，OF分别平分∠AOB和∠BOC. （1）求∠EOF的大小。
（2）当OB绕O点旋转时，OE，OF仍为∠AOB和∠BOC的平分线，求∠EOF的大小。
二、垂线、同位角、内错角、同旁内角1、垂直：两条直线相交所成四个角中，如果有一个角是直角，我们所说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
数学史上的巅峰时刻从一到无穷大的数学历史数学史上的巅峰时刻：从一到无穷大的数学历史数学作为一门古老而又无处不在的学科，在人类文明发展的历程中扮演着重要的角色。
数学的发展可以追溯到远古时期，人们通过观察自然现象和解决实际问题，逐渐形成并发展出了一系列数学概念与理论。
从数的概念开始，到无穷大的引入，数学历史上存在许多具有重要意义的时刻。
本文将从一到无穷大的角度，探讨数学史上的巅峰时刻。
一、整数概念的确立整数是最基本的数学概念之一，它代表了物体的个数或数量。
在远古时期，人们开始使用手指和石头等实物来计数。
正是通过这种方式，人们意识到数量的概念，并逐渐发展出整数的概念。
整数的出现标志着人类数学思维的进一步发展，为日后的数学建设奠定了基础。
二、小数的引入整数是最基本的数，但在实际应用中，人们往往需要使用到小数。
追溯到古希腊时期，毕达哥拉斯的门徒们发现了一些不能表示为有理数的数，这些数就是我们现在所熟知的无理数。
无理数的引入将数学的发展推向了一个新的高峰，也为后来的微积分和实数体系的建立奠定了基础。
三、数学符号的发明数学符号的发明极大地推动了数学的发展。
在过去，人们主要使用自然语言来描述和解释数学问题，但随着数学理论的深入研究，迅速而准确地表示数学概念成为一项迫切的需求。
在印度的古代数学家巴斯卡拉奇亚为了表示数学概念而引入了零这个概念，零的引入不仅简化了运算，还为后来的数学符号发明奠定了基础。
四、微积分的诞生微积分是数学的重要分支，通过对变化率的研究，我们可以得到许多实际问题的解析解。
17世纪，牛顿和莱布尼茨几乎同时独立地发明了微积分。
微积分的出现引发了数学革命，它不仅推动了科学的进步，也为后来的物理学、工程学等学科提供了理论基础。
五、无穷大的引入数学的概念从一到无穷大，无穷大的引入为解决实际问题提供了更广阔的思路。
数学家们逐渐认识到，无限大可以用来描述某些过程或数量的趋势。
通过引入无穷大，人们可以更好地理解和处理各种无限的情况，例如极限、级数以及微积分中的应用等。
数学的时间轴公式与知识点的历史数学是一门源远流长的学科，历经千年的演变与发展，其中的时间轴公式与知识点扮演着重要角色。
本文将回顾数学中一些重要的时间轴公式和知识点，并探索它们的历史起源。
1. 勾股定理（公元前6世纪）勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯提出的，他发现了直角三角形的边长之间的关系。
勾股定理的数学表达式为a^2 + b^2 = c^2，其中a 和b分别表示直角三角形的两条直角边，c表示斜边。
这个定理有着广泛的应用，尤其在几何学和物理学中。
2. 费马大定理（17世纪）费马大定理是法国数学家费马提出的，其涉及到整数的幂指数。
该定理最初提出的时候并没有给出证明，直到几个世纪后才被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。
费马大定理指出：当n大于2时，方程x^n + y^n = z^n没有整数解。
这个定理激发了许多数学家对数论的研究，直到现在仍然被广泛讨论。
3. 微积分（17世纪）微积分是由牛顿和莱布尼茨独立发现并发展起来的数学分支。
微积分研究了函数、极限、导数和积分等概念。
这个数学领域的建立对物理学和工程学的发展产生了巨大影响。
微积分的时间轴公式包括导数的定义和计算方法，以及积分的定义和计算方法。
4. 高斯曲线（19世纪）高斯曲线是由德国数学家高斯提出的，它是一种钟形曲线，被广泛应用于概率统计学中。
高斯曲线具有对称性，并且可以用来描述大量的自然现象。
数学家们发现，许多随机变量都可以近似地服从高斯分布。
高斯曲线通过时间轴公式e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))来进行描述，其中μ表示均值，σ表示标准差。
5. 群论（20世纪）群论是抽象代数学的一个重要分支，它由德国数学家古斯塔夫·莱布尼茨和意大利数学家奥古斯都·柯西等人独立发展起来。
群论主要研究代数结构的对称性与变换。
群的时间轴公式主要包括对称性和运算法则的定义与性质。
总结起来，数学的时间轴公式与知识点涵盖了各个历史时期，并且对数学的应用和发展产生了深远的影响。
数学简史中的好句好段摘抄一、数学的起源与早期发展1. "数学的起源可以追溯到人类文明的最早时期，与人们的日常生活密切相关。
它起源于计数、测量和图形，而这些也是最早的数学活动。
"2. "在远古时代，数学伴随着人们对世界的探索和认识而逐渐发展。
它不仅仅是解决问题的一种工具，更是人类思维的一种表达方式。
"二、古希腊的数学成就1. "古希腊的数学成就是数学史上的一个里程碑。
从泰勒斯、毕达哥拉斯到欧几里得，他们不仅为数学理论的发展做出了卓越的贡献，更让数学成为了一种科学。
"2. "毕达哥拉斯学派提出了'万物皆数'的理念，认为数学是理解宇宙的关键。
而欧几里得则通过《几何原本》为几何学的发展奠定了坚实的基础。
"三、中世纪的数学发展1. "中世纪数学的发展与哲学、天文学和物理学等领域密不可分。
这一时期的数学家们开始系统地使用阿拉伯数字，并为算术和代数的发展做出了贡献。
"2. "中国的宋元时期是世界数学史上的重要阶段。
贾宪、秦九韶和杨辉等人的工作为世界数学的发展开辟了新的道路。
"四、文艺复兴时期的数学进步1. "文艺复兴时期，数学再次成为推动科学进步的重要力量。
达芬奇、伽利略和开普勒等人的工作不仅在艺术和科学领域取得了突破，更推动了数学的进一步发展。
"2. "这一时期的数学家们开始使用代数方法研究几何问题，为微积分的诞生奠定了基础。
"五、现代数学的诞生与演变1. "现代数学的诞生可以追溯到17世纪。
牛顿和莱布尼茨的工作使得微积分学成为了一门独立的学科，也开启了现代数学的大门。
"2. "随着19世纪的分析学、代数学和几何学的发展，现代数学的框架逐渐形成。
20世纪初，希尔伯特的形式主义和歌德尔的数理逻辑等思想进一步丰富了数学的内涵。
数学史上的突破性时刻从一到无穷大的数学历史数学是一门古老而重要的学科，它的发展历程记录了人类智慧的积累和思维的进步。
在数学史上，有许多突破性的时刻，这些时刻不仅推动了数学的发展，也深刻地影响了人类的思维方式。
本文将从一到无穷大的数学历史中，介绍几个突破性的时刻。
一、阿基米德的浮力定律公元前三世纪，古希腊数学家阿基米德提出了浮力定律，这一发现被认为是数学史上的突破性时刻之一。
根据浮力定律，物体在液体中所受到的浮力等于所排开的液体的重量。
这一发现不仅解释了为什么物体可以浮在水上，也为后来的力学和流体力学理论奠定了基础。
二、无穷小与微积分的发现十七世纪，英国数学家牛顿与德国数学家莱布尼茨几乎同时独立地发现了微积分。
他们的发现是数学史上的又一个突破性时刻。
微积分的核心概念是无穷小，它描述了随着自变量趋近于某一点时，函数取值的变化情况。
无穷小的引入使得数学家们可以研究曲线的切线、面积以及变化率等重要问题，推动了微积分的发展。
三、复数的引入十六世纪至十七世纪，意大利数学家卡尔丹诺、德国数学家朴次茅斯、爱尔兰数学家汉密尔顿等相继引入了复数的概念。
复数是由实数与虚数构成的数。
这一概念的提出解决了负数无法开方和方程无法求根的问题，为代数学的发展开辟了新的道路。
复数在数学史上被视为又一个突破性时刻。
四、勾股定理的发现中国古代数学家辛追发现了勾股定理，将其总结为“平方和等于斜边平方”。
古希腊数学家毕达哥拉斯也独立发现了勾股定理，他将其作为一个几何定理在数学体系中加以阐述。
勾股定理的发现，不仅解决了数学和几何中的一类问题，也拓展了数学和几何的应用领域。
五、无穷大的引入十九世纪，德国数学家戴德金提出了实数连续性的概念，并引入了无穷大和无穷小的概念。
这一概念的引入彻底改变了数学中对于数量的理解。
无穷大的引入使得数学家们可以讨论正无穷大、负无穷大以及无穷大之间的比较，进一步推动了数学的发展。
综上所述，数学史上的突破性时刻涵盖了从一到无穷大的范围。
光辉灿烂的中国古代数学
中国古代数学具有辉煌灿烂的历史，为世界数学做出了重要贡献。
以下是一些典型的古代中国数学成就：
1. 《九章算术》：是中国迄今为止最早的一部数学著作，大约成书于公元前2世纪。
书中包括了算术的基本运算、方程求解、数列等内容，为后世中国数学的发展奠定了基础。
2. 集杂算术：集杂算术是古代中国人用来解决实际问题的数学方法。
这种方法包括了各种算术技巧和公式，如乘法口诀、勾股定理等。
集杂算术的发展为中国数学的应用奠定了基础。
3. 数学符号的发展：古代中国数学家发明了一系列数学符号，如加减乘除符号、等号、无穷大符号等。
这些符号的发明使用提高了数学表示和计算的便利性。
4. 小学算法：小学算法是中国古代传统的计算方法，以《华肆算法》为代表。
这种算法通过使用棋盘上的点及砂盘上的砂粒，用暴力枚举的方法计算数值，为后来的数学研究提供了基础。
5. 元代的数学成就：元代是中国数学的辉煌时期，数学家杨辉、秦九韶等在数论、代数和几何等方面做出了重要贡献。
杨辉的“杨辉三角形”被广泛应用于组合数学和概率统计。
中国古代数学在数论、代数、几何等领域都有独特的贡献，并对世界数学的发展产生了深远影响。
一、集合与简易逻辑考点1. 研究集合问题，一定要抓住集合的代表元素。
如：{}|lg x y x =与{}|lg y y x =及{}(,)|lg x y y x =代表元素是函数关系中自变量的取值？还是函数值？还是曲线上的点？练习1.2{}{(,)23}____________x y x x y y x =⋂=+= Ф练习2.已知函数()f x 的定义域是[0,1]，则函数12()[log (3)]F x f x =-的定义域为 5[2,]2考点2.∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，解题时最易忽略。
①分析A B φ⋂=时，你是否注意到“极端”情况：A=Ф或B=Ф；②求集合子集时是否忘记Ф。
练习3.已知2{10}{0},x x ax x x ++<⊆>则实数a 的取值范围是____________ （ 2a ≤ ）练习4.集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A B B = ，则实数a ＝ （10,1,2a =） 考点3.集合有关结论： ①含n 个元素的集合的子集个数为2n ，真子集个数为2n－1；②;A B A B A A B B ⊆⇔=⇔= U U A B C A C B ⊆⇔⊇③()()()()card A B card A card B card A B ⋃=+-⋂④集合运算对偶律：()U U U C A B C A C B = ，()U U U C A B C A C B =考点4. 你清楚“≥”的含义吗？练习6.不等式“2≥1”、 “1≥1”正确吗？ （ 正确 ）练习7.不等式2-2)(3)0x x +>（的解集是{3}x x ≥-对吗? (3,2)(2,)-⋃+∞ 二、函数考点5.从集合A 到B 的映射:f A B →:只要求A 中的每一个元素在B 中有唯一的象，B 中元素在A 中不一定有原象，且A 中不同元素在B 中可以有相同的象。
象的集（值域）C B ⊆ 练习8.直线x=a 与函数y=f(x)最多有 个交点。
（ 1 ）考点6.函数的定义域：①分母不为0； ②零次幂的底数不为零； ③偶次根式被开方数非负；④指数、对数底数大于零且不等于1 ⑤对数真数大于0； ⑥正切函数的定义域为,,2x x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭； ⑦解决函数问题时注意优先分析定义域：如判断函数单调性、奇偶性、对称性等；⑧求函数的解析式和函数的反函数时要标注该函数的定义域练习9.函数21(1)y x x =+≤-的反函数是___________ 2)y x =≥考点7.求函数值域的常用方法：观察法、配方法、换元法、判别式法、利用反函数、利用函数的有界性、构造斜率、利用函数的单调性、利用导数等考点8.反函数常用的结论：①1()();f a b f b a -=⇔=求f -1(m)⇔令f(x)=m ，求x②1(2)f a -+是1()y f x -=在x=2+a 处的函数值；或为1()y f x a -=+在x=2处的函数值。
③y=f(x+a)的反函数是1()y f x a -=-，而不一定是1()y f x a -=+；④原函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域；⑤y=f(x)与1()y f x -=在对应各自定义域的区间上单调性相同。
⑥奇函数的反函数也是奇函数； ⑦周期函数不存在反函数；⑧设f(x)的定义域为A ，值域为B ，则有1(()),f f x x x B -=∈, 1(()),f f x x x A -=∈练习10.设1()42x x f x +=-,则1(0)f -=_____ ( 1 ) 练习11.设1()42x x f x +=+，不等式1()0f x ->的解集为________ {3}x x >练习12.y=f(x)过（4，1），则1(2)y f x -=+必过____________ (-1,4)考点9.函数的单调性①用定义证明函数的单调性的规范格式是：任取两值12,x x ；作差12()()f x f x -；判正负。
②导数与函数单调性：若()0()f x f x '>⇒单调增；若()0()f x f x '<⇒单调减。
若f(x)是增函数，则()0f x '≥；若f(x)是减函数，则()0f x '≤练习13.3()f x x ax =+在[0，1]上是减函数，在[1,2]上是增函数，则a=______ （ -3 ） 考点10.不等式恒成立、有解问题①a ≥f(x) 恒成立⇔a ≥［f(x)］max,; a ≤f(x) 恒成立⇔a ≤［f(x)］min②a ≥f(x) 有解⇔a ≥［f(x)］min,; a ≤f(x) 有解⇔a ≤［f(x)］max③二次函数恒成立；二次函数在区间上恒成立；二次项系数含参时注意讨论④数形结合；分类讨论；分离参数；反客为主（或称变更主元）⑤注意比较：y=log a f(x)的定义域为P ⇔f(x)>0的解集为Py=log a f(x)在x ∈P 上有意义⇔f(x)>0对x ∈P 恒成立考点11.对于2y ax bx c =++（＝0，>0）你是否注意到分0a ≠与0a =两种情况讨论？练习14.关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负实根的充要条件是_________1a ≤考点12.实根分布问题： 2()0(0)f x ax bx c a =++=>的两根12,x x注意从开口方向、、对称轴和端点函数值等价分析。
考点13.复合函数的有关问题①研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
②复合函数定义域求法：若已知()f x 的定义域为［a ，b ］,其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域（即 f(x)的定义域）；③复合函数的单调性由“同增异减”判定④函数y=log a f(x)在某区间P 上单调递增：a>1时()()0f x P f x x P ⎧⇔⎨>∈⎩在上单调递增对恒成立 0<a<1时()()0f x P f x x P ⎧⇔⎨>∈⎩在上单调递减对恒成立 考点14.函数的奇偶性①定义域关于原点对称是函数为奇函数、偶函数的必要不充分条件；②偶函数⇔f(x)=f(－x)⇔f(x)－f(－x)=0在定义域内恒成立，③奇函数⇔f(x)=－f(－x)⇔f(x)＋f(－x)=0在定义域内恒成立④若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(－x)=()f x ;⑤奇函数在x=0有定义，则f(0)=0（可用于求参数值）；⑥两个偶函数的和（或差）为偶函数;两个奇函数的和（或差）为奇函数；⑦f(x)·g(x)(或()()f x g x ，(()0)g x ≠)同名为偶，异名为奇；⑧多项式函数为偶函数⇔奇次项系数全为0；多项式函数为奇函数⇔偶次项系数全为0 ⑨奇函数在对称单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称单调区间内有相反的单调性； 练习15.函数1()ln 1ax f x x+=-是奇函数，则a=_______ （ 1 ） 练习16.已知函数(1)(1)22()log log ()x x f x a a R +-=+∈的图像关于原点对称，则a=______ （ -1 ） 考点15.函数的对称性① f(x)关于直线x=a 对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(x)=f(2a-x)；()()f a x f b x +=-⇔ f(x)关于直线2a b x +=对称 ②曲线C 1：y=f(x)关于x=a 的对称曲线C 2的方程为y=f(2a-x);③二次函数f(x)关于x=a 对称⇔()()0f x f a a ≥⎧⎨>⎩或()()0f x f a a ≤⎧⎨<⎩，⇔f(x)=0的根12,x x 满足122x x a += ④f(x)关于点（a ，0）对称⇔f(a+x)=－f(a-x)⇔ f(2a-x)=－f(x)⑤f(x)关于点（a ，b ）对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b ⇔ f(x) + f(2a-x) =2b⑥证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在该图像上； ⑦证明图像C 1与C 2的对称性，即证明C 1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C 2上，再证反之亦然；⑧求曲线C 1:f(x,y)=0关于点（轴）的对称曲线C 2方程：设曲线C 2上任意一点P(x,y) ，则P 关于点（轴）的对称的Q(x 0,y 0)在曲线C 1:f(x,y)=0上；练习17.若函数2()(0)f x ax bx c a =++>对一切实数x 都有()(0)f x f ≥，则b=___ （ 0 ）考点16.抽象函数背景下的单调性、奇偶性练习18.奇函数f(x)在定义域R 内是增函数，则不等式2(15)(5)0f x x f --+>的解集为___________ {123x x -<<或<x<6}练习19.已知f(x)是偶函数，且f(x)在(0,)+∞上是增函数，对任意的1[,1]2x ∈，不等式 (1)f (2)f ax +≤-恒成立，则实数a 的取值范围是______ 31a -≤≤考点17.指对函数①要注意底数讨论；注意底数大于零且不等于1；对数函数真数大于零；化同底；换元法。
②log a b ⇔>0(a-1)(b-1)>0， log a b ⇔<0(a-1)(b-1)<0 ③log b a N b a N =⇔=； ④log log m n a a n b b m=；log log n n a a b b = ⑤ log a N =log log b b N a ； ⑥log log a N N aa a = ( a>0,a ≠1,N>0 ) 练习20.函数()f x ________ {02}x x <≤练习21.函数22log log x x y =+的值域是_________ {2y 2}y ≤-≥或练习22.若239log log x =，则x=_______ （）练习23. 函数211x y x +=+的对称中心是____ (-1,2),单调增区间是_______ (,1),(1,)-∞--+∞ 考点18.函数(0)ay x a x =+>与(0)a y x a x =->①都关于原点对称，渐近线为y x =和y 轴 ②函数(0)a y x a x=+>的图象如图实线，单调区间为：(,,[),-∞+∞ ③函数(0)ay x a x =->的图象如图虚线， 单调区间为：在(,0)(0,)-∞+∞和为增函数六、不等式考点1 分式不等式()(0)()f x a ag x >≠的一般解题思路是：移项、通分、根轴法；注意最高次数项系数正负及不等式两边同乘负数时不等号变向。
