第八章 离散系统Z域分析

实验八 离散系统的Z 域分析一、目的（1）掌握利用MATLAB 绘制系统零极点图的方法 （2）掌握离散时间系统的零极点分析方法（3）掌握用MATALB 实现离散系统频率特性分析的方法 （4）掌握逆Z 变换概念及MATLAB 实现方法二、离散系统零极点线性时不变离散系统可用线性常系数差分方程描述，即()()N Miji j a y n i b x n j ==-=-∑∑ （8-1）其中()y k 为系统的输出序列，()x k 为输入序列。

将式（8-1）两边进行Z 变换的00()()()()()Mjjj Nii i b zY z B z H z X z A z a z-=-====∑∑ （8-2） 将式（8-2）因式分解后有：11()()()Mjj Nii z q H z Cz p ==-=-∏∏ （8-3）其中C 为常数，(1,2,,)j q j M =为()H z 的M 个零点，(1,2,,)i p i N =为()H z 的N 个极点。

系统函数()H z 的零极点分布完全决定了系统的特性，若某系统函数的零极点已知，则系统函数便可确定下来。

因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。

通过对系统函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性：● 系统单位样值响应()h n 的时域特性； ● 离散系统的稳定性； ● 离散系统的频率特性；三、离散系统零极点图及零极点分析 1．零极点图的绘制设离散系统的系统函数为则系统的零极点可用MATLAB 的多项式求根函数roots()来实现，调用格式为：p=roots(A)其中A 为待根求多项式的系数构成的行矩阵，返回向量p 则是包含多项式所有根的列向量。

如多项式为231()48B z z z =++，则求该多项式根的MATLAB 命令为为：A=[1 3/4 1/8]; P=roots(A) 运行结果为： P =-0.5000-0.2500需注意的是，在求系统函数零极点时，系统函数可能有两种形式：一种是分子、分母多项式均按z 的降幂次序排列；另一种是分子、分母多项式均按1z -的升幂次序排列。

第八章：Z 变换§8.1 定义、收敛域（《信号与系统》第二版（郑君里）8.1，8.2，8.3）定义（Z 变换）： ♦序列()x n 的双边Z 变换：()(){}()nn X z x n x n z+∞-=-∞∑Z（8-1）♦序列()x n 的单边Z 变换：()(){}()0n n X z x n x n z +∞-=∑Z（8-2）注：1）双边：()()()()10nnn n n n X z x n zx n zx n z +∞-∞+∞---=-∞=-===+∑∑∑（8-3）为Laurent 级数，其中，()1nn x n z-∞-=-∑是Laurent 级数的正则部，()0nn x n z+∞-=∑是主部。

2）z 是复平面上的一点图8-13）对因果序列：单边Z 变换=双边Z 变换。

♦定义（逆Z 变换）：对双边Z 变换()()nn X z x n z+∞-=-∞=∑()1C1d 2j m z X z z π-⎰(1C 12j m n z x π+∞-=-∞⎡=⎢⎣∑⎰ ()C 12j m n x n z π+∞=-∞⎡=⎢⎣∑⎰由Cauchy 定理，有1C d 0,2j m n z z m nπ--=⎨≠⎩⎰ （8-4）其中，C 为包围原点的闭曲线，()()1C1d 2j m x m z X z z π-∴=⎰上式= 定义：()()(){}11C1d 2j n x n z X z z X z π--==⎰Z（8-5）注：（8-4）的求解：j z re θ=，j d j d z r e θθ=，则有()()21110C 2011d 2j 2j 1102j m n m n m n j j m n m n z z r e rje d m n r e d m nπθθπθθππθπ--------==⎧==⎨≠⎩⎰⎰⎰，，图8-2 柯西定理证明示意图收敛域： ♦定义（收敛域）：对有界()x n ，使()()nn X z x n z+∞-=-∞=<∞∑一致的z 的集合。

实验八-离散系统的Z域分析一、验证性实验1.Z变换确定信号f1(n)=3^nU(n),f1(n)=co(2n)U(n)的Z变换。

2.Z反变换已知离散LTI系统的激励函数为f(k)=(-1)^k某U(k),h(k)=[1/3某(-1)^k+2/3某3^k]U(k),采用变换域分析法确定系统的零状态响应Yf(t).3.绘制离散系统极点图采用MATLAB语言编程，绘制离散LTI系统函数的零极点图，并从零极点图判断系统的稳定性。

已知离散系统的H（z），求零极点图，并求解h(k)与H(e^jw)。

（1）实验代码（2）实验结果4.离散频率响应函数一个离散LTI系统，差分方程y(k)-0.81y(k-2)=f(k)-f(k-2),试确定：（1）系统函数H(z);（2）单位序列响应h(k)的数学表达式，并画出波形；（3）单位阶跃响应的波形g(k);（4）绘出频率响应函数H(e^jθ)的幅频和相频特性曲线。

1）实验代码2）实验结果二、程序设计实验1.试分别绘制下列洗头的零极点图，并判断系统的稳定性；如果系统稳定，绘制幅频特性和相频特性。

（a）H(z)=(3某z^3-5某z^2+10某z)/(z^3-3某z^2+7某z-5)1)实验代码2)实验结果（b）H(z)=(4某z^3)/(z^3+0.2某z^2+0.3某z+0.4)1）实验代码2）实验结果（c）H(z)=(z^2-2某z-1)/(2某z^3-1)1）实验代码2）实验结果（d）H(z)=(2某z^2+2)/(z^3+2某z^2-4某z+1)1）实验代码2）实验结果2.分别确定下列信号的Z变换。

(a)f(k)=(2/5)^k某U(k)(b)f(k)=co(2某k)U(k)(c)f(k)=(k-1)U(k)(d)f(k)=(-1)^k某k某U(k)3.已知某LTI离散系统在输入激励f(k)=(1/2)^k某k某U(k)时的零状态响应为Yf(k)=[3某(1/2)^k+2某(1/3)^k]U(k),通过程序确定该系统的系统函数H(z)以及系统的单位序列响应h(k).4.分别确定下列因果信号的逆Z变换。

第八章 Z 变换、离散时间系统的Z 域分析Z 变换的定义和收敛典型信号的z 变换Z 变换的性质求Z 逆变换系统函数H (z )幂级数展开部分分式法围线积分法定义由零极点决定系统的时域特由零极点决定系统的频域特由零极点决定系统的稳定性例题 •例题1：求z 变换•例题2：求逆变换•例题3：求系统的响应•例题4：求系统函数及频率响应等•例题5：零极点，初值定理例8-1利用性质求序列的z 变换方法一：利用典型序列的z 变换及线性性质求解方法二：利用z 变换时移性质直接求解若 则 ()()()n u n n x 2-=()()[]()()[]()()1z 12312122222>--=---=-=-z z z z z z z n u n nu Z n u n Z ()[]()z X n x Z =()()[]()()km k n n z k x z z X z n u m n x Z ---=--∑+=-1方法三把原序列如下表示 所以例8-2，求其逆变换。

方法一：因为X (z )不是真分式，首先把X (z )写成多项式与真分式两相之和的形式，即 其中 ()()[]()z X z m n u m n x Z n -=--()()[]()()km k n n z k x z z X z n u m n x Z --=∑-=+10()()[]()z X z m n u m n x Z n =++()()()()()()()()()()()()()()()时，二者才相同。

，为有始序列只有当，而不是的左移序列是相同；为因果序列时，二者才，只有当而不是的右移序列是由上式可见，0=<+++---n x m n n x n u m n x m n u m n x n u n x n x n u m n x m n u m n x n u n x ()()[]()()1 123 )2()1(122222222>--=-+-+-=-∴---z z z z z z z z z z z n u n Z ()()()()()()12222-----=-n n n u n n u n δδ()()[]()()1 12321222121>--=--+-=---z z z z z z z n u n Z ()21z 616511211>+-+=---z z z z X ()()() 616561611121+--+=+=z z z z F z Q z X () 31-z A 21-z A 6165616112121+=+--=z z z z F则 所以方法二观察X (z )的分子多项式的根，其中含有一个零点为z=0 ，式中则 所以原序列为两种方法求逆z 变换，其结果完全一致。