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第12章 整式的乘除12.2 整式的乘法第1课时 单项式与单项式相乘教学目标1.让学生通过适当的尝试，获得直接的经验，体验单项式与单项式的乘法运算规律，总结运算法则.2.使学生能正确区别各单项式中的系数，同底数的幂和不同底数幂的因式.3.让学生感知单项式的乘法法则对两个以上的单项式相乘同样成立，知道单项式乘法的结果仍是单项式.4.使学生通过探索理解单项式的乘法中，系数与指数的不同计算方法，正确应用单项式的乘法步骤进行计算，能熟练地进行单项式与单项式相乘和含有加减运算的混合运算.教学重难点重点：对单项式运算法则的理解和应用.难点：尝试与探究单项式与单项式的乘法运算规律.教学过程复习巩固1.口述幂的运算的四个法则.【答案】同底数幂的乘法法则：m n m n a a a +=（m ，n 都是正整数）；幂的乘方：()nm m n a a =（m ，n 都是正整数）；积的乘方：()n n nb a ab =（n 是正整数）；同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（m ，n 是正整数，并且>m n ，0≠a ）.2.幂的运算的四个法则的联系和区别是什么？3.计算：（1）20032004155⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭； （2）()()532532b a b a -+ ； （3）()()32232x x -.【答案】（1）5； （2）0； （3）128x -.导入新课【创设情境，课堂引入】计算（1）3225x x ； （2）3225x x y .教学方式：教师启发引导学生，学生主动探索，逐步认识.分析：运用乘法交换律、结合律，把各因式的系数，相同的字母分别结合，教学反思然后相乘.（1）()()32325252510x x x xx=⨯⨯=；（2）()()32325252510x x y x x y x y =⨯⨯=.探究新知【实践探究，交流新知】通过上面两式的计算，启发引导学生归纳得出： 单项式与单项式相乘的法则： （1）系数相乘作为积的系数；（2）相同的字母，应用同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加； （3）只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数作为积的一个因式； （4）单项式与单项式相乘的结果仍然是单项式.【合作探究，解决问题】【小组讨论，师生互学】 例1 计算：（1）()2332x y xy - ； （2）()()23254a b b c --. 解：（1）()2332x y xy - ()()()2332x x y y=⨯-⎡⎤⎣⎦………（乘法的交换律与结合律）436y x -=；（2）()()23254a b b c --()()()23254a b b c =-⨯-⎡⎤⎣⎦………（乘法的交换律与结合律）c b a 5220=.例2 计算：（1）()22332x y xy - ； （2）()()2323254a b b c --；（3）()()23254mna b b c --； （4）()()()3222229ab ab ab --.解：（1）()22322647323412x y xy x y x y x y -==；（2）()()()23232466341235425641600a b b c a b b c a b c --=-=-；（3）()()()()()()232232232545454mnmnmnm mn nm m n na b b c a bb c a bc +--=--=--；教学反思（4）()()()3222236224362989ab ab ab a b ab a b a b --=-=-.方法小结：进行计算时，有乘方先算乘方，再算单项式乘以单项式.【巩固练习】 计算： （1）()()433nnab ab - ； （2）23222332a b ab ⎛⎫- ⎪⎝⎭； （3）()()()()23322122a bc a bc abc abc -----. 【答案】（1）124b a ；（2）6523b a ；（3）0.【总结】（学生总结，老师点评） 单项式乘以单项式的注意事项：（1）计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积； （2）按顺序运算；（3）不要丢掉只在一个单项式里出现的字母因式；（4）单项式乘以单项式的法则对于多个单项式相乘仍然成立. 【拓展延伸】例3 已知-2x 3m +1y 2n 与7x n−6y −3−m 的积与x 4y 是同类项，求m 2＋n 的值. 【思考】根据-2x 3m +1y 2n 与7x n−6y −3−m 的积与x 4y 是同类项，可以得到什么？怎样求m 2+n 的值？解：因为-2x 3m +1y 2n 与7x n−6y −3−m 的积与x 4y 是同类项，所以3164,231,m n n m ++-=⎧⎨--=⎩ 解得2,3.m n =⎧⎨=⎩所以m 2+n ＝7.【总结】（学生总结，老师点评）根据单项式乘以单项式的法则，结合同类项，列出关于m ，n 的二元一次方程组，进而求得代数式的值.课堂练习1.计算3a ·2b 2的结果是（ ）A .3ab 2B .6b 2C .6ab 2D .5ab 2 2.计算-2a 2·3a 的结果是（ ）A .-6a 2B .-6a 3C .12a 3D .6a 3 3.若长方形的宽是a 2，长是宽的2倍，则长方形的面积为 _____.4.一个三角形的一边长为a ，这条边上的高的长度是它的13，那么这个三角形的面积是_____.5.计算：（1）-3x 2 ·5x 3； （2）4y ·（2xy 2）； （3）（-x ）3·（x 2y ）2.6.若（12m n a b ++）·（21n a b -）＝54a b ，求m +n 2的值.教学反思参考答案1.C2.B3.42a4.216a 5. 解：（1）原式＝（-3×5）（23x x ）＝-155 x ； （2）原式＝（4×2）（2y y ）x ＝83xy ； （3）原式＝（- x 3）·（42x y ）＝-72x y .6.解：原式＝1212154m n n a b a b ++-++＝， ∴ 1215214m n n ++-⎧⎨++⎩＝，＝， 解得31.m n ⎧⎨⎩＝，＝∴ 2 4.m n +＝课堂小结单项式乘以单项式中的“一、二、三”一个不变：单项式与单项式相乘时，对于只在一个单项式里出现的字母， 连同它的指数不变，作为积的因式.二个相乘：把各个单项式中的系数、相同字母的幂分别相乘.三个检验：单项式乘以单项式的结果是否正确，可从以下三个方面来 检验：①结果仍是单项式；②结果中含有单项式中的所有字母；③结果 中每一个字母的指数都等于相乘的单项式中同一字母的指数之和.布置作业请完成本课时对应练习！板书设计单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的因式.注意事项（1）应先进行符号运算； （2）按顺序运算；（3）不要丢掉只在一个单项式里出现的字母因式；（4）单项式乘以单项式的法则对于多个单项式相乘仍然成立.教学反思。
八年级上册华师版数学思维导图
：实数
：平方根
：全等三角形
：整式的乘除
华师大八年级上册数学目录
第11章数的开方
本章综合解说
11.1平方根与立方根
11.2实数
本章大归纳
第12章整式的乘除
本章综合解说
12.1幂的运算
12.2整式的乘法
12.3乘法公式
12.4整式的除法
12.5因式分解
本章大归纳
第13章全等三角形
本章综合解说
13.1命题、定理与证明
13.2三角形全等的判定
13.3等腰三角形
13.4尺规作图
13.5逆命题与逆定理
本章大归纳
第14章勾股定理
本章综合解说
14.1勾股定理
14.2勾股定理的应用
本章大归纳
第15章数据的收集与表示本章综合解说15.1数据的收集
15.2数据的表示
本章大归纳
全书大归纳
综合提升训练。
第12章 整式的乘除12.2整式的乘法第3课时 多项式与多项式相乘教学目标1.使学生理解并掌握多项式乘以多项式的法则.2.经历探索多项式与多项式相乘的过程，通过导图理解多项式与多项式相乘的结果，能够按多项式乘法法则进行简单的多项式乘法运算，达到熟练地进行多项式乘法运算的目的.3.培养数学感知，体验数学在实际应用中的价值，树立良好的学习态度.教学重难点重点：多项式乘以多项式的形成过程及其理解和应用. 难点：多项式乘以多项式的法则的正确应用.教学过程复习巩固1.口述单项式与单项式相乘的法则. 【答案】（1）系数相乘作为积的系数；（2）相同的字母，应用同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加； （3）只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式.2.口述单项式乘以多项式的法则.【答案】单项式与多项式相乘，就是用单项式分别乘以多项式的每一项，再把所得的积相加.导入新课【创设情境，课堂引入】某地区在退耕还林期间，将一块长m 米、宽a 米的长方形林地的长、宽分别增加n 米和b 米.用两种方法表示这块林地现在的面积.思考：（1）加长加宽后得到的林地的长为多少？宽为多少？面积为多少？ 【答案】长为()n m +米，宽为()b a +米，面积为()()m n a b ++平方米.教学反思（2）现在这块林地可以看作由四块面积分别为多少的长方形林地组成，总面积为多少？【答案】四块林地的面积分别为ma 平方米、mb 平方米、na 平方米、nb 平方米，总面积为()ma mb na nb +++平方米.（3）两种不同的方法，得到的结果相等吗？ 【答案】相等.()()m n a b ma mb na nb ++=+++. 想一想：（1）()()m n a b ma mb na nb ++=+++的等号左边是什么运算？等号右边又是什么运算？（2）请你总结规律.探究新知【实践探究，交流新知】多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.多项式与多项式相乘−−→−转化单项式与多项式相乘−−→−转化单项式与单项式相乘.字母呈现：ma +mb +na +nb .【 例1 计算：（1）（x +2）（x −3） ； （2）（2x + 5y ）（3x −2y ）. 解：（1）（x +2）（x −3）2326x x x -+-＝26x x --＝；（2）（2x + 5y ）（3x −2y ） ＝6x 2−4xy +15yx −10y 2 ＝6x²+11xy −10y². 例2 计算：（1）（m −2n ）（m²+mn −3n²） ；（2）（3x²−2x +2）（2x +1）. 解：（1）（m −2n ）（m²+mn −3n²）＝222232223m m m mn m n n m n mn n n +---+教学反思＝3222233226m m n mn m n mn n +---+ ＝322356m m n mn n --+； （2）（3x²−2x +2）（2x +1）＝6x³+3x²−4x²−2x +4x +2＝6x³−x²+2x +2.【巩固练习】计算：（1）（x +2y ）（5a +3b ）； （2）（2x −3）（x +4）； （3）（x +y ）2； （4）（x +y ）（x 2-xy +y 2）. 解：（1）原式＝x ·5a +x ·3b +2y ·5a +2y ·3b ＝5ax +3bx +10ay +6by ； （2）原式＝2x 2+8x -3x -12＝2x 2+5x -12；（3）原式＝（x +y ）（x +y ）＝x 2+xy +xy +y 2 ＝x 2+2xy +y 2；（4）原式＝x 3-x 2y +xy 2+x 2y -xy 2+y 3 ＝x 3+y 3.【反思总结】（学生总结，老师点评） 多项式乘以多项式中的注意事项： （1）运算要按一定顺序，做到不重不漏.（2）多项式乘以多项式，未合并同类项之前积的项数应等于两个多项式的项数之积.（3）多项式的每一项分别与另一个多项式的每一项相乘时，要带上每项前面的符号一起运算：同号相乘得正，异号相乘得负.【合作探究，解决问题】【小组讨论】例3 先化简，再求值：(2)(3)(2)(4)x y x y x y x y -+--- ，其中1x =-，y ＝2.解：（x -2y ）（x +3y ）-（2x -y ）（x -4y ） ＝x 2+3xy -2xy -6y 2-（2x 2-8xy -xy +4y 2） ＝x 2+xy -6y 2-2x 2+9xy -4y 2 ＝-x 2+10xy -10y 2. 当x ＝-1，y ＝2时，原式＝-（-1）2+10×（-1）×2-10×22 ＝-1-20-40 ＝-61.【拓展延伸】例4 已知ax 2+bx +1（a ≠0）与3x -2的积不含x 2项，也不含x 项，求系数a ，b 的值.思考：由积中不含x 2项、x 项可以推出什么？由此怎样求出a ，b 的值？ 解：（ax 2+bx +1）（3x -2）＝3ax 3-2ax 2+3bx 2-2bx +3x -2＝3ax 3+（3b -2a ）x 2+（3-2b ）x -2.教学反思因为积不含x 2项，也不含x 项， 所以3b -2a ＝0，3-2b ＝0，解得a ＝94，b ＝32.即系数a ，b 的值分别是94，32.【反思总结】解决此类问题，先根据多项式乘以多项式的法则写出展开式，合并同类项后，再根据不含某一项，得出这一项系数等于零，由此列方程（组）解答.【拓展练习】 计算：（1）（x +2）（x +3）＝ x 2+5x +6 ； （2）（x -4）（x +1）＝x 2-3x -4；（3）（y +4）（y -2）＝228y y +-； （4）（y -5）（y -3）＝2815y y -+. 根据上面的计算结果，观察规律并填空： （x +p ）（x +q ）＝2x +p q +（）x + pq . 课堂练习1.下列多项式相乘，结果为x 2−4x −12的是（ ） A .（x −4）（x +3） B .（x −6）（x +2） C .（x −4）（x −3） D .（x +6）（x −2）2.如果（x +a ）（x +b ）的结果中不含x 的一次项，那么a ，b 满足（ ）A .a ＝bB .a ＝0C .a ＝−bD .b ＝03.如图，正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各有若干张，如果要拼一个长为（a +3b ）、宽为（2a +b ）的大长方形，则需要A 类、B 类和C 类卡片的张数分别为（ ）A.2，3，7B.3，7，2C.2，5，3D.2，5，7 4.计算： （1）（y +1）（x -y ）-x （y -x ）； （2）（-7x 2-8y 2）（-x 2+3y 2）； （3）（3a +1）（2a -3）-（6a -5）（a -4）. 5.化简求值：（4x +3y ）（4x -3y ）+（2x +y ）（3x -5y ），其中x ＝1，y ＝−2.参考答案1.B2.C3.A4.解：（1）原式＝xy +x -y 2-y -xy +x 2＝x 2+x -y 2-y ；（2）原式＝7x 4-21x 2y 2+8x 2y 2-24y 4＝7x 4-13x 2y 2-24y 4； （3）原式＝6a 2-9a +2a -3-6a 2+24a +5a -20＝22a -23.教学反思5.解：(4x+3y)(4x−3y)+(2x+y)(3x−5y)教学反思＝16x2−12xy+12xy−9y2+6x2−10xy+3xy−5y2＝22x2−7xy−14y2.当x＝1，y＝−2时，原式＝22×12-7×1×（-2）-14×（-2）2＝22+14 −56＝−20.课堂小结通过本节课的学习，要求同学们：1.理解并掌握多项式乘以多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即（a+b）（p+q）＝ap+aq+bp+bq.实质：先转化为单项式乘以多项式的运算，再转化为单项式乘以单项式的运算.2.多项式与多项式相乘，（1）不要“漏乘”；（2）注意“符号”.布置作业请完成本课时对应练习！板书设计多项式与多项式相乘1.法则先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.（a+b）（p+q）＝ap+aq+bp+bq.实质：先转化为单项式乘以多项式的运算，再转化为单项式乘以单项式的运算.2.多项式乘以多项式中的注意事项（1）运算要按一定顺序，做到不重不漏；（2）多项式乘以多项式，未合并同类项之前积的项数应等于两个多项式的项数之积；（3）每一项相乘时要带上每项前面的符号一起运算.。
第十二章整式的乘除12.2整式的乘法2.单项式与多项式相乘【知识与技能】(1)在具体情境中，了解单项式乘多项式的意义.(2)理解单项式与多项式相乘的法则，并运用它进行运算.【过程与方法】让学生主动参与到探索过程中，提高学生的主观能动性，感受数学知识的简洁美.【情感态度与价值观】通过对单项式与多项式相乘的法则的探索、猜想、体验及运用，感受学习的乐趣.单项式与多项式相乘的运算法则及其运用.灵活地进行单项式与多项式相乘的运算.多媒体课件.教师引入：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长为p m，宽为b m的长方形绿地，向两边分别加宽a m和c m，如图14-1.4-2，你能用几种方法表示出扩大后的绿地面积？不同的表示方法之间有什么关系？如何从数学的角度认识不同的表示方法之间的关系？学生思考，教师：本节课我们将探究这个问题.(板书课题)探究：单项式乘多项式的运算法则教师将问题进行分解：(1)扩大后绿地的长和宽分别是多少？长为a+b+cm；宽为pm.(2)根据长方形的面积=长×宽，你能得到的式子是p(a+b+c)①.(3)利用分割法，可以把扩大后的面积看成是几部分的面积的和？(注意：在这一过程中，学生可能说出分成两部分，这时要肯定学生得到的结论，再进行适当的引导，让学生分成三部分)(4)这三部分的面积可以怎么表示？学生说出结果后，教师展示图片：如图14-1.4-3，扩大后绿地的面积可以表示为pa+pb+pc②(5)①和②都表示扩大后绿地的面积，它们是什么关系呢？最后学生通过观察,发现：因为①和②都表示同一个量，所以这两个式子相等，即p(a+b+c)=pa+pb+pc.(6)对于这个等式，能用乘法分配律说明吗？教师提示：用p乘括号里的每一项，再把所得的积相加.教师追问：p和a+b+c分别是什么样的式子？学生：p是单项式，a+b+c是多项式，这个乘法是单项式与多项式的乘法.请同学们试着总结一下单项式与多项式相乘的法则.学生总结：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.(教师板书)最后师生共同归纳：(1)运用单项式与多项式相乘的法则时，要注意各项的符号问题，且此法则是由分配律推导出来的，所以单项式与多项式相乘可按分配律进行计算.(2)等式的左边是积的形式，等式的右边是和的形式.(3)单项式与多项式相乘所得的结果是一个多项式，它的项数等于原来多项式的项数.教师出示教材P100例5：计算：师生共同分析，找两名学生代表上台板演.接着让学生独立完成教材P100练习第1，2题，完成后同桌之间互相检查.单项式乘多项式的法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.【正式作业】教材P105习题14.1第4，7题【家庭作业】《高效课时通》P74-P75。
华东师大版数学八年级上册《第12章整式的乘除》知识点总结知识点内容备注幂的运算同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加逆用：=幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘逆用：例：积的乘法积的乘方，把积的每一个因式分别相乘，再把所得的幂相乘==逆用：例=1同底数幂的除法同底数幂相处，底数不变，指数相减逆用：例：若=2,则的值是?整式的乘法单项式与单项式相单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同的字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数例：·=[3·(-2)]·(·x)·(y·)=乘一起作为积的一个因式单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加例：(-2=(-2+(-2) =-6+10多项式与多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加例：（X+2）（X—3）==整式的除法单项式除于单项式单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式例：24=（24）（）（）=8多项式除于单项式多项式除于单项式，先用这个多项式的每一项除于这个单项式，再把所得的商相加例: (9)(3x)=9=3乘法公式平方差公式两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差例：(a+b)(a-b)=逆用：=(a+b)(a-b)两数和的平方公式两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍例：逆用两数差的平方公式两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍例：逆用因式分解定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解因式分解的方法：①提公因式法②运用乘法公式法=(a+b)(a-b)常考点：①两种因式分解法一起运用（先提公因式，然后再运用公式法）例：=②“1”常常要变成“”例：。
