蚂蚁爬行的最短路径
1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10．
回答下列问题：
（1）蚂蚁最后是否回到出发点0；
（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻．解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0；
（2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒
2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是.
解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线．
AB= 5
1
22
2=
+．
3．（2006•茂名）如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是cm
第6题
．
解：由题意得，从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4．
A
B
4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（ ）
A ．A ⇒P ⇒
B B ．A ⇒Q ⇒B
C ．A ⇒R ⇒B
D ．A ⇒S ⇒B
解：根据两点之间线段最短可知选A ． 故选A ．
5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）
解：如图，AB =
()101212
2=++．故选C ．
A
B
12
1
6．正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为（）
解：展开正方体的点M所在的面，
∵BC的中点为M，
所以MC=
2
1
BC=1，
在直角三角形中AM= = ．
7．如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走最短路程是cm。
解：将盒子展开，如图所示：
AB=CD=DF+FC=
2
1
EF+
2
1
GF=
2
1
×20+
2
1
×20=20cm．
故选C．
8. 正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A 点爬行到M点的最短距离为.
解：将正方体展开，连接M、D1，
根据两点之间线段最短，
MD=MC+CD=1+2=3，
MD1=13
2
32
2
2
1
2=
+
=
+DD
MD．
9．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用 2.5
秒钟．
解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
（1）展开前面右面由勾股定理得AB= = cm；
（2）展开底面右面由勾股定理得AB= =5cm；
第7题
1
A B
A
1
B
1
D C
D
1
C
1
2
4
所以最短路径长为5cm，用时最少：5÷2=2.5秒．
10．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是。
解：将长方体展开，连接A、B，
根据两点之间线段最短，AB= =25．
11. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为.
解：正面和上面沿A1B1展开如图，连接AC1，△ABC1是直角三角形，
∴AC1=()5
3
4
2
1
42
2
2
2
2
1
2=
+
=
+
+
=
+BC
AB
12．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为米。
解：由题意得，
路径一：AB= = ；
路径二：AB= =5；
路径三：AB= = ；
∵＞5，
∴5米为最短路径．
13．如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A 出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求：
（1）蚂蚁经过的最短路程；
（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．
解：（1）AB的长就为最短路线．
然后根据若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为（cm）；
若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为（cm），
或（cm）
所以蚂蚁经过的最短路程是cm．
（2）5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm，
最长路程是30cm．
