专题训练 蚂蚁爬行的最短路径(含答案)

蚂蚁爬行的最短路径1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10．回答下列问题：（1）蚂蚁最后是否回到出发点0；（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻． 解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0； （2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线． AB =51222=+．3．（2006•茂名）如图，点A 、B 分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是 cm第6题．解：由题意得，从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4．4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（ ）A ．A ⇒P ⇒B B ．A ⇒Q ⇒BC ．A ⇒R ⇒BD ．A ⇒S ⇒B解：根据两点之间线段最短可知选A ． 故选A ．5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）解：如图，AB =()1012122=++．故选C ．16． 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为（ ）解：展开正方体的点M 所在的面， ∵BC 的中点为M ， 所以MC =21BC =1， 在直角三角形中AM==．7．如图，点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A 处向B 处爬行，所走最短路程是 cm 。

解：将盒子展开，如图所示：AB =CD =DF +FC =21EF + 21GF =21×20+21×20=20cm ． 故选C ．8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .解：将正方体展开，连接M 、D 1， 根据两点之间线段最短， MD =MC +CD =1+2=3， MD 1= 132322212=+=+DD MD ．9．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用2.5秒钟．解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面右面由勾股定理得AB = = cm ；（2）展开底面右面由勾股定理得AB ==5cm ；第7题1AB A 1B 1D CD 1C 124所以最短路径长为5cm ，用时最少：5÷2=2.5秒．10．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B，需要爬行的最短距离是 。

八年级数学蚂蚁爬最短路程基础练习一、单选题(共5道，每道20分)1.如图，一圆柱体的底面圆周长为24，高AB为4，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程是（）A.B.C.4πD.24π答案：B解题思路：解：将圆柱体的表面沿AB展开成平面图形，连接AC，AC即为所求ABB´A´为长方形，CD分别为BB´，AA´的中点，其中AB=4，AA´为圆柱体的底面圆的周长为24，AA´=24，AD=12，由勾股定理求得：AC=，B为正确选项试题难度：三颗星知识点：平面展开最短路径问题2.如图，是一个棱长为2的正方体，一只蜘蛛在顶点A处，一只小昆虫在顶点B处，则蜘蛛接近小昆虫时所爬行的最短路线的长是（）A.B.+ 2C.D.答案：D解题思路：将正方体的两条边长的和4作为展开后的长方形的一条边长，正方体的另一条边长2作为展开后长方形的另一条边长，此长方形的对角线即为蜘蛛接近小昆虫时所爬行的最短路线，求得结果为试题难度：三颗星知识点：平面展开最短路径问题3.如图，一个长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是12，8，30．在棱AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，最短路线的长是（）.A.30B.+ 15C.20D.25答案：D解题思路：可以从C点处沿平行于上下底面的直线切割，将原来的长方体切割成了两个，保留含有D点的新长方体，长、宽、高分别为12,8,15.然后利用蚂蚁爬长方体的解题技巧：把新的长方体的长和宽的和12+8-20作为长方形的一条边长，以15作为长方形的另一条边长，此长方形的对角线即为所求的最短路程，结果为试题难度：三颗星知识点：平面展开最短路径问题4.如图，某公司举行开业一周年庆典时，准备在公司门口长13米、高5米的台阶上铺设红地毯．已知台阶的宽为4米，则需要购买红地毯（）平方米．A.18B.72C.48D.56答案：B解题思路：解：需要铺设红地毯的长度应为直角三角形两直角边的和13+5=18米，则需要购买红地毯的面积为18×4=72（平方米）试题难度：三颗星知识点：平面展开最短路径问题5.如图所示，有一根高为2m的木柱，它的底面周长为0.3m，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕圈，一直缠到起点的正上方为止，问：小明至少需要准备()m的一根彩带.A.8.41B.4C.2D.2.9答案：D解题思路：方法一：先求出彩带缠绕一圈时的最短长度，此时将缠绕一圈的圆柱体表面展开为长方形，长方形的一条边长为底面圆周长为0.3m，另一边边长为圆柱体高的，为，所以结果为，在算出绕7圈时的最短长度为方法二：将7圈彩带缠绕的圆柱体一块展开，此时得到的长方形一条边长为圆柱体的高2m，另一条边为底面圆的周长的7倍，为 2.1m，所以最短长度为展开后长方形的对角线为试题难度：三颗星知识点：平面展开最短路径问题。

B CD AL 中考专题复习——路径最短问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题； 线段（之和）最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。

（构建“对称模型”实现转化） 三、例题：例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A 沿木块侧面爬到点B 处，则它爬行的最短路径是 。

②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。

例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。

②如图，直线L 同侧有两点A 、B ，已知A 、B 到直线L 的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L 上找一个点P ，使PA+PB 的和最小。

请在图中找出点P 的位置，并计算PA+PB 的最小值。

③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km 和3Km ，张村与李庄的水平距离为3Km ，则所用水管最短长度为 。

四、练习题（巩固提高）张村李庄ABCD 图(2)EBDACP图(3)D OP（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。

2、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为 。

3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点B 处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm ，底面圆的周长为24cm ，则蚂蚁爬行的最短路径为 。

4、正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN的最小值为 。

第4题 第5题 第6题 第7题5、在菱形ABCD 中，AB=2， ∠BAD=60°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为 。

2023年九年级中考数学专题训练:蚂蚁爬行问题一．选择题1．如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形一只蚂蚁从顶点开始爬向顶点，那么它爬行的最短路程为（）A．B．C．D．2．如图，圆柱形玻璃板，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是（）A．15cm B．16cm C．17cm D．18cm3．如图所示，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝6，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱侧面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）A．3B．6C．9D．64．如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别是，A和B是这个台阶相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到B处去吃食物，则这只蚂蚁爬行的最短距离为（）A．B．C．D．5．图，长方体的长为8，宽为10，高为6，点B离点C的距离为2，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．B．C．D．6．如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（ ）A．10B．12C．14D．207．一只蚂蚁趴在如图所示的数轴上，它从点A沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B，设点A表示，那么点B所表示的数为（）A．B．C．D．8．如图，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为（ ）A．B．C．D．二．填空题9．一只蚂蚁先向上爬4个单位长度，再向右爬5个单位长度后，到达，则它最开始所在位置的坐标是___________．10．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的概率是______．11．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右沿直线爬行2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B所表示的数为m，则__________．12．如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是_____．13．如图，正方体的棱长为3 cm，已知点B与点C间的距离为1 cm，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离为_________．14．已知圆锥的底面半径是，母线长为，C为母线的中点，蚂蚁在圆锥侧面上从A爬到C的最短距离是_____________．15．如图在直线AB上有一点C，，有两只蚂蚁分别以2cm/s、1cm/s 从A、C两点同时出发向右运动，经过__________秒，两只蚂蚁到C点的距离相等．16．在一个长米，宽为4米的长方形草地上，如图推放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图的高是米的等腰直角三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是___________．三．解答题17．如图，一个无盖的长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由A出发，在盒子表面上爬到点G，已知，，，，求这只蚂蚁爬行的最短距离．18．如图是长、宽、高的长方体容器．(1)求底面矩形的对角线的长；(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？(3)一只蚂蚁从D点爬到E点最短路径是多少？19．如图，已知圆锥底面半径为，母线长为，求一只蚂蚁从A处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置A处）所爬行的最短距离．20．如图，已知A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为，现有一只蚂蚁P从B点出发，以5个单位的速度沿数轴向左运动；同时另一只蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位的速度沿数轴向右运动，请解决以下问题：(1)设两只蚂蚁在数轴上的C点相遇，请求出C点对应的数是多少？(2)经过多少秒，之间的距离恰好是之间的距离的一半？参考答案：1．C2．A3．A4．A5．A6．A7．B8．C9．10．11．/12．/13厘米13．14．15．或2016．17．18．(1)底面矩形的对角线的长为(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是(3)蚂蚁从D点爬到E点最短路径19．20．(1)(2)秒或秒。

蚂蚁爬行的最短路径1．一只蚂蚁从原点 0 出发来回爬行，爬行的各段路程依次为： +5，-3，+10，-8 ，-9，+12， -10．回答下列问题：（1）蚂蚁最后是否回到出发点 0；（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励 2 粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻． 解：（ 1）否， 0+5-3+10-8-9+12-10=-3 ，故没有回到 0； （2）（ |+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114 粒2. 如图，边长为 1 的正方体中，一只蚂蚁从顶点 A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .3．（2006?茂名）如图，点 A 、B 分别是棱长为 2 的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点 A 沿其表面爬到点 B 的最短路程是 cm解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段 AB= 22 12 5 ．AB 即为最短路线．B 的最短路程是两个棱长的长，即 2+2=4．4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面 A 点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是（）A．A? P? B B ．A? Q? B C ．A? R? B D ．A? S? B解：根据两点之间线段最短可知选A．故选A．5．如图，点 A 的正方体左侧面的中心，点 B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，蚂蚁从点A沿其表面爬到点 B 的最短路程是（）解：如图，AB= 1 2 2 12 10 ．故选C．6．正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从 A 点爬行到M点的最短距离为（）解：展开正方体的点M所在的面，∵BC的中点为M，1所以MC= BC=1，2在直角三角形中AM= = ．7．如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A处向 B 处爬行，所走最短路程是cm 。

故选C．8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离解：将正方体展开，连接M、D1，根据两点之间线段最短，MD=MC+CD=1+2，=3MD1= MD 2 DD1232 22139．如图所示一棱长为 3cm 的正方体， 把所有的面均分成 3×3个小正方形． 其边长都为 1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm ，则它从下底面点 A 沿表面爬行至侧面的 B 点，最少要用 2.5 秒钟解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短 的路线．（ 1）展开前面右面由勾股定理得 AB= = cm ；（2）展开底面右面由勾股定理得 AB==5cm ；所以最短路径长为 5cm ，用时最少： 5÷2=2.5 秒．10．（2009?恩施州）如图，长方体的长为 15，宽为 10，高为 20，点 B 离点 C 的距离为 5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B ，需要爬行的最短距离是 。

蚂蚁爬行的最短路径1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10．回答下列问题：（1）蚂蚁最后是否回到出发点0；（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻． 解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0； （2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线．AB = 51222=+．3．（2006•茂名）如图，点A 、B 分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是 cm第6题．解：由题意得，从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4．4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（ ）A ．A ⇒P ⇒B B ．A ⇒Q ⇒BC ．A ⇒R ⇒BD ．A ⇒S ⇒B解：根据两点之间线段最短可知选A ． 故选A ．5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）解：如图，AB =()1012122=++．故选C ．16． 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为（ ）解：展开正方体的点M 所在的面， ∵BC 的中点为M ， 所以MC =21BC =1， 在直角三角形中AM = =．7．如图，点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A 处向B 处爬行，所走最短路程是 cm 。

解：将盒子展开，如图所示：AB =CD =DF +FC =21EF + 21GF =21×20+21×20=20cm ． 故选C ．8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .解：将正方体展开，连接M 、D 1， 根据两点之间线段最短，MD =MC +CD =1+2=3，MD 1= 132322212=+=+DD MD ．9．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 2.5秒钟．解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面右面由勾股定理得AB = = cm ；（2）展开底面右面由勾股定理得AB ==5cm ；第7题1AB A 1B 1D CD 1C 124所以最短路径长为5cm ，用时最少：5÷2=2.5秒．10．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。

蚂蚁爬行的最短路径问题Ⅰ．专题精讲：当蚂蚁在一个几何体的表面上爬行时，通常情况下都会考虑将其展开成一个平面，运用勾股定理计算其最短路程，也就是运用“化曲为平”或“化折为直”的思想来解决问题．Ⅱ．典型例题剖析:一．两点之间，线段最短与勾股定理相结合台阶问题如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是.圆柱(锥)问题1.有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离.2.有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为.3.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线--螺旋前进的，难道植物也懂数学？通过阅读以上信息，解决下列问题：（1）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm，则它爬行一圈的路程是多少？（2）如果树干的周长为80cm，绕一圈爬行100cm，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？第1题第2题4. 如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A 点出发，绕侧面一周又回到A 点，它爬行的最短路线长是 .5. 如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm ，假若点B 有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC 的中点P 处的食物，那么它爬行的最短路程是 .6. 已知O 为圆锥顶点，OA 、OB 为圆锥的母线，C 为OB 中点，一只小蚂蚁从点C 开始沿圆锥侧面爬行到点A ，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B ，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OA 剪开，则得到的圆锥侧面展开图为 （ ）正（长）方体问题1. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .2. 如图，一只小虫沿边长为1的正方体的表面从点A 出发，经过3个面爬到点B ．如果它运动的路径是最短的，则AC 的长为 .3. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .第4题第5题A .B .C .D .第1题第2题第3题14A B A 1B 1D C D 1C 124. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 .5. 如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 .变式：如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ．6.（1）如图①，一个无盖的长方体盒子的棱长分别为BC ＝3cm 、AB ＝4cm 、AA 1＝5cm ，盒子的内部顶点C 1处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A 处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）．假设昆虫甲在顶点C 1处静止不动，请计算A 处的昆虫乙沿盒子内壁爬行到昆虫甲C 1处的最短路程．并画出其最短路径，简要说明画法．（2）如果（1）问中的长方体的棱长分别为AB ＝BC ＝6cm ，AA 1＝14cm ，如图②，假设昆虫甲从盒内顶点C 1以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C 1C 向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A 以3厘米/秒的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？第5题 变式题图研究课题：蚂蚁怎样爬最近？研究方法：如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处，要求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长，可将该正方体右侧面展开，由勾股定理得最短路程的长为AC1＝AC2+CC12＝102+52＝55cm．这里，我们将空间两点间最短路程问题转化为平面内两点间距离最短问题．研究实践：（1）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处，蚂蚁需要爬行的最短路程的长为．（2）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且∠AOA1＝120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长．（3）如图5，没有上盖的圆柱盒高为10cm，底面圆的周长为32cm，点A距离下底面3cm．一只位于圆柱盒外表面点A处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点B处．请求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．。

蚂蚁爬最短路问题（人教版）（专题）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，一个三级台阶的每一级的长、宽、高分别为50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点处有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，需要爬行的最短路径长为( )A.115cmB.130cmC.135cmD.169cm答案：B解题思路：将台阶展开，如图：因为BC=30×3+10×3=120，AC=50,所以，所以AB=130cm，所以壁虎爬行的最短线路为130cm．故选B试题难度：三颗星知识点：略2.如图所示，ABCD是长方形地面，长AB=20m，宽AD=10m．中间竖有一堵砖墙高MN=2m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走( )A.20mB.24mC.25mD.26m答案：D解题思路：如图所示，将图展开，图形长度增加2MN，原图长度增加4米，则AB=20+4=24m，连接AC，四边形ABCD是长方形，AB=24m，宽AD=10m，∴，解得AC=26∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走26m的路程．故选D试题难度：三颗星知识点：略3.如图，一圆柱体的底面周长为48cm，高AB为7cm，BC是上底面的直径．一只昆虫从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则昆虫爬行的最短路程为( )A.15cmB.20cmC.25cmD.30cm答案：C解题思路：把圆柱体展开，则与点A，B，C，D相对应的四点构成一个长方形，且所求最短路径为对角线AC的长．在矩形ABCD中AB长为原柱体的高，AD长为原柱体底面周长的一半．由勾股定理可知AC=25故选C试题难度：三颗星知识点：略4.有一个圆柱形油罐，油罐的底面半径是2m，高AB是5m，要以点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需( )米取．A.13mB.15mC.20mD.24m答案：A解题思路：如图，∵油罐的底面半径是2m，∴油罐的底面周长为4π=12m，又∵高AB为5m，即展开图中，BC=5m，所以，解得AB=13故所建梯子最短为13m．故选A试题难度：三颗星知识点：略5.如图所示，有一个高18cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是( )A.16cmB.18cmC.20cmD.24cm答案：C解题思路：如图展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，过S作SE⊥CD于E，则SE＝BC＝×24＝12EF＝18-1-1＝16在Rt△FES中，由勾股定理得：SF2＝SE2+EF2=解得SF=20所以捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是20cm．故选C试题难度：三颗星知识点：略6.如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池，该型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱而成，中间可供滑行部分的横截面是半径为3m的半圆，该部分的边缘AB=CD=45m，点E在CD上，CE=5m，一滑行爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离是( )m．（边缘部分的厚度可以忽略不计，π取整数A.30mB.40mC.41mD.50m答案：C解题思路：U型池池面侧面展开图如图，连接AE，DE=CD-CE=45-5=40，AD=πr=9，在Rt△ADE中，∠D=90°，由勾股定理得，∴∴AE=41故他滑行的最短距离约为41m故选C．试题难度：三颗星知识点：略7.2015年是国际“光”年，某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图）．在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为8cm，底面边长为2cm，则这圈金属丝的长度至少为( )A.8cmB.10cmC.12cmD.15cm答案：B解题思路：将三棱柱沿展开，其展开图如图，由勾股定理得，解得所以这圈金属丝的长度至少为10cm故选B试题难度：三颗星知识点：略8.如图，长方体的长、宽、高分别为4cm，2cm，5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为( )A.9cmB.13cmC.12cmD.5cm答案：B解题思路：如图，作出长方体的侧面展开图在Rt△PP′Q′中，∠PP′Q′=90°，PP′=12，P′Q′=5由勾股定理得，解得因此，蚂蚁爬行的最短路径长是13cm故选B试题难度：三颗星知识点：略9.如图，长方体的长为10 cm，宽为5 cm，高为20 cm．若一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路径是( )A.25cmB.22cmC.28cmD.20cm答案：A解题思路：①如图，把我们所看到的左面和上面组成一个平面则这个长方形的长和宽分别是10 cm和25 cm，则由勾股定理，可得所走的最短线段的平方为②如图，把我们看到的前面与上面组成一个长方形则这个长方形的长和宽分别是30cm和5 cm，则由勾股定理，可得所走的最短线段的平方为；③如图，把我们所看到的左面和后面组成一个长方形则这个长方形的长和宽分别是15 cm和20 cm，则由勾股定理，可得所走的最短线段的平方为；三种情况比较而言，第三种情况最短．所以爬行的最短路径为25cm故选A试题难度：三颗星知识点：略10.如图所示，一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形，其边长都为1cm，假设一只蚂蚁从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要爬( )A.30cmB.13cmC.20cmD.5cm答案：D解题思路：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．①按前面和右面展开，由勾股定理得；②按底面和右面展开，由勾股定理得；所以②中所爬行的路径最短，最短路径长为5cm故应选D试题难度：三颗星知识点：略。

文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.1.如图，有一个圆柱的高为 6cm ，底面周长为 16cm ，在圆柱下底面的 A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面 B 点处的食物，则沿着圆柱的表面需要爬行的最短路程是10cm．解：将圆柱体展开，连接A、 B，根据两点之间线段最短，∵圆柱的高为6cm ，底面周长为16cm ，∴A D=8cm ， BD=6cm ，∴A B= √82+62=10cm ．故答案为： 10 ．2.如图圆柱的底面半径为 6 ㎝ ,高为 l0cm, 蚂蚁在圆柱表面爬行 ,从点 A 到点 B 的最短路程是多少厘米 ?(保留小数点后一位 )展开图成直角三角形，∠AOB=90°OB=3.14× 6=18.84cm ， OA=10cm 。

求 AB∴A B=√（ OA2+OB2） =21.3cm总结：最短路程=√底面圆周长一半的平方+圆柱高的平方3.一只蚂蚁要从正方体的一个顶点 A 沿表面爬到顶点 B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点 C 呢？说明你的理由。

A 到B 最短距离为其对角线，为根号 2 倍的边长A 到 C 可以将其想象成展开的平面，最短距离为这两个平面的对角线，为根号5倍的边长如图：向左转 |向右转3.一只蚂蚁在立方体的表面积爬行．（Ⅰ）如图 1 ，当蚂蚁从正方体的一个顶点 A 沿表面爬行到顶点 B ，怎样爬行路线最短？说出你的理由．（Ⅱ）如图1，如果蚂蚁要从边长为1cm 的正方体的顶点 A 沿最短路线爬行到顶点 C ，那么爬行的最短距离 d 的长度应是下面选项中的（）（A ） 1cm ＜ l＜3cm（B）2cm（C）3cm这样的最短路径有6 条．（Ⅲ）如果将正方体换成长AD=2cm ，宽 DF=2cm ，高 AB=1.5cm的长方体（如图 2 所示），蚂蚁仍需从顶点 A 沿表面爬行到顶点 E 的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图测量来说明）考点：平面展开 - 最短路径问题．分析：（ I）根据线段的性质：两点之间线段最短，求出即可；（II ）根据图形可得出最短路径为√5，进而得出答案即可；（Ⅲ）将立方体采用两种不同的展开方式得出最短路径即可．解答：解：（ I）如图 1 所示，沿线段AB 爬行即可，根据两点之间线段最短；（I I ）如图 2 所示： 1cm ＜l＜3cm ，故选 A，路线有 6 条，如图 2 所示：（III）蚂蚁爬行的最短路线是沿面AF 和面 FC 展开后所连接的线段AE ，原因：如图①和图②所示作图，分别连接AE ，并分别在两图中测量AE 的长，可得图②中的AE 较短．也可利用勾股定理得出：图①中AE=√732cm ，图②中 AE=√652cm ．。

最短路径问题―――蚂蚁爬行的最短路径最短路径问题旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题确定起点终点的最短路径问题- 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。

而蚂蚁爬行的最短路径是指蚂蚁在平面图形或在几何体中爬行，求其爬行的最短路程。

1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10．回答下列问题：（1）蚂蚁最后是否回到出发点0；（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻．2．如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是.3．如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是cm4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是（）A．A⇒P⇒B B．A⇒Q⇒B C．A⇒R⇒B D．A⇒S⇒B5．如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（）6．正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为（）7．如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走最短路程是cm。

第2题第8题1A BA1B1D CD1C1248. 正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为. 9．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用秒钟．第9题第10题第11题第12题10．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是。