江苏南京市2019届高三年级学情数学调研卷(有附加题)试卷

高三期初数学试卷第1页（共4页）结束开始I ←1 S ←1 S ←2S输出SN Y （第4题图）I ≤5 I ←I ＋2 Y 南京市2019届高三年级学情调研数学2018.09注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n(x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑n x i ．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答．题卡．．相．应位置．．．上．1．已知集合A ＝{x |1＜x ＜5，x ∈R }，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，那么集合A ∩B 中有▲个元素．2．复数z ＝(1＋b i)(2－i)，其中b ∈R ，i 为虚数单位．若z 是纯虚数，则实数b 的值为▲．3．已知某地连续5天的最低气温(单位：摄氏度)依次是18，21，22，24，25，那么这组数据的方差为▲．4．执行右图所示的算法流程图，则最后输出的S 的值为▲．5．若函数f (x )＝a ＋12x －1是奇函数，则实数a 的值为▲．6．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的交点的纵坐标为2，则该双曲线的离心率是▲．7．不透明的盒子中有大小、形状和质地都相同的5只球，其中2只白球，3只红球，现从中随机取出2只球，则取出的这2只球颜色相同的概率是▲．8．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ) (－π2＜φ＜π2)的图象关于直线x ＝π6对称，则f (0)的值为▲．9．如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1＝3，则四棱锥A 1－ B 1C 1CB 的体积是的体积是 ▲ ． 10．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)(n ∈N *)，则a 10 的值的值为 ▲ ．11．已知△ABC 的面积为315，且AC －AB ＝2，cos A ＝－14，则，则 BC 的长的长 为 ▲ ．12．在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°， E 为边BC 上一点，且AB →·AE →＝6， AD →·AE →＝32，则AB →·AD →的值为的值为 ▲▲ ．．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (1，－1)，点P 为圆(x －4)2＋y 2＝4上任意一点，记△OAP 和△OBP 的面积分别为S 1和S 2，则，则 S 1S2 的最小值是的最小值是 ▲ ． 14．若函数f (x )＝12ax 2－e x＋1在x ＝x 1和x ＝x 2两处取到极值，且两处取到极值，且 x 2x 1 ≥2，则实数a 的取值范围的取值范围 是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）分）如图，已知四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BC ＝EC ，F 是BE 的中点．的中点． （1）求证：DE ∥平面ACF ； （2）求证：平面AFC ⊥平面ABE ．ABCA 1B 1C 1（第9题图）题图）AEDFBC（第15题图）题图）16．（本小题满分14分）分）已知α，β为钝角，且sin α＝35，cos2β＝－35．（1）求tan β的值；的值； （2）求cos(2α＋β)的值．的值．17．（本小题满分14分）分）销售甲种商品所得利润是P 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式P ＝att ＋1，销售乙种商品所得利润是Q 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式Q ＝bt ，其中a ，b 为常数．现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为 9 4 万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元．若将3万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为f (x )万元．万元． （1）求函数f (x ) 的解析式；的解析式；（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．18．（本小题满分16分）分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且直线l ：x ＝2被椭圆E 截得的弦长为2．与坐标轴不垂直的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，且PQ 的中点R 在直线l 上．点M (1，0)．（1）求椭圆E 的方程；的方程； （2）求证：MR ⊥PQ ．（第18题图）题图）OlyxM19．（本小题满分16分）分）已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2．（1）求过原点(0，0)，且与函数f (x )的图象相切的直线l 的方程；的方程；（2）若a ＞0，求函数φ(x )＝|g (x )－2a 2f (x )|在区间[1，＋∞) 上的最小值．上的最小值．20．（本小题满分16分）分）如果数列{a n }共有k (k ∈N *，k ≥4)项，且满足条件：项，且满足条件：① a 1＋a 2＋…＋a k ＝0； ② |a 1|＋|a 2|＋…＋＋…＋||a k |＝1，则称数列{a n }为P (k )数列．数列．（1）若等比数列{a n }为P (4)数列，求a 1的值；的值； （2）已知m 为给定的正整数，且m ≥2．① 若公差为正数的等差数列{a n }是P (2m ＋3)数列，求数列{a n }的公差；的公差；② 若a n ＝îíìq n －13 ，1≤n ≤m ，n ∈N *，m －n 12，m ＋1≤n ≤2m ，n ∈N *，其中q 为常数，q ＜－1．判断数列{a n }是否为P (2m )数列，说明理由．数列，说明理由．南京市2019届高三年级学情调研数学附加题 2018.09注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．分钟．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．题卡指定．．．．区域内．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A ＝ëêéûúù 2 －2 1 －3 ，向量α＝ëêéûúù－4 2 ． （1）若向量）若向量 β ＝ ëéûùxy 满足Aβ＝α，求x ，y 的值；的值；（2）求）求 A －1．B ．选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线l ：ρcos(θ－ π4)＝2 与曲线C ：ρ＝6sin θ 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．的长．C ．选修4－5：不等式选讲已知a ，b ，c 是正数，且a ＋b ＋c ＝1，求，求 1a ＋4b ＋4c 的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．题卡．．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 的边长AB ＝3，侧棱AA 1＝2，点E 是棱CC 1的中点，点F 满足AF →＝2FB →．（1）求异面直线FE 和DB 1所成角的余弦值；所成角的余弦值； （2）记二面角E －B 1F －A 的大小为θ，求，求||cos θ|．23．（本小题满分10分）本着健康、低碳的生活理念，租用公共自行车骑行的人越来越多．某种公共自行车的租用收费标准为：每次租车不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．甲、乙两人相互独立来租车，每人各租1辆且只租用1次．设甲、乙不超过1小时还车的概率分别为小时还车的概率分别为 14 和 12 ；1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为小时还车的概率分别为 12 和 14 ；两人租车时间都不会超过3小时．小时．（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）记甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望E (X )．ABCDEFA 1 B 1 D 1 C 1 （第22题图）题图）南京市2019届高三年级学情调研数学参考答案及评分标准 2018.09说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．1．2 2．－2 3．6 4．8 5．126．5 7．25 8．1 9．23 10．191011．8 12．－92 13．2－3 14．[ 2ln2，＋∞）二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．证明：（1）连结BD ，交AC 于点O ，连结OF ．因为四边形ABCD 是矩形，O 是矩形ABCD 对角线的交点，对角线的交点， 所以O 为BD 的中点．的中点． 又因为F 是BE 的中点，的中点，所以所以 在△BED 中，OF ∥DE ．………………．……………… 4分 因为OF Ì平面AFC ，DE Ë平面AFC ，所以DE ∥平面AFC ． ……………………………… 6分 （2）因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ⊥BC ．又因为平面ABCD ⊥平面BCE ，且平面ABCD ∩平面BCE ＝BC ，AB Ì面ABCD ， 所以AB ⊥平面BCE ． ………………………………………… 9分 因为CF Ì平面BCE ，所以AB ⊥CF ． 在△BCE 中，因为CE ＝CB ， F 是BE 的中点，的中点，AEDFBC（第15题图）题图）O所以CF ⊥BE ． ………………………………………… 11分因为AB Ì平面ABE ，BE Ì平面ABE ，AB ∩BE ＝B ，所以CF ⊥面ABE ． 又CF Ì平面AFC ，所以平面AFC ⊥平面ABE ． ………………………………………… 14分16．解：（1）因为cos2β＝－35，cos2β＝2cos 2β－1，所以所以 2cos 2β－1＝－35，解得cos 2β＝15． ………………………………………… 2分因为β为钝角，所以cosβ＝－55．从而sin β＝1－cos 2β＝1－15＝255． ………………………………………… 5分 所以tan β＝sin βcos β＝255－55＝－2． …………………………………………7分 （2）因为α为钝角，sin α＝35，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－(35)2＝－45． …………………………………………9分 所以所以 sin2α＝2sin αcos α＝2×35×(－45)＝－2425，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×(35)2＝725． …………………………………………11分 从而cos(2α＋β)＝cos2αcos β－sin2αsin β＝725×(－55)－(－2425)×255＝415125． ………………………………………… 14分17．解：（1）由题意，P ＝att ＋1，Q ＝bt ， 故当t ＝3时，P ＝3a 3＋1＝94，Q ＝3b ＝1． ………………………………………… 3分解得解得 a ＝3，b ＝13． ………………………………………… 5分所以所以 P ＝3t t ＋1，Q ＝13t ．从而从而 f (x )＝3xx ＋1＋3－x 3，x ∈[0，3]． ………………………………………… 7分（2）由（1）可得：f (x )＝3x x ＋1＋3－x 3＝133－(3x ＋1＋x ＋13)．………………………………………… 9分因为x ∈[0，3]，所以x ＋1∈[1，4]， 故 3x ＋1＋x ＋13≥2，从而从而 f (x )≤133－2＝73． ………………………………………… 11分当且仅当3x ＋1＝x ＋13，即x ＝2时取等号．时取等号．所以f (x )的最大值为的最大值为 73．答：分别投入2万元、1万元销售甲、乙两种商品时，所得利润总和最大，最大利润是73万元．元． ………………………………………… 14分18．解：（1）因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e＝22， 所以e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2． ………………………………………… 2分因为直线l ：x ＝2被椭圆E 截得的弦长为2， 所以点(2，1)在椭圆上，即在椭圆上，即 4a 2＋1b2＝1．解得a 2＝6，b 2＝3，所以椭圆E 的方程为的方程为 x 26＋y23＝1． ………………………………………… 6分（2）解法一：因为直线PQ 与坐标轴不垂直，故设PQ 所在直线的方程为y ＝kx ＋m ．设 P (x 1，y 1)，Q (x 2， y 2) ．因为PQ 的中点R 在直线 l ：x ＝2上，故R (2，2k ＋m )． 联立方程组îïíïìy =kx ＋m ，x 26＋y 23＝1，消去y ，并化简得，并化简得 (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0， ………………………………………… 9分 所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k2 ． （*）由x 1＋x 2＝－4km 1＋2k2＝4，得1＋2k 2＝－km ． ① …………………………………… 12分因为M (1，0)，故k MR ＝2k ＋m2－1＝2k ＋m ， 所以k MR ·k PQ ＝(2k ＋m )k ＝2k 2＋km ＝2k 2－(1＋2k 2)＝－1，所以MR ⊥PQ ． ………………………………………… 16分 解法二：设P (x 1，y 1)，Q (x 2， y 2)．因为PQ 的中点R 在直线 l ：x ＝2上，故设R (2，t )． 因为点P ，Q 在椭圆E ：x 26＋y23＝1上，所以上，所以 îíìx 126＋y 123＝1，x 226＋y 223＝1， 两式相减得两式相减得 (x 1＋x 2) (x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2) (y 1－y 2)＝0．…………………．………………… 9分 因为线段PQ 的中点为R ，所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2t ．代入上式并化简得代入上式并化简得 (x 1－x 2)＋t (y 1－y 2)＝0． ………………………………………… 12分 又M (1，0)，所以所以 MR →·PQ →＝(2－1)×(x 2－x 1)＋(t －0)×(y 2－y 1)＝0， 因此因此 MR ⊥PQ ． ………………………………………… 16分19．解：（1）因为f (x )＝ln x ，所以f ′(x )＝1x (x ＞0)．设直线l 与函数f (x )的图象相切于点(x 0，y 0)，则直线l 的方程为的方程为 y －y 0＝1x 0(x －x 0)，即，即 y －ln x 0＝1x0(x －x 0)． ………………………………………… 3分因为直线l 经过点(0，0)，所以0－ln x 0＝1x0(0－x 0)，即ln x 0＝1，解得x 0＝e ．因此直线l 的方程为的方程为 y ＝1e x ，即x －e y ＝0． ………………………………………… 6分 （2）考察函数H (x )＝g (x )－2a 2f (x )＝x 2－2a 2ln x ．H ′(x )＝2x －2a 2x ＝2(x －a )( x ＋a )x(x ＞0)． 因为a ＞0，故由H ′(x )＝0，解得x ＝a ． ………………………………………… 8分① 当0＜a ≤1时，H ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，H (x )在区间[1，＋∞)上递增，上递增， 所以所以 H (x )min ＝H (1)＝1＞0，所以φ(x )min ＝1． ………………………………………… 11分 ② 当a ＞1时，H (x )在区间[1，a ]上递减，在区间[a ，＋∞)上递增，上递增， 所以所以 H (x )min ＝H (a )＝a 2(1－2ln a ) ．(ⅰ) 当1－2ln a ≤0，即a ∈[e ，＋∞) 时，H (x )min ＝a 2(1－2ln a )≤0， 又H (1)＝1＞0，所以φ(x )min ＝0．(ⅱ) 当1－2ln a ＞0，a ∈(1，e) 时，H (x )min ＝a 2(1－2ln a )＞0， 所以φ(x )min ＝a 2(1－2ln a ) ．综上综上 φ(x )min ＝îïíïì1， 0＜a ≤1，a 2(1－2ln a )，1＜a ＜e ，0， a ≥e ． ………………………………………… 16分20．解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ．因为数列{a n }为P (4)数列，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0， 从而从而 1＋q ＋q 2＋q 3＝0， 即 (1＋q )( 1＋q 2)＝0． 所以q ＝－1．又因为又因为||a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＝1，所以4|a 1|＝1，解得a 1＝－14 或 14． …………………………………………3分 （2）①）① 设等差数列{a n }的公差为d ．因为数列{a n }为P (2m ＋3)数列，数列，所以a 1＋a 2＋…＋a2m ＋3＝0，即，即(a 1＋a 2m ＋3)(2m ＋3)2＝0． 因为1＋2m ＋3＝2(m ＋2)，所以a 1＋a 2m ＋3＝2a m ＋2，从而从而 (2m ＋3)a m ＋2＝0，即a m ＋2＝0． ………………………………………… 6分 又因为又因为 |a 1|＋|a 2|＋…＋＋…＋||a 2m ＋3|＝1，且d ＞0， 所以所以 －(a 1＋a 2＋…＋a m ＋1)＋(a m ＋3＋a m ＋4＋…＋a 2m ＋3)＝1， 即 (m ＋2)(m ＋1)d ＝1，解得，解得 d ＝1(m ＋1)(m ＋2) ．因此等差数列{a n }的公差为d ＝1(m ＋1)(m ＋2) ． ………………………………………… 9分②若数列{a n }是P (2m )数列，则有：数列，则有：a 1＋a 2＋…＋a 2m ＝0；|a 1|＋|a 2|＋…＋＋…＋||a 2m |＝1． 因为因为 a n ＝îíìqn －13 ，1≤n ≤m ，n ∈N *，m －n12，m ＋1≤n ≤2m ，n ∈N *， 且q ＜－1， 所以所以 13×1－q m1－q －m (m ＋1)24＝0； （*） 13×1－|q |m1－|q |＋m (m ＋1)24＝1． （**） 当m 为偶数时，在（*）中，13×1－q m1－q ＜0，－m (m ＋1)24＜0，所以（*）不成立．）不成立． ………………………………………… 12分 当m 为奇数时，由（*）＋（**）得：）得：1－q m1－q ＋1－|q |m1－|q |＝3． 又因为又因为 q ＜－1，所以，所以 1－q m1－q ＋1＋q m1＋q ＝3， 解得q m ＋1＝3q 2－12．因为m (m ≥2)为奇数，所以qm ＋1≥q 4，所以所以3q 2－12≥q 4，整理得(2q 2－1)(q 2－1)≤0， 即 12≤q 2≤1，与q ＜－1矛盾．矛盾．综上可知，数列{a n }不是P (2m )数列．数列． ………………………………………… 16分南京市2019届高三学情调研考试数学附加题参考答案及评分标准 2018．0921．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分． A ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）因为矩阵A ＝ëêéûúù 2 －2 1 －3 ，向量α＝ëêéûúù－4 2 ，β＝ ëéûùx y ，且Aβ＝α， 所以所以 Aβ ＝ ëêéûúù 2 －2 1 －3 ëéûùx y ＝ëéûù2x －2y x －3y ＝ëéûù－4 2． …………………………………………3分 所以所以 îíì2x －2y ＝－4，x －3y ＝2， 解得解得 îíìx ＝－4，y ＝－2．………………………………………… 5分 （2）因为矩阵M ＝ëéûùa bc d (ad －bc ≠0)的逆矩阵为M －1＝ëêéûúù d ad －bc －bad －bc－c ad －bc a ad －bc， 且矩阵A ＝ëêéûúù 2 －2 1 －3 ， …………………………………………8分 所以所以 A －1＝ëêéûúù34 －1214 －12． ………………………………………… 10分B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：将曲线 C ：ρ＝6sin θ的极坐标方程化为直角坐标方程，得x 2＋(y －3)2＝9，因此，曲线C 是以(0，3)为圆心、半径为3的圆．的圆． ………………………………………… 3分 将直线l ：ρcos(θ－ π4)＝2的极坐标方程化为直角坐标方程，得x ＋y －2＝0．………………………………………… 6分 因为圆心(0，3)到的直线l 距离d ＝ |0＋3－2|2 ＝ 22，所以AB ＝2r 2－d 2＝29－(22)2＝34． …………………………………………10分C ．选修4—5：不等式选讲解：由a ，b ，c 是正数及柯西不等式，是正数及柯西不等式，得(a ＋b ＋c )( 1a ＋4b ＋4c )≥(a ． 1a ＋b ． 4b ＋c ． 4c)2＝25．………………………………………… 4分因为a ＋b ＋c ＝1，所以1a ＋4b ＋4c ≥25． ………………………………………… 6分当且仅当当且仅当a1a ＝ b4b ＝c4c 时，不等式取等号，时，不等式取等号， 此时此时 a ＝15，b ＝c ＝25．所以1a ＋4b ＋4c 的最小值为25. ………………………………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分． 22．解：在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，中，以{DA →，DC →，DD 1→}为正交基底，为正交基底， 建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ． 因为AB ＝3，AA 1＝2， E 是CC 1的中点，AF →＝2FB →，D 1 ABCDEFA 1 B 1 C 1 xyz所以E (0，3，1)，F (3，2，0)，B 1(3，3，2)．………………………………………… 2分（1）从而）从而 FE →＝(－3，1，1)，DB 1→＝(3，3，2)． 设异面直线FE 和DB 1所成的角为α，则cos α＝|cos <FE →，DB 1→>|>|＝＝|－3×3＋1×3＋1×211×22|＝411×22＝2211． 因此，异面直线FE 和DB 1所成角的余弦值为2211． ………………………………………… 5分 （2）设平面B 1FE 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )．因为FE →＝(－3，1，1)，FB 1→＝(0，1，2)，由 îïíïìn 1·FE →＝0，n 1·FB1→＝0，得 îíì－3x ＋y ＋z ＝0， y ＋2z ＝0， 所以îïíïìx ＝－13z ，y ＝－2z ．取z ＝－3，则平面B 1FE 的一个法向量为n 1＝(1，6，－3)．………………………………………… 8分又因为平面AB 1F 的一个法向量为n 2＝(1，0，0)，所以cos < n1，n 2>＝146×1＝4646． 因此因此||cos θ|＝| cos < n 1，n 2>|>|＝＝4646． ………………………………………… 10分23．解：（1）由于两人租车时间都不会超过3小时，小时，根据题意，每人所付费用可能为0，2，4元．元． 因此，两人都付0元的概率为P 1＝14×12＝18，都付2元的概率为P 2＝12×14＝18，都付4元的概率为为P 3＝14×14＝116．所以，两人所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝516．………………………………………… 4分（2）根据题意，X 所有可能的取值为0，2，4，6，8．P (X ＝0)＝14×12＝18；P (X ＝2)＝14×14＋12×12＝516；P (X ＝4)＝14×14＋12×14＋14×12＝516；P (X ＝6)＝12×14＋14×14＝316； P (X ＝8)＝14×14＝116．因此，随机变量X 的分布列为：的分布列为：X 0 2 4 6 8 P18516516316116………………………………………… 8分随机变量X 的数学期望E (X )＝58＋54＋98＋12＝72． ………………………………………… 10分。

2019届高三12月联合调研测试数学 试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3,4}A =，{3,5}B =，则()C A B = ______.2.复数21ii+-（i 为虚数单位）的模为 ______.3.在平面直角坐标系xOy 中，已知y 是双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 ______.4.已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是 ______.5.如图程序运行的结果是 ______.6.如图是样本容量为200的频率分布直方图.根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为 ______.7.设等比数列{}n a 的前n 项积为n P ，若12732PP =，则10a 的值是 ______. 8.已知直线l 、m 与平面α、β，l α⊂，m β⊂，则下列命题中正确的是 ______（填写正确命题对应的序号）. ①若l m ∥，则αβ∥②若l m ⊥，则αβ⊥ ③若l β⊥，则αβ⊥ ④若αβ⊥，则m α⊥9.已知cos()4πθ+=(0,)2πθ∈，则sin(2)3πθ-= ______.10.在等腰三角形ABC 中，底边2BC =，AD DC =，12AE EB =，若12BD AC ⋅=-，则CE AB ⋅=______. 11.已知22:(1)(4)4M x y -+-=，若过x 轴上的一点(,0)P a 可以作一直线与M 相交于A ，B 两点，且满足PA BA =，则a 的取值范围为 ______.12.如图，在三棱锥P ABC -中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且3PA =，2PB =，1PC =.设M 是底面ABC 内一点，定义()(,,)f M m n p =.其中m 、n 、p 分别是三棱锥M PAB -、三棱锥M PBC -、三棱锥M PCA -的体积.若1()(,,)2f M x y =，且18ax y+≥恒成立，则正实数a 的最小值为 ______.13.已知ABC ∆的三边长a ，b ，c 成等差数列，且22263a b c ++=，则实数b 的取值范围是 ______. 14.已知函数()y f x =，若给定非零实数a ，对于任意实数x M ∈，总存在非零常数T ，使得()()af x f x T =+恒成立，则称函数()y f x =是M 上的a 级T 类周期函数，若函数()y f x =是[0,)+∞上的2级2类周期函数，且当[0,2)x ∈时，21,01()(2),12x x f x f x x ⎧-≤≤⎨-<<⎩，又函数21()2ln 2g x x x x m =-+++.若1[6,8]x ∃∈，2(0,)x ∃∈+∞，使21()()0g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是 ______.二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步．．．．．．．．．．．．．．．．．．骤．. 15. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点(1,0)A 和点(1,0)B -，||1OC =，且AOC x ∠=，其中O 为坐标原点.（Ⅰ）若34x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求||OC OD +的最小值； （Ⅱ）若[0,]2x π∈，向量m BC =，(1cos ,sin 2cos )n x x x =--，求m n ⋅的最小值及对应的x 值.16. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥，点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点.（Ⅰ）求证：D 为BC 的中点； （Ⅱ）求证：EF ∥平面1ADC .17. 某校在圆心角为直角，半径为1km 的扇形区域内进行野外生存训练.如图所示，在相距1km 的A ，B 两个位置分别为300,100名学生，在道路OB 上设置集合地点D ，要求所有学生沿最短路径到D 点集合，记所有学生进行的总路程为()S km .（Ⅰ）设ADO θ∠=，写出S 关于θ的函数表达式； （Ⅱ）当S 最小时，集合地点D 离点A 多远？18. 如图，1F 、2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点，椭圆的右准线l 与x 轴交于A 点，若1(1,0)F -，且122AF AF =.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过1F 、2F 作互相垂直的两直线分别与椭圆交于P 、Q 、M 、N 四点，求四边形PMQN 面积的取值范围.19. 已知函数21()ln 2f x ax x =+，()g x bx =-，设()()()h x f x g x =-.（Ⅰ）若()f x 在2x =处取得极值，且'(1)(1)2f g =--，求函数()h x 的单调区间； （Ⅱ）若0a =时函数()h x 有两个不同的零点1x 、2x . ①求b 的取值范围；②求证：1221x x e>.20. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，把满足条件*1()n n a S n N +≤∈的所有数列{}n a 构成的集合记为M .（1）若数列{}n a 通项为12n na =，求证：{}n a M ∈； （2）若数列{}n a 是等差数列，且{}n a n M +∈，求512a a -的取值范围；（3）若数列{}n a 的各项均为正数，且{}n a M ∈，数列4{}nna 中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列{}n a 的通项；若不存在，说明理由.数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答．．．．．．．．．，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.A.选修4-2：矩阵与变换求曲线||||1x y +=在矩阵10103M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积. B ．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标，直线l 的极坐标方程为4πθ=，试求直线l 与曲线C 的交点的极坐标.C ．选修4-5：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足243a b c ++=，求111111a b c +++++的最小值. 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.22. 在某次活动中，有5名幸运之星.这5名幸运之星可获得A 、B 两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均为的骰子决定自己最终获得哪一种奖品（骰子的六个面上的点数分别为1点、2点、3点、4点、5点、6点），抛掷点数小于3的获得A 奖品，抛掷点数不小于3的获得B 奖品. （1）求这5名幸运之星中获得A 奖品的人数大于获得B 奖品的人数的概率；（2）设X 、Y 分别为获得A 、B 两种奖品的人数，并记||X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列及数学期望. 23. 在数学上，常用符号来表示算式，如记01230nin i aa a a a a ==+++++∑，其中i N ∈，n N +∈.（1）若0a ，1a ，2a ，，n a 成等差数列，且00a =，求证：1()2ni n i n n i a C a -==⋅∑； （2）若22201221(1)nknn k x a a x a x a x =+=+++∑，20nn i i b a ==∑，记11[(1)]ni in i n i d bC ==+-∑，且不等式(1)n n t d b ⋅-≤恒成立，求实数t 的取值范围.试卷答案一、填空题1. {1,2,4,5}56 5. 14 6. 64 7. 2 8. ③10. 43-11. [-+12. 1 13. 13(,]2-∞14. 13(,]2-∞【详解】根据题意，对于函数()f x ，当[0,2)x ∈时，21,01()(2),12x x f x f x x ⎧-≤≤=⎨<<⎩，可得：当01x ≤≤时，2()1f x x =-，有最大值(0)1f =，最小值(1)0f =，当12x <<时，()(2)f x f x =-，函数()f x 的图像关于直线1x =对称，则此时有0()1f x <<， 又由函数()y f x =是定义在区间[0,)+∞内的2级类周期函数，且2T =；则在[6,8)x ∈上，3()2(6)f x f x =⋅-，则有0()4f x ≤≤，则(8)2(6)4(4)8f f f ===(2)16(0)8f f ==，则函数()f x 在区间[6,8]上的最大值为8，最小值为0；对于函数21()2ln 2g x x x x m =-+++(1)(2)x x x --，得在(0,1)上，'()0g x <，函数()g x 为减函数， 在(1,)+∞上，'()0g x >，函数()g x 为增函数， 则函数()g x 在(0,)+∞上，由最小值若1[6,8]x ∃∈，2(0,)x ∃∈+∞，使21()()0g x f x -≤成立， 必有min max ()()g x f x ≤，即382m +≤，解可得132m ≤，即m 的取值范围为13(,]2-∞.二、解答题15. 解：（Ⅰ）设(,0)(01)D t t ≤≤，又(22C -所以(,22OC OD t +=-+所以2211||22OC OD t +=++21t =+21((01)22t t =-+≤≤所以当2t =时，||OC OD +最小值为2（Ⅱ）由题意得(cos ,sin )C x x ，(cos 1,sin )m BC x x ==+ 则221cos sin 2sin cos m n x x x x ⋅=-+-1cos 2sin 2x x =--1)4x π=-+因为[0,]2x π∈，所以52444x πππ≤+≤所以当242x ππ+=，即8x π=时，sin(2)4x π+取得最大值1所以8x π=时，1)4m n x π⋅=-+取得最小值1所以m n ⋅的最小值为18x π=16. 解：（1）∵正三棱柱111ABC A B C -，∴1C C ⊥平面ABC ， 又AD ⊂平面ABC ，∴1C C AD ⊥，又1AD C D ⊥，111C D C C C =∴AD ⊥平面11BCC B ，又∵正三棱柱111ABC A B C -， ∴平面ABC ⊥平面11BCC B ，∴AD BC ⊥，D 为BC 的中点. （2）连接1A B ，连接1AC 交1AC 于点G ，连接DG ∵矩形11A ACC ，∴G 为1AC 的中点，又由（1）得D 为BC 的中点，∴1A BC ∆中，1DG A B ∥ 又∵点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点， ∴11A B B ∆中，1EF A B ∥，∴EF DG ∥， 又EF ⊄平面1ADC ，DG ⊂平面1ADC ∴EF ∥平面1ADC .17. 解：（1）因为在OAD ∆中，ADO θ∠=，1OA =，所以由正弦定理可知1sin sinsin()33AD ODππθθ==+，解得2sin AD θ=，sin()3sin OD πθθ+=，且2(,)33ππθ∈， 故300100S AD BD =+sin()31]sin πθθ+=+-3cos 50sin θθ-=+，2(,)33ππθ∈ （2）令3cos sin y θθ-=，则有'23cos 1sin y θθ-+=，令'0y =得1cos 3θ= 记01cos 3θ=，02(,)33ππθ∈，列表得可知，当且仅当1cos 3θ=时，y 有极小值也是最小值为 当AD =时，此时总路程S 有最小值50km . 答：当集合点D 离出发点A 时，总路程最短，其最短总路程为50km . 18. 解：（Ⅰ）由1(1,0)F -得1c =，∴A 点坐标为2(,0)a ； ∵122AF AF =∴2F 是1AF的中点∴23a =，22b =∴椭圆方程为22132x y += （Ⅱ）当直线MN 与PQ 之一与x 轴垂直时，四边形PMQN 面积1||||42S MN PQ =⋅=； 当直线PQ ，MN 均与x 轴不垂直时，不妨设:(1)(0)PQ y k x k =+≠，联立22(1)132y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩代入消去y 得2222(23)6(36)0k x k x k +++-=设11(,)P x y ，22(,)Q x y 则2122623k x x k -+=+，21223623k x x k-=+∴12|||PQ x x =-=2211)||123k MN k+=+ ∴四边形PMQN 面积2222124(2)1||||126()13k k S MN PQ k k++==++ 令221u k k =+，则2u ≥，24(2)44613613u S u u +==-++，易知S 是以u 为变量的增函数 所以当1k =±，2u =时，min 9625S =，∴96425S ≤< 综上可知，96425S ≤<，∴四边形PMQN 面积的取值范围为96[,4]2519. 解：（1）因为'1()f x ax x=+，所以'(1)1f a =+， 由'(1)(1)2f g =--可得3a b =-. 又因为()f x在2x =处取得极值，所以'(022f =， 所以2a =-，1b =.所以2()ln h x x x x =-++，其定义域为(0,)+∞2121(21)(1)()21x x x x h x x x x x-++-+-'=-++==令()0h x '=得112x =-，21x =， 当(0,1)x ∈时，()0h x '>，当(1,)x ∈+∞ ()0h x '<，所以函数()h x 在区间(0,1)上单调增；在区间(1,)+∞上单调减. （2）当0a =时，()ln h x x bx =+，其定义域为(0,)+∞. ①'1()h x b x=+，当0b ≥，则'()0h x >，()h x 在(0,)+∞上单调递增，不合题意. 当0b <时，()h x 在1(0,)b-上单调递增，在1(,)b-+∞上单调递减. 因为()h x 有2个不同零点，所以1()0h b ->，即1(,0)b e∈- 此时存在2141b b <-<使得(1)0h b =<，24()0h b <， 又()h x 在1(0,)b-和1(,)b-+∞都连续， 所以()h x 在1(0,)b -和1(,)b-+∞各有一个零点 ②由题意得11ln 0x bx +=，22ln 0x bx +=，所以1212ln ()0x x b x x ++=，2121ln ln ()0x x b x x -+-=， 所以12122121ln ln ln x x x xx x x x +=--，不妨设12x x <，要证212x x e >，只需要证12122121ln (ln ln )2x x x x x x x x +=->-.即证2121212()ln ln x x x x x x -->+，设21(1)xt t x =>，则2(1)4()ln ln 211t F t t t t t -=-=+-++， 所以22214(1)()0(1)(1)t F t t t t t -=-=>++，所以函数()F t 在(1,)+∞上单调增，而(1)0F =，所以()0F t >即2(1)ln 1t t t ->+， 所以212x x e >.20. 解：（1）因为12n n a =，所以11()1121()12212n n n S -=⨯=--，所以1111()1()22n n n n a S -+-=-+31311()11022224n =-≤⨯-=-<，所以1n n a S +<，即{}n a M ∈.（2）设{}n a 的公差为d ，因为{}n a n M +∈， 所以1121(1)(2)()(*)n n a n a a a n +++≤++++++特别的当1n =时，2121a a +≤+，即1d ≤-， 由(*)得11a nd n +++1(1)(1)22n n n n na d -+≤++，整理得211131()10222d n a d n a ++----≥，因为上述不等式对一切*n N ∈恒成立，所以必有102d +≥，解得1d ≥-， 又1d ≤-，所以1d =-，于是11(1)10a n a +--≥，即1(1)(1)0a n +-≥， 所以110a +≥，即11a ≥-，所以515111122()889a a a a a d a a -=-+=+=-+≥-， 因此512a a -的取值范围是[9,)-+∞.（3）由1n n a S +≤得1n n n S S S +-≤，所以12n n S S +≤，即12n nS S +≤， 所以13121122n n n nS S S S S S S S -+=⨯⨯⨯≤， 从而有11122nnn S S a +≤⨯=⨯，又1n n a S +≤，所以+2n 112nn a S a +≤≤⨯，即212(3)n n a a n -≤⨯≥，又222112a S a -≤=⨯，12112a a -<⨯， 所以有2*12()n n a a n N -≤⨯∈，所以1442n n n a a ≥⨯，假设数列4{}nna 中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第n 项为dn b +（b 为常数），则存在m N ∈，m n ≥，使得1144422m m n m dn b a a a +=≥⨯≥⨯，即2112n da n ba ++≥，设22()2n n f n +=，*n N ∈，3n ≥，则222323(1)2(1)(1)()0222n n n n n n f n f n ++++--+-=-=< 即9(1)()(3)132f n f n f +<≤=<， 于是当3n ≥时，222n n +>，从而有：当3n ≥时211da n ba n +>，即2110n da n ba --<，于是当3n ≥时，关于n 的不等式2110n da n ba --<有无穷多个解，显然不成立，因此数列4{}nna 中是不存在无穷多项依次成等差数列.21. A.解：设点00(,)x y 为曲线||||1x y +=上的任意一点，在矩阵10103M ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭对应的变换作用下得到的点为''(,)x y ，则'0'010103x x y y ⎛⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭，所以'0'03x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以曲线||||1x y +=在矩阵10103M ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭对应的变换作用下得到的曲线为||3||1x y +=， 所围成的图形为菱形，其面积为1222233⨯⨯= B.解：将直线l 的极坐标方程化直角坐标系方程为y x =将曲线C 的参数方程化为普通方程可得：22(11)y x x =--≤≤由22y x y x=⎧⎨=-⎩得220x x +-=，解得1x =或2x =-，又11x -≤≤，所以1x =， 所以直线l 与曲线C 的交点的直角坐标为(1,1).C.解：因为正数a ，b ，c 满足243a b c ++=，所以(1)2(1)4(1)10a b c +++++=，所以111()111a b c +++++[(1)2(1)4(1)]a b c +++++2(12)≥，即1111111110a b c +++≥+++.当且仅当237a -=177b =，87c -=时，取最小值1110+. 22. 解：这5名幸运之星中，每人获得A 奖品的概率为2163=，B 奖品的概率为4263=.（1）要获得A 奖品的人数大于获得B 奖品的人数，则A 奖品的人数可能为3，4，5，则 所求概率为33244555551212117()()()()()3333381P C C C =++=. （2）ξ的可能取值为1，3，5，且33222355121240(1)()()()()333381P C C ξ==+=， 441455121210(3)()()()()333327P C C ξ==+=，0555552111(5)()()3381P C C ξ==+=，所以ξ的分布列是：故随机变量ξ的数学期望40101118513581278181E ξ=⨯+⨯+⨯=. 23. 解：（1）设等差数列的通项公式为0n a a nd =+，其中d 为公差 则1201121200()()(2)nin n ninn n n n n n n n n n i a C aa C a C a C a C C C d C C nC ==+++=++++++∑因为11k k n n kC nC --=所以122n n n n C C nC ++011111()n n n n n C C C ----=+++所以11100()222ni n n n n n i a C a nd a --==⋅+⋅=⋅∑. 注：第（1）问也可以用倒序相加法证明. （2）令1x =，则223202(14)22222421n nnn ii a=-=++++==⋅--∑令1x =-，则20[(1)]0niii a =-=∑，所以201(242)412nn nn ii b a ===⋅-=-∑ 根据已知条件可知，0122(41)(41)n n n n d C C C =--+-33(41)(1)(41)n n nn nC C --++-- 012233[(4)(4)(4)n n n n C C C C =+-+-+-(4)]n n n C ++-01234[n n n n n C C C C C --+-+(1)]1n nn C ++-+(14)(11)1(3)1n n n =---+=-+，所以(3)1n n d =-+将41n n b =-、(3)1n n d =-+代入不等式(1)n n t d b ⋅-≤得，(3)41nnt ⋅-≤- 当n 为偶数时，41()()33nnt ≤-，所以22415()()333t ≤-=； 当n 为奇数，41[()()]33nnt ≥--，所以1141[()()]133t ≥--=-； 综上所述，所以实数t 的取值范围是5[1,]3-.。

精品文档届高三年级第二次模拟考试南京市、盐城市2019数学2019.03注意事项：本试卷满分为题）两部分.~第20~第14题）、解答题（第15题1.本试卷共4也，包括填空题（第1题.120分钟160分，考试试卷为试题的答案写在答题卡上对应题目的答案答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级卸载答题卡上.2..考试结束后，交回答题卡.空格内.请把答案写在答题纸的指定位置上分.不需写出解答过程，小题，每小题5分，计70一、填空题：本题共14?BA4}|2?x???{x|1?x?3}B{xA.，则，已知集合1.zai?i为虚数单位）（. 若复数，且实部和虚部相等，则实数的值为 2.i?2a kPa）的分组区间为某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：3.[16,17)[15,16)[14,15)[12,13)[13,14)，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、，第，，，，20，第五组，右图市根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组于第二组共有二组，…….人，则第三组钟人数为组距频率/0.36i?10.24S?1While i?60.16i?i?2S?i?S0.08End WhilePrint S/kPa舒张压171312141516题）4（第题）3（第精品文档．精品文档S.4.右图是某算法的伪代码，输出的结果的值为件，则一件合格，另一件不合22件不合格，从钟随机抽检5件相同的产品，其中3件合格，5.现有.格的概率为90S?a?10a{a}.6.等差数列，则中，的值为，前12项的和12418n22yx20)???1(bx4y?xOyA 与双曲线中，已知点是抛物线若7.在平面直角坐标系的一个交点.2b45FA?F.抛物线的焦点为，且，则双曲线的渐进线方程为??????2),()??(fx)?2sin(?x?0,0)(，且相邻两条对称轴间的距离若函数的图象经过点8. 6??)(f.，则的值为为42ABCDP?2. ，则该正四棱锥的表面积为9.已知正四棱锥的所有棱长都相等，高为20x?xx?5f(x)?)(xx?1)?ff(x)f(R则不等式，是定义在10.已知函数上的奇函数，且当时，.的解集为224?m)?M:(x?4)?(y(5,0)AB?1,0)(xOy上存在唯一若圆，11.在平面直角坐标系.中，已知点m yPBPPA. 的值为点，使得直线，在5轴上的截距之积为，则实数BCABC DAPAD的延长线上，且满足的斜边已知在时直角三角形上的高，点12.AD?2PB?PC2AD)??4(PB?PC的值为.若，则.|x?3|,x?0,?f(x)?g(x)?kx?1y?f(x)?g(x)的图象经过四个象设，且函数13.已知函数?3x?12x?3,x?0.?k的取值范围为限，则实数.22BcosC?2cosAABCsin B?coscosA的最大值为中，若，则.14.在二、解答题：本答题共6分，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内.15.（本小题满分14分）?????????a?ba?0?b???0)b),sin??a(cos,(cossin相且，其中设向量，，，与2.互垂直? 1（的值；）求实数4???b?a2tan?tan的值（，且，求）若2. 5精品文档．精品文档16.（本小题满分14分）AB?ACBC BC??BCCBCABAABC?AAB ED，在三棱锥，，，，中，分别是如图，11111111的中点.DE平面ACCA；求证：（1）A111C1BAE?平面BCC（2；）11DCAE B（第16题）14分）17.（本小题满分O为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计某公园内有一块以为圆心半径为20米的圆形区域.OAB BA分别在圆方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形，区域，其中两个端点O120QBA?PAB???BQ?ABQPAP?AB，周上；观众席为梯形，内且在圆外的区域，其中OO PQAB处的距离都不超过的同侧.要求观众席内每一个观众到舞台且，在点为保证视听效果，????)?(0,OAB??, .问：对于任意，上述设计方案是否均能符合要求？设.60米318.（本小题满分分）1622yx2C0)?b??:C?1(axOy短轴的的离心率为在平面直角坐标系中，已知椭圆，且椭圆22ba22. 一个顶点到一个焦点的距离等于C）求椭圆（1的方程；精品文档．精品文档Cl Q(P(2,0)m,0)B,A. 于的直线两点，点（2）设经过点交椭圆m l QBQA?Q的取值范围；①若对任意直线，求实数总存在点，使得m C QFABF的值②设点是为椭圆.的左焦点，若点的外心，求实数分）19.（本小题满分162x?2,a?x)?lnx?0(f.已知函数x?1?2a a?2x?1)xf(处的切线方程；（）当的图象在时，求函数1a0?x)??)f(x?[1,的取值范围；2）若对任意，不等式恒成立，求（a)(xf的取值范围. （3）若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求20.（本小题满分16分）n?12n?1*}a{?)aaa(a?aNn?.各项均为正数，且对任意已知数列，都有n11n2n?1a2a3a2a的值；。

注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高． 锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡．．．相对应．．．位置．．上．1．已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{x |x 2－x ≤0}，则A ∩B ＝ ▲ ． 【答案】｛0，1｝考点：集合的运算．2．设复数z 满足(z ＋i)i ＝－3＋4i (i 为虚数单位)，则z 的模为 ▲ ． 【答案】25 【解析】试题分析：343442iz i i i i i-+=-=+-=+，则4z =+=． 考点：复数的运算，复数的模．3．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60)内的汽 车有 ▲ 辆．【答案】80考点：频率分布直方图．4．若函数f (x )＝sin(ωx ＋π6) (ω＞0)的最小正周期为π，则f (π3)的值是 ▲ ． 【答案】12 【解析】 试题分析：2t πωω==，则2ω=，51()sin(2)sin 33662f ππππ=⨯+==． 考点：三角函数的周期．5．右图是一个算法的流程图，则输出k 的值是 ▲ ．【答案】5 【解析】试题分析：依题意，循环时,S k 值依次为3,2S k ==；8,3S k ==，19,4S k ==，（第5题）（第3题）0.0.0.0.42,5S k ==，6480S =>，此时不再计算k ，而是直接输出5k =．考点：程序框图．6．设向量a ＝(1，－4)，b ＝(－1，x )，c ＝a ＋3b ．若a ∥c ，则实数x 的值是 ▲ ． 【答案】4考点：平面向量的平行的坐标运算．7．某单位要在4名员工（含甲、乙两人）中随机选2名到某地出差，则甲、乙两人中，至少有一人被选中 的概率是 ▲ ． 【答案】56 【解析】试题分析：22422456C C P C -==． 考点：古典概型．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2a 2 － y 24＝1（a ＞0）的一条渐近线与直线y ＝2x ＋1平行，则实 数a 的值是 ▲ ． 【答案】1 【解析】 试题分析：由题意22a=，1a =． 考点：双曲线的几何性质．9．在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是 ▲ ． 【答案】－1 【解析】试题分析：圆的半径是4，ABC ∆是直线三角形，则圆心C 到直线AB的距离为，解得1a =-．考点：直线与圆的位置关系．【名师点睛】解决直线和圆的位置关系，可用直线方程与圆方程联立方程组，通过研究方程组的解的情况来得出位置关系：无解⇔相离，一解⇔相切，两解⇔相交，但用得最多的，比较简便的方法是求出圆心到直线的距离d ，由d 与半径r 的关系来确定：d r >⇔相离，d r =⇔相切，d r <⇔相交．10．已知圆柱M 的底面半径为2，高为6；圆锥N 的底面直径和母线长相等．若圆柱M 和圆锥N 的体积相同，则圆锥N 的高为 ▲ ． 【答案】6 【解析】试题分析：设圆锥的底面半径为r，所以221263r ππ⨯⨯=，r =，6=． 考点：圆柱与圆锥的体积．11．各项均为正数的等比数列{a n }，其前n 项和为S n ．若a 2－a 5＝－78，S 3＝13，则数列{a n }的通项公式 a n ＝ ▲ ． 【答案】13n -考点：等比数列的通项公式．【名师点睛】等差数列的通项公式和前n 项和公式在解题是起到变量代换作用，而1a 和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．在1,,,,n n a d n a S 中，知三即可求二，解题时要注意方程思想的应用．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －x 3，x ≤0，－2x ，x ＞0．当x ∈(－∞，m ] 时，f (x )的取值范围为 [－16，＋∞)，则实数m 的 取值范围是 ▲ ． 【答案】[－2，8] 【解析】试题分析：0x ≤时，3()12f x x x =-，2'()123f x x =-，当2x <-时，'()0f x <，当20x -<≤时，'()0f x >，即()f x 在(,2)-∞-上递减，在(2,0]-上递增，()(2)16f x f -=-极小值＝，当0x >时，()f x 递减，(0)0f =，(8)16f =-，所以[2,8]m ∈-． 考点：函数的单调性，函数的值域．13. 在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝2，D 在AB 上，AD →＝13AB →．若DB →·DC →＝3，则AC 的长是 ▲ ．考点：向量的数量积，余弦定理．【名师点睛】本题是一道平面向量与解三角形的综合题，其中向量部分是概念的应用，AD →＝13AB →，说明D 是线段AB 的一个三等分点，数量积DB →·DC →＝3，只要根据定义写出数量积的定义转化为三角形的边角关系，然后根据条件选择解三角形时要用什么公式：在两个三角形中分别应用余弦定理即可方便求解．14．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )＋g (x )＝(12)x ．若存有 x 0∈[12，1]，使得等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】[22，522]【解析】试题分析：由1()()()2x f x g x +=得1()()()2x f x g x --+-=，即1()()()2x f x g x --+=，所以1()(22)2x x f x -=-，1()(22)2x x g x -=+．存有x 0∈[12，1]，使得等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0成立，即01[,1]2x ∈，00(2)()g x a f x =-，设(2)()()g x h x f x =-（1[,1]2x ∈），则()h x 221(22)21(22)2xx x x --+=--222222x xx x--+=-2(22)22x x x x--=-+-，1[,1]2x ∈时，322]2x x --∈，设22x xt -=-，则3]2t ∈，而2()h x t t =+，易知2y t t =+在是递减，在3]2上递增，所以y ==最小，y ==最大()h x ∈，即a ∈． 考点：函数的奇偶性，函数的值域．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，考查转化与化归思想．解题时需由奇偶性定义求出函数(),()f x g x 的解析式，存有x 0∈[12，1]，使得等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0成立，其中等式可转化为00(2)()g x a f x =-，这样求a 的取值范围就转化为求函数(2)1(),[,1]()2g x h x x f x =-∈的值域．当然在求函数()h x 值域时还用到换元法和的单调性，问题进一步实行了转化．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A ，B ．若点A 的横坐标．．．是31010，点B 的纵坐标．．．是255．（1）求cos(α－β)的值；（2）求α＋β的值．【答案】（1）（2）34π．（第15题）考点：三角函数的求值、求角．三角函数的定义，三角函数的同角间的关系，两角和与差的正弦公式．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点．（1）求证：MN∥平面BB1C1C；（2）若D在边BC上，AD⊥DC1，求证：MN⊥AD．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．因为M 为线段A 1B 的中点，所以MN ∥BC ． ……………… 4分 又MN ⊄平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ，ABCDMNA 1B 1C 1（第16题）所以MN ∥平面BB 1C 1C ． …………………… 6分 （2）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ．又AD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AD ． …………………… 8分 因为AD ⊥DC 1，DC 1⊂平面BB 1C 1C ，CC 1⊂平面BB 1C 1C ，CC 1∩DC 1＝C 1，所以AD ⊥平面BB 1C 1C ． …………………… 10分 又BC ⊂平面BB 1C 1C ，所以AD ⊥BC ． …………………… 12分 又由（1）知，MN ∥BC ，所以MN ⊥AD ． …………………… 14分 考点：线面平行的判定，线面垂直的判定与性质． 17．（本小题满分14分）如图，某城市有一块半径为40 m 的半圆形绿化区域（以O 为圆心，AB 为直径），现计划对其实行改建．在AB 的延长线上取点D ，OD ＝80 m ，在半圆上选定一点C ，改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为S m 2．设∠AOC ＝x rad ． （1）写出S 关于x 的函数关系式S (x )，并指出x 的取值范围； （2）试问∠AOC 多大时，改建后的绿化区域面积S 取得最大值．【答案】（1）S ＝1600sin x ＋800x ，0＜x ＜π；（2）当∠AOC 为2π3时，改建后的绿化区域面积S 最大．（第17题）考点：三角函数的应用题．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点（在x 轴上方），连结PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，设PF 1→＝λF 1Q →．（1）若点P 的坐标为 (1，32)，且△PQF 2的周长为8，求椭圆C 的方程；（2）若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈[12，22]，求实数λ的取值范围．【答案】（1）x 24＋y 23＝1；（2）[73，5]．（第18题）（2）方法一：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0．设Q (x 1，y 1)．因为P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a ，即P (c ，b 2a )． …………………… 7分因为F 1(－c ，0)，所以PF 1→＝(－2c ，－b 2a )，F 1Q →＝(x 1＋c ，y 1)．由PF 1→＝λF 1Q →，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－b 2a ＝λy 1，解得x 1＝－λ＋2λc ，y 1＝－b 2λa ，所以Q (－λ＋2λc ，－b 2λa )． …………………… 11分因为点Q 在椭圆上，所以(λ＋2λ)2e 2＋b 2λ2a 2＝1，即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1，因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1，从而λ＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3． …………………… 14分 因为e ∈[12，22]，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5．所以λ的取值范围为[73，5]． …………………… 16分考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系．【名师点睛】本题考查解析几何中的范围问题，因为题中已知离心率e 的范围，所以我们能够把λ表示为e 的函数，为此先求得点P 的坐标（这里P 点是确定的，否则设出P 点坐标），由向量的运算求得Q 点的坐标，再把Q 点坐标代入椭圆方程可得,,,λa b c 的等式，利用222,c e a b c a==+可化此等式为,e λ的方程，解出λ，即把λ表示为e 的函数，由函数性质可求得λ的范围．本题采用的方法是解析几何中的基本的计算，考查了学生的运算水平．19．（本小题满分16分）已知数列{a n }是公差为正数的等差数列，其前n 项和为S n ，且a 2·a 3＝15，S 4＝16．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1a n ·a n +1． ①求数列{ b n }的通项公式；②是否存有正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列？若存有，求出m ，n 的值；若不存有，请说明理由．【答案】（1）a n ＝2n －1；（2）①b n ＝3n －22n －1；②存有正整数m ＝3，n ＝8，使得b 2，b m ，b n 成等差数列．（2）①因为b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1a n ·a n +1， 所以b 1＝a 1＝1，b n +1－b n ＝1a n ·a n +1＝1 (2n －1)·(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)， …………………… 6分 即 b 2－b 1＝12(1－13)，b 3－b 2＝12(13－15)，……b n －b n －1＝12(12n －3－12n －1)，（n ≥2） 累加得：b n －b 1＝12(1－12n －1)＝n －12n －1， …………………… 9分 所以b n ＝b 1＋n －12n －1＝1＋n －12n －1＝3n －22n －1． b 1＝1也符合上式．故b n ＝3n －22n －1，n ∈N*． …………………… 11分考点：等差数列的通项公式，累加法求通项公式，存有性命题的研究．20．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝ax 2－bx ＋ln x ，a ，b ∈R ．（1）当a ＝b ＝1时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；（2）当b ＝2a ＋1时，讨论函数f (x )的单调性；（3）当a ＝1，b ＞3时，记函数f (x )的导函数f ′(x )的两个零点是x 1和x 2 (x 1＜x 2)．求证：f (x 1)－f (x 2)＞34－ln2．【答案】（1）2x －y －2＝0；（2）当a ≤0时，f (x )在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．0＜a ＜12时，f (x )在区间(0，1)和区间(12a ，＋∞)上单调递增，在区间(1，12a )上单调递减．当a ＝12时，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．a ＞12时，f (x )在区间(0，12a )和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(12a ，1)上单调递减．（3）证明见解析．【解析】试题分析：（1）求切线方程，可根据导数的几何意义，求出导数'()f x ，计算'(1)f ，切线方程为(1)'(1)(1)y f f x -=-，化简即可；（2）研究单调性，同样求出导函数'()f x ＝(2ax －1)(x －1)x，x ＞0．然后研究'()f x 的正负，实质只要研究函数式(21)(1)y ax x =--的正负，必须分类讨论，确定分类的标准是：0a ≤，0a >，在0a >时，按112a <，112a =，112a>分类；（3）要证明此不等式，首先要考察12,x x 的范围与关系，由已知求出221'()(0)x bx f x x x-+=>，所以12,x x 是方程2()210g x x bx =-+=的两根，1212x x =，粗略地估计一下，因为13()0,(1)3022b g g b -=<=-<，所以有121(0,),(1,)2x x ∈∈+∞，由此可知f (x )在[x 1，x 2]上为减函数，从而有f (x 1)－f (x 2)＞f (12)－f (1)，这里133()(1)ln 2ln 22244b f f -=-->-，正好可证明题设结论．当a ＝12时，因为f ′(x )≥0（当且仅当x ＝1时取等号），所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．当a ＞12时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜12a 或x ＞1，由f ′(x )＜0得12a ＜x ＜1，所以f (x )在区间(0，12a )和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(12a ，1)上单调递减． (10)分考点：导数的几何意义，用导数研究单调性，函数的综合应用．【名师点睛】1．导数法求函数单调区间的一般流程：求定义域→求导数f'(x)→求f'(x)=0在定义域内的根→用求得的根划分定义区间→确定f'(x)在各个开区间内的符号→得相对应开区间上的单调性．2．在函数中含有参数时，解方程f'(x)=0时必须对参数实行分类讨论，这里分类讨论的标准要按照不等式的形式准确确定．3．已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件f'(x)≥0(或f'(x)≤0),x∈(a,b),转化为不等式恒成立问题求解.南京市2019届高三年级学情调研数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷．卡指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图， AB 为 圆O 的一条弦，C 为圆O 外一点． CA ，CB 分别交圆O 于D ，E 两点． 若AB ＝AC ，EF ⊥AC 于点F ，求证：F 为线段DC 的中点．【答案】证明见解析．考点：圆内接四边形的性质．B ．选修4—2：矩阵与变换（第21题A ）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －2 1 －3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0 0 －1 ，设M ＝AB ． （1）求矩阵M ；（2）求矩阵M 的特征值．【答案】（1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 2 1 3 ；（2）特征值为1或4．考点：矩阵的运算，特征值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ，直线l 的极坐标方程为 ρ sin(θ＋π6)＝m ．若直线l与曲线C 有且只有一个公共点，求实数m 的值．【答案】－12 或 32．【解析】试题分析：由公式222cos sin ρθx ρθy ρx y ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩可把极坐标方程化为直角坐标方程，由题意直线与圆相切，在直角坐标方程中，由圆心到直线的距离等于圆的半径可求得m ． 试题解析：曲线C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ．即(x －1)2＋y 2＝1，表示以(1，0)为圆心，1为半径的圆． ……………………… 3分直线l 的极坐标方程是 ρ sin(θ＋π6)＝m ，即12ρcos θ＋32ρsin θ＝m ，化为直角坐标方程为x ＋3y －2m ＝0． ……………………… 6分因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点， 所以|1－2m |2＝1，解得m ＝－12或m ＝32．所以，所求实数m 的值为－12 或 32． ……………………… 10分 考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系． D ．选修4—5：不等式选讲解不等式 |x －1|＋2|x |≤4x ． 【答案】 [13，＋∞)．考点：解绝对值不等式．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在底面为正方形的四棱锥P －ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，点E 是线段PC 的中点．（1）求异面直线AP 与BE 所成角的大小；（2）若点F 在线段PB 上，使得二面角F －DE －B 的正弦值为33，求PFPB 的值．【答案】（1）6π；（2）12． 因为PD ＝DC ，所以DA ＝DC ＝DP ，不妨设DA ＝DC ＝DP ＝2， 则D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，P (0，0，2)，B (2，2，0)． 因为E 是PC 的中点，所以E (0，1，1)． 所以AP →＝(－2，0，2)，BE →＝(－2，－1，1)，ACD F PE（第22题）所以cos<AP →，BE →>＝AP →·BE →|AP →|·|BE →|＝32，从而<AP →，BE →>＝π6．所以异面直线AP 与BE 所成角的大小为π6． ……………………… 4分考点：用向量法求异面直线所成的角，二面角． 23．（本小题满分10分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜．投篮实行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为 25，乙每次投篮命中的概率为 23，且各次投篮互不影响．现由甲先投．（1）求甲获胜的概率；（2）求投篮结束时甲的投篮次数X 的分布列与期望． 【答案】（1）62125；（2）分布列见解析，数学期望为3125．（2）X 所有可能取的值为1，2，3． 则 P (X ＝1)＝25＋35×23＝45； P (X ＝2)＝225＋35×13×35×23＝425； P (X ＝3)＝(35)2×(13)2×1＝125． 即X 的概率分布列为………………………8分所以X的数学期望E(X)＝1×45＋2×425＋3×125＝3125．………………………10分考点：互斥事件的概率，随机变量的概率分布列和数学期望．。

南京市2019届高三年级学情调研卷解析锤子数学叶庄亮数学癞蛤蟆数学： ⎪⎩⎪⎨⎧一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合} ,51|{R x x x A ∈<<=，} ,2|{Z n n x x B ∈==，那么集合B A 中有______个元素.2.复数)2)(1(i bi z -+=，其中R b ∈，i 为虚数单位，若z 是纯虚数，则实数b 的值为________.3.已知某地连续5天的最低气温（单位：摄氏度）依次是18，21，22，24，25，那么这组数据的方差为______.4.执行右图所示的算法流程图，则最后输出的S 的值为_________.5.若函数121)(-+=x a x f 是奇函数，则实数a 的值为_________.6.在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线x y 42=的准线与双曲线)0,0( 12222>>=-b a by a x 的一条渐近线的交点的纵坐标为2，则该双曲线的离心率是___________.7.不透明的盒子中有大小、形状和质地都相同的5只球，其中2只白球，3只红球，现从中随机取出2只球，则取出的这2只球的颜色相同的概率是____________.8.已知函数)22( )2sin(2)(π<ϕ<π-ϕ+=x x f 的图象关于直线6π=x 对称，则)0(f 的值为__________.9.如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，2=AB ，31=AA ，则四棱锥CB C B A 111-的体积是___________.10.在数列}{n a 中，已知11=a ，)( )1(11*+∈++=N n n n a a n n ，则10a 的值为____________.11.已知ABC ∆的面积为153，且2=-AB AC ，41cos -=A ，则BC 的长为__________.12.在菱形ABCD 中，︒=∠60ABC ，E 为边BC 上一点，且6=⋅AE AB ，23=⋅AE AD ，则AD AB ⋅的值为__________.13.在平面直角坐标系xoy 中，已知点)1 ,1(A ，)1 ,1(-B ，点P 为圆4)4(22=+-y x 上任意一点，记OAP ∆和OBP ∆的面积分别为1S 和2S ，则21S S 的最小值是____________.14.若函数121)(2+-=x e ax x f 在1x x =和2x x =两处取到极值，且212≥x x ，则实数a 的取值范围是___________________.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤.15.（本小题满分14分）如图，已知四边形ABCD 是矩形，平面⊥ABCD 平面BCE ，EC BC =，F 是BE 的中点.（1）求证：//DE 平面ACF ；（2）求证：平面⊥AFC 平面ABE .16.（本小题满分14分）已知βα,为钝角，且53sin =α，532cos -=β.（1）求βtan 的值；（2）求)2cos(β+α的值.销售甲种商品所得利润是P 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式1+=t at P ；销售乙种商品所得利润是Q 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式bt Q =，其中b a ,为常数.现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售；若全部投入甲商品，所得利润为49万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元.若将3万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为)(x f 万元.（1）求函数)(x f 的解析式；（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值.18.（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0( 1:2222>>=+b a by a x E 的离心率为22，且直线2:=x l 被椭圆E 截得的弦长为2.与坐标轴不垂直的直线交椭圆E 与Q P ,两点，且PQ 的中点R 在直线l 上.点)0 ,1(M .（1）求椭圆E 的方程；（2）求证：PQ MR ⊥.已知函数x x f ln )(=，2)(x x g =.（1）求过原点)0 ,0(，且与函数)(x f 的图象相切的直线l 的方程；（2）若0>a ，求函数|)(2)(|)(2x f a x g x -=ϕ在区间),1[+∞上的最小值.20.（本小题满分16分）如果数列}{n a 共有)4 ,( *≥∈k N k k 项，且满足条件：①120k a a a +++= ；②12||||||1k a a a +++= 则称数列}{n a 为)(k P 数列.（1）若等比数列}{n a 为)4(P 数列，求1a 的值；（2）已知m 为给定的正整数，且2≥m .①若公差为正数的等差数列}{n a 是)32(+n P 数列，求数列}{n a 的公差；②若⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≤≤+-∈≤≤=**-N n m n m n m N n m n q a n n ,21 ,12,,1 ,31，其中q 为常数，1-<q 判断数列}{n a 是否为)2(m P 数列，说明理由.。

2019届江苏南京市高三上学期学情调研数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 已知集合，，则________________________ .2. 设复数满足（为虚数单位），则的模为________________________ .3. 为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间内的汽车有________________________ 辆.4. 若函数的最小正周期为，则的值是________________________ .5. 下图是一个算法的流程图，则输出的值是________________________ .6. 设向量，，，若，则实数的值是________________________ .7. 某单位要在四名员工（含甲乙两人）中随机选两名到某地出差，则甲乙两人中，至少有一人被选中的概率是________________________ .8. 在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是________________________ .9. 在平面直角坐标系中，若直线与圆心为的圆相交于两点，且为直角三角形，则实数的值是________________________ .10. 已知圆柱的底面半径为2，高为 6 ，圆锥的底面直径和母线长相等，若圆柱和圆锥的体积相同，则圆锥的高为________________________ .11. 各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，，则数列的通项公式________________________ .12. 已知函数，当时，的取值范围为，则实数的取值范围是________________________ .13. 在中，已知，，在上，，若，则的长是________________________ .14. 已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，若存在，使得等式成立，则实数的取值范围是________________________ .二、解答题15. 如图，在平面直角坐标系中，以轴正半轴为始边的锐角和钝角的终边分别与单位圆交于点，若点的横坐标是，点的纵坐标是 .（1）求的值；（2）求的值.16. 如图，在直三棱柱中，点分别为线段的中点. （1）求证：平面；（2）若在边上，，求证： .17. 如图，某城市有一块半径为40 的半圆形（以为圆心，为直径）绿化区域，现计划对其进行改建，在的延长线上取点，使，在半圆上选定一点，改建后的绿化区域由扇形区域和三角形区域组成，其面积为，设 .（1）写出关于的函数关系式，并指出的取值范围；（2）试问多大时，改建后的绿化区域面积最大.18. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（在轴上方），连结并延长交椭圆于另一点，设 .（1）若点的坐标为，且的周长为8，求椭圆的方程；（2）若垂直于轴，且椭圆的离心率，求实数的取值范围.19. 已知数列是公差为正数的等差数列，其前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足， .①求数列的通项公式；②是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.20. 已知函数 .（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，讨论函数的单调性；（3）当时，记函数的导函数的两个零点是和（），求证： .参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。