概率论chapt4- (1)

的数学期望达到最大.
三.数学期望的性质
性质1 性质2 设C是常数，则有E(C)=C. 设X是一个随机变量，a , b 是常数，则有 E(aX+b)=aE(X)+b 性质3 设X、Y是两个随机变量，则有 E(X+Y)=E(X)+E(Y)
推广：对n维随机变量X1, X2,… ,Xn，有
E(X1+ X2+… +Xn ) = E(X1) +E( X2 ) +… +E(Xn)
0 .2
2 2 2 2 ( 2 ) 0 . 2 0 0 . 3 1 0 . 4 2 0.1 E( X )
2
1 .6
例3.已知随机变量(X,Y)的分布律为
X Y
2 4
试求E(XY2)
1 0.10 0.15
3 0.20 0.30
5 0.10 0.15
解：E ( XY 2 ) 2 12 0.10 2 3 2 0.20 2 5 2 0.10
本 章 内 容
——协方差与相关系数
第一节 随机变量的数学期望
一、离散型随机变量的数学期望 二、连续型随机变量的数学期望 三.数学期望的性质
一.离散型随机变量的数学期望
引例：一书店购入一批（共N本）次年的挂历，在当年
11月底前售出可赢利10元/本，当年12月份以折扣价售
出可赢利6元/本，次年1月份以进价售出赢利0元/本，

xf ( x, y )dxdy
E (Y ) yfY ( y )dx yf ( x, y )dxdy

例5.设二维连续型随机变量(X,Y)在区域 G上服从均
匀分布， 其中G={（x，y）|0 < x < 1, 0 < y < x },试求 y E(XY)
解： 显然区域G的面积A为1/2，所以
2 f ( x, y ) 0 0 x 1, 0 y x 其它

,
G
o
1
x
E ( XY )

xyf ( x, y )dxdy
1 3
dx
0
1

x
0
xy 2dy x dx
0
1 4
例6. 设随机变量X表示国际市场上每年对我国某外

4000
t 4000 1 [ (4 x t )dx 3tdx ] t 2000 2000
1 [ t 2 7000t 4 106 ] 1000
1 2 4 [( t 3500) 825 10 ] 1000
所以 t 3500, 即年初组织3500吨货物，则年终利润
1.5 ( 伏 )
P{ X xk } pk , k 1,2,
若级数
x
k 1

k
p k 绝对收敛，则称级数
x
k 1

k
pk
为随机变量X的数学期望，记作E(X).即
E ( X ) x k pk
k 1

例1.甲乙两人进行打靶,所得分数分别记为X1, X2,它
们的分布律分别为
X1 pi 0 0 1 0.2 2 0.8 X2 0 1 2


g( x ) f ( x )dx 绝对收敛，则有
E (Y ) E[ g( X )] g( x ) f ( x )dx


定理 (X,Y)是二维连续型随机变量，其概率密度为f(x,y),
Z是随机变量X,Y的函数:Z=g(X,Y)，且g(x,y)是连续的 实函数，若广义积分 绝对收敛，则有




g( x, y ) f ( x, y )dxdy
E ( Z ) E[ g( X , Y )]
特别地


g( x, y ) f ( x, y)dxdy

E ( X ) xf X ( x )dx


次年2月份作为废纸售出亏本9.7元/本，售出一本挂历
赢利X(元) 是一个随机变量，求一批挂历赢利的平均值。
解： X的取值分别为10、6、0、－9.7，
设一批挂历中使X取这些值挂历数分别为a10 , a6 , a0 , a﹣9.7 ,
X 挂历数 10
a10
6 a6
0 a0
其中
－9.7 a﹣9.7ห้องสมุดไป่ตู้
a10+a6+a0+a﹣9.7 =N
高，数据的波动越小，则射手的水平越高. 这些例子说明，与随机变量有关的某些数值，虽 不能完整地描述随机变量，但能清晰地描述随机变 量在某些方面的重要特征，这些数字特征在理论和 实践上都具有重要意义.
随机变量某些方面的概率特性可用数字来描写：
随机变量的平均取值 ——数学期望 随机变量取值平均偏离均值的情况——方差 描述两个随机变量间的某种关系的数
虽然随机变量的分布全面地描述了随机变量的统 计特性, 但实际应用中有时并不都需要知道分布，
而只需知道随机变量的某些特征.
例如：判断棉花质量时, 既要看纤维的平均长度 又要看纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长 度越长,偏离程度越小, 质量就越好;
又如：考察射手的射击水平, 既要看他的平均环数,
还要看他弹着点的范围, 即数据的波动.平均环数越
4 12 0.15 4 3 2 0.30 4 5 2 0.15
35 .2
二.连续型随机变量的数学期望
连续型随机变量的数学期望
设连续型随机变量X的密度函数为f(x),若广义积分



xf ( x )dx 绝对收敛，则称广义积分



xf ( x )dx
为随机变量X的数学期望，记作E(X).即：
Z是X、Y的函数:Z=g(X ,Y)，且g(x,y)是连续的实函 数，若级数
g( x , y
j 1 i 1 i



j
) pij 绝对收敛，则有：

E ( Z ) E[ g( X , Y )] g ( xi , y j ) pij
j 1 i 1
特别地
E ( X ) x i p i . x i pij
P{ X xk } pk ,
k 1,2,
Y是X的函数:Y=g(X)，且g(x)是连续的实函数，若级数
g( x
k 1

k
) p k 绝对收敛，则有：

E (Y ) E[ g( X )] g( x k ) pk
k 1
定理 设二维随机变量(X,Y)的分布律为
P{ X xi ,Y y j } pij , i , j 1,2,
贸企业某种出口商品的需求量 (单位:吨),其服从区
间[2000，4000]上的均匀分布，且每售出一吨这种
商品，一年可为企业赚得外汇3万元，但假如销售
不出去而囤积于仓库，则每吨这种商品一年需花费
保管费外汇1万元，试问年初该外贸企业需组织多 少吨货物，才能使该企业年终利润的数学期望达到 最大？
解：设该外贸企业年初进货t 吨，
pi
0.6
0.3 0.1
试评定他们成绩的好坏.
解： E X1 0 0 1 0.2 2 0.8 1.8
E X 2 0 0.6 1 0.3 2 0.1 0.5 E X1 E X 2
∴甲的成绩较好.
离散型随机变量函数的数学期望 定理 设离散型随机变量X的分布律为
E ( X ) xf ( x )dx


x/6 x f ( x ) 2 2 0
例4.已知某元件使用寿命X（单位：年）的概率密度为
0 x3 3 x 4, 其它

求元件使用寿命的数学期望.
解：E ( X ) xf ( x )dx
性质4 设X、Y是两个相互独立的随机变量，则有
E(XY)=E(X)E(Y)
推广：若X1, X2,… ,Xn相互独立，则有
E(X1 X2… Xn ) = E(X1)E( X2 ) … E(Xn)
例7.设一电路中电流I(安)与电阻R(欧)是两个相互独
立的随机变量，其概率密度分别为
2i g( i ) 0
显然，2000≤t≤4000, 该企业年终利润是一随机变量，记为Y,则
Y g( X )
3t 3 X ( t X ) X t X t
3t 4X t
又
X t Xt
1 f X ( x ) 2000 0
2000 x 4000 其它
1 E (Y ) g( x ) f ( x )dx g ( x ) dx 2000 2000
3 4 x3 3 x 2 (x ) 18 0 6 3

3
0
4 x x x dx 3 x ( 2 )dx 2 6
7 3
连续型随机变量函数的数学期望 定理
X是连续型随机变量，其概率密度为f(x), Y是X 的函数:Y=g(X)，且g(x)是连续的实函数，若广义积 分

0 i 1 , 其它
r 2 h( r ) 9 0
0r 3 其它
,
求电压V=IR的均值
解：E(V ) E ( IR ) E ( I ) E ( R)
ig( i )di rh(r )dr

2i 2di
0
1

3
0
r3 dr 9
赢利的平均值为
N
10 a10 6 a6 0 a0 (9.7) a9.7