2016年高考数学备考艺体生百日突围系列 专题04立体几何的第一问(综合篇)原卷版 Word版缺答案

专题 立 体 几 何1.已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）（A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 （B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行 （C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 （D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 解由A ，若α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A 不正确；由B ，若m ，n 平行于同一平面，则m ，n 可以平行、重合、相交、异面，故B 不正确；由C ，若α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α平面中平行于α，β交线的直线；由D 项，其逆否命题为“若m 与n 垂直于同一平面，则m ，n 平行”是真命题，故D 项正确.所以选D.2.设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解因为α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．若“m β∥”，则平面、αβ可能相交也可能平行，不能推出//αβ，反过来若//αβ，m α⊂，则有m β∥，则“m β∥”是“αβ∥”的必要而不充分条件.3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ．24π+ D ．34π+解由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为2，所以该几何体的表面积是()1211222342ππ⨯⨯⨯++⨯=+，故选D ． 5.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8解由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为22142222r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯=2254r r π+=16 + 20π，解得r =2，故选B. 6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A 、13π+ B 、23π+ C 123π+ D 、223π+ 解这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，2111112(12)12323V ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+，选A .7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A．2 B．4+ C．2+ D ．5=,三棱锥表面积表2S =+.8.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ） （A）1B）2（C）1+ （D）解由题意，该四面体的直观图如下，,ABD BCD∆∆是等腰直角三角形，,ABC ACD∆∆是等边三角形，则111,6022BCD ABD ABC ACD S S S S ∆∆∆∆======，所以四面体的表正(主)视图11俯视图侧(左)视图21面积2122BCD ABD ABC ACD SS S S S ∆∆∆∆=+++=⨯+=+ B.9.已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B.64π C.144π D.256π10.在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//,222AD BC BC AD AB === .将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）（A ）23π （B ）43π （C ）53π （D ）2π解直角梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为：2215121133V V V πππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=圆柱圆锥11.如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ） A.A DB α'∠≤ B. A DB α'∠≥ C. A CB α'∠≤ D. A CB α'∠≤解设ADCθ∠=，设2AB =，则由题意1AD BD ==，在空间图形中，设A B t '=，在A CB '∆中，2222222112cos 22112A D DB AB t t A DB A D DB '+-+--'∠==='⨯⨯⨯，在空间图形中，过A '作AN DC ⊥，过B 作BM DC ⊥，垂足分别为N，M ，BOAC过N作//NP MB ，连结A P '，∴NP DC ⊥，则A NP '∠就是二面角A CD B '--的平面角，∴A NP α'∠=，在Rt A ND'∆中，cos cos DN A D A DC θ''=∠=，sin sin A N A D A DC θ'''=∠=，同理，sin BM PN θ==，cos DM θ=，故2cos BP MN θ==，显然BP ⊥面A NP '，故BP A P '⊥，在Rt A BP '∆中，2222222(2cos )4cos A P A B BP t t θθ''=-=-=-，在A NP '∆中，222cos cos 2A N NP A P A NP A N NP α''+-'=∠='⨯2222sin sin (4cos )2sin sin t θθθθθ+--=⨯12某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积原工件的体积）（ ）A.89π B.169π解分析题意可知，问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值，设长方体体的长，宽，高分别为x ，y，h ，长方体上底面截圆锥的截面半径为a ，则22224)2(a a y x ==+，如下图所示，圆锥的轴截面如图所示，则可知a h ha 22221-=⇒-=，而长方体的体积)22(2222222a a h a h y x xyh V -==+≤=322162()327a a a ++-≤⨯=，当且仅当y x =，3222=⇒-=a a a 时，等号成立，此时利用率为ππ98213127162=⨯⨯，故选A. 13.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ） A.38cm B.312cm C.3323cm D. 3403cm14.若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α ，则“l m ⊥ ”是“//l α的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“lm ⊥ ”是“//l α 的必要不充分条件，故选B ．15.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A ．81 B ．71 C ．61 D ．51解由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ，则11133111326A AB DV a a -=⨯=，故剩余几何体体积为3331566a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51，故选D ．16若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 解由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π 17若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则a = ．解23644a a a =⇒=⇒= 18.如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点。

专题四 立体几何解答题（文）以直线与平面所成的角相关的综合题 【背一背重点知识】平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． ①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；②直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0︒的角．直线与平面所成角的范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.异面直线所成的角如图，已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线','a a b b .则把'a 与'b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．异面直线所成的角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦. 二面角的平面角如图在二面角l αβ--的棱上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则AOB ∠叫做二面角的平面角．二面角的范围是[]0,π. 【讲一讲提高技能】 必备技能：异面直线所成的角的范围是]2,0(π.求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用三角形来求角; ④补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角θ.直线与平面所成的角的范围是]2,0[π.求线面角方法:①利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径. ②利用三棱锥的等体积，省去垂足,在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键.确定垂足，是常规方法.可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法---等体积法.从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距h,利用三棱锥的等体积，只需求出h ，然后利用斜线段长h=θsin 进行求解.③妙用公式，直接得到线面角 课本习题出现过这个公式：21cos cos cos θθθ=，如图所示：21,,θθθ=∠=∠=∠OBC ABO ABC .其中1θ为直线AB 与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用.但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴.（3）确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心.DBA C α二面角的范围[]0,π，解题时要注意图形的位置和题目的要求.求二面角的方法:①直接法.直接法求二面角大小的步骤是：一作（找）、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从以下几个方面着手:①利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角,自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；；②利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角, 自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角；③利用定义确定平面角, 在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；②射影面积法.利用射影面积公式cos θ＝S S'；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等. 典型例题：例1如图3，已知二面角MN αβ--的大小为60 ，菱形ABCD 在面β内，,A B 两点在棱MN 上，60BAD ∠=，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O . (1)证明：AB ⊥平面ODE ；(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.分析:(1)题目已知DO α⊥,利用线面垂直的性质可得DO ⊥AB ,已知角DAE 和2DA AE =,利用余弦定理即可说明AB DE ⊥,即AB 垂直于面DOE 内两条相交的直线,根据线面垂直的判断即可得到直线AB 垂直于面DEO .(2)菱形ABCD 为菱形可得//AD BC ,则BC 与OD 所成角与角ADO 大小相等,即求ADO 角的余弦值即可,利用菱形ABCD 所有边相等和一个角为060即可求的DE 的长度,根据(1)可得AB ⊥面DOE ,即角DEO 为二面角MN αβ--的平面角为060,结合∆DEO 为直角三角形与DO 的长度,即可求的,DO OE 长度,再直角AOD ∆中,,AD OD已知,利用直角三角形中余弦的定义即可求的角ADO 的余弦值,进而得到异面直线夹角的余弦值. 【解析】例2已知某几何体的三视图和直观图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（Ⅰ）求证：1B N CN ⊥；（Ⅱ）求直线1C N 与平面1B CN 所成角的余弦值；（Ⅲ）设M 为AB 中点，在棱BC 上是否存在一点P ，使MP ∥平面1B CN ？若存在，求PCBP的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）37；（Ⅲ）31=PC BP ． 【解析】P B 1C 1CBAN²（Ⅱ）解：因为1NH BB ⊥，NH BC ⊥，1BB CB B = ，所以NH ⊥平面11BB C C ， 设1C 到平面1CNB 的距离为h ，由于1111N CB C C CNB V V --=，所以111CB C CNB S NH S h ⋅=⋅△△，解得h =．设直线1C N 与平面1B CN 所成角为θ，可知1sin h C N θ==所以直线1C N 与平面1B CN．【练一练提升能力】1．如图，四棱锥ABCD P -，PA ⊥底面ABCD ，CD AB //，AD AB ⊥，221===CD AD AB ，2=PA ，F E ,分别是PD PC ,的中点． （1） 证明：EF ∥平面PAB ；（2） 求直线AC 与平面ABEF 所成角的正弦值．【解析】证明：(1)F E , 分别是PD PC ,的中点，CD EF //∴，又CD AB // ，EF AB //∴，又⊄EF 平面PAB ，⊂AB 平面PAB ，//EF ∴平面PAB（2）取线段PA 中点M ，连接EM ，则AC EM //故AC 与平面ABEF 所成的角等于ME 与平面ABEF 所成的角的大小，作AF MH ⊥，垂足为H ，连接EH ， ⊥PA 底面ABCD ，AB PA ⊥∴，又A AD PA AD AB =⊥ ,⊥∴AB 平面PAD ，⊥∴EF 平面PAD ，⊂MH 平面PAD ，MH EF ⊥∴，⊥∴MH 平面ABEFMEH ∠∴是ME 与平面ABEF 所成的角，在EHM Rt ∆中，521==AC EM ，22=MH ， 1010sin ==∠∴EM MH MEH ，∴AC 与平面ABEF 所成角的正弦值1010. 2. 如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB=2，AC=AA 1=4，∠ABC=90°． （1）求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的表面积S ； （2）求异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值．【解析】以立体几何中的距离、体积问题相关的综合题 【背一背重点知识】（1）两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；常有求法①先证线段AB 为异面直线b a ,的公垂线段，然后求出AB 的长即可．②找或作出过b 且与a 平行的平面，则直线a 到平面的距离就是异面直线b a ,间的距离．③找或作出分别过b a ,且与b ，a 分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线b a ,间的距离．④根据异面直线间的距离公式EF ＝θcos 2222mn n m d ±++（“±”符号由实际情况选定）求距离.（2）点到平面的距离点Ｐ到直线a 的距离为点Ｐ到直线a 的垂线段的长，常先找或作直线a 所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作a 的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线a 的距离.在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可.常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面α的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为n m :，则点Ａ，Ｂ到平面α的距离之比也为n m :．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面α的距离相等；③体积法（3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；（4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离. （5）多面体的面积和体积公式bE表中S 表示面积，',c c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h′表示斜高，l 表示侧棱长. （6）旋转体的面积和体积公式 表中l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，12,r r 分别表示圆台 上、下底面半径，R 表示半径. 【讲一讲提高技能】 1.必备技能：求距离的关键是化归.即空间距离向平面距离化归，具体方法如下： （1）求空间中两点间的距离，一般转化为解直角三角形或斜三角形.（2）求点到直线的距离和点到平面的距离，一般转化为求直角三角形斜边上的高；或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为三棱锥的高，即用体积法.（3）求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之.异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为 ，它们的公垂线AA ′的长度为d ，在a 上有线段A ′E ＝m ，b 上有线段AF ＝n ，那么EF ＝θcos 2222mn n m d ±++（“±”符号由实际情况选定）求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点：①注意根据定义找出或作出所求的成角或距离，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置. ②作线面角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；求线面角的关键是寻找两“足”（斜足与垂足），而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理.③求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视.二面角的平角的常用作法有三种： 根据定义或图形特征作；根据三垂线定理（或其逆定理）作，难点在于找到面的垂线.解决办法，先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂线；作棱的垂面.作二面角的平面角应把握先找后作的原则.此外在解答题中一般不用公式“cos θ＝S S'”求二面角否则要适当扣分.④求点到平面的距离常用方法是直接法与间接法，利用直接法求距离需找到点在面内的射影，此时常考虑面面垂直的性质定理与几何图形的特殊性质.而间接法中常用的是等积法及转移法.⑤求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活转化为平面上的角与距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角与距离.求体积常见方法①直接法（公式法）直接根据相关的体积公式计算；②转移法：利用祖暅原理或等积变化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积；③分割法求和法：把所求几何体分割成基本几何体的体积；④补形法：通过补形化归为基本几何体的体积；⑤四面体体积变换法；⑥利用四面体的体积性质：（ⅰ）底面积相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅱ）高相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅲ）用平行于底面的平面去截三棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方.求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体.补形：三棱锥⇒三棱柱⇒平行六面体；分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是1：2：3和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等.求体积常见技巧当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利．(1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积．(3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素．组合体的表面积和体积的计算方法实际问题中的几何体往往不是单纯的柱、锥、台、球，而是由柱、锥、台、球或其一部分组成的组合体，解决这类组合体的表面积或体积的基本方法就是“分解”，将组合体分解成若干部分，每部分是柱、锥、台、球或其一个部分，分别计算其体积，然后根据组合体的结构，将整个组合体的表面积或体积转化为这些“部分的表面积或体积”的和或差．[易错提示] 空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”．多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和．对于简单的组合体的表面积，一定要注意其表面积是如何构成的，在计算时不要多算也不要少算，组合体的表面积要根据情况决定其表面积是哪些面积之和．求解几何体体积的策略及注意问题(1)与三视图有关的体积问题关键是准确还原几何体及弄清几何体中的数量关系．(2)计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高．(3)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．(4)注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征．2.典型例题：例1如图,直三棱柱111C B A ABC -中，⊥AD 平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上．P 为AC的中点（1）求证： C B 1∥平面A 1PB（2）若=AD 2==BC AB ，AC=22 ，求三棱锥BC A P 1-的体积．分析：（1）证明： 三棱柱 111C B A ABC -为直三棱柱，∴连接1AB 与B A 1交于点E, 可知E 为B A 1中点，连接PE ，P 为AC 的中点，得到PE ∥C B 1；即得C B 1∥平面A 1PB.（2）在直三棱柱111C B A ABC - 中，2==BC AB ，AC =由222AC BC AB =+知BC AB ⊥ 计算2222121=⨯⨯=⋅=⋅∆BC AB S ABC ；进一步求“高”计算体积11111333A BCP BCP V S A A -∆=⋅=⨯⨯=.【解析】在Rt ABD ∠∆中，AD = AB BC ==2，sin 2AD ABD AB ∠==,060ABD ∠=在1Rt ABA ∠∆中， tan AA AB =⋅=0160，∴=-BC A P V 111111333A BCP BCP V S A A -∆=⋅=⨯⨯=. 例2如图，在正三棱柱111CB A ABC -（侧面垂直于底面，且底面是正三角形）中，61==CC AC ，M 是棱1CC 上一动点．（1）若M ，N 分别是1CC ，AB 的中点，求证：∥CN 平面M AB 1；（2）求证：三棱锥11AMB A -的体积为定值，并求出该定值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，【解析】因为平面⊥111C B A 平面11A ACC ，平面1111111C A A ACC C B A = ，⊂Q B 1平面111C B A ，所以⊥Q B 1平面11A ACC ． 易知33236,611=⨯==Q B AA ，又M 是棱1CC 上一动点，故不论M 在何位置，都有31833662131********=⨯⨯⨯⨯=⋅==∆--Q B S V V M AA M AA B AMB A 三棱锥三棱锥． 【练一练提升能力】 1. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点.（Ⅰ）证明：PB //平面AEC ；（Ⅱ）设1,AP AD ==，三棱锥P ABD -的体积4V =，求A 到平面PBC 的距离.【解析】2. 如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，⊥PA 面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）求证：∥PB 平面AEC ；（2）设1=AP ，2=AD ， 60=∠ABC ，求点A 到平面PBD 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】故⊥AH 平面PAO ，又22=⋅=PO AO PA AH ， 所以A 到平面PBD 的距离为22．解答题（共10题）1. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为 4的菱形， 4PD PB ==，060BAD ∠=，E 为PA 中点．（1）求证：//PC 平面EBD ；（2）求证：平面EBD ⊥平面PAC ；（3）若PA PC =，求三棱锥C ABE -的体积．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）4．【解析】试题分析：（1）利用条件可证明//EO PC ，再利用线面平行的判定即可得证；（2）根据线面垂直的判定可证明BD ⊥平面PAC ，再根据面面垂直的判定即可得证；（3）利用C ABE E ABCV V --=求得底面积和高即可求解．2. 如图，已知O 的直径AB ＝3，点C 为O 上异于A ，B 的一点，VC ⊥平面ABC ，且VC ＝2，点M 为线段VB 的中点.(1)求证：BC ⊥平面VAC ；(2)若AC ＝1，求直线AM 与平面VAC 所成角的大小.【解析】(1)∵VC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴VC BC ⊥ ，∵点C 为O 上一点，且AB 为直径，∴AC BC ⊥ ，又,VC AC ⊂平面VAC ，VC AC C = ，∴BC ⊥平面VAC ；(2)如图，取VC 的中点N ，连接MN ，AN ，则MN ∥BC ，由(1)得，BC ⊥平面VAC ，∴MN ⊥平面VAC∴∠MAN 为直线AM 与平面VAC 所成的角，∵12MN BC ===AN ===，∴tan 1MAN ∠=，∴4MAN π∠=，∴直线AM 与平面VAC 所成角的大小为4π .3. 如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，⊥PA 面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）求证：∥PB 平面AEC ；（2）设1=AP ，2=AD ， 60=∠ABC ，求点A 到平面PBD 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】故⊥AH 平面PAO ，又22=⋅=PO AO PA AH ，所以A 到平面PBD 的距离为22．4. 如图，多边形ABCDE 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，△ADE 是正三角形，AD ＝2，AB ＝BC ＝1，沿直线AD 将△ADE 折起至△ADP 的位置，连接PB ，BC ，构成四棱锥P －ABCD ，使得∠PAB ＝90°.点O 为线段AD 的中点，连接PO .(1)求证：PO ⊥平面ABCD ；(2)求异面直线CD 与PA 所成角的余弦值.【解析】(1)证明：∵∠ABC ＝90°，AD ∥BC ， PA B C D OEAB C D O222,AB AD PB PA AB PA AB BA PAD PO PD BA PAD PAD O AD PO AD PAD AB A PO ABCD ∴⊥⎫⎬=+∴⊥⎭⇒⊥⎫⎬⊂⎭⇒⊥⎫⎪∴⊥⎬⎪=⎭⇒⊥ 面面面正中是中点,面5. 如图甲，的直径2AB =，圆上两点C 、D 在直径AB 的两侧，使C 4π∠AB =，D 3π∠AB =．沿直径AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F 为C B 的中点，E 为AO 的中点．根据图乙解答下列各题：（1）求证：C D B ⊥E ；（2）在BD 弧上是否存在一点G ，使得FG//平面CD A ？若存在，试确定点G 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）G 为BD 弧的中点【解析】6. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠= E 、F 分别是PB 、CD 的中点，且4PB PC PD ===.（1）求证：PA ABCD ⊥平面；（2）求证：//EF 平面PAD ;（3）求二面角A PB C --的余弦值.【解析】（1）取BC 的中点,M 连结,.AM PM ,60AB BC ABC =∠= ,ABC∴∆为正三角形，.AM BC ∴⊥又 ,,PB PC PM BC =∴⊥,AM PM M = BC ∴⊥平面PAM , PA ⊂平面PAM ,同理可证 ,PA CD ⊥又,BC CD C PA =∴⊥ 平面.ABCD .7. 在如图所示的空间几何体中，平面⊥ACD 平面ABC ，ACD ∆与ACB ∆是边长为2的等边三角形，2=BE ，BE 和平面ABC 所成的角为 60，且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上．（1）求证：∥DE 平面ABC ；（2）求二面角A BC E --的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）1313 【解析】试题解析：（1）由题意知，ABC ∆，ACD ∆都是边长为2的等边三角形，取AC 中点O ，连接BO ，DO ，则AC BO ⊥，AC DO ⊥，又∵平面⊥ACD 平面ABC ，∴⊥DO 平面ABC ，作⊥EF 平面ABC ，那么DO BF ∥，根据题意，点F 落在BO 上，∵BE 和平面ABC 所成的角为 60，∴ 60=∠EBF ，∵2=BE ，∴3==DO EF ，∴四边形DEFO 是平行四边形，∴OF DE ∥， ∵DE 不包含于平面ABC ，⊂OF 平面ABC ，∴∥DE 平面ABC ．（2）作BC FG ⊥，垂足为G ，连接EG ，∵⊥EF 平面ABC ，∴BC EF ⊥，又F FG EF = ，∴⊥BC 平面EFG ，∴BC EG ⊥，∴EGF ∠就是二面角A BC E --的平面角． EFG RT ∆中，3,2130sin ==⋅=EF FB FG ，213=EG ，∴1313cos ==∠EG FG EGF ， 即二面角A BC E --的余弦值为1313． 8. 如图，底面是正三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，12AA AB ==. （Ⅰ）求证：1//A C 平面1AB D ；（Ⅱ）求的A 1 到平面1AB D 的距离.【解析】解法二：由①可知11//AC AB D 平面，∴点1A 到平面1AB D 的距离等于点C 到平面1AB D 的距离1AD B ∆ 为Rt ∆，1ADB S ∆∴=，12ADC ABC S S ∆∆==C 到面1AB D 的距离为h11C AB D B ADC V V --=，即1123232h ⨯⋅=⨯⨯，解得5h =. 9.如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD CD =，E 为PB 的中点．（1）求异面直线PA 与DE 所成的角；（2）在底边AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥平面PBC ？证明你的结论．【答案】（1）90 ；（2）存在点F 为AD 的中点，使EF ⊥平面PBC ，理由见解析．【解析】10. 如图，在三棱锥V ABC -中，平面VAB ⊥平面ABC ，VAB △为等边三角形，AC BC ⊥，且AC BC ==O ，M 分别为AB ，VA 的中点．（Ⅰ）求证：VB ∥平面MOC ；（Ⅱ）设N 是线段AC 上一点，满足平面MON ∥平面VBC ，试说明点的位置N ； （Ⅲ）求三棱锥V ABC -的体积．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）中点；（Ⅲ）33=V ． 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据线面平行的判定定理，因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点，所以MO VB //，即可证明//VB 平面MOC ；（Ⅱ）根据面面平行的性质定理，两个平行平面被第三个平面所截，则交线平行，根据已知平面MON ∥平面VBC ，与平面VAC 交于VC MN ,，所以VC MN //，则能推出点N 的位置．。

第1讲空间几何体1．(2014·浙江）某几何体的三视图（单位:cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．72 cm3B．90 cm3C．108 cm3D．138 cm32．（2015·山东）在梯形ABCD中，∠ABC＝错误!，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2。

将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.错误!B.错误!C。

错误!D．2π3．(2015·课标全国Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺,问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛4．(2014·江苏)设甲，乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2,体积分别为V1，V2.若它们的侧面相等,且错误!＝错误!，则错误!的值是________．1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.热点一三视图与直观图1．一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．由三视图还原几何体的步骤一般先从俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体．例1 （1)(2014·课标全国Ⅰ)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱(2）一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是( ）思维升华空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图,因此在分析空间几何体的三视图问题时,先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．跟踪演练1 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( ）（2）将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）热点二几何体的表面积与体积空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧．例2 (1）（2015·北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( ）A．2＋ 5 B．4＋错误!C．2＋2错误!D．5（2）如图,在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3,连接EF，FB，DE，BD则几何体EFC1－DBC的体积为（)A．66 B．68 C．70 D．72思维升华(1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和．(2)求体积时可以把空间几何体进行分解，把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体积的和或差．求解时注意不要多算也不要少算．跟踪演练2 (2015·四川)在三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M,N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥PA1MN的体积是________．热点三多面体与球与球有关的组合体问题,一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．例3 (1）已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝23，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，则球O的表面积为( )A．4πB．12πC．16πD．64π(2）(2015·课标全国Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点,∠AOB＝90°,C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )A．36πB．64πC．144πD．256π思维升华三棱锥P－ABC可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形：(1）P可作为长方体上底面的一个顶点，A、B、C可作为下底面的三个顶点;(2)P－ABC为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线．跟踪演练3 在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC,AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为错误!，错误!，错误!,则三棱锥A －BCD的外接球体积为________。

【2016年高考备考艺体生文化课精选好题突围系列】专题五 解析几何的第一问圆的概念与方程【背一背基础知识】1.标准方程：圆心坐标(,)a b ，半径r ，方程222()()x a y b r -+-=，一般方程:22xy Dx Ey ++++0F =（其中2240D E F +->）； 2．直线与圆的位置关系:相交、相切、相离 ，代数判断法与几何判断法；3。

圆与圆的位置关系:相交、相切、相离、内含，代数判断法与几何判断法。

【讲一讲基本技能】1. 必备技能：① 会用配方法把圆的一般方程化为标准方程；②直线和圆的位置可用方程组的解来判断,但主要是应用圆心到直线的距离d 和圆半径r 比较，d r >⇔相离,d r =⇔相切，d r <⇔相交;③圆与圆的位置关系一般也是用圆心距12OO 与两圆的半径之和(或差）比较,12OOR r >+⇔相离，12OO R r =+⇔外切，12R r OO R r -<<+⇔相交，12OO R r =-⇔内切，12OO R r <-⇔内含．④直线和圆的位置关系是这部分的重点考查内容．⑤对直线被圆截得弦长问题,求出圆的半径r ,圆心到直线的距离为d，则直线被圆截得弦长为222r d -2.典型例题例1 在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； 【分析】求圆的切线方程，一般设出直线方程为y kx b =+（斜率存在)，再利用圆心到切线的距离等于圆的半径来求出其中的参数值。

【解析】例2 已知圆22:4230P xy x y +-+-=和圆外一点(4,8)M -．(1）过点M 作圆的割线交圆于,A B 两点，若||4AB =，求直线AB 的方程； (2）过点M 作圆的两条切线,切点分别为,C D ,求切线长及CD 所在直线的方程．【答案】（1）4528440x y ++=或4x =；(2）27190x y --=．【分析】(1）先将圆的方程化成标准方程，求出圆心和半径，在根据弦长为4，结合垂径定理得到圆心到直线AB 的距离，则可以利用点到直线的距离公式求出直线AB 的斜率，求得直线方程；(2)利用切线的性质可知，切线长、半径、M 到圆心的距离满足勾股定理，则切线长可求；求出以PM 为直径的圆,与已知圆的方程,两式相减即可求得CD 所在的直线方程． 【解析】(1）圆:P22(2)(1)8x y -++=，圆心(2,1)P -，半径r =①若割线斜率存在，设直线AB 的方程为8(4)y k x +=-，即480kx y k ---=, 设AB 的中点为N ，则||PN ==222||||()2AB PN r +=, 解得4528k =-．故直线AB 的方程为4528440x y ++=．②若割线斜率不存在，则直线AB 的方程为4x =．将其代入圆的方程得2230yy +-=，解得121,3yy ==-,符合题意．综上可知，直线AB 的方程为4528440x y ++=或4x =． (2==PM为直径的圆的方程为22953(3)()24x y -++=，即2269160x y x y +-++=．又已知圆22:4230P xy x y +-+-=，两式相减，得27190x y --=，所以直线CD 的方程为27190x y --=． 【练一练趁热打铁】1. 已知圆C 过点A （1，3），B(2，2），并且直线m ： 320x y -=平分圆C 的面积．（Ⅰ)求圆C 的方程； 【答案】（Ⅰ）()()22231x y -+-=【解析】2.已知圆O 2：22460x y y +--=，求圆心在x —y-4=0，且过圆O 1与圆O 2交点的圆的方程.【答案】22(3)(1)16x y -++=【解析】方法一：设经过两圆交点的圆系方程为222246(46)0(1)x y x x y y λλ+--++--=≠-即224422601111+xy x y λλλλλλ+---=+++所以圆心的坐标为（,） 又圆心在直线x-y —4=0上，所以24--4=01+1+λλλ则22162603x y x y λ=-+-+-=所以所求圆的方程为方法二：2222460460x y x y x x y y ⎧+--=⎪=⎨+--=⎪⎩由得两圆公共弦所在直线为 1222121313+460y x x x y y x y y ==-=⎧⎧⎧⎨⎨⎨=-=--=⎩⎩⎩由解得或 所以两圆的交点分别为A （—1，—1），B （3，3）， 线段AB 的垂直平分线所在直线的方程为y —1=-(x —1）1(1)3401y x x x y y -=--=⎧⎧⎨⎨--==-⎩⎩由得 所以所求圆的圆心为（3，-1），半径为4 所以所求圆的方程为22(3)(1)16x y -++=．圆锥曲线【背一背基础知识】 1。

2106届艺体生强化训练模拟卷（理四）一．选择题.1. 已知集合A={﹣1，0，1}，B={x |x =|a +1|，a ∈A}，则A∩B=（ ） A ．{0} B ．{1} C ．{0，1} D ．{0，1，2} 【答案】C【解析】∵x =|a +1|，a ∈A ，∴当a =﹣1时，x =0；当a =0时，x =1；当a =1时，x =2； ∴根据集合的互异性可知B={0，1，2}，∴A∩B={0，1}；故选C ． 2. 若a 为实数，且231aii i+=++，则a=( ) A ． 一4 B ． 一3 C ． 3 D ． 4 【答案】D 【解析】232(3)(1)22441aii ai i i ai i a i+=+⇒+=++⇒+=+⇒=+，选D. 3. 下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．①② 【答案】B 【解析】4. 命题：“存在0x R ∈，使得00sin x x <”的否定为（ ）A ．存在0x R ∈，使得00sin x x >B ．存在0x R ∈，使得00sin x x ≥C ．对任意x R ∈，使得sin x x >D ．对任意x R ∈，使得sin x x ≥ 【答案】D【解析】由命题的否定可知，选D 对任意x R ∈，使得sin x x ≥，即既否定条件，又否定结论5. 已知向量()2,1a =r ，()1,b k =-r，若()//2a a b -r r r ，则k =（ ）A.12-B.12C.12D.12-【答案】D【解析】()2,1a =r Q ，()1,b k =-r ，()()()222,11,5,2a b k k ∴-=--=-r r，由于()//2a a b -r r r，则有()2215k ⨯-=⨯，即425k -=，解得12k =-，故选D.6．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为103，则=h ( ) A ．32B ．3C ．3D ．5 3【答案】B.【解析】由题意，得该几何体是一个四棱锥，底面为边长为5与6的矩形，高为h ；则3106531=⨯⨯h ， 解得3=h .7．将函数)46sin(π+=x y 的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位，所得函数图像的一个对称中心是（ ） A ．)0,16(π B ．)0,9(π C ．)0,4(π D ．)0,2(π【答案】D 【解析】8．执行如图的程序框图，输出的T=（ ）A ．30B ．25C ．20D ．12 【答案】A 【解析】9．若实数x 、y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23x yz +=的最大值是（ ）A.0B.1C.3D. 9 【答案】D【解析】令2t x y =+，则3tz =，当t 取最大值时，z 取最大值，作出不等式组1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩所表示的可行域如下图中的阴影部分所表示，联立100x y x -+=⎧⎨=⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，即点A 的坐标为()0,1，作直线l:t=x+2yAOyxx+y =0x-y +1=0:2l t x y =+，则t 为直线l 在x 轴上的截距，当直线l 经过点()0,1A 时，直线l 在x 轴上的截距最大，此时t 取最大值，z 也取最大值，即0212max 339z +⨯===，故选D. 10．已知椭圆与双曲线221412x y -=的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，那么椭圆的离心率等于（ ）A.35B.45C.54D.34【答案】B 【解析】二、填空题.11. ()()8x y x y -+的展开式中72y x 的系数为 ．【答案】20-【解析】()8x y +的展开式中，含7xy 的系数是8．含26x y 的系数是28，∴()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为：82820-=-12．某校开展“爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A 给出的分数如茎叶图3所示.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图3中的劝无法看清，若记分员计算无误，则数字x = .88999232143x 图【答案】1. 【解析】13. 在数列{}n a 中，121,2a a ==，若2122n n n a a a ++=-+，则n a = . 【解析】依题意得211()()2n n n n a a a a +++---=，因此数列1{}n n a a +-是以1为首项，2为公差的等差数列，11212()1n n a a n n +-=+-=-，当2n ≥时，()()1213211231113231()()()()2n n n n n a a a a a a a a n -+--=+-+-+⋯+-=+++⋯+-=+2211()22n n n =-+=-+，又2111212a ==-⨯+，因此222n a n n =-+三．解答题14.在△ABC 中，点D 在BC 边上，∠CAD ＝4π，AC ＝72，cos ∠ADB 2．（Ⅰ）求sin ∠C 的值；（Ⅱ）若BD ＝5，求△ABD 的面积． 【解析】（Ⅰ）因为2cos ADB ∠= 所以2sin 10ADB ∠=． 又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-．所以sin sin()sin cos cos sin 444C ADB ADB ADB πππ∠=∠-=∠⋅-∠⋅7222245==． …………6分15. 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测 结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)己知每检测一件产品需要费用1 00元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测 出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和均值（数学期望）． 【解析】(1) 112323310A A P A == (2) 200,300,400X =22251(200)10A P X A ===31123322353(300)10A C C A P X A +=== 136(400)1101010P X ==--= 所以X 的分布列为X 200300400P110 310 610350EX =16. 如图，四棱锥中P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB//CD ，60,2,DAB AB AD CD ∠===o 侧面PAD ⊥ABCD 底面，且PAD V 为等腰直角三角形，90APD ∠=o .（Ⅰ）求证：;AD PB ⊥【解析】（Ⅰ）取AD 的中点G ，连结PG GB BD 、、． PA PD =Q ，PG AD ∴⊥……………………………2分AB AD =Q ，且60DAB ∠=︒， ABD ∴∆是正三角形，AD BG ⊥, 又PG BG G =I , AD ∴⊥平面PGB ．AD PB ∴⊥． ……………………………5分17. 椭圆C:22221x y a b +=（0a b >>）的上顶点为A ，4,33b ⎛⎫P ⎪⎝⎭是C 上的一点，以AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F ． （1）求椭圆C 的方程；【解析】18. 已知()ln 1mf x n x x =++（,m n 为实数），在1x =处的切线方程为20x y +-=． （1）求()y f x =的单调区间； 【解析】（1）()()'21mn f x x x =-++，由条件可得：()()'111,112,2f f m n ==∴==- ()()()()''2210021f x x f x f x xx ∴=-+>∴<∴+Q 的减区间为()0,+∞，没有递增区间；请考生在第19、20、21三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.19. 如图，ABC ∆内接于直径为BC 的圆O ，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点M ，BAC ∠的平分线分别交圆O 和BC 于点D ，E ，若5152MA MB ==．（1）求证：52AC AB =； （2）求AE ·DE 的值． 【解析】20.已知直线l 的参数方程为431x t ay t =-+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，在直角坐标系xOy 中，以O 点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为26sin 8ρρθ-=-．（1）求圆M 的直角坐标方程；（2）若直线l 截圆M 3a 的值．【解析】（1）∵2222268(36si )n 81x y y x y ρρθ+--=-⇒=-⇒+-=，∴圆M 的直角坐标方程为22(3)1x y +-=；（2）把直线l 的参数方程431x t ay t =-+⎧⎨=-⎩(t 为参数)化为普通方程得：34340x y a +-+=，∵直线l 截圆M 3，且圆M 的圆心(0,3)M 到直线l 的距离22|163|3191()5222a d a -==-=⇒=或376a =，∴376a =或92a =．21. 已知不等式|2||2|18x x ++-<的解集为A ． （1）求集合A ；（2）若a ∀，b A ∈， (0,)x ∈+∞，不等式4a b x m x+<++ 恒成立，求实数m 的取值范围． 【解析】。

2016年高考数学复习指导：立体几何2016高考各科复习资料2016年高三开学已经有一段时间了，高三的同学们是不是已经投入了紧张的高考一轮复习中，数学网高考频道从高三开学季开始为大家系列准备了2016年高考复习，2016年高考一轮复习，2016年高考二轮复习，2016年高考三轮复习都将持续系统的为大家推出。

立体几何初步(1)棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

(3)棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

(5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

(6)圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。

《2016艺体生文化课-百日突围系列》专题11 立体几何三视图【背一背基础知识】1.投影：区分中心投影与平行投影。

平行投影分为正投影和斜投影。

2.三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；正视图——光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图；侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；正视图——光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图；注：（1）俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右边，“高度”与正视图相等，“宽度”与俯视图。

（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”.（2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。

3.直观图——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。

直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。

【讲一讲基本技能】1.必备技能：三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．一般地，若俯视图中出现圆，则该几何体可能是球或旋转体，若俯视图是多边形，则该几何体一般是多面体；若主视图和左视图中出现三角形，则该几何体可能为椎体.2.典型例题例1某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1 BCD．2例2某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）1112A ．8+B ．11+．14+．15 【练一练趁热打铁】1. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )（A ）1 （B ）2（C ）4 （D ）82. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ．24π+ D ．34π+3.如图,三棱柱的棱长为2,底面是边长为2的正三角形,1111C B A AA 面⊥,正视图是边长为2的正方形,俯视图为正三角形,则左视图的面积为（ ） A ．4 B ．22 C． D ．2几何体的表面积和体积【背一背基础知识】1. .柱体、锥体、台体和球的表面积与体积(1)表面积公式 (2)体积公式①圆柱的表面积S ＝2πr (r ＋l )； ①柱体的体积V ＝Sh ； ②圆锥的表面积S ＝πr (r ＋l )； ②锥体的体积V ＝13Sh ；③圆台的表面积S ＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )； ③台体的体积V ＝13(S ′＋SS ′＋S )h ；④球的表面积S ＝4πR 2 ④球的体积V ＝43πR 【讲一讲基本技能】 1.必备技能：求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在。

2106届艺体生强化训练模拟卷四（文）1．复数()i 1i z =⋅-+（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】C【解析】()i 1i 1i z =-+=--对应点坐标为()1,1--,位于第三象限．故C 正确． 2．已知集合A={﹣1，0，1}，B={x |x =|a +1|，a ∈A}，则A∩B=（ ） A ．{0} B ．{1} C ．{0，1} D ．{0，1，2}【答案】C【解析】∵x =|a +1|，a ∈A ，∴当a =﹣1时，x =0；当a =0时，x =1；当a =1时，x =2； ∴根据集合的互异性可知B={0，1，2}，∴A∩B={0，1}；故选C ．3．已知函数()23,2x f x x x ≥=-<⎪⎩，则()()1f f -的值为A. 1-B.0C.1D.2 【答案】D【解析】由题意，得24)4())1((,4)1(===-=-f f f f .4．下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．①② 【答案】B【解析】5．设等差数列}{n a 和等比数列}{n b 首项都是1，公差和公比都是2，则=++432b b b a a a （ ） A ．24 B ．25 C ．26 D ．27 【答案】B【解析】由已知12-=n a n ，12-=n n b ，则251573842432=++=++=++a a a a a a b b b 6．执行如图的程序框图，输出的T=（ ）A ．30B ．25C ．20D ．12 【答案】A 【解析】7．抛物线21y x a=的焦点坐标为 A.0,4a ⎛⎫-⎪⎝⎭ B.0,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.,04a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.1,04a ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】先把抛物线21y x a =化为标准方程ay x =2，可得抛物线的焦点坐标为0,4a ⎛⎫⎪⎝⎭8．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则=h ( )A ．3 D ．【答案】B.【解析】由题意，得该几何体是一个四棱锥，底面为边长为5与6的矩形，高为h ；则3106531=⨯⨯h ，解得3=h .9．已知3,,cos tan 22παπαα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭=（ ） A ．43 B ．-43C ．2-D ．2 【答案】B【解析】由题意可得，sin α==，∴22tan 4tan 2tan 21tan 3αααα=⇒==-- ，故选B10．已知椭圆与双曲线221412x y -=的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，那么椭圆的离心率等于（ ） A.35 B.45 C.54 D.34【答案】B 【解析】二、填空题（本题包括2题，共计20分）11．在区间[]3,5-上随机取一个数a ，则使函数()224f x x ax =++无零点的概率是 ．【答案】21【解析】试验全部结果构成的长度为5+3=8，函数无零点，满足()01622<-=∆a ，解得22<<-a ，满足函数无零点的试验长度为422=+，由古典概型的概率计算公式得2184==P . 12．某校开展“爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A 给出的分数如茎叶图3所示.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图3中的劝无法看清，若记分员计算无误，则数字x = .88999232143x 图【答案】1.【解析】若4x ≥，最低分为88，最高分为90x +，平均分为()1898991929293947x =++++++91.4≈，不合乎题意；则03x ≤≤，最高分为94，最低分为88，平均分为x =()189899192929390917x +++++++=，解得1x =. 13. 在数列{}n a 中，121,2a a ==，若2122n n n a a a ++=-+，则n a = . 【解析】三、解答题（本题包括3题，共计30分）14．在△ABC 中，点D 在BC 边上，∠CAD ＝4π，AC ＝72，cos ∠ADB ．（Ⅰ）求sin ∠C 的值；（Ⅱ）若BD ＝5，求△ABD 的面积．【解析】（Ⅰ）因为cos ADB ∠=所以sin ADB ∠= 又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-．所以sin sin()sin cos cos sin 444C ADB ADB ADB πππ∠=∠-=∠⋅-∠⋅45=+=． …………6分（Ⅱ）在ACD ∆中，由ADCAC C AD ∠=∠sin sin，得sin sin AC C AD ADC ⋅∠===∠．所以11sin 5722ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⋅=． …………12分 15．某校从高中部年满16周岁的学生中随机抽取来自高二和高三学生各10名，测量他们的身高，数据如下（单位：cm ）高二：166,158,170,169,180,171,176,175,162,163 高三：157,183,166,179,173,169,163,171,175,178（1）若将样本频率视为总体的概率，从样本中来自高二且身高不低于．．．170的学生中随机抽取3名同学，求其中恰有两名同学的身高低于．．．．．．．．．．．175的概率；（2）根据抽测结果补充完整下列茎叶图，并根据茎叶图对来自高二和高三学生的身高作比较，写出两个统．．．．．计结论．．．.【解析】①高三学生的平均身高大于高二学生的平均身高； ②高二学生的身高比高三学生的身高更整齐；③高二学生的身高的中位数为169.5cm ，高三学生的身高的中位数为172cm ；④高二学生的身高基本上是对称的，且大体上集中在均值附近，高三学生的身高的高度较为分散； 16．如图，四棱锥中P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB//CD ，60,2,DAB AB AD CD ∠===侧面PAD ⊥ABCD 底面，且PAD 为等腰直角三角形，90APD ∠=. （Ⅰ）求证：;AD PB ⊥【解析】（Ⅰ）取AD 的中点G ，连结PG GB BD 、、． PA PD =，PG AD ∴⊥……………………………2分AB AD =，且60DAB ∠=︒， ABD ∴∆是正三角形，AD BG ⊥, 又PG BG G =, AD ∴⊥平面PGB ．AD PB ∴⊥． ……………………………5分17. 椭圆C :22221x y a b +=（0a b >>）的上顶点为A ，4,33b ⎛⎫P ⎪⎝⎭是C 上的一点，以AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F ．（1）求椭圆C 的方程；【解析】18. 已知函数ax x e x f x--=2)(．(Ⅰ)若函数)(x f 的图象在0=x 处的切线方程为，b x y +=2求，a b 的值； 【解析】 (Ⅰ)∵，a x e x f x--='2)(∴a f -='1)0(．于是由题知,21=-a 解得-1=a ．…………………………2分∴x x e x f x +-=2)(．∴1)0(=f ，于是b +⨯=021，解得1=b ．…………………………4分请考生在第19、20、21三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.19. 如图，ABC ∆内接于直径为BC 的圆O ，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点M ，BAC ∠的平分线分别交圆O 和BC 于点D ，E ，若5152MA MB ==．（1）求证：52AC AB =； （2）求AE ·DE 的值． 【解析】20. 已知直线l 的参数方程为431x t ay t =-+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，在直角坐标系xOy 中，以O 点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为26sin 8ρρθ-=-． （1）求圆M 的直角坐标方程；（2）若直线l 截圆M ，求实数a 的值．【解析】（1）∵2222268(36si )n 81x y y x y ρρθ+--=-⇒=-⇒+-=，∴圆M 的直角坐标方程为22(3)1x y +-=；（2）把直线l 的参数方程431x t ay t =-+⎧⎨=-⎩(t 为参数)化为普通方程得：34340x y a +-+=，∵直线l 截圆M 所得弦长为，且圆M 的圆心(0,3)M 到直线l 的距离|163|19522a d a -===⇒=或376a =，∴376a =或92a =． 21. 已知不等式|2||2|18x x ++-<的解集为A ． （1）求集合A ；（2）若a ∀，b A ∈，(0,)x ∈+∞，不等式4a b x m x+<++ 恒成立，求实数m 的取值范围． 【解析】：。

专题四 立体几何解答题（理）空间向量运算与利用向量证明平行、垂直的位置关系【背一背重点知识】1.用向量证明线面平行的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两个不共线向量线性表示.2.面面平行：①证明两个平面的法向量平行；②转化为线面平行，线线平行.3.用向量证明线面垂直的方法有：①证明直线的方向向量与平行的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理，转化为线线垂直.4.面面垂直的证明发法：①两个平面的法向量垂直；②转化为线面垂直，线线垂直.【讲一讲提高技能】必备技能：1.用向量证明空间中的平行关系①设直线1l 和2l 的方向向量分别为1v 和2v ，则1l ∥2l (或1l 与2l 重合)⇔ 1v ∥2v .②设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量1v 和2v ，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数,x y ，使12v xv yv =+ .③设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .④设平面α和β的法向量分别为1u ，2u ，则α∥β⇔1u ∥2u .2.用向量证明空间中的垂直关系①设直线l 1和l 2的方向向量分别为1v 和2v ，则l 1⊥l 2⇔1v ⊥2v ⇔1v .2v ＝0.②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u③设平面α和β的法向量分别为1u 和2u ，则α⊥β⇔1u ⊥2u ⇔1u ·2u ＝0.典型例题：例1如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，090ADC ∠=，1PD AD AB ===，2DC =．（1）求证：BC ⊥平面PBD ；（2）求二面角A PB C --的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）56π． 【解析】例2如图，正方形CD AB 和四边形C F A E 所在平面互相垂直，C C E ⊥A ，F//C E A ，AB C F 1E =E =．（1）求证：F//A 平面D B E ；（2）求证：CF ⊥平面D B E ；（3）求二面角D A -BE -的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）6π． 【解析】（2）证明：因为正方形CD AB 和四边形C F A E 所在的平面互相垂直，且C C E ⊥A ， 所以C E ⊥平面CD AB ．如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C xyz -．则()C 0,0,0，)A，()B，)D ，()0,0,1E，F ,,122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．CF ⎫=⎪⎪⎝⎭，()0,BE =，()D E = ．CF 0110⋅BE =-+= ，CF D 1010⋅E =-++= ，所以CF ⊥BE ，CF D ⊥E ，又D BE E =E ，所以CF ⊥平面D B E ．（3）由（2）知，CF ⎫=⎪⎪⎝⎭是平面D BE 的一个法向量． 设平面A B E 的法向量(),,n x y z = ，则0n ⋅B A = ，0n ⋅BE = ，即())()(),,0,,0,0x y z x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 得0x =，且z =．令1y =，则z =(n = ．从而CF cos ,CF CFn n n ⋅== ． 故二面角D A -BE -为锐角，故二面角D A -BE -的大小为6π． 【练一练提升能力】1已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，且2AD =，1AB =，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是线段AB 、BC 的中点．（1）证明：PF FD ⊥（2）在线段PA 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD ，若存在，确定点G 的位置；若不存在，说明理由.（3）若PB 与平面ABCD 所成的角为45，求二面角A PD F --的余弦值【解析】（Ⅱ）设平面PFD 的法向量为(),,n x y z = ，由00n P F n D F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得00x y t z x y +-=⎧⎨-=⎩，令1z =，得：2t x y ==．∴,,122t t n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ．设G 点坐标为(0,0,)m ()0m t ≤≤，1,0,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1(,0,)2EG m =- ，要使EG ∥平面PFD ，只需0EG n = ，即1()0102224t t t m m -⨯+⨯+⨯=-=，得14m t =，从而满足14AG AP =的点G 即为所求．2. 如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点．（Ⅰ）证明：PA //平面BDE ；（Ⅱ）求二面角C DE B --的平面角的余弦值；（Ⅲ）在棱PB 上是否存在点F ，使PB ⊥平面DEF ？证明你的结论．【解析】法二：（I ）连接AC ，AC 交BD 于O ，连接OE ．在PAC ∆中，OE 为中位线，∴OE //PA PA BDE ⊄又平面,∴PA //平面BDE ．利用空间向量求空间角【背一背重点知识】1.求两条异面直线所成的角，设b a ,分别是直线21,l l 的方向向量，则21,l l 所成角为θ，b a ,的夹角为><,,则>=<=,cos cos θ2.求直线与平面所成的角，设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ,直线l 与平面α所成的角为θ，=><=,cos sin θ.3. 设n m ,是二面角βα-l -的法向量，则n m ,的夹角大小就是二面角的平面角的大小，n m >=<=,cos cos θ,再根据平面是锐角还是钝角，最后确定二面角的平面角的大小.【讲一讲提高技能】1.必备技能：用法向量求角（1）用法向量求二面角如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量1n 与2n ，则平面α与β所成的角跟法向量1n 与2n 所成的角2n 相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角.（2）法向量求直线与平面所成的角要求直线a 与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n 与直线a 的夹角的余弦a ，易知θa 或者a 2-π.2.典型例题： 例1如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠=︒．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ．（1）求证：//AB EF ；（2）若P A P D A D ==，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）13． 【解析】试题分析：（1）首先证明//AB 面PCD ，再利用线面平行的性质即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可求解．例2如图，四棱锥ABCD P -中，底面是以O 为中心的菱形，⊥PO 底面ABCD ， 3,2π=∠=BAD AB ，M 为BC 上一点，且AP MP BM ⊥=,21.（Ⅰ）求PO 的长；（Ⅱ）求二面角C PM A --的正弦值.分析：（Ⅰ）连结AC 、BD ,因为是菱形ABCD 的中心，AC BD O = ,以O 为坐标原点，,,OA OB OP的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，根据题设条件写出,,O A M 的坐标，并设出点P 的坐标()0,0,a ，根据空间两点间的距离公式和勾股定理列方程解出a 的值得到PO 的长；.（Ⅱ）设平面APM 的法向量为()1111,,n x y z = ，平面PMC 的法向量为()2222,,n x y z =，首先利用向量的数量积列方程求出向量12,n n的坐标，再利用向量的夹角公式求出12cos ,n n <>，进而求出二面角C PM A --的正弦值.【解析】从而3,04OM OB BM ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，即3,0.4M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭设()0,0,,0,P a a >，则()3,,.4AP a MP a ⎫==-⎪⎪⎝⎭因为MP AP ⊥， 故0,MP AP ⋅= 即2304a -+=，所以22a a ==-（舍去），即2PO =.【练一练提升能力】1. 如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,11,2AD AA AB ===,点E 在棱AB 上移动.（Ⅰ）证明:11D E A D ⊥;（Ⅱ）当E 为AB 的中点时,求点E 到面1ACD 的距离; （Ⅲ）AE 等于何值时,二面角1D EC D --的大小为4π.【解析】2. 如图，四棱锥P —ABCD 中，错误！未找到引用源。

2106届艺体生强化训练模拟卷二(理）一．选择题.1. 已知集合{}1,2aA =，{},B a b =，若12AB ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,则A B 为（ ）A ．1,1,2b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．11,,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】因为12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，所以1212a a =∴=-,所以12b =,所以11,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，11,2B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，所以11,,12AB ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，故选D 。

2。

设i z -=1(i 是虚数单位）,则22z z+= ( )A 。

1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i + 【答案】C【解析】因为i z -=1，所以()()()()22212212121111i zi i i i i zi i i ++=+-=-=+-=---+，故选C 。

3。

已知命题x x R x p lg 2,:>-∈∃,命题0,:2>∈∀xR x q ,则（ ）A ．命题q p ∨是假命题B ．命题q p ∧是真命题C ．命题)(q p ⌝∧是真命题D ．命题)(q p ⌝∨是假命题 【答案】C 【解析】4。

已知数列{}na 满足11a=，++∈=N n a a n n ,231,其前n 项和为n S ，则（ ）.A.21nn Sa =- B 。

32nn Sa =- C 。

43nn Sa =- D.32nn Sa =-【答案】D【解析】这是一个等比数列，23q =，21332213nn n a S a -∴==--。

5。

函数2()ln(1)f x x=+的图象大致是( ）【答案】A【解析】首先函数()f x 为偶函数，排除C ；当0=x 时,0=y ,所以选A ． 6．曲线2x y =和曲线x y=2围成的图形面积是（）A ．31 B ．32 C ．1 D ．34【答案】A 【解析】7．同时具有性质“①最小周期是π；②图象关于直线3x π=对称；③在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数"的一个函数是（ ）A ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】22T ππωω==∴=，．故A 不正确．对于选项B,如果3x π=为对称轴．则2133y cos ππππ⨯+===-，，但cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数不满足题意，对于选项C ，因为3x π=为对称轴．所以2sin 13622y ππππ⨯+===，，,在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数满足题意， 故选C ．8．如图所示是一个几何体的三视图，若该几何体的体积为12，则主视图中三角形的高x 的值为（ ）A 。