专题05 不等式与线性规划-2019年江苏高考理数《基础回顾》考前抢分必做训练

问题11含参数的线性规划与非线性规划问题性一、考情分析线性规划是高考必考问题,常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题,是线性规划中的难点,其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．二、经验分享(1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合的方法去求解．(3)先准确作出可行域,再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．当目标函数是非线性的函数时,常利用目标函数的几何意义来解题.(4)当目标函数中含有参数时,要根据临界位置确定参数所满足的条件,含参数的平面区域问题,要结合直线的各种情况进行分析,不能凭直觉解答,目标函数含参的线性规划问题,要根据z的几何意义确定最优解,切忌搞错符号．三、知识拓展常见代数式的几何意义：①x2＋y2表示点(x,y)与原点(0,0)的距离,x－a2＋y－b2表示点(x,y)与点(a,b)的距离；②yx表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,y－bx－a表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率．四、题型分析类型一目标函数中含参数若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值．1．目标函数中x的系数为参数【例1】x，y满足约束条件，若z y ax=-取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为_______________. 【答案】2或1-【解析】如图，画出线性约束条件所表示的可行域，坐出直线y ax =，因此要使线性目标函数取得最大值的最优解不唯一，直线y ax =的斜率，要与直线或的斜率相等，∴2a =或1-．【点评】本题主要考查最优解的求法以及两直线的位置关系．通过本题应进一步明确两点：（1）线性规划问题可能没有最优解；（2）当线性目标函数所表示的直线与可行域的某一条边界平行时，线性规划问题可以有无数个最优解．【牛刀小试】已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =___________.【答案】2【解析】将z ax y =+化为z ax y +-=，作出可行域（如图所示），当0≤a 时，当直线z ax y +-=向右下方平移时，直线z ax y +-=在y 轴上的截距z 减少，当直线z ax y +-=过原点时，0max =z （舍）；当0>a 时，当直线z ax y +-=向右上方平移时，直线z ax y +-=在y 轴上的截距z 增大，若01<-≤-a ，即10≤<a 时，当直线z ax y +-=过点)1,1(B 时，，解得3=a （舍），当1-<-a ，即1>a 时，则当直线z ax y +-=过点)0,2(A 时，，解得2=a ．【评注】处理简单的线性规划问题的基本方法是：先画出可行域，再结合目标函数的几何意义进行解决，往往容易忽视的是目标函数基准直线与可行域边界的倾斜程度，如本题中，不仅要讨论斜率a -的符号，还要讨论斜率a -与边界直线斜率1-的大小关系. 2．目标函数中y 的系数为参数【例2】已知变量,x y 满足约束条件若目标函数的最大值为1，则a = ．【答案】3．【解析】约束条件所满足的区域如图所示，目标函数过B （4，1）点是取得最大值，∴141a =-⨯，∴3a =． 【点评】这类问题应根据图形特征确定最优解，进而用代入法求参数的值． 3．目标函数中,x y 的系数均含参数【例3】设x ，y 满足约束条件221x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，若目标函数的最小值为2，则ab 的最大值为 ．【答案】41．【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分，易求得，要目标函数的最小值为2，∴222=+b a ，即1==b a ，∴，当且仅当21==b a 等号成立．故ab 的最大值为41．【点评】本题主要考查最优解的求法以及均值不等式的应用．应明确若可行域是封闭的多边形，最优解一般在多边形的顶点处取得．应用均值不等式时需注意“一正、二定、三相等”，缺一不可．【牛刀小试】设x y ，满足约束条件，若目标函数的最大值为12，则ba 32+的最小值为______________. 【答案】625【解析】作出x y ，满足约束条件下平面区域，如图所示，由图知当目标函数经过点()4,6A 取得最大值12，即，亦即236a b +=，所以＝，当且仅当b a a b =，即65a b ==时等号成立．【评注】运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以好确定在哪个端点，目标函数取得最大值，在哪个端点，目标函数取得最小值；已知ax by m +=﹙﹚求的最小值，通常转化为c d x y +＝1()c d m x y+（ax by +)，展开后利用基本不等式求解． 4．目标函数为非线性函数且含有参数【例4】设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+01,0,4x x y y x 表示的平面区域为D ．若圆()0>r 不经过区域D 上的点，则r 的取值范围是_______________．【答案】【解析】不等式对应的区域为ABE ∆．圆心为(1,1)--，区域中A 到圆心的距离最小，B 到圆心的距离最大，∴要使圆不经过区域D ，则有0r AC <<或r BC >．由1x y x =⎧⎨=⎩得11x y =⎧⎨=⎩，即(1,1)A ．由14x y x =⎧⎨=-+⎩，得13x y =⎧⎨=⎩，即(1,3)B．∴AC =，BC =，∴0r <<或r >，即r 的取值范围是．【点评】本题的关键是给出目标函数的实际意义，即圆与可行域无公共点的问题．对于目标函数为平方型：，可看成可行域内的点(),P x y 与定点(),Q a b 两点连线的距离的平方，即；也可看成是以(),Q a b 为半径的圆，转换为圆与可行域有无公共点的问题．【牛刀小试】设二元一次不等式组所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x (a ＞0，a ≠ 1)的图象过区域M 的a 的取值范围是___________. 【答案】[2，9]【解析】平面区域M 如图所示，求得，由图可知，欲满足条件必有且图象在过B 、C 两点的图象之间，当图象过B 点时，，当图象过C 点时，，所以，故的取值范围是．【评注】巧妙地识别目标函数的几何意义是研究此类问题的基础，纵观目标函数包括线性与非线性、非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得线性规划问题得以深化，本题的解答中正确理解目标函数表示指数函数的图象与二元一次不等式组表示的平面区域有公共点这一意义是解得本题的关键。

第 5 练怎样让“线性规划”不失分[题型剖析·高考展望 ]“线性规划”是高考每年必考的内容，主要以填空题的形式考察，题目难度稍高．二轮复习中，要着重常考题型的频频训练，注意研究新题型的变化点，争取在该题目上做到不误时，不丢分．体验高考x＋ 2≥ 0，1．(2015 天·津改编 ) 设变量 x，y 知足拘束条件x－ y＋3≥ 0，则目标函数 z＝ x＋ 6y 的最大2x＋ y－3≤ 0，值为 ______．答案 18分析画出拘束条件的可行域如图中暗影部分，作直线l： x＋6y＝ 0，平移直线 l 可知，直线 l 过点 A 时，目标函数 z＝ x＋ 6y 获得最大值，易得A(0,3)，所以 z max＝ 0＋ 6× 3＝ 18.2．(2015 ·西改编陕 )某公司生产甲、乙两种产品均需用A，B 两种原料，已知生产 1 吨每种产品所需原料及每日原料的可用限额如表所示，假如生产 1 吨甲、乙产品可获收益分别为 3 万元、 4 万元，则该公司每日可获取最大收益为________万元 .甲乙原料限额A3212B128答案 18分析设甲，乙的产量分别为x 吨， y 吨，3x＋2y≤ 12，x＋2y≤ 8，由已知可得x≥ 0，y≥ 0，目标函数z＝ 3x＋4y，线性拘束条件表示的可行域如图中暗影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值．x ＋2y ＝ 8， 得 A(2,3)．由3x ＋2y ＝ 12，则 z max ＝ 3× 2＋ 4× 3＝ 18(万元 )．x － y ＋1≥ 0，3 ． (2015 ·课标全国 Ⅱ ) 若 x ， y 知足拘束条件x － 2y ≤ 0，则 z ＝ x ＋ y 的最大值为x ＋ 2y － 2≤ 0，____________ ． 答案32分析 画出拘束条件表示的可行域如图中暗影部分 (△ ABC)所示：作直线 l 0：x ＋ y ＝ 0，平移 l 0 到过点 A 的直线 l 时，可使直线 y ＝－ x ＋z 在 y 轴上的截距最大，即 z 最大，x －2y ＝ 0， x ＝ 1，解得1x ＋2y － 2＝ 0， y ＝ 2，即 A1，故 z 最大 ＝ 1＋ 1＝31， 22 2.x ＋ y ≤ 2，4． (2016 山·东改编 )若变量 x ， y 知足 2x － 3y ≤9，则 x 2＋ y 2 的最大值是 ________．x ≥ 0，答案 10x＋ y≤2，分析知足条件2x－ 3y≤ 9，x≥ 0的可行域如图中暗影部分(包含界限 )， x2＋ y2是可行域上动点(x， y)到原点 (0,0)距离的平方，明显，当x＝ 3，y＝－ 1 时， x2＋y2取最大值，最大值为10.x＋ y－ 3≥ 0，5． (2016 浙·江改编 )若平面地区2x－ y－ 3≤ 0，夹在两条斜率为 1 的平行直线之间，则这x－2y＋ 3≥ 0两条平行直线间的距离的最小值是________．答案2分析已知不等式组所表示的平面地区以下图的暗影部分，x－2y＋ 3＝ 0，由x＋ y－3＝ 0，解得A(1,2)，x＋y－ 3＝ 0，由2x－y－ 3＝ 0，解得B(2,1)．由题意可知，当斜率为 1 的两条直线分别过点 A 和点 B 时，两直线的距离最小，即 AB＝1－22＋2－12＝ 2.高考必会题型题型一已知拘束条件，求目标函数的最值2x－ y≤ 0，例 1(2016·北京改编 )若 x， y 知足x＋ y≤ 3，则2x＋y的最大值为________．x≥ 0，答案 4分析不等式组表示的可行域如图中暗影部分所示．令z＝ 2x＋ y，则 y＝高考数学江苏(理)考前三个月配套文档专题2不等式与线性规划第5练Word 版含解析－ 2x ＋ z ，作直线2x ＋ y ＝ 0并平移，当直线过点A 时，截距最大，即z 获得最大值，由2x － y ＝ 0，x ＝1，得所以 A 点坐标为 (1,2)，可得 2x ＋ y 的最大值为2×1＋ 2＝ 4.x ＋y ＝ 3，y ＝ 2，x － 2y ＋ 1≥ 0，变式训练 1 已知实数 x ， y 知足 x ＜ 2，则 z ＝ |4x － 4y ＋ 3|的取值范围是 ________．x ＋ y －1≥ 0，答案 [ 53，15)分析 依据题意画出不等式所表示的可行域，以下图，z ＝ |4x － 4y|4x － 4y ＋ 3|(x ，y) 到直＋ 3|＝ 4 × 4 2表示的几何意义是可行域内的点 21线 4x － 4y ＋ 3＝ 0 的距离的 4 2倍，联合图象易知点 A(2，－ 1)，B(3，253)到直线 4x － 4y ＋ 3＝ 0 的距离分别为最大和最小，此时z 分别获得最大值15 与最小值 3，故z ∈ [53， 15)．题型二解决参数问题x ＋ y ≤ 1，例 2 已知变量x ， y 知足拘束条件 x － y ≤ 1， 若 x ＋2y ≥－ 5 恒建立，则实数 a 的取值范围 x ≥ a ，为________．答案 [ －1,1]分析 由题意作出不等式组所表示的平面地区，如图中暗影部分所示，则x ＋ 2y ≥ － 5 恒 成 立 可 转 化 为 图 中 的 阴 影 部 分 在 直 线x ＋ 2y ＝ － 5 的 上 方 ， 由x － y ＝1，x ＋ 2y ＝－ 5，x ＝－ 1，得y ＝－ 2，x－y＝ 1，x＝1，由得x＋ y＝1，y＝0，则实数 a 的取值范围为[－ 1,1] ．评论所求参数一般为对应直线的系数，最优解的获得可能在某点，也可能是可行域界限上的全部点，要依据状况利用数形联合进行确立，有时还需分类议论．x≥ 1，变式训练 2 已知a＞ 0， x， y 知足拘束条件x＋ y≤ 3，y≥ a x－ 3，若 z＝ 2x＋ y 的最小值为 1，则 a＝ ________.答案1 2分析作出不等式组表示的可行域，如图(暗影部分 )．易知直线z＝ 2x＋y 过交点 A 时， z 取最小值，x＝1，x＝ 1，由y＝a x－3，得y＝－ 2a，∴ z min＝ 2－ 2a＝ 1，解得1 a＝ 2.题型三简单线性规划的综合应用例 3(1)(2016 ·浙江改编 )在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由地区x－ 2≤ 0，x＋ y≥0，x－ 3y＋ 4≥ 0中的点在直线x＋ y－ 2＝ 0 上的投影组成的线段记为AB，则AB＝ ________.(2)(2016课·标全国乙)某高科技公司生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新式资料．生产一件产品乙资料A 需要甲资料 1.5kg ，乙资料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲资料0.5kg ，0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的收益为2100 元，生产一件产品 B 的收益为900 元．该公司现有甲资料150kg，乙资料90kg，则在不超出600 个工时的条件下，生产产品 A 、产品 B 的收益之和的最大值为 ________元．答案 (1)3 2(2)216000分析 (1) 已知不等式组表示的平面地区如图中△ PMQ所示．由于 l 与直线 x＋ y＝ 0 平行．所以地区内的点在直线x＋ y－ 2 上的投影组成线段AB ，则 AB ＝PQ.x－3y＋ 4＝ 0，由解得P(－ 1,1)，x＋ y＝0，x＝2，由解得Q(2，－ 2)．x＋y＝ 0，所以 AB＝PQ＝－1－22＋1＋22＝3 2.(2)设生产 A 产品 x 件， B 产品 y 件，依据所耗资的资料要求、工时要求等其余限制条件，得1.5x＋0.5y≤ 150，x＋ 0.3y≤90，5x＋ 3y≤ 600，线性拘束条件为x≥ 0，y≥ 0，x∈N*，y∈N*，目标函数z＝ 2100x＋ 900y.作出可行域为图中的四边形，包含界限，极点为(60,100)， (0,200) ，(0,0)， (90,0) ，在 (60,100)处获得最大值，z max＝ 2100× 60＋ 900× 100＝ 216000(元 )．评论若变量的拘束条件形成一个地区，如圆、三角形、带状图形等，都可考虑用线性规划的方法解决，解决问题的门路是：集中变量的拘束条件获取不等式组，画出可行域，确立变量的取值范围，解决详细问题．y≥ 0，3( 名师改编 )设点 P( x，y)是不等式组 x－ 2y＋1≥ 0，所表示的平面地区内的随意x＋y≤ 3一点，向量 m＝(1,1)， n＝(2,1)，点O是坐标原点，若向量→OP＝λm＋μn( λ，μ∈R)，则λ－μ的取值范围是 ________．答案 [ －6,2]分析画出不等式组所表示的可行域，如图中暗影部分所示．x＝λ＋ 2μ，由题意，可得 (x，y)＝λ(1,1)＋μ(2,1)＝ (λ＋ 2μ，λ＋μ)，故令z＝λ－μ＝－2(λ＋2μ)y＝λ＋μ.2z＋3(λ＋μ)＝－ 2x＋ 3y，变形得 y＝3x＋3.当直线2zy＝ 3x＋ 3过点A(－ 1,0)时， z 获得最大值，且z max＝ 2；当直线2zy＝ 3x＋3过点B(3,0) 时，z 获得最小值，且z min＝－ 6.高考题型精练x－ y≥ 0，1． (2015 ·徽改编安 )已知 x， y 知足拘束条件x＋ y－ 4≤ 0，则z＝－2x＋y的最大值是y≥ 1，________．答案－1分析拘束条件下的可行域以下图，由z＝－ 2x＋ y 可知 y＝ 2x＋ z，当直线 y＝ 2x＋ z 过点 A(1,1)时，截距最大，此时z 最大为－ 1.x≥ 0，2．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组y≥ 0，所确立的平x＋ y≥1面地区内的动点， Q 是直线2x＋ y＝ 0上随意一点， O 为坐标原点，则→→|OP＋OQ |的最小值为________．5答案5分析在直线→→→ →→→→2x＋ y＝ 0 上取一点 Q′，使得 Q′ O＝ OQ，则 |OP＋ OQ|＝ |OP＋ Q′ O|＝ |Q′ P→→|≥ |P′P|≥|BA|，此中 P′， B 分别为点 P， A 在直线 2x＋ y＝ 0 上的投影，如图．→|0＋ 1|5由于 |AB|＝＝，2521 ＋2→→＝5所以 |OP＋OQ min| 5.y－ 1≥ 0，3．若 x， y 知足2x－ y－ 1≥ 0，若目标函数z＝ x－y 的最小值为－2，则实数m 的值为x＋ y≤ m，________．答案 8分析画出 x， y 知足的可行域如图．可得直线 y＝ 2x－1 与直线 x＋ y＝ m 的交点使目标函数z＝ x－ y 获得最小值，y＝2x－ 1，m＋ 12m－1由解得 x＝3， y＝3，x＋y＝ m，代入 x－ y＝－ 2 得m＋1 2m－ 1＝－ 2? m＝ 8.3－3x＋ y－ 7≤ 0，4．已知圆 C：(x－ a)2＋ (y－ b)2＝ 1，平面地区Ω： x－ y＋ 3≥ 0，若圆心 C∈ Ω，且圆 C 与y≥ 0.x 轴相切，则 a2＋ b2的最大值为 ________．答案 37分析由已知得平面地区Ω为△MNP 内部及界限．∵圆 C 与 x 轴相切，∴b＝ 1.明显当圆心 C 位于直线y＝ 1 与 x＋ y－ 7＝0 的交点 (6,1)处时， a max＝6.∴ a2＋ b2的最大值为62＋ 12＝ 37.3x－ y－ 2≤ 0，5．设 x，y 知足拘束条件x－y≥ 0，若目标函数z＝ ax＋ by(a＞ 0，x≥0， y≥ 0，b＞ 0)的最大值为 4，则 ab 的取值范围是 ________．答案 (0,4]分析作出不等式组表示的地区如图中暗影部分所示，由图可知，z＝ ax＋by( a＞ 0， b＞ 0)过点A(1,1)时取最大值，∴ a＋ b＝ 4， ab≤a＋b2＝4，2∵ a＞ 0， b＞ 0，∴ ab∈(0,4] ．x＋ 2y≥ 1，6．已知变量x，y 知足拘束条件x－ y≤1，若 z＝ x－ 2y 的最大值与最小值分别为a， b，y－ 1≤ 0，且方程x2－ kx＋ 1＝ 0 在区间(b， a)上有两个不一样实数解，则实数k 的取值范围是________．答案 (－10，－ 2)3分析作出可行域，以下图，则目标函数z＝ x－2y 在点 (1,0)处获得最大值1，在点 (－ 1,1)处获得最小值－3，∴a＝ 1， b＝－ 3，进而可知方程 x2－ kx＋ 1＝ 0 在区间 (－ 3， 1)上有两个不一样实数解．令 f(x)＝x2－kx＋ 1，f－3 ＞0，f 1 ＞ 0，10则k? －＜k＜－ 2.3－3＜2＜ 1，＝k2－ 4＞0，x＋1－ y≥ 0，7．已知实数x， y 知足 x＋ y－ 4≤ 0，若目标函数 z＝ 2x＋ y 的最大值与最小值的差为 2， y≥ m，则实数 m 的值为 ________．答案 2x＋ 1－y≥ 0，分析x＋ y－ 4≤ 0，表示的可行域如图中暗影部分所示．y≥ m将直线 l 0： 2x＋ y＝ 0 向上平移至过点A， B 时， z＝ 2x＋ y 分别获得最小值与最大值．x＋1－ y＝ 0，由得 A(m－1， m)，y＝mx＋y－ 4＝ 0，由得 B(4－ m， m)，y＝m所以 z min＝2(m－ 1)＋ m＝ 3m－ 2，z max＝ 2(4－ m)＋ m＝8－ m，所以 z max－ z min＝ 8－ m－(3m－ 2)＝ 2，解得 m＝ 2.2x－ y＋ 1＞0，8．设对于 x， y 的不等式组x＋ m＜ 0，表示的平面地区内存在点P(x0，y00 －)，知足 xy－ m＞02y0＝ 2，求得 m 的取值范围是 ________．答案－∞，－2 3分析当 m≥ 0 时，若平面地区存在，则平面地区内的点在第二象限，平面地区内不行能存在点 P( x0， y0)知足 x0－ 2y0＝2，所以 m＜ 0.以下图的暗影部分为不等式组表示的平面地区．y＝11要使可行域内包含2x－ 1 上的点，只要可行域界限点(－ m， m)在直线 y＝2x－ 1 的下方即可，即 m＜－122m－ 1，解得 m＜－3.x－ 2y＋ 4≥0，9． (2016 江·苏 )已知实数 x， y 知足2x＋ y－ 2≥0，则 x2＋ y2的取值范围是 ________．3x－ y－ 3≤0，答案4， 13 5分析已知不等式组所表示的平面地区以下列图：x2＋ y2表示原点到可行域内的点的距离的平方．3x－ y－ 3＝ 0，得 A(2,3)．解方程组x－ 2y＋ 4＝ 0，由图可知 (x2＋y2)min＝|－ 2|22＝4，252＋ 122222(x ＋ y ) max＝OA ＝ 2＋3 ＝ 13.10． 4 件 A 商品与 5 件 B 商品的价钱之和不小于20元，而 6 件 A 商品与 3 件 B 商品的价钱之和不大于24，则买3件 A商品与9 件 B 商品起码需要 ________元．答案 22分析设 1 件 A 商品的价钱为x 元， 1 件 B 商品的价钱为 y 元，买 3 件 A 商品与 9 件 B 商品需4x＋ 5y≥ 20，6x＋ 3y≤ 24，要 z 元，则 z＝ 3x＋ 9y，此中 x， y 知足不等式组作出不等式组表示的平x≥ 0，y≥ 0，104面地区，以下图，此中A(0,4)， B(0,8)， C( 3，3)．当 y ＝－11min ＝ 3× 10 ＋ 9×4＝ 22.3x ＋ 9z 经过点 C 时，目标函数 z 获得最小值．所以 z3310 4所以当 1 件 A 商品的价钱为 3元， 1 件 B 商品的价钱为 3元时，可使买 3件A 商品与 9件B 商品的花费最少，最少花费为22 元．x ＋ 4y ≥ 4，11．给定地区 D ： x ＋ y ≤4，令点集 T ＝ {( x 0，y 0)∈D |x 0， y 0∈ Z ，( x 0，y 0)是 z ＝x ＋ y 在 Dx ≥ 0，上获得最大值或最小值的点 } ，则 T 中的点共确立 ________条不一样的直线．答案 6分析 线性地区为图中暗影部分，获得最小值时点为 (0,1)，最大值时点为 (0,4) ，(1,3)， (2,2)，(3,1)， (4,0)，故共可确立 6 条不一样的直线．12．(2015 ·江浙 )若实数 x ，y 知足 x 2＋ y 2≤ 1，则 |2x ＋ y － 2|＋ |6－ x －3y|的最小值是 ________．答案 3分析 知足 x 2＋ y 2≤ 1 的实数 x ， y 表示的点 (x ， y)组成的地区是单位圆及其内部．f(x ， y)＝|2x ＋ y － 2|＋ |6－x － 3y|＝ |2x ＋y － 2|＋ 6－ x － 3y4＋ x － 2y ， y ≥－ 2x ＋ 2， ＝8－ 3x － 4y ， y<－2x ＋ 2.直线 y ＝－ 2x ＋ 2 与圆 x 2＋ y 2＝ 1 交于 A ，B 两点，以下图，易得3 4B 5， 5.1 设 z 1＝ 4＋x －2y ， z 2＝ 8－ 3x －4y ，分别作直线 y ＝2x和 y ＝－ 3x 并平移，则 z 1＝ 4＋ x － 2y 在点 B 3，4获得最小值为 3，z 2＝ 8－ 3x －4y 在点 B 3， 44 5 55 5获得最小值为3，所以 |2x＋y－ 2|＋ |6－x－3y|的最小值是 3.。

2019江苏省高考压轴卷数 学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、KS5U 解析题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 参考公式：球体的体积公式：V ＝334R π，其中为球体的半径．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．全集12{}345U ＝，，，，，集合134{}}35{A B ＝，，，＝，，则U A B ⋂（）ð═ ． 2．已知i 是虚数单位，若12i a i a R +∈（﹣)(）＝，，则a ＝ ． 3．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》一哀分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽 人．4．如图是一个算法的流程图，则输出y 的取值范围是 ．5．已知函数22353log (1)3x x f x x x -⎧-<⎨-+≥⎩（）＝，若f （m ）＝﹣6，则f （m ﹣61）＝ ． 6．已知f （x ）＝sin （x ﹣1），若p ∈{1，3，5，7}，则f （p ）≤0的概率为 ． 7．已知函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象如图所示，则f （76π）的值为 ．8．已知A ，B 分别是双曲线2212x y C m ：-＝的左、右顶点，P （3，4）为C 上一点，则△PAB 的外接圆的标准方程为 ．9．已知f （x ）是R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝|x 2﹣3x |，则不等式f （x ﹣2）≤2的解集为 ．10．若函数f （x ）＝a 1nx ，（a ∈R ）与函数g （x，在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为 ．11．设A ，B 在圆x 2+y 2＝4上运动，且AB ＝点P 在直线3x +4y ﹣15＝0上运动．则|PA PB |+的最小值是 ．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝23π，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，BD ＝1，则a +c 的最小值为 ．13．如图，点D 为△ABC 的边BC 上一点，2BD DC =，E n （n ∈N ）为AC 上一列点，且满足：11414n n n n n E A E D E a B a +=+（﹣）﹣5，其中实数列{a n }满足4a n ﹣1≠0，且a 1＝2，则111a -+211a -+311a -+…+11n a -＝ ．14．已知函数2910(1)e ,023xx x f x x x ⎧++<⎪⎨⎪-≥⎩（）＝+6,x 0，其中e 是自然对数的底数．若集合{x ∈Z|x （f （x ）﹣m ）≥0}中有且仅有4个元素，则整数m 的个数为 ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.KS5U 解析应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把KS5U 答案写在答题卡的指定区域内）15．(本小题满分14分) 如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知点M 为棱BC 上异于B ，C 的一点．（1）若M 为BC 中点，求证：A 1C ∥平面AB 1M ； （2）若平面AB 1M ⊥平面BB 1C 1C ，求证：AM ⊥BC ．16.（本小题满分14分）已知12(,),(0,cos(),.2273πππαπβαβαβ∈∈-=+=), （1）求22sin αβ（﹣）的值；（2）求cos α的值．17．(本小题满分14分) 学校拟在一块三角形边角地上建外籍教室和留学生公寓楼，如图，已知△ABC 中，∠C ＝2π，∠CBA ＝θ，BC ＝a ．在它的内接正方形DEFG 中建房，其余部分绿化，假设△ABC 的面积为S ，正方形DEFG 的面积为T ． （1）用a ，θ表示S 和T ； （2）设f （θ）＝TS，试求f （θ）的最大值P ；18.(本小题满分16分) 已知椭圆22221x y C a b：+＝0a b （＞＞），短轴长为． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）如图，经过椭圆左项点A 且斜率为k （k ≠0）直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作与OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且△APM 面积为3，求k 的值．19．(本小题满分16分) 已知函数()212ln 2f x x x ax a R =+-∈，． （1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值； （3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由． 20．(本小题满分16分) 已知集合A ＝a 1，a 2，a 3，…，a n ，其中a i ∈R （1≤i ≤n ，n ＞2），l （A ）表示和a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合P ＝2，4，6，8，Q ＝2，4，8，16，分别求l （P ）和l （Q ）； （Ⅱ）若集合A ＝2，4，8， (2)，求证：(1)()2n n l A -=； （Ⅲ）l A （）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？ 数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题．．卡指定区域内．．．．．．作答．KS5U 解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲如图，已知AB 为半圆O 的直径，点C 为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ，过点B 作BD CD ⊥于点D . 求证：2BC BA BD =⋅．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵=a b M c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10=102N ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且()110402MN -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M ．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2{2x t y t==--（t 为参数）．在极坐标系中（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合），圆C的方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求直线l 被圆C 截得的弦长．D ．选修4—5：不等式选讲已知正实数x y z 、、，满足3x y z xyz ++=，求xy yz xz ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分） 如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD ⊥PB ，AD ＝1，BC ＝3，CD ＝4，PD ＝2．（1）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值． （2）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．23．（本小题满分10分）在集合{A =1，2，3，4，…，2n }中，任取m （m n ≤，m ，n ∈N *）元素构成集合m A ．若m A 的所有元素之和为偶数，则称m A 为A 的偶子集，其个数记为()f m ；若m A 的所有元素之和为奇数，则称m A 为A 的奇子集，其个数记为()g m ．令()()()F m f m g m =-．（1）当2n =时，求(1)F ，(2)F ，的值； （2）求()F m ．2019年江苏省高考压轴卷 数学1．【答案】{1，2，4，5} 【解析】解：A ∩B ＝{3}， 则∁U （A ∩B ）＝{1，2，4，5}， 故答案为：{1，2，4，5}， 2．【答案】1．【解析】解：∵（1﹣i ）（a +i ）＝（a +1）+（1﹣a ）i ＝2， ∴1210a a +=⎧⎨-=⎩，即a ＝1．故答案为：1． 3．【答案】60．【解析】解：由题意可知，抽样比为500181009000540045=++．故北乡应抽8100×145＝180，南乡应抽5400×145＝120， 所以180﹣120＝60， 即北乡比南乡多抽60人， 故答案为：604．【答案】31]． 【解析】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是计算并输出变量123030x x x y xx ⎧+->⎪=⎨⎪≤⎩的值， 由于当x ＞0时，123y x x+≥＝﹣3， 当x ≤0时，y ＝3x∈（0，1]，则输出y的取值范围是31]．故答案为：31]． 5．【答案】-4．【解析】解：∵函数22353log (1)3x x f x x x -⎧-<⎨-+≥⎩（）＝，f （m ）＝﹣6，∴当m ＜3时，f （m ）＝3m ﹣2﹣5＝﹣6，无解；当m ≥3时，f （m ）＝﹣log 2（m +1）＝﹣6， 解得m ＝63，∴f （m ﹣61）＝f （2）＝32﹣2﹣5＝﹣4．故答案为：﹣4． 6．【答案】34． 【解析】解：∵f （x ）＝sin （x ﹣1），p ∈{1，3，5，7}，f （1）＝sin0＝0， f （3）＝sin2＞0， f （5）＝sin4＜0， f （7）＝sin6＜0，∴f （p ）≤0的概率为p ＝34． 故答案为：34． 7．【答案】1．【解析】解：根据函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象，可得12521212πππω⋅=+，∴ω＝2， 再根据五点法作图可得2012πφ⋅+=，求得6πφ=-，∴函数f （x ）＝2sin （26x π-），∴f （76π）＝2sin （736ππ-）＝2sin 136π＝2sin 6π＝1， 故答案为：1．8．【答案】x 2+（y ﹣3）2＝10． 【解析】解：P （3，4）为C 上的一点， 所以91612m -＝，解得m ＝1， 所以A （﹣1，0）B （1，0）， 设△PAB 的外接圆的圆心（0，b ）， 则1+b 2＝32+（b ﹣4）2，解得b ＝3，则△PAB 的外接圆的标准方程为x 2+（y ﹣3）2＝10． 故答案为：x 2+（y ﹣3）2＝10．9．【答案】{x |﹣3≤x ≤1或0≤x≤x ≤﹣4}． 【解析】解：根据题意，当x ≥0时，f （x ）＝|x 2﹣3x |， 此时若有f （x ）≤2，即20|3|2x x x ≥⎧⎨-≤⎩，解可得0≤x ≤1或2≤x≤32，即此时f （x ）≤2的解集为{x |0≤x ≤1或2≤x≤32+}， 又由f （x ）为偶函数，则当x ≤0时，f （x ）≤2的解集为{x |﹣1≤x ≤0≤x ≤﹣2}，综合可得：f （x ）≤2的解集为{x |﹣1≤x ≤1或2≤xx ≤﹣2}； 则不等式f （x ﹣2）≤2的解集{x |﹣3≤x ≤1或0≤x或﹣72≤x ≤﹣4}； 故答案为：{x |﹣3≤x ≤1或0≤x≤12或﹣72≤x ≤﹣4}． 10．【答案】2e． 【解析】解：函数f （x ）＝alnx 的定义域为（0，+∞），f ′（x ）＝ax ，g ′（x， 设曲线f （x ）＝alnx 与曲线g （x公共点为（x 0，y 0），由于在公共点处有共同的切线，∴0a x =，解得204x a =，a ＞0． 由f （x 0）＝g （x 0），可得0alnx联立2004x a alnx ⎧=⎪⎨⎪⎩，解得2e a =．故答案为：2e．11．【答案】5．【解析】解：取AB 的中点M ，连OM ，则OM ⊥AB ，∴|OM |1===，即点M 的轨迹是以O 为圆心，1为半径的圆．∴|PA PB |2||PM +=，设点O 到直线3x +4y ﹣15＝0的距离为3d ==，所以2|PM |≥2d ﹣1＝6﹣1＝5（当且仅当OP ⊥l ，M 为线段OP 与圆x 2+y 2＝1的交点时取等） 故答案为：5．12．【答案】4． 【解析】解：由题意得1211232323acsin asin csin πππ+＝， 即ac ＝a +c ， 得+＝1，得a +c ＝（a +c ）（1a +1c）＝22224c a a c ++≥+=+=， 当且仅当a ＝c 时，取等号， 故答案为：413．【答案】13342n n+--．【解析】解：点D 为△ABC 的边BC 上一点，2,2()n n n n BD DC E D E B E C E D =-=- ∴3122n n n E C E D E B =-又322n n n n E A E C E D E B λλλ==-， 1141345n n a a +-=-⨯-，∴134541n n a a +--=-，14434414141n n n n a a a a +--=-=--，11141131,441111n n n n n n n a a a a a a a ++---===+----，，∴11123(2)11n n a a ++=+--， ∴1123,3 2.11n n n n a a +==---，13(13)3342132n n n n S n +⨯---=-=-．故答案为：13342n n+--．14．已知函数f （x ）＝，其中e 是自然对数的底数．若集合{x ∈Z|x（f （x ）﹣m ）≥0}中有且仅有4个元素，则整数m 的个数为 ． 【答案】34．【解析】解：∵x ＝0∈A ，符合条件的整数根，除零外有且只有三个即可． 画出f （x ）的图象如下图：当x ＞0时，f （x ）≥m ；当x ＜0时，m ≥f （x ）．即y 轴左侧的图象在y ＝m 下面，y 轴右侧的图象在y ＝m 上面， ∵f （3）＝﹣3×9+18＝﹣9，f （4）＝﹣3×16+24＝﹣24，f （﹣3）＝﹣（﹣3）3﹣3×（﹣3）2+4＝4， f （﹣4）＝﹣（﹣4）3﹣3×（﹣4）2+4＝20，平移y ＝a ，由图可知：当﹣24＜a ≤﹣9时，A ＝{1，2，3}，符合题意；a ＝0时，A ＝{﹣1，1，2}，符合题意；2≤a≤3时，A＝{1，﹣1，﹣2}，符合题意；4≤a＜20时，A＝{﹣1，﹣2，﹣3}，符合题意；∴整数m的值为﹣23，﹣22，﹣21，﹣20，﹣19，﹣18，﹣17，﹣16，﹣15，﹣14，﹣13，﹣12，﹣11，﹣10，﹣9，0，2，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，共34个．故答案为：34．15．【答案】见解析.【解析】证明：（1）连结A1B，交AB1于N，则N是A1B的中点，∵在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BC中点，∴MN∥A1C，∵A1C⊄平面AB1M，MN⊂平面AB1M，∴A1C∥平面AB1M．解：（2）过B作BP⊥B1M，垂足为P，平面AB1M⊥平面B1BCC1，且交线为B1M，BP⊂平面AB1M，AM⊂平面ABCD，∴BB1⊥AM，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AM⊂平面ABCD，∴BB1⊥AM，又BP∩BB1＝B，∴AM⊥平面BB1C1C，又BC⊂平面BB1C1C，∴AM⊥BC．16．【答案】（1）49．（2）14． 【解析】解：（1）∵已知12(,),(0,cos(),2273πππαπβαβαβ∈∈-=+=),，∴sinαβ=（﹣∴22249sinsin cos αβαβαβ（﹣）＝（﹣）（﹣）＝． （2）[]2cos cos cos cos sin sin ααβαβαβαβαβαβ++++＝（）（﹣）＝（）（﹣）-（）（﹣2111321272714cos α-⋅-=-=﹣，求得14cos α，或14cos α＝-（舍去），综上，cos α 17．【答案】（1）S ＝12a 2tan θ，θ∈（0，2π）；22(sin )(sin cos 1)a T θθθ=+，θ∈（0，2π）；（2）49． 【解析】解：（1）由题意知，AC ＝a tan θ， 所以△ABC 的面积为：S ＝12AC •BC ＝12a 2tan θ，其中θ∈（0，2π）； 又DG ＝GF ＝BG sin θ＝cos cos CG a BGθθ-=， 所以BG ＝sin cos 1aθθ=+，DG sin sin cos 1a θθθ=+，所以正方形DEFG 的面积为：2T DG ＝=22(sin )(sin cos 1)a θθθ+，其中θ∈（0，2π）； （2）由题意知22sin cos (sin cos 1)f θθθθθ+（）＝，其中θ∈（0，2π）， 所以21sin cos 2sin cos f θθθθθ++（）＝；由sin θcos θ＝12sin2θ∈（0，12]，所以15sin cos sin cos 2θθθθ+≥，即f （θ）≤49，当且仅当sin2θ＝1，即θ＝4π时“＝”成立；所以f （θ）的最大值P 为49．18.【答案】（Ⅰ）22142x y +＝；（Ⅱ）2k =±.【解析】解：（Ⅰ）由题意可得22222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a ＝2，b，c，∴椭圆C 的方程为22142x y +＝. （Ⅱ）易知椭圆左顶点A （﹣2，0），设直线l 的方程为y ＝k （x +2），则E （0，2k ），H （0，﹣2k ），由22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨⎪⎩+＝消y 可得（1+2k 2）x 2+8k 2x +8k 2﹣4＝0 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 0，y 0）， ∴△＝64k 4﹣4（8k 2﹣4）（1+2k 2）＝16则有x 1+x 2＝22812k k -+，x 1x 2＝228412k k -+，∴x 0＝12（x 1+x 2）＝﹣22412k k +，y 0＝k （x 0+2）＝2212kk+， ∴0012OP y k x k=-＝， ∴直线EM 的斜率k EM ＝2k ，∴直线EM 的方程为y ＝2kx +2k ，直线AH 的方程为y ＝﹣k （x +2）， ∴点M （43-，23k ）， ∴点M 到直线l ：kx ﹣y +2k ＝0的距离4||k d ，∴|AB |=，∴12AP AB ＝，∴2244|k ||k |113•2212123APM S AP d k k ∆⋅==++＝＝解得k =19.【答案】（1）()f x 的极大值为()512f =-；极小值为()22ln24f =-；（2）0x =（3）见解析【解析】（1） 当3a =时，函数()212ln 32f x x x x =+-的定义域为()0+∞，. 则()22x 3x 2f x x 3x x-+=+-='，令()f x 0'=得，1x =或2x =．列表：所以函数的极大值为()512f =-；极小值为()22ln24f =-． （2）依题意，切线方程为()()()0000y f x x x f x (x 0)=-+>'， 从而()()()0000g(x)f x x x f x (x 0)+'=->， 记()()()p x f x g x =-，则()()()()()000p x f x f x f x x x =---'在()0+∞，上为单调增函数， 所以()()()0p x f x f x 0=-''≥'在()0+∞，上恒成立， 即()022p x xx 0x x +-'=-≥在()0+∞，上恒成立．变形得0022x x x x +≥+在()0+∞，上恒成立 ，因为2xx +≥=x =， 所以002x x +，从而(20x 0≤，所以0x（3）假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点()111T x y ，，()222T x y ，，不妨120x x <<，则1T 处切线1l 的方程为：()()()111y f x f x x x '-=-，2T 处切线2l 的方程为：()()()222y f x f x x x '-=-．因为1l ，2l 为同一直线，所以()()()()()()12111222f x f x {x x f x x x f x .f f ''''=-=-，即121222111111222221222x x x x { 12122x x x x x a2x x x x x a .2x 2x a a ln a ln a +-=+-⎛⎫⎛⎫+--+-=+--+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得，12221122x x 2{ 112x x 2x x .22ln ln =-=-，消去2x 得，221121x x 22ln02x 2+-=．令21x t 2=，由120x x <<与12x x 2=，得()01t ∈，，记()1p t 2lnt t t =+-，则()()222t 121p t 10t t t -=--=-<'， 所以()p t 为()01，上的单调减函数，所以()()p t p 10>=． 从而式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数()f x 的图象有两个不同的切点．20．【答案】（Ⅰ）l （P ）＝5． l （Q ）＝6；（Ⅱ）证明见解析； （Ⅲ）l （A ）存在最小值，且最小值为2n ﹣3．【解析】解：（Ⅰ）根据题中的定义可知：由2+4＝6，2+6＝8，2+8＝10，4+6＝10，4+8＝12，6+8＝14，得l （P ）＝5．由2+4＝6，2+8＝10，2+16＝18，4+8＝12，4+16＝20，8+16＝24，得l （Q ）＝6．（5分） （Ⅱ）证明：因为a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）最多有2(1)2n n n C -=个值，所以(1)()2n n l A -≤． 又集合A ＝2，4，8，，2n，任取a i +a j ，a k +a l （1≤i ＜j ≤n ，1≤k ＜l ≤n ）， 当j ≠l 时，不妨设j ＜l ，则a i +a j ＜2a j ＝2j +1≤a l ＜a k +a l ， 即a i +a j ≠a k +a l ．当j ＝l ，i ≠k 时，a i +a j ≠a k +a l ． 因此，当且仅当i ＝k ，j ＝l 时，a i +a j ＝a k +a l ． 即所有a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）的值两两不同， 所以(1)()2n n l A -=．（9分） （Ⅲ）l （A ）存在最小值，且最小值为2n ﹣3．不妨设a 1＜a 2＜a 3＜…＜a n ，可得a 1+a 2＜a 1+a 3＜…＜a 1+a n ＜a 2+a n ＜…＜a n ﹣1+a n ， 所以a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）中至少有2n ﹣3个不同的数，即l （A ）≥2n ﹣3． 事实上，设a 1，a 2，a 3，，a n 成等差数列， 考虑a i +a j （1≤i ＜j ≤n ），根据等差数列的性质， 当i +j ≤n 时，a i +a j ＝a 1+a i +j ﹣1； 当i +j ＞n 时，a i +a j ＝a i +j ﹣n +a n ；因此每个和a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）等于a 1+a k （2≤k ≤n ）中的一个， 或者等于a l +a n （2≤l ≤n ﹣1）中的一个．所以对这样的A ，l （A ）＝2n ﹣3，所以l （A ）的最小值为2n ﹣3． 21．A ．选修4—1：几何证明选讲 【答案】证明见解析. 【解析】证明：因为CD 为圆的切线，弧所对的圆周角为BAC ∠，所以 BCD BAC ∠=∠． ① 又因为为半圆的直径，所以90ACB ∠=︒．又BD ⊥CD ，所以90CDB ACB ∠=︒=∠． ② 由①②得ABC CBD ∆∆∽， 所以2AB BCBC BA BD BC BD=⇒=⋅． B ．选修4—2：矩阵与变换 【答案】40=01M ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意，()110402MN -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，则40102MN ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦． 因为10=102N ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则110=02N -⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 所以矩阵401040=1020102M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. C ．选修4—4：坐标系与参数方程【解析】将直线l 的参数方程为2{2x t y t ==--化为方程：240x y ++=圆的方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭化为直角坐标系方程：()24cos sin ρρθθ=-， 即22440x y x y +-+=，()()22228x y -++=，其圆心()2,2-，半径为∴圆心C 到直线l的距离为d ==∴直线l 被圆C 截得的弦长为5= D ．选修4—5：不等式选讲 【答案】3 【解析】因3x y z xyz ++=，所以1113xy yz xz++=， 又2111()()(111)9xy yz xz xy yz xz++++≥++=， 3xyyz xz ++≥，当且仅当1x y z ===时取等号，所以xy yz xz ++的最小值为3.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．KS5U解析应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22.【答案】（1）5；（2）5． 【解析】解：（1）因为AD ∥BC ，所以∠DAP 或其补角就是异面直线AP 与BC 所成的角， 因为AD ⊥平面PDC ，所以AD⊥PD ， 在Rt △PDA 中，AP ==cos ∠DAP ＝AD AP= 所以，异面直线AP 与BC（2）过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连接PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角．∵AD ⊥PD ，AD ∥BC ，∴PD ⊥BC ， 又PD ⊥PB ，PB ∩BC ＝B ， ∴PD ⊥平面PBC ，∴∠DFP 为直线DF 和平面PBC 所成的角．由于AD ∥BC ，DF ∥AB ，故BF ＝AD ＝1，由已知，得CF ＝BC ﹣BF ＝2． 又AD ⊥DC ，故BC ⊥DC ，在Rt △DCF中，可得DF =在Rt △DPF 中，sin ∠DFP＝5PD DF =． 所以，直线AB 与平面PBC23. 【答案】（1）0，-2；（2）22(1)C , ()0,m mn m F m m ⎧⎪-=⎨⎪⎩为偶数， 为奇数．．【解析】（1）当2n =时，集合为{1,2,3,4}．当1m =时，偶子集有{2}，{4}，奇子集有{1}，{3}，(1)2f =，(1)2g =，(1)0F =； 当2m =时，偶子集有{2,4}，{1,3}，奇子集有{1,2}，{1,4}，{2,3}，{3,4}，(2)2f =，(2)4g =，(2)2F =-；（2）当m 为奇数时，偶子集的个数0224411()C C C C C C C C m m m m n n n n n n n n f m ---=++++，奇子集的个数1133()C C C C C C m m m n nn n n n g m --=+++，所以()()f m g m =，()()()0F m f m g m =-=．当m 为偶数时，偶子集的个数022440()C C C C C C C C m m m m n n n n n n n n f m --=++++，奇子集的个数113311()C C C C C C m m m n nn n n n g m ---=+++，所以()()()F m f m g m =-0112233110C C C C C C C C C C C C m m m m m m n n n n n n n nn n n n ----=-+-+-+．一方面，1220122(1)(1)(C C C C )[C C C (1)C ]n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x +-=++++-+-+-，所以(1)(1)n n x x +-中m x 的系数为0112233110C C C C C C C C C C C C m m m m m m n n n n n n n n n n n n -----+-+-+； 另一方面，2(1)(1)(1)n n n x x x +-=-，2(1)n x -中m x 的系数为22(1)C m m n-， 故()F m =22(1)C m mn -． 综上，22(1)C ,()0,m mn m F m m ⎧⎪-=⎨⎪⎩为偶数， 为奇数．。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式：样本数据12,,,n x x x …的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 锥体的体积13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则AB = ▲ .2．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 ▲ . 3．下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ .4．函数276y x x =+-的定义域是 ▲ .5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ▲ .6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ▲ .7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是▲ .8．已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 ▲ .9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 ▲ .10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ .11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ .12．如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是 ▲ .13．已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲.14．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b =2，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ． 求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．18．（本小题满分16分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．19．（本小题满分16分）设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数． （1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=…，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427． 20．（本小满分16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证：数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }*()n ∈N 满足：111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }*()n ∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ·参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分. 1.{1,6}2.23.54.[1,7]-5.536.7107.2y x =±8.16 9.10 10.4 11.(e, 1) 12.313.21014.12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.解：（1）因为23,2,cos 3a cb B ===， 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)323c c c c +-=⨯⨯，即213c =.所以33c =. （2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =. 因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos 5B =. 因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点， 所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1， 所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1， 所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分. 解：（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(-1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2=222211253()222DF F F -=-=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2.由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4.因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分. 解：解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知2210AD AE ED =+=，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径. 综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--. 所以P （−13，9），22(134)(93)15PB =-+++=. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟. 在线段AD 上取点M （3，154），因为22221533454OM ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由22(4)(93)15(4)AQ a a =-+-=>，得a =4321+，所以Q （4321+，9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4321+，9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4321(13)17321PQ =+--=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17321+（百米）.19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-． 因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =． （2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-， 从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a bx +=． 因为2,,3a ba b +，都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠， 所以21,3,33a b a b +===-．此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-． 令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：x (,3)-∞-3-(3,1)-1 (1,)+∞()f 'x + 0 – 0 + ()f x极大值极小值所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>， 则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得22121111,33b b b b b b x x +--+++-+==．列表如下：x 1(,)x -∞1x()12,x x2x2(,)x +∞()f 'x+ 0 – 0 + ()f x极大值极小值所以()f x 的极大值()1M f x =． 解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()221111211(1)[32(1)]3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭ ()()23221(1)(1)2127927b b b b b b b --+++=++-+23(1)2(1)(1)2((1)1)272727b b b b b b +-+=-+-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤． 解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-． 令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 令()0g'x =，得13x =．列表如下： x 1(0,)3131(,1)3()g'x + 0 – ()g x极大值所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==，得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-， 当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N .②由①知，b k =k ，*k ∈N .因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1； 当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=． 令()0f 'x =，得x =e.列表如下：x (1,e)e (e ，+∞) ()f 'x+0 –f （x ）极大值因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==． 取33q =，当k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤，经检验知1k qk -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A（1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在极坐标系中，已知两点3,,2,42A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离. C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N ….已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(13)3na b +=+，其中*,a b ∈N ，求223a b -的值.23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N令n nn n M A B C =.从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.（1）当n =1时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）.数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．[选修4–2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， 所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A=3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==. B ．[选修4–4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B （2，2π）， 由余弦定理，得AB =223(2)232cos()524ππ+-⨯⨯⨯-=. （2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点(32,)2π，倾斜角为34π． 又(2,)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3(322)sin()242ππ-⨯-=. C ．[选修4–5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．解：当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <-13； 当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分10分．解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥，， 所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(13)(13)n +=+0122334455555555C C 3C (3)C (3)C (3)C (3)=+++++ 3a b =+．解法一：因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-． 解法二：50122334455555555(13)C C (3)C (3)C (3)C (3)C (3)-=+-+-+-+-+- 0122334455555555C C C (3)C (3)C (3)(3C 3)=-+-+-．因为*,a b ∈N ，所以5(13)3a b -=-．因此225553(3)(3)(13)(13)(2)32a b a b a b -=+-=+⨯-=-=-．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）当1n =时，X 的所有可能取值是1225，，，．X 的概率分布为22667744(1),(2)C 15C 15P X P X ======， 22662222(2),(5)C 15C 15P X P X ======． （2）设()A a b ，和()B c d ，是从n M 中取出的两个点． 因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况． ①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；②若01b d ==，，则22()11AB a c n =-+≤+，所以X n >当且仅当21AB n =+，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；③若02b d ==，，则22()44AB a c n =-+≤+，因为当3n ≥时，2(1)4n n -+≤，所以X n >当且仅当24AB n =+，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法； ④若12b d ==，，则22()11AB a c n =-+≤+，所以X n >当且仅当21AB n =+，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法．综上，当X n >时，X 的所有可能取值是21n +和24n +，且2222242442(1),(4)C C n n P X n P X n ++=+==+=．因此，222246()1(1)(4)1C n P X n P X n P X n +≤=-=+-=+=-．。

回扣7 解析几何1．直线方程的五种形式(1)点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)(直线过点P 1(x 1，y 1)，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线)．(2)斜截式：y ＝kx ＋b (b 为直线l 在y 轴上的截距，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线)．(3)两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(直线过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，y 1≠y 2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．(4)截距式：x a ＋yb ＝1(a 、b 分别为直线的横、纵截距，且a ≠0，b ≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．(5)一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)． 2．直线的两种位置关系当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时： (1)两直线平行l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (2)两直线垂直l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.提醒：当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略． 3．三种距离公式(1)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点间的距离： AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点到直线的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(其中点P (x 0，y 0)，直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0)．(3)两平行线间的距离：d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0)．提醒：应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x ，y 的系数应对应相等． 4．圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)． 5．直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法．(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法．6．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质7.直线与圆锥曲线的位置关系判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断．弦长公式：AB＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|.8．范围、最值问题的常用解法(1)几何法①直线外一定点P到直线上各点距离的最小值为该点P到直线的垂线段的长度．②圆C外一定点P到圆上各点距离的最大值为PC＋R，最小值为PC－R(R为圆C的半径)．③过圆C内一定点P的圆的最长的弦即为经过点P的直径，最短的弦为过点P且与经过点P 的直径垂直的弦．④圆锥曲线上本身存在最值问题，如a.椭圆上两点间最大距离为2a(长轴长)；b.双曲线上两点间最小距离为2a(实轴长)；c.椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[a－c，a＋c]，a－c与a＋c分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离；d.在抛物线上的点中，顶点与抛物线的准线距离最近．(2)代数法把要求的最值表示为某个参数的解析式，然后利用函数、最值、基本不等式等进行求解．9．定点、定值问题的思路求解直线或曲线过定点问题的基本思路是把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．求证某几何量为定值，首先要求出这个几何量的代数表达式，然后对表达式进行化简、整理，根据已知条件列出必要的方程(或不等式)，消去参数，最后推出定值．10．解决存在性问题的解题步骤第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)；第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在；第三步：得出结论．1．不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错．2．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为xa＋ya＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等．3．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0.4．在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，要注意有可能这两条直线重合；在立体几何中提到的两条直线，一般可理解为它们不重合．5．求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式|C1－C2|A2＋B2，导致错解．6．在圆的标准方程中，误把r2当成r；在圆的一般方程中，忽视方程表示圆的条件．7．易误认两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解．8．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<F1F2.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．9．易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a ，b ，c 三者之间的关系，导致计算错误．10．已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解． 11.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制．尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、 弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”的条件下进行．1．直线2mx －(m 2＋1)y －m ＝0倾斜角的取值范围为________． 答案 [0，π4]解析 由已知可得m ≥0.直线的斜率k ＝2m m 2＋1.当m ＝0时，k ＝0，当m >0时，k ＝2m m 2＋1＝2m ＋1m ≤22m ·1m＝1，又因为m >0，所以0<k ≤1.综上可得直线的斜率0≤k ≤1.设直线的倾斜角为θ，则0≤tan θ≤1，因为0≤θ<π，所以0≤θ≤π4.2．若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则a 等于________． 答案 －1解析 由题意a (a －1)＝2，得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，l 1方程为2x ＋2y ＋6＝0，即x ＋y ＋3＝0，l 2方程为x ＋y ＋3＝0，两直线重合，不合题意，舍去；当a ＝－1时，直线l 1，l 2的方程分别为－x ＋2y ＋6＝0，x －2y ＝0，符合题意．所以a ＝－1.3．直线x ＋y ＝3a 与圆x 2＋y 2＝a 2＋(a －1)2相交于点A ，B ，点O 是坐标原点，若△AOB 是正三角形，则实数a 等于________． 答案 12解析 由题意得，圆的圆心坐标为O (0,0)，设圆心到直线的距离为d ， 所以弦长为2r 2－d 2＝r ，得4d 2＝3r 2.所以6a 2＝3a 2＋3(a －1)2，解得a ＝12.4．直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于________． 答案 2 3解析 由于圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，半径r ＝2，而圆心O (0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|32＋42＝1，∴AB ＝2r 2－d 2＝24－1＝2 3.5．与圆O 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0都相切的直线条数是________． 答案 3解析 圆O 1(－2,2)，r 1＝1，圆O 2(2,5)，r 2＝4， ∴O 1O 2＝5＝r 1＋r 2，∴圆O 1和圆O 2相外切， ∴与圆O 1和圆O 2相切的直线有3条．6．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F 1、F 2是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝30°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是________． 答案 2－ 3解析 由题意设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线方程为x 2a 21－y 2b 21＝1，且c ＝c 1.由题意c a ·ca 1＝1，(*)由∠F 1PF 2＝30°，由余弦定理得：椭圆中4c 2＝4a 2－(2＋3)PF 1·PF 2， 双曲线中：4c 2＝4a 21＋(2－3)PF 1·PF 2， 可得b 21＝(7－43)b 2，代入(*)式，c 4＝a 21a 2＝(c 2－b 21)a 2＝(8－43)c 2a 2－(7－43)a 4，即e 4－(8－43)e 2＋(7－43)＝0， 得e 2＝7－43，即e ＝2－ 3.7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成5∶3两段，则此椭圆的离心率为________． 答案255解析 ∵c ＋b 2c －b 2＝53，a 2－b 2＝c 2，c ＝2b ，∴5c 2＝4a 2，∴e ＝c a ＝25＝255.8．如图，已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，F 1F 2＝4，点A 在双曲线的右支上，线段AF 1与双曲线左支相交于点B ，△F 2AB 的内切圆与BF 2相切于点E ，若AF 2＝2BF 1，BE ＝22，则双曲线C 的离心率为________．答案 2解析 设AF 2＝2BF 1＝2m ，由题意得AF 1＝2m ＋2a ，BF 2＝m ＋2a ， 因此AB ＝m ＋2a,2BE ＝AB ＋BF 2－AF 2＝4a ， 即a ＝2，又F 1F 2＝4⇒c ＝2，所以离心率为ca＝ 2.9．已知F 1，F 2是双曲线x 216－y 29＝1的焦点，PQ 是过焦点F 1的弦，且PQ 的倾斜角为60°，那么|PF 2＋QF 2－PQ |的值为________． 答案 16解析 由双曲线方程x 216－y 29＝1知，2a ＝8，由双曲线的定义得，|PF 2－PF 1|＝2a ＝8，① |QF 2－QF 1|＝2a ＝8，②①＋②得|PF 2＋QF 2－(QF 1＋PF 1)|＝16， ∴|PF 2＋QF 2－PQ |＝16.10．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________．答案32解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线为y ＝±bax ，即y ＝±3x .由于焦点(1,0)到双曲线的两条渐近线距离相等，所以只考虑焦点到其中一条之间的距离d ＝|3|3＋1＝32. 11．过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若AB ＝2512，AF <BF ，则AF ＝________. 答案 56解析 ∵1AF ＋1BF ＝2p ＝2，AB ＝AF ＋BF ＝2512，AF <BF ，∴AF ＝56，BF ＝54.12．已知圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝r 2与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝(4－r )2 (0<r <4)的公共点的轨迹为曲线E ，且曲线E 与y 轴的正半轴相交于点M .若曲线E 上相异两点A ，B 满足直线MA ，MB 的斜率之积为14.(1)求曲线E 的方程；(2)证明：直线AB 恒过定点，并求定点的坐标； (3)求△ABM 的面积的最大值． 解 (1)设圆F 1，圆F 2的公共点为Q ， 由已知得，F 1F 2＝2，QF 1＝r ，QF 2＝4－r ， 故QF 1＋QF 2＝4>F 1F 2，因此曲线E 是长轴长2a ＝4，焦距2c ＝2的椭圆，且b 2＝a 2－c 2＝3，所以曲线E 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由曲线E 的方程得，上顶点M (0，3)，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，x 1≠0，x 2≠0，若直线AB 的斜率不存在，则直线AB 的方程为x ＝x 1，故y 1＝－y 2，且y 21＝y 22＝3(1－x 214)，因此k MA ·k MB ＝y 1－3x 1·y 2－3x 2＝－y 21－3x 21＝34，与已知不符，因此直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，代入椭圆E 的方程x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0.①因为直线AB 与曲线E 有公共点A ，B ，所以方程①有两个非零不等实根x 1，x 2， 所以x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2，又k AM ＝y 1－3x 1＝kx 1＋m －3x 1，k MB ＝y 2－3x 2＝kx 2＋m －3x 2， 由k AM ·k BM ＝14，得4(kx 1＋m －3)(kx 2＋m －3)＝x 1x 2，即(4k 2－1)x 1x 2＋4k (m －3)(x 1＋x 2)＋4(m －3)2＝0，所以4(m 2－3)(4k 2－1)＋4k (m －3)(－8km )＋4(m －3)2(3＋4k 2)＝0， 化简得m 2－33m ＋6＝0，故m ＝3或m ＝23， 结合x 1x 2≠0知m ＝23， 即直线AB 恒过定点N (0,23)． (3)由Δ>0且m ＝23得k <－32或k >32，又S △ABM ＝|S △ANM －S △BNM |＝12MN ·|x 2－x 1|＝32(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝32 (－8km3＋4k 2)2－4·4(m 2－3)3＋4k 2＝64k 2－93＋4k 2＝64k 2－9＋124k 2－9≤32， 当且仅当4k 2－9＝12，即k ＝±212时，△ABM 的面积最大，最大值为32.。

§7.2线性规划考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度2013 2014 2015 2016 2017线性规划求目标函数最优解 A 9题5分填空题★★☆分析解读考查线性规划的试题难度一般中等偏下,复习时试题难度不要拔高.五年高考考点线性规划1.(2017课标全国Ⅰ文改编,7,5分)设x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为.答案 32.(2017课标全国Ⅲ文改编,5,5分)设x,y满足约束条件则z=x-y的取值范围是. 答案[-3,2]3.(2016山东改编,4,5分)若变量x,y满足则x2+y2的最大值是.答案104.(2016课标全国Ⅱ,14,5分)若x,y满足约束条件则z=x-2y的最小值为.答案-55.(2016天津理改编,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+5y的最小值为.答案 66.(2016课标全国Ⅰ,16,5分)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.答案216 0007.(2016浙江理改编,3,5分)在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|= .答案38.(2016北京改编,7,5分)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为.答案79.(2016课标全国Ⅲ,13,5分)设x,y满足约束条件则z=2x+3y-5的最小值为.答案-1010.(2015山东改编,6,5分)已知x,y满足约束条件若z=ax+y的最大值为4,则a= .答案 211.(2015课标Ⅰ,15,5分)若x,y满足约束条件则的最大值为.答案 312.(2015北京改编,2,5分)若x,y满足则z=x+2y的最大值为.答案 213.(2015天津改编,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为.答案1814.(2015湖南改编,4,5分)若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为.答案-715.(2015浙江,14,4分)若实数x,y满足x2+y2≤1,则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是.答案 316.(2014广东改编,3,5分)若变量x,y满足约束条件,且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n= .答案 617.(2014安徽改编,5,5分)x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解,则实数a 的值为.答案2或-118.(2014浙江,13,5分)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是.答案19.(2014湖南,14,5分)若变量x,y满足约束条件且z=2x+y的最小值为-6,则k= .答案-220.(2014课标Ⅰ改编,9,5分)不等式组的解集记为D.有下面四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.其中的真命题是.答案p1,p221.(2013江苏,9,5分)抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界).若点P(x,y)是区域D内的任意一点,则x+2y的取值范围是.答案教师用书专用(22—27)22.(2013陕西理,13,5分)若点(x,y)位于曲线y=|x-1|与y=2所围成的封闭区域,则2x-y的最小值为.答案-423.(2013广东理,13,5分)给定区域D:令点集T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0)是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点},则T中的点共确定条不同的直线.答案 624.(2013安徽理改编,9,5分)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足||=||=·=2,则点集{P|=λ+μ,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是.答案425.(2013浙江理,13,4分)设z=kx+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则实数k= .答案 226.(2013课标全国Ⅱ理改编,9,5分)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a= .答案27.(2016天津,16,13分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:原料A B C肥料甲 4 8 3乙 5 5 10现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.解析(1)由已知,x,y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域如图1所示:图1(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.考虑z=2x+3y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距,当取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.图2解方程组得点M的坐标为(20,24).所以z max=2×20+3×24=112.答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点线性规划1.(2018江苏姜堰中学高三期中)已知x,y满足不等式组则(x+1)2+y2的最大值为.答案2.(2018江苏无锡高三期中检测)若变量x,y满足且x+2y≥a恒成立,则a的最大值为.答案-43.(2018江苏如东高级中学高三学情检测)函数y=log2x的图象上存在点(x,y),满足约束条件则实数m的最大值为.答案 14.(2017江苏南京师范大学附中期中,7)若实数x,y满足条件则z=3x-4y的最大值是.答案-15.(2017江苏南京、盐城一模,6)已知实数x,y满足则的最小值是.答案6.(2017江苏无锡期末,7)设不等式组表示的平面区域为M,若直线y=kx-2上存在M内的点,则实数k的取值范围是.答案[2,5]7.(2016江苏清江中学周练,8)若不等式组表示的平面区域的面积为12,则实数a的值为.答案8B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:15分时间:10分钟)填空题(每小题5分,共15分)1.(2017江苏苏州暑期调研,13)已知点P是△ABC内一点(不包括边界),且=m+n,m,n∈R,则(m-2)2+(n-2)2的取值范围是.答案2.(2017江苏泰州中学模拟,13)已知实数x,y满足若不等式a(x2+y2)≥(x+y)2恒成立,则实数a 的最小值是.答案3.(2017扬州中学高三月考,9)已知点P(x,y)满足则点Q(x+y,y)构成的图形的面积为.答案 2C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 二元一次不等式(组)表示的平面区域的判断方法及平面区域应用1.若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是.答案方法2 简单规划问题的求解方法及实际应用2.变量x,y满足(1)设z=,求z的最小值;(2)设z=x2+y2,求z的取值范围.解析由约束条件作出(x,y)的可行域如图所示.由解得A.由解得C(1,1).由解得B(5,2).(1)∵z==,∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.观察图形可知z min=k OB=.(2)z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离d的平方,结合图形可知,d min=|OC|=,d max=|OB|=. ∴2≤z≤29.。

第 4 练用好基本不等式[ 题型剖析·高考展望 ] 基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效工具，在高考取常常考察，有时也会对其独自考察．题目难度为中等偏上．应用时，要注意“拆、拼、凑”等技巧，特别要注意应用条件，只有具备公式应用的三个条件时，才可应用，不然可能会致使结果错误．体验高考121， 2上单一1．(2015 四·川改编 )假如函数 f(x)＝ (m－2) x ＋ (n－ 8)x＋1(m≥ 0，n≥ 0)在区间22递减，那么 mn 的最大值为 ________．答案 18分析①当 m＝ 2 时，∵ f(x)在[12，2]上单一递减，∴0≤ n＜ 8， mn＝2n＜ 16.②m≠ 2 时，抛物线的对称轴为x＝－n－ 8. m－2n－ 8据题意得，当m＞2 时，－≥ 2，即 2m＋ n≤ 12，m－22m＋ n∵ 2m·n≤≤6，2∴mn≤18，由 2m＝ n 且 2m＋ n＝ 12 得 m＝ 3， n＝ 6.当 m＜ 2 时，抛物线张口向下，n－81据题意得，－≤2，即 m＋2n≤ 18，m－22n＋m∵ 2n·m≤≤9，2∴mn≤812，由 2n＝ m 且 m＋ 2n＝ 18 得 m＝ 9＞ 2，故应舍去．要使得 mn 获得最大值，应有m＋ 2n＝ 18(m＜ 2，n＞ 8)．∴mn＝(18－ 2n)n＜ (18－ 2× 8)× 8＝ 16，综上所述， mn 的最大值为18.2．(2015 陕·西改编 )设 f(x)＝ lnx,0＜ a＜b，若 p＝ f(ab)，q＝ f a＋ b，r＝1(f( a)＋ f(b)) ，则 p、22q、 r 的大小关系为 ________．答案 p＝ r＜ qa＋ b分析∵ 0＜ a＜ b，∴2＞ ab，又∵ f(x)＝ lnx 在 (0，＋∞ )上为增函数，故 f a＋b ＞f(ab)，即 q＞ p.211又 r＝2(f(a)＋ f(b)) ＝2(ln a＋ lnb)111＝2ln a＋2lnb＝ ln(ab)2＝ f( ab)＝ p.故 p＝ r ＜ q.3．(2015 ·津天 ) 已知 a＞ 0，b＞ 0，ab＝8，则当 a 的值为 ________时， log2a·log 2(2b)获得最大值．答案 4分析 log2 a·log2(2b)＝ log2a·(1 ＋log 2b)≤log 2a＋ 1＋ log 2b 2＝ log 2ab＋ 1 222＝log 28＋ 1 2＝4，2当且仅当 log 22b，即 a＝ 2b 时，等号建立，此时 a＝ 4，b＝ 2.a＝ 1＋ log4． (2016 江·苏 ) 在锐角三角形ABC 中，若 sinA＝ 2sinBsinC，则 tanAtanBtanC 的最小值是________．答案 8分析在△ ABC 中， A＋ B＋C＝π，sinA＝sin[ π－ (B＋C)] ＝ sin(B＋ C)，由已知， sinA＝2sinBsinC，∴s in(B＋C)＝ 2sinBsinC.∴s inBcosC＋ cosBsinC＝ 2sinBsinC，A， B，C 全为锐角，两边同时除以cosBcosC 得：tanB＋ tanC＝ 2tanBtanC.tanB＋tanC tanB＋tanC又 tanA＝－ tan(B＋C)＝－＝.1－tanBtanC tanBtanC－ 1∴tanA(tanBtanC－ 1)＝ tanB＋tanC.则 tanAtanBtanC－ tanA＝ tanB＋ tanC，∴t anAtanBtanC＝ tanA＋ tanB＋ tanC＝ tanA＋2tanBtanC≥ 2 2tanAtanBtanC，∴tanAtanBtanC≥ 2 2，∴t anAtanBtanC≥ 8.ax＋ y＝ 1，5．(2016 ·海上 ) 设 a＞ 0，b＞ 0.若对于 x，y 的方程组无解，则a＋b的取值范围x＋ by＝ 1是________．答案 (2，＋∞ )分析由已知， ab＝ 1，且 a≠ b，∴ a＋ b＞ 2ab＝ 2.高考必会题型题型一利用基本不等式求最大值、最小值1．利用基本不等式求最值的注意点(1)在运用基本不等式求最值时，一定保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是重点．(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的获得条件的一致性，不然就会犯错．2．构造调整与应用基本不等式基本不等式在解题时一般不可以直策应用，而是需要依据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“联合点”，即把研究对象化成合用基本不等式的形式．常有的转变方法有：(1)x＋b＝ x－ a＋b＋ a(x>a)．x－a x－ aa b(2)若x＋y＝ 1，则数) ．a b≥ ma＋ nb＋ 2abmn(字母均为正mx＋ ny＝ (mx＋ny) ×1＝ (mx＋ny) ·＋yx例 1(1) 已知正常数 a， b 知足1a＋2b＝ 3，则 (a＋ 1)(b＋ 2)的最小值是 ________．答案509分析 由 1＋2＝ 3，得 b ＋ 2a ＝ 3ab ，a b∴ ( a ＋ 1)(b ＋ 2)＝ 2a ＋ b ＋ab ＋ 2＝4ab ＋ 2，1 2≥22，又 a ＞ 0， b ＞ 0， ∴a ＋ bab 8∴ab ≥ 9(当且仅当 b ＝ 2a 时取等号 )，850∴ ( a ＋ 1)(b ＋ 2)的最小值为 4× 9＋2＝ 9 .x 2＋ 7x ＋ 10(2) 求函数 y ＝(x ＞－ 1)的最小值．x ＋ 1解设 x ＋ 1＝t ，则 x ＝ t － 1(t ＞0) ，t －1 2＋ 7 t － 1 ＋ 10∴y ＝t4 4＝ 9. ＝t ＋t ＋ 5≥2t ·＋ 5t4当且仅当 t ＝ t ，即 t ＝ 2，且此时 x ＝ 1 时，取等号，∴ y min ＝ 9.评论 求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单一性求最值； 二是利用基本不等式． 在利用基本不等式时常常都需要变形，变形的原则是在已知条件下经过变形凑出基本不等式应用的条件，即 “ 和 ”或 “ 积 ” 为定值．等号可以获得．变式训练 1 已知 x ＞ 0， y ＞ 0，且 2x ＋ 5y ＝ 20，(1) 求 u ＝lg x ＋lg y 的最大值；1 1(2) 求 x ＋ y 的最小值．解(1) ∵ x ＞ 0， y ＞ 0，∴由基本不等式，得 2x ＋ 5y ≥ 2 10xy.∵ 2x ＋ 5y ＝ 20， ∴ 2 10xy ≤ 20，即 xy ≤ 10，当且仅当 2x ＝ 5y 时等号建立．2x ＋ 5y ＝ 20，x ＝ 5，所以有解得2x ＝ 5y ，y ＝ 2，此时 xy 有最大值 10.∴ u ＝ lgx ＋ lgy ＝ lg( xy)≤ lg10＝ 1.∴当 x ＝ 5，y ＝ 2 时， u ＝ lgx ＋ lgy 有最大值 1.1 1 1 1 2x ＋ 5y(2) ∵ x ＞ 0， y ＞ 0， ∴ x ＋ y ＝ x ＋ y · 20＝ 1 7＋ 5y ＋ 2x ≥ 1 7＋ 2 5y 2x20 x y 20x ·y7＋ 2 10＝ 20 ，5y 2x当且仅当 x ＝ y 时等号建立．2x ＋ 5y ＝ 20，x ＝ 10 10－ 203，由 5y解得2x20－ 4 10x ＝y ，y ＝3.7＋ 2 10∴1＋ 1的最小值为20 .x y题型二基本不等式的综合应用例 2(1) 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备花费为 800 元，若每批生产 x 件，则均匀仓储时间为 x天，且每件产品每日的仓储花费为1 元，为使均匀到每件产品的生产准备花费8与仓储花费之和最小，每批应生产产品 ________件．答案 802800＋ x分析 均匀每件产品的花费为8800x≥ 2800× x800 xy ＝ x＋＝ x 8 x 8＝ 20，当且仅当x ＝ 8，即 x＝80 时取等号，所以每批应生产产品 80 件，才能使均匀到每件产品的生产准备花费与仓储花费之和最小．(2) 某单位决定投资 3200 元建一库房 (长方体状 )，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花费，正面用铁栅，每米长造价40 元，双侧墙砌砖，每米长造价 45 元，顶部每平方米造价 20 元，求：库房面积 S 的最大同意值是多少？为使S 达到最大， 而实质投资又不超出估算，那么正面铁栅应设计为多长？解设铁栅长为 x 米，一侧砖墙长为 y 米，则顶部面积 S ＝ xy ，依题设， 得 40x ＋ 2× 45y ＋ 20xy＝3200 ，由基本不等式得3200≥ 2 40x·90y＋ 20xy＝ 120 xy＋ 20xy＝ 120 S＋ 20S，则 S＋ 6S－160≤ 0，即 ( S－10) ·( S＋ 16)≤ 0，故 0＜S≤ 10，进而 0＜ S≤ 100，所以 S 的最大同意值是 100 平方米，获得此最大值的条件是40x＝ 90y 且 xy＝ 100，解得 x＝ 15，即铁栅的长应设计为 15 米．评论基本不等式及不等式性质应用十分宽泛，在最优化实质问题，平面几何问题，代数式最值等方面都要用到基本不等式，应用时必定要注意查验“ 三个条件”能否具备．变式训练 2(1)已知直线 ax＋ by－6＝ 0(a＞ 0，b＞ 0)被圆 x2＋ y2－ 2x－ 4y＝ 0 截得的弦长为25，则 ab 的最大值是 ________．答案92分析圆的方程变形为(x－1)2＋ (y－ 2)2＝ 5，由已知可得直线ax＋by－ 6＝ 0 过圆心 O(1,2)，∴a＋ 2b＝ 6(a＞0， b＞ 0)，∴6＝ a＋ 2b≥ 2 2ab，9∴ab≤2(当且仅当a＝ 2b 时等号建立 )，故 ab 的最大值为9 . 2(2) 某工厂某种产品的年固定成本为250 万元，每生产 x 千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80 千件时， C(x)＝1x2＋ 10x(万元 )．当年产量不小于80 千件时， C(x)＝ 51x＋10000 3x－1450( 万元 )．每件商品售价为 0.05 万元．经过市场剖析，该厂生产的商品能所有售完．①写出年收益 L(x)(万元 )对于年产量 x(千件 )的函数分析式；②当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获收益最大？解① 当 0＜x＜ 80 时，1 2L(x)＝ 1000x× 0.05－ (3x ＋ 10x)－ 250＝－13x2＋ 40x－ 250.当 x≥ 80 时，10000L(x)＝ 1000x× 0.05－ (51x＋－1450)－250＝ 1200 － (x ＋10000)． x－13x 2＋ 40x － 250 0＜x ＜ 80 ，∴ L (x)＝100001200－ x ＋ x ≥ 80 .②当 0＜ x ＜80 时， L(x)＝－13x 2 ＋40x － 250.对称轴为 x ＝60，即当 x ＝ 60 时， L(x)最大 ＝ 950(万元 ) ．当 x ≥ 80 时，L(x)＝ 1200－ (x ＋ 10000)x≤ 1200 － 2 10000＝ 1000( 万元 ) ，当且仅当 x ＝100 时， L(x)最大 ＝ 1000(万元 )，综上所述，当 x ＝ 100 时，年赢利最大．高考题型精练1．若正数 x ， y 知足 x ＋3y ＝ 5xy ，则 3x ＋ 4y 的最小值是 ________．答案 5分析方法一 由 x ＋ 3y ＝5xy 可得 5y 1＋ 5x 3＝ 1，∴ 3x ＋ 4y ＝ (3x ＋ 4y)(5y 1＋ 5x 3)9 4 3x 12y ≥ 13 12 ＝ 5(当且仅当 3x 12y＝ 5＋ 5＋ 5y ＋ 5x 5 ＋ 5 5y ＝ 5x ，即 x ＝ 1， y ＝12时，等号建立)， ∴ 3x ＋ 4y 的最小值是 5.方法二 由 x ＋3y ＝ 5xy 得 x ＝3y，5y － 1∵x ＞ 0， y ＞0， ∴ y ＞ 15，1∴3x ＋ 4y ＝ 9y 13 9 5 1＋ 4 y － 1 13361＋ 4y ＝ 5 ＋ 5· 5 ≥ 5 ＋225＝ 5，当且仅当y ＝ 2时等号建立，5y － 1 y － 5∴3x ＋ 4y 的最小值是 5.1＋ 1＝ 1，则 1 ＋9的最小值是 ________．2．若正数 a ， b 知足 a b a － 1 b － 1答案 6分析 ∵ 正数 a ， b 知足1a ＋ 1b ＝1，a∴b ＝＞ 0，解得 a ＞ 1.同理可得 b ＞1，∴1＋ 9 ＝ 1＋9a － 1b － 1 a － 1a－ 1a － 1＝1＋ 9(a － 1) ≥21·9 a － 1 ＝ 6，a － 1a － 11 ＝ 9(a － 1)，即 a ＝ 4当且仅当3时等号建立，a － 1∴最小值为 6.3．已知 a ＞ 0， b ＞ 0，若不等式m －3－ 1≤ 0 恒建立，则 m 的最大值为 ________．3a ＋ b a b答案 16分析 由于 a ＞ 0， b ＞ 0，所以由 m － 3－1≤ 0 恒建立得 m ≤ (3＋ 13b ＋3a 恒3a ＋ b a bab )(3a ＋ b)＝ 10＋ a b建立．由于 3b ＋ 3a≥23b 3aa b · ＝6，a b3b 3a ≥ 16，当且仅当 a ＝ b 时等号建立，所以 10＋ a ＋ b 所以 m ≤16，即 m 的最大值为 16.4．一个篮球运动员投篮一次得3 分的概率为 a ，得 2 分的概率为 b ，不得分的概率为 c(a 、b 、c ∈(0,1)) ，已知他投篮一次得分的均值为 2＋ 1的最小值为 ________．2，则 a 3b答案 16 3分析 由已知得， 3a ＋2b ＋ 0×c ＝2，即 3a ＋ 2b ＝ 2，此中 0＜ a ＜23， 0＜ b ＜ 1.21 3a ＋ 2b2 1 又a ＋ 3b ＝ 2 a ＋ 3b1 ＋ 2b ＋ a ≥ 10＋2 2b a＝ 16， ＝3＋a 3· 33 2ba 2b当且仅当 2b ＝ a ，即 a ＝ 2b 时取 “ 等号 ”，a 2b11又 3a ＋ 2b ＝ 2，即当 a ＝ 2， b ＝ 4时，2 1 16 a ＋ 3b 的最小值为3 .5．已知 m ＞ 0，a 1＞ a 2＞ 0，则使得 m 2＋ 1≥|a i x － 2|(i ＝1,2)恒建立的 x 的取值范围是 ________．m答案 [0，4]a 1分析 由于m 2＋ 1＝ m ＋ 1≥ 2(当且仅当 m ＝ 1 时等号建立 )， m m所以要使不等式恒建立，则 2≥ |a i x － 2|(i ＝ 1,2)恒建立，即－ 2≤ a i ix －2≤ 2，所以 0≤ a x ≤4， 由于 a 1＞ a 2＞ 0，4 ，0≤ x ≤ a 1即 0≤ x ≤ 4，所以4a 10≤ x ≤ a 2，4所以使不等式恒建立的x 的取值范围是 [0，a 1 ] ．6．已知直线 ax ＋ by ＋c － 1＝ 0(b ， c ＞ 0)经过圆 x 2 ＋y 2－2y － 5＝ 0 的圆心，则 4＋1的最小值b c是________．答案 9分析 圆 x 2＋ y 2－ 2y －5＝ 0 化成标准方程，得 x 2 ＋(y － 1)2＝ 6，所以圆心为 C(0,1)，由于直线 ax ＋ by ＋ c － 1＝0 经过圆心 C ，所以 a × 0＋ b × 1＋ c －1＝ 0，即 b ＋ c ＝ 1.4 1 4 1 所以 b ＋ c ＝ (b ＋c)(b ＋ c)＝4c bb ＋c ＋ 5.由于 b ， c ＞0，所以4c b 4c bb＋ ≥ 2b ·＝ 4.cc4c b当且仅当 b ＝ c 时等号建立．2 1 4 1由此可得 b ＝ 2c ，且 b ＋ c ＝ 1，即 b ＝ 3，c ＝3时， b ＋ c 获得最小值 9. 7．已知 x ＞0， y ＞ 0，x ＋3y ＋ xy ＝9，则 x ＋ 3y 的最小值为 ________． 答案 69－3y分析 由已知得 x ＝.1＋y方法一 (消元法 )9－ 3y 12＋ 3(y ＋1) －6≥ 2 12 ·3 y ＋ 1 － 6∵x ＞ 0，y ＞0，∴0＜ y ＜ 3，∴ x ＋ 3y ＝ ＋ 3y ＝1＋ y 1＋ y 1＋ y＝6，当且仅当12 ＝3(y ＋1)，即 y ＝ 1， x ＝ 3 时， ( x ＋ 3y)min ＝ 6.1＋ y方法二 ∵ x ＞ 0， y ＞ 0，1 1x ＋3y 2，当且仅当 x ＝ 3y 时等号建立．9－ (x ＋3y)＝ xy ＝ 3x ·(3y)≤ 3· 2设 x ＋ 3y ＝ t ＞ 0，则 t 2＋ 12t －108≥ 0，∴( t － 6)(t ＋ 18)≥ 0，又∵ t ＞0， ∴ t ≥ 6.故当 x ＝ 3，y ＝ 1 时， (x ＋3y) min ＝6.8．已知三个正数 a ， b ， c 成等比数列，则 a ＋ c ＋b的最小值为 ________． b a ＋ c 答案 52分析 由条件可知 a ＞0，b ＞ 0，c ＞ 0，且 b2a ＋ ca ＋ c≥ 2 ac＝ 2，令 b ＝ t ，＝ ac ，即 b ＝ ac ，故b b 11 5则 t ≥2，所以 y ＝t ＋ t 在 [2 ，＋ ∞ )上单一递加，故其最小值为2＋2＝ 2.9．已知 x ，y ∈ R 且知足 x 2＋ 2xy ＋ 4y 2＝ 6，则 z ＝x 2 ＋4y 2 的取值范围为 ________．答案 [4,12]分析∵ 2xy＝6－ (x2＋4y2)，而 2xy≤x2＋ 4y22，x2＋4y2∴6－ (x2＋ 4y2)≤，2∴x2＋4y2≥ 4(当且仅当x＝ 2y 时取等号 )，又∵ (x＋ 2y)2＝ 6＋ 2xy≥ 0，即 2xy≥－ 6，∴z＝ x2＋4y2＝ 6－ 2xy≤12(当且仅当 x＝－ 2y 时取等号 )，综上可知 4≤ x2＋ 4y2≤ 12.4≥m－1恒建立，则 m 的最大值为 ________．10． (名师改编 )当 x∈ (0,1)时，不等式1－x x 答案 9分析方法一 (函数法 )由已知不等式可得1＋ 4，m≤x 1－x设 f(x)＝1＋ 4 ＝1－ x＋4x3x＋ 1＝，x∈ (0,1)．x1－x x 1－ x－ x2＋ xt－ 1令 t＝3x＋ 1，则 x＝3， t∈ (1,4)，则函数 f(x) 可转变为g(t)＝t＝t1254 t－ 1 2t－1－t ＋ t－－3＋3999＝9t9，＝4－ t2＋ 5t－ 4－ t＋t＋ 5由于 t∈ (1,4) ，所以5＞ t＋4≥ 4，t49≥ 9，0＜－ (t＋t )＋ 5≤ 1，4－ t＋t＋ 5即 g(t)∈ [9，＋∞ )，故 m 的最大值为 9.方法二 (基本不等式法 )由已知不等式可得m≤1＋4，由于 x∈ (0,1)，则 1－ x∈ (0,1) ，设 y x1－ x＝ 1－ x ∈ (0,1)，明显 x ＋ y ＝ 1.141 4x ＋ y 4 x ＋ y故 x ＋ ＝ x ＋ y ＝ x ＋y1－ x＝5＋y 4x y 4x( ＋y )≥5＋ 2· ＝9，xx y当且仅当 y ＝4x，即 y ＝ 2， x ＝ 1时等号建立．xy 3 314所以要使不等式 m ≤ x ＋ 1－x 恒建立， m 的最大值为 9.11．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130 千米，按交通法例限制50≤ x ≤ 100(单位：千米 /时)．假定汽油的价钱是每升 2 元，而汽车每小时耗油x 22＋ 360 升，司机的薪资是每小时14元．(1) 求此次行车总花费 y 对于 x 的表达式；(2) 当 x 为什么值时，此次行车的总花费最低，并求出最低花费的值．解(1) 设所用时间为 t ＝130x (小时 )，1302 130xy ＝ x × 2×2＋360 ＋ 14× x ， x ∈ [50,100] ．所以，此次行车总花费y 对于 x 的表达式是234013y ＝ x ＋ 18x ， x ∈ [50,100] ．2340 13 (2) y ＝ x ＋ 18x ≥ 26 10，2340 13x 当且仅当 x ＝ 18 ，即 x ＝ 18 10时等号建立．故当 x ＝ 18 10千米 /时，此次行车的总花费最低，最低花费的值为 26 10元．12．某种商品本来每件售价为 25 元，年销售 8 万件．(1) 据市场检查，若价钱每提升1 元，销售量将相应减少2000 件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件订价最多为多少元？(2) 为了扩大该商品的影响力，提升年销售量．企业决定明年对该商品进行全面技术改革和营销策略改革， 并提升订价到x 元．企业拟投入 1 (x 2－600)万元作为技改花费，投入50 万元6作为固定宣传花费，投入15x万元作为浮动宣传花费．试问：当该商品明年的销售量a 起码应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件订价．解(1) 设每件订价为t 元，依题意，有8－t－ 25× 0.2 t≥ 25× 8，1整理得 t2－ 65t＋ 1000 ≤0，解得 25≤ t≤ 40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件订价最多为40 元．(2) 依题意， x＞ 25 时，121不等式 ax≥25× 8＋ 50＋6(x － 600)＋5x 有解，15011等价于 x＞ 25 时， a≥x＋6x＋5有解，∵1501x≥ 2150 1x＋·x＝ 10(当且仅当 x＝ 30 时，等号建立 )，6x 6∴a≥ 10.2，∴当该商品明年的销售量 a 起码应达到10.2 万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件订价为30 元．。

高考数学精品复习资料2019.5江苏省高考数学复习知识点按难度与题型归纳（数学应试笔记）第I 卷 160分部分一、填空题答卷提醒：重视填空题的解法与得分，尽可能减少失误，这是取得好成绩的基石!A 、1～4题，基础送分题，做到不失一题！ A1.集合性质与运算 1、性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆； ②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ；③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B ．如果C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，．【注意】：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集．（×） ③ 空集的补集是全集．④若集合A =集合B ，则C B A = ∅， C A B = ∅ C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ∅）．2、若Ａ={123,,n a a a a }，则Ａ的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空真子集有22n -个.3、A B C A B A C A B C A B A C ==（）（）（）,（）（）（）；A B C A B C A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂=（）（）,（）（） 4、 De Morgan 公式:()U U U C AB C AC B =；()U U U C AB C AC B =.【提醒】：数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具.在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

A2.命题的否定与否命题*1.命题p q ⇒的否定与它的否命题的区别：命题p q ⇒的否定是p q ⇒⌝,否命题是p q ⌝⇒⌝.命题“p 或q ”的否定是“p ⌝且q ⌝”,“p 且q ”的否定是“p ⌝或q ⌝”. *2.常考模式：全称命题p ：,()x M p x ∀∈；全称命题p 的否定⌝p ：,()x M p x ∃∈⌝. 特称命题p ：,()x M p x ∃∈；特称命题p 的否定⌝p ：,()x M p x ∀∈⌝. A3.复数运算*1.运算律：⑴m n m n z z z +⋅=； ⑵()m n mn z z =； ⑶1212()(,)m m m z z z z m n N ⋅=∈.【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围. *2.模的性质：⑴1212||||||z z z z =； ⑵1122||||||z z z z =； ⑶n nz z =. *3.重要结论：⑴2222121212||||2||||()z z z z z z -++=+；⑵2212z z z z ⋅==； ⑶()212i i ±=±； ⑷11i i i -=-+，11ii i +=-； ⑸i 性质：T=4；1 , ,1,4342414=-=-==+++n n n n i i i i i i.1x【拓展】：()()3211101ωωωωω=⇔-++=⇔=或122ω=-±.A4.幂函数的的性质及图像变化规律：(1)所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图像都过点(1,1)；(2)0a >时，幂函数的图像通过原点，并且在区间[0,)+∞上是增函数．特别地，当1a >时，幂函数的图像下凸；当01a <<时，幂函数的图像上凸； (3)0a <时，幂函数的图像在区间(0,)+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图像在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图像在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 【说明】：对于幂函数我们只要求掌握111,2,3,,23a =的这5类，它们的图像都经过一个定点(0,0)和(0,1)，并且1-=x 时图像都经过(1,1)，把握好幂函数在第一象限内的图像就可以了. A5.统计1.抽样方法：(1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取. (2)分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异.共同点：每个个体被抽到的概率都相等（nN）. 2.总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率.总体估计掌握：一“表”(频率分布表)；两“图”(频率分布直方图和茎叶图). ⑴频率分布直方图用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。

一、不等关系1．两个实数大小的比较（1）作差法：设a ，b ∈R ，则0a b a b >⇔->，a <b ⇔a −b <0． （2）作商法：设a >0，b >0，则a >b ⇔1a b >，a <b ⇔1ab<． 2．不等式的性质（1）实数的大小顺序与运算性质的关系 ①a >b ⇔0a b ->； ②0a b a b =⇔-=； ③a <b ⇔0a b -<． （2）不等式的性质①对称性：a b b a >⇔<；(双向性) ②传递性：a >b ，b >c ⇒a c >；(单向性) ③可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；(双向性) ④a >b ，c >d ⇒a c b d +>+；(单向性)⑤可乘性：,0a b c ac bc >>⇒>；(单向性)a >b ，c <0⇒ac <bc ；(单向性) ⑥a >b >0，c >d >0⇒ac bd >；(单向性)⑦乘方法则：()0,1nna b a b n n >>⇒>∈≥N ；(单向性)⑧开方法则：a >b >0>n ∈N ，n ≥2)．(单向性)注意：（1）应用传递性时，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无法传递． （2）可乘性中，要特别注意“乘数c ”的符号．【必记结论】（1）a >b ，ab >0⇒11a b <；（2）a <0<b ⇒11a b <；（3）a >b >0，0<c <d ⇒a b c d >； （4）0<a <x <b 或a <x <b <0⇒111b x a<<；（5）若a >b >0，m >0，则b b m a a m +<+；b b m a a m ->-(b −m >0)；a a m b b m +>+；a a mb b m-<-(b −m >0)．二、三个“二次”之间的关系三、一元二次不等式 1．一元二次不等式的解法由一元二次不等式与相应的方程、函数之间的关系可知，求一元二次不等式的解集的步骤如下： （1）变形：将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式， 即20(0)ax bx c a ++>>或20(0)ax bx c a ++<>；（2）计算：求出相应的一元二次方程（20(0)ax bx c a ++=>）的根， 有三种情况：0,0∆,∆∆=0<>；（3）画图：画出对应二次函数的图象的草图；（4）求解：利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2．一元二次不等式恒成立问题（1）20(0)ax bx c a ++>≠恒成立的充要条件是：0a >且240()b ac x -<∈R ． （2）20(0)ax bx c a ++≥≠恒成立的充要条件是：0a >且240()b ac x -≤∈R ．（3）20(0)ax bx c a ++<≠恒成立的充要条件是：0a <且240()b ac x -<∈R ． （4）20(0)ax bx c a ++≤≠恒成立的充要条件是：0a <且240()b ac x -≤∈R ．（5）20ax bx c ++>恒成立的充要条件是：0a b ==且0c >或0a >且240()b ac x -<∈R ． （6）20ax bx c ++<恒成立的充要条件是：0a b ==且0c <或0a <且240()b ac x -<∈R ． 3．解决含参不等式恒成立问题的关键是转化与化归思想的运用，从解题策略的角度看，一般而言，针对不等式的表现形式，有如下四种策略：（1）变换主元，转化为一次函数问题．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．参数和未知数是相互牵制、相互依赖的关系，有时候变换主元，可以起到事半功倍的效果． （2）联系不等式、函数、方程，转化为方程根的分布问题．（3）对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．即若()f x 在定义域内存在最大值m ，则()f x a <(或()f x a ≤)恒成立⇔a m >(或a m ≥); 若()f x 在定义域内存在最小值m ，则()f x a >(或()f x a ≥)恒成立⇔a m <(或a m ≤);若()f x 在其定义域内不存在最值，只需找到()f x 在定义域内的最大上界(或最小下界)m ，即()f x 在定义域内增大(或减小)时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况下的m ，只是等号均可以取到．（4）转化为两个函数图象之间的关系，数形结合求参数．在不等式恒成立问题的处理中，若能画出不等式两边相应的函数图象，恒成立的代数问题立即变得直观化，等价的数量关系式随之获得，数形结合可使求解过程简单、快捷． 四、简单的线性规划问题1．确定二元一次不等式(组)表示平面区域的方法（1）对于直线0Ax By C ++=同一侧的所有点(x ，y )，使得Ax By C ++的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，如果其坐标满足0Ax By C ++>，则位于另一个半平面内的点，其坐标满足0Ax By C ++<．（2）可在直线0Ax By C ++=的同一侧任取一点，一般取特殊点(x 0，y 0)，从00Ax By C ++的符号就可以判断0Ax By C ++>(或0Ax By C ++<)所表示的区域．（3）由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分． （4）点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)位于直线0Ax By C ++=的两侧的充要条件是1122()(Ax By C Ax By +++)0C +<；位于直线0Ax By C ++=同侧的充要条件是1122()()0Ax By C Ax By C ++++>．2．简单线性规划问题的解法在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”，即：（1）画：在平面直角坐标系中，画出可行域和直线0ax by +=(目标函数为z ax by =+)； （2）移：平行移动直线0ax by +=，确定使z ax by =+取得最大值或最小值的点； （3）求：求出使z 取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z 的最大值或最小值； （4）答：给出正确答案． 3．非线性目标函数类型①对形如22()()z x a y b =-+-型的目标函数均可化为可行域内的点(x ，y )与点(a ，b )间距离的平方的最值问题．②对形如(0)ay b z ac cx d+=≠+型的目标函数，可先变形为()()by a a z d c x c--=⋅--的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )与点(,)d b c a --连线的斜率的ac倍的取值范围、最值等．③对形如||z Ax By C =++型的目标函数，可先变形为z =化为求可行域内的点(x ，y )到直线0Ax By C =++倍的最值．五、基本不等式12a b+≤，成立的条件：0,0a b >>；等号成立的条件：当且仅当a b =． 2．利用基本不等式求最值问题①如果积xy 是定值P ，那么当且仅当x y =时，x ＋y有最小值是．(简记：积定和最小)②如果和x ＋y 是定值P ，那么当且仅当x y =时，xy 有最大值是24P ．(简记：和定积最大)3．常用结论（1）222(,)a b ab a b +≥∈R（2）2(,)b aa b a b+≥同号 （3）2()(,)2a b ab a b +≤∈R（4）222()(,)22a b a b a b ++≤∈R（5）2222()()(,)a b a b a b +≥+∈R（6）222()(,)24a b a b ab a b ++≥≥∈R（72(0,0)112a b a b a b+≥≥≥>>+1．“0a b >>”是“ab <222a b +”的________________条件．2．函数1(0)4y x x x=+>取得最小值时，x 的值为________________． 3．函数y的定义域是________________．4．已知全集U =]4,5(-，集合{}{}2|ln(3),|230A x U y xB x x x =∈=-=--≤，则()U A B =ð________________．5．若实数满足14a b+=，则的最小值为________________． 6．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________________． 7．已知的大小关系为________________．8．函数()()2log 23(0,1)f x x x a a =-->≠的定义域为________________．9．若关于的不等式2260ax x a +-<的解集是(1，)，则=________________． 10．已知实数满足：，，则的最小值是________________．11．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为___________． 12．已知，则m 、n 、p 的大小关系为________________．13．不等式261x x x +--≤0的解集为________________．14．若关于的不等式22280x ax a --<的解集为，且，则________________．15．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为________________． 16．在平面直角坐标系中，不等式组()()11013x y x y x ⎧--+-≥⎨-≤≤⎩表示的平面区域的面积为________________．17．若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则z =x+2y 的取值范围是________________．18．已知实数x ，y 满足条件11350x y x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩，则|3x -4y -13|的最小值为________________．19．设实数x ，y 满足约束条件3602000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数z =ax+by (a >0，b >0)的最大值为10，则a 2+b 2+2a的最小值为________________．20．若函数()log 1a y x =+（0a >且1a ≠）的图象经过不等式组122020x x y x y ≥-⎧⎪-+≤⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域，则a的取值范围是________________．（1）利用作差法比较大小时，只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式的积的形式．在用介值法比较时，中介值一般是通过放缩变形，得到一个中间的参照式（或数），其放缩的手段可能是基本不等式、三角函数的有界性等．（2）在使用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的前提条件，特别是不等式两端同时乘以或同时除以一个数、两个不等式相乘、一个不等式两端同时求n 次方时，一定要注意其成立的前提条件，如果忽视前提条件就可能出现错误．（3）在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：①关于不等式类型的讨论：若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，以确定不等式是一次不等式还是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； ②关于不等式对应的方程的根的讨论：两根(∆>0)，一根(∆=0)，无根(∆<0)； ③关于不等式对应的方程根的大小的讨论：121212,,x x x x x x >=<．（4）若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．若一元二次不等式的解集为R 或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定对应一元二次方程的判别式的符号，进而求出参数的取值范围．（5）对于线性目标函数的最值问题，求解时需要注意以下几点：①在可行解中，只有一组(x ，y )使目标函数取得最值时，最优解只有1个．如边界为实线的可行域，当目标函数对应的直线不与边界平行时，会在某个顶点处取得最值．②同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个．如边界为实线的可行域，目标函数对应的直线与某一边界线平行时，会有多个最优解．③可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解． （6）对于非线性目标函数的最值问题，斜率问题是线性规划延伸变化的一类重要问题，其本质仍然是二元函数的最值问题，不过是用模型形态呈现的．因此有必要总结常见模型或其变形形式．距离问题常涉及点到直线的距离和两点间的距离，熟悉这些模型有助于更好地求解非线性目标函数的最值． （7）在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致．若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解．利用基本不等式判断不等关系及比较大小的思路：基本不等式常用于有条件的不等关系的判断、比较代数式的大小等．一般地，结合所给代数式的特征，将所给条件进行转换(利用基本不等式可将整式和根式相互转化)，使其中的不等关系明晰即可解决问题．（8）对于函数最值的实际问题：①根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． ②设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． ③解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．④在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的问题背景，通过相关的关系建立关系式．在解题过程中尽量向模型0,0,0)bax a b x x+≥>>>上靠拢．1．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =________________．2．不等式3112x x-≥-的解集是________________． 3．设函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()()1f x f >的解集是________________．4．若关于的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集，则实数的取值范围是________________．5．已知0,0a b >>，则11a b++的最小值是________________． 6．已知第一象限的点(,)a b 在直线2310x y +-=上，则23a b+的最小值为________________．7．已知0,0a b >>，如果不等式212ma b a b+≥+恒成立，那么m 的最大值等于________________．8．在区间[]2,4-上随机地取一个数x ，使2211a x a +≥+恒成立的概率是________________． 9．关于实数x ，y 的不等式组4220x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域记为M ，不等式(x ﹣4)2+(y ﹣3)2≤1所表示的区域记为N ，若在M 内随机取一点，则该点取自N 的概率为________________．10．已知实数,x y满足240,2330,3300,x yx yx y--≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩则2log()z x y=+的最大值为________________．11．已知实数x，y满足2040250x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则S =的取值范围是________________．12．已知实数,x y满足240220330x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则22x y+的取值范围是________________．13．已知正数满足20350x yx y-≤⎧⎨-+≥⎩，则14()2x yz-=⋅的最小值为________________．14．某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：（1）仓库底面积S的取值范围是多少？（2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？1．【答案】充分不必要2．【答案】12【解析】0,x x >∴14x x =时取等号，此时12x =． 3．【答案】[3,1]-【解析】要使函数式有意义，必有2320x x --≥，即2230x x +-≤，解得31x -≤≤．故函数y [3,1]-． 4．【答案】)1,5(--【解析】由题知，)3,5(-=A ，]3,1[-=B ，∴U B ð=(5,1)(3,4]--，∴()U A B =ð)1,5(--．5．【答案】4【解析】因为14a b+=，所以．所以14a b +≥=≥，所以．当且仅当14a b ==,时取等号，故的最小值为4．6．【答案】30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 7．【答案】【解析】由题可得，111111()b b b a a b b a b m a a a n b b b b-----+--===⋅． 因为，所以111,()1b a b a b b -->>，所以11()1b a b ab b--⋅>，所以，即．8．【答案】{或}9．【答案】2 【解析】的解集是(1，)，∴，是相应方程的两根，解得．10．【答案】-2【解析】由题意得()333222x y -≤+≤，()111222x y -≤-≤．而=+，所以313122222x y --≤+≤+， 即，故的最小值是-2．11．【答案】1【解析】由题意得，22111434433xy xy x y z x xy y y x==≤=-+-+-，当且仅当2x y =时等号成立， 此时22z y =，22212121(1)11x y z y y y +-=-+=--+≤，当且仅当1y =时等号成立， 故所求的最大值为1． 12．【答案】npm【解析】因为，所以0.10.10.10.20.220.110.1m p -==⨯>，所以>0，所以n p m ．13．【答案】(-∞，-3]∪(1，2]【解析】由261x x x +--≤0得()()()132010x x x x ⎧-+-≤⎨-≠⎩，解得3x ≤-或12x <≤，故不等式的解集为(-∞，-3]∪(1，2]．14．【答案】52±15．【答案】b a c <<【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以当0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<．16．【答案】8【解析】作出不等式组()()11013x y x y x ⎧--+-≥⎨-≤≤⎩所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，该平面区域是两个全等的等腰直角三角形，所以平面区域的面积为S = 17．【答案】[4，+∞)18．【答案】10【解析】方法1：设z=3x-4y，作出约束条件11350xy xx y≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩表示的可行域，如图中阴影部分所示，19．【答案】3613方法2：由题意知，不等式组3602000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩所表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为a >0，b >0，所以由可行域得当目标函数过点(4，6)时，z 取得最大值，所以4a+6b =10，a =532b-，所以a 2+b 2+2a =(532b -)2+b 2+5-3b =-b+，当b =时，a 2+b 2+2a 取得最小值．1．【答案】3(,3)2【解析】因为23{|430}={|13},={|},2A x x x x x B x x =+<<<>-所以3={|13}{|}2A B x x x x <<> 3={|3}2x x <<．2．【答案】3{|2}4x x ≤<【解析】不等式3112x x -≥-移项得31102x x--≥-，即3402x x -≤-， 可化为30420x x ⎧-≥⎪⎨⎪-<⎩或30420x x ⎧-≤⎪⎨⎪->⎩，解得324x ≤<，则原不等式的解集为3{|2}4x x ≤<． 3．【答案】()()3,13,-+∞【解析】(1)=3，不等式()()1f x f >即＞3．如果0x <，可得； 如果．综上，所求不等式的解集为()()3,13,-+∞．4．【答案】(－∞，－6]∪[2，＋∞) 【解析】因为关于的不等式的解集不是空集，所以()2430a a ∆=--≥，解得或，所以实数的取值范围是(][,6,)2-∞-+∞．5．【答案】4 【解析】由可知，，当且仅当，即时等号成立，又，当且仅当，即，，即时等号成立．6．【答案】257．【答案】9 【解析】不等式212m a b a b +≥+恒成立，即不等式21(2)()m a b a b≤++恒成立，而2122(2)()559,a b a b a b b a ++=++≥+=当且仅当22a b b a =，即a b =时取等号，所以9m ≤，即m 的最大值等于9．8．【答案】13【解析】由2211a x a +≥+恒成立，得2211y a a =++， 则()221112111y a a =++-≥-=+，当且仅当2211a a =++，即0a =时，等号成立， 所以问题转化为1x ≤，即11x -≤≤，所以在区间[]2,4-上随机地取一个数x 时，使2211a x a +≥+恒成立的概率是()()111423P --==--．9．【答案】π16【解析】关于实数x ，y 的不等式组4220x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域记为M ，面积为，不等式(x ﹣4)2+(y ﹣3)2≤1所表示的区域记为N ，且满足不等式组4220x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，则面积为π2，故在M 内随机取一点，则该点取自N 的概率为π286π1=．10．【答案】411．【答案】[45，4] 【解析】作出2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域，如图中阴影部分所示．易知目标函数S =1112212122()2x y x y x x -+++==--+·，它表示可行域内的点与Q (，-)连线的斜率的一半再加上12，易得A (1，3)、B (3，1)，所以直线QA 的斜率k QA =7，直线QB 的斜率k QB =35， 数形结合可知，12+12k QB ≤S ≤12+12k QA ，所以S =的取值范围是[45，4]．12．【答案】4[,13]5【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或值域． 13．【答案】116【解析】因为2114()()22xy x y z -+=⋅=，所以设，即，则2231a b a b +=⎧⎨+=-⎩，解得7545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即()()7422355x y x y x y +=---，因为20350x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩()()()74422354555x y x y x y +=---≤-⨯-=，即211()216x y +≥，即14()2x y z -=⋅的最小值为116．14．【答案】（1）(]0,100；（2）当S 取到最大允许值100m 2时，正面铁栅长为15m ．个人总结________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________。