求离心率取值范围方法总结与典型例题

精品文档求离心率的取值范围椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率。

求椭圆与双曲线离心率的范围是圆锥曲线这一章的重点题型。

求离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式。

下面从几个方面浅谈如何确定椭圆、双曲线离心率e的范围。

一、利用曲线的范围，建立不等关系例1．设椭圆的左右焦点分别为、，如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。

例2．已知椭圆22221(0)x ya ba b右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。

二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系例1．已知12、F F是椭圆的两个焦点，满足的点P总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．(0,1)Ｂ．1(0,]2Ｃ．2(0,)2Ｄ．2[,1)2例2．直线L过双曲线的右焦点，斜率k=2。

若L与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，求双曲线离心率的取值范围。

例3. 已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点。

若△ABF2是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值范围。

例4.设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )．A．2323，B．2323，C．233，D．233，例5.过双曲线的左焦点1F且与双曲线的实轴垂直的直线交双曲线于A、B两点，若在双曲线的虚轴所在直线上存在一点C，使得090ACB，双曲线的离心率e的取值范围为_______________精品文档三、利用曲线的定义和焦半径范围，建立不等关系例1．已知双曲线的左右焦点分别为、，点P 在双曲线的右支上，且，求此双曲线的离心率e 的取值范围。

离心率的求值或取值范围问题【方法技巧】方法1 定义法解题模板：第一步 根据题目条件求出,a c 的值 第二步 代入公式ce a=，求出离心率e . 方法2 方程法解题模板：第一步 设出相关未知量；第二步 根据题目条件列出关于,,a b c 的方程； 第三步 化简，求解方程，得到离心率.方法3 借助平面几何图形中的不等关系解题模板：第一步 根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，第二步 将这些量结合曲线的几何性质用,,a b c 进行表示，进而得到不等式， 第三步 解不等式，确定离心率的范围.方法4 借助题目中给出的不等信息解题模板：第一步 找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，∆的范围等；第二步 列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.方法5 借助函数的值域求解范围解题模板：第一步 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；第二步 通过确定函数的定义域；第三步 利用函数求值域的方法求解离心率的范围.【应用举例】【例题1】若椭圆经过原点，且焦点分别为12(0,1),(0,3)F F ，则其离心率为（ ）A ．34 B ．23 C ．12 D ．14【答案】C 【解析】试题分析：根据椭圆定义，原点到两焦距之和为2a=1＋2，焦距为2c=2，所以离心率为12. 考点：椭圆的定义. 【难度】较易【例题2】点P （-3，1,过点P 且方向为a =（2，-5）的光线经直线y=－2反射后通过椭圆的左焦点，则此椭圆离心率为（ ）【答案】A 【解析】试题分析：因为给定点P （-3，1根据光线的方向为a =（2，-5）y=-2与入射光线的斜率互为相反数可知焦点的坐标为（1，0），因此可知 A 考点：本试题考查了椭圆性质的知识点。

点评：解决该试题的关键是利用椭圆的反射原理得到直线斜率的特点，结合平面反射光线与入射光线的斜率互为相反数，得到c 的值，同时得到a,b,c 的关系式，进而得到结论，属于基础题。

高考离心率的常用解法及配套习题与答案前言：椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。

例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线方程是23=x ，则该双曲线的离心率为（ ）A. 23B. 23C. 26D. 332解：双曲线右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D 变式练习1.1：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 26 C. 23D 2 二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

例2：已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A. 324+B.13- C.213+ D. 13+ 解：如图，设1MF 的中点为P ，则P 的横坐标为2c-，由焦半径公式a ex PF p --=1，即a c a c c -⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=2，得0222=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a c a c ，解得31+==ace （31-舍去），故选D变式练习2.1：设双曲线12222=-by a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D.332 变式练习2.2：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（ ）A3 B26 C 36D 33三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。

1、已知椭圆 C：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为√3/3，过点 A(0,b) 和 B(a,0) 的直线与直线 x = -a 交于点 M，且 |MA| = 2|MB|。

(1) 求 a，b 的值；(2) 设 P 为椭圆 C 上一点，E、F 分别为线段 OP 的中点，以EF 为直径的圆在点 P 处切于点 T，求向量 PT 与向量 PE 的夹角的余弦值。

(1) 设点 M 的坐标为 $(-a, y_0)$。

由 $|MA| = 2|MB|$，得 $\sqrt{(-a - 0)^2 + (y_0 - b)^2} = 2\sqrt{(-a - a)^2 + (y_0 - 0)^2}$。

化简得 $a^2 + (y_0 - b)^2 = 4(a^2 + y_0^2)$。

又因为 $e = \frac{\sqrt{3}}{3}$，得 $e^2 = \frac{c^2}{a^2} = \frac{a^2 - b^2}{a^2} = \frac{1}{3}$。

解得 $a = \sqrt{3}, b = \sqrt{2}$。

(2) 由(1) 得椭圆 C 的方程为$\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2} = 1$。

设点P 的坐标为$(x_0, y_0)$，则由$\frac{x_0^2}{3} + \frac{y_0^2}{2} = 1$，得 $y_0^2 = 1 - \frac{2}{3}x_0^2$。

设点 E、F、T 的坐标分别为 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$，则 $x_1 = \frac{x_0}{2}, y_1 = \frac{y_0}{2}$，从而$x_2 = x_1 - \frac{y_1}{x_1}, y_2 = -y_1$。

因此 $x_3 = x_2 - \frac{y_2}{x_2}, y_3 = -y_2$。

F 2P F 1xy OF 2PF 1xy OF 2PF 1xyOQF 2PF 1xyO高中数学 高考数学离心率题型总结 求解含直角三角形的椭圆离心率二．典例剖析：例.若椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 短轴端点为P 满足21PF PF ^，求椭圆离心率。

圆离心率。

分析：利用椭圆半焦距、短半轴长的相等关系即2OF OP =，得到 2221222222=Þ=Þ=+=e e c c b a 的结论。

的结论。

变 式1.在椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 上有一点P （除短轴端点外），若21PF PF ^，求椭圆离心率取值范围。

，求椭圆离心率取值范围。

分析：点P 在椭圆上Þ b OP >；点P 在以O 为圆心，OP 为半径的圆上Þc OF OF OP ===21,所以得到c>b ，进而得到÷÷øöççèæÎÞ>Þ<+=1,2221222222e e c c b a 的结论。

变 式2. 满足21PF PF ^的所有点P 都在椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 内，求椭圆离心率取值范围。

内，求椭圆离心率取值范围。

分析：满足21PF PF ^的所有点P 都在椭圆内Þ以O 为圆心，OP 为半径的圆都在椭圆内Þb c <，进而得到÷÷øöççèæÎÞ<Þ>+=22,021222222e e c c b a 的结论。

的结论。

变 式3.过椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 右焦点2F 的直线交椭圆于QP 、两点且满足PQPF ^1，若135sin 1=ÐQP F ，求该椭圆离心率。

椭圆、双曲线离心率的三种求法椭圆的离心率 0 e 1 ，双曲线的离心率 e 1 ，抛物线的离心率e 1 ．一、直接求出 a,c ，求解 e.已知圆锥曲线的标准方程或a ，c 易求时，可利用率心率公式ec来解决 .x2y2a→→例 1：已知 F 1(－ 1，0)，F 2(1 ，0)是椭圆 a 2＋ b 2＝ 1 的两个焦点，若椭圆上一点 P 满足 |PF 1|＋ |PF 2|＝ 4，则椭圆的离心率 e ＝ ________．12变式练习 1：若椭圆经过原点，且焦点为F 1 1,0 ， F 2 3,0 ，则其离心率为（ ） CA ．3B. 2C.1D.14324变式练习 2：如果双曲线的实半轴长为 2，焦距为 6，那么双曲线的离心率为（） CA.3B.6C.3D.22 22二、构造 a,c 的齐次式，解出 e.根据题设条件，借助 a ,b ,c 之间的关系，构造 a ,c 的关系式（特别是齐次式），进而得到关于e 的方程，从而解得离心率 e.x 2 y 2例 2： (2012 ·江西 )椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0)的左，右顶点分别是 A ，B ，左，右焦点分别是F 1， F 2，若 |AF 1|，5 |F 1F 2|， |F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________． 522变式练习 1：已知 F 1， F 2 是双曲线x2y 2 1( a 0,b 0 )的两焦点，以线段F 1 F 2 为边作正三角形 MF 1 F 2 ，ab若边 MF 1 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（） DA.423B.31C.31D.3 12变式练习 2：若双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为 FF， F MF21200，则双曲线的离心率为()B1， 2 1A.366D.3B.C.32322变式练习 3：设双曲线x2y 2 1( b a0 )的半焦距为 c ，直线 l 过 a,0, 0,b 两点 .已知原点到直线的距ab离为3 c ，则双曲线的离心率为 ( ) A4A. 2B. 3C. 223D. 3三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例 3：设椭圆的两个焦点分别为F 1， F 2 ，过 F 2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△ F 1PF 2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ________. 21【跟踪训练】1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2 倍，则椭圆的离心率等于（） DA ．13C ．1D ．3B ．33222242．已知双曲线x y1的一条渐近线方程为 y x ，则双曲线的离心率为（ ）Aa 2b 23 54 C.5 3A. B. 4 D.3 3 2x 2 y 2 1 ( a 0,b 0 )的两个焦点， A 和 B 是以 O3．如图， F 1 和 F 2 分别是双曲线b 2 a 2y为圆心，以 OF 1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△ F 2 AB 是等边三A角形，则双曲线的离心率为（ ）D F 1O F 2 xBA. 3B. 5C.5D.3 124．设 F 1 ，F 2 分别是双曲线x 2 y 2 1 的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使 F 1 AF 290 0 ，且 AF 13AF 2 ，22a b 则双曲线离心率为（） B5B.10C.15D. 5A.222225．已知双曲线 xy 1( a 0,b0 )的右焦点为 F ，若过点 F 且倾斜角为600 的直线与双曲线的右支有且a 2b 2只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） CA. 1,2B. 1,2C. 2,D. 2,x 2y 21(a b 0) 的左顶点为 A ，左焦点为 F ，上顶点为 B ，若∠ BAO+∠ BFO=90 °，则6．已知椭圆 C : 22ab椭圆 C 的离心率是.5 12【走进高考】1． (2013 浙·江理 )如图 , F 1 , F 2 是椭圆 C 1 :x 2y 21与双曲线 C 2 的公共y4焦点,A,B分别是 C 1, C 2 在第二、四象限的公共点. 若四边形AAF 1 BF 2 为矩形 , 则 C 2 的离心率是 ( )D F 1OF 2xA. 2B . 3B（第 1 题图）C.3D . 6222.(2013 湖·南理 )设 F 1, F 2 是双曲线 C : x 2y 2 1(a 0,b0) 的两个焦点， P 是 C 上一点 ,若 PF 1PF 2 6a,a 2b 2且△ PF 1F 2 的最小内角为 30 , 则 C 的离心率为. 33.(2013 福·建理 )椭圆x 2y 21(a b 0) 的左、右焦点分别为F 1, F 2 ,焦距为2c,若直线 y3( xc) 与椭:22a b圆的一个交点 M 满足MF 1 F 2 2 MF 2 F 1 , 则该椭圆的离心率等于__________. 3 1x 2y 24.(2013 辽·宁理 ) 已知椭圆 C : a 2b 21(a b0) 的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B 两点 ,连接AF, BF, 若 AB10 , AF6 , cos ABF4 , 则 C 的离心率 e=______. 5575. (2014 江·西理 )过点 M (1,1) 作斜率为1的直线与椭圆 C ： x 2y 21(a b0) 相交于 A, B ，若 M 是线段2 a 2 b 2AB 的中点，则椭圆C 的离心率为.226. (2014 浙·江理 )设直线 x 3 ym0(m 0)x 2 y 21（ a b0 ）两条渐近线分别交于点与双曲线b 2a 2A, B ，若点 P( m,0) 满足 PAPB , 则该双曲线的离心率是5__________.27. (2014 重·庆理 )设 F 1， F 2 分别为双曲线x 2y 21(a 0,b 0) 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得a 2b2| PF 1 | |PF 2 | 3b, | PF 1 | | PF 2 9）B|ab ，则该双曲线的离心率为（4A.4B. 5C.9D.33348.(2015 新课标 II 理 )已知 A ， B 为双曲线 E 的左，右顶点，点M 在 E 上，△ ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为 () DA. 5B.2C. 3D. 2x 2y 2 1的一个焦点，若C 上存在点 P ，使线段 PF 的中点恰为其虚9.(2015 湖南理 )设 F 是双曲线 C ：2b 2a轴的一个端点，则C 的离心率为. 5C 1：x2210.(2015 山东理 )平面直角坐标系xOy 中，双曲线 2y 2 1 a 0,b 0 的渐近线与抛物线C 2：abx 22 py p 0 交于点 O ， A ， B ，若△ OAB 的垂心为 C 2 的焦点，则 C 1 的离心率为. 322211.(2016 浙江理 )已知椭圆 C 1 ： x2 +y 2=1(m>1) 与双曲线 C 2： x2 –y 2=1( n>0) 的焦点重合， e 1，e 2 分别为 C 1，mn C 2 的离心率，则（ ） AA ．m>n 且 e 1e 2>1B ． m>n 且 e 1e 2<1C ． m<n 且 e 1 e 2>1D ． m<n 且 e 1e 2<112.(2016 新课标Ⅲ文理 )已知 O 为坐标原点，x 2y 21(a b0) 的左焦点，分别为 C 的F是椭圆C ：a 2b 2A, B左，右顶点 . P 为 C 上一点，且 PFx 轴 .过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E .若直A ．1B.1C.2D.3 323413.（ 2016 新课标Ⅱ理）已知F1, F2是双曲线 E : x222y2 1 的左，右焦点，点M 在 E 上，MF1与 x 轴垂直，a bsin MF2 F11,则 E 的离心率为（） A 3（A）2（B）3（C）3（D）2 22–y214.（ 2016 山东文理）已知双曲线E：x22 =1 （ a>0 ， b>0）．矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上， AB， CDa b的中点为 E 的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是 _______． 2xOy F x2y2yb15.(2016 江苏 )如图，在平面直角坐标系中，是椭圆a 2b2 1(a＞b＞0) 的右焦点，直线 2 与椭圆交于 B,C 两点，且BFC90 ,则该椭圆的离心率是6 .316.(2017 新课标Ⅰ理15)已知双曲线 C：x2y21（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作a2b2圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于M、 N 两点 .若∠ MAN =60°，则 C 的离心率为 ________.2 3317.(2017 北京文 10)若双曲线x2y21的离心率为3，则实数 m=__________ ． 2m18.(2017新课标Ⅱ理9)若双曲线C:221(a0 b0)的一条渐近线被圆x2y2 4 所截得x2y2，2a b的弦长为 2，则C的离心率为（） AA ．2B．3C．2 D ．23319.(2017 新课标Ⅲ文11)已知椭圆 C：x2y21， ( a>b>0) 的左、右顶点分别为A1， A2，且以线段 A1A2 a2b2为直径的圆与直线bx ay2ab0 相切，则C的离心率为（） AA ．6B ．321 33C．D．3320.(201814)x 2 y 2x 2y 2N北京理 已知椭圆M ：a 2b 21(a b0)，双曲线N ：m 2n 2 1 ．若双曲线 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________ ；双曲线 N 的离心率为 __________． 31221.(2018 江苏 8) 在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线x 2y 2 1(a0,b0)的右焦点 F (c,0) 到一条渐近线a 2b 2的距离为3 c ，则其离心率的值是． 2222.(2018 新课标Ⅱ理 12)已知 F 1， F 2 是椭圆 C:x 2y 2 1(a b 0) 的左、右焦点， A 是 C 的左顶点，点Pa 2b 2在过 A 且斜率为3的直线上，△ PF 1F 2 为等腰三角形，∠ F 1 2的离心率为 () D6F P=120 ，则 C21C ．11A.B ．3D ．32423.(2018 新课标Ⅲ理 11)设 F 1，F 2 是双曲线 C:x 2y 21(a 0,b 0) 的左，右焦点， O 是坐标原点．过 F 2a 2b 2作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若 PF 1 6 OP ，则 C 的离心率为 ( ) CA ． 5B ． 2C ． 3D ． 2椭圆、双曲线离心率的三种求法椭圆的离心率 0 e 1 ，双曲线的离心率 e 1 ，抛物线的离心率e 1 ．一、直接求出 a,c ，求解 e.已知圆锥曲线的标准方程或a ，c 易求时，可利用率心率公式ec来解决 .x2y2a→→例 1：已知 F 1(－ 1，0)，F 2(1 ，0)是椭圆 a 2＋ b 2＝ 1 的两个焦点，若椭圆上一点 P 满足 |PF 1|＋ |PF 2|＝ 4，则椭圆的离心率 e ＝ ________．【答案】12→→1【解析】由椭圆定义及 |PF 1|＋ |PF 2|＝ 4，得 2a ＝ 4， a ＝ 2， c ＝ 1，e ＝ .2变式练习 1：若椭圆经过原点，且焦点为F 1 1,0 ， F 2 3,0 ，则其离心率为（ ）A ．3B. 2C. 1D. 13424 【答案】 C【解析】由 F 1 1,0 ， F 2 3,0 知2c 3 1 ，∴ c1 ，又∵椭圆过原点，∴ a c 1 ， ac 3.∴ a2 ， c 1 c 1，所以离心率 e.故选 C.a2变式练习 2：如果双曲线的实半轴长为 2，焦距为 6，那么双曲线的离心率为（）A. 3B. 6C.3D.2222【答案】 C【解析】由题设a2 ， 2c 6 ，则 c3 ， e c3，因此选 C.a 2二、构造 a,c 的齐次式，解出 e.根据题设条件，借助 a ,b ,c 之间的关系，构造 a ,c 的关系式（特别是齐次式），进而得到关于 e 的方程，从而解得离心率 e.22例 2： (2012 ·江西 )椭圆 x2 y 2A ，B ，左，右焦点分别是， F ，若 |AF1|，a ＋b ＝ 1(a>b>0)的左，右顶点分别是F 12|F 1F 2|， |F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 ________． 【答案】55【解析】由椭圆的定义知，|AF 1|＝ a － c ， |F 1F 2 |＝ 2c ， |BF 1 |＝ a ＋ c.∵ |AF 1|， |F 1F 2|， |BF 1|成等比数列，因此4c 2＝( a －c) ·(a ＋ c)，整理得 5c 2＝ a 2，两边同除以 a 2得 5e 2＝ 1，解得 e ＝5.522变式练习 1：已知 F 1 ， F 2 是双曲线x2y2 1（ a0, b 0 ）的两焦点， 以线段 F 1F 2 为边作正三角形MF 1 F 2 ，ab若边 MF 1 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A.423B.31C.31D.312【答案】 D【解析】如图，设 MF 1 的中点为 P ，∵ F 1(-c,0 )，M (0, 3c ),∴ P(c 3cc 2 3c 22,2 ).代入双曲线方程，得 4a 2 4b 2 1 .∴ c 4 8a 2c 2 4a 4 0 ， e 4 8e 2 4 0 ， e 24 2 3 ，∴ e 1 3 .故选 D.变式练习 2：若双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为 F 1 ，F 2 ， F 1 MF 21200，则双曲线的离心率为 （）A. 3B. 6C. 6D.3323【答案】 B【解析】如图所示，不妨设 M 0,b ， F 1c,0 ， F 2 c,0 ，则 MF 1MF 2c 2 b 2 ，又 F 1 F 2 2c ，MF 1 2MF 222在 F 1MF 2 中， 由余弦定理，得 cosF 1 F 2,F 1MF 22 MF 1 MF 2222 22221cbcb4cc1 .即 2 c 2 b 2，∴ b2b 2c 22∵ b2c2a 2，∴2ca21，∴3a22c 2 ，∴ e 23 ，∴ e 6 ，故选 B.2 a 2222变式练习 3：设双曲线x 2y 2 1( b a0 )的半焦距为 c ，直线 l 过 a,0, 0,b 两点 .已知原点到直线的距a 2b 2离为3c ，则双曲线的离心率为 ()4A. 2B. 3C. 22 3D. 3【答案】 A【解析】由已知，直线l 的方程为 bx ayab0 ，由点到直线的距离公式，得ab 3 c .a 2b 24又 c 2 a 2 b 2 , ∴ 4ab 3c 2 ,两边平方，得 16a 2 c 2 a 23c 4 ，整理得 3e 416e 2 16 0 ，得 e 24或 e 24 .又 0 a b 2c 2 a 2 b 2 1 b 2 2 ，∴ e 2 4e 2，故选 A.3，∴ e a 2 a 2a 2，∴三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例 3：设椭圆的两个焦点分别为 F 1， F 2 ，过 F 2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△ F 1PF 2 为等腰直角三【答案】21c2c2c 2c 1 2 1 .【解析】 e2 2c 2ca 2a PF 1 PF 22 1【跟踪训练】1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2 倍，则椭圆的离心率等于（） A ． 13C ．1D ．3B ．2332答案： D解析： ∵椭圆的长轴长是短轴长的2 倍，∴ a=2b ，椭圆的离心率 c3 ，选 D.e2a224x ，则双曲线的离心率为（2．已知双曲线 xy 1的一条渐近线方程为y）a 2b 23A.5B.4C.5D.333 42答案： A解析： 双曲线焦点在 x 轴，由渐近线方程可得b 4，可得 ec 32425，故选 A.a3a33x2y21 ( a 0,b0 )的两个焦点， A 和 B 是以 O3．如图， F 1 和 F 2 分别是双曲线b 2a 2y为圆心，以 OF 1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△ F 2 AB 是等边三A角形，则双曲线的离心率为（ ）F 1O F 2 xBA.3B.55 D. 3 1C.2答案： D解析： 连接 AF 1，∵ F 2 AB 是等边三角形，∴∠ AF 2F 1=30°，∠ F 1AF 2=90°.∴ |AF 1|=c ， |AF 2|=3 c ，∴ 2a=( 3 - 1)c ，双曲线的离心率为 1+3 ，故选 D.4．设 F 1 ，F 2 分别是双曲线 x 2 y 21 的左、右焦点，若双曲线上存在点 A ，使 F 1 AF2 900 ，且 AF 13 AF 2 ，a 2b 2则双曲线离心率为（ ）A.5B. 10C. 15D. 5222答案： B解析：设 F ，F 分别是双曲线x 2 y 2 1的左、右焦点 .若双曲线上存在点 A ，使∠ F 1AF 2=90o ，且|AF 1|=3|AF 2 |， a 2 b 212设 |AF 2|=1， |AF 1|=3，在双曲线中 2a=|AF 1|- |AF 2 |=2， 2c= 22= 10 10AF 1AF 2 ,∴离心率 e=.25．已知双曲线x 2 y 2 1( a 0,b0 )的右焦点为 F ，若过点 F 且倾斜角为 600 的直线与双曲线的右支有且a 2b 2A. 1,2B. 1,2C. 2,D. 2,答案： C解析： 双曲线x 2y 2 1 ( a 0,b 0 )的右焦点为 F ，若过点 F 且倾斜角为60 0 的直线与双曲线的右支有且a 2b 2222只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b ，∴ b3 ，离心率 e 2= c2a2b ≥aaaa4，∴ e ≥ 2，故选 C.6．已知椭圆x 2 y 2的左顶点为 A ，左焦点为 F ，上顶点为 B ，若∠ BAO+∠ BFO=90 °，则C :a 2b 21(ab 0)椭圆 C 的离心率是 .答案：5 12解析： ∵∠ BAO+∠ BFO=90 °，∴ sin ∠ BAO =cos ∠ BFO ，∴b b 2c,∴ e23 5 ，e 235(舍去 ).a 2 a22∴ e5 1 .2【走进高考】1． (2013 浙·江理 )如图 , F 1 , F 2 是椭圆 C 1 :x 2y 21与双曲线 C 2 的公共y4焦点 , A, B 分别是 C 1, C 2 在第二、四象限的公共点. 若四边形AAF 1 BF 2 为矩形 , 则 C 2 的离心率是 ()F 1OF 2xA.2B . 3B（第 1 题图）C.3D . 6 22【答案】 D2.(2013 湖·南理 )设 F 1, F 2 是双曲线x 2 y 2的两个焦点， P 是 C 上一点 ,若 PF 1PF 26a,C : a 2 b 21(a 0,b0)且△ PF 1F 2 的最小内角为 30 , 则 C 的离心率为 .【答案】33.(2013 福·建理 )椭圆x 2y 21(ab 0) 的左、右焦点分别为F 1, F 2 ,焦距为 2c,若直线 y3( xc) 与椭:22a b圆的一个交点 M 满足MF 1 F 22 MF 2 F 1 , 则该椭圆的离心率等于 __________.【答案】3 14.(2013 辽·宁理 ) 已知椭圆 C :x 2y 21(a b 0) 的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B 两点 ,连接a 2b 2AF, BF, 若 AB10 , AF6 , cos ABF4, 则 C 的离心率 e=______.【答案】571x 225. (2014 江·西理 )过点 M (1,1) 作斜率为的直线与椭圆C ： y1(a b 0) 相交于 A, B ，若 M 是线段 2a 2b 2AB 的中点，则椭圆 C 的离心率为.6. (2014 浙·江理 )设直线 x 3 y m 0(m 0)x 2 y 2 1（ a b 0 ）两条渐近线分别交于点与双曲线b 2a 2A, B ，若点 P(m,0) 满足 PA PB , 则该双曲线的离心率是 __________.7. (2014 重·庆理 )设 F 1， F 2 分别为双曲线x 2 y 2 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得a 2b 21(a 0,b 0)| PF 1 | | PF 2 | 3b, | PF 1 | |PF 2 | 9ab ，则该双曲线的离心率为（）A.4B.5C.9D.33 3 48.(2015 新课标 II 理 )已知 A ， B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，△ ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为 ( )A. 5B.2C. 3D. 2【答案】 D9.(2015 湖南理 )设 F 是双曲线 C ：x 2y 2 1的一个焦点，若 C 上存在点 P ，使线段 PF 的中点恰为其虚a 2b 2轴的一个端点，则C 的离心率为.【答案】510.(2015 山东理 )平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2 y 2 1 a 0,b 0 的渐近线与抛物线 C 2：a2b2x 22 py p 0 交于点 O ， A ， B ，若△ OAB 的垂心为 C 2 的焦点，则 C 1 的离心率为.答案：32x2y21(a 0,b 0) 的渐近线为 解析：C 1:2b 2aC 2 : x22 py( p0) 的焦点 F (0, p) ，则 k AF2b 2 pb 2 pb 2 ), B(yx ，则 A( , 2 a a a 2pb 2pb 25c 2a 2 2 a ，即 , 2pb b a 2 4 a 2a2 pb 2pb 2, ) . a a 2a 2b 29 c 3a 2 ,ea .4211.(2016 浙江理 )已知椭圆 C 1： x 2+y 2=1(m>1) 与双曲线 C 2： x2 –y 2=1( n>0) 的焦点重合， e 1，e 2 分别为 C 1，m 2n 2C 2 的离心率，则（）A ． m>n 且 e 1e 2>1B ． m>n 且 e 1e 2<1C ． m<n 且 e 1e 2>1D ． m<n 且 e 1e 2<1【答案】 A考点： 1、椭圆的简单几何性质； 2、双曲线的简单几何性质．【易错点睛】 计算椭圆 C 1 的焦点时， 要注意 c 2 a 2b 2 ；计算双曲线 C 2 的焦点时，要注意c 2 a 2 b 2 ．否则很容易出现错误．2212.(2016 新课标Ⅲ文理 )已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C ：x2y2 1(a b 0) 的左焦点， A, B 分别为 C 的a b左，右顶点 . P 为 C 上一点，且 PF x 轴 .过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E .若直线 BM经过 OE 的中点，则 C 的离心率为（ ）A ．1B.1C.2D.33234【答案】 A考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（ 1）直接求得 a ,c 的值，进而求得e 的值；（ 2）建立 a,b, c 的齐次 等式，求得 b或转化为关于 e 的等式求解； (3) 通过特殊值或特殊位置，求出e ．a13.（ 2016 新课标Ⅱ理）已知x 2 y 2M 在E 上，与 x 轴垂直，F 1, F 2 是双曲线 E :a 2b 2 1 的左，右焦点，点MF 1sin MF 2F 11 ,则 E 的离心率为（ ）3（A ） 2（B ）3（C ） 3（D ）22【答案】 A考点：双曲线的性质 .离心率 .【名师点睛】区分双曲线中a ，b ，c 的关系与椭圆中 a ， b ，c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中 c 2＝a 2＋ b 2.双曲线的离心率 e ∈ (1，＋ ∞)，而椭圆的离心率 e ∈ (0， 1)．x 2 y 214.（ 2016 山东文理）已知双曲线 E ：–=1 （ a>0 ， b>0）．矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上， AB ， CDa 2b 2的中点为 E 的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是 _______．【答案】 2【解析】依题意，不妨设AB 6, AD 4 ，作出图象如下图所示 .则 2c 4,c 2;2a DF2DF1532,a 1, 故离心率c2 2 . a115.(2016 江苏 )如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆 x2y2的右焦点，直线yb 与椭a 2b21(a＞b＞0)2圆交于 B,C 两点，且BFC90,则该椭圆的离心率是.【答案】63考点：椭圆离心率【名师点睛】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出a, c ，这注重考查椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求 a,c的比值，这注重于列式，即需根据条件列出关于a,c 的一个齐次等量关系，通过解方程得到离心率的值.16.(2017 新课标Ⅰ理 15)已知双曲线 C：x2y2 1（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作a2b2圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于M、 N 两点 .若∠ MAN=60°，则 C 的离心率为 ________.【答案】2 33【考点】双曲线的简单性质.【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的 1 换成 0 即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是 b ；③双曲线的顶点到渐近线的距离是ab. c17.(2017 北京文 10)若双曲线x2y21的离心率为3，则实数 m=__________ ．m【答案】 29)若双曲线C:x2y2218.(2017 新课标Ⅱ理1（a 0，b0 ）的一条渐近线被圆x 2 4 所y2a2b2截得的弦长为2，则C的离心率为（）A ． 2B．3C．223 D．3【答案】 Ax2y2为直径的圆与直线bx ay 2ab 0 相切，则 C 的离心率为（）A ．63C ．213B ．3D ．33【答案】 A【解析】以线段A 1 A 2 为直径的圆是 x 2 y 2 a 2 ，直线 bx ay2ab 0 与圆相切，所以圆心到直线的距离d2aba ，整理为 a 23b 2 ，即 a 23 a2c22a23c 2 ，即 c 22 ， ec6，故选 A.a 2b 2a 23a32222x yxy20.(2018 北京理14)已知椭圆 M ：a 2b 2 1(ab0)，双曲线N ：m 2n 21 ．若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________ ；双曲线 N 的离心率为 __________．【答案】3 1 22221.(2018 江苏 8) 在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线xy1(a0,b 0) 的右焦点 F (c,0) 到一条渐近线a 2b 2的距离为3c ，则其离心率的值是．2【答案】 22222.(2018 新课标Ⅱ理12)已知 F 1， F 2 是椭圆 C:x2y 2 1(a b 0) 的左、右焦点， A 是 C 的左顶点，点 Pab在过 A 且斜率为3的直线上，△ PF 1F 2 为等腰三角形，∠ F 1F 2P= 120，则 C 的离心率为 ()6A.2B ．1C ．1D ．13 234【答案】 D2223.(2018 新课标Ⅲ理11)设 F 1，F 2 是双曲线 C:x2y 2 1(a 0,b 0) 的左，右焦点， O 是坐标原点．过 F 2ab作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P ．若PF 16 OP ，则 C 的离心率为 ()A ． 5B ． 2C ． 3D ． 2【答案】 C。

离心率求解经典例题离心率是描述椭圆形状的一个重要参数，它在物理学、天文学以及航天工程等领域中具有重要的应用。

本文将介绍离心率的定义、计算公式以及求解经典例题。

1. 离心率的定义在椭圆的基本参数中，离心率是用来描述椭圆形状的一个值。

离心率的定义是：离心率等于焦点间距离与长轴的比值。

假设椭圆的焦点间距离为2a，椭圆的长轴长度为2b，则离心率e的计算公式为：e = a / b离心率的值范围在0到1之间，当离心率为0时，表示椭圆为一个圆形；当离心率为1时，表示椭圆为一个抛物线；当离心率大于1时，表示椭圆为一个双曲线。

2. 离心率的计算在求解离心率时，需要已知椭圆的焦点间距离和长轴长度。

给定坐标系下的椭圆方程为：x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1，其中a为椭圆长轴的一半长度，b为椭圆短轴的一半长度。

可以通过知道椭圆的焦点坐标及椭圆上一点的坐标来求解离心率。

假设椭圆的焦点坐标为(F1, 0)和(F2, 0)，椭圆上一点的坐标为(x, y)。

根据距离公式，有：√((x - F1)^2 + y^2) + √((x - F2)^2 + y^2) = 2a将椭圆方程化简后，可得到：x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1将上述两个方程联立，并且消去变量y，可以得到椭圆上一点坐标x的关系表达式。

将x的值代入任一方程中，即可求得y的值。

利用x和y的值，可以计算出离心率e。

3. 求解经典例题现在通过一个经典的例题来说明离心率的求解过程。

例题：已知一个椭圆的焦点坐标为(F1, 0) = (-2, 0)和(F2, 0) = (2, 0)，椭圆上一点的坐标为P(x, y) = (4, 3)。

求此椭圆的离心率。

解答：根据离心率的计算公式，我们可以先求出椭圆长轴的一半长度a和短轴的一半长度b。

根据焦点坐标和椭圆上一点的坐标，可以得到a、b的计算公式如下：a = (PF1 + PF2) / 2 = (√((x - F1)^2 + y^2) + √((x - F2)^2 + y^2)) / 2 = (√((4 +2)^2 + 3^2) + √((4 - 2)^2 + 3^2)) / 2 = (11 + 5) / 2 = 8 / 2 = 4b = √(a^2 - c^2) = √(4^2 - 2^2) = √(16 - 4) = √12 = √(4 * 3) = 2√3根据得到的a和b的值，可以计算离心率e：e = a / b = 4 / (2√3) = 2 / √3 = (2 / √3) * (√3 / √3) = (2√3) / 3 ≈ 1.155所以，此椭圆的离心率约为1.155。

求离心率的范围问题求离心率范围的方法 一、建立不等式法：1.利用曲线的范围建立不等关系。

2.利用线段长度的大小建立不等关系。

F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]；F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，|PF 1|≥c －a .3.利用角度长度的大小建立不等关系。

4.利用题目不等关系建立不等关系。

5. 利用判别式建立不等关系。

6.利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系。

7.利用基本不等式，建立不等关系。

二、函数法：1. 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2.通过确定函数的定义域；3.利用函数求值域的方法求解离心率的范围.练习利用曲线的范围建立不等关系1.F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，求椭圆的离心率的取值范围.2.A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA = , 则椭圆离心率的范围是_________.3.设12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点,且12||2F F c =,若椭圆上存在点P 使得212||||2PF PF c ⋅=,则椭圆的离心率的最小值为（ ）A ．12 B ．13 C 232π4.5.设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 6．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．3⎛ ⎝⎭B ．()0,1C ．2⎫⎪⎪⎝⎭D ．2⎛ ⎝⎭利用线段长度的大小建立不等关系7. 设点P 在双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的右支上，双曲线两焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。