第5章 连续时间信号的抽样与量化
5.1 试证明时域抽样定理。
证明： 设抽样脉冲序列是一个周期性冲激序列，它可以表示为
∑∞
-∞
=-=
n s
T nT t t )()(δδ
由频域卷积定理得到抽样信号的频谱为：
[])()(21
)(ωδωπ
ωT s F F *=
()[]∑∞
-∞
=-=
n s
s
n F T ωω1
式中)(ωF 为原信号)(t f 的频谱，)(ωδT 为单位冲激序列)(t T δ的频谱。可知抽样后信号的频谱)(ωs F 由)(ωF 以 s ω为周期进行周期延拓后再与s T 1相乘而得到，这意味着如果
m s ωω2≥，抽样后的信号)(t f s 就包含了信号)(t f 的全部信息。如果m s ωω2<，即抽样
间隔m
s f T 21
>
，则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠，此时不可能无失真地重建原信号。 因此必须要求满足m
s f T 21
≤
，)(t f 才能由)(t f s 完全恢复，这就证明了抽样定理。 5.2 确定下列信号的最低抽样频率和奈奎斯特间隔： （1）)50(t Sa
（2）)100(2
t Sa
（3） )100()50(t Sa t Sa +
（4）)60()100(2
t Sa t Sa +
解：抽样的最大间隔m s f T 21=称为奈奎斯特间隔，最低抽样速率m s f f 2=称为奈奎斯特速率，最低采样频率m s ωω2=称为奈奎斯特频率。 （1）)]50()50([50
)50(--+↔
ωωπ
u u t Sa ，由此知s rad m /50=ω，则π
25
=
m f ，
由抽样定理得：最低抽样频率π
50
2=
=m s f f ，奈奎斯特间隔50
1π
==
s s f T 。 （2）)200
1(100
)100(2
ω
π
-
↔
t Sa
脉宽为400，由此可得s rad m /200
=ω，则π
100
=
m f ，由抽样定理得最低抽样频率
π
200
2=
=m s f f ，奈奎斯特间隔200
1π==
s s f T 。 （3）)]50()50([50
)50(--+↔
ωωπ
u u t Sa ，该信号频谱的s rad m /50=ω
)]100()100([100
)100(--+↔
ωωπ
u u t Sa ,该信号频谱的s rad m /100
=ω
)100()50(t Sa t Sa +信号频谱的s rad m /100
=ω,则π
50
=
m f ，由抽样定理得最低
抽样频率π
100
2==m s f f ，奈奎斯特间隔100
1π==
s s f T 。 （4）)]100()100([100
)100(--+↔
ωωπ
u u t Sa ,该信号频谱的100=m ω
)120
1(60
)60(2ω
π
-
↔
t Sa ，该信号频谱的s rad m /120
=ω
所以)60()100(2
t Sa t Sa +频谱的s rad m /120=ω, 则π
60
=
m f ，由抽样定理得最
低抽样频率π
120
2=
=m s f f ，奈奎斯特间隔120
1π==
s s f T 。 5.3 系统如题图 5.3
所示，)1000()(1t Sa t f π=，)2000()(2t Sa t f π=，
∑∞
-∞
=-=
n nT t t p )()(δ，)()()(2
1
t f
t f t f =，)()()(t p t f t f s =。
（1）为从)(t f s 中无失真地恢复)(t f ，求最大采样间隔m ax T 。
（2）当max T T =时，画出)(t f s 的幅度谱)(ωs F 。
题图 5.3
解：
（1）先求)(t f 的频谱)(ωj F 。
)]1000()1000([1000
1
)()1000()(11πωπωωπ--+=
⇒=u u j F t Sa t f
)]2000()2000([2000
1
)()2000()(22πωπωωπ--+=
⇒=u u j F t Sa t f )]}
3000()1000()[3000()]1000()1000([2000)]1000()3000()[3000{(1041)]
2000()2000((2000
1))1000()1000((10001[21)()(21
)(621πωπωπωπωπωππωπωπωπ
πωπωπωπωπωωπ
ω---+-+--+++-++⨯⨯=--+*--+=
*=-u u u u u u u u u u j F j F j F 由此知)(ωj F 的频谱宽度为π6000，且s rad m /3000πω=，则Hz f m 1500=，抽样
的最大允许间隔s f T m 3000
121max ==
（2）∑∞
-∞
=-=
n nT t t p )()(δ，所以为用冲激序列对连续时间信号为)(t f 进行采样，设原输
入信号)(t f 的频谱密度为)(ωF ，而单位冲激序列的频谱密度为：
∑∞
-∞
=-=
n s
n T
p )(2)(ω
ωδπω 其中
T
s πω2=
则根据频域卷积定理得抽样信号)(t f s 的频谱为：
∑∞
-∞
=-==n s s n F T p F F )(1)](*)([21)(ωωωωπω
而max T T =，则s rad T s /6000230002max
πππ
ω=⨯==，幅度谱如下图所表示。
5.4 对信号)()(t u e t f t
-=进行抽样，为什么一定会产生频率混叠效应？画出其抽样信号的频谱。
解： 由第三章知识知，该单边指数信号的频谱为：
ω
ωj j F +=
11
)(
其幅度频谱和相位频谱分别为
