高考数学一轮复习第7章立体几何第1讲空间几何体的结构及其三视图和直观图习题

高考数学一轮复习第七篇立体几何必修2第1节空间几何体的结构三视图和直观图习题理含解析第1节空间几何体的结构、三视图和直观图【选题明细表】知识点、方法题号空间几何体的结构特征3,8直观图与三视图的识别1,2,5,10,11,13直观图与三视图的计算4,6,7,9综合应用12,14,15基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·晋中模拟)如图是一个物体的三视图,则此三视图所描述物体的直观图是( D )解析:由三视图知,该物体是一个组合体,上面是一个圆锥,下面是一个圆柱,其直观图为D. 2.(2018·曲靖模拟)已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示,俯视图是边长为2的正三角形,那么该三棱锥的侧视图可能为( B )解析:由正视图可看出长为2的侧棱垂直于底面,侧视图为直角三角形,一条直角边长为2,另一直角边为底边三角形的高.故侧视图可能为B.3.以下命题:①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数为( A )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:命题①错,因为这条边若是直角三角形的斜边,则得不到圆锥;命题②错,因为这条腰必须是垂直于两底的腰;命题③错,因为圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面;命题④错,必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以.4.如图,网格纸上正方形小格的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的最长棱的长度为( D )(A)6(B)6 (C)8 (D)9解析:由三视图可知,该几何体为三棱锥,如图所示.其中AB=6,BC=3,BD=CD=3,AC=3,AD=9.故选D.5.(2018·攀枝花模拟)如图所示的几何体为一个球挖去一个内接正方体得到的组合体,现用一个过球心的平面截它,所得截面图形不可能是( D )解析:以正方体上底面中心与下底面中心连线为轴作出截面,截面绕轴旋转过程中分别出现截面A,B,C.6.(2018·大庆模拟)一个几何体的三视图如图所示,其正视图的面积等于8,俯视图是一个面积为4的正三角形,则其侧视图的面积为( A )(A)4(B)8(C)8 (D)4解析:由三视图知该几何体是正三棱柱,设其底面边长为a,高为h,则其正视图为矩形,矩形的面积S1=ah=8,俯视图为边长为a的正三角形,三角形的面积S2=a2=4,则a=4,h=2,而侧视图为矩形,底边为a,高为h,故侧视图的面积为S=ah=4.7.如图,正方形O′ABC的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长为.解析:将直观图还原为平面图形,如图.可知还原后的图形中,OB=2,AB==3,于是周长为2×3+2× 1=8(cm).答案:8 cm8.一个圆台上、下底面的半径分别为3和8,若两底面圆心的连线长为12,则这个圆台的母线长为.解析:如图,过点A作AC⊥OB,交OB于点C.在Rt△ABC中,AC=12,BC=8-3=5.所以AB==13.答案:13能力提升(时间:15分钟)9.(2018·广东六校联考)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的x的值是( D )(A)2 (B)(C)(D)3解析:根据三视图可知该几何体是一个底面为直角梯形的四棱锥,由V=××2×(1+2)×x=3得x=3,故选D.10.(2018·济南一模)如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,P为BD1的中点,则△PAC在该正方体各个面上的正投影可能是( B )(A)①② (B)①④ (C)②③ (D)②④解析:由于P为BD1的中点,结合正投影的性质知B正确.11.(2018·广安模拟)一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的侧视图可能为( D )解析:由题图可知,该几何体为如图所示的三棱锥,其中平面ACD⊥平面BCD,CB⊥BD,故选D.12.(2018·鹤壁模拟)用若干个大小相同,棱长为1的正方体摆成一个立体模型,其三视图如图所示,则此立体模型的表面积为( C )(A)24 (B)23 (C)22 (D)21解析:这个空间几何体是由两部分组成的,下半部分为四个小正方体、上半部分为一个小正方体,结合直观图可知,该立体模型的表面积为22.13.(2018·永州月考)利用斜二测法得到的以下结论,正确的是.(写出所有正确结论的序号)①三角形的直观图是三角形;②平行四边形的直观图是平行四边形;③正方形的直观图是正方形;④圆的直观图是椭圆;⑤菱形的直观图是菱形.解析:由斜二测画法知,①②④正确,正方形的直观图是平行四边形,菱形的直观图是平行四边形,所以③⑤不正确.答案:①②④14.(2018·盐城模拟)一四面体的三视图如图所示,则该四面体四个面中面积最大面的面积是.解析:由三视图可知该四面体为D-BD1C1,由直观图可知,面积最大的面为△BDC1.在正三角形BDC1中,BD=2,所以面积S=×(2)2×=2.答案:215.(2018·沧州模拟)已知正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)的俯视图如图所示,其中四边形ABCD是边长为2 cm的正方形,则这个正四面体的正视图的面积为cm2.解析:构造一个边长为2的正方体ABCD A1B1C1D1,在正方体内作一个正四面体B1ACD1,该正四面体的正视图是一个底边长为2 cm,高为 2 cm的等腰三角形,从而可得正视图的面积为×2×2=2(cm2).答案:2。

第七篇立体几何(必修2)第1节空间几何体的结构及三视图和直观图课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.(2013山东烟台模拟)如图是底面半径为1,母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体,则该组合体的侧(左)视图的面积为( C )(A)8π(B)6π(C)4+(D)2+解析:该组合体的侧(左)视图为其中正方形的边长为2,三角形为边长为2的三角形,所以侧(左)视图的面积为22+×22×=4+,故选C.2.(2013山东莱州模拟)一个简单几何体的正(主)视图,侧(左)视图如图所示,则其俯视图不可能为①长方形;②直角三角形;③圆;④椭圆.其中正确的是( C )(A)①(B)② (C)③ (D)④解析:当该几何体的俯视图为圆时,由三视图知,该几何体为圆柱,此时,正(主)视图和侧(左)视图应相同,所以该几何体的俯视图不可能是圆,其余都有可能.故选C.3.(2013韶关市高三调研)某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的数据,可得这个几何体的表面积为( B )(A)4+4 (B)4+4(C) (D)12解析:由三视图知该几何体为正四棱锥P ABCD,底面边长为2,高PO=2,如图所示,取CD的中点E,连接OE、PE,则PE==,因此几何体的表面积为2×2+×2×4×=4+4,故选B.4.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( A )(A)2+(B)(C)(D)1+解析:由题意画出斜二测直观图及还原后原图,由直观图中底角均为45°,腰和上底长度均为1,得下底长为1+,所以原图上、下底分别为1,1+,高为2的直角梯形.所以面积S=(1++1)×2=2+.故选A.5.(2013北京东城区模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为( D )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由题意可知,几何体是三棱锥,其放置在长方体中形状如图所示,利用长方体模型可知,此三棱锥A BCD的四个面中,全部是直角三角形.故选D.6.(2013广州市毕业班测试(二))一个圆锥的正(主)视图及其尺寸如图所示,若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1∶7的上、下两部分,则截面的面积为( C )(A)π(B)π (C)π(D)4π解析:由题意知,该几何体是底面半径为3,高为4的圆锥.由截面性质知截面圆半径为×3=,故截面的面积为π·（）2=,故选C.7.下面是关于四棱柱的四个命题:①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱;④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱.其中真命题为( D )(A)①②(B)①③(C)②③(D)②④解析:对于①,平行六面体的两个相对侧面与底面垂直且互相平行,而另两个相对侧面可能与底面不垂直,则不是直棱柱,故①假;对于②,两截面的交线平行于侧棱,且垂直于底面,故②真;对于③,作正四棱柱的两个平行菱形截面,可得满足条件的斜四棱柱(如图(1)所示),故③假;对于④,四棱柱一个对角面的两条对角线,恰为四棱柱的对角线,故对角面为矩形,于是侧棱垂直于底面的一条对角线,同样侧棱也垂直于底面的另一条对角线,故侧棱垂直于底面,故④真.故选D.二、填空题8.如图所示的Rt△ABC绕着它的斜边AB旋转一周得到的图形是.解析:过Rt△ABC的顶点C作线段CD⊥AB,垂足为D,所以Rt△ABC绕着它的斜边AB旋转一周后应得到的是以CD作为底面圆的半径的两个圆锥的组合体.答案:两个圆锥的组合体9.一个几何体的正(主)视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的(填入所有可能的几何体前的编号).①三棱锥;②四棱锥;③三棱柱;④四棱柱;⑤圆锥;⑥圆柱.解析:显然①②⑤均有可能;当三棱柱放倒时,其正(主)视图可能是三角形,所以③有可能,④不可能.答案:①②③⑤10.如图,点O为正方体ABCD A′B′C′D′的中心,点E为平面B′BCC′的中心,点F为B′C′的中点,则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影可能是(填出所有可能的序号).解析:空间四边形D′OEF在正方体的平面DCC′D′上的投影是①;在平面BCC′B′上的投影是②;在平面ABCD上的投影是③,而不可能出现投影为④的情况.答案:①②③11.(2013山东烟台模拟)如图,三棱柱的侧棱长为2,底面是边长为2的正三角形,AA1⊥面A1B1C1,正(主)视图是边长为2的正方形,俯视图为正三角形,则侧(左)视图的面积为.解析:因为俯视图为正三角形,所以俯视图的高为,侧视图为两直角边分别为2、的矩形,所以侧(左)视图的面积为2.答案:2三、解答题12.(2013西工大附中模拟)已知四棱锥P ABCD的三视图如图所示,求此四棱锥的四个侧面的面积中最大值.解:由三视图可知该几何体是如图所示的四棱锥,顶点P在底面的射影是底面矩形的顶点D.底面矩形边长分别为3,2,△PDC是直角三角形,直角边为3与2,所以S△PDC=×2×3=3.△PBC是直角三角形,直角边长为2,,三角形的面积为×2×=.△PAB是直角三角形,直角边长为3,2;其面积为×3×2=3.△PAD也是直角三角形,直角边长为2,2,三角形的面积为×2×2=2. 所以四棱锥P ABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积为3.13.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392 cm2,母线与轴的夹角为45°,求这个圆台的高、母线长和底面半径.解:圆台的轴截面如图.设圆台的上、下底面半径分别为x cm和3x cm,延长AA1交OO1的延长线于点S.在Rt△SOA中,∠ASO=45°,则∠SAO=45°.所以SO=AO=3x,OO1=2x.又×(6x+2x)×2x=392,解得x=7.所以圆台高OO母线长l=OO1=14 cm,底面半径分别为7 cm和21 cm.B组14.(2013广州高三调研)已知四棱锥P ABCD的三视图如图所示,则四棱锥P ABCD的四个侧面中面积最大的是( C )(A)3 (B)2(C)6 (D)8解析:四棱锥如图所示,PM=3,×4×=2,S△PDC=S△PAB=×4×3=6,S△PBC=S△PAD=×2×3=3,故四个侧面中面积最大的是6.15.(2013北京西城检测)三棱锥D ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱BD的长为.解析:取AC的中点E,连结BE,DE,由正(主)视图可知BE⊥AC,BE⊥DE.DC⊥平面ABC且DC=4,BE=2,AE=EC=2.所以BC====4,即BD====4.答案:416.三棱锥V ABC的底面是正三角形,顶点在底面ABC上的射影为正△ABC的中心,其三视图如图所示:(1)画出该三棱锥的直观图;(2)求出侧(左)视图的面积.解:(1)直观图如图所示.(2)根据三视图间的关系可得BC=2,作AM⊥BC于M,连结VM,过V作VO⊥AM于O,过O作EF∥BC交AB,AC于F、E,则△VEF即侧(左)视图.由=,得EF=.又VA=4,AM==3.则AO=2,VO===2.××2=4.所以S即侧(左)视图的面积为4.。

第七章立体几何与空间向量第1课时立体几何的结构及其三视图和直观图1. 空间几何体的结构特征2. 三视图3. 直观图及投影1. （教材改编）下列说法正确的是（）•A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D. 棱台各侧棱的延长线交于一点2. （教材改编）无论怎么放置，其三视图完全相同的几何体是（）.A. 正方体B.长方体C.圆锥D.球乱若一个底面是正三角形的貝三棱柱的正函血图所示*则其側面积等A, 73 B 2C. 273D. 64. （教材改编）利用斜二测画法得到的以下结论,正确的是 _________ .（写出所有正确的序号）①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④圆的直观图是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形.5. 一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的___________ .（填入所有可能的几何体的编号）①三棱锥；②四棱锥;③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱.1. 准确理解几何体的定义是认识空间几何体结构特征的基础，要能区分各种几何体的不同结构特征.2. 在画空间几何体的直观图时，应注意几何体中的一些线段长度与直观图中对应线段的长度是不同的•考点透析考向一空间几何体的结构特征例1给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④ 存在每个面都是直角三角形的四面体；⑤棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题的序号是 ________ .【审题视点】根据棱柱、棱锥、棱台的几何特征进行判断变式训练1. 下列结论中正确的是（）.A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥B. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D. 圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线考向二空间几何体的三视图例2 （2014 •北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为_________【方法总结】 ⑴由实物图画三视图或判断选择三视图 ，此时需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则（2）由三视图还原实物图，这一题型综合性较强，解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要熟 悉,再复杂的几何体也是由这些简单的几何体组合而成的 ；其次,要明确三视图的形成原理 并能结合空间想象将三视图还原为实物图 . 变式训练 2.（2013 •山西高考训练）某几何体的三视图均为直角三角形 ，如图所示，则围成该几何体的B. 2C. 3考向三空间几何体的直观图各面中，直角三角形的个数是（A. 1 D. 4+1T釧左灌出（第2题）直规图△的面积为（ kV3 2 T tf 岳2(116已知正二角形ABC 的边长为―那么△ AUC 的平面I).【审题视点】 画出正三角形△ ABC 勺平面直观图△ A'B'C',求厶A'B'C'的高即可.【方法总结】 直接根据水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法规则即可得到平面图形 的面积是其直观图面积的 2倍,这是一个较常用的重要结论 变式训练3. 如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图 ,其中 O'A'= 6cm,OC=2cm,则原图形是（）.ifATA.正方形 C.菱形B.矩形D. 一般的平行四边形经典考题典例（2014 •湖南）一块石材表示的几何体的三视图如图所示 ，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 4（第3【解题指南】先根据三视图确定几何体的形状，然后再得到最大球的半径【解析】由三视图可知，石材为一个三棱柱（相对应的长方体的一半）,故可知能得到的最大球为三棱柱的内切球.由题意，可知正视图三角形的内切圆的半径即为球的半径，可得【答案】B真题体验1. （2014 •湖北）在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2）,（2,2,0）,（1,2,1）,（2,2,2）.给出编号①，②,③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）.A.三棱锥B.三棱柱2. （2014 •全国新课标）如图，网格纸的各小格都是正方形粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是（).（第1A.①和②B.③和①卜知十卜虽，-TXT亠土丄D.四棱柱参考答案与解析1. 平行相等平行全等公共顶点平行于底面平行相似矩形一条直角边平行直径2. 正视图侧视图俯视图正前左正上右下3. 斜二测45°或135° 垂直仍平行于坐标轴不变原来的一半互相平行相交于一点【例1】②③④⑤ 解析：①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体AG中的三棱锥G-ABC四个面都是直角三角形；⑤正确，由棱台的概念可知.【例刀2罷解析：该三棱锥的直观图如图听示，并a PB丄p面ABC.PB=2.AB= 2.AC= I3C =②PA = /22 + 22 = 2 ^2. PC = /护+ (逅"乂=(§■•故PA最长+ C.四棱锥【例3] D 解析：如图(1)(2)所示分别为实际图形和直观图.A Tn Bx(1)由斜二测画法可知，A F'=AR =「在图(2)中作C'D#丄A f n f于点D 所以S △小匕=!人中’ -C fD变式训练3. C 解析：将直观图还原得LJOABC.则因为 OQ =272CIII ,OP= 2Q f D ' = 4乐m T C f D f = O r C" = 2 cnn 所以 f= 2 CHK OC = /CEF+<)D 2=血弋(A 尉=6 cm ・G4 = OW =6 cni=<X ：故原图形为菱形.经典考题 真题体验1. D 解析：由三视图可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形 (三个顶点坐标分别是(0,0,2),(0,2,0),(0,2,2))且内有一虚线(一锐角顶点与一直角边中点的连线),故正视图是1. D 解析：各个面的三角形不一定有共同顶点,就不是三棱锥,A 错.以锐角或钝角三角形的任何一边旋转不是圆锥,B错.C 若是六棱锥,就必须是正六棱锥 ,其侧面顶角总和为360。

课时提升作业(四十二)一、选择题1.以下四个命题:①正棱锥的所有侧棱相等;②直棱柱的侧面都是全等的矩形;③圆柱的母线垂直于底面;④用经过旋转轴的平面截圆锥,所得的截面一定是全等的等腰三角形.其中,真命题的个数为( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)12.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )(A)①②(B)①③(C)①④(D)②④3.(2013·沈阳模拟)一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是( )4.如图,△ABC为正三角形,AA′∥BB′∥CC′,CC′⊥平面ABC且3AA′=错误！未找到引用源。

BB′=CC′=AB,则多面体ABC-A′B′C′的主视图是( )5.(2013·宁波模拟)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示),∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这个平面图形的面积为( )(A)错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

(B)2+错误！未找到引用源。

(C)错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

(D)错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

6.一个正方体截去两个角后所得几何体的主视图、左视图如图所示,则其俯视图为( )7.(2013·西安模拟)一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发,经正方体的表面,按最短路线爬行到达顶点C1位置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的主视图是( )(A)①②(B)①③(C)②④(D)③④二、填空题8.等腰梯形ABCD,上底CD=1,腰AD=CB=错误！未找到引用源。

,下底AB=3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为.9.(2013·临沂模拟)已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是错误！未找到引用源。

课时作业一、选择题1．有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是( ) A．1 B．2C．3 D．4A [命题①不是真命题，因为底面是矩形，但侧棱不垂直于底面的平行六面体不是长方体；命题②不是真命题，因为底面是菱形(非正方形)，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体；命题③也不是真命题，因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直；命题④是真命题，由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，故平行六面体是直平行六面体．]2．(2014·长春调研)一个简单几何体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图不可能为( ) A．正方形B．圆C．等腰三角形D．直角梯形D [当几何体是一个长方体，其中一个侧面为正方形时，A可能；当几何体是横放的一个圆柱时，B可能；当几何体是横放的三棱柱时，C可能；只有D不可能，故选D.] 3．(2014·昆明调研)如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边长均为1，则该几何体的表面积为( )A ．1＋ 2B ．2＋2 2 C.13D ．2＋ 2D [依题意得，题中的几何体是底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱锥P －ABCD (如图)，其中底面边长为1，PD ＝1，PD ⊥平面ABCD ，S △PAD ＝S △PCD ＝12×1×1＝12，S △PAB ＝S △PBC ＝12×1×2＝22，S 四边形ABCD ＝12＝1，因此该几何体的表面积为2＋2，选D.] 二、填空题4．一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号) ①锐角三角形 ②直角三角形 ③四边形 ④扇形 ⑤圆解析 如图1所示，直三棱柱ABE －A 1B 1E 1符合题设要求，此时俯视图△ABE 是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1符合题设要求，此时俯视图△ABC 是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD )是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.答案 ①②③5．等腰梯形ABCD ，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________． 解析 ∵OE ＝（2）2－1＝1，∴O ′E ′＝12，E ′F ′＝24.∴直观图A ′B ′C ′D ′的面积为S ′＝12×(1＋3)×24＝22.答案226．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．解析 由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF ，其中E 、F分别是AD 、BC 的中点，连接AO ，易得AO ＝2，而PA ＝3，于是解得PO ＝1，所以PE ＝2，故其正视图的周长为2＋2 2. 答案 2＋2 2 三、解答题7．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．解析 图1几何体的三视图为：图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体．8．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形．(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；(2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；(3)求该多面体的表面积．解析(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：(2)证明：如图，连接AC ，BD ，交于O 点，连接OE . ∵E 为AA 1的中点，O 为AC 的中点，∴在△AA 1C 中，OE 为△AA 1C 的中位线．∴OE ∥A 1C . ∵OE ⊄平面A 1C 1C ，A 1C ⊂平面A 1C 1C ，∴OE ∥平面A 1C 1C .(3)多面体表面共包括10个面，S ABCD ＝a 2，SA 1B 1C 1D 1＝a 22，S △ABA 1＝S △B 1BC ＝S △C 1DC ＝S △ADD 1＝a 22，S △AA 1D 1＝S △B 1A 1B ＝S △C 1B 1C ＝S △DC 1D 1＝12×2a 2×32a 4＝3a28，∴该多面体的表面积S ＝a 2＋a 22＋4×a 22＋4×3a 28＝5a 2.。

课后课时作业[A组·基础达标练]1．[2016·潍坊模拟]一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱答案 D解析球、正方体的三视图形状都相同，大小均相等．三棱锥的三条侧棱相等且两两垂直时，其三视图的形状都相同，大小均相等．不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故选D.2．下列命题中正确的是()A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D．棱台各侧棱的延长线交于一点答案 D解析棱柱的结构特征有三个方面：有两个面互相平行；其余各面是平行四边形；这些平行四边形所在面中，每相邻两个面的公共边都互相平行．由此可知选项A、B均不正确；各面都是三角形的几何体并不一定是棱锥，如正八面体，故选项C不正确．棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面截去一部分得到的，故可知棱台各侧棱的延长线交于一点，故选D.3．[2015·海口模拟]如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是()答案 D解析由俯视图可排除A、C，由正视图和侧视图可知B错，故选D.4．[2016·云南师大附中月考]已知一几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，以这4个点为顶点的几何体(图形)可能是()①矩形；②有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；③每个面都是直角三角形的四面体A．①②③B．②③C．①③D．①②答案 A解析由三视图知该几何体为正四棱柱如图所示．当选择的四个点为B1、B、C、C1时，几何体为矩形，①正确；当选择B、A、B1、C时，几何体满足②中要求；当选择A、B、D、D1时，几何体满足③中要求．故选A.5．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于()A．1 B. 2C.2－12 D.2＋12答案 C解析由俯视图知正方体的底面水平放置，其正视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为1，最大为2，正视图面积范围应为[1，2]，不可能等于2－12.故选C.6．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，得四边形BFD1E，给出下列结论：①四边形BFD1E有可能为梯形；②四边形BFD1E有可能为菱形；③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D；⑤四边形BFD1E面积的最小值为6 2.其中正确的是()A．①②③④B．②③④⑤C．①③④⑤D．①②④⑤答案 B解析四边形BFD1E为平行四边形，①显然不成立，当E、F分别为AA1、CC1的中点时，②④成立，四边形BFD1E在底面的投影恒为正方形ABCD.当E、F分别为AA1、CC1的中点时，四边形BFD1E 的面积最小，最小值为62.故选B.7．如图，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为平面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF 在该正方体的各个面上的投影可能是________(填出所有可能的序号)．答案①②③解析空间四边形D′OEF在正方体的平面DCC′D′上的投影是①；在平面BCC′B′上的投影是②；在平面ABCD上的投影是③，而不可能出现的投影为④的情况．8.在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在直角坐标系xOy中，四边形ABCO为________，面积为________ cm2.答案矩形8解析由斜二测画法的特点可知该平面图形是一个长为4 cm、宽为2 cm的矩形，所以面积为8 cm2.9．[2015·丰台模拟]如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是________．答案 3解析由三视图可知，该几何体的直观图如图所示．AB，AC，AD两两垂直，且均为2，所以四个面中面积最大的为△BCD，且△BCD是边长为2的正三角形，所以S△BCD＝12×2×2×32＝ 3.10．[2015·朝阳模拟]已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为________．答案3 4解析 由正视图与俯视图可知，该几何体侧视图的面积为12×32×3＝34.[B 组·能力提升练]1．[2016·长春质检]某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( )A ．2＋1＋52πB ．2＋1＋252πC ．2＋(1＋5)πD ．2＋2＋52π答案 A 解析 由几何体的三视图可知，该几何体是经过旋转轴作截面，截取的半个圆锥，底面半径是1，高是2，所以母线长为5，所以其表面积为底面半圆面积和圆锥的侧面积的一半以及截面三角形的面积的和，即12π＋12π·5＋12×2×2＝1＋52π＋2，故选A.2．[2015·课标全国卷Ⅱ]一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15答案 D 解析如图，不妨设正方体的棱长为1，则截去部分为三棱锥A －A 1B 1D 1，其体积为16，又正方体的体积为1，则剩余部分的体积为56，故所求比值为15.故选D.3．[2015·北京高考]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A．2＋ 5 B．4＋ 5C．2＋2 5 D．5答案 C解析由三视图可知，该几何体底面为等腰三角形，其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥(SA⊥平面ABC)，由三视图中的数据可计算得S△ABC＝12×2×2＝2，S△SAC ＝12×5×1＝52，S△SAB＝12×5×1＝52，S△SBC＝12×2×5＝5，所以S表面积＝2＋2 5.4．[2015·湖南高考]某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)()A.89π B.169πC.4(2－1)3π D.12(2－1)3π答案 A解析解法一：由圆锥的对称性可知，要使其内接长方体最大，则底面为正方形，令此长方体底面对角线长为2x，高为h，则由三角形相似可得，x1＝2－h2，所以h＝2－2x，x∈(0,1)，长方体体积为V长方体＝(2x)2h＝2x2(2－2x)≤2⎝⎛⎭⎪⎫x＋x＋2－2x33＝1627，当且仅当x＝2－2x，即x＝23时取等号，V圆锥＝13π×12×2＝2π3，故材料利用率为16272π3＝89π，选A.解法二：由圆锥的对称性可知，要使其内接长方体最大，则底面为正方形，令此长方体底面对角线长为2x，高为h，则由三角形相似可得，x1＝2－h2，所以h＝2－2x，x∈(0,1)，长方体体积为V长方体＝(2 x)2h＝2x2(2－2x)＝－4x3＋4x2，令V′长方体＝－12x2＋8x＝0，得x＝23，故当x＝23时，(V长方体)max＝1627，V圆锥＝13π×12×2＝2π3，故材料利用率为16272π3＝89π，选A.5．[2015·大连模拟]某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是________．答案27解析由三视图可知该四面体为V－ABC，如图所示．其中AE⊥BE，VC⊥平面ABE.EC＝CB＝2，AE＝23，VC＝2，所以AC2＝AE2＋EC2＝(23)2＋22＝16，所以VA2＝AC2＋VC2＝16＋22＝20，VA＝20＝2 5.AB2＝AE2＋EB2＝(23)2＋42＝28，所以AB＝28＝27>25，所以该四面体的六条棱的长度中，最大的为27.。

第1讲 空间几何体的结构特征及三视图和直观图1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x ′轴，y ′轴的夹角为45°(或135°)，z ′轴与x ′轴和y ′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．3．三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．1．辨明三个易误点(1)台体可以看成是由锥体截得的，但一定要强调截面与底面平行．(2)注意空间几何体的不同放置对三视图的影响．(3)几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系．2．由三视图还原几何体的方法3．用斜二测画法画直观图(1)一般在已知原图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．(2)一定要注意在原图形中与y轴平行的线段的长度在直观图中变为原来的一半，在由直观图还原时，与y′轴平行的线段的长度要变为原来的二倍．在斜二测画法中，真实图形的面积和直观图的面积之比是22∶1.1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( ) A．圆柱B．圆锥C．球D．圆柱、圆锥、球的组合体C 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．2．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是( )A．棱柱的侧棱长都相等B．棱锥的侧棱长都相等C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等B 根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )B 根据选项A、B、C、D中的直观图，画出其三视图，只有B项正确．4.教材习题改编若某几何体的三视图如图所示，则该几何体为________．四棱柱与圆柱组合而成的简单组合体5.在直观图(如图所示)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为________，面积为________cm2.由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2.矩形8空间几何体的结构特征(1)下列说法正确的是( )A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点(2)以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3【解析】(1)A错，如图1；B正确，如图2，其中底面ABCD是矩形，可证明∠PAB，∠PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错，如图3；D错，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点．(2)命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以．【答案】(1)B (2)B判定与空间几何体结构特征有关命题的方法(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中错误的命题的序号是________．认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故①③都不正确，②中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确，④平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④也不正确．①②③④空间几何体的三视图(高频考点)空间几何体的三视图是每年高考的热点，题型为选择题或填空题，难度适中，属于中档题．高考对三视图的考查主要有以下三个命题角度：(1)根据几何体的结构特征确认其三视图；(2)根据三视图还原直观图；(3)由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图．(1)(2015·高考北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )A．1 B． 2C. 3 D．2(2)(2017·东北四市联考(二))如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P是线段CD的中点，则三棱锥P­A1B1A的侧视图为( )【解析】(1)根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥V­ABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD．连接BD，易知BD＝2，在Rt△VBD中，VD＝VB2＋BD2＝ 3.(2)如图，画出原正方体的侧视图，显然对于三棱锥P­A1B1A，B(C)点均消失了，其余各点均在，从而其侧视图为D．【答案】(1)C (2)D三视图问题的常见类型及解题策略(1)已知几何体，识别三视图的技巧已知几何体画三视图时，可先找到各个顶点在投影面上的投影，然后再确定线在投影面上的实虚．(2)已知三视图，判断几何体的技巧①对柱、锥、台、球的三视图要熟悉．②明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图．③遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．角度一根据几何体的结构特征确认其三视图1．(2017·沈阳市教学质量监测(一))“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )B 根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，俯视图为B，故选B．角度二根据三视图还原直观图2．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( )A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台A 因为正视图和侧视图都为三角形，可知几何体为锥形，又因为俯视图为三角形，故该几何体为三棱锥．角度三由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图3.(2016·高考天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )B 由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧(左)视图为图②.空间几何体的直观图如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形【解析】如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2 cm，所以OC＝OD2＋CD2＝（42）2＋22＝6(cm)，所以OA＝OC，故四边形OABC是菱形，因此选C.【答案】 C若本例中直观图为如图所示的一个边长为1 cm的正方形，则原图形的周长是多少？将直观图还原为平面图形，如图．可知还原后的图形中OB＝22，AB＝12＋（22）2＝3，于是周长为2×3＋2×1＝8(cm)．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积为________．直观图的面积S ′＝12×(1＋1＋2)×22＝2＋12.故原平面图形的面积S ＝S ′24＝2＋ 2.2＋ 2——忽视三视图中的虚实线而致误将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )【解析】 侧视图中能够看到线段AD 1，应画为实线，而看不到B 1C ，应画为虚线．由于AD 1与B1C 不平行，投影为相交线，故应选B ．【答案】 B(1)因对三视图的含义认识不到位，区分不清选项A 和B ，而易误选A ；(2)因对三视图的画法要求不明而误选C或D ．在画三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画，被遮住的部分的轮廓线用虚线画；(3)解答此类问题时，还易出现画三视图时对个别视图表达不准而不能画出所要求的视图．(2017·河北省五校联盟质量检测)某四面体的三视图如图，则其四个面中最大的面积是( )A ．2B ．2 2C. 3 D．2 3D 在正方体ABCD­A1B1C1D1中还原出三视图的直观图，其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥，即为D1­BCB1，如图所示，其四个面的面积分别为2，22，22，23，故选D．1．(2017·沈阳质检)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图(两个矩形，一个直角三角形)，则这个几何体可能为( )A．三棱台B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥B 根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等，可得几何体如图所示．这是一个三棱柱．2.如图所示是水平放置三角形的直观图，点D是△ABC的BC边中点，AB，BC分别与y′轴、x′轴平行，则在原图中三条线段AB，AD，AC中( )A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AC，最短的是ADB 由条件知，原平面图形中AB⊥BC，从而AB<AD<AC.3．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是( )A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上B 因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故A 、C 正确，且在它的高所在的直线上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D 正确，B 不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立．4．(2017·山西省四校联考)如图是一个体积为10的空间几何体的三视图，则图中x 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5A 根据给定的三视图可知，该几何体对应的直观图是一个长方体和四棱锥的组合体，所以几何体的体积V ＝3×2×1＋13×3×2×x ＝10，解得x ＝2.5．(2017·山西省考前质量检测)某几何体的正视图与俯视图如图所示，若俯视图中的多边形为正六边形，则该几何体的侧视图的面积为( )A.152B ．6＋ 3 C.32＋3 3 D ．4 3A 侧视图由一个矩形和一个等腰三角形构成，矩形的长为3，宽为2，面积为3×2＝6.等腰三角形的底边为3，高为3，其面积为12×3×3＝32，所以侧视图的面积为6＋32＝152.6．(2017·海口市调研测试)一锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为( )A.33 B．17C.41 D．42C 依题意，题中的几何体是四棱锥E­ABB1A1，如图所示(其中ABCD­A1B1C1D1是棱长为4的正方体，C1E＝1)，EA＝32＋42＋42＝41，EA1＝12＋42＋42＝33，EB＝32＋42＝5，EB1＝12＋42＝17，AB＝BB1＝B1A1＝A1A＝4，因此该几何体的最长棱的棱长为41，选C.7．有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为________．由于该矩形的面积S＝5×4＝20(cm2)，所以其直观图的面积S′＝24S＝52(cm2)．5 2 cm28．如图所示的Rt△ABC绕着它的斜边AB旋转一周得到的图形是________．过Rt△ABC的顶点C作线段CD⊥AB，垂足为D，所以Rt△ABC绕着它的斜边AB旋转一周后应得到是以CD作为底面圆的半径的两个圆锥的组合体．两个圆锥的组合体9．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有________个．由三视图知该几何体是一个四棱锥，它的一个侧面与底面垂直，且此侧面的顶点在底面上的射影为对应底边的中点，易知其有两个侧面是直角三角形．210.已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，那么此三棱柱正(主)视图的面积为________．由正三棱柱的特征及侧(左)视图可得正(主)视图是一个矩形，其中一边的长是侧(左)视图中三角形的高，另一边是棱长．因为侧(左)视图中三角形的边长为2，所以高为3，所以正(主)视图的面积为2 3.2 311.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形．(1)根据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA.(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.(2)由侧视图可求得PD＝PC2＋CD2＝62＋62＝6 2 cm.由正视图可知AD＝6 cm，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝PD2＋AD2＝（62）2＋62＝63(cm)．12．如图所示，在侧棱长为23的正三棱锥V­ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面AEF，求△AEF周长的最小值．如图，将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，则线段AA1的长即为所求△AEF的周长的最小值．取AA 1的中点D ， 连接VD ，则VD ⊥AA 1，∠AVD ＝60°. 在Rt△VAD 中，AD ＝VA ·sin 60°＝3，所以AA 1＝2AD ＝6， 即△AEF 周长的最小值为6.13．(2017·石家庄市教学质量检测(二))一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为( )D 分析三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD ，故选D ．14.如图，三棱锥V ­ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC ，已知其正(主)视图的面积为23，则其侧(左)视图的面积为________．设三棱锥V ­ABC 的底面边长为a ，侧面VAC 的边AC 上的高为h ，则ah ＝43，其侧(左)视图是由底面三角形ABC 边AC 上的高与侧面三角形VAC 边AC 上的高组成的直角三角形，其面积为12×32a ×h ＝12×32×43＝33.3315．如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体； (2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积． (1)正六棱锥． (2)其侧视图如图：其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即BC ＝3a ，AD 的长是正六棱锥的高，即AD ＝3a ，所以该平面图形的面积S ＝12·3a ·3a ＝32a 2.16．某几何体的三视图如图所示．(1)判断该几何体是什么几何体？ (2)画出该几何体的直观图．(1)该几何体是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体．(2)直观图如图所示．。

第七章§1：空间几何体的结构特征及其三视图和直观图(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间45钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为2．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④3．下图为水平放置的正方形ABCO ，它在直角坐标系xOy 中点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为A ．12B ．22C ．1D ． 2 4．某简单几何体的一条对角线长为a ，在该几何体的正视图、侧视图与俯视 图中，这条对角线的投影都是长为2的线段，则a 等于 A ． 2 B ． 3 C ．1 D ．25．一个正方体内接于一个球，过球心作截面，其截面图形可能是A ．①④B ．②③C ．①②③D ．②③④二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．正视图为一个三角形的几何体可以是________(写出三种)．7．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为__________．8．下面关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的编号是______(写出所有真命题的编号)．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分）用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长．10．（本小题满分18分）已知圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍，求两底面的半径与两底面面积之和．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：正视图中小长方形在左上方，对应俯视图应该在左侧，排除B、D两项，侧视图中小长方形在右上方，对应俯视图应该在下方，排除A项，故选C项．答案：C2．解析：正方体的正视、侧视、俯视图都为正方形；圆锥的正视、侧视、俯视图依次为：三角形、三角形、圆；三棱台的正视、侧视、俯视图依次为梯形、梯形、三角形；正四棱锥的正视、侧视、俯视图依次为：三角形、三角形、正方形．故选D项．答案：D3．解析：如图，在平面直观图中，B′C′＝1，∠B′C′D′＝45°，所以B′D′＝2 2.答案：B4．解析：可构造一对角线长为a的长方体，设其长、宽、高分别为x，y，z，则x2＋y2＝2，y2＋z2＝2，z2＋x2＝2，相加得2(x2＋y2＋z2)＝2a2＝6，得a＝ 3.答案：B5．解析：画出一个正方体内接于球的直观图，逐一考查可得．答案：C二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：利用所学锥体、台体、柱体依次选择易得答案．答案：三棱锥、圆锥、三棱柱．(其他正确答案也可)7．解析：由几何体的三视图知，几何体为正方体的一个面和一个侧棱构成的四棱锥，其最长棱为正方体的对角线，因正方体棱长为2，因此最长棱为2 3.答案：2 38．解析：①错，必须是两个相邻的侧面；②正确；③错，反例，可以是斜四棱柱；④正确，对角线两两相等，则此两对角线所在的平行四边形为矩形．答案：②④三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分）解：设圆台的母线长为l ，截得圆台的上、下底面半径分别为r,4r.根据相似三角形的性质得33＋l ＝r 4r ， 解得l ＝9 cm.所以圆台的母线长为9 cm.10.（本小题满分18分）解：如图所示，设圆台上底面半径为r ，则下底面半径为2r ，且∠ASO ＝30°，在Rt △SO ′A ′中，r SA ′＝sin30°， ∴SA ′＝2r.在Rt △SOA 中，2r SA＝sin30°，∴SA ＝4r. ∴SA －SA ′＝AA ′，即4r －2r ＝2a ，r ＝a.∴S ＝S 1＋S 2＝πr 2＋π(2r)2＝5πr 2＝5πa 2.故圆台上底面半径为a ，下底面半径为2a ，两底面面积之和为5πa 2.。