甘肃省静宁县甘沟中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版缺答案

2015-2016年高二数学期中测试题（理）一． 选择题.（本大题共12小题，每小题5分共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.设z 的共轭复数是z ，若==⋅=+z z z z z z 则,8,4（ ） A. i B.i - C. 1± D. i ± 2.曲线34x x y -=，在点（-1，-3）处的切线方程是（ ）A. 47+=x yB. 4-=x yC. 27+=x y C. 2-=x y3.曲线)230(cos π≤≤=x x y 与坐标轴所围成图形面积是（ ） A. 4 B. 3 C.25 D.2 4.设i 是虚数单位，若复数)(310R a ia ∈--是纯虚数，则a 的值为（ ） A. 3 B.-1 C.-3 D. 15.用反证法证明命题：“整除可被若已知5,,ab N b a ∈，则b a ,中至少有一个能被5整除”时，反设正确的是（ ）A. b a ,都不能被5整除B. b a ,都能被5整除C. b a ,中有一个不能被5整除D. b a ,中有一个能被5整除6．直线)0(>=t t x ，与函数x x g x x f ln )(,1)(2=+=的图像分别交于A,B 两点，当AB 最小时，t 值是（ ）A. 1B. 22C. 21 D. 337.函数x x x f ln 2)(2-=，的单调减区间是( )A. (0,11,2hslx3y3h ，求a 的取值范围.21.设函数R a x x a x f ∈+-=,ln 6)5()(2，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 的切线与 y 轴交于点（0，6）.(1).确定a 的值.(2).求函数)(x f 的单调区间与极值. （12分）22.设+∈+=R a axe xf x,1)(2(1).当34 a 时，求)(x f 的极值点. (2)若)(x f 为R 上的单调函数求a 的取值范围. （12分）。

2015-2016学年甘肃省平凉市静宁县甘沟中学高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题.（本大题共12小题，每小题5分共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设z的共轭复数是，若z+=（）A．i B．﹣i C．±1 D．±i2．（5分）曲线y=4x﹣x3，在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是（）A．y=7x+4 B．y=x﹣4 C．y=7x+2 D．y=x﹣23．（5分）曲线y=cosx（0≤x≤）与两坐标轴所围成图形的面积为（）A．4 B．3 C．D．24．（5分）设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a的值为（）A．3 B．﹣1 C．﹣3 D．15．（5分）用反证法证明命题：“已知a、b∈N*，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除6．（5分）直线x=t（t＞0）与函数f（x）=x2+1，g（x）=lnx的图象分别交于A、B两点，当|AB|最小时，t值是（）A．1 B．C．D．7．（5分）函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（）A．（0，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪（0，1]D．[﹣1，0）∪（0，1]8．（5分）函数的导数是（）A．B．C．e x﹣e﹣x D．e x+e﹣x9．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．610．（5分）若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣1，0）∪（2，+∞） C．（2，+∞）D．（﹣1，0）11．（5分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，）C．（0，1） D．（0，+∞）12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）二．填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）已知函数f（x）=在[1，+∞）上为减函数，则a的取值范围为．14．（5分）如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集不是空集，求参数a 的取值范围．15．（5分）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为．16．（5分）下列条件：（1）ab＞0，（2）ab＜0，（3）a＞0，b＞0，（4）a＜0，b ＜0，其中能使成立的条件的个数是．三．解答题.17．（10分）已知x，y为共轭复数，且（x+y）2﹣3xyi=4﹣6i，求x，y的值．18．（12分）求曲线f（x）=x3﹣3x2+2x过原点的切线方程．19．（12分）设a，b，c均为正数，且a+b+c=1．证明（1）ab+bc+ac≤（2）≥9．20．（12分）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．21．（12分）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．22．（12分）设，其中a为正实数（Ⅰ）当a=时，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．2015-2016学年甘肃省平凉市静宁县甘沟中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题.（本大题共12小题，每小题5分共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设z的共轭复数是，若z+=（）A．i B．﹣i C．±1 D．±i【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），∵z+=4，=8，∴2a=4，a2+b2=8，解得a=2，b=±2．z=2+2i时，=====i；同理可得：z=2﹣2i时，==﹣i．故选：D．2．（5分）曲线y=4x﹣x3，在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是（）A．y=7x+4 B．y=x﹣4 C．y=7x+2 D．y=x﹣2【解答】解：曲线y=4x﹣x3，可得y′=4﹣3x2，在点（﹣1，﹣3）处的切线的斜率为：4﹣3=1，所求的切线方程为：y+3=x+1，即y=x﹣2．故选：D．3．（5分）曲线y=cosx（0≤x≤）与两坐标轴所围成图形的面积为（）A．4 B．3 C．D．2【解答】解：当0≤x≤时，cosx≥0，当π≤x≤时，cosx≤0，∴所求面积S==sinx|﹣sinx|=sin=1+1+1=3，故选：B．4．（5分）设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a的值为（）A．3 B．﹣1 C．﹣3 D．1【解答】解：∵a﹣=a﹣=a﹣（3+i）=a﹣3﹣i是纯虚数，则a﹣3=0，解得a=3．故选：A．5．（5分）用反证法证明命题：“已知a、b∈N*，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．故选：B．6．（5分）直线x=t（t＞0）与函数f（x）=x2+1，g（x）=lnx的图象分别交于A、B两点，当|AB|最小时，t值是（）A．1 B．C．D．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx+1，求导数得y′=2x﹣=当0＜x＜时，y′＜0，函数在（0，）上为单调减函数，当x＞时，y′＞0，函数在（，+∞）上为单调增函数所以当x=时，所设函数的最小值为+ln2，所求t的值为．故选：B．7．（5分）函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（）A．（0，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪（0，1]D．[﹣1，0）∪（0，1]【解答】解：f′（x）=2x﹣=，（x＞0），令f′（x）≤0，解得：0＜x≤1，故选：A．8．（5分）函数的导数是（）A．B．C．e x﹣e﹣x D．e x+e﹣x【解答】解：∵，∴y′==．故选：A．9．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．10．（5分）若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣1，0）∪（2，+∞） C．（2，+∞）D．（﹣1，0）【解答】解：由题，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣2﹣，令2x﹣2﹣＞0，整理得x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1，结合函数的定义域知，f′（x）＞0的解集为（2，+∞）．故选：C．11．（5分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，）C．（0，1） D．（0，+∞）【解答】解：函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．简解：函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，可得2a=有两个不同的解，设g（x）=，则g′（x）=，当x＞1时，g（x）递减，0＜x＜1时，g（x）递增，可得g（1）取得极大值1，作出y=g（x）的图象，可得0＜2a＜1，即0＜a＜，故选：B．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．二．填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）已知函数f（x）=在[1，+∞）上为减函数，则a的取值范围为a≥e．【解答】解：由f'（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，即1﹣lna﹣lnx≤0在[1，+∞）上恒成立，∴恒成立，∴，即，∴a≥e故答案为：a≥e．14．（5分）如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集不是空集，求参数a 的取值范围．【解答】解：令f（x）=|x﹣3|+|x﹣4|，由其几何意义（数轴上距离坐标为3的A点与坐标为4的B点的两点间的距离之和）可知，当动点P位于A，B之间时，f（x）min=1，∴要使关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集不是空集，须a＞1．故a＞1．15．（5分）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为12．【解答】解：∵a+2b+3c=6，∴根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）[a2+（2b）2+（3c）2]化简得62≤3（a2+4b2+9c2），即36≤3（a2+4b2+9c2）∴a2+4b2+9c2≥12，当且仅当a：2b：3c=1：1：1时，即a=2，b=1，c=时等号成立由此可得：当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12故答案为：1216．（5分）下列条件：（1）ab＞0，（2）ab＜0，（3）a＞0，b＞0，（4）a＜0，b ＜0，其中能使成立的条件的个数是3．【解答】解：当a，b同号时，，，故：（1）ab＞0，（3）a＞0，b＞0，（4）a＜0，b＜0，能使成立，故答案为：3三．解答题.17．（10分）已知x，y为共轭复数，且（x+y）2﹣3xyi=4﹣6i，求x，y的值．【解答】解：设x=a+bi（a，b∈R），则y=a﹣bi，代入（x+y）2﹣3xyi=4﹣6i，得：（a+bi+a﹣bi）2﹣3（a+bi）（a﹣bi）i=4﹣6i，即（2a）2﹣3（a2+b2）i=4﹣6i，∴，解得：，或，或，或．∴，或，或，或．18．（12分）求曲线f（x）=x3﹣3x2+2x过原点的切线方程．【解答】解f′（x）=3x2﹣6x+2．设切线的斜率为k．（1）当切点是原点时k=f′（0）=2，所以所求曲线的切线方程为y=2x．（2）当切点不是原点时，设切点是（x0，y0），则有y0=x03﹣3x02+2x0，k=f′（x0）=3x02﹣6x0+2，①又k==x02﹣3x0+2，②由①②得x0=，k==﹣．∴所求曲线的切线方程为y=﹣x．故曲线的切线方程是y=2x；y=﹣19．（12分）设a，b，c均为正数，且a+b+c=1．证明（1）ab+bc+ac≤（2）≥9．【解答】证明：（1）∵a，b，c均为正数，∴a2+b2≥2ab，a2+c2≥2ac，b2+c2≥2bc，以上三式相加得：2（a2+b2+c2）≥2（ab+ac+bc），∴a2+b2+c2≥ab+ac+bc；∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+ac+bc）≥3（ab+bc+ac），∵a+b+c=1，∴1≥3（ab+bc+ac）∴ab+bc+ca≤（当且仅当a=b=c=时取“=”）．（2）∵a，b，c均为正数，且a+b+c=1，∴a+b+c≥3，≥3，∴=（a+b+c）（）≥3•3=9．当且仅当a=b=c=时取“=”．20．（12分）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即，可得x≤1；，可得x∈∅；，可得x≥4．取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．21．（12分）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．【解答】解：（1）因f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，故f′（x）=2a（x﹣5）+，（x＞0），令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6﹣8a，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣16a=（6﹣8a）（x﹣1），由切线与y轴相交于点（0，6）．∴6﹣16a=8a﹣6，∴a=．（2）由（I）得f（x）=（x﹣5）2+6lnx，（x＞0），f′（x）=（x﹣5）+=，令f′（x）=0，得x=2或x=3，当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数，当2＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上为减函数，故f（x）在x=2时取得极大值f（2）=+6ln2，在x=3时取得极小值f（3）=2+6ln3．22．（12分）设，其中a为正实数（Ⅰ）当a=时，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．【解答】解：对f（x）求导得f′（x）=e x …①（Ⅰ）当a=时，若f′（x）=0，则4x2﹣8x+3=0，解得结合①，可知（﹣∞，）所以，是极小值点，是极大值点．（Ⅱ）若f （x ）为R 上的单调函数，则f′（x ）在R 上不变号， 结合①与条件a ＞0知ax 2﹣2ax +1≥0在R 上恒成立，因此△=4a 2﹣4a=4a （a ﹣1）≤0，由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。

甘沟中学2015---2016第二学期期中数学试卷高一 数学一、选择题 ：(本大题共12小题 ，每小题5分，共60分) 1、算法的三种基本结构是（ ）A ．顺序结构、模块结构、条件分支结构B ．顺序结构、条件结构、循环结构C ．模块结构、条件分支结构、循环结构D ．顺序结构、模块结构、循环结构2、线性回归方程a bx y+=ˆ表示的直线必经过的一个定点是 （ ）. A ．)y ,x ( B ．)0,x ( C ．)y ,0( D ．)0,0(3、 在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别 （ ）.A ．23与26B ．31与26C ．24与30D ．26与304、200辆汽车通过某一段公路时，时速的频率分布直方图如 右图所示，则时速在[50，70)的汽车大约有（ ）. A ．60辆 B ．80辆 C ．70辆 D ．140辆5、为了在运行下面的程序之后输出的y 值为16，则输入x 的值应该是 （ ）.INPUT xIF x<0 THENy=(x+1)(x+1)ELSEy=(x-1)(x-1)END IFPRINT y ENDA ．3或-3B ． -5C ．-5或5D ．5或-36、已知变量a ,b 已被赋值，要交换a, b 的值，应采用下面（ ）的算法。

A. a=b, b=a B a=c, b=a, c=b C a=c, b=a, c=a D c=a, a=b, b=c7、当a 为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C 为圆心,为半径的圆的方程为( )A ．x 2+y 2-2x+4y=0 B.x 2+y 2+2x+4y=0 C.x 2+y 2+2x-4y=0 D.x 2+y 2-2x-4y=08、某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，那么从高一、高二、高三各年级抽取人数分别为（ ）A. 15，10，20B.10，15，20C. 30，20，40D. 16，9，209、 在区域⎩⎨⎧≤≤≤≤1010y x ，内任意取一点),(y x P ，则122<+y x 的概率是（ ）A ．0B ． 214-πC ．4πD ．41π-10、用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（ ）.A ．3B ．9C ．17D ．5111、若圆022=++++F Ey Dx y x 关于直线04:1=+-y x l 和直线03;2=+y x l 都对称，则E D +的值为（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．412、右图给出的是计算201614121++++ 的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（ ）.A ．21≤iB ．11≤iC ．21≥iD ．11≥i） 1 2 42 03 5 6 3 0 1 14 1 2二、填空题:（共4小题，每题5分，共20分）13、空间两点M1（-1,0,3）,M2(0,4,-1)间的距离是 14、比较大小：403（6） 217（8） 15、A B ，两人射击10次，命中环数如下： A ：8 6 9 5 10 7 4 7 9 5； B ：7 6 5 8 6 9 6 8 8 7 A B ，两人的方差分别为 、 ，由以上计算可得 的射击成绩较稳定.16、已知P 是直线0843=++y x 上的动点，,PA PB 是圆012222=+--+y x y x 的切线，,A B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________________.甘沟中学2015---2016第二学期期中高一数学试卷答题卡座位号:_____13. 14. 15. 16. 三.解答题:17．一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品。

甘沟中学2015---2016第二学期期中数学试卷（高二 文科）参考公式或数据： 回归直线的方程是：（1）a bx y +=ˆ， 其中i i ni ini i ix yx b y a x xy y x xb 是与其中ˆ;,)())((121-=---=∑∑==对应的回归估计值. （2）22(ad bc)ka+b b+d a+c c+dn （其中n 为样本容量）（3）假设检验中的临界值表：20(k )P k0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k 2.7063.8415.0246.6357.879 10.828一、选择题（每题5分，共60分） 1、复数25-i 的共轭复数是 （ ）A ．i +2B ．i -2C ．-i -2D ．2 - i2、已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线的方程是 ( )A 、y ∧=1.23x ＋4 B 、 y ∧=1.23x+5 C 、 y ∧=1.23x+0.08 D 、 y ∧=0.08x+1.23 3、把x=-1输入上面的程序框图可得 ( ) A 、 -1B 、0C 、不存在D 、14、已知：10b -<<，0<a ，那么下列不等式成立的是（ ） A ．2ab ab a >> B ．a ab ab >>2 C ．2ab a ab >> D ．a ab ab >>25、用反证法证明命题“三角形的三个内角中至多有一个是钝角”时， 假设正确的是（ ）A ．假设三角形的内角三个内角中没有一个是钝角 B. 假设三角形的内角三个内角中至少有一个是钝角C ．假设三角形的内角三个内角中至多有两个是钝角 D.假设三角形的内角三个内角中至少有两个是钝角 6、不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是（ ） （A ） （B ）（C ）(-∞,-57，+∞) （D ）(-∞，-46,+∞) 7、m ＜n ＜0是＞成立的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8、复平面上矩形ABCD 的四个顶点中，C B A 、、所对应的复数分别为i 32+、i 23+、i 32--，则D 点对应的复数是 （ ）A.i 32+-B.i 23--C.i 32-D.i 23-9、若不等式23x x a -++>恒成立，则a 的取值范围是 （ ）A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(,5)-∞D ．(5,)+∞10、已知i 为虚数单位，m ，n 都为实数，且m （1+i ）=1+ni ，则2013)nim ni m -+（=（ ） A -1 B i C 1 D –i11、在R 上定义运算⊕:x ⊕y =x(1-y),若不等式(x-a )⊕(x+a )< 1 对任意实数X 都成立,则 ( )A 、 – 1<a < 1B 、0<a <2C 、 -12<a <32 D 、- 32< a <1212、投掷两粒骰子,得到其向上的点数分别为m 、n,则复数(m+ni)(n-mi)为实数的概率为 ( )A.13B.14 C.16D.112二、填空题（每题5分）13、指出三段论“自然数中没有最大的数（大前提），2是自然数（小前提），所以2不是最大的数（结论）”中的错误是___________。

甘肃兰州2014—2015学年度下学期期中考试高二数学理试题说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷(卡)上，交卷时只交答题卷(卡).第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分) 1. 有一段“三段论”推理是这样的： 对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点， 因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推理中 （ ） A ．大前提错误 B ． 小前提错误 C ．推理形式错误 D ．结论正确2. 设函数()ln(23)f x x =-，则'1()3f = （ ）A ．13B ．12C ．2-D ． 3- 3．复数ii z -+=1)2(2（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若关于x 的方程330x x m -+=在[0, 2]上有根，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．[20]-，B ．[02]，C ．[22]-，D ．(2)(2)-∞-+∞，，5. 若当n →+∞时，1123(0)p p p pP n p n +++++>无限趋近于一个常数A ，则A 可用定积分表示为 （ ）A ．101dx x ⎰B ．10p x dx ⎰C ．101()p dx x ⎰D ．10()p xdx n⎰6. 已知函数1ln ()x f x x +=，在区间2(,)3a a +（0a >）上存在极值，则实数a 的取值范围是 （ ）A .( 0,1)B .(23，1)C .( 12，1)D .( 13, 1)7. 已知z ∈C ，且|z |=1，则|z -2-2i |（i 为虚数单位）的最小值是 （ ）A ．BC D8. 平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值2，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为 （ ）Ａa Ｂa ＣＤ9. 函数y =x +cosx 的大致图象是(图中虚线是直线y =x ) （ ）10．用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒. 当所做的铁盒的容积最大时，在四角截去的正方形的边长为 （ ） A ．12 B . 10 C . 8 D . 611．曲线y =x 2-ln x 上任意一点P 到直线y =x -2的距离的最小值是 （ ）A ． １ BC . ２ D. 12．定义在R 上的函数f (x )满足f (4)=1, f '(x )为f (x )的导函数，已知y =f '(x )的图象如右图所示，若两正数a ,b 满足f (2a +b )<1,则22b a ++ 的取值范围是 （ ）A . (- ∞, -3)B . (- ∞, 12)∪(3,+∞)C .( 12，3)D . ( 13,12)第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．已知复数z 与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = ． 14．仔细观察下面4个数字所表示的图形：请问：数字100所代表的图形中小方格的个数为 ． 15. 设()f x 是连续函数，且10()3()f x x f t dt =+⎰，则f (x )= ．16．函数g (x )＝ax 3＋2(1－a )x 2－3ax (a <0) 在区间（-∞，3a）内单调递减，则a 的取值范围是 ． 三、解答题(本大题共4小题，共36分)17．(本小题满分8分) 已知抛物线C ：y =-x 2+4x -3 .（1）求抛物线C 在点A （0，－3）和点B (3，0)处的切线的交点坐标； （2）求抛物线C 与它在点A 和点B 处的切线所围成的图形的面积.18. (本小题满分8分) 已知函数ln ()xf x x. （1）求函数f (x )的单调区间；（2）已知a 、b ∈R,a >b >e , (其中e 是自然对数的底数), 求证:b a >a b.19．（本小题8分）已知数列{}n a 的前n 项和*1()n n S na n =-∈N ． （1）计算1a ，2a ，3a ，4a ；（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．20．（本小题满分12分）已知f (x )=ax 2(a ∈R), g (x )=2ln x . （1）讨论函数F (x )=f (x )-g (x )的单调性；（2）是否存在实数a ，使得f (x )≥g (x )+2 (x>0)恒成立，若不存在，请说明理由；若存在，求出a 的取值范围;（3）若方程f (x )=g (x )在区间]e 上有两个不相等的实数根，求a 的取值范围.兰州一中2014-2015-2学期期中考试参考答案高二数学（理）一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13．-2i ． 14．20201． 15. 34x -． 16．(－∞，－1]． 三、解答题(本大题共4小题，共36分) 17．(本小题满分8分)解：(1)24y x '=-+，1(0)4,(3)2k y y y '''====-， 所以过点A （0，－3）和点B (3，0)的切线方程分别是43y 26y x x =-=-+和，两条切线的交点是（3,32），………………4分 (2)围成的区域如图所示：区域被直线32x =分成了两部分，分别计算再相加，得： 3333222233022[(43)(43)][(26)(43)]S x dx x x dx x dx x x dx =---+-+-+--+-⎰⎰⎰⎰33232233232200332211(23)(23)(6)(23)33x x x x x x x x x x =---+-+-+--+-94=即所求区域的面积是94. ………………8分 18. (本小题满分8分) 解：（1）ln ()x f x x =, ∴21ln ()xf x x-'= ∴当x e >时,()0f x '<,∴函数()f x 在(,)e +∞上是单调递减. 当0<x <e 时,()0f x '>,∴函数()f x 在(0,e )上是单调递增.∴f (x )的增区间是(0,e ),减区间是(,)e +∞. ………………4分 (2)证明:∵0,0a b b a >> ∴要证: abb a > 只要证:ln ln a b b a > 只要证ln ln b ab a>.(∵a b e >>) 由（1）得函数()f x 在(,)e +∞上是单调递减. ∴当a b e >>时,有()()f b f a >即ln ln b ab a>. ∴ abb a >………………8分 19．（本小题8分） 解：（1）依题设可得111212a ==⨯，211623a ==⨯， 3111234a ==⨯，4112045a ==⨯； ………………………3分（2）猜想：1(1)n a n n =+．………………………4分证明：①当1n =时，猜想显然成立．………………………5分 ②假设*()n k k =∈N 时，猜想成立，即1(1)k a k k =+．…………………6分那么，当1n k =+时，111(1)k k S k a ++=-+， 即111(1)k k k S a k a +++=-+． 又11k k kS ka k =-=+， 所以111(1)1k k ka k a k +++=-++， 从而111(1)(2)(1)[(1)1]k a k k k k +==+++++．即1n k =+时，猜想也成立． ………………………7分 故由①和②，可知猜想成立． ………………………8分20.（本小题满分12分）解：（1）2()2ln ,(0,)F x ax x =-+∞其定义域为222(1)()2(0)ax F x ax x x x-'∴=-=>（i ）当a >0时，由ax 2-1>0得 x>,由ax 2-1<0得 0x<<.故当a >0时，F (x )的递增区间为)+∞，递减区间为.（ii ）当0,()0(0)a F x x '≤<>时恒成立故当0,()(0,)a F x ≤+∞时在上单调递减. ………………………4分 （2）即使()20F x x ≥>在时恒成立.（i ）当a ≤0时，由（1）知当,().x F x →+∞→-∞则∴()20F x x ≥>在时不可能恒成立.， （ii ）当a>0时，由（1）可知min 1()11ln F x F a ==-=-11ln2a∴-≥只须即可 , ln 1a a e ∴≥∴≥ 故存在这样的a 的值，使得()()2()f x g x x R +≥+∈恒成立a 的取值范围是[e ,+∞] ………………………8分（3）等价于方程22ln ()xa x x ϕ==在区间]e 上有两个不等解， ∵242ln 2(12ln )()x x x x x x ϕ-'==()x ϕ在区间上为增函数，在)e 上为减函数，∴max 1()x eϕϕ==，222ln 2ln 2()(2)42e e ϕϕϕ=<===，min ln 2()2x ϕϕ== a 的取值范围是ln 21[,)2e………………………12分。

2014-2015学年甘肃省平凉市静宁县甘沟中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（）A．预报变量x轴上，解释变量y轴上B．解释变量x轴上，预报变量y轴上C．可以选择两个变量中任意一个变量x轴上D．可以选择两个变量中任意一个变量y轴上2．（5分）设复数z1＝1﹣3i，z2＝3+2i，则z1+z2在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）在极坐标系中，圆ρ＝﹣2sinθ的圆心的极坐标是（）A．B．C．（1，0）D．（1，π）4．（5分）下面给出了关于复数的三种类比推理：①复数的加减法运算法则可以类比多项式的加减法运算法则；②由实数可以比较大小类比得到复数也可以比较大小；③由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义；其中正确的类比是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③5．（5分）在回归分析中，通常利用分析残差来判断回归方程拟合数据的精确高低，利用R2来刻画回归的效果，以下关于分析残差和R2的描述不正确的是（）A．通过分析残差有利于发现样本数据中的可疑数据B．根据获取的样本数据计算，若越小，则模型的拟合效果越好C．根据获取的样本数据计算，若越大，则模型的拟合效果越差D．根据获取的样本数据计算R2，若R2＝0.85，则表明解释变量解释了85%的预报变量变化6．（5分）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如表的列联表：算得，K2≈7.8．见附表：参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”7．（5分）有一段演绎推理是这样的“任何实数的平方都大于0，因为a∈R，所以a2＞0”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误8．（5分）用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，则假设的内容是（）A．三角形中有两个内角是钝角B．三角形中有三个内角是钝角C．三角形中至少有两个内角是钝角D．三角形中没有一个内角是钝角9．（5分）在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l ：y +kx +2＝0与曲线C ：ρ＝2cos θ相交，则k 的取值范围是（ ）A ． B． C ．k ∈R D ．k ∈R 但k ≠010．（5分）已知a ，b ，m ∈R ，则下面推理中正确的是（ ）A ．a ＞b⇒＞1B ．a ＞b ⇒am 2＞bm 2C ．a 3＞b 3，ab ＞0⇒＜D ．a 2＞b 2，ab ＞0⇒＜11．（5分）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程＝x +的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元 12．（5分）设a n ＝log n +1（n +2）（n ∈N *），观察下列运算：a 1•a 2＝log 23•log 34＝＝2；a 1•a 2•a 3•a 4•a 5•a 6＝log 23•log 34…log 67•log 78＝＝3；则当a 1•a 2…a k ＝2015时，正整数k 为（ ）A ．22015﹣2B ．22015C ．22015+2D ．22015﹣4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）满足的复数z 的共轭复数＝ ．14．（5分）若实数x ，y 满足3x 2+2y 2＝6x ，则x 2+y 2的最大值为 ．15．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 值为 ．16．（5分）直线（t为参数）被双曲线x2﹣y2＝1截得的弦长为．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（10分）实数a取什么值时，复数z＝a﹣1+（a+1）i．是（Ⅰ）实数；（Ⅱ）虚数；（Ⅲ）纯虚数．18．（12分）（Ⅰ）数列{a n}满足S n＝2n﹣a n，先计算数列的前四项，再归纳猜想通项a n；（Ⅱ）用分析法证明：．19．（12分）在研究高血压与患心脏病的关系调查中，调查高血压患者30人，其中有20人患心脏病，调查不患高血压的80人中，有30人患心脏病．（Ⅰ）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（Ⅱ）判断高血压与患心脏病之间在多大程度上有关系？附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．20．（12分）平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3＝0．（1）求直线l的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．21．（12分）已知定点A（12，0），M为曲线上的动点．（1）若点P满足条件，试求动点P的轨迹C的方程；（2）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，若直线：ρcosθ+ρsinθ＝a与曲线C相交于不同的E、F两点，O为坐标原点且＝12，求∠EOF的余弦值和实数a的值．22．（12分）已知函数f（x）＝ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a＝2，求曲线y＝f（x）在x＝1处切线的斜率；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）＝x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．2014-2015学年甘肃省平凉市静宁县甘沟中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（）A．预报变量x轴上，解释变量y轴上B．解释变量x轴上，预报变量y轴上C．可以选择两个变量中任意一个变量x轴上D．可以选择两个变量中任意一个变量y轴上【解答】解：∵通常把自变量称为解析变量，因变量称为预报变量，∴故解释变量为自变量，预报变量为因变量．故选：B．2．（5分）设复数z1＝1﹣3i，z2＝3+2i，则z1+z2在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z1＝1﹣3i，z2＝3+2i，∴z1+z2＝4﹣i，对应的坐标为（4，﹣1）位于第四象限，故选：D．3．（5分）在极坐标系中，圆ρ＝﹣2sinθ的圆心的极坐标是（）A．B．C．（1，0）D．（1，π）【解答】解：将方程ρ＝﹣2sinθ两边都乘以p得：ρ2＝﹣2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2+y2+2y＝0．圆心的坐标（0，﹣1）．∴圆心的极坐标故选：B．4．（5分）下面给出了关于复数的三种类比推理：①复数的加减法运算法则可以类比多项式的加减法运算法则；②由实数可以比较大小类比得到复数也可以比较大小；③由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义；其中正确的类比是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【解答】解：由复数的知识和类比推理可得：①复数的加减法运算法则可以类比多项式的加减法运算法则，正确；②由实数可以比较大小类比得到复数也可以比较大小，错误；③由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，正确；故选：C．5．（5分）在回归分析中，通常利用分析残差来判断回归方程拟合数据的精确高低，利用R2来刻画回归的效果，以下关于分析残差和R2的描述不正确的是（）A．通过分析残差有利于发现样本数据中的可疑数据B．根据获取的样本数据计算，若越小，则模型的拟合效果越好C．根据获取的样本数据计算，若越大，则模型的拟合效果越差D．根据获取的样本数据计算R2，若R2＝0.85，则表明解释变量解释了85%的预报变量变化【解答】解：在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，残差平方和越大，说明模型的拟合效果越差，故选：B．6．（5分）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如表的列联表：算得，K2≈7.8．见附表：参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【解答】解：由题意知本题所给的观测值K2≈7.8＞6.635，∴这个结论有0.01＝1%的机会说错，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”故选：C．7．（5分）有一段演绎推理是这样的“任何实数的平方都大于0，因为a∈R，所以a2＞0”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【解答】解：任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0，大前提：任何实数的平方大于0是不正确的，故选：A．8．（5分）用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，则假设的内容是（）A．三角形中有两个内角是钝角B．三角形中有三个内角是钝角C．三角形中至少有两个内角是钝角D．三角形中没有一个内角是钝角【解答】解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的否定为：“三角形中至少有两个内角是钝角”，故应假设的内容是：三角形中至少有两个内角是钝角．故选：C ．9．（5分）在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l ：y +kx +2＝0与曲线C ：ρ＝2cos θ相交，则k 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．k ∈RD ．k ∈R 但k ≠0【解答】解：将原极坐标方程ρ＝2cos θ，化为：ρ2＝2ρcos θ，化成直角坐标方程为：x 2+y 2﹣2x ＝0，即（x ﹣1）2+y 2＝1．则圆心到直线的距离由题意得：d ＜1，即＜1，解之得：k ＜﹣．故选：A ． 10．（5分）已知a ，b ，m ∈R ，则下面推理中正确的是（ ）A ．a ＞b ⇒＞1B ．a ＞b ⇒am 2＞bm 2C ．a 3＞b 3，ab ＞0⇒＜D ．a 2＞b 2，ab ＞0⇒＜【解答】解：对于A ：比如a ＝1，b ＝﹣1，不成立；对于B ：比如m ＝0时，不成立；对于C ：a 3＞b 3，ab ＞0，故a 3b 3＞0，故＞，＞，C 正确；对于D ：比如a ＝﹣2，b ＝﹣1时，不成立，故选：C ．11．（5分）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程＝x +的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ） A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元【解答】解：∵＝3.5， ＝42，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4， ∴42＝9.4×3.5+，∴＝9.1，∴线性回归方程是y ＝9.4x +9.1，∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1＝65.5，故选：B ．12．（5分）设a n ＝log n +1（n +2）（n ∈N *），观察下列运算：a 1•a 2＝log 23•log 34＝＝2；a 1•a 2•a 3•a 4•a 5•a 6＝log 23•log 34…log 67•log 78＝＝3；则当a 1•a 2…a k ＝2015时，正整数k 为（ ）A ．22015﹣2B ．22015C ．22015+2D ．22015﹣4 【解答】解：a 1•a 2•a k ＝•••＝＝log 2（k +2）， 由当a 1•a 2…a k ＝2015，即log 2（k +2）＝2015，解得k +2＝22015，即k ＝22015﹣2．故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）满足的复数z 的共轭复数＝ 2+2i ．【解答】解：设z＝a+bi，则（a+bi）+i（a+bi）＝4（﹣i），整理得（a﹣b）+（b+a）i＝4﹣4i，所以，解得，所以z＝2﹣2i，．故答案为：2+2i．14．（5分）若实数x，y满足3x2+2y2＝6x，则x2+y2的最大值为4．【解答】解：∵3x2+2y2＝6x，∴y2＝﹣x2+3x，由y2＝﹣x2+3x≥0，可得0≤x≤2，又x2+y2＝x2﹣x2+3x＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣3）2+，∵0≤x≤2，∴x＝2时，x2+y2的最大值为4．故答案为：4．15．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S值为﹣3．【解答】解：模拟程序的运行，可得k＝1，S＝1满足条件k＜4，执行循环体，S＝1，k＝2满足条件k＜4，执行循环体，S＝0，k＝3满足条件k＜4，执行循环体，S＝﹣3，k＝4不满足条件k＜4，退出循环，输出S的值为﹣3．故答案为：﹣3．16．（5分）直线（t为参数）被双曲线x2﹣y2＝1截得的弦长为2．【解答】解：由，得直线的一般方程为．联立，得2x2﹣12x+13＝0．∴．则直线被双曲线截得的弦长为＝．故答案为．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（10分）实数a取什么值时，复数z＝a﹣1+（a+1）i．是（Ⅰ）实数；（Ⅱ）虚数；（Ⅲ）纯虚数．【解答】解：（Ⅰ）当a+1＝0时，得a＝﹣1，复数z是实数；（Ⅱ）当a+1≠0时，得a≠﹣1，复数z是虚数；（Ⅲ）当时，得a＝1，复数z是纯虚数．18．（12分）（Ⅰ）数列{a n}满足S n＝2n﹣a n，先计算数列的前四项，再归纳猜想通项a n；（Ⅱ）用分析法证明：．【解答】（Ⅰ）解：由a1＝2﹣a1，得a1＝1，由a1+a2＝2×2﹣a2，得a2＝，由a1+a2+a3＝2×3﹣a3，得a3＝，由a1+a2+a3+a4＝2×4﹣a4，得a4＝，猜想a n＝；（Ⅱ）证明：要证，只要证6+7+2＞8+5+4，只要证＞2，即证42＞40．而42＞40显然成立，故原不等式成立．19．（12分）在研究高血压与患心脏病的关系调查中，调查高血压患者30人，其中有20人患心脏病，调查不患高血压的80人中，有30人患心脏病．（Ⅰ）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（Ⅱ）判断高血压与患心脏病之间在多大程度上有关系？附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．【解答】解：（Ⅰ）给出如下列联表：（Ⅱ）由列联表中的数据可得：K2＝＝7.486，又P（K2≥6.635）＝0.010，∴有99%的把握认为高血压与患心脏病有关系．20．（12分）平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3＝0．（1）求直线l的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．【解答】解：（1）直线l的参数方程是（t为参数），化为普通方程得：y ＝x∴在平面直角坐标系中，直线l经过坐标原点，倾斜角是，因此，直线l的极坐标方程是θ＝，（ρ∈R）；…（5分）（2）把θ＝代入曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3＝0，得ρ2﹣ρ﹣3＝0∴由一元二次方程根与系数的关系，得ρ1+ρ2＝，ρ1ρ2＝﹣3，∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝＝．…（10分）21．（12分）已知定点A（12，0），M为曲线上的动点．（1）若点P满足条件，试求动点P的轨迹C的方程；（2）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，若直线：ρcosθ+ρsinθ＝a与曲线C相交于不同的E、F两点，O为坐标原点且＝12，求∠EOF的余弦值和实数a的值．【解答】解：（1）设P（x，y），则∵，∴（x﹣12，y）＝2（﹣6+2cosθ，2sinθ），∴，即x2+y2＝16；（2）直线：ρcosθ+ρsinθ＝a可化为x+y﹣a＝0，∵＝12，∴4•4•cos∠EOF＝12，∴cos∠EOF＝，∴cos∠EOF＝＝，∴圆心到直线的距离d＝4cos∠EOF＝＝，∴a＝±2．22．（12分）已知函数f（x）＝ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a＝2，求曲线y＝f（x）在x＝1处切线的斜率；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）＝x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，则f'（1）＝2+1＝3．故曲线y＝f（x）在x＝1处切线的斜率为3；（Ⅱ）．①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0所以，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．②当a＜0时，由f'（x）＝0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max，因为g（x）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g（x）max＝2…（9分）由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．当a＜0时，f（x）在（0，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，f（﹣）＝﹣1+ln（﹣）＝﹣1﹣ln（﹣a），所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得a＜﹣．。

2014-2015学年甘肃省兰州市高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）若复数z＝1+i，i为虚数单位，则（1+z）•z＝（）A．1+3i B．3+3i C．3﹣i D．33．（5分）已知奇函数f（x）满足f′（﹣1）＝1，则＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣24．（5分）已知f（x）＝x3﹣x2+6x﹣a，若对任意的x，f′（x）≥m恒成立，则m的最大值为（）A．3B．2C．1D．﹣5．（5分）函数f（x）＝x3+x在点处（1，）的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A．3B．C．2D．x是增函数（大前提），而y＝是对数函6．（5分）“因为对数函数y＝log数（小前提），所以y＝是增函数（结论）．”上面推理的错误是（）A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提都错导致结论错7．（5分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度8．（5分）给定数列，1，2+3+4，5+6+7+8+9，10+11+12+13+14+15+16，…则这个数列的通项公式是（）A．a n＝2n2+3n﹣1B．a n＝n2+5n﹣5C．a n＝2n3﹣3n2+3n﹣1D．a n＝2n3﹣n2+n﹣29．（5分）已知函数y＝（x﹣1）f′（x）的图象如图所示，其中f′（x）为函数f（x）的导函数，则y＝f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．10．（5分）若f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）＞2f（1）C．f（0）+f（2）≤2f（1）D．f（0）+f（2）≥2f（1）11．（5分）下面给出了关于复数的四种类比推理，①复数的加减法运算，可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量的性质||2＝2，可以类比得到复数z的性质：|z|2＝z2；③方程ax2+bx+c＝0（a，b，c∈R）有两个不同的实数根的条件是b2﹣4ac＞0，类比可得方程ax2+bx+c＝0（a，b，c∈C）有两个不同的复数根的条件是b2﹣4ac＞0；④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义．其中类比得到（）A．①③B．②④C．②③D．①④12．（5分）若f（x）＝ax2+2x﹣lnx（a≠0）在区间[1，2]上是增函数，则实数a的最小值为（）A．1B．﹣1C．﹣D．﹣2二、解答题（共4小题，满分20分）13．（5分）函数f（x）＝x﹣2lnx的单调递减区间是．14．（5分）dx＝，（x+sin x）dx＝．15．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+a2在x＝1处有极值10，则a•b＝．16．（5分）观察下列式子：，则可以猜想的结论为：当n∈N且n≥2时，恒有．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（1）在数列{a n}中a1＝1，a n+1＝（n∈N*），猜想这个数列的通项公式．（2）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足，S n++2＝a n（n≥2），计算S1，S2，S3，S4，并猜想S n的表达式．18．（10分）设a，b，c∈R且a+b+c＝1，求证a2+b2+c2≥．19．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣3x及y＝f（x）上一点P（1，﹣2），过点P 作直线l．（1）求使直线l和y＝f（x）相切且以P为切点的直线方程；（2）求使直线l和y＝f（x）相切且切点异于P的直线方程．20．（12分）求由抛物线y2＝8x（y＞0）与直线x+y﹣6＝0及y＝0所围成图形的面积．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣f′（1）x+ln，g（x）＝﹣﹣f（x）．（1）求f（x）的单调区间．（2）设函数h（x）＝x2﹣x+m，若存在x1∈（0，1]，对任意的x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，求实数m的取值范围．22．（14分）已知函数f（x）＝x2e﹣x（Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线y＝f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．2014-2015学年甘肃省兰州市高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：＝＝﹣（1+i）＝﹣1﹣i，故选：D．2．（5分）若复数z＝1+i，i为虚数单位，则（1+z）•z＝（）A．1+3i B．3+3i C．3﹣i D．3【解答】解：∵复数z＝1+i，i为虚数单位，则（1+z）•z＝（2+i）（1+i）＝1+3i 故选：A．3．（5分）已知奇函数f（x）满足f′（﹣1）＝1，则＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【解答】解：∵奇函数f（x）满足f′（﹣1）＝1，∴＝＝f′（﹣1）＝1，故选：A．4．（5分）已知f（x）＝x3﹣x2+6x﹣a，若对任意的x，f′（x）≥m恒成立，则m的最大值为（）A．3B．2C．1D．﹣【解答】解：∵f（x）＝x3﹣x2+6x﹣a，∴f'（x）＝3x2﹣9x+6＝3（x﹣）2﹣≥﹣∴m≤﹣，∴m的最大值为﹣，故选：D．5．（5分）函数f（x）＝x3+x在点处（1，）的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A．3B．C．2D．【解答】解：∵f（x）＝x3+x，∴f′（x）＝x2+1，∴曲线f（x）＝x3+x在点处（1，）处的切线斜率k＝f′（1）＝2，∴所求的切线方程为y﹣＝2（x﹣1）即2x﹣y﹣＝0令x＝0可得y＝﹣，令y＝0可得x＝，则与两坐标轴围成三角形的面积是S＝＝．故选：D．x是增函数（大前提），而y＝是对数函6．（5分）“因为对数函数y＝log数（小前提），所以y＝是增函数（结论）．”上面推理的错误是（）A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提都错导致结论错【解答】解：当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，当0＜a＜1时，对数函数y＝log a x是减函数，故推理的大前提是错误的故选：A．7．（5分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选：B．8．（5分）给定数列，1，2+3+4，5+6+7+8+9，10+11+12+13+14+15+16，…则这个数列的通项公式是（）A．a n＝2n2+3n﹣1B．a n＝n2+5n﹣5C．a n＝2n3﹣3n2+3n﹣1D．a n＝2n3﹣n2+n﹣2【解答】解：由数列知，第n项的共有2n﹣1项，且第n项的最后一个数为1+3+5+…+（2n﹣1）＝×n＝n2，∴数列的通项公式a n＝（1+2+3+…+n2）﹣[1+2+3+…+（n﹣1）2]＝（n﹣1）2+1+（n﹣1）2+2+…+（n﹣1）2+（2n﹣1）＝（n﹣1）2×（2n﹣1）+×（2n﹣1）＝2n3﹣3n2+3n﹣1．故选：C．9．（5分）已知函数y＝（x﹣1）f′（x）的图象如图所示，其中f′（x）为函数f（x）的导函数，则y＝f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：结合图象可知当x＞1时，（x﹣1）f'（x）＞0即f'（x）＞0∴y＝f（x）在（1，+∞）上单调递增故选：B．10．（5分）若f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）＞2f（1）C．f（0）+f（2）≤2f（1）D．f（0）+f（2）≥2f（1）【解答】解：∵（x﹣1）f'（x）≥0∴x＞1时，f′（x）≥0；x＜1时，f′（x）≤0∴f（x）在（1，+∞）为增函数；在（﹣∞，1）上为减函数∴f（2）≥f（1）f（0）≥f（1）∴f（0）+f（2）≥2f（1）故选：D．11．（5分）下面给出了关于复数的四种类比推理，①复数的加减法运算，可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量的性质||2＝2，可以类比得到复数z的性质：|z|2＝z2；③方程ax2+bx+c＝0（a，b，c∈R）有两个不同的实数根的条件是b2﹣4ac＞0，类比可得方程ax2+bx+c＝0（a，b，c∈C）有两个不同的复数根的条件是b2﹣4ac＞0；④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义．其中类比得到（）A．①③B．②④C．②③D．①④【解答】解：①复数的加减运算可以类比多项式的加减运算，两者用的都是合并同类项的规则，可以类比；②由向量的性质||2＝2类比复数z的性质|z|2＝z2；两者属性不同一个是数，一个是即有大小又有方向的量，不具有类比性，故错误；③方程ax2+bx+c＝0（a，b，c∈R）有两个不同实数根的条件是b2﹣4ac＞0，可以类比得到方程ax2+bx+c＝0（a，b，c∈C）有两个不同复数根的条件是b2﹣4ac＞0，数的概念推广后，原有的概念在新的领域里是不是成立属于知识应用的推广，不是类比，故合理错误；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，由两者的几何意义知，此类比正确；综上，①④是正确的故选：D．12．（5分）若f（x）＝ax2+2x﹣lnx（a≠0）在区间[1，2]上是增函数，则实数a的最小值为（）A．1B．﹣1C．﹣D．﹣2【解答】解：由已知，得f（x）＝ax2+2x﹣lnx，且x＞0，则f′（x）＝ax+2﹣＝，若a＝0，由f'（x）＞0得x＞，显然符合题意，若a≠0，∵函数f（x）区间[1，2]是增函数，∴f'（x）≥0对x∈[1，2]恒成立，即不等式ax2+2x﹣1≥0对x∈[1，2]恒成立，即a≥＝﹣＝（﹣1）2﹣1恒成立故a≥[（﹣1）2﹣1]max，而当x＝2时，函数（﹣1）2﹣1的最大值为﹣，∴实数a的最小值是﹣，故选：C．二、解答题（共4小题，满分20分）13．（5分）函数f（x）＝x﹣2lnx的单调递减区间是（0，2）．【解答】解：函数y＝x﹣lnx的导数为y＝1﹣，令y′＝1﹣＜0，得x＜2∴结合函数的定义域，得当x∈（0，2）时，函数为单调减函数．因此，函数y＝x﹣lnx的单调递减区间是（0，2）故答案为：（0，2）．14．（5分）dx＝，（x+sin x）dx＝．【解答】解：由于dx的几何意义表示为y＝对应上半圆的面积，则dx＝；（x+sin x）dx＝（x2﹣cos x）|＝π2﹣（﹣1）＝π2+1故答案为：，．15．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+a2在x＝1处有极值10，则a•b＝﹣44．【解答】解：f′（x）＝3x2+2ax+b，由题意得，f′（1）＝3+2a+b＝0①，f（1）＝1+a+b+a2＝10②，联立①②解得或，当a＝﹣3，b＝3时，f′（x）＝3x2﹣6x+3＝3（x﹣1）2，x＜1或x＞1时，f′（x）＞0，所以x＝1不为极值点，不合题意；经检验，a＝4，b＝﹣11符合题意，所以ab＝﹣44，故答案为：﹣44．16．（5分）观察下列式子：，则可以猜想的结论为：当n∈N且n≥2时，恒有．【解答】解：根据规律，右边是正整数（n）的平方的倒数和，左边是分子是正奇数，分母是正整数n，可以猜想的结论为：当n∈N且n≥2时，恒有故答案为三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（1）在数列{a n}中a1＝1，a n+1＝（n∈N*），猜想这个数列的通项公式．（2）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足，S n++2＝a n（n≥2），计算S1，S2，S3，S4，并猜想S n的表达式．【解答】解（1）∵a1＝1，a n+1＝，∴a2═，a3＝，a4═，∵a1＝1＝，∴猜想这个数列的通项公式为a n＝．（2）∵S n++2＝a n（n≥2），∴．18．（10分）设a，b，c∈R且a+b+c＝1，求证a2+b2+c2≥．【解答】证明：∵a+b+c＝1，∴1＝（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）≤3（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2≥．19．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣3x及y＝f（x）上一点P（1，﹣2），过点P 作直线l．（1）求使直线l和y＝f（x）相切且以P为切点的直线方程；（2）求使直线l和y＝f（x）相切且切点异于P的直线方程．【解答】解：（1）由f（x）＝x3﹣3x得，f′（x）＝3x2﹣3，过点P且以P（1，﹣2）为切点的直线的斜率f′（1）＝0，∴所求直线方程为y＝﹣2．（2）设过P（1，﹣2）的直线l与y＝f（x）切于另一点（x0，y0），则f′（x0）＝3x02﹣3．又直线过（x0，y0），P（1，﹣2），故其斜率可表示为＝，又＝3x02﹣3，即x03﹣3x0+2＝3（x02﹣1）•（x0﹣1），解得x0＝1（舍）或x0＝﹣，故所求直线的斜率为k＝3×（﹣1）＝﹣，∴y﹣（﹣2）＝﹣（x﹣1），即9x+4y﹣1＝0．20．（12分）求由抛物线y2＝8x（y＞0）与直线x+y﹣6＝0及y＝0所围成图形的面积．【解答】解：设所求图形面积为S，（4分）＝（8分）＝＝（12分）21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣f′（1）x+ln，g（x）＝﹣﹣f（x）．（1）求f（x）的单调区间．（2）设函数h（x）＝x2﹣x+m，若存在x1∈（0，1]，对任意的x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝lnx﹣f′（1）x+ln，的定义域为（0，+∞），f′（x）＝﹣f′（1），令x＝1，则f′（1）＝1﹣f′（1），∴f′（1）＝，则f′（x）＝﹣＝由f′（x）＞0，解得0＜x＜2，此时函数单调递增，由f′（x）＜0，解得x＞2，此时函数单调递减，故f（x）的单调增区间为（0，2），递减区间为（2，+∞）；（2）g（x）＝x﹣﹣f（x）＝2x﹣﹣lnx﹣ln，x＞0则g′（x）＝2+﹣＝而2x2﹣x+2＝2（x﹣）2+＞0，故在（0，1]上g′（x）＞0，即函数g（x）在（0，1]上单调递增，∴g（x）max＝g（1）＝ln2﹣1，∵h（x）在[1，2]上单调递增，∴h（x）max＝2+m，由题意可知，g（x）max≥h（x）max，∴ln2﹣1≥2+m，∴m≤ln2﹣3故实数m的取值范围是（﹣∞，ln2﹣3]22．（14分）已知函数f（x）＝x2e﹣x（Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线y＝f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝x2e﹣x，∴f′（x）＝2xe﹣x﹣x2e﹣x＝e﹣x（2x﹣x2），令f′（x）＝0，解得x＝0或x＝2，令f′（x）＞0，可解得0＜x＜2；令f′（x）＜0，可解得x＜0或x＞2，故函数在区间（﹣∞，0）与（2，+∞）上是减函数，在区间（0，2）上是增函数．∴x＝0是极小值点，x＝2极大值点，又f（0）＝0，f（2）＝．故f（x）的极小值和极大值分别为0，．（Ⅱ）设切点为（），则切线方程为y﹣＝（x﹣x0），令y＝0，解得x＝＝，∵曲线y＝f（x）的切线l的斜率为负数，∴（＜0，∴x0＜0或x0＞2，令，则＝．①当x 0＜0时，0，即f′（x0）＞0，∴f（x0）在（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x0）＜f（0）＝0；②当x 0＞2时，令f′（x0）＝0，解得．当时，f′（x 0）＞0，函数f（x0）单调递增；当时，f′（x0）＜0，函数f（x0）单调递减．故当时，函数f（x 0）取得极小值，也即最小值，且＝．综上可知：切线l在x轴上截距的取值范围是（﹣∞，0）∪．。

高中数学学习材料唐玲出品2014—2015学年度下学期期中考试高二数学试卷（理）考试时间：120分钟 试题分数 ： 150 命题人：刘文叶第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.曲线2x y =在(1,1)处的切线方程是 A. 230x y ++= B. 032=--y x C. 210x y ++= D. 012=--y x2.定义运算a b ad bc c d=- ，则符合条件1142i iz z -=+ 的复数z 为Ａ．3i - Ｂ．13i + Ｃ．3i + Ｄ．13i - 3.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是A. 假设至少有一个钝角 B ．假设至少有两个钝角Ｃ．假设没有一个钝角 Ｄ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 4．图中阴影部分的面积用定积分表示为A.12xdx ⎰ B ．1(21)xdx +⎰ C.1(21)xdx -⎰ D ．1(12)x dx -⎰5.若'0()3f x =-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--=A ．3-B ． 12-C ．9-D ．6-6. 4名医生分配到3个医疗队，每队至少去1名，则不同的分配方案有A ．36种 B.72种 C.108种 D.144种7.6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的分法有A ．3334A A ⋅B. 3333A A ⋅C. 3344A A ⋅D. 33332A A ⋅8. 函数y ＝f(x)的图象如图所示，则导函数y ＝f′(x)的图象可能是9.设*211111()()123S n n n n n n n=+++++∈+++N ，当2n =时，(2)S = Ａ．12Ｂ．1123+Ｃ．111234++Ｄ．11112345+++10．若2a >，则方程321103x ax -+=在（0,2）上恰有 A. 0个根 B. 1个根 C. 2个根 D. 3个根11. 用数学归纳法证明：*1111(,1),2321nn n N n ++++<∈>-，第二步证明由“k 到k+1”时，左端增加的项数为A. 12k -B. 2kC. 21k -D. 21k + 12. 幂指函数)()]([x g x f y =在求导时，可运用对数法：在函数解析式两边求对数得)(ln )(ln x f x g y ⋅=，两边同时求导得)()(')()(ln )(''x f x f x g x f x g y y +=，于是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=)()(')()(ln )(')]([')(x f x f x g x f x g x f y x g 。

2014-2015学年甘肃省平凉市静宁县甘沟中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（1，4），且P（0≤X≤2）=0.68，则P（X＞2）=（）A．0.34 B．0.16 C．0.84 D．0.322．（5分）已知方程x2+（4+i）x+4+ai=0（a∈R）有实根b，且z=a+bi，则复数z 等于（）A．2﹣2i B．2+2i C．﹣2+2i D．﹣2﹣2i3．（5分）如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中纪录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：根据上表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中n的值为（）注（=﹣，=）A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.54．（5分）在证明f（x）=2x+1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f（x）=2x+1满足增函数的定义是小前提；④函数f（x）=2x+1满足增函数的定义是大前提；其中正确的命题是（）A．①②B．②④C．①③D．②5．（5分）工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N（μ，σ2），在一次正常的试验中，取1 000个零件，不属于（μ﹣3σ，μ+3σ）这个尺寸范围的零件个数可能为（）A．7个 B．10个C．3个 D．6个6．（5分）某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示（由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布），则由图中曲线可得下列说法中正确的一个是（）A．甲、乙、丙的总体的平均数不相同B．乙科总体的标准差及平均数都居中C．丙科总体的平均数最小D．甲科总体的标准差最小7．（5分）随机变量X的概率分布规律为P（X=n）=（n=1，2，3，4），其中a是常数，则P（＜X＜）的值为（）A．B．C．D．8．（5分）甲乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队获胜的概率是，没有平局．若采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲队获胜的概率等于（）A．B．C．D．9．（5分）从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假币的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排（这样就成为前排6人，后排6人），若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）A．B．C．D．11．（5分）如图所示的是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22等于（）A．B．C．D．12．（5分）如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记此数列的前n项之和为S n，则S21的值为（）A．66 B．153 C．295 D．361二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）13．（5分）若随机变量ξ：B（5，），则D（3ξ+2）=．14．（5分）（+）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是．15．（5分）用1、2、3、4、5、6六个数组成没有重复数字的六位数，其中5、6均排在3的同侧，这样的六位数共有个（用数字作答）．16．（5分）用火柴棒按图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知的展开式前两项二项式系数的和为9．（1）求n的值．（2）这个展开式中是否有常数项？若有，将它求出，若没有，请说明理由．18．（12分）已知（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，求：（1）a1+a2+a3+…+a7；（2）a1+a3+a5+a7；（3）a0+a2+a4+a6；（4）|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|．19．（12分）有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件．求：（1）第一次抽到次品的概率；（2）第一次和第二次都抽到次品的概率；（3）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．20．（12分）甲、乙两人进行一场乒乓球比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局比赛甲胜的概率0.6，乙胜的概率为0.4，本场比赛采用三局两胜制．（1）求甲获胜的概率．（2）设ξ为本场比赛的局数，求ξ的概率分布和数学期望．21．（12分）巴西世界杯足球赛正在如火如荼进行．某人为了了解我校学生“通过电视收看世界杯”是否与性别有关，从全校学生中随机抽取30名学生进行了问卷调查，得到了如下列联表：已知在这30名同学中随机抽取1人，抽到“通过电视收看世界杯”的学生的概率是．（I）请将上面的列联表补充完整，并据此资料分析在犯错误概率不超过0.01的前提下“通过电视收看世界杯”与性别是否有关？（II）若从这30名同学中的男同学中随机抽取2人参加一活动，记“通过电视收看世界杯”的人数为X，求X的分布列和均值．（参考公式：K2=，n=a+b+c+d）22．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ln（x+m）（Ι）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．2014-2015学年甘肃省平凉市静宁县甘沟中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）（2015春•静宁县校级期末）已知随机变量X服从正态分布N（1，4），且P（0≤X≤2）=0.68，则P（X＞2）=（）A．0.34 B．0.16 C．0.84 D．0.32【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N（1，4），∴曲线关于x=1对称，∵P（0≤X≤2）=0.68，∴P（X＞2）=（1﹣0.68）=0.16，故选：B．2．（5分）（2014•陈仓区校级二模）已知方程x2+（4+i）x+4+ai=0（a∈R）有实根b，且z=a+bi，则复数z等于（）A．2﹣2i B．2+2i C．﹣2+2i D．﹣2﹣2i【解答】解：把实根b，代入方程x2+（4+i）x+4+ai=0，得方程b2+（4+i）b+4+ai=0所以b2+4b+4=0且b+a=0，所以b=﹣2，a=2 所以z=2﹣2i故选A．3．（5分）（2015春•静宁县校级期末）如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中纪录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：根据上表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中n的值为（）注（=﹣，=）A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.5【解答】解：由已知中的数据可得：=（3+4+5+6）÷4=4.5，=（2.5+n+4+4.5）÷4=，∵数据中心点（，）一定在回归直线上，∴=0.7×4.5+0.35，解得n=3．故选：A．4．（5分）（2015春•静宁县校级期末）在证明f（x）=2x+1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f（x）=2x+1满足增函数的定义是小前提；④函数f（x）=2x+1满足增函数的定义是大前提；其中正确的命题是（）A．①②B．②④C．①③D．②【解答】解：在证明f（x）=2x+1为增函数的过程中，增函数的定义是大前提；函数f（x）=2x+1满足增函数的定义是小前提；故正常的命题是①③，故选：C5．（5分）（2015春•静宁县校级期末）工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N（μ，σ2），在一次正常的试验中，取1 000个零件，不属于（μ﹣3σ，μ+3σ）这个尺寸范围的零件个数可能为（）A．7个 B．10个C．3个 D．6个【解答】解：由3σ原则知不属于（μ﹣3σ，μ+3σ）的事件为小概率事件，其概率为0.3%．故1000个零件中有3个不在范围内．故答案为：C6．（5分）（2015春•静宁县校级期末）某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示（由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布），则由图中曲线可得下列说法中正确的一个是（）A．甲、乙、丙的总体的平均数不相同B．乙科总体的标准差及平均数都居中C．丙科总体的平均数最小D．甲科总体的标准差最小【解答】解：由题中图象可知三科总体的平均数（均值）相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平，σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．故选D．7．（5分）（2011•衢州模拟）随机变量X的概率分布规律为P（X=n）=（n=1，2，3，4），其中a是常数，则P（＜X＜）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵P（X=n）=（n=1，2，3，4），∴+++=1，∴a=，∵P（＜X＜）=P（X=1）+P（X=2）=×+×=．故选D．8．（5分）（2014•海淀区校级模拟）甲乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队获胜的概率是，没有平局．若采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲队获胜的概率等于（）A．B．C．D．【解答】解：甲队获胜分2种情况①第1、2两局中连胜2场，概率为P1=×=；②第1、2两局中甲队失败1场，而第3局获胜，概率为P2=C21（1﹣）×=因此，甲队获胜的概率为P=P1+P2=．故选：B．9．（5分）（2015春•静宁县校级期末）从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假币的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：解：设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率即P（A|B）．又P（AB）=P（A）=，P（B）=，由公式P（A|B）====．故选：D．10．（5分）（2016春•淄博校级期末）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排（这样就成为前排6人，后排6人），若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）A．B．C．D．【解答】解：从后排8人中选2人共=28种选法．这2人插入前排4人中，且保证前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有6种插法，故不同调整方法的总数是28×5×6=840，故选C．11．（5分）（2011•潍坊三模）如图所示的是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22等于（）A．B．C．D．【解答】解：由图象知f（x）=0的根为0，1，2，∴d=0．∴f（x）=x3+bx2+cx=x（x2+bx+c）=0．∴x2+bx+c=0的两个根为1和2．∴b=﹣3，c=2．∴f（x）=x3﹣3x2+2x．∴f′（x）=3x2﹣6x+2．∵x1，x2为3x2﹣6x+2=0的两根，∴．∴．12．（5分）（2011秋•深圳期末）如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记此数列的前n项之和为S n，则S21的值为（）A．66 B．153 C．295 D．361【解答】解：从杨辉三角形的生成过程，可以得到你的这个数列的通项公式a（n）．n为偶数时，a（n）=（n+4）/2，n为奇数时，1=c20=C22，3=C31=C32，6=C42，10=C53=C52，…a（n）=C（n+3）/22=（n+3）（n+1）/8．然后求前21项和，偶数项和为75，奇数项和为[（22+42+62+…+222）+2（2+4+6…+22）]/8=[（22×4×23）+11×24]/8=286，最后S（21）=361故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）13．（5分）（2015春•静宁县校级期末）若随机变量ξ：B（5，），则D（3ξ+2）=10．【解答】解：∵随机变量ξ～B（5，），∴D（ξ）=5××=，∴D（3ξ+2）=9D（ξ）=10．故答案为：10．14．（5分）（2015春•静宁县校级期末）（+）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是180．【解答】解：∵（+）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴n=10．∴的通项公式为：T r==2r，+1令=0，解得r=2．∴展开式的常数项==180．故答案为：180．15．（5分）（2016春•沈阳校级期末）用1、2、3、4、5、6六个数组成没有重复数字的六位数，其中5、6均排在3的同侧，这样的六位数共有480个（用数字作答）．【解答】解：分类讨论，5、6均排在3的右侧，3在首位，有=120种；3在第二位，有A42A33=72种；3在第三位，有A32A33=36种；3在第四位，有A22A33=12种；共有240种；同理，5、6均排在3的左侧，共有240种，故共有480种．故答案为：480．16．（5分）（2012春•莘县期末）用火柴棒按图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是a n=2n+1．【解答】解：由题意，三角形的个数增加一个，则火柴棒个数增加2个，所以所用火柴棒数a n与是一个首项为3，公差为2的等差数列所以火柴棒数a n与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是a n=3+2（n﹣1）=2n+1故答案为a n=2n+1三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）（2015春•静宁县校级期末）已知的展开式前两项二项式系数的和为9．（1）求n的值．（2）这个展开式中是否有常数项？若有，将它求出，若没有，请说明理由．【解答】解：（1）展开式前两项二项式系数的和为9，∴+=9，解得n=8；（2）展开式的通项公式为：T r+1=•x8﹣r•=2r••；令x的幂指数8﹣=0，可得r=不是正整数，故展开式中没有常数项．18．（12分）（2015春•静宁县校级期末）已知（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，求：（1）a1+a2+a3+…+a7；（2）a1+a3+a5+a7；（3）a0+a2+a4+a6；（4）|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|．【解答】解：（1）∵已知（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，∴常数项a0=1．在所给的等式中，令x=1可得a0+a1+a2+a3+…+a7=﹣1，∴a1+a2+a3+…+a7 =﹣2．（2）在所给的等式中，令x=1可得a0+a1+a2+a3+…+a7=﹣1①，令x=﹣1可得得a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a7=37②，用①减去②再除以2可得a1+a3+a5+a7 =﹣1094．（3）用①加上②再除以2可得a0+a2+a4+a6 =1093．（4）在（1+2x）7中，令x=1，可得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=37=2187．19．（12分）（2015春•静宁县校级期末）有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件．求：（1）第一次抽到次品的概率；（2）第一次和第二次都抽到次品的概率；（3）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．【解答】解：（1）设第一次抽到次品为事件A，第二次抽到次品为事件B，则第一次抽到次品的概率P（A）==．（2）第一次和第二次都抽到次品的概率P（AB）==．（3）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率P（B|A）===．20．（12分）（2015春•静宁县校级期末）甲、乙两人进行一场乒乓球比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局比赛甲胜的概率0.6，乙胜的概率为0.4，本场比赛采用三局两胜制．（1）求甲获胜的概率．（2）设ξ为本场比赛的局数，求ξ的概率分布和数学期望．【解答】解：（1）甲获胜分为两种情况，即甲以2：0获胜或以2：1获胜，甲以2：0获胜的概率为P1=0.62=0.36甲以2：1获胜的概P2=C21×0.6×0.4×0.6=0.288故甲获胜的概率为P=P=0.36+0.288=0.648（2）由题意知ξ的取值为2，3．P（ξ=2）=0.62+0.42=0.36+0.16=0.52P（ξ=3）=C210.62•0.4+C210.42•0.6=0.288+0.192=0.48∴ξ的分布为∴E（ξ）=2×0.52+3×0.48=2.48．21．（12分）（2015春•静宁县校级期末）巴西世界杯足球赛正在如火如荼进行．某人为了了解我校学生“通过电视收看世界杯”是否与性别有关，从全校学生中随机抽取30名学生进行了问卷调查，得到了如下列联表：已知在这30名同学中随机抽取1人，抽到“通过电视收看世界杯”的学生的概率是．（I）请将上面的列联表补充完整，并据此资料分析在犯错误概率不超过0.01的前提下“通过电视收看世界杯”与性别是否有关？（II）若从这30名同学中的男同学中随机抽取2人参加一活动，记“通过电视收看世界杯”的人数为X，求X的分布列和均值．（参考公式：K2=，n=a+b+c+d）【解答】解：（I）根据题意，把列联表补充完整如下，由表中数据计算：K2=≈1.158＜3.841，所以没有充足的理由认为“通过电视收看世界杯”与性别有关；（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2；则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==；所以X的分布列为：X的均值为：EX=0×+1×+2×=．22．（12分）（2013•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=e x﹣ln（x+m）（Ι）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．【解答】（Ⅰ）解：∵，x=0是f（x）的极值点，∴，解得m=1．所以函数f（x）=e x﹣ln（x+1），其定义域为（﹣1，+∞）．∵．设g（x）=e x（x+1）﹣1，则g′（x）=e x（x+1）+e x＞0，所以g（x）在（﹣1，+∞）上为增函数，又∵g（0）=0，所以当x＞0时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当﹣1＜x＜0时，g （x）＜0，f′（x）＜0．所以f（x）在（﹣1，0）上为减函数；在（0，+∞）上为增函数；（Ⅱ）证明：当m≤2，x∈（﹣m，+∞）时，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需证明当m=2时f（x）＞0．当m=2时，函数在（﹣2，+∞）上为增函数，且f′（﹣1）＜0，f′（0）＞0．故f′（x）=0在（﹣2，+∞）上有唯一实数根x0，且x0∈（﹣1，0）．当x∈（﹣2，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，从而当x=x0时，f（x）取得最小值．由f′（x0）=0，得，ln（x0+2）=﹣x0．故f（x）≥=＞0．综上，当m≤2时，f（x）＞0．参与本试卷答题和审题的老师有：刘长柏；qiss；742048；豫汝王世崇；wdlxh；lcb001；涨停；zlzhan；caoqz；minqi5；yiyou；沂蒙松；xintrl；sxs123（排名不分先后）hu2017年3月9日。

2014-2015学年度第二学期半期考试高二理科数学试题（时间120分钟 满分150分）命题人：李应宗一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、函数3x y =在区间]2,1[上的平均变化率为（ ）A. 4B. 5 B. 6 D . 72.如图所示，阴影部分的面积是( )A ．323B ．2－ 3C. 353D. 2 33．下面几种推理是合情推理的是( )①由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；②圆的性质类比出球的有关性质；③由ABC ∆∽111C B A ∆⇒1A A ∠=∠；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n －2)·180°A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④4．已知2)(23-+=x ax x f 且4)1(=-'f ，则实数a 的值等于（ ）A ．–2B ．32C ．2D ．38 5．在复平面内，复数Z 满足i i i Z -=+123，则Z 对应的点位于（ ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限 6．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图2所示，则()y f x =的图象最有可能的是（ ）图27．已知1>x ，则函数122)(-+=x x x f 的最小值为（ ） A 、4 B 、5 C 、6 D 、78．不等式|x-1|+|x+2|m ≤的解集不是空集，则实数m 的取范围是( )A ()3,∞-B [)+∞,3C ()+∞,3D (]3,∞-9．函数3123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ）A.3 , -17B.3 , 2C.-2 , -17D.3，-1810.函数y=x x -+-5314的最大值为( )A 、10B 、27C 、36D 、8 11. 设)(21312111)(*∈+++++++=N n nn n n n f ，则=-+)()1(n f n f （ ） A ．121+n B ．221+n C ．221121+++n n D ．221121+-+n n 12.已知函数()()()2log 030x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪⎩≤，且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实根，则实数a 的范围是（ ）A. (),0-∞B. ()1,+∞C. ()0,1D. ()1,2二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）13. 已知集合},4|6|1|{N x x x A ∈<-<=，求A= ；14. 已知复数=Z 21i+，则=Z ，=Z ； 15. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖 块.16．16．已知下列函数，①|1|x x y += ； ②1)x ,0(log ln ≠>+=且x e x y x ； ③24-+=x x y ；④2322++=x x y ；⑤x x e e y -+= ； ⑥),0(,2sin 4sin π∈-+=x x x y ； 其中最小值为2的函数是 （填入所有正确命题的序号）三、解答题（共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）17.（本题10分） （1）计算31i i +-+ii +-122 （2）设a, b 为实数，若复数11+2i i a bi=++，求a , b 的值18、（本题12分）(1)证明:83105->-(2)上移动，在直线已知点43),(=+y x n m 求n m 82+的最小值。