《工程数学—线性代数》复习参考资料

工程数学知识点第一篇 线性代数第１章 行列式1． 二阶、三阶行列式的计算Ｐ22． 行列式的性质（转置，换行，数乘，求和，数乘求和）Ｐ3，Ｐ4，P52——3（2）3． 行列式展开（代数余子式）Ｐ74． 利用性质及行列式展开法则计算行列式（造零降阶法） 5． 字母型行列式计算（爪型）Ｐ53——5（2）6．矩阵的定义、矩阵的行列式的定义及矩阵与行列式的区别7．矩阵的运算（加减Ｐ20、数乘Ｐ21、乘法Ｐ22、转置Ｐ26、方阵的幂、乘法不满足交换律和消去律） （n n kD k D =）8．特殊的矩阵（对角、数量、单位矩阵（E ）、三角形矩阵） 9． 矩阵的初等变换（三种）、行阶梯形、行最简形 10． 逆矩阵的定义、运算性质 11． 伴随矩阵Ｐ3812． 利用初等变换求逆矩阵——P44例31（两阶更简单） 13． 矩阵的秩的概念及利用初等变换求矩阵的秩第２章 线性方程组1．线性方程组的求解（分非齐次的和齐次的）P65例3、例4第３章特征值的求解（特征向量不作要求）Ｐ89例1第二篇 概率论第4章概率的基本概念及计算１、 基本概念：必然现象、随机现象、随机试验、样本空间、样本点、随机事件（事件）、基本事件（样本点）、不可能事件、必然事件、事件的包含与相等、和（并）事件、积（交）事件、互不相容（互斥）的事件、逆事件、频率、概率、概率的可加性（互不相容）、概率的加法公式（相容）、古典（等可能）概型P130、放回抽样方式、不放回抽样方式P132——例13、事件相互独立、条件概率Ｐ135引例 ２、基本公式：概率的可加性（互不相容）()()121nn i i P A A A P A ==∑概率的加法公式（相容）()()()()P A B P A P B P AB =+-击落飞机问题概率的乘法公式()()()P AB P B P A B =逆事件的概率()()1P A P A =-事件A 和B 独立，则有()()()P AB P A P B = ３、基本结论：当事件A 和B 相互独立时，我们可以证明，事件,;,;,A B A B A B 亦相互独立。

一、填空题1．己知方阵 21342221D -=- ,则 11213132A A A --=_____ 2.若4阶矩阵A 的伴随矩阵*A 的行列式*8A =，则___A =3.设123135121D =,ij A 为元素ij a 的代数余子式,111213212223313233A A A A A A A A A = . 4．设A 是3阶可逆矩阵，将A 的第1行与第2行对换得B 则1AB -=______。

5.设矩阵A 满足240A A I +-=，则1()A I --= 。

6．设11220432A t -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若3阶非零方阵B 满足0=AB ，则=t .7．已知3阶方阵A 的行列式3||=A ，则行列式=--|2|1A8设向量组123(2,1,3),(,3,2),(3,2,5)x ααα===线性相关，则t =9．设1234(,,,)A A A A A =其中列向量123,,A A A 线性无41232A A A A =-+，则齐次线性方程组0AX =的一个基础解系是_______________。

10.设A 为4阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，且0A =，而*0A ≠, 123,,ηηη3是线性方程组Ax b =的三个解向量，其中,12(1,0,0,9)T ηη+=，23(2,0,1,2)T ηη+=,则Ax b =的通解是＿_____________________11.设四阶矩阵()1234,,,A αααα=的秩为3，且4123αααα=+-，则齐次方程组0Ax = 的一个基础解系为 .12.设A 为n 维非零行向量，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中含有 个解向量. 13.设A ,B 为3阶矩阵，且A 与B 相似，A 的特征值为3,4,5，则1B I --= .14已知123(1,0,0),(1,1,0),(1,2,3)ααα===为3R 的一个基，则向量(2,5,6)α=在这个基下的坐标是 .15设矩阵21101000A k k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为正定阵，则k 的取值范围是 。

线性代数（工程数学）期末复习题——（shawe 20131224）复习题1、 设1111111111111111------=D ，abc d b a d c cda b d c b a M ------=，求2)(MD 2、 计算)1()1()1()1()1()1()1()1()1(111121211122221212211---------=---n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x D3、 设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----113121122322213211111n n n n n n n a a a a a a a a a a a a A，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111,321 B x x x x x n ， 其中),,2,1,,(n j i j i a a j i =≠≠，求线性方程组B x A T=的解4、 设A 为)2(>n n 阶非零矩阵，其元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式A5、 设A ，B ，A+B 都是可逆矩阵，试求111)(---+B A6、 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333222111A ，求2009642,,,A A A A7、 设A ，B ，C 为同阶方阵，下列命题哪些正确？哪些不正确？（1）若AC AB =，则当A 可逆时必有B=C ，当A 不可逆时不一定有B=C （2）若C B ≠，则当A 可逆时必有AC AB ≠ （3）若A ，B 皆可逆，则A+B 也可逆 （4）若A ，B 皆不可逆，则A+B 也不可逆 （5）若AB 可逆，则A ，B 都可逆 （6）若AB 不可逆，则A ，B 都不可逆 （7）若A 可逆，则kA 可逆（k 为常数） 8、设n n ij a A ⨯=)(，试证明下列等式成立： （1）TTA A )()(**=；（2）若,0≠A 则*--*=)()(11A A ； （3）若,0≠A 则11])[(])[(-**-=T T A A ； （4）若,0≠A 则*-*=A k kA n 1)(，其中0≠k ； （5）若A 、B 是同阶可逆矩阵。

目　录
第1章　行列式
1.1　复习笔记
1.2　课后习题详解
1.3　考研真题详解
第2章　矩阵及其运算
2.1　复习笔记
2.2　课后习题详解
2.3　考研真题详解
第3章　矩阵的初等变换与线性方程组
3.1　复习笔记
3.2　课后习题详解
3.3　考研真题详解
第4章　向量组的线性相关性4.1　复习笔记
4.2　课后习题详解
4.3　考研真题详解
第5章　相似矩阵及二次型5.1　复习笔记
5.2　课后习题详解
5.3　考研真题详解
第6章　线性空间与线性变换6.1　复习笔记
6.2　课后习题详解
6.3　考研真题详解
第1章　行列式
1.1　复习笔记
一、二阶与三阶行列式
1二阶行列式
定义　将四个数，，，按一定位置，排成二行二列的数表：
则表达式就是数表的二阶行列式，并记作
2三阶行列式
定义　设有9个数排成3行3列的数表
记
该式称为数表所确定的三阶行列式．
二、全排列和对换
1全排列。

同济大学数学系《工程数学—线性代数》第6版课后习题第1章行列式1．利用对角线法则计算下列三阶行列式：2．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1234；（2）4132；（3）3421；（4）2413；（5）13…（2n－1）24…（2n）；（6）13…（2n－1）（2n）（2n－2）…2．解：（1）此排列为标准排列，其逆序数为0；（2）此排列的首位元素4的逆序数为0，第2位元素1的逆序数为1，第3位元素3的逆序数为1，末位元素2的逆序数为2，故它的逆序数为0＋1＋1＋2＝4；（3）此排列的前两位元素的逆序数均为0，第3位元素2的逆序数为2；末位元素1的逆序数为3，故它的逆序数为0＋0＋2＋3＝5；（4）此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0，0，2，1，因此它的逆序数为0＋0＋2＋1＝3；（5）此排列中前n位元素的逆序数均为0．第n＋1位元素2与它前面的n－1个数构成逆序对，所以它的逆序数为n－1；同理可知，第n＋2位元素4的逆序数为n－2……末位元素2n的逆序数为0．因此该排列的逆序数为（6）此排列的前n＋1位元素的逆序数均为0；第n＋2位元素（2n－2）的逆序数为2；第n＋3位元素2n－4与它前面的2n－3，2n－1，2n，2n－2构成逆序对，所以它的逆序为4,……,末位元素2的逆序数为2（n－1），因此该排列的逆序数为3．写出四阶行列式中含有因子的项．解：根据行列式定义可知，此项必定还含有分别位于第3行和第4行的某两元素，而它们又分别位于第2列和第4列，即a32和a44或a34和a42．又因排列1324与1342的逆序数分别为1与2，所以此行列式中含有的项为与4．计算下列各行列式：解：（1）（2）；（3）（4）（5）（6）5．求解下列方程：其中a，b，c互不相等．因此方程的解为．（2）根据题意，方程左式为4阶范德蒙德行列式，则有因a，b，c互不相等，因此方程的解为6．证明：（2）将左式按第1列拆开可以得到因此有其中于是因此，（5）方法一按第1列展开得。

2022年自考27391工程数学(线性代数\复变函数)复习资料2022年自考27391工程数学(线性代数\复变函数)复习资料线性代数部分本课程考试采纳教材：《工程数学——线性代数》〔附大纲〕，申亚男、卢刚主编，外语教学与讨论出版社，2022年版。

考试的重点内容第一章行列式1.行列式的定义了解行列式的定义，掌控行列式的余子式与代数余子式，牢记上〔下〕三角行列式的计算公式，掌控用行列式定义计算含0特别多或结构非常的行列式。

2.行列式的性质理解行列式的性质，会用行列式性质化简行列式。

3.行列式按一行〔或一列〕开展娴熟掌控行列式按一行〔或一列〕开展的方法计算行列式。

第二章矩阵1.矩阵的概念理解矩阵的概念，掌控非常的方阵：上〔下〕三角形矩阵、对角矩阵和单位矩阵、对称矩阵和反对称矩阵。

2.矩阵的运算娴熟掌控矩阵的线性运算〔加法及数乘〕、乘法、方阵的方幂、转置等运算。

3.可逆矩阵4.矩阵的初等变换与初等矩阵娴熟掌控矩阵的初等变换，理解初等矩阵和初等变换的关系，会用初等行变换法求可逆矩阵的逆矩阵。

5.矩阵的秩知道矩阵的秩的定义，会用初等行变换求矩阵的秩。

第三章向量空间1.维向量空间2.向量间的线性关系会判断向量组的线性相关或线性无关，将给定的向量由向量组线性表出。

3.向量组的极大线性无关组掌控用矩阵的初等行变换求向量组的极大线性无关组。

4.向量组的秩与矩阵的秩掌控用矩阵的初等行变换求向量组的秩或矩阵的秩。

第四章线性方程组1.齐次线性方程组会判断齐次线性方程组是否有非零解，娴熟掌控用初等行变换求齐次线性方程组的基础解系及其通解。

2.非齐次线性方程组会判断非齐次线性方程组解的状况〔无解、有唯一解、有无穷解〕，娴熟掌控用初等行变换求非齐次线性方程组的通解。

第五章矩阵的相像对角化1.特征值与特征向量理解特征值与特征向量的定义，掌控求特征值与特征向量的方法。

2.相像矩阵与矩阵对角化理解矩阵相像的概念，掌控将矩阵化为相像对角矩阵的方法。

目　录第1章　行列式1.1　复习笔记1.2　课后习题详解1.3　考研真题详解第2章　矩阵及其运算2.1　复习笔记2.2　课后习题详解2.3　考研真题详解第3章　矩阵的初等变换与线性方程组3.1　复习笔记3.2　课后习题详解3.3　考研真题详解第4章　向量组的线性相关性4.1　复习笔记4.2　课后习题详解4.3　考研真题详解第5章　相似矩阵及二次型5.1　复习笔记5.2　课后习题详解5.3　考研真题详解第6章　线性空间与线性变换6.1　复习笔记6.2　课后习题详解6.3　考研真题详解第1章　行列式1.1　复习笔记一、二阶与三阶行列式1二阶行列式定义　将四个数，，，按一定位置，排成二行二列的数表：则表达式就是数表的二阶行列式，并记作2三阶行列式定义　设有9个数排成3行3列的数表记该式称为数表所确定的三阶行列式．二、全排列和对换1全排列把n个不同的元素排成一列，称为这n个元素的全排列．n个不同元素的所有排列的种数，通常用P n表示．（1）逆序数定义对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如，个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说构成1个逆序．一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数．（2）分类逆序数是奇数的排列称为奇排列，逆序数是偶数的排列称为偶排列．（3）逆序数的计算设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序．设为这n个自然数的一个排列，考虑元素，如果比p i大的且排在p i前面的元素有t i个，则称p i这个元素的逆序数为t i．全体元素的逆序数的总和即是这个排列的逆序数．2对换（1）定义对换是在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动．将相邻两个元素对换称为相邻对换．（2）性质①排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．②奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数．三、n阶行列式1定义称为n阶行列式，简记作，其中数a ij为行列式D的第（i，j）元素．2两类典型的n阶行列式（1）下三角形行列式（2）对角行列式3行列式的性质（1）行列式与它的转置行列式相等．（2）对换行列式的两行（列），行列式变号．（3）如果行列式有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零．（4）行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一数k，等于用数k乘此行列式．（5）若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则可以将该行列式拆分成两个行列式之和．（6）把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变．四、行列式按行（列）展开1余子式与代数余子式在n阶行列式中，把（i，j）元a ij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n －1阶行列式称为（i，j）元a ij的余子式，记作M ij，记A ij称为（i，j）元a ij的代数余子式．2定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即或 3范德蒙德行列式4代数余子式的推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零．即或5代数余子式的重要性质或．1.2　课后习题详解1利用对角线法则计算下列三阶行列式：2按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1　2　3　4；（2）4　1　3　2；（3）3　4　2　1；（4）2　4　1　3；（5）13…（2n－1）24…（2n）；（6）13…（2n－1）（2n）（2n－2）…2．解：（1）此排列为标准排列，其逆序数为0；（2）此排列的首位元素4的逆序数为0，第2位元素1的逆序数为1，第3位元素3的逆序数为1，末位元素2的逆序数为2，故它的逆序数为0＋1＋1＋2＝4；（3）此排列的前两位元素的逆序数均为0，第3位元素2的逆序数为2；末位元素1的逆序数为3，故它的逆序数为0＋0＋2＋3＝5；（4）此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0，0，2，1，因此它的逆序数为0＋0＋2＋1＝3；（5）此排列中前n位元素的逆序数均为0．第n＋1位元素2与它前面的n －1个数构成逆序对，所以它的逆序数为n－1；同理可知，第n＋2位元素4的逆序数为n－2……末位元素2n的逆序数为0．因此该排列的逆序数为（6）此排列的前n＋1位元素的逆序数均为0；第n＋2位元素（2n－2）的逆序数为2；第n＋3位元素2n－4与它前面的2n－3，2n－1，2n，2n－2构成逆序对，所以它的逆序为4,……,末位元素2的逆序数为2（n－1），因此该排列的逆序数为3写出四阶行列式中含有因子的项．解：根据行列式定义可知，此项必定还含有分别位于第3行和第4行的某两元素，而它们又分别位于第2列和第4列，即a32和a44或a34和a42．又因排列1324与1342的逆序数分别为1与2，所以此行列式中含有的项为与4计算下列各行列式：解：（1）（2）；（3）（4）（5）（6）5求解下列方程：其中a，b，c互不相等．因此方程的解为．（2）根据题意，方程左式为4阶范德蒙德行列式，则有因a，b，c互不相等，因此方程的解为6证明：（2）将左式按第1列拆开可以得到因此有其中于是因此，（5）方法一　按第1列展开得方法二　按最后一行展开得7设n阶行列式，把D上下翻转、或逆时针旋转、或依副对角线翻转，依次得证明证：（1）通过对换行将D1变换成D，从而可找出D1与D的关系：D1的最后一行是D的第1行，把它依次与前面的行交换，直至换到第1行，共进行n－1次交换；这时最后一行是D的第2行，把它依次与前面的行交换，直至换到第2行，共进行n－2次交换……直至最后一行是D 的第n－1行，再通过一次交换将它换到第n－1行，这样就把D1变换成D，共进行次交换，故．（2）计算D2：观察可知，D2的第1，2，…，n行恰好依次是D的第n，n－1，…，1列，因此若把D2上下翻转得，则的第1，2，…，n行依次是D的第1，2，…，n列，即．于是由（1）有（3）计算D3：观察可知，若把D3逆时针旋转90°得，则的第1，2，…n列恰好是D的第n，n－1，…，1列，于是再把左右翻转就得到D．由（1）、（2）有8计算下列各行列式（D k为k阶行列式）：，其中对角线上元素都是a，未写出的元素都是0；；；提示：利用范德蒙德行列式的结果．，其中未写出的元素都是0；；，其中a ij＝|i－j|；，其中解：（1）方法一　化D n为上三角形行列式上式中最后那个行列式为上三角形行列式；方法二　把D n按第二行展开，由于D n的第二行除对角线元素外全为零，因此有，即于是有 （2）利用各列的元素之和相同，把从第二行起的各行全部加到第一行，再提取公因式．（3）把所给行列式上下翻转，即为范德蒙德行列式，若再将它左右翻转，由于上下翻转与左右翻转所用交换次数相等，因此行列式经上下翻转再左右翻转，即相当于转180°，其值不变．于是按范德蒙德行列式的结果可得（4）可用递推法即有递推公式另外，归纳基础为，利用这些结果可递推得（5）把第一行除外的所有行都加到第一行，并提取第一行的公因子，得（6）（7）可将原行列式化为上三角形行列式，需从第2行起，各行均减去第1行，得行列式其中.于是9设，D的（i，j）元的代数余子式记作A ij，求.解：求，则等于用1，3，－2，2替换D的第3行对应元素所得行列式，即1.3　考研真题详解一、选择题行列式等于（ ）．[数一、数二、数三 2014研]A． B．C． D．【答案】B【解析】二、填空题1阶行列式 [数一 2015研]【答案】【解析】将阶行列式按第一行展开2设是三阶非零矩阵，为A的行列式，A ij为a ij的代数余子式,若，则｜A｜＝______．[数一、数二、数三 2013研]【答案】－1【解析】由可知，故3设A，B为3阶矩阵，且．[数二、数三2010研]【答案】3【解析】因为所以第2章　矩阵及其运算2.1　复习笔记一、线性方程组和矩阵1线性方程组（1）n元非齐次线性方程组设有n个未知数m个方程组的线性方程组当常数项不全为零时，该方程组称为n元非齐次线性方程组．（2）n元齐次线性方程组含有n个未知数m个方程组的线性方程组称为n元齐次线性方程组．2矩阵（1）定义由m×n个数a ij（i＝1，2，…，m；j＝1，2,…，n）排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵．记为（2）分类①实矩阵　矩阵元素都为实数的矩阵．②复矩阵　矩阵元素为复数的矩阵．③行矩阵/列矩阵　又称行向量/列向量，只有一行（列）的矩阵．④n阶方阵　行数与列数都等于n的矩阵称为n阶方阵．⑤零矩阵　元素都是零的矩阵．⑥对角矩阵　对角线以外的元素都是0的方阵．⑦单位矩阵　对角线上元素都为1的对角矩阵．二、矩阵的运算1矩阵的加法（1）定义设有两个m×n矩阵A＝（a ij）和B＝（b ij），则矩阵A与B的和记作A＋B，规定为注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算．（2）运算规律设A，B，C都是m×n矩阵，则①A＋B＝B＋A；②（A＋B）＋C＝A＋（B＋C）；③设矩阵A＝（a ij），记：－A＝（－a ij），－A称为矩阵A的负矩阵，显然有A＋（－A）＝0，由此规定矩阵的减法为：A－B＝A＋（－B）．2数与矩阵相乘（1）定义数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ，规定为（2）运算规律设A、B为m×n矩阵，λ、μ为数，则①（λμ）A＝λ（μA）；②（λ＋μ）A＝λA＋μA；③λ（A＋B）＝λA＋λB．3矩阵与矩阵相乘（1）定义设A＝（a ij）是一个m×s矩阵，B＝（b ij）是一个s×n矩阵，则规定矩阵A 与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵C＝（c ij），其中并把此乘积记为C＝AB．（2）运算规律①（AB）C＝A（BC）；②（AB）＝（A）B＝A（B）（其中λ为数）；③A（B＋C）＝AB＋AC，（B＋C）A＝BA＋CA；④EA＝AE＝A；⑤．（3）注意①只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数时，两个矩阵才能相乘．②矩阵的乘法一般不满足交换律，即在一般情形下，AB≠BA．③对于两个n阶方阵A，B，若AB＝BA，则称方阵A与B是可交换的．④若有两个矩阵A，B，满足AB＝0,不能得出A＝0或B＝0的结论；若A≠0，而A（X－Y）＝0也不能得出X＝Y的结论．三、矩阵的转置1定义把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，称为A的转置矩阵，记作A T．2转置运算（1）（A T）T＝A；（2）（A＋B）T＝A T＋B T；（3）（λA）T＝λA T；（4）（AB）T＝B T A T．3对称矩阵设A为n阶方阵，如果满足A T＝A，即a ij＝a ji（i，j＝1,2…,n）,则称A为对称矩阵．四、方阵的行列式1定义由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A 的行列式，记作detA或|A|．2由A确定|A|的运算规律假设A、B为n阶方阵，λ为数：（1）|A T|＝|A|；（2）|λA|＝λn|A|；（3）|AB|＝|A||B|．3伴随矩阵行列式|A|的各个元素的代数余子式A ij所构成的如下的矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，简称伴随阵．一般地，五、逆矩阵1定义对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使AB＝BA＝E，则称矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，A又称B的逆矩阵，简称逆阵．2性质（1）若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的．（2）若矩阵A可逆，则|A|≠0．（3）若|A|≠0，又称A为非奇异矩阵，则矩阵A可逆，且，其中A*为矩阵A的伴随矩阵．若|A|＝0，称A为奇异矩阵，A不可逆．（4）A为可逆矩阵的充要条件是|A|≠0．3逆矩阵运算规律：（1）若A可逆，则A－1也可逆，且；（2）若A可逆，数λ≠0，则λA可逆，且（3）若A、B为同阶矩阵且均可逆，则AB也可逆，且；（4）若AB＝E（或BA＝E），则B＝A－1．六、克拉默法则含有n个未知数x1，x2，…，x n的n个线性方程的方程组　（2-1-1）它的解可以用n阶行列式表示，即有克拉默法则：如果线性方程组（2-1-1）的系数矩阵A的行列式不等于零，即则方程组（2-1-1）有唯一解其中A j（j＝1，2，…，n）是把系数矩阵A中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶矩阵，即七、矩阵分块法1定义将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵．2矩阵分块法（1）设矩阵A与B的行数相同、列数相同，采用相同的分块法，有其中A ij与B ij的行数相同、列数相同，则（2）设，λ为数，则．（3）设A为m×l矩阵，B为l×n矩阵，分块成其中A i1，A i2，…，A it的列数分别等于B1j，B2j，…，B tj的行数，则其中（4）设，则（5）设A为n阶方阵，若A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即其中A i（i＝1，2，…，s）都是方阵，则称A为分块对角矩阵．分块对角矩阵的行列式具有下述性质由此性质可知，若，则，并有2.2　课后习题详解1计算下列乘积：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）2设，求3AB－2A及A T B．解：则有因A T＝A，即A为对称阵，所以3已知两个线性变换求从z1，z2，z3到x1，x2，x3的线性变换．解：依次将两个线性变换写成矩阵形式其中分别为对应的系数矩阵；在这些记号下，从z1，z2，z3到x1，x2，x3的线性变换的矩阵形式为，此处矩阵即有4假设，问：（1）AB＝BA吗?（2）（A＋B）2＝A2＋2AB＋B2吗?（3）（A＋B）（A－B）＝A2－B2吗?5举反例说明下列命题是错误的：（1）若，则；（2）若A2＝A，则或A＝E；（3）若AX＝AY，且A≠0，则X＝Y．6（1）设，求A2，A3，…，A k；（2）设，求A4．解：（1）根据矩阵乘法直接计算得一般可得　（2-2-1）则当k＝1时，式（2-2-1）成立．假设当k＝n时，式（2-2-1）成立，则当k＝n＋1时根据数学归纳法可知式（2-2-1）成立；7（1）设，求A50和A51；（2）设，A＝ab T，求A100．解：（1），则可得（2）由于b T a＝－8，所以根据上式可知8（1）设A，B为n阶矩阵，且A为对称阵，证明B T AB也是对称阵；（2）设A，B都是n阶对称阵，证明AB是对称阵的充要条件是AB＝BA．证：（1）由矩阵乘积的转置规则有所以由定义知B T AB为对称阵；（2）因为A T＝A，B T＝B，所以9求下列矩阵的逆矩阵：（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）根据二阶方阵的求逆公式可得（2）（3）因为，所以A可逆，并且于是（4）因为a1a2…a n≠0，所以a i≠0，i＝1，2，…，n．则矩阵是有意义的，并且因为所以A可逆，而且.10已知线性变换求从变量x1，x2，x3到变量y1，y2，y3的线性变换．解：记则线性变换的矩阵形式为x＝Ay，其中A是它的系数矩阵．因为所以A是可逆矩阵，则从变量x1，x2，x3到变量y1，y2，y3的线性变换的矩阵形式可写成又由于 于是即11设J是元素全为1的n（≥2）阶方阵．证明E－J是可逆矩阵，且这里E是与J同阶的单位矩阵．证：因为于是所以，是可逆矩阵，并且12设（k为正整数），证明可逆，并且其逆矩阵证：因为所以可逆，并且其逆矩阵．13设方阵A满足A2－A－2E＝O （2-2-2）证明A及A＋2E都可逆，并求解：（1）可先证A可逆．由式（2-2-2）得即 所以A是可逆的，且；（2）再证A＋2E可逆．由，即同理，可知可逆，且.14解下列矩阵方程：（1）；（2）；（3）；（4）AXB＝C，其中.解：（1）因为矩阵的行列式等于1，不为零，所以它可逆，从而用它的逆矩阵左乘方程两边，得（2）记矩阵方程为，因所以A可逆，用右乘方程的两边可得又由于所以（3）记，则矩阵方程可写为因为，所以A，B均可逆．依次用和左乘和右乘方程两边得（4）因为，所以A，B均是可逆矩阵，且分别用和左乘和右乘方程两边得15分别应用克拉默法则和逆矩阵解下列线性方程组：（1）（2）解：（1）①可用克拉默法则：因为系数矩阵的行列式，由克拉默法则，方程组有唯一解，并且②用逆矩阵方法：因为｜A｜≠0，所以A可逆，于是则有（2）①用克拉默法则：因为系数矩阵的行列式，由克拉默法则方程组有唯一解，并且②用逆矩阵方法因为｜A｜＝2≠0，所以A可逆，于是，易求得代入可得16设A为三阶矩阵，，求．解：因为，所以A可逆．于是由及，得对公式两端取行列式得17设，AB＝A＋2B，求B．解：由因，它的行列式det（A－2E）＝2≠0，所以它是可逆矩阵．用左乘上式两边得18设．且AB＋E＝A2＋B，求B．解：由方程，合并含有未知矩阵B的项，得又因为，其行列式，所以A－E可逆，用左乘上式两边，即可得到解：由于所给矩阵方程中含有A及其伴随阵A*，可用公式求解：用A左乘所给方程两边，得又由于，所以A是可逆矩阵，用右乘上式两边，可以得到观察可得是可逆矩阵，并且于是 20已知A的伴随阵A*＝diag（1，1，1，8），且，求B．解：（1）先化简所给矩阵方程假设能求得A并且为可逆矩阵，则可解得　（2-2-3）（2）再计算A根据题意可知A是可逆矩阵，由，两边取行列式得即，所以，于是因为，所以是可逆矩阵，并且将上述结果代入式（2-2-3）可得21设，其中，求A11．解：由于，则．所以22设AP＝PΛ，其中求φ（A）＝A8（5E－6A＋A2）．解：由于，所以P是可逆矩阵．根据AP＝PΛ可得，并且记多项式，则有由于是三阶对角阵，所以于是 23设矩阵A可逆，证明其伴随阵A*也可逆，且．证：因为，根据定理2的推论可以知A*可逆，且另因．用A左乘此式两边得通过比较上面两式可知结论成立．24设n阶矩阵A的伴随阵为A*，证明：（1）若｜A｜＝0，则｜A*｜＝0；（2）．证：（1）因为　（2-2-4）当时，上式成为可用反证法求证。

2019年工程数学线性代数复习资料5份篇一：工程数学线性代数复习资料5份工程数学（线性代数）复习资料一、矩阵和行列式1、了解矩阵的相关概念；矩阵的加、减、数乘以矩阵和矩阵的乘法；会求逆矩阵；2、了解行列式相关性质及利用行列式的性质进行运算；3、理解n级排列的定义，会求排列的逆序数并判断是奇排列还是偶排列；4、会利用克莱姆法则判断方程组的解并解方程。

二、向量空间1、了解向量的相关概念；熟悉向量的运算；2、理解向量组线性相关和线性无关的定义；并能判断向量组线性相关和线性无关；3、了解向量组秩的概念并能求出其秩。

三、矩阵的秩与线性方程组1、了解矩阵秩的概念并能利用矩阵的初等行变换求矩阵秩；2、利用高斯消元法解线性方程组；3、利用矩阵的秩来判断齐次解线性方程组和非齐次解线性方程组解的结构。

四、特征值与特征向量1、熟悉特征值与特征向量的基本概念、性质及运算；2、了解相似矩阵的概念、方阵可对角化的充要条件；3、了解内积、正交向量组与正交矩阵的概念；能利用施密特正交化方法把向量组化成正交单位向量组。

附复习题一、单项选择题1．设A为3阶方阵，且|A|＝2，则|2A-1|=（D）A．-4B．-1C．1D．42．设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（B）A．A＋ATB．A－ATC．AATD．ATA3．矩阵??33???10??的逆矩阵是（C）???0?1A．??0?1??0?3????1??1??33???B．??1?13???C．??D．???3??1???130???4．设行列式a1b1c1a1b1?c1aa=（D2b=1，a12a2c=2，则22b）2?c2A．-3B．-1C．1D．35．设矩阵A，B，C为同阶方阵，则（ABC）T=（B）A．ATBTCTB．CTBTATC．CTATBTD．ATCTBT6．设向量组α1，α2，…，αs线性相关，则必可推出（D）A．α1，α2，…，αs中至少有一个向量为零向量B．α1，α2，…，αs中至少有两个向量成比例C．α1，α2，…，αs中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合D．α1，α2，…，αs中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合7．设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（C）1A．A的列向量组线性无关B．A的列向量组线性相关C．A的行向量组线性无关D．A的行向量组线性相关??1400?8．设A??0200????0030?，则A的特征值是（C）??0053???A．1,1,2,2B．1,1,2,3C．1,2,3,3D．1,2,2,3a11a12a13a115a11?2a12a139．设行列式D=a21a22a23=3，D1=a215a21?2a22a23，则D1的值为（C）a31a32a33a315a31?2a32a33A．-15B．-6C．6D．1510．设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为（B）?111??111??111??A．??000??B．??011??C．??222??D．?111???222???000????000????000????333??11．向量组α1，α2，…αs，(s＞2)线性无关的充分必要条件是（D）A．α1，α2，…，αs均不为零向量B．α1，α2，…，αs中任意两个向量不成比例C．α1，α2，…，αs 中任意s-1个向量线性无关D．α1，α2，…，αs中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示12．设A，B为可逆矩阵，则分块矩阵??A0??0B?的逆矩阵为（A）．?A．??A?10?0?A?1?A?1??C??00?B?1??0B?1?B?1??B?1?0?B．??0?D．??A?10??13．设A，B均为方阵且可逆，满足AXB?C则下列命题中正确是（C）A．X?A?1B?1CB．X?CA?1B?1C．X?A?1CB?1D．X?B?1CA?114．设A，B均为n阶方阵且可逆，A为A的行列式，则下列命题中不正确是（B）A．AT?AB．?A??AC．AB?ABD．A?1?1A15．设A、B、C均为n阶方阵，则下列命题中不正确是（C）A．?A?B??C?A??B?C?B．?AB?C?A?BC?C．AB?BAD．A(B?C)?AB ?AC16．设A、B为n阶方阵，满足AB?0，则必有（B）A．A?0或B?0B．A?0或B?0C．BA?0D．A?B?020?1011?1中元素a21的代数余了式A21=（B）017.3阶行列式aij=1?1A．-2B．-1C．1D．218．设A为m?n矩阵，且非奇次线性方程组Ax?b有唯一解，则必有（C）A．m?nB．秩?A??mC．秩?A??nD．秩?A??n19．设n阶可逆矩阵A、B、C满足ABC=E，则B-1=（A）A．A-1C-1B．C-1A-1C．ACD．CA20．设?1,?2,?3,?4是一个4维向量组，若已知?4可以表为?1,?2,?3的线性组合，且表示法惟一，则向量组?1,?2,?3,?4的秩为（C）A．1B．2C．3D．421．设向量组?1,?2,?3,?4，下列命题中正确是（C）A．?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关B．?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关C．?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关D．?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关?56?3???,的特征值是（A）22．矩阵??101??121???A．?1??2??3?2B．?1??2??3?1C．?1?1,?2??3?2D．?1??2??3?323．排列?2,4,6,???,2n,2n?1,???,3,2,1?的逆序数为（C）A．n?n?1?B．n?n?1?C．nD．n224．排列（1，8，2，7，3，6，4，5）是（A）A．偶排列B．奇排列C．非奇非偶D．以上都不对25．齐次线性方程组AX?0有零解的充要条件是（A）A．A?0B．A?0C．A?1D．A?1二、填空题a1b11．若aibi?0,i?1,2,3,则行列式a2b1a3b1a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3=（0）a3b33?12?T2．设矩阵A=??34??，则行列式|AA|=（4）???a11x1?a12x2?a13x3?0?3．若齐次线性方程组?a21x1?a22x2?a23x3?0有非零解，则其系数行列式的值为（0）?ax?ax?ax?0322333?311?101???4．设矩阵A=?020?，矩阵B=A-E，则矩阵B的秩r(B)=（2）?001???5．设A是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则矩阵A的秩r(A)=（4）3?1??1?2???12?，若方程组6．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵A经初等行变换化为：A??02?00a(a?1)a?1???无解，则a的取值为（0）1?2???21???21a?使R?A??3，则a（a?1,a?2）7．设A??1?11?2a2????3???33 ??T201??042?57?8．设矩阵A=???11?3?，B=?357?，则AB=?3 ??????9?11?19?????1??0?????10??x1?x2?0???9．方程组?的基础解系为（?1??2?）.????x?x?001?34????0???1?10．设向量组α1=（6，4，1，-1，2），α2=（1，0，2，3，4），α3=（1，4，-9，-6，22）α4=（7，1，0，-1，3），则向量组的秩为（4）11．设A可逆，?A可逆，则?A(?A)?1?（1?A?1）.?3?12??11?T???AP?12.设矩阵A=?，P=，则??34??01??????72??.4?01/4??020??0????00?13.设矩阵A=?003?，则A-1=?1/2?01/30??400?????a1014.a200c10c2b10b200d1?（?5??a1b2?a2b1??c1d2?c2d1?）0d215.使排列1274j56k9为偶排列，则j?（8）k?（3）. 4。