2019年高考江苏卷数学试题(含答案)
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2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学(全卷满分160分,考试时间120分钟)参考公式:棱锥的体积13V Sh =,其中S 为底面积,h 为高.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上......... 1.(2019年江苏省5分)已知集合{124}A =,,,{246}B =,,,则A B = ▲ .【答案】{}1,2,4,6。
【考点】集合的概念和运算。
【分析】由集合的并集意义得{}1,2,4,6AB =。
2.(2019年江苏省5分)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取 ▲ 名学生. 【答案】15。
【考点】分层抽样。
【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。
将总体划分为若干个同质层,再在各层内随机抽样或机械抽样,分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起,分组减小了各抽样层变异性的影响,抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。
因此,由350=15334⨯++知应从高二年级抽取15名学生。
3.(2019年江苏省5分)设a b ∈R ,,117ii 12ia b -+=-(i 为虚数单位),则a b +的值为 ▲ . 【答案】8。
【考点】复数的运算和复数的概念。
【分析】由117ii 12i a b -+=-得()()()()117i 12i 117i 1115i 14i ===53i 12i 12i 12i 14a b -+-+++=+--++,所以=5=3a b ,,=8a b + 。
4.(2019年江苏省5分)下图是一个算法流程图,则输出的k 的值是 ▲ .【答案】5。
【考点】程序框图。
【分析】根据流程图所示的顺序,程序的运行过程中变量值变化如下表:是否继续循环k 2k 5k 4-+循环前 0 0 第一圈 是 1 0 第二圈 是 2 -2 第三圈 是 3 -2 第四圈 是 4 0 第五圈 是 5 4 第六圈否输出5∴最终输出结果k=5。
2019年普通高等学校统一考试试题(江苏卷)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分。
请把答案填写在答题卡相印位置上。
1.函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 .【答案】π【解析】T =|2πω |=|2π2 |=π.2.设2)2(i z -=(i 为虚数单位),则复数z 的模为 . 【答案】5【解析】z =3-4i ,i 2=-1,| z |==5.3.双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 . 【答案】x y 43±= 【解析】令:091622=-y x ,得x x y 431692±=±=. 4.集合}1,0,1{-共有 个子集.【答案】8【解析】23=8.5.右图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是 . 【答案】3【解析】n =1,a =2,a =4,n =2;a =10,n =3;a =28,n =4. 6则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 . 【答案】2【解析】易得乙较为稳定,乙的平均值为:9059288919089=++++=x .方差为:25)9092()9088()9091()9090()9089(222222=-+-+-+-+-=S . 7.现在某类病毒记作n m Y X ,其中正整数m ,n (7≤m ,9≤n )可以任意选取,则n m , 都取到奇数的概率为 .【答案】6320 【解析】m 取到奇数的有1,3,5,7共4种情况;n 取到奇数的有1,3,5,7,9共5种情况,则n m ,都取到奇数的概率为63209754=⨯⨯. 8.如图,在三棱柱ABC C B A -111中,F E D ,,分别是1AA AC AB ,,的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ,则=21:V V .【答案】1:24【解析】三棱锥ADE F -与三棱锥ABC A -1的相似比为1:2,故体积之比为1:8.又因三棱锥ABC A -1与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1:3.所以,三棱锥ADE F -与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1:24.9.抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) .若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是 . 【答案】[—2,12 ]【解析】抛物线2x y =在1=x 处的切线易得为y =2x —1,令z =y x 2+,y =—12 x +z 2 . 画出可行域如下,易得过点(0,—1)时,z min =—2,过点(12 ,0)时,z max =12 .10.设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点,AB AD 21=,BC BE 32=, 若21λλ+=(21λλ,为实数),则21λλ+的值为 . 【答案】12【解析】)(32213221AC BA AB BC AB BE DB DE ++=+=+=xAB C1A DE F1B1C213261λλ+=+-=所以,611-=λ,322=λ,=+21λλ12 . 11.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。
YN 输出n 开始1a 2n ←←,1n n ←+32a a ←+20a <结束 (第5题)2019年普通高等学校招生全国统一考试 (江苏卷)数学Ⅰ 注意事项绝密★启用前考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:1.本试卷共4页,均为非选择题(第1题~第20题,共20题).本卷满分为160分.考试时间为120分钟.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4.作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其它位置作答一律无效. 5.如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上......... 1.函数)42sin(3π-=x y 的最小正周期为 ▲ .解析:2==2T ππ 2.设2)2(i z -=(i 为虚数单位),则复数z 的模为 ▲ . 解析:()2234,34=5Z i Z =-=+-3.双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ▲ . 解析:3y=4x ±4.集合{}1,0,1-共有 ▲ 个子集. 解析:328=(个)5.右图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是 ▲解析:经过了两次循环,n 值变为36.抽样统计甲,乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下: 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ . 解析:易知均值都是90,乙方差较小,()()()()()()()22222221118990909091908890929025n i i s x xn ==-=-+-+-+-+-=∑7.现有某类病毒记作n m Y X ,其中正整数)9,7(,≤≤n m n m 可以任意选取,则n m ,都取到奇数的概率为 ▲ . 解析:m 可以取的值有:1,2,3,4,5,6,7共7个 n 可以取的值有:1,2,3,4,5,6,7,8,9共9个所以总共有7963⨯=种可能 符合题意的m 可以取1,3,5,7共4个 符合题意的n 可以取1,3,5,7,9共5个 所以总共有4520⨯=种可能符合题意 所以符合题意的概率为20638.如图,在三棱柱ABC C B A -111中,F E D ,,分别是1,,AA AC AB 的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ,则=21:V V ▲ . 解析:112211111334224ADE ABC V S h S h V ==⨯⨯=所以121:24V V =A BC1ADEF 1B1C9.抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是 ▲ .解析:易知切线方程为:21y x =-所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为()()()0,00.5,00,1A B C - 易知过C 点时有最小值2-,过B 点时有最大值0.510.设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点,AB AD 21=,BC BE 32=,若AC AB DE 21λλ+=(21,λλ为实数),则21λλ+的值为 ▲ .解析:易知()121212232363DE AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r所以1212λλ+=11.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时,x x x f 4)(2-=,则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 ▲ . 解析:因为)(x f 是定义在R 上的奇函数,所以易知0x ≤时,2()4f x x x =-- 解不等式得到x x f >)(的解集用区间表示为()()5,05,-+∞U12.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ,右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d .若126d d =,则椭圆的离心率为 ▲ . 解析:由题意知2212,bc a b d d c a c c==-= 所以有26b bcc a= 两边平方得到2246a b c =,即42246a a c c -= 两边同除以4a 得到2416e e -=,解得213e =,即33e =13.平面直角坐标系xOy 中,设定点),(a a A ,P 是函数)0(1>=x xy 图像上一动点,若点A P ,之间最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为 ▲ . 解析: 由题意设()0001,,0P x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭则有()222222200000200000111112++2=+-2+22PA x a a x a x a x a x a x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令()001t 2x t x +=≥ 则()222=(t)=t 2222PA f at a t -+-≥ 对称轴t a = 1.2a ≤时,22min 2(2)2422428PA f a a a a ==-+∴-+=1a =- , 3a =(舍去) 2.2a >时,22min 2()228PA f a a a ==-∴-=10a = , 10a =-(舍去) 综上1a =-或10a =14.在正项等比数列{}n a 中,215=a ,376=+a a .则满足n n a a a a a a a a ......321321>++++的最大正整数n 的值为 ▲ . 解析:2252552667123123115521155223 (1),.222222011521312913236002292212n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a q a q q a a n nq n q n q a -------=+=+-+=∴++++>∴->∴->>-∴->-+∴<<=>∴==Q QQ n N +∈112,n n N +∴≤≤∈又12n =时符合题意,所以n 的最大值为12二、解答题:本大题共6小题,共计90分。
专题08 平面解析几何(解答题)1.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A ,B 关于坐标原点O 对称,│AB │=4,⊙M 过点A ,B 且与直线x +2=0相切.(1)若A 在直线x +y =0上,求⊙M 的半径;(2)是否存在定点P ,使得当A 运动时,│MA │−│MP │为定值?并说明理由. 【答案】(1)M e 的半径=2r 或=6r ;(2)存在,理由见解析.【解析】(1)因为M e 过点,A B ,所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0x y 上,且,A B 关于坐标原点O 对称,所以M 在直线y x =上,故可设(, )M a a .因为M e 与直线x +2=0相切,所以M e 的半径为|2|r a =+.由已知得||=2AO ,又MO AO ⊥u u u u r u u u r,故可得2224(2)a a +=+,解得=0a 或=4a . 故M e 的半径=2r 或=6r .(2)存在定点(1,0)P ,使得||||MA MP -为定值. 理由如下:设(, )M x y ,由已知得M e 的半径为=|+2|,||=2r x AO .由于MO AO ⊥u u u u r u u u r ,故可得2224(2)x y x ++=+,化简得M 的轨迹方程为24y x =.因为曲线2:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点,以直线1x =-为准线的抛物线,所以||=+1MP x . 因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---,所以存在满足条件的定点P .【名师点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程,进而根据抛物线的定义得到定值,验证定值符合所有情况,使得问题得解.2.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点,P 为C 上一点,O 为坐标原点.(1)若2POF △为等边三角形,求C 的离心率;(2)如果存在点P ,使得12PF PF ⊥,且12F PF △的面积等于16,求b 的值和a 的取值范围.【答案】(1)31-;(2)4b =,a 的取值范围为[42,)+∞.【解析】(1)连结1PF ,由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中,1290F PF ∠=︒,2PF c =,13PF c =,于是122(31)a PF PF c =+=+,故C 的离心率是31ce a==-. (2)由题意可知,满足条件的点(,)P x y 存在.当且仅当1||2162y c ⋅=,1y yx c x c⋅=-+-,22221x y a b +=,即||16c y =,① 222x y c +=,②22221x y a b+=,③ 由②③及222a b c =+得422b y c =,又由①知22216y c=,故4b =.由②③得()22222a x c b c=-,所以22c b ≥,从而2222232,a b c b =+≥=故42a ≥.当4b =,42a ≥时,存在满足条件的点P . 所以4b =,a 的取值范围为[42,)+∞.【名师点睛】本题主要考查求椭圆的离心率,以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题,熟记椭圆的简单性质即可求解,考查计算能力,属于中档试题.3.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C :y =22x ,D 为直线y =12-上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A ,B .(1)证明:直线AB 过定点; (2)若以E (0,52)为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求该圆的方程. 【答案】(1)见解析;(2)22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭或22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 【解析】(1)设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭,则2112x y =.由于y'x =,所以切线DA 的斜率为1x ,故11112y x x t+=-.整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ,同理可得222 2 +1=0tx y -. 故直线AB 的方程为2210tx y -+=. 所以直线AB 过定点1(0,)2.(2)由(1)得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,可得2210x tx --=. 于是()21212122,121x x t y y t x x t +=+=++=+.设M 为线段AB 的中点,则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ,而()2,2EM t t =-u u u u r ,AB u u u r 与向量(1, )t 平行,所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时,||EM u u u u r =2,所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭;当1t =±时,||2EM =u u u u r ,所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程,属于常规题型,按部就班地求解就可以,思路较为清晰,但计算量不小.4.【2019年高考北京卷文数】已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0),且经过点(0,1)A .(1)求椭圆C 的方程;(2)设O 为原点,直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ,Q ,直线AP 与x 轴交于点M ,直线AQ 与x 轴交于点N ,若|OM |·|ON |=2,求证:直线l 经过定点.【答案】(1)2212x y +=;(2)见解析. 【解析】(1)由题意得,b 2=1,c =1. 所以a 2=b 2+c 2=2.所以椭圆C 的方程为2212x y +=.(2)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 则直线AP 的方程为1111y y x x -=+. 令y =0,得点M 的横坐标111M x x y =--. 又11y kx t =+,从而11||||1M x OM x kx t ==+-.同理,22||||1x ON kx t =+-.由22,12y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=. 则122412kt x x k +=-+,21222212t x x k-=+. 所以1212||||||||11x x OM ON kx t kx t ⋅=⋅+-+-()12221212||(1)(1)x x k x x k t x x t =+-++-22222222212||224(1)()(1)1212t k t kt k k t t k k-+=-⋅+-⋅-+-++12||1t t+=-. 又||||2OM ON ⋅=,所以12||21tt+=-. 解得t =0,所以直线l 经过定点(0,0).【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时,要注意:(1)注意观察应用题设中的每一个条件,明确确定直线、椭圆的条件;(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力,重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.5.【2019年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ,左顶点为A ,上顶点为B .已知3||2||OA OB =(O 为原点).(1)求椭圆的离心率; (2)设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ,圆C 同时与x 轴和直线l 相切,圆心C 在直线x =4上,且OC AP ∥,求椭圆的方程.【答案】(1)12;(2)2211612x y +=.【解析】(1)设椭圆的半焦距为c ,由已知有32a b =,又由222a b c =+,消去b 得22232a a c ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭,解得12c a =. 所以,椭圆的离心率为12. (2)由(1)知,2,3a c b c ==,故椭圆方程为2222143x y c c+=.由题意,(, 0)F c -,则直线l 的方程为3()4y x c =+, 点P 的坐标满足22221,433(),4x y c cy x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并化简,得到2276130x cx c +-=,解得1213,7c x c x ==-. 代入到l 的方程,解得1239,214y c y c ==-.因为点P在x轴上方,所以3,2P c c ⎛⎫⎪⎝⎭.由圆心C在直线4x=上,可设(4, )C t.因为OC AP∥,且由(1)知( 2 , 0)A c-,故3242ctc c=+,解得2t=.因为圆C与x轴相切,所以圆的半径长为2,又由圆C与l相切,得23(4)242314c+-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭,可得=2c.所以,椭圆的方程为2211612x y+=.【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力. 6.【2019年高考江苏卷】如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:22221(0)x ya ba b+=>>的焦点为F1(–1、0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:222(1)4x y a-+=交于点A,与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B,连结BF2交椭圆C于点E,连结DF1.已知DF1=52.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.【答案】(1)22143x y+=;(2)3(1,)2E--.【解析】(1)设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(−1,0),F 2(1,0),所以F 1F 2=2,c =1. 又因为DF 1=52,AF 2⊥x 轴, 所以DF 2=222211253()222DF F F -=-=, 因此2a =DF 1+DF 2=4,从而a =2. 由b 2=a 2−c 2,得b 2=3.因此,椭圆C 的标准方程为22143x y +=.(2)解法一:由(1)知,椭圆C :22143x y +=,a =2,因为AF 2⊥x 轴,所以点A 的横坐标为1. 将x =1代入圆F 2的方程(x −1) 2+y 2=16,解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方,所以A (1,4). 又F 1(−1,0),所以直线AF 1:y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩,得256110x x +-=, 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+,得 125y =-, 因此1112(,)55B --.又F 2(1,0),所以直线BF 2:3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪,得276130x x --=,解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点,所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-,得32y =-. 因此3(1,)2E --.解法二:由(1)知,椭圆C:221 43x y+=.如图,连结EF1.因为BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,从而∠BF1E=∠B.因为F2A=F2B,所以∠A=∠B,所以∠A=∠BF1E,从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x轴,所以EF1⊥x轴.因为F1(−1,0),由221431xx y⎧⎪⎨+==-⎪⎩,得32y=±.又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以32y=-.因此3(1,)2E--.【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.7.【2019年高考浙江卷】如图,已知点(10)F,为抛物线22(0)y px p=>的焦点,过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线上,使得ABC△的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F 的右侧.记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S . (1)求p 的值及抛物线的准线方程;(2)求12S S 的最小值及此时点G 的坐标.【答案】(1)p =2,准线方程为x =−1;(2)最小值为312+,此时G (2,0). 【解析】(1)由题意得12p=,即p =2. 所以,抛物线的准线方程为x =−1.(2)设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ,重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠,则2A x t =.由于直线AB 过F ,故直线AB 方程为2112t x y t-=+,代入24y x =,得()222140t y y t---=,故24B ty =-,即2B y t =-,所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++及重心G 在x 轴上,故220c t y t-+=,得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以,直线AC 方程为()222y t t x t-=-,得()21,0Q t-.由于Q 在焦点F 的右侧,故22t >.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23A ct t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-.令22m t =-,则m >0,122113222134323424S m S m m m m m m=-=--=+++++⋅+…. 当3m =时,12S S 取得最小值312+,此时G (2,0). 【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.8.【2018年高考全国Ⅰ文数】设抛物线22C y x =:,点()20A ,,()20B -,,过点A 的直线l 与C 交于M ,N 两点.(1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程; (2)证明:ABM ABN =∠∠. 【答案】(1)y =112x +或112y x =--;(2)见解析. 【解析】(1)当l 与x 轴垂直时,l 的方程为x =2,可得M 的坐标为(2,2)或(2,–2). 所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--. (2)当l 与x 轴垂直时,AB 为MN 的垂直平分线,所以∠ABM =∠ABN .当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1>0,x 2>0.由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩,得ky 2–2y –4k =0,可知y 1+y 2=2k ,y 1y 2=–4.直线BM ,BN 的斜率之和为1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++.① 将112y x k =+,222yx k=+及y 1+y 2,y 1y 2的表达式代入①式分子,可得121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k++-++++===.所以k BM +k BN =0,可知BM ,BN 的倾斜角互补,所以∠ABM =∠ABN . 综上,∠ABM =∠ABN .【名师点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系,考查考生的化归与转化能力、运算求解能力,考查的数学核心素养是直观想象与数学运算.在设直线的方程时,一定要注意所设方程的适用范围,如用点斜式时,要考虑到直线的斜率不存在的情况,以免解答不严密或漏解.(1)求出直线l 与抛物线的交点,利用两点式写出直线BM 的方程;(2)由(1)知,当直线l 与x 轴垂直时,结论显然成立,当直线l 与x 轴不垂直时,设出斜率k ,联立直线l 与C 的方程,求出M ,N 两点坐标之间的关系,再表示出BM 与BN 的斜率,得其和为0,从而说明BM 与BN 两条直线的斜率互为相反数,进而可知两角相等.9.【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设抛物线24C y x =:的焦点为F ,过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ,B 两点,||8AB =. (1)求l 的方程;(2)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程.【答案】(1)y =x –1;(2)22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=. 【解析】(1)由题意得F (1,0),l 的方程为y =k (x –1)(k >0). 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=. 216160k ∆=+=,故212224k x x k++=. 所以212244(1)(1)k AB AF BF x x k+=+=+++=. 由题设知22448k k +=,解得k =–1(舍去),k =1. 因此l 的方程为y =x –1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--,即5y x =-+.设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0),则00220005(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩,解得0032x y =⎧⎨=⎩,或00116.x y =⎧⎨=-⎩, 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=.【名师点睛】本题主要考查抛物线与直线和圆的综合,考查考生的数形结合能力、运算求解能力,考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.(1)利用点斜式写出直线l 的方程,代入抛物线方程,得到关于x 的一元二次方程,利用根与系数的关系以及抛物线的定义加以求解;(2)由题意写出线段AB 的垂直平分线所在直线的方程,设出圆心的坐标,由题意列出方程组,解得圆心的坐标,即可求解.10.【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=:交于A ,B 两点.线段AB的中点为(1,)(0)M m m >. (1)证明:12k <-; (2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r .证明:2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r. 【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】(1)设11()A x y ,,22()B x y ,,则2211143x y +=,2222143x y +=.两式相减,并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=.由题设知1212x x +=,122y y m +=,于是34k m=-. 由题设得302m <<,故12k <-.(2)由题意得F (1,0).设33()P x y ,,则331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=,,,,.由(1)及题设得3123()1x x x =-+=,312()20y y y m =-+=-<.又点P 在C 上,所以34m =,从而3(1)2P -,,3||=2FP u u u r . 于是222211111||(1)(1)3(1)242x x FA x y x =-+=-+-=-u u u r .同理2||=22x FB -u u u r .所以1214()32FA FB x x +=-+=u u u r u u u r .故2||=||+||FP FA FB u u u r u u u r u u u r .【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及简单几何性质、直线的斜率公式、直线与椭圆的位置关系、向量的坐标运算与向量的模等,考查运算求解能力、数形结合思想,考查的数学核心素养是数学抽象、数学运算.圆维曲线中与中点弦有关的问题常用点差法,建立弦所在直线的斜率与中点坐标间的关系,也可以通过联立直线方程与圆锥曲线方程,消元,根据根与系数的关系求解.11.【2018年高考北京卷文数】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为63,焦距为22.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ,B . (1)求椭圆M 的方程;(2)若1k =,求||AB 的最大值;(3)设(2,0)P -,直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ,直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)44Q -共线,求k .【答案】(1)2213x y +=;(2)6;(3)1. 【解析】(1)由题意得222c =,所以2c =,又63c e a ==,所以3a =, 所以2221b a c =-=,所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=.(2)设直线AB 的方程为y x m =+,由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=, 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->,即24m <,设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则1232m x x +=-,212334m x x -=,则222212121264||1||1()42m AB k x x k x x x x ⨯-=+-=+⋅+-=,易得当20m =时,max ||6AB =,故||AB 的最大值为6. (3)设11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)C x y ,44(,)D x y ,则221133x y += ①,222233x y += ②,又(2,0)P -,所以可设1112PA y k k x ==+,直线PA 的方程为1(2)y k x =+, 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=, 则2113211213k x x k +=-+,即2131211213k x x k =--+, 又1112y k x =+,代入①式可得13171247x x x --=+,所以13147y y x =+, 所以1111712(,)4747x y C x x --++,同理可得2222712(,)4747x y D x x --++.故3371(,)44QC x y =+-u u u r ,4471(,)44QD x y =+-u u u r ,因为,,Q C D 三点共线,所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=,将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-,即1k =. 【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系,考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力,考查数形结合思想,考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算.解决椭圆的方程问题,常用基本量法,同时注意椭圆的几何量的关系;弦长的计算,通常要将直线与椭圆方程联立,利用根与系数的关系求解.12.【2018年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ,上顶点为B .已知椭圆的离心率为53,||13AB =. (1)求椭圆的方程;(2)设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点,l 与直线AB 交于点M ,且点P ,M 均在第四象限.若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍,求k 的值.【答案】(1)22194x y +=;(2)12-. 【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.满分14分.(1)设椭圆的焦距为2c ,由已知得2259c a =,又由222a b c =+,可得23a b =.由22||13AB a b =+=,从而3,2a b ==.所以,椭圆的方程为22194x y +=.(2)设点P 的坐标为11(,)x y ,点M 的坐标为22(,)x y ,由题意,210x x >>, 点Q 的坐标为11(,)x y --.由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍,可得||=2||PM PQ ,从而21112[()]x x x x -=--,即215x x =. 易知直线AB 的方程为236x y +=,由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ,可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y ,可得12694x k =+. 由215x x =,可得2945(32)k k +=+,两边平方,整理得2182580k k ++=,解得89k =-,或12k =-.当89k =-时,290x =-<,不合题意,舍去;当12k =-时,212x =,1125x =,符合题意.所以,k 的值为12-.【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,涉及轨迹方程问题、定值问题、最值问题、参数的取值或取值范围问题等,其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决此类问题要重视化归与转化思想及设而不求法的应用.13.【2018年高考江苏卷】如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 过点1(3,)2,焦点12(3,0),(3,0)F F -,圆O 的直径为12F F .(1)求椭圆C 及圆O 的方程;(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标; ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.若OAB △的面积为267,求直线l 的方程.【答案】(1)椭圆C的方程为2214xy+=,圆O的方程为223x y+=;(2)①(2,1);②532y x=-+.【解析】(1)因为椭圆C的焦点为12()3,0,(3,0)F F-,可设椭圆C的方程为22221(0)x ya ba b+=>>.又点1(3,)2在椭圆C上,所以2222311,43,a ba b⎧+=⎪⎨⎪-=⎩,解得224,1,ab⎧=⎪⎨=⎪⎩因此椭圆C的方程为2214xy+=.因为圆O的直径为12F F,所以其方程为223x y+=.(2)①设直线l与圆O相切于0000(),,(00)P x y x y>>,则22003x y+=,所以直线l的方程为000()xy x x yy=--+,即0003xy xy y=-+.由22001,43,xyxy xy y⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y,得222200004243640()x y x x x y+-+-=.(*)因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x∆=--+-=-=.因为00,0x y>,所以002,1x y==.因此点P的坐标为(2,1).②因为三角形OAB的面积为267,所以21267AB OP⋅=,从而427AB=.设1122,,()(),A x y B x y ,由(*)得2200022001,22448(2)2(4)x y x x x y ±-=+,所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+.因为22003x y +=,所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+,即42002451000x x -+=, 解得22005(202x x ==舍去),则2012y =, 因此P 的坐标为102(,)22. 综上,直线l 的方程为532y x =-+.【名师点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识,考查分析问题能力和运算求解能力. (1)利用椭圆的几何性质求圆的方程和椭圆的方程. (2)①利用直线与圆、椭圆的位置关系建立方程求解; ②结合①,利用弦长公式、三角形的面积公式求解.14.【2018年高考浙江卷】如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线C :y 2=4x 上存在不同的两点A ,B 满足P A ,PB 的中点均在C 上.PMBAOyx(1)设AB 中点为M ,证明:PM 垂直于y 轴;(2)若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点,求△P AB 面积的取值范围.【答案】(1)见解析;(2)1510[62,]4. 【解析】本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.满分15分. (1)设00(,)P x y ,2111(,)4A y y ,2221(,)4B y y . 因为PA ,PB 的中点在抛物线上,所以1y ,2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根. 所以1202y y y +=. 因此,PM 垂直于y 轴. (2)由(1)可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-, 21200||22(4)y y y x -=-.因此,PAB △的面积3221200132||||(4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△. 因为220001(0)4y x x +=<,所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈.因此,PAB △面积的取值范围是1510[62,]4. 【名师点睛】圆锥曲线问题是高考重点考查内容之一,也是难点之一.椭圆、抛物线是其中常考内容,需要熟练地掌握椭圆和拋物线的定义、基本性质、标准方程等,对于处理有关问题有很大的帮助.同时还要注意运算能力的培养和提高.15.【2017年高考全国Ⅰ卷文数】设A ,B 为曲线C :y =24x 上两点,A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率;(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM ⊥BM ,求直线AB 的方程. 【答案】(1)1;(2)7y x =+.【解析】(1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则12x x ≠,2114x y =,2224x y =,x 1+x 2=4,于是直线AB 的斜率12121214y y x x k x x -+===-.(2)由24x y =,得2x y'=.设M (x 3,y 3),由题设知312x =,解得32x =,于是M (2,1). 设直线AB 的方程为y x m =+,故线段AB 的中点为N (2,2+m ),|MN |=|m +1|.将y x m =+代入24xy =得2440x x m --=.当16(1)0m ∆=+>,即1m >-时,1,2221x m =±+. 从而12||=2||42(1)AB x x m -=+.由题设知||2||AB MN =,即42(1)2(1)m m +=+,解得7m =. 所以直线AB 的方程为7y x =+.【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系,主要利用根与系数的关系:因为直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用根与系数的关系及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用根与系数的关系直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用. (1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由两点斜率公式求AB 的斜率;(2)联立直线与抛物线方程,消y ,得12||=2||42(1)AB x x m -=+,解出m 即可.16.【2017年高考全国Ⅱ卷文数】设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C 22:12x y +=上,过M 作x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足2NP NM =u u u ru u u u r.(1)求点P 的轨迹方程;(2)设点Q 在直线3x =-上,且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r.证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【答案】(1)222x y +=;(2)见解析.【解析】(1)设P (x ,y ),M (00,x y ),则N (0,0x ),00(,),(0,)NP x x y NM y =-=u u u r u u u u r ,由2NP NM =u u u ru u u u r 得0022x x y y ==,. 因为M (00,x y )在C 上,所以22122x y +=.因此点P 的轨迹方程为222x y +=.(2)由题意知F (−1,0),设Q (−3,t ),P (m ,n ),则(3,),(1,),33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---⋅=+-u u u r u u u r u u u r u u u r, (,),(3,)OP m n PQ m t n ==---u u u r u u u r.由1OP PQ ⋅=u u u r u u u r得2231m m tn n --+-=,又由(1)知222m n +=,故330m tn +-=.所以0OQ PF ⋅=u u u r u u u r ,即OQ PF ⊥u u u r u u u r.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ,所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【名师点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显现.(1)转移法求轨迹:设所求动点坐标及相应已知动点坐标,利用条件列两种坐标关系,最后代入已知动点轨迹方程,化简可得所求轨迹方程;(2)证明直线过定点问题,一般方法是以算代证:即证0OQ PF ⋅=u u u r u u u r,先设 P (m ,n ),则需证330m tn +-=,即根据条件1OP PQ ⋅=u u u r u u u r可得2231m m tn n --+-=,而222m n +=,代入即得330m tn +-=.17.【2017年高考全国Ⅲ卷文数】在直角坐标系xOy 中,曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ,B 两点,点C的坐标为(0,1).当m 变化时,解答下列问题: (1)能否出现AC ⊥BC 的情况?说明理由;(2)证明过A ,B ,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【答案】(1)不会,理由见解析;(2)见解析 【解析】(1)不能出现AC ⊥BC 的情况,理由如下:设1(,0)A x ,2(,0)B x ,则12x x ,满足220x mx +-=,所以122x x =-. 又C 的坐标为(0,1),故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112x x --⋅=-, 所以不能出现AC ⊥BC 的情况.(2)BC 的中点坐标为(2122x ,),可得BC 的中垂线方程为221()22x y x x -=-. 由(1)可得12x x m +=-,所以AB 的中垂线方程为2mx =-.联立22(21)22m x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩,,又22220x mx +-=,可得212m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,,所以过A 、B 、C 三点的圆的圆心坐标为(122m --,),半径292m r +=,故圆在y 轴上截得的弦长为22232m r -=(),即过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【名师点睛】解答本题时,设()()12,0,,0A x B x ,由AC ⊥BC 得1210x x +=,由根与系数的关系得122x x =-,矛盾,所以不存在;求出过A ,B ,C 三点的圆的圆心坐标和半径,即可得圆的方程,再利用垂径定理求弦长.直线与圆综合问题的常见类型及解题策略:(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.代数方法:运用根与系数的关系及弦长公式:222121212||1||1()4AB k x x k x x x x =+-=++-; (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而建立关系解决问题. 18.【2017年高考北京卷文数】已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0),B (2,0),焦点在x 轴上,离心率为32. (1)求椭圆C 的方程;(2)点D 为x 轴上一点,过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ,N ,过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证:△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5.【答案】(1)2214x y +=;(2)见解析.【解析】(1)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.由题意得2,3,2a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩解得3c =.所以2221b a c =-=.所以椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)设(,)M m n ,则(,0),(,)D m N m n -. 由题设知2m ≠±,且0n ≠.直线AM 的斜率2AM n k m =+,故直线DE 的斜率2DE m k n+=-. 所以直线DE 的方程为2()m y x m n +=--. 直线BN 的方程为(2)2ny x m=--. 联立2(),(2),2m y x m n n y x m +⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩解得点E 的纵坐标222(4)4E n m y m n -=--+. 由点M 在椭圆C 上,得2244m n -=.所以45E y n =-. 又12||||||||25BDE E S BD y BD n =⋅=⋅△,1||||2BDN S BD n =⋅△,所以BDE △与BDN △的面积之比为4:5.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高,重点考查了计算能力,以及转化与化归的能力,解答此类题目,主要利用,,,a b c e 的关系,确定椭圆方程是基础,本题易错点是对复杂式子的变形能力不足,导致错漏百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等. (1)根据条件可知32,2c a a ==,以及222b a c =-,从而求得椭圆方程;(2)设(,)M m n ,则(,0),(,)D m N m n -,根据条件求直线DE 的方程,并且表示出直线BN 的方程,并求得两条直线的交点纵坐标,根据1212E BDE BDNN BD y S S BD y ⋅⋅=⋅⋅△△即可求出面积比值. 19.【2017年高考天津卷文数】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为,()0F c -,右顶点为A ,点E的坐标为(0,)c ,EFA △的面积为22b .(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q 在线段AE 上,3||2FQ c =,延长线段FQ 与椭圆交于点P ,点M ,N 在x 轴上,PM QN ∥,且直线PM 与直线QN 间的距离为c ,四边形PQNM 的面积为3c .(i )求直线FP 的斜率; (ii )求椭圆的方程.【答案】(1)12;(2)(ⅰ)34;(ⅱ)2211612x y +=.【解析】(1)设椭圆的离心率为e .由已知,可得21()22b c a c +=.又由222b a c =-,可得2220c ac a +-=,即2210e e +-=. 又因为01e <<,解得12e =. 所以,椭圆的离心率为12. (2)(ⅰ)依题意,设直线FP 的方程为(0)x my c m =->,则直线FP 的斜率为1m. 由(1)知2a c =,可得直线AE 的方程为12x yc c +=,即220x y c +-=, 与直线FP 的方程联立,可解得(22)3,22m c c x y m m -==++,即点Q 的坐标为(22)3(,)22m c cm m -++. 由已知|FQ |=32c ,有222(22)33[]()()222m c c c c m m -++=++,整理得2340m m -=,所以43m =, 故直线FP 的斜率为34.(ii )由2a c =,可得3b c =,故椭圆方程可以表示为2222143x y c c+=.由(i )得直线FP 的方程为3430x y c -+=,与椭圆方程联立22223430,1,43x y c x y c c -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ,整理得2276130x cx c +-=,解得137cx =-(舍去),或x c =. 因此可得点3(,)2c P c ,进而可得2235|()()22|c c FP c c =++=, 所以53||||||22c cFP FQ Q c P -=-==. 由已知,线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离, 故直线PM 和QN 都垂直于直线FP .因为QN FP ⊥,所以339||||tan 248c c QN FQ QFN =⋅∠=⨯=, 所以FQN △的面积为2127||||232c FQ QN =,同理FPM △的面积等于27532c ,由四边形PQNM 的面积为3c ,得22752733232c c c -=,整理得22c c =,又由0c >,得2c =.所以,椭圆的方程为2211612x y +=.【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考中都是较有难度的压轴题,本题对考生的计算能力要求较高,是一道难题,重点考查了运算求解能力以及转化与化归的能力.求解此类问题时,利用,,,a b c e 的关系,确定椭圆离心率是基础,通过联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)的方程,根据根与系数的关系进行解题,但本题需求解交点坐标,在求解过程要善于发现四边形PQNM 中的几何关系,从而易求其面积,进而使问题获解.(1)先根据题意得出21()22b c a c +=,然后结合222b a c =-,即可求得离心率;(2)(ⅰ)首先设直线FP 的方程为x my c =-,再写出直线AE 的方程,两方程联立得到点Q 的坐标,根据32FQ c =求得m 的值,即得直线FP 的斜率;(ⅱ)将直线FP 的方程和椭圆方程联立,可得点P 的坐标,再求,FP FQ ,确定直线PM 和QN 都垂直于直线FP ,根据平面几何关系求面积,从而可求得c 的值,进而得椭圆的方程.20.【2017年高考山东卷文数】在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b +=(a >b >0)的离心率为22,椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为22. (1)求椭圆C 的方程;(2)动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,⊙N 的半径为|NO |.设D 为AB 的中点,DE ,DF 与⊙N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小值.【答案】(1)22142x y +=;(2)EDF ∠的最小值为π3. 【解析】(1)由椭圆的离心率为22,得2222()a a b =-, 又当1y =时,2222a x a b =-,得2222a a b-=,所以224,2a b ==,因此椭圆方程为22142x y +=.(2)设1122(,),(,)A x y B x y ,联立方程2224y kx mx y =+⎧⎨+=⎩, 得222(21)4240k x kmx m +++-=, 由0∆>得2242m k <+.(*)且122421kmx x k +=+, 因此122221my y k +=+,所以222(,)2121km mD k k -++, 又(0,)N m -, 所以222222()()2121km m ND m k k =-++++ 整理得2242224(13)(21)m k k ND k ++=+ , 因为NF m =,所以2422222224(31)831(21)(21)ND k k k k k NF+++==+++.令283,3t k t =+≥, 故21214t k ++=, 所以2221616111(1)2NDt t NFt t=+=++++ . 令1y t t=+,所以211y t'=-. 当3t ≥时,0y '>,从而1y t t =+在[3,)+∞上单调递增,因此1103t t +≥,等号当且仅当3t =时成立,此时0k =,所以22134ND NF≤+=,由(*)得 22m -<< 且0m ≠.故12NF ND ≥, 设2EDF θ∠=, 则1sin 2NF ND θ=≥ , 所以θ的最小值为π6, 从而EDF ∠的最小值为π3,此时直线l 的斜率是0. 综上所述:当0k =,(2,0)(0,2)m ∈-U 时,EDF ∠取到最小值π3. 【名师点睛】圆锥曲线中的两类最值问题:①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题; ②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.常见解法:①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决; ②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解. 解答本题时,(1)由22c a =得2a b =,由椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为22,得2222a a b -=,求得椭圆的方程为22142x y +=;(2)由2224x y y kx m⎧+=⎨=+⎩,解得22(21)4k x kmx +++ 2240m -=,确定222(,)2121km m D k k -++,4222||3221m DN k k k =+++,结合22ND NF的单调性求EDF ∠的最小值.21.【2017年高考浙江卷】如图,已知抛物线2x y =,点A 11()24-,,39()24B ,,抛物线上的点13(,)()22P x y x -<<.过点B 作直线AP 的垂线,垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围; (2)求||||PA PQ ⋅的最大值. 【答案】(1)(1,1)-;(2)2716. 【解析】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.满分15分. (1)设直线AP 的斜率为k ,2114122x k x x -==-+, 因为1322x -<<,所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-. (2)联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩ 解得点Q 的横坐标是22432(1)Q k k x k -++=+. 因为|P A |=211()2k x ++=21(1)k k ++, |PQ |=222(1)(1)1()1Q k k k x x k -++-=-+,所以3(1)(1)k k PA PQ ⋅--+=.令3()(1)(1)f k k k =--+,因为2()(42)(1)f k k k '=--+,所以 f (k )在区间1(1,)2-上单调递增,1(,1)2上单调递减, 因此当k =12时,||||PA PQ ⋅取得最大值2716. 【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.(1)由斜率公式可得AP 的斜率为12x -,再由1322x -<<,得直线AP 的斜率的取值范围;(2)联立直线AP 与BQ 的方程,得Q 的横坐标,进而通过表达||PA 与||PQ 的长度,利用函数3()(1)(1)f k k k =--+的单调性求解||||PA PQ ⋅的最大值.22.【2017年高考江苏卷】如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上,且位于第一象限,过点1F 作直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l . (1)求椭圆E 的标准方程;(2)若直线1l ,2l 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.【答案】(1)22143x y +=;(2)4737(,)77.【解析】(1)设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12,两准线之间的距离为8,所以12c a =,228a c=,。
普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学试题及答案一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.........1.已知集合{}123A =,,,{}245B =,,,则集合A B 中元素的个数为_______. 【答案】52.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为________. 【答案】63.设复数z 满足234z i =+(i 是虚数单位),则z 的模为_______.4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S 为________. 【答案】75.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________. 【答案】566.已知向量()21a =,,()2a =-1,,若()()98ma nb mn R +=-∈,,则m-n 的值为______. 【答案】-37.不等式224x x -<的解集为________. 【答案】(-1,2)8.已知tan 2α=-,()1tan 7αβ+=,则tan β的值为_______.【答案】39.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个,则新的底面半径为________.10.在平面直角坐标系xOy 中,以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 . 【答案】22(1)2x y -+=11.数列}{n a 满足11=a ,且11+=-+n a a n n (*N n ∈),则数列}1{na 的前10项和为 .【答案】201112.在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点.若点P 到直线01=+-y x 的距离对c 恒成立,则是实数c 的最大值为 .13.已知函数|ln |)(x x f =,⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ,则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 .【答案】414.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k πππ,则∑=+111)(k k k a a 的值为 .【答案】二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内........作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(第4题图)15.(本小题满分14分)在ABC 中,已知2,3,60.AB AC A === (1)求BC 的长; (2)求sin2C 的值.解:(1)由余弦定理得,7BC =(2)由正弦定理得,43sin 2C =16.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,已知1,AC BC BC CC ⊥=,设1AB 的中点为D,11.B C BC E ⋂= 求证:(1)11//DE AACC 平面 (2)11BC AB ⊥ 证明:(1)只需证明DE//AC;(2)需先证AC ⊥平面11BCC B ,再证1BC ⊥平面1AB C .17.(本小题满分14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为12l l ,,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N 为C 的两个端点,测得点M 到12l l ,的距离分别为5千米和40千米,点N 到12l l ,的距离分别为20千米和2.5千米,以12l l ,所在的直线分别为x,y 轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C 符合函数2ay x b=+(其中a,b 为常数)模型. (I)求a,b 的值;(II)设公路l 与曲线C 相切于P 点,P 的横坐标为t.①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ,并写出其定义域; ②当t 为何值时,公路l 的长度最短?求出最短长度. 解:(1)由题意知,点,M N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5),将其分别代入2ay x b =+中得,10000a b =⎧⎨=(2)由勾股定理得,62410()3,[5,20]4tf t t t =+∈ 由基本不等式可知,当102t =时,min ()153f t =Ml 1y CPl18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆()222210x y a b a b +=>>且右焦点F 到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过F 的直线与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ,C ,若PC=2AB ,求直线AB 的方程.解:(1)2212x y += (2)分AB 与x 轴垂直和不垂直两种情况讨论, 得直线AB 的方程为10x y --=或10x y +-=19.(本小题满分16分)已知函数32()(,)f x x ax b a b =++∈R ; (1)试讨论)(x f 的单调性;(2)若a c b -=(实数c 是与a 无关常数),当函数)(x f 有三个不同零点时,a 的取值范围恰好是33(,3)(1,)(,)22-∞-+∞求c 的值 解:(1)当0a <时,()f x 在2(0,)3a -上递减,在2(,0),(,)3a-∞-+∞上递增; 当0a =时,()f x 在(,)-∞+∞上递增; 当0a >时,()f x 在2(,0)3a -上递减,在2(,),(0,)3a-∞-+∞上递增. (2)1c =20.(本小题满分16分)设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列 (1)证明:31242,2,2,2a a a a依次成等比数列(2)是否存在1,a d ,使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列,并说明理由(3)是否存在1,a d 及正整数,n k ,使得351234,,,n n k n kn k a a a a +++依次成等比数列,并说明理由 解:(1)证明:因为11222(1,2,3)2n n n na a a da n ++-===是同一个常数,所以31242,2,2,2a a a a 构成等比数列.(2)用假设法,可证不存在1,a d ,使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列.(3)用假设法,可证不存在1,a d 及正整数,n k ,使得351234,,,n n k n kn k a a a a +++依次成等比数列.附加题21、(选做题)本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的区域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A 、[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,在ABC ∆中,AC AB =,ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D 求证:ABD ∆≈AEB ∆ 证明:只需证ABD E ∠=∠,而BAE ∠为公共角,易证.B 、[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分) 已知R y x ∈,,向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量,矩阵A 以及它的另一个特征值. 解:1120A ⎡-⎤=⎢⎥⎦⎣,另一个特征值为1C.[选修4-4:坐标系与参数方程]已知圆C的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=,求圆C 的半径. 解:r =D .[选修4-5:不等式选讲]解不等式|23|3x x ++≥ 解:1(,5][,)3-∞--+∞22.如图,在四棱锥P ABCD -中,已知PA ⊥平面ABCD ,且四边形ABCD 为直角梯形,2ABC BAD π∠=∠=,2,1PA AD AB BC ====(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值;(2)点Q 是线段BP 上的动点,当直线CQ 与DP 所成角最小时,求线段BQ 的长 BQ =23.已知集合*{1,2,3},{1,2,3,,}()n X Y n n N ==∈,设},,|),{(n n Y b X a a b b a b a S ∈∈=整除或整除,令()f n表示集合n S 所含元素个数.A第21——AP A BC DQ 第22题(1)写出(6)f 的值; (6)13f =(2)当6n ≥时,写出()f n 的表达式,并用数学归纳法证明. 略。
2019年江苏省高考数学试卷一.填空题1.(5分)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为.2.(5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.3.(5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件.4.(5分)如图是一个算法流程图:若输入x的值为,则输出y的值是.5.(5分)若tan(α﹣)=.则tanα=.6.(5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是.7.(5分)记函数f(x)=定义域为D.在区间[﹣4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是.8.(5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.9.(5分)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项为S n,已知S3=,S6=,则a8=.10.(5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是.11.(5分)已知函数f(x)=x3﹣2x+e x﹣,其中e是自然对数的底数.若f (a﹣1)+f(2a2)≤0.则实数a的取值范围是.12.(5分)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且t anα=7,与的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=.13.(5分)在平面直角坐标系xOy中,A(﹣12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若≤20,则点P的横坐标的取值范围是.14.(5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=,其中集合D={x|x=,n∈N*},则方程f(x)﹣lgx=0的解的个数是.二.解答题15.(14分)如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.16.(14分)已知向量=(cosx,sinx),=(3,﹣),x∈[0,π].(1)若∥,求x的值;(2)记f(x)=,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.17.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程;(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.18.(16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l 没入水中部分的长度;(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l 没入水中部分的长度.19.(16分)对于给定的正整数k,若数列{a n}满足:a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…+a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{a n}是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列{a n}是“P(3)数列”;(2)若数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{a n}是等差数列.20.(16分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:b2>3a;(3)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求a的取值范围.二.非选择题,附加题(21-24选做题)【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分0分)21.如图,AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C,AP⊥PC,P为垂足.求证:(1)∠PAC=∠CAB;(2)AC2 =AP•AB.[选修4-2:矩阵与变换]22.已知矩阵A=,B=.(1)求AB;(2)若曲线C1:=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2,求C2的方程.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.[选修4-5:不等式选讲]24.已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd≤8.【必做题】25.如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;(2)求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值.26.已知一个口袋有m个白球,n个黑球(m,n∈N*,n≥2),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,…,m+n).123…m+n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;(2)随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明E(X)<.2017年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1.(5分)(2017•江苏)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为1.【分析】利用交集定义直接求解.【解答】解:∵集合A={1,2},B={a,a2+3}.A∩B={1},∴a=1或a2+3=1,解得a=1.故答案为:1.【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义及性质的合理运用.2.(5分)(2017•江苏)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.【解答】解:复数z=(1+i)(1+2i)=1﹣2+3i=﹣1+3i,∴|z|==.故答案为:.【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.3.(5分)(2017•江苏)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取18件.【分析】由题意先求出抽样比例即为,再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目.【解答】解:产品总数为200+400+300+100=1000件,而抽取60辆进行检验,抽样比例为=,则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件,故答案为:18【点评】本题的考点是分层抽样.分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致,按照一定的比例,即样本容量和总体容量的比值,在各层中进行抽取.4.(5分)(2017•江苏)如图是一个算法流程图:若输入x的值为,则输出y 的值是﹣2.【分析】直接模拟程序即得结论.【解答】解:初始值x=,不满足x≥1,所以y=2+log2=2﹣=﹣2,故答案为:﹣2.【点评】本题考查程序框图,模拟程序是解决此类问题的常用方法,注意解题方法的积累,属于基础题.5.(5分)(2017•江苏)若tan(α﹣)=.则tanα=.【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解:∵tan(α﹣)===∴6tanα﹣6=tanα+1,解得tanα=,故答案为:.【点评】本题考查了两角差的正切公式,属于基础题6.(5分)(2017•江苏)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是.【分析】设出球的半径,求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果.【解答】解:设球的半径为R,则球的体积为:R3,圆柱的体积为:πR2•2R=2πR3.则==.故答案为:.【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.7.(5分)(2017•江苏)记函数f(x)=定义域为D.在区间[﹣4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是.【分析】求出函数的定义域,结合几何概型的概率公式进行计算即可.【解答】解:由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0,得﹣2≤x≤3,则D=[﹣2,3],则在区间[﹣4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率P==,故答案为:【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算,结合函数的定义域求出D,以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键.8.(5分)(2017•江苏)在平面直角坐标系xOy中,双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程,得到P,Q坐标,求出焦点坐标,然后求解四边形的面积.【解答】解:双曲线﹣y2=1的右准线:x=,双曲线渐近线方程为:y=x,所以P(,),Q(,﹣),F1(﹣2,0).F2(2,0).则四边形F1PF2Q的面积是:=2.故答案为:2.【点评】本题考查双曲线简单性质的应用,考查计算能力.9.(5分)(2017•江苏)等比数列{a n}各项均为实数,其前n项为S n,已知S3=,S6=,则a8=32.【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1,S3=,S6=,可得=,=,联立解出即可得出.【解答】解:设等比数列{a n}的公比为q≠1,∵S3=,S6=,∴=,=,解得a1=,q=2.则a8==32.故答案为:32.【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.10.(5分)(2017•江苏)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是30.【分析】由题意可得:一年的总运费与总存储费用之和=+4x,利用基本不等式的性质即可得出.【解答】解:由题意可得:一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240(万元).当且仅当x=30时取等号.故答案为:30.【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.11.(5分)(2017•江苏)已知函数f(x)=x3﹣2x+e x﹣,其中e是自然对数的底数.若f(a﹣1)+f(2a2)≤0.则实数a的取值范围是[﹣1,] .【分析】求出f(x)的导数,由基本不等式和二次函数的性质,可得f(x)在R 上递增;再由奇偶性的定义,可得f(x)为奇函数,原不等式即为2a2≤1﹣a,运用二次不等式的解法即可得到所求范围.【解答】解:函数f(x)=x3﹣2x+e x﹣的导数为:f′(x)=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0,可得f(x)在R上递增;又f(﹣x)+f(x)=(﹣x)3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0,可得f(x)为奇函数,则f(a﹣1)+f(2a2)≤0,即有f(2a2)≤﹣f(a﹣1)=f(1﹣a),即有2a2≤1﹣a,解得﹣1≤a≤,故答案为:[﹣1,].【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用,注意运用导数和定义法,考查转化思想的运用和二次不等式的解法,考查运算能力,属于中档题.12.(5分)(2017•江苏)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tanα=7,与的夹角为45°.若=m+n (m,n∈R),则m+n=3.【分析】如图所示,建立直角坐标系.A(1,0).由与的夹角为α,且tanα=7.可得c osα=,sinα=.C.可得cos(α+45°)=.sin(α+45°)=.B.利用=m+n(m,n∈R),即可得出.【解答】解:如图所示,建立直角坐标系.A(1,0).由与的夹角为α,且tanα=7.∴cosα=,sinα=.∴C.cos(α+45°)=(cosα﹣sinα)=.sin(α+45°)=(sinα+cosα)=.∴B.∵=m+n(m,n∈R),∴=m﹣n,=0+n,解得n=,m=.则m+n=3.故答案为:3.【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.13.(5分)(2017•江苏)在平面直角坐标系xOy中,A(﹣12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若≤20,则点P的横坐标的取值范围是[﹣5,1] .【分析】根据题意,设P(x0,y0),由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0,分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域,联立直线与圆的方程可得交点的横坐标,结合图形分析可得答案.【解答】解:根据题意,设P(x0,y0),则有x02+y02=50,=(﹣12﹣x0,﹣y0)•(﹣x0,6﹣y0)=(12+x0)x0﹣y0(6﹣y0)=12x0+6y+x02+y02≤20,化为:12x0﹣6y0+30≤0,即2x0﹣y0+5≤0,表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域,联立,解可得x0=﹣5或x0=1,结合图形分析可得:点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5,1],故答案为:[﹣5,1].【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系,关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0的关系式.14.(5分)(2017•江苏)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=,其中集合D={x|x=,n∈N*},则方程f(x)﹣lgx=0的解的个数是8.【分析】由已知中f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=,其中集合D={x|x=,n∈N*},分析f(x)的图象与y=lgx 图象交点的个数,进而可得答案.【解答】解:∵在区间[0,1)上,f(x)=,第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数,又f(x)是定义在R上且周期为1的函数,∴在区间[1,2)上,f(x)=,此时f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;同理:区间[2,3)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[3,4)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[4,5)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[5,6)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[6,7)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[7,8)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[8,9)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;在区间[9,+∞)上,f(x)的图象与y=lgx无交点;故f(x)的图象与y=lgx有8个交点;即方程f(x)﹣lgx=0的解的个数是8,故答案为:8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,函数的图象和性质,转化思想,难度中档.二.解答题15.(14分)(2017•江苏)如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.【分析】(1)利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论;(2)通过取线段CD上点G,连结FG、EG使得FG∥BC,则EG∥AC,利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD,结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG,从而可得结论.【解答】证明:(1)因为AB⊥AD,EF⊥AD,且A、B、E、F四点共面,所以AB∥EF,又因为EF⊊平面ABC,AB⊆平面ABC,所以由线面平行判定定理可知:EF∥平面ABC;(2)在线段CD上取点G,连结FG、EG使得FG∥BC,则EG∥AC,因为BC⊥BD,所以FG∥BC,又因为平面ABD⊥平面BCD,所以FG⊥平面ABD,所以FG⊥AD,又因为AD⊥EF,且EF∩FG=F,所以AD⊥平面EFG,所以AD⊥EG,故AD⊥AC.【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定,考查空间想象能力,考查转化思想,涉及线面平行判定定理,线面垂直的性质及判定定理,注意解题方法的积累,属于中档题.16.(14分)(2017•江苏)已知向量=(cosx,sinx),=(3,﹣),x∈[0,π].(1)若∥,求x的值;(2)记f(x)=,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.【分析】(1)根据向量的平行即可得到tanx=﹣,问题得以解决,(2)根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解:(1)∵=(cosx,sinx),=(3,﹣),∥,∴﹣cosx=3sinx,∴tanx=﹣,∵x∈[0,π],∴x=,(2)f(x)==3cosx﹣sinx=2(cosx﹣sinx)=2cos(x+),∵x∈[0,π],∴x+∈[,],∴﹣1≤cos(x+)≤,当x=0时,f(x)有最大值,最大值3,当x=时,f(x)有最小值,最大值﹣2.【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质,属于基础题17.(14分)(2017•江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程;(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.【分析】(1)由椭圆的离心率公式求得a=2c,由椭圆的准线方程x=±,则2×=8,即可求得a和c的值,则b2=a2﹣c2=3,即可求得椭圆方程;(2)设P点坐标,分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率,则即可求得l2及l1的斜率及方程,联立求得Q点坐标,由Q在椭圆方程,求得y02=x02﹣1,联立即可求得P点坐标;方法二:设P(m,n),当m≠1时,=,=,求得直线l 1及l1的方程,联立求得Q点坐标,根据对称性可得=±n2,联立椭圆方程,即可求得P点坐标.【解答】解:(1)由题意可知:椭圆的离心率e==,则a=2c,①椭圆的准线方程x=±,由2×=8,②由①②解得:a=2,c=1,则b2=a2﹣c2=3,∴椭圆的标准方程:;(2)方法一:设P(x 0,y0),则直线PF2的斜率=,则直线l2的斜率k2=﹣,直线l2的方程y=﹣(x﹣1),直线PF 1的斜率=,则直线l2的斜率k2=﹣,直线l2的方程y=﹣(x+1),联立,解得:,则Q(﹣x0,),由P,Q在椭圆上,P,Q的横坐标互为相反数,纵坐标应相等,则y0=,∴y02=x02﹣1,则,解得:,则,又P在第一象限,所以P的坐标为:P(,).方法二:设P(m,n),由P在第一象限,则m>0,n>0,当m=1时,不存在,解得:Q与F 1重合,不满足题意,当m≠1时,=,=,由l 1⊥PF1,l2⊥PF2,则=﹣,=﹣,直线l1的方程y=﹣(x+1),①直线l2的方程y=﹣(x﹣1),②联立解得:x=﹣m,则Q(﹣m,),由Q在椭圆方程,由对称性可得:=±n2,即m2﹣n2=1,或m2+n2=1,由P(m,n),在椭圆方程,,解得:,或,无解,又P在第一象限,所以P的坐标为:P(,).【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查直线的斜率公式,考查数形结合思想,考查计算能力,属于中档题.18.(16分)(2017•江苏)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l 没入水中部分的长度;(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l 没入水中部分的长度.【分析】(1)设玻璃棒在CC1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,过N作NP∥MC,交AC于点P,推导出CC1⊥平面ABCD,CC1⊥AC,NP⊥AC,求出MC=30cm,推导出△ANP∽△AMC,由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度.(2)设玻璃棒在GG1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,过点N作NP⊥EG,交EG于点P,过点E作EQ⊥E1G1,交E1G1于点Q,推导出EE1G1G为等腰梯形,求出E1Q=24cm,E1E=40cm,由正弦定理求出sin∠GEM=,由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度.【解答】解:(1)设玻璃棒在CC1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,在平面ACM中,过N作NP∥MC,交AC于点P,∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱,∴CC1⊥平面ABCD,又∵AC⊂平面ABCD,∴CC1⊥AC,∴NP⊥AC,∴NP=12cm,且AM2=AC2+MC2,解得MC=30cm,∵NP∥MC,∴△ANP∽△AMC,∴=,,得AN=16cm.∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.(2)设玻璃棒在GG1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,在平面E1EGG1中,过点N作NP⊥EG,交EG于点P,过点E作EQ⊥E1G1,交E1G1于点Q,∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台,∴EE1=GG1,EG∥E1G1,EG≠E1G1,∴EE1G1G为等腰梯形,画出平面E1EGG1的平面图,∵E1G1=62cm,EG=14cm,EQ=32cm,NP=12cm,∴E1Q=24cm,由勾股定理得:E1E=40cm,∴sin∠EE1G1=,sin∠EGM=sin∠EE1G1=,cos,根据正弦定理得:=,∴sin,cos,∴sin∠GEM=sin(∠EGM+∠EMG)=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=,∴EN===20cm.∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm.【点评】本题考查玻璃棒l没入水中部分的长度的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.19.(16分)(2017•江苏)对于给定的正整数k,若数列{a n}满足:a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…+a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{a n}是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列{a n}是“P(3)数列”;(2)若数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{a n}是等差数列.【分析】(1)由题意可知根据等差数列的性质,a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=(a n﹣3+a n+3)+(a n﹣2+a n+2)+(a n﹣1+a n+1)═2×3a n,据“P(k)数列”的定义,可得数列{a n}是“P(3)数列”;(2)由“P(k)数列”的定义,则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n,a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n,变形整理即可求得2a n=a n﹣1+a n+1,即可证明数列{a n}是等差数列.【解答】解:(1)证明:设等差数列{a n}首项为a1,公差为d,则a n=a1+(n﹣1)d,则a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3,=(a n﹣3+a n+3)+(a n﹣2+a n+2)+(a n﹣1+a n+1),=2a n+2a n+2a n,=2×3a n,∴等差数列{a n}是“P(3)数列”;(2)证明:由数列{a n}是“P(2)数列”则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n,①数列{a n}是“P(3)数列”a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n,②+a n﹣2+a n+a n+1=4a n﹣1,③由①可知:a n﹣3a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1,④由②﹣(③+④):﹣2a n=6a n﹣4a n﹣1﹣4a n+1,整理得:2a n=a n﹣1+a n+1,∴数列{a n}是等差数列.【点评】本题考查等差数列的性质,考查数列的新定义的性质,考查数列的运算,考查转化思想,属于中档题.20.(16分)(2017•江苏)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:b2>3a;(3)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求a的取值范围.【分析】(1)通过对f(x)=x3+ax2+bx+1求导可知g(x)=f′(x)=3x2+2ax+b,进而再求导可知g′(x)=6x+2a,通过令g′(x)=0进而可知f′(x)的极小值点为x=﹣,从而f(﹣)=0,整理可知b=+(a>0),结合f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值可知f′(x)=0有两个不等的实根,进而可知a>3.(2)通过(1)构造函数h(a)=b2﹣3a=﹣+=(4a3﹣27)(a3﹣27),结合a>3可知h(a)>0,从而可得结论;(3)通过(1)可知f′(x)的极小值为f′(﹣)=b﹣,利用韦达定理及完全平方关系可知y=f(x)的两个极值之和为﹣+2,进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣,因式分解即得结论.【解答】(1)解:因为f(x)=x3+ax2+bx+1,所以g(x)=f′(x)=3x2+2ax+b,g′(x)=6x+2a,令g′(x)=0,解得x=﹣.由于当x>﹣时g′(x)>0,g(x)=f′(x)单调递增;当x<﹣时g′(x)<0,g(x)=f′(x)单调递减;所以f′(x)的极小值点为x=﹣,由于导函数f′(x)的极值点是原函数f(x)的零点,所以f(﹣)=0,即﹣+﹣+1=0,所以b=+(a>0).因为f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,所以f′(x)=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根,所以4a2﹣12b>0,即a2﹣+>0,解得a>3,所以b=+(a>3).(2)证明:由(1)可知h(a)=b2﹣3a=﹣+=(4a3﹣27)(a3﹣27),由于a>3,所以h(a)>0,即b2>3a;(3)解:由(1)可知f′(x)的极小值为f′(﹣)=b﹣,设x1,x2是y=f(x)两个极值点,则x1+x2=,x1x2=,所以f(x1)+f(x2)=++a(+)+b(x1+x2)+2=(x1+x2)[(x1+x2)2﹣3x1x2]+a[(x1+x2)2﹣2x1x2]+b(x1+x2)+2=﹣+2,又因为f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣,因为a>3,所以2a3﹣63a﹣54≤0,所以2a(a2﹣36)+9(a﹣6)≤0,所以(a﹣6)(2a2+12a+9)≤0,由于a>3时2a2+12a+9>0,所以a﹣6≤0,解得a≤6,所以a的取值范围是(3,6].【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值,考查运算求解能力,考查转化思想,注意解题方法的积累,属于难题.二.非选择题,附加题(21-24选做题)【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分0分)21.(2017•江苏)如图,AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C,AP⊥PC,P为垂足.求证:(1)∠PAC=∠CAB;(2)AC2 =AP•AB.【分析】(1)利用弦切角定理可得:∠ACP=∠ABC.利用圆的性质可得∠ACB=90°.再利用三角形内角和定理即可证明.(2)由(1)可得:△APC∽△ACB,即可证明.【解答】证明:(1)∵直线PC切半圆O于点C,∴∠ACP=∠ABC.∵AB为半圆O的直径,∴∠ACB=90°.∵AP⊥PC,∴∠APC=90°.∴∠PAC=90°﹣∠ACP,∠CAB=90°﹣∠ABC,∴∠PAC=∠CAB.(2)由(1)可得:△APC∽△ACB,∴=.∴AC2 =AP•AB.【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似判定与性质定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.[选修4-2:矩阵与变换]22.(2017•江苏)已知矩阵A=,B=.(1)求AB;(2)若曲线C1:=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2,求C2的方程.【分析】(1)按矩阵乘法规律计算;(2)求出变换前后的坐标变换规律,代入曲线C1的方程化简即可.【解答】解:(1)AB==,(2)设点P(x,y)为曲线C1的任意一点,点P在矩阵AB的变换下得到点P′(x0,y0),则=,即x0=2y,y0=x,∴x=y0,y=,∴,即x02+y02=8,∴曲线C2的方程为x2+y2=8.【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换,属于中档题.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.(2017•江苏)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.【分析】求出直线l的直角坐标方程,代入距离公式化简得出距离d关于参数s 的函数,从而得出最短距离.【解答】解:直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0,∴P到直线l的距离d==,∴当s=时,d取得最小值=.【点评】本题考查了参数方程的应用,属于基础题.[选修4-5:不等式选讲]24.(2017•江苏)已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd ≤8.【分析】a2+b2=4,c2+d2=16,令a=2cosα,b=2sinα,c=4cosβ,d=4sinβ.代入ac+bd 化简,利用三角函数的单调性即可证明.另解:由柯西不等式可得:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),即可得出.【解答】证明:∵a2+b2=4,c2+d2=16,令a=2cosα,b=2sinα,c=4cosβ,d=4sinβ.∴ac+bd=8(cosαcosβ+sinαsinβ)=8cos(α﹣β)≤8.当且仅当cos(α﹣β)=1时取等号.因此ac+bd≤8.另解:由柯西不等式可得:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)=4×16=64,当且仅当时取等号.∴﹣8≤ac+bd≤8.【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.【必做题】25.(2017•江苏)如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;(2)求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值.【分析】在平面ABCD内,过A作Ax⊥AD,由AA1⊥平面ABCD,可得AA1⊥Ax,AA1⊥AD,以A为坐标原点,分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.结合已知求出A,B,C,D,A1,C1的坐标,进一步求出,,,的坐标.(1)直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;(2)求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量,再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值,进一步得到正弦值.【解答】解:在平面ABCD内,过A作Ax⊥AD,∵AA1⊥平面ABCD,AD、Ax⊂平面ABCD,∴AA1⊥Ax,AA1⊥AD,以A为坐标原点,分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.∵AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°,∴A(0,0,0),B(),C(,1,0),D(0,2,0),A1(0,0,),C1().=(),=(),,.(1)∵cos<>==.∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为;(2)设平面BA1D的一个法向量为,由,得,取x=,得;取平面A1AD的一个法向量为.∴cos<>==.∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为,则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为.【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角,训练了利用空间向量求空间角,是中档题.26.(2017•江苏)已知一个口袋有m个白球,n个黑球(m,n∈N*,n≥2),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,…,m+n).123…m+n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;(2)随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明E(X)<.【分析】(1)设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球,则p=p(A2)=P(A2|A1)P(A 1)+P(A2|)P(),由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率.(2)X的所有可能取值为,…,,P(x=)=,k=n,n+1,n+2,…,n+m,从而E(X)=()=,由此能证明E (X)<.【解答】解:(1)设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球,则p=p(A 2)=P(A2|A1)P(A1)+P(A2|)P()===.证明:(2)∵X的所有可能取值为,…,,P(x=)=,k=n,n+1,n+2,…,n+m,∴E(X)=()==<==•()==,∴E(X)<.【点评】本题考查概率求法,考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.。
2019年江苏省高考数学模拟试卷(1)(含附加,详细答案)文章中没有明显的格式错误和有问题的段落,因此直接改写每段话。
2019年高考模拟试卷(1)第Ⅰ卷(必做题,共160分)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分。
1.已知集合A为{x-1<x<1},集合B为{-1≤x≤2},则AB 的并集为[ -1.2 )。
2.复数z=2i/(1-i)的实部是2/5.3.甲、乙两人下棋,结果是一人获胜或下成和棋。
已知甲不输的概率为0.8,乙不输的概率为0.7,则两人下成和棋的概率为0.06.4.某地区连续5天的最低气温(单位:°C)依次为8,-4,-1,0,2,则该组数据的方差为23.2.5.根据XXX所示的伪代码,当输出y的值为2时,则输入的x的值为e。
6.在平面直角坐标系xOy中,圆x^2+y^2-4x+4y+4=0被直线x-y-5=0所截得的弦长为4.7.如图,三个相同的正方形相接,则XXX∠XXX的值为1.8.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E为PD上一点,且PE=2ED。
设三棱锥P-ACE的体积为V1,三棱锥P-ABC的体积为V2,则.9.已知F是抛物线C:y=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N。
若M是FN的中点,则FN的长度为16.10.若函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=xlnx,则不等式f(x)<-e的解集为(1/e。
e)。
11.钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛(如图)。
现将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛,则剩余的圆钢根数为3.12.如图,在△ABC中,点M为边BC的中点,且AM=2,点N为线段AM的中点,若AB×AC=28,则NB×NC的值为21.13.已知正数x,y满足x+y+1/x+1/y=10,则x+y的最小值是4.14.设等比数列{an}满足:a1=2,an=cos(πn/2)+3sin(πn/2),其中n∈N,且nπ/2∈(0.π/2)。
2019年江苏省高考数学试卷一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.(5分)已知集合A={﹣1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},则A∩B=.2.(5分)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是.3.(5分)如图是一个算法流程图,则输出的S的值是.4.(5分)函数y=的定义域是.5.(5分)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是.6.(5分)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.7.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2﹣=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是.8.(5分)已知数列{a n}(n∈N*)是等差数列,S n是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.9.(5分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E﹣BCD的体积是.10.(5分)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.11.(5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(﹣e,﹣1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是.12.(5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若•=6•,则的值是.13.(5分)已知=﹣,则sin(2α+)的值是.14.(5分)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f(x)=,g(x)=其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若a=3c,b=,cos B=,求c的值;(2)若=,求sin(B+)的值.16.(14分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.求证:(1)A1B1∥平面DEC1;(2)BE⊥C1E.17.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的焦点为F1(﹣1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,1与圆F2:(x﹣1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B,连结BF2交椭圆C 于点E,连结DF1.已知DF1=.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.18.(16分)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于...圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P、Q两点间的距离.19.(16分)设函数f(x)=(x﹣a)(x﹣b)(x﹣c),a,b,c∈R,f′(x)为f(x)的导函数.(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;(2)若a≠b,b=c,且f(x)和f′(x)的零点均在集合{﹣3,1,3}中,求f(x)的极小值;(3)若a=0,0<b≤1,c=1,且f(x)的极大值为M,求证:M≤.20.(16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”.(1)已知等比数列{a n}(n∈N*)满足:a2a4=a5,a3﹣4a2+4a1=0,求证:数列{a n}为“M﹣数列”;(2)已知数列{b n}(n∈N*)满足:b1=1,=﹣,其中S n为数列{b n}的前n 项和.①求数列{b n}的通项公式;②设m为正整数,若存在“M﹣数列”{c n}(n∈N*),对任意正整数k,当k≤m时,都有c k≤b k≤c k+1成立,求m的最大值.【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)21.(10分)已知矩阵A=.(1)求A2;(2)求矩阵A的特征值.B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)22.(10分)在极坐标系中,已知两点A(3,),B(,),直线1的方程为ρsin (θ+)=3.(1)求A,B两点间的距离;(2)求点B到直线l的距离.C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分0分)23.设x∈R,解不等式|x|+|2x﹣1|>2.【必做题】第24题、第25题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.(10分)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n,n≥4,n∈N*.已知a32=2a2a4.(1)求n的值;(2)设(1+)n=a+b,其中a,b∈N*,求a2﹣3b2的值.25.(10分)在平面直角坐标系xOy中,设点集A n={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)},B n={(0,1),(n,1)},∁n={(0,2),(1,2),(2,2),……,(n,2)},n∈N*.令M n=A n∪B n∪∁n.从集合M n中任取两个不同的点,用随机变量X表示它们之间的距离.(1)当n=1时,求X的概率分布;(2)对给定的正整数n(n≥3),求概率P(X≤n)(用n表示).2019年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.(5分)已知集合A={﹣1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},则A∩B={1,6}.解:∵A={﹣1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},∴A∩B={﹣1,0,1,6}∩{x|x>0,x∈R}={1,6}.故答案为:{1,6}.2.(5分)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是2.解:∵(a+2i)(1+i)=(a﹣2)+(a+2)i的实部为0,∴a﹣2=0,即a=2.故答案为:2.3.(5分)如图是一个算法流程图,则输出的S的值是5.解:模拟程序的运行,可得x=1,S=0S=0.5不满足条件x≥4,执行循环体,x=2,S=1.5不满足条件x≥4,执行循环体,x=3,S=3不满足条件x≥4,执行循环体,x=4,S=5此时,满足条件x≥4,退出循环,输出S的值为5.故答案为:5.4.(5分)函数y=的定义域是[﹣1,7].解:由7+6x﹣x2≥0,得x2﹣6x﹣7≤0,解得:﹣1≤x≤7.∴函数y=的定义域是[﹣1,7].故答案为:[﹣1,7].5.(5分)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是.解:一组数据6,7,8,8,9,10的平均数为:=(6+7+8+8+9+10)=8,∴该组数据的方差为:S2=[(6﹣8)2+(7﹣8)2+(8﹣8)2+(8﹣8)2+(9﹣8)2+(10﹣8)2]=.故答案为:.6.(5分)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.解:从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,基本事件总数n==10,选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数:m=+=7,∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p=.故答案为:.7.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2﹣=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是y=.解:∵双曲线x2﹣=1(b>0)经过点(3,4),∴,解得b2=2,即b=.又a=1,∴该双曲线的渐近线方程是y=.故答案为:y=.8.(5分)已知数列{a n}(n∈N*)是等差数列,S n是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是16.解:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,则,解得.∴=6×(﹣5)+15×2=16.故答案为:16.9.(5分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E﹣BCD的体积是10.解:∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,∴=AB×BC×DD 1=120,∴三棱锥E﹣BCD的体积:V E﹣BCD===×AB×BC×DD1=10.故答案为:10.10.(5分)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.解:由y=x+(x>0),得y′=1﹣,设斜率为﹣1的直线与曲线y=x+(x>0)切于(x0,),由,解得(x 0>0).∴曲线y=x+(x>0)上,点P()到直线x+y=0的距离最小,最小值为.故答案为:4.11.(5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(﹣e,﹣1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是(e,1).解:设A(x0,lnx0),由y=lnx,得y′=,∴,则该曲线在点A处的切线方程为y﹣lnx0=,∵切线经过点(﹣e,﹣1),∴,即,则x0=e.∴A点坐标为(e,1).故答案为:(e,1).12.(5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若•=6•,则的值是.解:设=λ=(),=+=+μ=+μ()=(1﹣μ)+μ=+μ∴,∴,∴==(),==﹣+,6•=6×()×(﹣+)=(++)=++,∵•=++,∴=,∴=3,∴=.故答案为:13.(5分)已知=﹣,则sin(2α+)的值是.解:由=﹣,得,∴,解得tanα=2或tan.当tanα=2时,sin2α=,cos2α=,∴sin(2α+)==;当tanα=时,sin2α==,cos2α=,∴sin(2α+)==.综上,sin(2α+)的值是.故答案为:.14.(5分)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f(x)=,g(x)=其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是[,).解:作出函数f(x)与g(x)的图象如图,由图可知,函数f(x)与g(x)=﹣(1<x≤2,3<x≤4,5<x≤6,7<x≤8)仅有2个实数根;要使关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则f(x)=,x∈(0,2]与g(x)=k(x+2),x∈(0,1]的图象有2个不同交点,由(1,0)到直线kx﹣y+2k=0的距离为1,得,解得k=(k>0),∵两点(﹣2,0),(1,1)连线的斜率k=,∴≤k<.即k的取值范围为[,).故答案为:[,).二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若a=3c,b=,cos B=,求c的值;(2)若=,求sin(B+)的值.解:(1)∵在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.a=3c,b=,cos B=,∴由余弦定理得:cos B===,解得c=.(2)∵=,∴由正弦定理得:,∴2sin B=cos B,∵sin2B+cos2B=1,∴sin B=,cos B=,∴sin(B+)=cos B=.16.(14分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.求证:(1)A1B1∥平面DEC1;(2)BE⊥C1E.证明:(1)∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,∴DE∥AB,AB∥A1B1,∴DE∥A1B1,∵DE⊂平面DEC1,A1B1⊄平面DEC1,∴A1B1∥平面DEC1.解:(2)∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E是AC的中点,AB=BC.∴BE⊥AA1,BE⊥AC,又AA1∩AC=A,∴BE⊥平面ACC1A1,∵C1E⊂平面ACC1A1,∴BE⊥C1E.17.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的焦点为F1(﹣1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,1与圆F2:(x﹣1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B,连结BF2交椭圆C 于点E,连结DF1.已知DF1=.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.解:(1)如图,∵F2A=F2B,∴∠F2AB=∠F2BA,∵F2A=2a=F2D+DA=F2D+F1D,∴AD=F1D,则∠DAF1=∠DF1A,∴∠DF1A=∠F2BA,则F1D∥BF2,∵c=1,∴b2=a2﹣1,则椭圆方程为,取x=1,得,则AD=2a﹣=.又DF1=,∴,解得a=2(a>0).∴椭圆C的标准方程为;(2)由(1)知,D(1,),F1(﹣1,0),∴=,则BF2:y=,联立,得21x2﹣18x﹣39=0.解得x1=﹣1或(舍).∴.即点E的坐标为(﹣1,﹣).18.(16分)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于...圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P、Q两点间的距离.解:设BD与圆O交于M,连接AM,AB为圆O的直径,可得AM⊥BM,即有DM=AC=6,BM=6,AM=8,以C为坐标原点,l为x轴,建立直角坐标系,则A(0,﹣6),B(﹣8,﹣12),D(﹣8,0)(1)设点P(x1,0),PB⊥AB,则k BP•k AB=﹣1,即•=﹣1,解得x1=﹣17,所以P(﹣17,0),PB==15;(2)当QA⊥AB时,QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径,设此时Q(x2,0),则k QA•k AB=﹣1,即•=﹣1,解得x2=﹣,Q(﹣,0),由﹣17<﹣8<﹣,在此范围内,不能满足PB,QA上所有点到O的距离不小于圆的半径,所以P,Q中不能有点选在D点;(3)设P(a,0),Q(b,0),则a≤﹣17,b≥﹣,PB2=(a+8)2+144≥225,QA2=b2+36≥225,则b≥3,当d最小时,PQ=17+3.19.(16分)设函数f(x)=(x﹣a)(x﹣b)(x﹣c),a,b,c∈R,f′(x)为f(x)的导函数.(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;(2)若a≠b,b=c,且f(x)和f′(x)的零点均在集合{﹣3,1,3}中,求f(x)的极小值;(3)若a=0,0<b≤1,c=1,且f(x)的极大值为M,求证:M≤.解:(1)∵a=b=c,∴f(x)=(x﹣a)3,∵f(4)=8,∴(4﹣a)3=8,∴4﹣a=2,解得a=2.(2)a≠b,b=c,设f(x)=(x﹣a)(x﹣b)2.令f(x)=(x﹣a)(x﹣b)2=0,解得x=a,或x=b.f′(x)=(x﹣b)2+2(x﹣a)(x﹣b)=(x﹣b)(3x﹣b﹣2a).令f′(x)=0,解得x=b,或x=.∵f(x)和f′(x)的零点均在集合A={﹣3,1,3}中,若:a=﹣3,b=1,则==﹣∉A,舍去.a=1,b=﹣3,则==﹣∉A,舍去.a=﹣3,b=3,则==﹣1∉A,舍去..a=3,b=1,则==∉A,舍去.a=1,b=3,则=∉A,舍去.a=3,b=﹣3,则==1∈A,.因此a=3,b=﹣3,=1∈A,可得:f(x)=(x﹣3)(x+3)2.f′(x)=3[x﹣(﹣3)](x﹣1).可得x=1时,函数f(x)取得极小值,f(1)=﹣2×42=﹣32.(3)证明:a=0,0<b≤1,c=1,f(x)=x(x﹣b)(x﹣1).f′(x)=(x﹣b)(x﹣1)+x(x﹣1)+x(x﹣b)=3x2﹣(2b+2)x+b.△=4(b+1)2﹣12b=4b2﹣4b+4=4+3≥3.令f′(x)=3x2﹣(2b+2)x+b=0.解得:x1=∈,x2=.x1<x2,x1+x2=,x1x2=,可得x=x1时,f(x)取得极大值为M,∵f′(x1)=﹣(2b+2)x1+b=0,可得:=[(2b+2)x1﹣b],M=f(x1)=x1(x1﹣b)(x1﹣1)=(x1﹣b)(﹣x1)=(x1﹣b)(﹣x1)=[(2b﹣1)﹣2b2x1+b2]==,∵﹣2b2+2b﹣2=﹣2﹣<0,∴M在x1∈(0,]上单调递减,∴M≤=≤.∴M≤.20.(16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”.(1)已知等比数列{a n}(n∈N*)满足:a2a4=a5,a3﹣4a2+4a1=0,求证:数列{a n}为“M﹣数列”;(2)已知数列{b n}(n∈N*)满足:b1=1,=﹣,其中S n为数列{b n}的前n 项和.①求数列{b n}的通项公式;②设m为正整数,若存在“M﹣数列”{c n}(n∈N*),对任意正整数k,当k≤m时,都有c k≤b k≤c k+1成立,求m的最大值.解:(1)设等比数列{a n}的公比为q,则由a2a4=a5,a3﹣4a2+4a1=0,得∴,∴数列{a n}首项为1且公比为正数即数列{a n}为“M﹣数列”;(2)①∵b1=1,=﹣,∴当n=1时,,∴b2=2,当n=2时,,∴b3=3,当n=3时,,∴b4=4,猜想b n=n,下面用数学归纳法证明;(i)当n=1时,b1=1,满足b n=n,(ii)假设n=k时,结论成立,即b k=k,则n=k+1时,由,得==k+1,故n=k+1时结论成立,根据(i)(ii)可知,b n=n对任意的n∈N*都成立.故数列{b n}的通项公式为b n=n;②设{c n}的公比为q,存在“M﹣数列”{c n}(n∈N*),对任意正整数k,当k≤m时,都有c k≤b k≤c k+1成立,即q k﹣1≤k≤k对k≤m恒成立,当k=1时,q≥1,当k=2时,,当k≥3,两边取对数可得,对k≤m有解,即,令f(x)=,则,当x≥3时,f'(x)<0,此时f(x)递增,∴当k≥3时,,令g(x)=,则,令,则,当x≥3时,ϕ'(x)<0,即g'(x)<0,∴g(x)在[3,+∞)上单调递减,即k≥3时,,则,下面求解不等式,化简,得3lnm﹣(m﹣1)ln3≤0,令h(m)=3lnm﹣(m﹣1)ln3,则h'(m)=﹣ln3,由k≥3得m≥3,h'(m)<0,∴h(m)在[3,+∞)上单调递减,又由于h(5)=3ln5﹣4ln3=ln125﹣ln81>0,h(6)=3ln6﹣5ln3=ln216﹣ln243<0,∴存在m0∈(5,6)使得h(m0)=0,∴m的最大值为5,此时q∈,.【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)21.(10分)已知矩阵A=.(1)求A2;(2)求矩阵A的特征值.解:(1)∵A=∴A2==(2)矩阵A的特征多项式为:f(λ)==λ2﹣5λ+4,令f(λ)=0,则由方程λ2﹣5λ+4=0,得λ=1或λ=4,∴矩阵A的特征值为1或4.B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)22.(10分)在极坐标系中,已知两点A(3,),B(,),直线1的方程为ρsin (θ+)=3.(1)求A,B两点间的距离;(2)求点B到直线l的距离.解:(1)设极点为O,则在△OAB中,由余弦定理,得AB2=OA2+OB2﹣2OA,∴AB==;(2)由直线1的方程ρsin(θ+)=3,知直线l过(3,),倾斜角为,又B(,),∴点B到直线l的距离为.C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分0分)23.设x∈R,解不等式|x|+|2x﹣1|>2.解:|x|+|2x﹣1|=,∵|x|+|2x﹣1|>2,∴或或,∴x>1或x∈∅或x <﹣,∴不等式的解集为{x|x <﹣或x>1}.【必做题】第24题、第25题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.(10分)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n,n≥4,n∈N*.已知a32=2a2a4.(1)求n的值;(2)设(1+)n=a+b,其中a,b∈N*,求a2﹣3b2的值.解:(1)由(1+x)n=C+C x+C x2+…+C x n,n≥4,可得a2=C =,a3=C =,a4=C =,a32=2a2a4,可得()2=2••,解得n=5;(2)方法一、(1+)5=C+C+C ()2+C ()3+C ()4+C ()5=a+b,由于a,b∈N*,可得a=C+3C+9C=1+30+45=76,b=C+3C+9C=44,可得a2﹣3b2=762﹣3×442=﹣32;方法二、(1+)5=C+C+C ()2+C ()3+C ()4+C ()5=a+b,(1﹣)5=C+C (﹣)+C (﹣)2+C (﹣)3+C (﹣)4+C (﹣)5=C﹣C+C ()2﹣C ()3+C ()4﹣C ()5,由于a,b∈N*,可得(1﹣)5=a﹣b,第21页(共22页)可得a2﹣3b2=(1+)5•(1﹣)5=(1﹣3)5=﹣32.25.(10分)在平面直角坐标系xOy中,设点集A n={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)},B n={(0,1),(n,1)},∁n={(0,2),(1,2),(2,2),……,(n,2)},n∈N*.令M n=A n∪B n∪∁n.从集合M n中任取两个不同的点,用随机变量X表示它们之间的距离.(1)当n=1时,求X的概率分布;(2)对给定的正整数n(n≥3),求概率P(X≤n)(用n表示).解:(1)当n=1时,X的所有可能取值为1,,2,,X的概率分布为P(X=1)==;P(X =)==;P(X=2)==;P(X =)==;(2)设A(a,b)和B(c,d)是从M n中取出的两个点,因为P(X≤n)=1﹣P(X>n),所以只需考虑X>n的情况,①若b=d,则AB≤n,不存在X>n的取法;②若b=0,d=1,则AB =≤,所以X>n当且仅当AB =,此时a=0.c=n或a=n,c=0,有两种情况;③若b=0,d=2,则AB =≤,所以X>n当且仅当AB =,此时a=0.c=n或a=n,c=0,有两种情况;④若b=1,d=2,则AB =≤,所以X>n当且仅当AB =,此时a=0.c=n或a=n,c=0,有两种情况;综上可得当X>n,X 的所有值是或,且P(X =)=,P(X =)=,可得P(X≤n)=1﹣P(X =)﹣P(X =)=1﹣.第22页(共22页)。
2019年高考江苏卷数学试题解析1.已知集合A ={-1,0,1,6},{}|0,B x x x R =>∈,则A ∩B =_____.【答案】{1,6}.由题意利用交集的定义求解交集即可.【解析】由题知,{1,6}A B = .2.已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0,其中i 为虚数单位,则实数a 的值是_____.【答案】2本题根据复数的乘法运算法则先求得z ,然后根据复数的概念,令实部为0即得a 的值.【解析】2(a 2)(1i)222(2)i a ai i i a a i ++=+++=-++ ,令20a -=得2a =.3.下图是一个算法流程图,则输出的S 的值是_____.【答案】5结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可.【解析】执行第一次,1,1422xS S x =+==≥不成立,继续循环,12x x =+=;执行第二次,3,2422x S S x =+==≥不成立,继续循环,13x x =+=;执行第三次,3,342x S S x =+==≥不成立,继续循环,14x x =+=;执行第四次,5,442x S S x =+==≥成立,输出 5.S =4.函数y =【答案】[-1,7]由题意得到关于x 的不等式,解不等式可得函数的定义域.【解析】由已知得2760x x +-≥,即2670x x --≤解得17x -≤≤,故函数的定义域为[-1,7].5.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是____.【答案】53由题意首先求得平均数,然后求解方差即可.【解析】由题意,该组数据的平均数为678891086+++++=,所以该组数据的方差是22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=.6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.【答案】710先求事件的总数,再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数,最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.【解析】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务,共有2510C =种情况.若选出的2名学生恰有1名女生,有11326C C =种情况,若选出的2名学生都是女生,有221C =种情况,所以所求的概率为6171010+=.7.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y =根据条件求b ,再代入双曲线的渐近线方程得出答案.【解析】由已知得222431b -=,解得b =或b =,因为0b >,所以b =.因为1a =,所以双曲线的渐近线方程为y =.8.已知数列{a n }*()n ∈N 是等差数列,S n 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==,则8S 的值是_____.【答案】16由题意首先求得首项和公差,然后求解前8项和即可.【解析】由题意可得:()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩,解得:152a d =-⎧⎨=⎩,则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=.9.如图,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积是120,E 为CC 1的中点,则三棱锥E -BCD 的体积是_____.【答案】10由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.【解析】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120,所以1120AB BC CC ⋅⋅=,因为E 为1CC 的中点,所以112CE CC =,由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ,所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高,所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=.10.在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点,则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.【答案】4将原问题转化为切点与直线之间的距离,然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【解析】当直线22gR r 平移到与曲线4y x x =+相切位置时,切点Q 即为点P 到直线22gR r的距离最小.由2411y x '=-=-,得2(2)x =舍,32y =即切点2,32)Q ,则切点Q 到直线22gR r4=,故答案为:4.11.在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线y =ln x 上,且该曲线在点A 处的切线经过点(-e,-1)(e 为自然对数的底数),则点A 的坐标是____.【答案】(e,1)设出切点坐标,得到切线方程,然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.【解析】设点()00,A x y ,则00ln y x =.又1y x '=,当0x x =时,01y x '=,点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-,即00ln 1x y x x -=-,代入点(),1e --,得001ln 1e x x ---=-,即00ln x x e =,考查函数()ln H x x x =,当()0,1x ∈时,()0H x <,当()1,x ∈+∞时,()0H x >,且()'ln 1H x x =+,当1x >时,()()'0,H x H x >单调递增,注意到()H e e =,故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =,此时01y =,故点A 的坐标为(),1A e 12.如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,BE =2EA ,AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅ ,则AB AC的值是_____.3由题意将原问题转化为基底的数量积,然后利用几何性质可得比值.【解析】如图,过点D 作DF //CE ,交AB 于点F ,由BE =2EA ,D 为BC 中点,知BF =FE =EA ,AO =OD.()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+- ()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭,得2213,22AB AC = 即3,AB = 故3AB AC =.【迁移】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算,渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法,利用数形结合和方程思想解题.13.已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭,则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_____.【答案】10由题意首先求得tan α的值,然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题,最后切化弦求得三角函数式的值即可.【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭,得23tan 5tan 20αα--=,解得tan 2α=,或1tan 3α=-.sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭2222tan 1tan =2tan 1ααα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭,当tan 2α=时,上式22222122==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭当1tan 3α=-时,上式=22112133=210113⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上,sin 2.410πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【迁移】本题考查三角函数的化简求值,渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法,利用分类讨论和转化与化归思想解题.14.设f (x ),g (x )是定义在R 上的两个周期函数,f (x )的周期为4,g (x )的周期为2,且f (x )是奇函数.当(0,2]x ∈时,()f x =,(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩,其中k >0.若在区间(0,9]上,关于x 的方程f (x )=g (x )有8个不同的实数根,则k 的取值范围是_____.【答案】12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭分别考查函数()f x 和函数()g x 图像的性质,考查临界条件确定k 的取值范围即可.【解析】当(]0,2x ∈时,()f x =即()2211,0.x y y -+=≥又()f x 为奇函数,其图象关于原点对称,其周期为4,如图,函数()f x 与()g x 的图象,要使()()f x g x=在(0,9]上有8个实根,只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时,函数()f x 与()g x 的图象有2个交点;当g()(2)x k x =+时,()g x 的图象为恒过点(-2,0)的直线,只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时,圆心(1,0)到直线20kx y k -+=的距离为1,1=,得24k =,函数()f x 与()g x 的图象有3个交点;当g()(2)x k x =+过点(1,1)时,函数()f x 与()g x 的图象有6个交点,此时13k =,得13k =.综上可知,满足()()f x g x =在(0,9]上有8个实根的k 的取值范围为1234⎡⎪⎢⎪⎣⎭,.【迁移】本题考点为参数的取值范围,侧重函数方程的多个实根,难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误,根据函数的周期性平移图象,找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数,从而确定参数的取值范围.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .(1)若a =3c ,b ,cos B =23,求c 的值;(2)若sin cos 2A B a b =,求sin()2B π+的值.【答案】(1)33c =;(2)255.(1)由题意结合余弦定理得到关于c 的方程,解方程可得边长c 的值;(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cos B 的值,然后由诱导公式可得sin(2B π+的值.【解析】(1)因为23,3a cb B ===,由余弦定理222cos 2ac b B ac +-=,得2222(3)(2)323c c c c+-=⨯⨯,即213c =.所以33c =.(2)因为sin cos 2A B a b=,由正弦定理sin sin a b A B =,得cos sin 2B B b b =,所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =,即()22cos 41cos B B =-,故24cos 5B =.因为sin 0B >,所以cos 2sin 0B B =>,从而25cos 5B =.因此π25 sin cos25B B⎛⎫+==⎪⎝⎭.【迁移】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力.16.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.求证:(1)A1B1∥平面DEC1;(2)BE⊥C1E.【答案】(1)见解析;(2)见解析.(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论;(2)由题意首先证得线面垂直,然后结合线面垂直证明线线垂直即可.【解析】(1)因为D,E分别为BC,AC的中点,所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB ∥A 1B 1,所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1,A 1B 1⊄平面DEC 1,所以A 1B 1∥平面DEC 1.(2)因为AB =BC ,E 为AC 的中点,所以BE ⊥AC .因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱,所以CC 1⊥平面ABC .又因为BE ⊂平面ABC ,所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1,AC ⊂平面A 1ACC 1,C 1C ∩AC =C ,所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1,所以BE ⊥C 1E .【迁移】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.17.如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1(–1、0),F 2(1,0).过F 2作x 轴的垂线l ,在x 轴的上方,l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ,与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ,连结BF 2交椭圆C 于点E ,连结DF 1.已知DF 1=52.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)求点E 的坐标.【答案】(1)22143x y +=;(2)3(1,2E --.(1)由题意分别求得a ,b 的值即可确定椭圆方程;(2)解法一:由题意首先确定直线1AF 的方程,联立直线方程与圆的方程,确定点B 的坐标,联立直线BF 2与椭圆的方程即可确定点E 的坐标;解法二:由题意利用几何关系确定点E 的纵坐标,然后代入椭圆方程可得点E 的坐标.【解析】(1)设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(-1,0),F 2(1,0),所以F 1F 2=2,c =1.又因为DF 1=52,AF 2⊥x 轴,所以DF 232==,因此2a =DF 1+DF 2=4,从而a =2由b 2=a 2-c 2,得b 2=3.因此,椭圆C 的标准方程为22143x y +=.(2)解法一:由(1)知,椭圆C :22143x y +=,a =2,因为AF 2⊥x 轴,所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1)2+y 2=16,解得y =±4.因为点A 在x 轴上方,所以A (1,4).又F 1(-1,0),所以直线AF 1:y =2x +2.由()2222116y x x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩,得256110x x +-=,解得1x =或115x =-.将115x =-代入22y x =+,得125y =-,因此1112(,55B --.又F 2(1,0),所以直线BF 2:3(1)4y x =-.由223(1)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,得276130x x --=,解得1x =-或137x =.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点,所以1x =-.将1x =-代入3(1)4y x =-,得32y =-.因此3(1,2E --.解法二:由(1)知,椭圆C :22143x y +=.如图,连结EF 1.因为BF 2=2a ,EF 1+EF 2=2a ,所以EF 1=EB ,从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ,所以∠A =∠B ,所以∠A =∠BF 1E ,从而EF 1∥F 2A .因为AF 2⊥x 轴,所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1,0),由221143x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点,所以32y =-.因此3(1,2E --.【迁移】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.18.如图,一个湖的边界是圆心为O 的圆,湖的一侧有一条直线型公路l ,湖上有桥AB (AB 是圆O 的直径).规划在公路l 上选两个点P 、Q ,并修建两段直线型道路PB 、QA .规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆....O 的半径.已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD (C 、D 为垂足),测得AB =10,AC =6,BD =12(单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;(3)对规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米).求当d最小时,P、Q 两点间的距离.【答案】(1)15(百米);(2)见解析;(3)17+321解:解法一:⊥,垂足为E.利用几何关系即可求得道路PB的长;(1)过A作AE BD(2)分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.(3)先讨论点P的位置,然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时,P、Q两点间的距离.解法二:(1)建立空间直角坐标系,分别确定点P和点B的坐标,然后利用两点之间距离公式可得道路PB的长;(2)分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.(3)先讨论点P的位置,然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时,P、Q两点间的距离.【解析】解法一:⊥,垂足为E.(1)过A作AE BD由已知条件得,四边形ACDE为矩形,6, 8DE BE AC AE CD =====.因为PB ⊥AB ,所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==.所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15(百米).(2)①若P 在D 处,由(1)可得E 在圆上,则线段BE 上的点(除B ,E )到点O 的距离均小于圆O 的半径,所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处,连结AD,由(1)知10AD ==,从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅,所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此,Q 选在D 处也不满足规划要求.综上,P 和Q 均不能选在D 处.(3)先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求;当∠OBP ≥90°时,对线段PB 上任意一点F ,OF ≥OB ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求.设P 1为l 上一点,且1PB AB ⊥,由(1)知,115PB =,此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=;当∠OBP >90°时,在1PPB △中,115PB PB >=.由上可知,d ≥15.再讨论点Q 的位置.由(2)知,要使得QA ≥15,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求.当QA =15时,CQ ===.此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上,当PB ⊥AB ,点Q 位于点C 右侧,且CQ =d 最小,此时P ,Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此,d 最小时,P ,Q 两点间的距离为17+解法二:(1)如图,过O 作OH ⊥l ,垂足为H.以O 为坐标原点,直线OH 为y 轴,建立平面直角坐标系.因为BD =12,AC =6,所以OH =9,直线l 的方程为y =9,点A ,B 的纵坐标分别为3,−3.因为AB 为圆O 的直径,AB =10,所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A (4,3),B (−4,−3),直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ,所以直线PB 的斜率为43-,直线PB 的方程为42533y x =--.所以P (−13,9),15PB ==.因此道路PB 的长为15(百米).(2)①若P 在D 处,取线段BD 上一点E (−4,0),则EO =4<5,所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处,连结AD ,由(1)知D (−4,9),又A (4,3),所以线段AD :36(44)4y x x =-+-≤≤.在线段AD 上取点M (3,154),因为5OM =<=,所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上,P 和Q 均不能选在D 处.(3)先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求;当∠OBP ≥90°时,对线段PB 上任意一点F ,OF ≥OB ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求.设P 1为l 上一点,且1PB AB ⊥,由(1)知,115PB =,此时()113,9P -;当∠OBP >90°时,在1PPB △中,115PB PB >=.由上可知,d ≥15.再讨论点Q 的位置.由(2)知,要使得QA≥15,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求.当QA =15时,设Q (a ,9),由15(4)AQ a ==>,得a =4+,所以Q (4+,9),此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上,当P (−13,9),Q (4+d 最小,此时P ,Q 两点间的距离4(13)17PQ =+--=+.因此,d 最小时,P ,Q 两点间的距离为17+(百米).【迁移】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.19.设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈,()f 'x 为f (x )的导函数.(1)若a =b =c ,f (4)=8,求a 的值;(2)若a ≠b ,b =c ,且f (x )和()f 'x 的零点均在集合{-3,1,3}中,求f (x )的极小值;(3)若0,01,1a b c =<≤=,且f (x )的极大值为M ,求证:M ≤427.【答案】(1)2a =;(2)见解析;(3)见解析.(1)由题意得到关于a 的方程,解方程即可确定a 的值;(2)由题意首先确定a ,b ,c 的值从而确定函数的解析式,然后求解其导函数,由导函数即可确定函数的极小值.(3)由题意首先确定函数的极大值M 的表达式,然后可用如下方法证明题中的不等式:解法一:由函数的解析式结合不等式的性质进行放缩即可证得题中的不等式;解法二:由题意构造函数,求得函数在定义域内的最大值,因为01b <≤,所以1(0,1)x ∈.当(0,1)x ∈时,2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-.令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈,则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.令()0g'x =,得13x =.列表如下:x1(0,)3131(,1)3()g'x +0–()g x ↗极大值↘所以当13x =时,()g x 取得极大值,且是最大值,故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭.所以当(0,1)x ∈时,4()()27f x g x ≤≤,因此427M ≤.【解析】(1)因为a b c ==,所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-.因为(4)8f =,所以3(4)8a -=,解得2a =.(2)因为b c =,所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-,从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.令()0f 'x =,得x =b 或23a bx +=.因为2,,3a ba b +,都在集合{3,1,3}-中,且a b ≠,所以21,3,33a ba b +===-.此时2()(3)(3)f x x x =-+,()3(3)(1)f 'x x x =+-.令()0f 'x =,得3x =-或1x =.列表如下:x(-∞,-3)-3(-3,1)1(1,+∞)+0–0+()f x ↗极大值↘极小值↗所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-.(3)因为0,1a c ==,所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++,2()32(1)f 'x x b x b =-++.因为01b <≤,所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>,则有2个不同的零点,设为()1212,x x x x <.由()0f 'x =,得1211,33b b x x ++==.列表如下:x1(,)x -∞1x ()12,x x 2x 2(,)x +∞+0–0+()f x ↗极大值↘极小值↗所以()f x 的极大值()1M f x =.解法一:()321111(1)M f x x b x bx ==-++()()221111211(1)32(1)3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤.因此427M ≤.解法二:因为01b <≤,所以1(0,1)x ∈.当(0,1)x ∈时,2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-.令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈,则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.令()0g'x =,得13x =.列表如下:x1(0,)3131(,1)3()g'x +0–()g x ↗极大值↘所以当13x =时,()g x 取得极大值,且是最大值,故max 14()327g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭.所以当(0,1)x ∈时,4()()27f x g x ≤≤,因此427M ≤.【迁移】本题主要考查利用导数研究函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”.(1)已知等比数列{a n }满足:245132,440a a a a a a =-+=,求证:数列{a n }为“M-数列”;(2)已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-,其中S n 为数列{b n }的前n 项和.①求数列{b n }的通项公式;②设m 为正整数,若存在“M-数列”{c n }(n ∈N *),对任意正整数k ,当k ≤m 时,都有1k k k c b c +≤≤成立,求m 的最大值.【答案】(1)见解析;(2)①b n =n ()*n ∈N ;②5.(1)由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论;(2)①由题意利用递推关系式讨论可得数列{b n }是等差数列,据此即可确定其通项公式;②由①确定k b 的值,将原问题进行等价转化,构造函数,结合导函数研究函数的性质即可求得m 的最大值.【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q ,所以a 1≠0,q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩,得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩,解得112a q =⎧⎨=⎩.因此数列{}n a 为“M —数列”.(2)①因为1122n n n S b b +=-,所以0n b ≠.由1111,b S b ==得212211b =-,则22b =.由1122n n n S b b +=-,得112()n n n n n b b S b b ++=-,当2n ≥时,由1n n n b S S -=-,得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---,整理得112n n n b b b +-+=.所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列.因此,数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n N ∈.②由①知,b k =k ,*k N ∈.因为数列{c n }为“M –数列”,设公比为q ,所以c 1=1,q >0.因为c k ≤b k ≤c k +1,所以1k k qk q -≤≤,其中k =1,2,3,…,m .当k=1时,有q≥1;当k=2,3,…,m时,有ln lnln1 k kqk k≤≤-.设f(x)=ln(1)x xx>,则21ln()xf'xx-=.令()0f'x=,得x=e.列表如下:x(1,e)e(e,+∞) ()f'x+0–f(x)↗极大值↘因为ln2ln8ln9ln32663=<=,所以maxln3()(3)3f k f==.取q=k=1,2,3,4,5时,ln lnk qk≤,即kk q≤,经检验知1k q k-≤也成立.因此所求m的最大值不小于5.若m≥6,分别取k=3,6,得3≤q3,且q5≤6,从而q15≥243,且q15≤216,所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上,所求m的最大值为5.【迁移】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括21、22、23三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题................区域内作答......若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21.已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A (1)求A 2;(2)求矩阵A 的特征值.【答案】(1)115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦;(2)121,4λλ==.(1)利用矩阵的乘法运算法则计算2A 的值即可;(2)首先求得矩阵的特征多项式,然后利用特征多项式求解特征值即可.【解析】(1)因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(2)矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=,解得A 的特征值121,4λλ==.【迁移】本题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识,考查运算求解能力.22.在极坐标系中,已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭,直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(1)求A ,B 两点间的距离;(2)求点B 到直线l 的距离.【答案】(2)2.(1)由题意,在OAB △中,利用余弦定理求解AB 的长度即可;(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标,然后结合点B 的坐标结合几何性质可得点B 到直线l 的距离.【解析】(1)设极点为O .在△OAB 中,A (3,4π),B ,2π),由余弦定理,得AB =(2)因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=,则直线l 过点)2π,倾斜角为34π.又)2B π,所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=.【迁移】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.23.设x ∈R ,解不等式||+|2 1|>2x x -.【答案】1{|1}3x x x <->或.由题意结合不等式的性质零点分段即可求得不等式的解集.【解析】当x <0时,原不等式可化为122x x -+->,解得x <–13:当0≤x ≤12时,原不等式可化为x +1–2x >2,即x <–1,无解;当x >12时,原不等式可化为x +2x –1>2,解得x >1.综上,原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.【迁移】本题主要考查解不等式等基础知识,考查运算求解和推理论证能力.【必做题】第24题、第25题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.设2*012(1),4,nnn x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.(1)求n 的值;(2)设(1n a +=+*,a b ∈N ,求223a b -的值.【答案】(1)5n =;(2)-32.(1)首先由二项式展开式的通项公式确定234,,a a a 的值,然后求解关于n 的方程可得n 的值;(2)解法一:利用(1)中求得的n 的值确定有理项和无理项从而可得a ,b 的值,然后计算223a b -的值即可;解法二:利用(1)中求得的n 的值,由题意得到(51的展开式,最后结合平方差公式即可确定223a b -的值.【解析】(1)因为0122(1)C C C C 4nnnn n n n x x x x n +=++++≥ ,,所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====,44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==.因为23242a a a =,所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯,解得5n =.(2)由(1)知,5n =.5(1(1n+=02233445555555C C C C C C =+++++a =+解法一:因为*,a b ∈N ,所以024135555555C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=,从而222237634432a b -=-⨯=-.解法二:50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++012233445555555C C C C C C =-+-+-.因为*,a b ∈N ,所以5(1a -=-.因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-.【迁移】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识,考查分析问题能力与运算求解能力.25.在平面直角坐标系xOy 中,设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯,{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n N *==∈ 令n n n n M A B C = .从集合M n 中任取两个不同的点,用随机变量X 表示它们之间的距离.(1)当n =1时,求X 的概率分布;(2)对给定的正整数n (n ≥3),求概率P (X ≤n )(用n 表示).【答案】(1)见解析;(2)见解析.(1)由题意首先确定X 可能的取值,然后利用古典概型计算公式求得相应的概率值即可确定分布列;(2)将原问题转化为对立事件的问题求解()P X n >的值,据此分类讨论①.b d =,②.0,1b d ==,③.0,2b d ==,④.1,2b d ==四种情况确定X 满足X n >的所有可能的取值,然后求解相应的概率值即可确定()P X n ≤的值.【解析】(1)当1n =时,X的所有可能取值是12.X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======,22662222(2),(C 15C 15P X P X ======.(2)设()A a b ,和()B c d ,是从n M 中取出的两个点.因为()1()P X n P X n ≤=->,所以仅需考虑X n >的情况.①若b d =,则AB n ≤,不存在X n >的取法;②若01b d ==,,则AB =≤所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==,或 0a n c ==,,有2种取法;③若02b d ==,,则AB =≤,因为当3n ≥n ≤,所以X n >当且仅当AB =,此时0 a c n ==,或 0a n c ==,,有2种取法;④若12b d ==,,则AB =≤所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==,或 0a n c ==,,有2种取法.综上,当X n >时,X,且22242442(,(C C n n P X P X ++====.因此,2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-.。
2019年高考数学试卷(带答案)一、选择题1.现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A .12B .13C .16D .1122.给出下列说法:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; ②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥; ③棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等. 其中正确说法的个数是( ) A .0B .1C .2D .33.抛掷一枚骰子,记事件A 为“落地时向上的点数是奇数”,事件B 为“落地时向上的点数是偶数”,事件C 为“落地时向上的点数是3的倍数”,事件D 为“落地时向上的点数是6或4”,则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是( ) A .A 与BB .B 与CC .A 与DD .C 与D4.一个频率分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分,只记得样本中数据在[)2060,上的频率为0.8,则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有( )A .14B .15C .16D .17 5.设i 为虚数单位,则(x +i)6的展开式中含x 4的项为( )A .-15x 4B .15x 4C .-20i x 4D .20i x 46.已知()3sin 30,601505αα︒+=︒<<︒,则cos α为( ) A 310B .310C 433- D 343-7.设i 为虚数单位,复数z 满足21ii z=-,则复数z 的共轭复数等于( ) A .1-iB .-1-iC .1+iD .-1+i8.设集合{1,2,3,4,5,6}U =,{1,2,4}A =,{2,3,4}B =,则()C U A B ⋃等于( ) A .{5,6}B .{3,5,6}C .{1,3,5,6}D .{1,2,3,4}9.当1a >时, 在同一坐标系中,函数xy a -=与log a y x =-的图像是( )A .B .C .D .10.函数f (x )=2sin(ωx +φ)(ω>0,-2π<φ<2π)的部分图象如图所示,则ω、φ的值分别是( )A .2,-3πB .2,-6π C .4,-6πD .4,3π 11.已知236a b ==,则a ,b 不可能满足的关系是()A .a b ab +=B .4a b +>C .()()22112a b -+-<D .228a b +>12.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据,根据表中提供的数据,求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+,则下列结论错误的是( )x3 4 5 6 y 2.5t44.5A.产品的生产能耗与产量呈正相关B.回归直线一定过4.5,3.5()C.A产品每多生产1吨,则相应的生产能耗约增加0.7吨D.t的值是3.15二、填空题13.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上,行驶600m 后到达处,测得此山顶在西偏北的方向上,仰角为,则此山的高度________ m.14.设函数()212 log,0log(),0x xf x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩,若()()f a f a>-,则实数a的取值范围是__________.15.函数()22,026,0x xf xx lnx x⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________.16.函数log(1)1(01)ay x a a=-+>≠且的图象恒过定点A,若点A在一次函数y mx n=+的图象上,其中,0,m n>则12m n+的最小值为17.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S的值为________.18.在平行四边形ABCD中,3Aπ∠=,边AB,AD的长分别为2和1,若M,N分别是边BC,CD上的点,且满足CNCDBMBC=,则AM AN⋅的取值范围是_________.19.函数()lg 12sin y x =-的定义域是________.20.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是__________.三、解答题21.11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10:10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后,甲先发球,两人又打了X 个球该局比赛结束. (1)求P (X =2);(2)求事件“X =4且甲获胜”的概率.22.已知()f x 是二次函数,不等式()0f x <的解集是0,5,且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12.(1)求()f x 的解析式;(2)设函数()f x 在[],1x t t ∈+上的最小值为g t ,求g t 的表达式. 23.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,H 是正方形11AA B B 的中心,122AA =,1C H ⊥平面11AA B B ,且1 5.C H =(Ⅰ)求异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值; (Ⅱ)求二面角111A AC B --的正弦值;(Ⅲ)设N 为棱11B C 的中点,点M 在平面11AA B B 内,且MN ⊥平面111A B C ,求线段BM 的长.24.如图,在边长为4的正方形ABCD 中,点E,F 分别是AB,BC 的中点,点M 在AD 上,且14AM AD =,将AED,DCF 分别沿DE,DF 折叠,使A,C 点重合于点P ,如图所示2.()1试判断PB 与平面MEF 的位置关系,并给出证明; ()2求二面角M EF D --的余弦值.25.如图,四棱锥P ABCD -中,//AB DC ,2ADC π∠=,122AB AD CD ===,6PD PB ==,PD BC ⊥.(1)求证:平面PBD ⊥平面PBC ;(2)在线段PC 上是否存在点M ,使得平面ABM 与平面PBD 所成锐二面角为3π?若存在,求CMCP的值;若不存在,说明理由.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【解析】 【分析】求得基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=,其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式,即可求解.【详解】由题意,现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,基本事件的总数为222422226C Cn AA=⨯=,其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A==,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13mpn==,故选B.【点睛】本题主要考查了排列组合的应用,以及古典概型及其概率的计算问题,其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数,利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题. 2.A解析:A【解析】【分析】①②③根据定义得结论不一定正确.④画图举出反例说明题目是错误的.【详解】解:①不一定,只有这两点的连线平行于轴时才是母线;②不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图(1)所示;③不一定.当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,如图(2)所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.故答案为:A【点睛】(1)要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地去分析,多观察实物,提高空间想象能力;(2)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定; (3)通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可.3.C解析:C【解析】分析:利用互斥事件、对立事件的概念直接求解判断即可. 详解:在A 中,A 与B 是对立事件,故不正确;在B 中,B 与C 能同时发生,不是互斥事件,所以不正确;在C 中,A 与D 两个事件不能同时发生,但能同时不发生,所以是互斥事件,但不是对立事件,所以是正确的;在D 中,C 与D 能同时发生,不是互斥事件,所以是错误的. 综上所述,故选C.点睛:本题主要考查了命题的真假判定,属于基础题,解答时要认真审题,注意互斥事件与对立事件的定义的合理运用,同时牢记互斥事件和对立事件的基本概念是解答的基础.4.B解析:B 【解析】 【分析】计算出样本在[)2060,的数据个数,再减去样本在[)20,40的数据个数即可得出结果. 【详解】由题意可知,样本在[)2060,的数据个数为300.824⨯=, 样本在[)20,40的数据个数为459+=,因此,样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数为24915. 故选:B. 【点睛】本题考查利用频数分布表计算频数,要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系,考查计算能力,属于基础题.5.A解析:A 【解析】 试题分析:二项式的展开式的通项为,令,则,故展开式中含的项为,故选A.【考点】二项展开式,复数的运算【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算,复数的概念及运算也是高考的热点,几乎是每年必考的内容,属于容易题.一般来说,掌握复数的基本概念及四则运算即可.二项式可以写为,则其通项为,则含的项为.6.D解析:D 【解析】分析:先求出()cos 30α︒+的值,再把cos α变形为0cos[(30)30]α+-,再利用差角的余弦公式展开化简即得cos α的值.详解:∵60150α︒<<︒, ∴90°<30α︒+<180°, ∴()cos 30α︒+=-45, ∵c os α=00cos[(30)30]α+-,∴c os α=-453152⨯=, 故选D.点睛:三角恒等变形要注意“三看(看角看名看式)”和“三变(变角变名变式)”,本题主要利用了看角变角,0(30)30αα=+-,把未知的角向已知的角转化,从而完成解题目标.7.B解析:B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则解得1i z =-+,结合共轭复数的概念即可得结果. 【详解】 ∵复数z 满足21ii z=-,∴()()()2121111i i i z i i i i +===---+, ∴复数z 的共轭复数等于1i --,故选B. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.8.A解析:A 【解析】 【分析】先求并集,得到{1,2,3,4}A B ⋃=,再由补集的概念,即可求出结果. 【详解】因为{1,2,4}A =,{2,3,4}B =,所以{1,2,3,4}A B ⋃=, 又{1,2,3,4,5,6}U =,所以()C {5,6}U A B ⋃=. 故选A. 【点睛】本题主要考查集合的并集与补集的运算,熟记概念即可,属于基础题型.9.D解析:D 【解析】根据指数型函数和对数型函数单调性,判断出正确选项. 【详解】由于1a >,所以1xxa y a-=⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的递减函数,且过()0,1;log a y x =-为()0,∞+上的单调递减函数,且过()1,0,故只有D 选项符合. 故选:D. 【点睛】本小题主要考查指数型函数、对数型函数单调性的判断,考查函数图像的识别,属于基础题.10.A解析:A 【解析】 【分析】由函数f (x )=2sin (ωx+φ)的部分图象,求得T 、ω和φ的值. 【详解】由函数f (x )=2sin (ωx+φ)的部分图象知,3T 5π412=-(π3-)3π4=, ∴T 2πω==π,解得ω=2; 又由函数f (x )的图象经过(5π12,2), ∴2=2sin (25π12⨯+φ), ∴5π6+φ=2kππ2+,k∈Z, 即φ=2kππ3-, 又由π2-<φπ2<,则φπ3=-; 综上所述,ω=2、φπ3=-. 故选A . 【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题,是基础题.11.C解析:C 【解析】根据236a b ==即可得出21l 3og a =+,31l 2og b =+,根据23log log 132⋅=,33log log 222+>,即可判断出结果.【详解】 ∵236a b ==;∴226log 1og 3l a ==+,336log 1og 2l b ==+;∴2332log 2log 4a b +=++>,2332log og 42l ab =++>,故,A B 正确;()()()()2322223211log log 2log 323log 22a b =>⋅-+-+=,故C 错误;∵()()()22232223log log 2log 2323log 2a b =+++++23232324log log l 23og log 82>+⋅+=⋅,故D 正确故C . 【点睛】本题主要考查指数式和对数式的互化,对数的运算,以及基本不等式:2a b ab +≥和不等式222a b ab +≥的应用,属于中档题12.D解析:D 【解析】 由题意,x =34564+++=4.5, ∵ˆy=0.7x+0.35, ∴y =0.7×4.5+0.35=3.5, ∴t=4×3.5﹣2.5﹣4﹣4.5=3, 故选D .二、填空题13.1006【解析】试题分析:由题设可知在中由此可得由正弦定理可得解之得又因为所以应填1006考点:正弦定理及运用 解析:【解析】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.考点:正弦定理及运用.14.【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为 解析:(1,0)(1,)【解析】 【分析】 【详解】由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪⇒⎨>⎪⎩或11a a a a<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<,则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞,故答案为()()1,01,-⋃+∞.15.2【解析】【详解】当x≤0时由f (x )=x2﹣2=0解得x=有1个零点;当x >0函数f (x )=2x ﹣6+lnx 单调递增则f (1)<0f (3)>0此时函数f (x )只有一个零点所以共有2个零点故答案为:解析:2 【解析】 【详解】当x≤0时,由f (x )=x 2﹣2=0,解得x=1个零点; 当x >0,函数f (x )=2x ﹣6+lnx ,单调递增,则f (1)<0,f (3)>0,此时函数f (x )只有一个零点, 所以共有2个零点. 故答案为:2. 【点睛】判断函数零点个数的方法直接法(直接求零点):令f (x )=0,如果能求出解,则有几个不同的解就有几个零点, 定理法(零点存在性定理):利用定理不仅要求函数的图象在区间[a ,b ]上是连续不断的曲线,且f (a )·f (b )<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点,图象法(利用图象交点的个数):画出函数f (x )的图象,函数f (x )的图象与x 轴交点的个数就是函数f (x )的零点个数;将函数f (x )拆成两个函数h (x )和g (x )的差,根据f (x )=0⇔h (x )=g (x ),则函数f (x )的零点个数就是函数y =h (x )和y =g (x )的图象的交点个数,性质法(利用函数性质):若能确定函数的单调性,则其零点个数不难得到;若所考查的函数是周期函数,则只需解决在一个周期内的零点的个数16.8【解析】∵函数(且)的图象恒过定点A∴当时∴又点A 在一次函数的图象上其中∴又∴∴(当且仅当时取)故答案为8点睛:本题主要考查了基本不等式基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值其失误解析:8 【解析】∵函数log 11a y x =-+()(0a >,且1a ≠)的图象恒过定点A , ∴当2x =时,1y =,∴()21A ,,又点A 在一次函数y mx n =+的图象上,其中0mn >,∴21m n +=,又0mn >,∴0m >,0n >,∴()12124 248n mm n m n m n m n+=+⋅+=++≥(),(当且仅当122n m ==时取“=”),故答案为8.点睛:本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可.(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.17.8【解析】分析:先判断是否成立若成立再计算若不成立结束循环输出结果详解:由伪代码可得因为所以结束循环输出点睛:本题考查伪代码考查考生的读图能力难度较小解析:8 【解析】分析:先判断6I <是否成立,若成立,再计算I S ,,若不成立,结束循环,输出结果.详解:由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======,因为76>,所以结束循环,输出8.S =点睛:本题考查伪代码,考查考生的读图能力,难度较小.18.【解析】【分析】画出图形建立直角坐标系利用比例关系求出的坐标然后通过二次函数求出数量积的范围【详解】解:建立如图所示的直角坐标系则设则所以因为二次函数的对称轴为:所以时故答案为:【点睛】本题考查向量解析:[2]5, 【解析】 【分析】画出图形,建立直角坐标系,利用比例关系,求出M ,N 的坐标,然后通过二次函数求出数量积的范围. 【详解】解:建立如图所示的直角坐标系,则(2,0)B ,(0,0)A ,12D ⎛ ⎝⎭,设||||||||BM CN BC CD λ==,[]0,1λ∈,则(22M λ+),5(22N λ-,所以(22AM AN λ=+5)(22λ-2253542544λλλλλλ=-+-+=--+,因为[]0,1λ∈,二次函数的对称轴为:1λ=-,所以[]0,1λ∈时,[]2252,5λλ--+∈.故答案为:[2]5,【点睛】本题考查向量的综合应用,平面向量的坐标表示以及数量积的应用,二次函数的最值问题,考查计算能力,属于中档题.19.【解析】由题意可得函数满足即解得即函数的定义域为解析:513|22,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭【解析】由题意可得,函数lg(12sin )y x =-满足12sin 0x ->,即1sin 2x , 解得51322,66k x k k Z ππππ+<<+∈, 即函数lg(12sin )y x =-的定义域为513{|22,}66x k x k k Z ππππ+<<+∈. 20.【解析】令函数有两个极值点则在区间上有两个实数根当时则函数在区间单调递增因此在区间上不可能有两个实数根应舍去当时令解得令解得此时函数单调递增令解得此时函数单调递减当时函数取得极大值当近于与近于时要使解析:.【解析】()()()2ln 0,'ln 12f x x x ax x f x x ax =->=+-,令()ln 12,g x x ax =+-函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点,则()0g x =在区间()0,∞+上有两个实数根,()112'2axg x a x x-=-=,当0a ≤时,()'0g x >,则函数()g x 在区间()0,∞+单调递增,因此()0g x =在区间()0,∞+上不可能有两个实数根,应舍去,当0a >时,令()'0g x =,解得12x a =,令()'0g x >,解得102x a <<,此时函数()g x 单调递增,令()'0g x <,解得12x a >,此时函数()g x 单调递减,∴当12x a=时,函数()g x 取得极大值,当x 近于0与x 近于+∞时,()g x →-∞,要使()0g x =在区间()0,∞+有两个实数根,则11ln 022g a a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,解得10,2a <<∴实数a 的取值范围是102a <<,故答案为102a <<. 三、解答题21.(1)0.5;(2)0.1 【解析】 【分析】(1)本题首先可以通过题意推导出()2P X =所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”,然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果; (2)本题首先可以通过题意推导出4P X 所包含的事件为“前两球甲乙各得1分,后两球均为甲得分”,然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果.【详解】(1)由题意可知,()2P X =所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球” 所以20.50.40.50.60.5P X(2)由题意可知,4P X 包含的事件为“前两球甲乙各得1分,后两球均为甲得分”所以40.50.60.50.4+0.50.40.50.40.1P X【点睛】本题考查古典概型的相关性质,能否通过题意得出()2P X =以及4P X 所包含的事件是解决本题的关键,考查推理能力,考查学生从题目中获取所需信息的能力,是中档题.22.(1)2()210f x x x =-(2)223268,,22535(),,2225210,,2t t t g t t t t t ⎧--≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩【解析】(1)因为()f x 是二次函数,不等式()0f x <的解集是0,5,所以可设()(5)(0).f x ax x a =->,然后因为-1比5离对称轴的距离远,所以最大值为(-1)=6a,求出a值,从而求出f(x)的解析式.(II )本小题属于二次函数轴定区间动的问题,分三种情况讨论分别求其最小值即可. 解:(1)()f x 是二次函数,且()0f x <的解集是(0,5),∴可设()(5)(0).f x ax x a =->()f x ∴在区间[]1,4-上的最大值是(1)6.f a -=由已知,得612,a =2,a ∴=2()2(5)210().f x x x x x x R ∴=-=-∈(2)由(1)知22525()2102.22f x x x x ⎛⎫∴=-=-- ⎪⎝⎭,开口向上,对称轴为52x = ①当512t +≤,即32t ≤时,()f x 在[],1t t +上是单调递减, ()()()2221101268g t t t t t ∴=+-+=--②当52t ≥时,()f x 在[],1t t +上是单调递减 ()22210210g t t t t t ∴=-=-③当512t t ≤≤+,即3522t ≤≤时,()f x 在对称轴处取得最小值 ()52522g t f ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭23.(Ⅰ)3;(Ⅱ;(Ⅲ【解析】 【分析】(Ⅰ)以B 为坐标原点,BA 所在直线为x 轴,1BB 所在直线为y 轴,建立坐标系,设异面直线AC 与11A B 所成角为α,算出11,AC A B ,再利用cos α=11|cos ,|AC A B 〈〉计算即可;(Ⅱ)分别求出平面11AA C 的法向量m 与平面111B AC 的法向量n ,再利用向量的夹角公式算得cos ,m n 〈〉即可;(Ⅲ)设(,,0)M a b ,由MN ⊥平面111A B C ,得111100MN A B MN A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,进一步得到M 的坐标,再由模长公式计算BM 的长. 【详解】如图所示,建立空间直角坐标系,其中点B 为坐标原点,BA 所在直线为x 轴,1BB 所在直线为y 轴, 由题意,111(0,0,0),B A C A B C ,(Ⅰ)11(2,2,5),(22,0,0)AC A B =--=-,所以111111cos ,3||||3AC A B AC A B AC A B ⋅〈〉===⨯,设异面直线AC 与11A B 所成角为α, 则cos α=112|cos ,|3AC A B 〈〉=,所以异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值为3. (Ⅱ)易知111(0,22,0),(2,AA AC ==-, 设平面11AA C 的法向量(,,)mx y z =,则11100m ACm AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即00⎧+=⎪⎨=⎪⎩,令x =z =,所以(5,0,m =,同理,设平面111B AC 的法向量(,,)n x y z=,则111100n A Cn A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即00⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩, 令y =2z =,所以(0,5,n =,所以2cos ,7||||7m n m n m n ⋅〈〉===⋅⋅,设二面角111A AC B --的大小为θ,则sin 7θ==, 所以二面角111A AC B --的正弦值为7. (Ⅲ)由N 为棱11BC 的中点,得,22N ⎛ ⎝⎭,设(,,0)M a b ,则2MN a b ⎛=--⎝⎭,由MN ⊥平面111A B C ,得111100MN A B MN A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2(22)022325(2)(2)50222a a b ⎧⎛⎫-⋅-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪-⋅-+-⋅-+⋅= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩,解得2224a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,故22,,024M ⎛⎫⎪⎝⎭,因此22,,024BM ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 所以线段BM 的长为10||BM =.【点睛】本题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识,考查学生的空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 24.(1)见解析;(26【解析】 【分析】(1)根据线面平行的判定定理直接证明即可;(2)连接BD 交EF 与点N ,先由题中条件得到MND ∠为二面角M EF D ﹣﹣的平面角,再解三角形即可得出结果. 【详解】(1)PB 平面MEF .证明如下:在图1中,连接BD ,交EF 于N ,交AC 于O , 则1124BN BO BD ==, 在图2中,连接BD 交EF 于N ,连接MN ,在DPB 中,有14BN BD =,14PM PD =, MN PB ∴. PB ⊄平面MEF ,MN ⊂平面MEF ,故PB 平面MEF ;(2)连接BD 交EF 与点N ,图2中的三角形PDE 与三角形PDF 分别是图1中的Rt ADE 与Rt CDF ,PD PE PD PF ∴⊥⊥,,又PE PE P ⋂=,PD ∴⊥平面PEF ,则PD EF ⊥,又EF BD ⊥,EF ∴⊥平面PBD , 则MND ∠为二面角M EF D ﹣﹣的平面角.可知PM PN ⊥,则在Rt MND 中,12PM PN =,=,则22PM PN 3MN =+=.在MND 中,332MD DN ==,,由余弦定理,得22262MN DN MD cos MND MN DN +-∠==⋅. ∴二面角M EF D ﹣﹣的余弦值为6.【点睛】本题主要考查线面平行的判定,以及二面角的求法,熟记线面平行的判定定理以及二面角的概念即可,属于常考题型. 25.(1)见证明;(2)见解析 【解析】 【分析】(1)利用余弦定理计算BC ,根据勾股定理可得BC ⊥BD ,结合BC ⊥PD 得出BC ⊥平面PBD ,于是平面PBD ⊥平面PBC ;(2)建立空间坐标系,设CMCP=λ,计算平面ABM 和平面PBD 的法向量,令法向量的夹角的余弦值的绝对值等于12,解方程得出λ的值,即可得解. 【详解】(1)证明:因为四边形ABCD 为直角梯形, 且//AB DC , 2AB AD ==,2ADC π∠=,所以22BD = 又因为4,4CD BDC π=∠=.根据余弦定理得22,BC =所以222CD BD BC =+,故BC BD ⊥.又因为BC PD ⊥, PD BD D ⋂=,且BD ,PD ⊂平面PBD ,所以BC ⊥平面PBD , 又因为BC ⊂平面PBC ,所以PBC PBD ⊥平面平面(2)由(1)得平面ABCD ⊥平面PBD , 设E 为BD 的中点,连结PE ,因为6PB PD ==,所以PE BD ⊥,2PE =,又平面ABCD ⊥平面PBD ,平面ABCD平面PBD BD =,PE ⊥平面ABCD .如图,以A 为原点分别以AD ,AB 和垂直平面ABCD 的方向为,,x y z 轴正方向,建立空间直角坐标系A xyz -,则(0,0,0)A ,(0,2,0)B ,(2,4,0)C ,(2,0,0)D ,(1,1,2)P , 假设存在(,,)M a b c 满足要求,设(01)CMCPλλ=≤≤,即CM CP λ=, 所以(2-,4-3,2)λλλM ,易得平面PBD 的一个法向量为(2,2,0)BC =.设(,,)n x y z =为平面ABM 的一个法向量,(0,2,0)AB =, =(2-,4-3,2)λλλAM由00n AB n AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩得20(2)(43)20y x y z λλλ=⎧⎨-+-+=⎩,不妨取(2,0,2)n λλ=-.因为平面PBD 与平面ABM 所成的锐二面角为3π22412224(2)λλλ=+-,解得2,23λλ==-,(不合题意舍去). 故存在M 点满足条件,且23CM CP =. 【点睛】本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识,面面角一般是定义法,做出二面角,或者三垂线法做出二面角,利用几何关系求出二面角,也可以建系来做.。
新高考数学(理)三角函数与平面向量04 三角恒等变换一、具本目标:1.两角和与差的三角函数公式 (1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式;(2)能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式;(3)能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系;2.简单的三角恒等变换:能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆)3.(1) 已知两角的正余弦,会求和差角的正弦、余弦、正切值. (2) 会求类似于15°,75°,105°等特殊角的正、余弦、正切值. (3) 用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值. (4)逆用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值. (5) 会配凑、变形、拆角等方法进行化简与求值. 二、知识概述:知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的正弦公式: ()sin sin cos cos sin α+β=αβ+αβ,()sin sin cos cos sin α-β=αβ-αβ.两角和与差的余弦公式:()cos cos cos sin sin α+β=αβ-αβ, ()cos cos cos sin sin α-β=αβ+αβ. 两角和与差的正切公式:()tan tan tan 1tan tan α+βα+β=-αβ,【考点讲解】()tan tan tan 1tan tan α-βα-β=+αβ.【特别提醒】公式的条件:1. 两角和与差的正弦、余弦公式中的两个角α、β为任意角.2.两角和与差的正切公式中两个角有如下的条件:(),,,.2222k k k k k z ππππα+β≠π+α-β≠π+α≠π+β≠π+∈知识点二 公式的变用1. 两角和与差的正弦公式的逆用与辅助角公式:()22sin cos sin a x b x a b x +=++ϕ(其中φ角所在的象限由a,b 的符号确定,φ的值由tan baϕ=确定),在求最值、化简时起着重要的作用. 2. ()tan tan tan 1tan tan α+βα+β=-αβ变形为()()tan tan tan 1tan tan α+β=α+β-αβ,()tan tan tan 1tan tan α+βα+β=-αβ变形为()tan tan tan tan 1tan α+βαβ=-α+β.()tan tan tan 1tan tan α-βα-β=+αβ变形为()()tan tan tan 1tan tan α-β=α-β+αβ,()tan tan tan 1tan tan α-βα-β=+αβ变形为()tan tan tan tan 1tan α-βαβ=-α-β来使用. 条件为:(),,,.2222k k k k k z ππππα+β≠π+α-β≠π+α≠π+β≠π+∈ 知识点三 二倍角公式: 1.22tan sin 22sin cos 1tan ααααα==+ 2222221tan cos 2cos sin 2cos 112sin 1tan ααααααα-=-=-=-=+ 22tan tan 21tan ααα=-2. 常见变形:(1)22cos 1sin 2αα-=,22cos 1cos 2αα+=(2)()2cos sin 2sin 1ααα+=+,()2cos sin 2sin 1ααα-=-;(3)αα2cos 22cos 1=+,αα2sin 22cos 1=-.3.半角公式:2cos 12sin αα-±=,2cos 12cos αα+±=,αααcos 1cos 12tan+-±=,αααααsin cos 1cos 1sin 2tan-=+=.1.【2019年高考全国Ⅱ卷文理】已知a ∈(0,π2),2sin2α=cos2α+1,则sin α=( ) A .15B .55 C .33D .255【解析】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查.2sin 2cos21αα=+Q ,24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭Q ,sin 0,α>2sin cos αα∴=,又22sin cos 1αα+=,2215sin 1,sin 5αα∴==,又sin 0α>,5sin 5α∴=,故选B . 【答案】B2.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0,2π]的零点个数为( ) A .2B .3C .4D .5【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=,得sin 0x =或cos 1x =,[]0,2πx ∈Q ,0π2πx ∴=、或.()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3,故选B .【答案】B3.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()222cos sin 2f x x x =-+,则( )A .()f x 的最小正周期为π,最大值为3B .()f x 的最小正周期为π,最大值为4C .()f x 的最小正周期为2π,最大值为3D .()f x 的最小正周期为2π,最大值为 4【真题分析】【解析】本题考查的是二倍角公式及余弦型函数的周期及最值问题.根据题意有()135cos 21(1cos 2)2cos 2222f x x x x =+--+=+,所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==,且最大值为()max 35422f x =+=,故选B. 【答案】B4.【2018年高考全国Ⅰ卷】若1sin 3α=,则cos2α=( ) A .89 B .79 C .79- D .89-【解析】本题主要考查二倍角公式及求三角函数的值.2217cos 212sin 12()39αα=-=-⨯=.故选B. 【答案】B5.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点()1A a ,,()2B b ,,且2cos 23α=,则a b -=( )A .15 B .55 C .255D .1 【解析】本题主要考查任意角的三角函数和三角恒等变換根据条件,可知,,O A B 三点共线,从而得到2b a =,因为22212cos22cos 12131a ⎛⎫=-=⋅-= ⎪+⎝⎭αα,解得215a =,即55a =,所以525a b a a -=-=. 【答案】B6.【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知4sin cos 3αα-=,则sin 2α=( ) A .79-B .29-C .29D .79【解析】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===--.所以选A. 【答案】A7.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________. 【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+23172(cos )48x =-++, 1cos 1x -≤≤Q ,∴当cos 1x =时,min ()4f x =-,故函数()f x 的最小值为4-.【答案】4-8.【2019年高考北京卷理数】函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________.【解析】本题主要考查二倍角的三角函数公式、三角函数的最小正周期公式,函数()2sin 2f x x ==1cos 42x -,周期为π2. 【答案】π29.【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭,则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 . 【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭,得23tan 5tan 20αα--=, 解得tan 2α=,或1tan 3α=-.πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()2222222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭2222tan 1tan =2tan 1ααα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭, 当tan 2α=时,上式22222122==22110⎛⎫⨯+-⨯ ⎪+⎝⎭; 当1tan 3α=-时,上式=22112()1()2233[]=1210()13⨯-+--⨯-+. 综上,π2sin 2.410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【答案】21010.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知5π1tan()45-=α,则tan =α__________. 【解析】本题主要考查三角恒等变换,考查考生的运算求解能力.5πtan tan5πtan 114tan 5π41tan 51tan tan 4ααααα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+⋅,解方程得3tan 2=α.故答案为32. 【答案】3211.【2018年高考全国Ⅱ理数】已知sin cos 1αβ+=,cos sin 0αβ+=,则sin()αβ+=__________. 【解析】本题主要考查三角恒等变换.因为sin cos 1+=αβ,cos sin 0+=αβ,所以()()221sin cos 1,-+-=αα所以11sin ,cos 22==αβ, 因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1.224442+=+=⨯-=-+=-+=-αβαβαβαα【答案】12-12.【2017年高考江苏卷】若π1tan(),46-=α则tan =α .【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ααααππ+-+ππ=-+===ππ---.故答案为75. 【答案】7513.【2018年高考全国Ⅰ理数】已知函数()2sin sin2f x x x =+,则()f x 的最小值是_____________.【解析】()()212cos 2cos 24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫'=+=+-=+-⎪⎝⎭, 所以当1cos 2x <时函数单调递减,当1cos 2x >时函数单调递增,从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ,函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z , 所以当π2π,3x k k =-∈Z 时,函数()f x 取得最小值,此时33sin ,sin222x x =-=-, 所以()min 33332222f x ⎛⎫=⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭,故答案是332-.【答案】332-14.【2017年高考全国Ⅱ理数】函数()23sin 3cos 4f x x x =+-(π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)的最大值是 . 【解析】本题主要考查的是三角函数式的化简及三角函数的问题转化为二次函数的问题,二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”化简三角函数的解析式的综合考查.()2223131cos 3cos cos 3cos cos 1442f x x x x x x ⎛⎫=-+-=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭,由自变量的范围:π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得:[]cos 0,1x ∈,当3cos 2x =时,函数()f x 取得最大值1.【答案】115.【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .(1)已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数,求θ的值; (2)求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域. 【解析】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识.(1)因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数,所以,对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+, 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+,故2sin cos 0x θ=,所以cos 0θ=. 又[0,2π)θ∈,因此π2θ=或3π2. (2)2222ππππsin sin 124124y fx f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 2133621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭3π1cos 223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 因此,函数的值域是33[1,1]22-+. 【答案】(1)π2θ=或3π2;(2)33[1,1]22-+. 16.【2018年高考北京卷文数】已知函数2()sin 3sin cos f x x x x =+.(1)求()f x 的最小正周期; (2)若()f x 在区间[,]3m π-上的最大值为32,求m 的最小值. 【解析】本题主要考查二倍角公式、辅助角公式、正弦函数的性质. (1)1cos 23311π1()sin 2sin 2cos 2sin(2)2222262x f x x x x x -=+=-+=-+, 所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. (2)由(1)知π1()sin(2)62f x x =-+.因为π[,]3x m ∈-,所以π5ππ2[,2]666x m -∈--.要使得()f x 在π[,]3m -上的最大值为32,即πsin(2)6x -在π[,]3m -上的最大值为1. 所以ππ262m -≥,即π3m ≥.所以m 的最小值为π3.【答案】(1)π;(2)π3.1. sin15°sin105°的值是( ) A .14 B .14-C .34D .34-【解析】本题的考点二倍角的正弦和诱导公式:sin15°sin105°=sin15°cos15°=12sin30°=14,故选A . 【答案】A2.已知sin2α=13,则cos 2(π4α-)=( ) A .34 B .23 C .45 D .56【解析】本题考点二倍角的余弦,三角函数的化简求值.∵sin2α=13,∴cos 2(π4α-)=π11cos 211sin 22232223αα⎛⎫+-+⎪+⎝⎭===.故选B . 【答案】B3.已知sin α=45-,α∈(π,3π2),则tan 2α等于( ) A .-2 B .12 C .12-或2 D .-2或12【解析】∵sin α=45-,α∈(π,3π2),∴cos α=35-,∴tan α=43.∵α∈(π,3π2),∴2α∈(π2,3π4),∴tan 2α<0. tan α=22tan21tan 2αα- =43,即2tan 22α+ 3tan2α-2=0,解得tan2α=-2,或tan2α=12(舍去),故选A .【答案】A【模拟考场】4.设π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,π0,4β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且tan α=1sin 2cos 2ββ+,则下列结论中正确的是( ) A .2π4αβ-=B .π24αβ+=C .π4αβ-=D .π4αβ+= 【解析】本题的考点二倍角的余弦,二倍角的正弦..tan α=()222sin cos 1sin 2sin cos 1tan cos 2cos sin cos sin 1tan ββββββββββββ++++===---πtan 4β⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,πππ,442β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,所以π4αβ-=.故选C . 【答案】C5.已知角αβ,均为锐角,且cos α=35,tan (α−β)=−13,tan β=( ) A .13 B .913 C .139D .3【解析】∵角α,β均为锐角,且cos α=35,∴sin α=21cos α- =45,tan α=43,又tan (α−β)=tan tan 1+tan tan αβαβ-=4tan 341+tan 3ββ-=−13, ∴tan β=3,故选D .【答案】D6.设α为锐角,若π3cos()65α+=,则πsin()12α-=( ) A .210 B .210- C .45 D .45- 【解析】因为α为锐角,所以ππ2π,663α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,因为π3cos()65α+=,所以π4sin()65α+=,故πππππsin()sin sin cos 126464ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππ2432cos sin 6425510α⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A.【答案】A7.设函数2()sin sin f x x b x c =++,则()f x 的最小正周期( )A .与b 有关,且与c 有关B .与b 有关,但与c 无关C .与b 无关,且与c 无关D .与b 无关,但与c 有关【解析】本题考查的是二倍角的降幂公式与三角函数的最小正周期,先利用三角恒等变换(降幂公式)化简函数()f x ,再判断b 和c 的取值是否影响函数()f x 的最小正周期.21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222-=++=++=-+++x x f x x b x c b x c b x c ,其中当0=b 时,cos 21()22=-++x f x c ,此时周期是π;当0≠b 时,周期为2π,而c 不影响周期.故选B . 【答案】B8.已知34cos sin =-αα,则=α2sin ( ) A .97- B .92- C .92 D .97【解析】本题的考点是二倍角的正弦正逆用,将34cos sin =-αα两边平方()2234cos sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-αα, 化简后可得916cos sin 2cos sin 22=-+αααα即=α2sin 97-.【答案】A 9.函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6cos 3sin 51ππx x x f 的最大值为( ) A .56B .1C .53D .51【解析】将()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6cos 3sin 51ππx x x f 化简,利用两角和、差的正余弦公式及辅助角公式,三角函数 最值的性质可以求得函数最大值.由()6sin sin 6cos cos 3sin cos 3cos sin 51ππππx x x x x f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+= x x x x sin 21cos 23cos 103sin 101+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=x x x x cos 23sin 2156cos 533sin 53⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin 56πx , 因为13sin 1≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-πx ,所以函数的最大值为56.【答案】A10.若tan 2tan 5πα=,则3cos()10sin()5παπα-=-( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解析】本题考点是两角和与差的正弦(余弦)公式,同角间的三角函数关系,三角函数的恒等变换. 三角恒等变换的主要是求值,在求值时只要根据求解目标的需要,结合已知条件选用合适的公式计算.本例应用两角和与差的正弦(余弦)公式化简所求式子,利用同角关系式求出使已知条件可代入的值,然后再化简,求解过程中注意公式的顺用和逆用.3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cos sin 55ππαππα+=-33cos 2tan sin 105102tan cos sin 555ππππππ+=- 33cos cos 2sin sin 510510sin cos 55ππππππ+==333cos cos sin sin sin sin 510510510sin cos 55ππππππππ++ =333cos cos sin 5101010sin cos 55ππππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=13cos sin 1025sin cos 55ππππ+1cos cos 10210sin cos 55ππππ+=1cos cos 1021014sin 210πππ+= 3cos103cos 10ππ==.【答案】C11.已知向量a r =(sin θ,2-),b r =(1,cos θ),且a r ⊥b r ,则sin 2θ+cos 2θ的值为( )A .1B .2C .12D .3 【解析】本题考点是三角函数的恒等变换及化简求值,数量积判断两个平面向量的垂直关系.由题意可得a r ·b r =sin θ-2cos θ=0,即tan θ=2.∴sin 2θ+cos 2θ=2222sin cos +cos cos +sin θθθθθ=22tan +11+tan θθ=1,故选A . 【答案】A12.已知cos θ=-725,θ∈(-π,0),则sin 2θ+cos 2θ=( )A .125B .15±C .15D .15- 【解析】∵cos θ=-725,θ∈(-π,0), ∴cos 22θ-sin 22θ=(cos 2θ+sin 2θ)(cos 2θ-sin 2θ)<0,2θ∈(π2-,0), ∴sin 2θ+cos 2θ<0,cos 2θ-sin 2θ>0,∵(sin 2θ+cos 2θ)2=1+sin θ=1-491625-=125,∴sin 2θ+cos 2θ=15-.故选D .【答案】D13. =+οο75sin 15sin .【解析】本题考查的是三角恒等变换及特殊角的三角函数值的求解. 法一、6sin15sin 75sin15cos152sin(1545)2+=+=+=o o o o o o . 法二、6sin15sin 75sin(4530)sin(4530)2sin 45cos302+=-++==o o o o o o o o . 法三、62626sin15sin 75442-++=+=o o . 【答案】62. 14.在锐角三角形ABC 中,若sin 2sin sin A B C =,则tan tan tan A B C 的最小值是 .【解析】本题考查的是三角恒等变换及正切的性质,本题要求会利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据,同时要记住斜三角形ABC 中恒有tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++,sin sin(B C)2sin sin tan tan 2tan tan A B C B C B C =+=⇒+=,因此tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan 22tan tan tan tan tan tan 8A B C A B C A B C A B C A B C =++=+≥⇒≥,即最小值为8.【答案】8.15.【2018江苏卷16】已知,αβ为锐角,4tan 3α=,5cos()5αβ+=-. (1)求cos2α的值;(2)求tan()αβ-的值.【解析】(1)因为,,所以. 4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=因为,所以, 因此,. (2)因为为锐角,所以.又因为,所以, 因此.因为,所以, 因此,. 16.【2016高考山东理数】在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A B A B B A +=+ (Ⅰ)证明:a +b =2c ;(Ⅱ)求cos C 的最小值.【解析】试题分析:(Ⅰ)根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明;(Ⅱ)根据余弦定理公式表示出cosC ,由基本不等式求cos C 的最小值.试题解析:()I 由题意知sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, 化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+,即()2sin sin sin A B A B +=+.因为A B C π++=,所以()()sin sin sin A B C C π+=-=.从而sin sin =2sin A B C +.由正弦定理得2a b c +=.()∏由()I 知2a b c +=, 所以 2222222cos 22a b a b a b c C ab ab +⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭, 当且仅当a b =时,等号成立.故 cos C 的最小值为12. 17.已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,R x ∈ 22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-,αβ(0,π)αβ+∈5cos()5αβ+=-225sin()1cos ()5αβαβ+=-+=tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+(I)求()f x 最小正周期;(II)求()f x 在区间[,]34p p -上的最大值和最小值. 【解析】本题考点两角和与差的正余弦公式、二倍角的正余弦公式、三角函数的图象与性质.综合运用三角 知识,从正确求函数解析式出发,考查最小正周期的求法与函数单调性的应用,从而求出函数的最大值与最小值,体现数学思想与方法的应用.(I) 由已知,有1cos 21cos211313()cos2sin 2cos2222222x x f x x x x π⎛⎫-- ⎪⎛⎫-⎝⎭=-=+- ⎪⎝⎭ 311sin 2cos2sin 24426x x x π⎛⎫--=- ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期22T ππ==. (II)因为()f x 在区间[,]36p p --上是减函数,在区间[,]64p p -上是增函数, 113(),(),()346244f f f πππ-=--=-=,所以()f x 在区间[,]34p p -上的最大值为34,最小值为12-. 【答案】(I)π; (II) max 3()4f x =,min 1()2f x =-.。
38福建中学数学2020年第12期1试题呈现23回归本源,立足教材2019年数学高考江苏卷第13题解法评析及教学思考朱阳帆江苏省扬中高级中学(212200)(2019年高考江苏卷•13、已知求sin(2a+彳)_tan atan(a+n)评析本解法是常规思路,分别用到了和角公式,倍角公式,同角的三角函数关系,计算量较大,而且考后和部分学生交流得知学生对用不同的正切算出了相同的答案有所怀疑,进行二次计算,浪费了时间.该题是对两角和与差的三角函数的考查,解决此类问题,需要用到一系列三角公式与变换:和角公式,倍角公式,同角的三角函数关系进行恒等变换,测试目标是应用公式,但需要整合,且经多个目标完成[1].笔者今年任教高三,考后与学生交流,发现有部分学生写了土寻这个答案,觉得有些可解法2tan atan atan(a+n)22-亍tan(a+—)232tan a+131-tan a /.3tan2a-5tan a-2_0,惜.本文给出第13题填空题的5种解法,并浅析出现土寻这个答案的原因,并就此题谈谈笔者在/.tan a_-1或tan a_2,3-41:.sin(2a+—)_-^-(sin2a+cos2a)高三复习教学时的拙见.2五种解法及评析—•(2sin a cos a+cos2a-sin2a)解法1tan atan(a+n)2322一2血一2一一一一2sin a cos a+cos2a-sin2a2•2cos a+sin atan a_一亍tan(a+—)_2tan a+131-tan a2tan a+1-tan2a1+tan2a1[21°当tan a_一一时,sin(2a+—)_——,3410tan a_2或-一3P2 2°当tan a_2时'sin(2a+4)_I?,sin a_巫5或-sin a2丘5sin(2a+n)cos a_5a/10 sin a_---,10顶cos a_-----10或-cos a10 5a/10sin a_-----103顶cos a_----10sin2a_—,cos2a_35评析解法2和解法1比较少了分类讨论的过程,其实教材必修四第一章练习题后有好几道三角函数化简求值的练习,最好的处理方式都是添加分母sin2a+cos2a然后把整个分式化成正切处理,这样避免讨论,所以无论是平时教学还是高三复习课都要以课本为主,教材是高三复习最好的资料.从代数角度看sin2a_-—5 sin(2a+—c4cos2a_—,5:~~~(sin2a+cos2a)_2102tan a+1-tan2a1+tan2a_-3和tan atan(a+n)2-2同解,所以也解释了为什么tan a算出来是不同值得到的确是同样的结果.2020年第12期福建中学数学39解法 3 •/ tan a =-—tan(a + n )sin a cos(a +—)23,2—,cos a sin(a + —迈.忑.22 sin a cos a 2 sin a即―.+近2 =——cos a sin a +---cos a 2 2dsin2a -1-cos2a 2二 4 2 =—2.宀 1 + cos2a 34 21 sin(2a + n ) -1 ,=2 ' r 2=—21sin(2a + n )+1 3亠 sin(2a + n ) 忑评析本解法是把正切都化成了正弦余弦后用二倍角公式化简后进行合一变形处理,合一变形在教材必修4课后链接上有详细介绍•对学生三角函数各种公式应用熟练程度以及代数变形能力要求较高,相较于解法1和解法2,解法3少掉了解一 元二次方程和分类讨论的过程,最后直接得出要求的代数式值.102t \ + 3t 2 = 0,_a /2t 1— t 2 =T ‘令 sin(a + n )cos a = t 1 , cos(a + )sin a = t 2 ,3迈t 1 =---,1 102近2 10/. t 1 +12 =返,即 sin(2a + —) = ^2 .1 2 10, r \ 4 10n <由①②③得{评析通过解法4发现可以通过代数变形直接得出所求代数式的值,那么可以想到能否对代数式进行拆角处理构造对称式,①和③对一些学生而言 想到并不困难,①展开有a 和a +占,所以对③进4行拆角处理,关键②的构造很难想到•解法5利用万能公式,当tan a = 2时,.tan a 4sin2a =------2—=—,1 + tan a 5- 1 - tan2 a 3cos 2a =---------- =——,1 + tan2 a 5sin(2a + —) = ^2 (sin 2a + cos 2a ) = ^^ ,4 2 10当 tan a = -1 时,sin2a = —tan a 2—=3 1 + tan 2 a 宀 1 - tan 2 a 4cos 2a =----------=—,1 + tan2 a 5sin(2a + —) = ^2 (sin 2a + cos 2a ) = ^24 2 1035• cos(a +—) ,解法 4 叫=-2,cos a sin(a + n )3-3sin a cos(a + —) = cos a sin(a + —),442cos a sin(a + 彳)+ 3sin a cos(a + n ) = 0 ①,匸,•兀 • < it 、 a 乂 sin — = sin(a +---a )= 一 ,4 4 2评析笔者认为三角函数万能公式是解决这道题目的最好解法,教材上也有万能公式的内容,但是局限于很多同行在讲授新课的时候都略过了万能公式或者稍稍一笔带过,或者在平时解题的时候很少讲授利用万能公式解题,所以学生应用万能公sin(a + n ) cos a -sin a cos(a + n ) = ~^~ ②,sin(2a + —) = sin(a +a + —).4 4式解决这道问题的少之又少.3可能出现±春的原因当学生算出tan a = 2或-—后,采取的策略是sin(2a +孑)=sin(a + —) cos a + sin a cos(a + —)③,44算出tan2a-—或 tan2a =3—,tan(2a +彳)=1 或tan(2a +—)=—,4 7sin(2a + n )cos(2a + n )1 sin(2a +=-或-------cos(2a + —)40福建中学数学2020年第12期-1,与同角的三角函数关系联立,并经历复杂的缩角过程,发现两个都可以保留,得到了土春这个答案,凭空多出来-菁•其实用tan a算出tan2a4的过程是不等价转换,因为tan2a_-3,tan2a_-3,用正切的二倍角公式tan2a_半二,可41-tan2a以得出tan a_2或-2或3或-3,产生了增根,所以sin(2a+中)_-春是由增根tan a_-2或-1产生的多余的解.4教学反思4.1教师研究教材,深度挖掘教材习题中的思想方法与三角恒等变化有关的计算问题是历年来江苏高考数学考查的重点,今年的第13题,属于中档题,但是研究本题的5种解法可以发现,好的解法(解法2,解法4)来源于教材习题的解法与章节补充内容,容易想到的解法(解法1)考查学生对公式运用的熟练程度与代数变形能力.所以对于整个高三的数学复习教学,还是要以教材为主,对于一些重要例习题,使用一题多解、一题多变的方式进行串讲,培养求异思维,促进能力形成,强化重点题型、重要方法的理解与领悟,起到触类旁通的作用.最后,对一些解法相同或相近题型,采用多题一解的收敛方式串讲,侧重对通性通法进行归纳总结,真正达到举一反三、事半功倍的教学效果.4.2要让学生重视教材,力求做到真正的师生一起“回归教材”根据笔者近几年的高三教学经验发现,目前高三数学复习往往有个误区,教师很重视教材,学生倒不是很重视,而是沉溺于各种题海无法自拔,注重解题技巧而忽略了对教材上本源题型的研究,对数学学习急功近利,实则高考的试题就是来源于教材习题的改编,教材的编写也汇集了无数数学人的智慧,上面的例题,习题,蕴含着朴实无华的数学思想方法和最本源的数学解题技巧.所以在平时的教学中,要在学生面前强调教材对高三数学复习的重要性,重做教材上的经典题目,领悟其中的数学思想方法与解题技巧,使教材习题与课外习题产生“共鸣,,.参考文献[1]渠东剑.素养视角下的2019年高考数学江苏卷分析[J].中学数学教学参考,2019(9):56-60(本文系镇江市“十三五”教育规划课题《镇江市高中数学老师数学素养的现状与调查》(课题编号:2017jy-128)阶段性研究成果之一)导数中隐零点问题的处理策略朱广智广东省东莞市第六高级中学(523420)在高考数学导数压轴题中,导函数的零点在解题过程中处于“咽喉”位置至关重要.研读近几年高考题,我们发现经常会碰到导函数具有零点但求解相对繁琐甚至无法求解的问题•此类问题我们称之为“隐零点问题”.面对这种问题,我们不必正面强求,可以将这个零点设而不求,然后谋求一种整体的转化和过渡,再结合其他条件,从而获得问题的解决方法.本文结合2018年高考导数压轴题,探究了这类问题的一般处理策略,并且把这种策略应用于往年高考题进行了有效验证.在本文最后对此类问题指出了相应的备考策略.1问题探究案例1(2018年高考全国皿卷•文21)已知函数f(x)_处节1•证明:当a>1时,f(x)+e>e x0.师生互动要证f(x)+e>0,即证ax2+x-1+ e x+1>0.设g(x)_ax2+x-1+e x+1(a>1),只要证[g(x)]mm>0即可.令g'(x)_2ax+1+e x+1_0,g'(x) _ 2ax+1+e x+1_0是一个超越方程,导函数g'(x)_ 2ax+e x+1的零点不可求,是一个隐零点.怎么处理导函数的零点不可求问题?处理此类隐零点问。
2019年数学高考试卷(含答案)一、选择题1.定义运算()()a ab a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩,则函数()12xf x =⊕的图象是( ). A . B .C .D .2.某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 A .13B .12C .23D .343.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入,a b 分别为14,18,则输出的a =( )A .0B .2C .4D .144.已知非零向量a b ,满足2a b =,且b a b ⊥(–),则a 与b 的夹角为A .π6B .π3C .2π3D .5π65.函数32()31f x x x =-+的单调减区间为 A .(2,)+∞B .(,2)-∞C .(,0)-∞D .(0,2)6.ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、,若2B A =,1a =,3b =,则c =( )A .23B .2C .2D .17.已知π,4αβ+=则(1tan )(1tan )αβ++的值是( ) A .-1B .1C .2D .48.已知函数()3sin 2cos 2[0,]2f x x x m π=+-在上有两个零点,则m 的取值范围是A .(1,2)B .[1,2)C .(1,2]D .[l,2]9.某校现有高一学生210人,高二学生270人,高三学生300人,用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查,如果已知从高一学生中抽取的人数为7,那么从高三学生中抽取的人数为( ) A .7 B .8C .9D .1010.设集合,,则=( )A .B .C .D .11.设0<a <1,则随机变量X 的分布列是Xa 1 P13 1313则当a 在(0,1)内增大时( ) A .()D X 增大 B .()D X 减小 C .()D X 先增大后减小D .()D X 先减小后增大12.将函数()sin 2y x ϕ=+的图象沿轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为( ) A .B .C .0D .4π-二、填空题13.在区间[﹣2,4]上随机地取一个数x ,若x 满足|x|≤m 的概率为,则m= _________ .14.设25a b m ==,且112a b+=,则m =______. 15.曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为______________. 16.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,4c =,42sin a A =,且C 为锐角,则ABC ∆面积的最大值为________.17.已知sin cos 1αβ+=,cos sin 0αβ+=,则()sin αβ+__________.18.幂函数y=x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=x α,y=x β的图像三等分,即有BM=MN=NA ,那么,αβ等于_____.19.若45100a b ==,则122()a b+=_____________.20.已知双曲线1C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ,第一象限内的点00(,)M x y 在双曲线1C 的渐近线上,且12MF MF ⊥,若以2F 为焦点的抛物线2C :22(0)y px p =>经过点M ,则双曲线1C 的离心率为_______.三、解答题21.如图,四面体ABCD 中,O 、E 分别是BD 、BC 的中点,2AB AD ==,2CA CB CD BD ====.(1)求证:AO ⊥平面BCD ;(2)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值; (3)求点E 到平面ACD 的距离.22.在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边a ,b ,c ,且a c >,已知2BA BC ⋅=,1cos 3B =,3b =,求:(1)a 和c 的值;(2)cos()B C -的值.23.在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,(t 为参数),以坐标原点O为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ++=.(1)求C 和l 的直角坐标方程; (2)求C 上的点到l 距离的最小值.24.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为)(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若动点()00,P x y 为椭圆外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.25.已知等差数列{}n a 满足:12a =,且1a ,2a ,5a 成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)记n S 为数列{}n a 的前n 项和,是否存在正整数n ,使得60800n S n >+ ?若存在,求n 的最小值;若不存在,说明理由.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【解析】 【分析】 【详解】由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值,因此函数()1,0122,0xx x f x x >⎧=⊕=⎨≤⎩,只有选项A 中的图象符合要求,故选A.2.B解析:B 【解析】试题分析:由题意,这是几何概型问题,班车每30分钟发出一辆,到达发车站的时间总长度为40,等车不超过10分钟的时间长度为20,故所求概率为201402=,选B. 【考点】几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等.3.B解析:B 【解析】 【分析】 【详解】由a=14,b=18,a <b , 则b 变为18﹣14=4, 由a >b ,则a 变为14﹣4=10, 由a >b ,则a 变为10﹣4=6, 由a >b ,则a 变为6﹣4=2, 由a <b ,则b 变为4﹣2=2, 由a=b=2, 则输出的a=2. 故选B .4.B解析:B 【解析】 【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题,渗透了转化与化归、数学计算等数学素养.先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系,再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角. 【详解】因为()a b b -⊥,所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0,所以2a b b ⋅=,所以cos θ=22||122||a bb b a b ⋅==⋅,所以a 与b 的夹角为3π,故选B . 【点睛】对向量夹角的计算,先计算出向量的数量积及各个向量的摸,在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值,再求出夹角,注意向量夹角范围为[0,]π.5.D解析:D 【解析】对函数求导,让函数的导函数小于零,解不等式,即可得到原函数的单调减区间. 【详解】32'2()31()363(2)002f x x x f x x x x x x -=-<⇒=+∴=<-<,所以函数的单调减区间为(0,2),故本题选D. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调减区间问题,正确求出导函数是解题的关键.6.B解析:B 【解析】1sin A ===cos A =,所以22212c c =+-2320,c c -+=求得1c =或 2.c若1c =,则三角形为等腰三角形,030,60A C B ===不满足内角和定理,排除. 【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用,考查运算能力和分类讨论思想.当求出cos 2A =后,要及时判断出0030,60A B ==,便于三角形的初步定型,也为排除1c =提供了依据.如果选择支中同时给出了1或2,会增大出错率.7.C解析:C 【解析】 【分析】 由4παβ+=,得到1tanαβ+=(),利用两角和的正切函数公式化简1tan αβ+=(),即可得到所求式子的值. 【详解】 由由4παβ+=,得到1tanαβ+=(), 所以11tan tan tantan tan αβαβαβ++==-() ,即1tan tan tan tan αβαβ+=-,则1112tan tan tan tan tan tan αβαβαβ++=+++=()() . 故选C . 【点睛】本题考查学生灵活运用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简求值,是一道基础题.8.B解析:B【分析】【详解】试题分析:利用辅助角公式化简函数为=+-,令,则,所以此f x x x m()3sin2cos2时函数即为.令有,根据题意可知在上有两个解,根据在函数图像可知,.考点:辅助角公式;;零点的判断;函数图像.9.D解析:D【解析】=所以从高二年级应抽取9人,从高三年级应抽试题分析:因为210:270:3007:9:10,取10人.考点:本小题主要考查分层抽样的应用.点评:应用分层抽样,关键是搞清楚比例关系,然后按比例抽取即可.10.B解析:B【解析】试题分析:集合,故选B.考点:集合的交集运算.11.D解析:D【解析】【分析】利用方差公式结合二次函数的单调性可得结论;解:1111()013333a E X a +=⨯+⨯+⨯=,222111111()()()(1)333333a a a D X a +++=⨯+-⨯+-⨯ 2222212211[(1)(21)(2)](1)()279926a a a a a a =++-+-=-+=-+ 01a <<,()D X ∴先减小后增大 故选:D . 【点睛】本题考查方差的求法,利用二次函数是关键,考查推理能力与计算能力,属于中档题.12.B解析:B 【解析】得到的偶函数解析式为sin 2sin 284y x x ππϕϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦,显然.4πϕ= 【考点定位】本题考查三角函数的图象和性质,要注意三角函数两种变换的区别,sin 24x πϕ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦选择合适的ϕ值通过诱导公式把sin 24x πϕ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦转化为余弦函数是考查的最终目的. 二、填空题13.3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣24上随机地取一个数x 若x 满足|x|≤m 的概率为若m 对于3概率大于若m 小于3概率小于所以m=3故答案为3解析:3 【解析】 【分析】 【详解】如图区间长度是6,区间[﹣2,4]上随机地取一个数x ,若x 满足|x|≤m 的概率为,若m 对于3概率大于,若m 小于3,概率小于,所以m=3. 故答案为3.14.【解析】【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为:【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力 10【分析】变换得到2log a m =,5log b m =,代入化简得到11log 102m a b+==,得到答案. 【详解】25a b m ==,则2log a m =,5log b m =,故11log 2log 5log 102,m m m m a b+=+==∴=【点睛】本题考查了指数对数变换,换底公式,意在考查学生的计算能力.15.【解析】设则所以所以曲线在点处的切线方程为即点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一用导数求切线方程的关键在于求出斜率其求法为:设是曲线上的一点则以为切点的切线方程是若曲线在点处的切线平行于轴(即 解析:1y x =+【解析】设()y f x =,则21()2f x x x '=-,所以(1)211f '=-=, 所以曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-,即1y x =+. 点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键在于求出斜率,其求法为:设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点,则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-.若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为0x x =.16.【解析】【分析】由利用正弦定理求得再由余弦定理可得利用基本不等式可得从而利用三角形面积公式可得结果【详解】因为又所以又为锐角可得因为所以当且仅当时等号成立即即当时面积的最大值为故答案为【点睛】本题主解析:4+【解析】 【分析】由4c =,a A =,利用正弦定理求得4C π=.,再由余弦定理可得2216a b =+,利用基本不等式可得(82ab ≤=+,从而利用三角形面积公式可得结果. 【详解】因为4c =,又42sin sin c a C A==, 所以2sin 2C =,又C 为锐角,可得4C π=.因为()2222162cos 222a b ab C a b ab ab =+-=+-≥-, 所以()1682222ab ≤=+-, 当且仅当()822a b ==+时等号成立, 即12sin 44224ABC S ab C ab ∆==≤+, 即当()822a b ==+时,ABC ∆面积的最大值为442+. 故答案为442+. 【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理以及基本不等式的应用,属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式:(1)2222cos a b c bc A =+-;(2)222cos 2b c a A bc+-=,同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时,还需要记住30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用.17.【解析】【详解】因为所以①因为所以②①②得即解得故本题正确答案为解析:12- 【解析】 【详解】 因为,所以,①因为,所以,②①②得,即, 解得, 故本题正确答案为18.【解析】【分析】由条件得MN 则结合对数的运算法则可得αβ=1【详解】由条件得MN 可得即α=loβ=lo 所以αβ=lo·lo=1【点睛】本题主要考查幂函数的性质对数的运算法则及其应用等知识意在考查学生解析:【解析】 【分析】由条件,得M 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,N 21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,则1221,3333αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,结合对数的运算法则可得αβ=1.【详解】 由条件,得M 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,N 21,33⎛⎫⎪⎝⎭, 可得1221,3333αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即α=lo 2313g ,β=lo 1323g . 所以αβ=lo 2313g ·lo 1312233·21333lglg g lg lg ==1. 【点睛】本题主要考查幂函数的性质,对数的运算法则及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.【解析】【分析】根据所给的指数式化为对数式根据对数的换地公式写出倒数的值再根据对数式的性质得到结果【详解】则故答案为【点睛】本题是一道有关代数式求值的问题解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质属于基 解析:2【解析】 【分析】根据所给的指数式,化为对数式,根据对数的换地公式写出倒数的值,再根据对数式的性质,得到结果. 【详解】45100a b ==,4log 100a ∴=,5log 100b =,10010010012log 42log 5log 1001a b∴+=+==, 则1222a b ⎛⎫+=⎪⎝⎭故答案为2 【点睛】本题是一道有关代数式求值的问题,解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质,属于基础题.20.【解析】【分析】由题意可得又由可得联立得又由为焦点的抛物线:经过点化简得根据离心率可得即可求解【详解】由题意双曲线的渐近线方程为焦点为可得①又可得即为②由联立①②可得由为焦点的抛物线:经过点可得且即解析:2+【解析】 【分析】 由题意可得00by x a=,又由12MF MF ⊥,可得22200y x c +=,联立得0x a =,0y b =,又由F 为焦点的抛物线2C :22(0)y px p =>经过点M ,化简得224ac 0c a --=,根据离心率ce a=,可得2410e e --=,即可求解. 【详解】由题意,双曲线的渐近线方程为by x a=±,焦点为()1,0F c -,()2,0F c , 可得00by x a=,① 又12MF MF ⊥,可得00001y yx c x c⋅=-+-, 即为22200y x c +=,②由222a b c +=,联立①②可得0x a =,0y b =,由F 为焦点的抛物线2C :22(0)y px p =>经过点M , 可得22b pa =,且2pc =,即有2224b ac c a ==-,即224ac 0c a --=由ce a =,可得2410e e --=,解得2e =+【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解,其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键.求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出a ,c 的值,代入公式ce a=;②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式,转化为,a c 的齐次式,然后转化为关于e 的方程(不等式),解方程(不等式),即可得e (e 的取值范围).三、解答题21.(1)见解析(2(3【解析】 【分析】(1)连接OC ,由BO =DO ,AB =AD ,知AO ⊥BD ,由BO =DO ,BC =CD ,知CO ⊥BD .在△AOC 中,由题设知AO 1CO ==,AC =2,故AO 2+CO 2=AC 2,由此能够证明AO ⊥平面BCD ;(2)取AC 的中点M ,连接OM 、ME 、OE ,由E 为BC 的中点,知ME ∥AB ,OE ∥DC ,故直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角.在△OME中,11EM AB OE DC 122====,由此能求出异面直线AB 与CD 所成角大小的余弦;(3)设点E 到平面ACD 的距离为h .在△ACD中,CA CD 2AD ===,ACD1S2==,由AO =1,知2CDE1S 22==,由此能求出点E 到平面ACD 的距离. 【详解】(1)证明:连接OC ,∵BO =DO ,AB =AD ,∴AO ⊥BD , ∵BO =DO ,BC =CD ,∴CO ⊥BD .在△AOC中,由题设知1AO CO ==,AC =2, ∴AO 2+CO 2=AC 2,∴∠AOC =90°,即AO ⊥OC . ∵AO ⊥BD ,BD ∩OC =O , ∴AO ⊥平面BCD .(2)解:取AC 的中点M ,连接OM 、ME 、OE ,由E 为BC 的中点, 知ME ∥AB ,OE ∥DC ,∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角. 在△OME中,111222EM AB OE DC ====, ∵OM 是直角△AOC 斜边AC 上的中线,∴112OM AC ==,∴1114cos OEM +-∠==, ∴异面直线AB 与CD所成角大小的余弦为4(3)解:设点E 到平面ACD 的距离为h .E ACD A CDE V V --=,1133ACDCDEh S AO S ∴=...,在△ACD 中,2CA CD AD ===,,∴212724222ACDS⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭, ∵AO =1,21332242CDES =⨯⨯=, ∴31212772CDE ACDAO S h S ⨯⋅===,∴点E 到平面ACD 的距离为217.【点睛】本题考查点、线、面间的距离的计算,考查空间想象力和等价转化能力,解题时要认真审题,仔细解答,注意化立体几何问题为平面几何问题. 22.(1)3,2a c ==;(2)2327【解析】试题分析:(1)由2BA BC ⋅=和1cos 3B =,得ac=6.由余弦定理,得2213a c +=. 解,即可求出a ,c ;(2) 在ABC ∆中,利用同角基本关系得22sin .3B =由正弦定理,得42sin sin 9c C B b ==,又因为a b c =>,所以C 为锐角,因此27cos 1sin 9C C =-=,利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+,即可求出结果. (1)由2BA BC ⋅=得,,又1cos 3B =,所以ac=6. 由余弦定理,得2222cos a c b ac B +=+. 又b=3,所以2292213a c +=+⨯=.解,得a=2,c=3或a=3,c=2.因为a>c,∴ a=3,c=2.(2)在ABC ∆中,2212sin 1cos 1()33B B =-=-= 由正弦定理,得22242sin sin 339c C B b ==⋅=,又因为a b c =>,所以C 为锐角,因此22427cos 1sin 1()99C C =-=-=.于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=1724223393927⋅+⋅=. 考点:1.解三角形;2.三角恒等变换.23.(1)22:1,(1,1]4y C x x +=∈-;:23110l x y ++=;(27【解析】 【分析】(1)利用代入消元法,可求得C 的直角坐标方程;根据极坐标与直角坐标互化原则可得l 的直角坐标方程;(2)利用参数方程表示出C 上点的坐标,根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式,从而根据三角函数的范围可求得最值. 【详解】(1)由2211t x t -=+得:210,(1,1]1x t x x -=≥∈-+,又()2222161t y t =+ ()()222116141144111xx y x x x x x -⨯+∴==+-=--⎛⎫+ ⎪+⎝⎭整理可得C 的直角坐标方程为:221,(1,1]4y x x +=∈-又cos x ρθ=,sin y ρθ=l ∴的直角坐标方程为:23110x ++=(2)设C 上点的坐标为:()cos ,2sin θθ则C 上的点到直线l 的距离4sin 112cos 23sin 11677d πθθθ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭==当sin 16πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时,d 取最小值则min 7d = 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点,将问题转化为三角函数的最值求解问题.24.(1)22194x y +=;(2)22013x y +=. 【解析】 【分析】 【详解】试题分析:(1)利用题中条件求出c 的值,然后根据离心率求出a 的值,最后根据a 、b 、c 三者的关系求出b 的值,从而确定椭圆C 的标准方程;(2)分两种情况进行计算:第一种是在从点P 所引的两条切线的斜率都存在的前提下,设两条切线的斜率分别为1k 、2k ,并由两条切线的垂直关系得到121k k =-,并设从点()00,P x y 所引的直线方程为()00y k x x y =-+,将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x 的一元二次方程,利用0∆=得到有关k 的一元二次方程,最后利用121k k =-以及韦达定理得到点P 的轨迹方程;第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点P 的坐标,并验证点P 是否在第一种情况下所得到的轨迹上,从而得到点P 的轨迹方程. (1)由题意知5533a a =⇒=,且有2235b -=2b =,因此椭圆C 的标准方程为22194x y +=;(2)①设从点P 所引的直线的方程为()00y y k x x -=-,即()00y kx y kx =+-, 当从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率都存在时,分别设为1k 、2k ,则121k k =-, 将直线()00y kx y kx =+-的方程代入椭圆C 的方程并化简得()()()222000094189360kx k y kx x y kx ++-+--=,()()()2220000184949360k y kx k y kx ⎡⎤⎡⎤∆=--⨯+--=⎣⎦⎣⎦, 化简得()2200940y kx k ---=,即()()2220009240x k kx y y --+-=,则1k 、2k 是关于k 的一元二次方程()()2220009240x k kx y y --+-=的两根,则201220419y k k x -==--,化简得220013x y +=;②当从点P 所引的两条切线均与坐标轴垂直,则P 的坐标为()3,2±±,此时点P 也在圆2213x y +=上.综上所述,点P 的轨迹方程为2213x y +=.考点:本题以椭圆为载体,考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程,将直线与二次曲线的公共点的个数利用∆的符号来进行转化,计算量较大,从中也涉及了方程思想的灵活应用.25.(1) 通项公式为2n a = 或42n a n =-;(2) 当2n a = 时,不存在满足题意的正整数n ;当42n a n =- 时,存在满足题意的正整数n ,其最小值为41.【解析】 【详解】(1)依题意,2,2,24d d ++成等比数列, 故有()()22224d d +=+, ∴240d d -=,解得4d =或0d =. ∴()21442n a n n =+-⋅=-或2n a =.(2)当2n a = 时,不存在满足题意的正整数n ; 当42n a n =-,∴()224222n n n S n ⎡⎤+-⎣⎦==.令2260800n n >+,即2304000n n -->, 解得40n >或10n <-(舍去), ∴最小正整数41n =.。
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.(5分)已知集合A={﹣1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},则A∩B=.2.(5分)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是.3.(5分)如图是一个算法流程图,则输出的S的值是.4.(5分)函数y=的定义域是.5.(5分)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是.6.(5分)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.7.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2﹣=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是.8.(5分)已知数列{a n}(n∈N*)是等差数列,S n是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.9.(5分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E﹣BCD 的体积是.10.(5分)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.11.(5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(﹣e,﹣1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是.12.(5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若•=6•,则的值是.13.(5分)已知=﹣,则sin(2α+)的值是.14.(5分)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f(x)=,g(x)=其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若a=3c,b=,cos B=,求c的值;(2)若=,求sin(B+)的值.16.(14分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.求证:(1)A1B1∥平面DEC1;(2)BE⊥C1E.17.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的焦点为F1(﹣1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,1与圆F2:(x﹣1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B,连结BF2交椭圆C于点E,连结DF1.已知DF1=.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.18.(16分)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于...圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P、Q两点间的距离.19.(16分)设函数f(x)=(x﹣a)(x﹣b)(x﹣c),a,b,c∈R,f′(x)为f(x)的导函数.(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;(2)若a≠b,b=c,且f(x)和f′(x)的零点均在集合{﹣3,1,3}中,求f(x)的极小值;(3)若a=0,0<b≤1,c=1,且f(x)的极大值为M,求证:M≤.20.(16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”.(1)已知等比数列{a n}(n∈N*)满足:a2a4=a5,a3﹣4a2+4a1=0,求证:数列{a n}为“M ﹣数列”;(2)已知数列{b n}(n∈N*)满足:b1=1,=﹣,其中S n为数列{b n}的前n 项和.①求数列{b n}的通项公式;②设m为正整数,若存在“M﹣数列”{c n}(n∈N*),对任意正整数k,当k≤m时,都有c k≤b k≤c k+1成立,求m的最大值.【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)21.(10分)已知矩阵A=.(1)求A2;(2)求矩阵A的特征值.B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)22.(10分)在极坐标系中,已知两点A(3,),B(,),直线1的方程为ρsin (θ+)=3.(1)求A,B两点间的距离;(2)求点B到直线l的距离.C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分0分)23.设x∈R,解不等式|x|+|2x﹣1|>2.【必做题】第24题、第25题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.(10分)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n,n≥4,n∈N*.已知a32=2a2a4.(1)求n的值;(2)设(1+)n=a+b,其中a,b∈N*,求a2﹣3b2的值.25.(10分)在平面直角坐标系xOy中,设点集A n={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)},B n={(0,1),(n,1)},∁n={(0,2),(1,2),(2,2),……,(n,2)},n∈N*.令M n=A n∪B n ∪∁n.从集合M n中任取两个不同的点,用随机变量X表示它们之间的距离.(1)当n=1时,求X的概率分布;(2)对给定的正整数n(n≥3),求概率P(X≤n)(用n表示).2019年江苏省高考数学答案解析一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.【分析】直接利用交集运算得答案.【解答】解:∵A={﹣1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},∴A∩B={﹣1,0,1,6}∩{x|x>0,x∈R}={1,6}.故答案为:{1,6}.【点评】本题考查交集及其运算,是基础题.2.【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为0求的a值.【解答】解:∵(a+2i)(1+i)=(a﹣2)+(a+2)i的实部为0,∴a﹣2=0,即a=2.故答案为:2.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.3.【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.【解答】解:模拟程序的运行,可得x=1,S=0S=0.5不满足条件x≥4,执行循环体,x=2,S=1.5不满足条件x≥4,执行循环体,x=3,S=3不满足条件x≥4,执行循环体,x=4,S=5此时,满足条件x≥4,退出循环,输出S的值为5.故答案为:5.【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题.4.【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案.【解答】解:由7+6x﹣x2≥0,得x2﹣6x﹣7≤0,解得:﹣1≤x≤7.∴函数y=的定义域是[﹣1,7].故答案为:[﹣1,7].【点评】本题考查函数的定义域及其求法,考查一元二次不等式的解法,是基础题.5.【分析】先求出一组数据6,7,8,8,9,10的平均数,由此能求出该组数据的方差.【解答】解:一组数据6,7,8,8,9,10的平均数为:=(6+7+8+8+9+10)=8,∴该组数据的方差为:S2=[(6﹣8)2+(7﹣8)2+(8﹣8)2+(8﹣8)2+(9﹣8)2+(10﹣8)2]=.故答案为:.【点评】本题考查一组数据的方差的求法,考查平均数、方差等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.6.【分析】基本事件总数n==10,选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数m=+=7,由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率.【解答】解:从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,基本事件总数n==10,选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数:m=+=7,∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p=.故答案为:.【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题.7.【分析】把已知点的坐标代入双曲线方程,求得b,则双曲线的渐近线方程可求.【解答】解:∵双曲线x2﹣=1(b>0)经过点(3,4),∴,解得b2=2,即b=.又a=1,∴该双曲线的渐近线方程是y=.故答案为:y=.【点评】本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的简单性质,是基础题.8.【分析】设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,由已知列关于首项与公差的方程组,求解首项与公差,再由等差数列的前n项和求得S8的值.【解答】解:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,则,解得.∴=6×(﹣5)+15×2=16.故答案为:16.【点评】本题考查等差数列的通项公式,考查等差数列的前n项和,是基础题.9.【分析】推导出=AB×BC×DD1=120,三棱锥E﹣BCD的体积:V E﹣BCD===×AB×BC×DD1,由此能求出结果.【解答】解:∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,∴=AB×BC×DD1=120,∴三棱锥E﹣BCD的体积:V E﹣BCD===×AB×BC×DD1=10.故答案为:10.【点评】本题考查三棱锥的体积的求法,考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.10.【分析】利用导数求平行于x+y=0的直线与曲线y=x+(x>0)的切点,再由点到直线的距离公式求点P到直线x+y=0的距离的最小值.【解答】解:由y=x+(x>0),得y′=1﹣,设斜率为﹣1的直线与曲线y=x+(x>0)切于(x0,),由,解得(x0>0).∴曲线y=x+(x>0)上,点P()到直线x+y=0的距离最小,最小值为.故答案为:4.【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查点到直线距离公式的应用,是中档题.11.【分析】设A(x0,lnx0),利用导数求得曲线在A处的切线方程,代入已知点的坐标求解x0即可.【解答】解:设A(x0,lnx0),由y=lnx,得y′=,∴,则该曲线在点A处的切线方程为y﹣lnx0=,∵切线经过点(﹣e,﹣1),∴,即,则x0=e.∴A点坐标为(e,1).故答案为:(e,1).【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,区分过点处与在点处的不同,是中档题.12.【分析】首先算出=,然后用、表示出、,结合•=6•得=,进一步可得结果.【解答】解:设=λ=(),=+=+μ=+μ()=(1﹣μ)+μ=+μ∴,∴,∴==(),==﹣+,6•=6×()×(﹣+)=(++)=++,∵•=++,∴=,∴=3,∴=.故答案为:【点评】本题考查向量的数量积的应用,考查向量的表示以及计算,考查计算能力.13.【分析】由已知求得tanα,分类利用万能公式求得sin2α,cos2α的值,展开两角和的正弦求sin(2α+)的值.【解答】解:由=﹣,得,∴,解得tanα=2或tan.当tanα=2时,sin2α=,cos2α=,∴sin(2α+)==;当tanα=时,sin2α==,cos2α=,∴sin(2α+)==.综上,sin(2α+)的值是.故答案为:.【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值,考查两角和的三角函数及万能公式的应用,是基础题.14.【分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象,数形结合得答案.【解答】解:作出函数f(x)与g(x)的图象如图,由图可知,函数f(x)与g(x)=﹣(1<x≤2,3<x≤4,5<x≤6,7<x≤8)仅有2个实数根;要使关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则f(x)=,x∈(0,2]与g(x)=k(x+2),x∈(0,1]的图象有2个不同交点,由(1,0)到直线kx﹣y+2k=0的距离为1,得,解得k=(k>0),∵两点(﹣2,0),(1,1)连线的斜率k=,∴≤k<.即k的取值范围为[,).故答案为:[,).【点评】本题考查函数零点的判定,考查分段函数的应用,体现了数形结合的解题思想方法,是中档题.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【分析】(1)由余弦定理得:cos B===,由此能求出c的值.(2)由=,利用正弦定理得2sin B=cos B,再由sin2B+cos2B=1,能求出sin B =,cos B=,由此利用诱导公式能求出sin(B+)的值.【解答】解:(1)∵在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.a=3c,b=,cos B=,∴由余弦定理得:cos B===,解得c=.(2)∵=,∴由正弦定理得:,∴2sin B=cos B,∵sin2B+cos2B=1,∴sin B=,cos B=,∴sin(B+)=cos B=.【点评】本题考查三角形边长、三角函数值的求法,考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识,考查推理能力与计算能力,属于中档题.16.【分析】(1)推导出DE∥AB,AB∥A1B1,从而DE∥A1B1,由此能证明A1B1∥平面DEC1.(2)推导出BE⊥AA1,BE⊥AC,从而BE⊥平面ACC1A1,由此能证明BE⊥C1E.【解答】证明:(1)∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,∴DE∥AB,AB∥A1B1,∴DE∥A1B1,∵DE⊂平面DEC1,A1B1⊄平面DEC1,∴A1B1∥平面DEC1.解:(2)∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E是AC的中点,AB=BC.∴BE⊥AA1,BE⊥AC,又AA1∩AC=A,∴BE⊥平面ACC1A1,∵C1E⊂平面ACC1A1,∴BE⊥C1E.【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.17.【分析】(1)由题意得到F1D∥BF2,然后求AD,再由AD=DF1=求得a,则椭圆方程可求;(2)求出D的坐标,得到=,写出BF2的方程,与椭圆方程联立即可求得点E的坐标.【解答】解:(1)如图,∵F2A=F2B,∴∠F2AB=∠F2BA,∵F2A=2a=F2D+DA=F2D+F1D,∴AD=F1D,则∠DAF1=∠DF1A,∴∠DF1A=∠F2BA,则F1D∥BF2,∵c=1,∴b2=a2﹣1,则椭圆方程为,取x=1,得,则AD=2a﹣=.又DF1=,∴,解得a=2(a>0).∴椭圆C的标准方程为;(2)由(1)知,D(1,),F1(﹣1,0),∴=,则BF2:y=,联立,得21x2﹣18x﹣39=0.解得x1=﹣1或(舍).∴.即点E的坐标为(﹣1,﹣).【点评】本题考查直线与圆,圆与椭圆位置关系的应用,考查计算能力,证明DF1∥BF2是解答该题的关键,是中档题.18.【分析】(1)设BD与圆O交于M,连接AM,以C为坐标原点,l为x轴,建立直角坐标系,则A(0,﹣6),B(﹣8,﹣12),D(﹣8,0)设点P(x1,0),PB⊥AB,运用两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,求得P的坐标,可得所求值;(2)当QA⊥AB时,QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径,设此时Q(x2,0),运用两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,求得Q的坐标,即可得到结论;(3)设P(a,0),Q(b,0),则a≤﹣17,b≥﹣,结合条件,可得b的最小值,由两点的距离公式,计算可得PQ.【解答】解:设BD与圆O交于M,连接AM,AB为圆O的直径,可得AM⊥BM,即有DM=AC=6,BM=6,AM=8,以C为坐标原点,l为x轴,建立直角坐标系,则A(0,﹣6),B(﹣8,﹣12),D(﹣8,0)(1)设点P(x1,0),PB⊥AB,则k BP•k AB=﹣1,即•=﹣1,解得x1=﹣17,所以P(﹣17,0),PB==15;(2)当QA⊥AB时,QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径,设此时Q(x2,0),则k QA•k AB=﹣1,即•=﹣1,解得x2=﹣,Q(﹣,0),由﹣17<﹣8<﹣,在此范围内,不能满足PB,QA上所有点到O的距离不小于圆的半径,所以P,Q中不能有点选在D点;(3)设P(a,0),Q(b,0),则a≤﹣17,b≥﹣,PB2=(a+8)2+144≥225,QA2=b2+36≥225,则b≥3,当d最小时,PQ=17+3.【点评】本题考查直线和圆的位置关系,考查直线的斜率和两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,以及两点的距离公式,分析问题和解决问题的能力,考查运算能力,属于中档题.19.【分析】(1)由a=b=c,可得f(x)=(x﹣a)3,根据f(4)=8,可得(4﹣a)3=8,解得a.(2)a≠b,b=c,设f(x)=(x﹣a)(x﹣b)2.令f(x)=(x﹣a)(x﹣b)2=0,解得x=a,或x=b.f′(x)=(x﹣b)(3x﹣b﹣2a).令f′(x)=0,解得x=b,或x=.根据f(x)和f′(x)的零点均在集合A={﹣3,1,3}中,通过分类讨论可得:只有a=3,b=﹣3,可得==1∈A,可得:f(x)=(x﹣3)(x+3)2.利用导数研究其单调性可得x=1时,函数f(x)取得极小值.(3)a=0,0<b≤1,c=1,f(x)=x(x﹣b)(x﹣1).f′(x)=3x2﹣(2b+2)x+b.△>0.令f′(x)=3x2﹣(2b+2)x+b=0.解得:x1=∈,x2=.x1<x2,可得x=x1时,f(x)取得极大值为M,通过计算化简即可证明结论.【解答】解:(1)∵a=b=c,∴f(x)=(x﹣a)3,∵f(4)=8,∴(4﹣a)3=8,∴4﹣a=2,解得a=2.(2)a≠b,b=c,设f(x)=(x﹣a)(x﹣b)2.令f(x)=(x﹣a)(x﹣b)2=0,解得x=a,或x=b.f′(x)=(x﹣b)2+2(x﹣a)(x﹣b)=(x﹣b)(3x﹣b﹣2a).令f′(x)=0,解得x=b,或x=.∵f(x)和f′(x)的零点均在集合A={﹣3,1,3}中,若:a=﹣3,b=1,则==﹣∉A,舍去.a=1,b=﹣3,则==﹣∉A,舍去.a=﹣3,b=3,则==﹣1∉A,舍去..a=3,b=1,则==∉A,舍去.a=1,b=3,则=∉A,舍去.a=3,b=﹣3,则==1∈A,.因此a=3,b=﹣3,=1∈A,可得:f(x)=(x﹣3)(x+3)2.f′(x)=3[x﹣(﹣3)](x﹣1).可得x=1时,函数f(x)取得极小值,f(1)=﹣2×42=﹣32.(3)证明:a=0,0<b≤1,c=1,f(x)=x(x﹣b)(x﹣1).f′(x)=(x﹣b)(x﹣1)+x(x﹣1)+x(x﹣b)=3x2﹣(2b+2)x+b.△=4(b+1)2﹣12b=4b2﹣4b+4=4+3≥3.令f′(x)=3x2﹣(2b+2)x+b=0.解得:x1=∈,x2=.x1<x2,x1+x2=,x1x2=,可得x=x1时,f(x)取得极大值为M,∵f′(x1)=﹣(2b+2)x1+b=0,可得:=[(2b+2)x1﹣b],M=f(x1)=x1(x1﹣b)(x1﹣1)=(x1﹣b)(﹣x1)=(x1﹣b)(﹣x1)=[(2b﹣1)﹣2b2x1+b2] ==,∵﹣2b2+2b﹣2=﹣2﹣<0,∴M在x1∈(0,]上单调递减,∴M≤=≤.∴M≤.【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.20.【分析】(1)设等比数列{a n}的公比为q,然后根据a2a4=a5,a3﹣4a2+4a1=0列方程求解,在根据新定义判断即可;(2)求出b2,b3,b4猜想b n,然后用数学归纳法证明;(3)设{c n}的公比为q,将问题转化为,然后构造函数f(x)=,g(x)=,分别求解其最大值和最小值,最后解不等式,即可.【解答】解:(1)设等比数列{a n}的公比为q,则由a2a4=a5,a3﹣4a2+4a1=0,得∴,∴数列{a n}首项为1且公比为正数即数列{a n}为“M﹣数列”;(2)①∵b1=1,=﹣,∴当n=1时,,∴b2=2,当n=2时,,∴b3=3,当n=3时,,∴b4=4,猜想b n=n,下面用数学归纳法证明;(i)当n=1时,b1=1,满足b n=n,(ii)假设n=k时,结论成立,即b k=k,则n=k+1时,由,得==k+1,故n=k+1时结论成立,根据(i)(ii)可知,b n=n对任意的n∈N*都成立.故数列{b n}的通项公式为b n=n;②设{c n}的公比为q,存在“M﹣数列”{c n}(n∈N*),对任意正整数k,当k≤m时,都有c k≤b k≤c k+1成立,即q k﹣1≤k≤k对k≤m恒成立,当k=1时,q≥1,当k=2时,,当k≥3,两边取对数可得,对k≤m有解,即,令f(x)=,则,当x≥3时,f'(x)<0,此时f(x)递增,∴当k≥3时,,令g(x)=,则,令,则,当x≥3时,ϕ'(x)<0,即g'(x)<0,∴g(x)在[3,+∞)上单调递减,即k≥3时,,则,下面求解不等式,化简,得3lnm﹣(m﹣1)ln3≤0,令h(m)=3lnm﹣(m﹣1)ln3,则h'(m)=﹣ln3,由k≥3得m≥3,h'(m)<0,∴h(m)在[3,+∞)上单调递减,又由于h(5)=3ln5﹣4ln3=ln125﹣ln81>0,h(6)=3ln6﹣5ln3=ln216﹣ln243<0,∴存在m0∈(5,6)使得h(m0)=0,∴m的最大值为5,此时q∈,.【点评】本题考查了由递推公式求等比数列的通项公式和不等式恒成立,考查了数学归纳法和构造法,是数列、函数和不等式的综合性问题,属难题.【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)21.【分析】(1)根据矩阵A直接求解A2即可;(2)矩阵A的特征多项式为f(λ)==λ2﹣5λ+4,解方程f(λ)=0即可.【解答】解:(1)∵A=∴A2==(2)矩阵A的特征多项式为:f(λ)==λ2﹣5λ+4,令f(λ)=0,则由方程λ2﹣5λ+4=0,得λ=1或λ=4,∴矩阵A的特征值为1或4.【点评】本题考查了矩阵的运算和特征值等基础知识,考查运算与求解能力,属基础题.B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)22.【分析】(1)设极点为O,则由余弦定理可得,解出AB;(2)根据直线l的方程和点B的坐标可直接计算B到直线l的距离.【解答】解:(1)设极点为O,则在△OAB中,由余弦定理,得AB2=OA2+OB2﹣2OA,∴AB==;(2)由直线1的方程ρsin(θ+)=3,知直线l过(3,),倾斜角为,又B(,),∴点B到直线l的距离为.【点评】本题考查了在极坐标系下计算两点间的距离和点到直线的距离,属基础题.C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分0分)23.【分析】对|x|+|2x﹣1|去绝对值,然后分别解不等式即可.【解答】解:|x|+|2x﹣1|=,∵|x|+|2x﹣1|>2,∴或或,∴x>1或x∈∅或x<﹣,∴不等式的解集为{x|x<﹣或x>1}.【点评】本题考查了绝对值不等式的解法,属基础题.【必做题】第24题、第25题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.【分析】(1)运用二项式定理,分别求得a2,a3,a4,结合组合数公式,解方程可得n 的值;(2)方法一、运用二项式定理,结合组合数公式求得a,b,计算可得所求值;方法二、由于a,b∈N*,求得(1﹣)5=a﹣b,再由平方差公式,计算可得所求值.【解答】解:(1)由(1+x)n=C+C x+C x2+…+C x n,n≥4,可得a2=C=,a3=C=,a4=C=,a32=2a2a4,可得()2=2••,解得n=5;(2)方法一、(1+)5=C+C+C()2+C()3+C()4+C()5=a+b,由于a,b∈N*,可得a=C+3C+9C=1+30+45=76,b=C+3C+9C=44,可得a2﹣3b2=762﹣3×442=﹣32;方法二、(1+)5=C+C+C()2+C()3+C()4+C()5=a+b,(1﹣)5=C+C(﹣)+C(﹣)2+C(﹣)3+C(﹣)4+C(﹣)5=C﹣C+C()2﹣C()3+C()4﹣C()5,由于a,b∈N*,可得(1﹣)5=a﹣b,可得a2﹣3b2=(1+)5•(1﹣)5=(1﹣3)5=﹣32.【点评】本题主要考查二项式定理、组合数公式的运用,考查运算能力和分析问题能力,属于中档题.25.【分析】(1)当n=1时,X的所有可能取值为1,,2,,由古典概率的公式,结合组合数可得所求值;(2)设A(a,b)和B(c,d)是从M n中取出的两个点,因为P(X≤n)=1﹣P(X>n),所以只需考虑X>n的情况,分别讨论b,d的取值,结合古典概率的计算公式和对立事件的概率,即可得到所求值.【解答】解:(1)当n=1时,X的所有可能取值为1,,2,,X的概率分布为P(X=1)==;P(X=)==;P(X=2)==;P(X=)==;(2)设A(a,b)和B(c,d)是从M n中取出的两个点,因为P(X≤n)=1﹣P(X>n),所以只需考虑X>n的情况,①若b=d,则AB≤n,不存在X>n的取法;②若b=0,d=1,则AB=≤,所以X>n当且仅当AB=,此时a=0.c=n或a=n,c=0,有两种情况;③若b=0,d=2,则AB=≤,所以X>n当且仅当AB=,此时a=0.c=n或a=n,c=0,有两种情况;④若b=1,d=2,则AB=≤,所以X>n当且仅当AB=,此时a=0.c=n或a=n,c=0,有两种情况;综上可得当X>n,X的所有值是或,且P(X=)=,P(X=)=,可得P(X≤n)=1﹣P(X=)﹣P(X=)=1﹣.【点评】本题考查随机变量的概率的分布,以及古典概率公式的运用,考查分类讨论思想方法,以及化简运算能力,属于难题.。
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学Ⅰ参考公式:样本数据12,,,n x x x …的方差()2211n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑.柱体的体积V Sh =,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高. 锥体的体积13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位......置上... 1.已知集合{1,0,1,6}A =-,{|0,}B x x x =>∈R ,则A B =I ▲ .2.已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0,其中i 为虚数单位,则实数a 的值是 ▲ . 3.下图是一个算法流程图,则输出的S 的值是 ▲ .4.函数276y x x =+-的定义域是 ▲ .5.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是 ▲ .6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ▲ .7.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .8.已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列,n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==,则8S 的值是 ▲ .9.如图,长方体1111ABCD A B C D -的体积是120,E 为1CC 的中点,则三棱锥E -BCD 的体积是 ▲ .10.在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点,则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ .11.在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线y =ln x 上,且该曲线在点A 处的切线经过点(-e ,-1)(e 为自然对数的底数),则点A 的坐标是▲ .12.如图,在ABC △中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,BE =2EA ,AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,则ABAC的值是 ▲ .13.已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭,则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ . 14.设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数,()f x 的周期为4,()g x 的周期为2,且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时,2()1(1)f x x =--,(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩,其中k >0.若在区间(0,9]上,关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根,则k 的取值范围是 ▲ .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c . (1)若a =3c ,b 2,cos B =23,求c 的值; (2)若sin cos 2A B a b =,求sin()2B π+的值. 16.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.求证:(1)A1B1∥平面DEC1;(2)BE⊥C1E.17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:22221(0)x ya ba b+=>>的焦点为F1(–1、0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:222(1)4x y a-+=交于点A,与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B,连结BF2交椭圆C于点E,连结DF1.已知DF1=52.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.18.(本小题满分16分)如图,一个湖的边界是圆心为O 的圆,湖的一侧有一条直线型公路l ,湖上有桥AB (AB 是圆O 的直径).规划在公路l 上选两个点P 、Q ,并修建两段直线型道路PB 、QA .规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆....O 的半径.已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD (C 、D 为垂足),测得AB =10,AC =6,BD =12(单位:百米).(1)若道路PB 与桥AB 垂直,求道路PB 的长;(2)在规划要求下,P 和Q 中能否有一个点选在D 处?并说明理由;(3)对规划要求下,若道路PB 和QA 的长度均为d (单位:百米).求当d 最小时,P 、Q 两点间的距离.19.(本小题满分16分)设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈、()f 'x 为f (x )的导函数. (1)若a =b =c ,f (4)=8,求a 的值;(2)若a ≠b ,b =c ,且f (x )和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中,求f (x )的极小值;(3)若0,01,1a b c =<=…,且f (x )的极大值为M ,求证:M ≤427. 20.(本小满分16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”.(1)已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足:245324,440a a a a a a =-+=,求证:数列{a n }为“M -数列”;(2)已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-,其中S n 为数列{b n }的前n 项和. ①求数列{b n }的通项公式;②设m 为正整数,若存在“M -数列”{c n }*()n ∈N ,对任意正整数k ,当k ≤m 时,都有1k k k c b c +剟成立,求m 的最大值.2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ·参考答案一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分,共计70分. 1.{1,6} 2.23.54.[1,7]-5.536.7107.y =8.169.10 10.411.(e, 1)13.1014.13⎡⎢⎣⎭二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力.满分14分. 解:(1)因为23,3a cb B ===, 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=,得23=,即213c =.所以3c =(2)因为sin cos 2A Ba b=,由正弦定理sin sin a b A B =,得cos sin 2B Bb b=,所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =,即()22cos 41cos B B =-,故24cos 5B =.因为sin 0B >,所以cos 2sin 0B B =>,从而25cos B =. 因此π25sin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分. 证明:(1)因为D ,E 分别为BC ,AC 的中点, 所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB ∥A 1B 1, 所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1,A 1B 1⊄平面DEC 1, 所以A 1B 1∥平面DEC 1.(2)因为AB =BC ,E 为AC 的中点,所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱,所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ,所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1,AC ⊂平面A 1ACC 1,C 1C ∩AC =C , 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1,所以BE ⊥C 1E .17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分. 解:(1)设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(-1,0),F 2(1,0),所以F 1F 2=2,c =1.又因为DF 1=52,AF 2⊥x 轴,所以DF 2=222211253()222DF F F -=-=,因此2a =DF 1+DF 2=4,从而a =2. 由b 2=a 2-c 2,得b 2=3.因此,椭圆C 的标准方程为22143x y +=.(2)解法一:由(1)知,椭圆C :22143x y +=,a =2,因为AF 2⊥x 轴,所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16,解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方,所以A (1,4). 又F 1(-1,0),所以直线AF 1:y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩,得256110x x +-=, 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+,得 125y =-, 因此1112(,)55B --.又F 2(1,0),所以直线BF 2:3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪,得276130x x --=,解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点,所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-,得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二:由(1)知,椭圆C :22143x y +=.如图,连结EF 1.因为BF 2=2a ,EF 1+EF 2=2a ,所以EF 1=EB , 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ,所以∠A =∠B , 所以∠A =∠BF 1E ,从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴,所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1,0),由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩,得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点,所以32y =-. 因此3(1,)2E --.18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分. 解:解法一:(1)过A 作AE BD ⊥,垂足为E .由已知条件得,四边形ACDE 为矩形,6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ,所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15(百米).(2)①若P 在D 处,由(1)可得E 在圆上,则线段BE 上的点(除B ,E )到点O 的距离均小于圆O 的半径,所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处,连结AD ,由(1)知2210AD AE ED =+=,从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅,所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此,Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上,P 和Q 均不能选在D 处. (3)先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求; 当∠OBP ≥90°时,对线段PB 上任意一点F ,OF ≥OB ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点,且1PB AB ⊥,由(1)知,1P B =15, 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=; 当∠OBP >90°时,在1PPB △中,115PB PB >=. 由上可知,d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由(2)知,要使得QA ≥15,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求.当QA =15时,2222156321CQ QA AC =-=-=.此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上,当PB ⊥AB ,点Q 位于点C 右侧,且CQ =321时,d 最小,此时P ,Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.因此,d 最小时,P ,Q 两点间的距离为17+321(百米). 解法二:(1)如图,过O 作OH ⊥l ,垂足为H.以O 为坐标原点,直线OH 为y 轴,建立平面直角坐标系.因为BD =12,AC =6,所以OH =9,直线l 的方程为y =9,点A ,B 的纵坐标分别为3,−3.因为AB 为圆O 的直径,AB =10,所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A (4,3),B (−4,−3),直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ,所以直线PB 的斜率为43-, 直线PB 的方程为42533y x =--. 所以P (−13,9),22(134)(93)15PB =-+++=. 因此道路PB 的长为15(百米).(2)①若P 在D 处,取线段BD 上一点E (−4,0),则EO =4<5,所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处,连结AD ,由(1)知D (−4,9),又A (4,3),所以线段AD :36(44)4y x x =-+-剟.在线段AD 上取点M (3,154),因为5OM =<=,所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上,P 和Q 均不能选在D 处. (3)先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求; 当∠OBP ≥90°时,对线段PB 上任意一点F ,OF ≥OB ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点,且1PB AB ⊥,由(1)知,1P B =15,此时1P (−13,9); 当∠OBP >90°时,在1PPB △中,115PB PB >=. 由上可知,d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由(2)知,要使得QA ≥15,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求.当QA =15时,设Q (a ,9),由15(4)AQ a ==>,得a =4+Q (4+9),此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上,当P (−13,9),Q (4+9)时,d 最小,此时P ,Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+因此,d 最小时,P ,Q 两点间的距离为17+.19.本小题主要考查利用导数研究函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16分.解:(1)因为a b c ==,所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-.因为(4)8f =,所以3(4)8a -=,解得2a =.(2)因为b c =,所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-, 从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.令()0f 'x =,得x b =或23a bx +=. 因为2,,3a ba b +,都在集合{3,1,3}-中,且a b ≠, 所以21,3,33a b a b +===-.此时2()(3)(3)f x x x =-+,()3(3)(1)f 'x x x =+-. 令()0f 'x =,得3x =-或1x =.列表如下:所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-.(3)因为0,1a c ==,所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++,2()32(1)f 'x x b x b =-++.因为01b <≤,所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>,则()f 'x 有2个不同的零点,设为()1212,x x x x <.由()0f 'x =,得12x x ==.列表如下:所以()f x 的极大值()1M f x =. 解法一:()321111(1)M f x x b x bx ==-++()()221111211(1)32(1)3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭ ()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤.因此427M ≤. 解法二:因为01b <≤,所以1(0,1)x ∈.当(0,1)x ∈时,2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-.令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈,则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 令()0g'x =,得1x =.列表如下:所以当13x =时,()g x 取得极大值,且是最大值,故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 所以当(0,1)x ∈时,4()()27f x g x ≤≤,因此427M ≤. 20.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.满分16分.解:(1)设等比数列{a n }的公比为q ,所以a 1≠0,q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩,得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩,解得112a q =⎧⎨=⎩.因此数列{}n a 为“M —数列”.(2)①因为1122n n n S b b +=-,所以0n b ≠. 由1111,b S b ==得212211b =-,则22b =. 由1122n n n S b b +=-,得112()n n n n n b b S b b ++=-, 当2n ≥时,由1n n n b S S -=-,得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---,整理得112n n n b b b +-+=.所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此,数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N .②由①知,b k =k ,*k ∈N .因为数列{c n }为“M –数列”,设公比为q ,所以c 1=1,q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1,所以1k k q k q -≤≤,其中k =1,2,3,…,m .当k =1时,有q ≥1; 当k =2,3,…,m 时,有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-. 设f (x )=ln (1)x x x >,则21ln ()xf 'x x-=. 令()0f 'x =,得x =e.列表如下:()f 'x+0 –f(x )极大值因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=,所以max ln 3()(3)3f k f ==. 取33q =k =1,2,3,4,5时,ln ln kq k…,即k k q ≤, 经检验知1k q k -≤也成立.因此所求m 的最大值不小于5.若m ≥6,分别取k =3,6,得3≤q 3,且q 5≤6,从而q 15≥243,且q 15≤216, 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上,所求m 的最大值为5.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作....................答..若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A (1)求A 2;(2)求矩阵A 的特征值.B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分) 在极坐标系中,已知两点3,,2,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭,直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (1)求A ,B 两点间的距离;(2)求点B 到直线l 的距离.C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分) 设x ∈R ,解不等式||+|2 1|>2x x -.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)设2*012(1),4,n nn x a a x a x a x n n +=++++∈N L ….已知23242a a a =.(1)求n 的值;(2)设(1na =+*,ab ∈N ,求223a b -的值.23.(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯,{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N L令n n n n M A B C =U U .从集合M n 中任取两个不同的点,用随机变量X 表示它们之间的距离.(1)当n =1时,求X 的概率分布;(2)对给定的正整数n (n ≥3),求概率P (X ≤n )(用n 表示).数学Ⅱ(附加题)参考答案21.【选做题】A .[选修4–2:矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识,考查运算求解能力.满分10分. 解:(1)因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A , 所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A=3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(2)矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=,解得A 的特征值121,4λλ==. B .[选修4–4:坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.满分10分. 解:(1)设极点为O .在△OAB 中,A (3,4π),B ,2π),由余弦定理,得AB =(2)因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=,则直线l 过点)2π,倾斜角为34π.又)2B π,所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=. C .[选修4–5:不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识,考查运算求解和推理论证能力.满分10分. 解:当x <0时,原不等式可化为122x x -+->,解得x <–13: 当0≤x ≤12时,原不等式可化为x +1–2x >2,即x <–1,无解; 当x >12时,原不等式可化为x +2x –1>2,解得x >1. 综上,原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识,考查分析问题能力与运算求解能力,满分10分.解:(1)因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥L ,, 所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====, 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==. 因为23242a a a =,所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯,解得5n =.(2)由(1)知,5n =.5(1(1n =+02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一:因为*,a b ∈N ,所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=,从而222237634432a b -=-⨯=-. 解法二:50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-.因为*,a b ∈N,所以5(1a =-.因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯-=-=-.23.【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识,考查逻辑思维能力和推理论证能力.满分10分.解:(1)当1n =时,X的所有可能取值是12X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======,22662222(2),(C 15C 15P X P X ======. (2)设()A a b ,和()B c d ,是从n M 中取出的两个点. 因为()1()P X n P X n ≤=->,所以仅需考虑X n >的情况. ①若b d =,则AB n ≤,不存在X n >的取法;②若01b d ==,,则AB =≤,所以X n >当且仅当AB =0 a c n ==,或 0a n c ==,,有2种取法; ③若02b d ==,,则AB =≤,因为当3n ≥时,n ≤,所以X n >当且仅当AB =,此时0 a c n ==,或 0a n c ==,,有2种取法;④若12b d ==,,则AB =≤,所以X n >当且仅当AB =0 a c n ==,或 0a n c ==,,有2种取法. 综上,当X n >时,X22242442(,(C C n n P X P X ++====.因此,2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-.。