人教版初中数学七年级上册综合滚动练习：角的认识及有关计算PPT课件

( D)
A. 两条直线相交，组成的图形叫做角
B. 两条有公共端点的线段组成的图形叫做角 C. 两条有公共点的射线组成的图形叫做角 D. 从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角
2. 下列说法不正确的是
( B)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A. ∠AOB 的顶点是O
B. 射线BO，AO分别是∠AOB的两条边 C. ∠AOB的边是两条射线 D. ∠AOB与∠BOA表示同一个角
角的度量
度、分、秒 1°=60′，1′=60″
3.甲、乙、丙、丁，四名学生在判断钟表的分针 和时针互相垂直的时刻时，每人说了两个时刻， 说法都对的是（ D ） A．甲：“3时整和3时30分” B．乙说“6时15分和6时45分” C．丙说“9时整和12时15分” D．丁说：“3时整和9时整”
4. 判断
(1) 直线是一个平角
(×)
(2) 如图①，点 P 不在 ∠AOB 的内部
七年级数学上（RJ） 教学课件
第四章 几何图形初步
4.3 角
4.3.1 角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1. 理解角的两种定义和相关概念，掌握角的表示方 法.(重点)
2. 会正确使用量角器测量角的大小. 3. 认识角的单位，会进行度、分、秒之间的换算.
(重点、难点)
导入新课
情境引入
观察左边 的实物，你发 现这些实物能 抽象出什么样 的共同形象？
角的表示方法
1 α
O
A C
B
2. 用一个数字表示， 如∠1；
3. 用小写希腊字母表示， 如∠α.
用数字或希腊字母 表示角时，一定要在图形
中用角弧标出.
练一练

不同.故有1 个说法正确.
答案：A
感悟新知
知1－练
1-1. 下列说法：
①平角就是直线；② 两条射线组成的图形叫角；
③ 角的大小与边的长短无关；
④角的两边是两条线段.
其中正确的有( B )
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
感悟新知
知1－练
1-2. 用5 倍的放大镜看10°的角，视察到角的度数为( A )
秒是一样的.
2. 使用三角尺可以画出30°，45°，60°，90°等特殊角，
使用量角器可以画出任意给定度数的角.
感悟新知
知3－练
例 3 计算：
(1)将57.32°用度、分、秒表示；
(2)将10°6′36″用度表示.
解题秘方：利用高级单位和低级单位相互转化的方
法进行计算.
感悟新知
知3－练
解：(1)57.32°
∠ACB ∠ 2 可以表示成________.
感悟新知
知识点 3 角的单位及换算
知3－讲
1. 角的度量单位
度、分、秒是常用的角的度量单位. 把一个周角360
等分，每一份就是1 度的角，记作1°；把1 度的角60 等分，
每一份叫做1 分的角，记作1′；把1 分的பைடு நூலகம்60 等分，每一
份叫做1 秒的角，记作1″ .
个平角. 其中，正确说法的个数为(
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
)
感悟新知
解题秘方：紧扣定义中的关键词进行辨析.
知1－练
解：①是错误的，因为若两条射线无公共端点，则构成的
图形不是角；②是错误的，因为角的大小与所画边的
长短无关；③是正确的；④是错误的，因为直线和平

合作探究 借助三角尺，我们可以画出30°，45°，60°，90°等特殊角，借助量角 器，可以画出任何给定度数(如36°，108°)的角.
考点解析
例3 如图6.3-5(1)，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南__偏__东__ 600的方向上.同时， 在它北偏东 40°、南偏西 10°、西北(北偏西 45°)方向上又分别发现了客轮B、 货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮 B、货轮 C和海岛D 方向的 射线.
自学导航 如图，能把∠α记作∠O吗？为什么？∠α还可以怎样表示呢？
不能把∠α记作∠O，因为以O为顶点的角不止一个. ∠α记还可以用∠AOB来表示.
合作探究 角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
合作探究 把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每 一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作 1″.
情境引入
情境引入
情境引入
情境引入
自学导航 我们已经了解了生活中“角”的形象，那么什么样的图形才是角呢？ 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点， 这两条射线是角的两条边.
考点解析
重点
例1.下列关于角的说法正确的是( D )
A.由两条射线组成的图形叫做角
未强调“射线有公共端点”.
考点解析
难点
例4.(1)求上午10时30分，钟面上时针和分针的夹角； (2)在上午10时30分到11时之间，时针和分针何时成直角?
迁移应用
1.若分针指向12，时针这时恰好与分针成60°的角，则此时是( D )
A.9时
B.10时
C.4时或8时D.2时或源自0时2.如图，在9时30分，时钟的分针与时针所夹角的度数为( B )

答案：8个；∠A，∠O.
(2) 把图中所有的角都表示出来.
A
答案：∠A，∠O，∠1， ∠2，∠3，∠4， ∠ABC，∠ACB.
O
1
3
B2
4C
5. 38°15′和38.15°相等吗？如不相等，请说 明它们的大小关系.
解：因为 38°15′ = 38.25°， 所以 38°15′ ＞ 38.15°.
你还有别的 方法吗？
素养考点 2 求钟面上时针和分针的夹角的度数
例2 如图，时钟显示为10：10时，时针与分针所夹角度 是（ D ） A．90° B．100 C．105° D．115°
解析：时针每小时旋转的夹角360°÷12=30°， 故10分钟，时针旋转的角度为5°，即10：10时，
时针与分针所夹角度为4×30°–5°=115°.
解析:17°6′36″
=17°+6′+
36 60
′
=17°+6.6′
=17+
6.6 60
°
=17.11.
按1″＝
1 60
′，1′＝
1 60
°
先把秒化成分，再把分化成
度. (整数化小数)
进行适当的填空. 5°＝ 300 ′＝ 18000 ″； 38.15°＝ 38 ° 9 ′； 36″＝ 0.6 ′= 0.01 °； 38°30′＝ 38.5 °.
14时的钟表的时针与分针所形成的角的度数是 ( C )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
解析：钟表的1个大格是
1 12
周角=30°，14时的时针与
分针形成的角是2个大格，故为60°.
学生活动四 【一起探究 方位角

B
5
4 3
D
A
∠1
∠3
∠BAC
2 1
C
∠4
∠ABC
E
平角和周角
分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成 角的度数 。
巴黎时20°
90°
除了“度”之外，还有其它的度量单位吗？
1°的60分之一为1分，记作“1′”，即1°＝60′
1′的60分之一为1秒，记作“1″”，即1′＝60″
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
⒊角的度量单位是度、分、秒，是六十 进制。
探索与思考：
如果一个角（小于平角）内有一条射线， 则图中共有多少个角？有两条射线呢？三条？ n条？
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
例1 计算： ⑴ 1.45°等于多少分？等于多少秒？ ⑵ 1800″等于多少分？等于多少度？
用度、分、秒表示： ⑴0.75°＝ 45 ′＝ 2700″ ⑵(1－45)°＝ 16 ′＝ 960″ ⑶16.24°＝ 16 ° 14 ′ 24″ ⑷34.37°＝ 34 ° 22 ′ 12″
用度表示：
⑴1800″＝ 0.5°
射边线

用三个大写 字母表示
图例 A
O
B
用一个大写 字母表示
O
用数字表示
1
用希腊字母 表示
记法
方法解读
字母O表示顶点，要写在中 间，A，B表示角的两边上 的点，用该表示法可以表 示任何一个角。
当以某一个字母表示的点为 顶点的角只有一个时，可以 用这个顶点的字母来表示
在靠近角的顶点处加上 弧线，并标上数字或希 腊字母。该表示法形象 直观
巩固练习
1、下列图形是角吗？
2、判断题： （1）两条射线组成的图形叫角。 （2）角的大小与边的长短无关。 （3）角的两边是两条射线。
总结
定义
图例
组成元素
“静” 态的观
点
“动” 态的观
点
有公共端点的
边
两条射线组成
的图形叫做角 顶点
边
角可以看作由 一条射线绕着 它的端点旋转 而形成的图形。
终边 始边
因此，54.26°= 54°15′36″.
例3 .把45°25′48″化成度．
解：45°25′48″ =45°+25′+48×(610)' =45°+25.8' =45°+25.8×(610)° =45.43°
巩固练习
例2：填空 ① 1小时= 60分， 1分= 60 秒. ② 3.3小时= 3 小时 18 分， 2小时30分= 2.5 小时. ③ 1°= 60 ′，1′= 60 ″. ④ 0.75°= 45 ′= 2700 ″， ⑤ 1800″= 0.5 °，39°36′= 39.6 °.
向两端 无限延 伸
0个
不可 度量
射线
·
A
B· l
1.射线AB 2.射线l

注意：(1)顶点、两边是构成角的两个要素： 每个角都有两条边，这两条边都是射线； 角的两边有公共端点，即顶点. (2)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两边张开的 幅度有关.
新知探究 知识点1 角的概念
例1 给出下列说法：①两条射线组成的图形是角；②将一条线 段绕它的一个端点旋转得到的图形是角；③把一个角放在放大镜 下观察，角的度数不变；④平角是一条直线，周角是一条射线.其
∠α的度数是48度56分37秒， 记作：∠α=48°56′37″.
角的度、分、秒是60进制，这和计量 时间的时、分、秒是一样的.
新知探究 知识点3 角的度量和换算
以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制. 此外，还有其他度量角的单位制. 例如，以后将要学到的以弧度为基本度量单位的弧度制， 在军事上经常使用的角的密位制，等等.
我们常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量单位. 如图，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°； 把1度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作1′； 把1分的角60等分，每一份叫作1秒的角， 记作1″.
1周角＝ 360 °；1平角＝ 180°.
1°＝ 60′；1′＝ 60″.
新知探究 知识点3 角的度量和换算
O
始边 A
如果射线OB继续旋转，还会形成什么角呢？
新知探究 知识点1 角的概念
一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时， 所成的角叫作平角.
B
O
A
当终边又和始边重合时，所成的角叫作周角.
O
A (B)
新知探究 知识点1 角的概念 归纳：角的概念 (1)静态：角由两条具有公共端点的射线组成. (2)动态：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的.

3．用小写希腊字母表示， 如：∠α
用数字或希腊字母表示角时， 一定要在图形中用角弧标出.
角也可以看作由一条射线绕着 它的端点旋转而形成的图形．
新知讲解
思考：如图，射线 OA 绕点 O 旋转，当终止位置 OB 和起
始位置 OA 成一条直线时，形成什么角？继续旋转，
OB 和 OA 重合时，又形成什么角？
例3 填写下表，将图中的角用不同方法表示出来.
B 5
43 DA
21 CE
∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠5 ∠BCE ∠ACB ∠BAC ∠BAD ∠ABC
新知讲解
角的度量
问题：怎么知道这个角的大小？
角的度量工具：量角器
新知讲解
我们常用量角器量角，度、分、秒 是常用的角的度量单位．把一个周角 360 等分，每一份就是 1 度的角，记作1°； 把 1 度的角 60 等分，每一份叫做1 分的 角，记作 1′；把1分的角 60等分，每一份 叫做1 秒的角，记作1″.
角
新知引入
观察左边的实物， 你发现这些实物能 抽象出什么样的共 同形象？
——角
新知讲解
你会画角吗？
角的定义与表示方法
问题 从你刚画的这些不同的图形中，能归纳出它们的共 同特点吗？尝试去描述一下角是由什么组成的图形？
公共端点 两条射线 角的定义
有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角．
两条射线 —角的两条边 公共端点 —角的顶点
新知讲解
角的表示方法 A
C
O
B
如图，还能把 ∠AOB 记作∠O 吗？为什么？
1．用三个大写字母表示， 如：∠AOB 或∠BOA
表示顶点的字母一定写在中间.
用一个大写字母表示， 如：∠O

×
√
×
×
2．将图中的角用不同方法表示出来，填在下表中．
用数字或小写希腊字母表示
∠1
∠3
∠4
∠α
用三个大写英文字母表示
∠BCA
∠BAC
∠ABF
∠ABC
∠2
∠β
∠BCE(或∠FCE)
∠BAD
3．计算：(1)1.45°＝______′＝________″；(2)1 800″＝______′＝_______°；(3)58.37°＝_______°_______′______″；(4)15°32′24″＝_______°＝__________″.
解：(1)①22.5°＝22°30′. ②51.23°＝51°13′48″.
【题型二】度、分、秒的换算
(2)①18°36′＝18.6°. ②13°37′48″＝13.63°.
例4：灯塔在货轮的南偏东50°方向的30海里处，则货轮相对于灯塔的位置是( )A．北偏西50°方向，30海里处 B．西偏北50°方向，30海里处C．北偏西40°方向，30海里处 D．南偏东50°方向，30海里处
把一个周角平均分成360份，每一份就是1度的角；把1度的角平均分成60份，每一份就是1分的角；把1分的角平均分成60份，每一份就是1秒的角
360
180
60
60
1.判断下列说法是否正确，对的打“√”，错的打“×”．(1)两条射线组成的图形叫作角；( )(2)角的两边是两条射线；( )(3)平角是一条直线；( )(4)周角是一条射线．( )
知识点2：角的度量及单位换算(难点)
度量单位
换算方法
度量工具
(1)度：把一个周角360等分，每一份是1度的角，1度记作1°.(2)分：把1度的角60等分，每一份是1分的角，1分记作1′.(3)秒：把1分的角60等分，每一份是1秒的角，1秒记作1″

或 ∠AOB=2∠AOC=2∠BOC.
我们能用量角器作出∠AOB的角平分线吗？
探究新知
例2（1）根据右图填空：
①∠DBA=∠DBC+ ∠ABC；
②∠DBC=∠DBP－ ∠PBC =
C
D
P
B
∠DBA－ ∠ABC ；
③∠DBP+∠ABC－∠ABD= ∠PBC ．
A
探究新知
（2）①如图，若∠ABC=90°，∠CBD=30 ° ，
巩固练习
14时的钟表的时针与分针所形成的角的度数是 ( C )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
解析：钟表的1个大格是
1
周角=30°，14时的时针与
12
分针形成的角是2个大格，故为60°.
探究新知
学生活动四 【一起探究】方位角 正东：
射线 OA
E
北
D
H
45° 45°
西
C
O
A
东
G
B
南
正西：射线 OC
●
时,在它北偏东40°,南偏西10°,西
B
40°
北(即北偏西45°)方向上又分别发
●
西
O
现了客轮B，货轮C和海岛D.仿照表
东
60°
示灯塔方位的方法画出表示客轮B，
货轮C和海岛D方向的射线.
●
C
●
10°
南
●
A
巩固练习
费俊龙、聂海胜乘坐“神舟”六号遨游太空时，我国当
时派出远望一号~四号船队，跟踪检测.
∠ＥOD=?
A
O
B
探究新知
解：因为点A，O，B在同一直线上，

18
05
角的证明与推理
2024/1/28
19
等量代换法证明角相等
定义法
根据角的定义，通过证明 两个角所对的边或顶点关 系来证明它们相等。
2024/1/28
等量代换法
通过证明两个角分别与第 三个角相等，从而得出这 两个角相等。这种方法常 用于几何图形的证明中。
推理法
结合已知条件和图形性质 ，通过逻辑推理证明两个 角相等。
角的表示方法
角可以用三个大写字母表示，其中中间的字母表示角的顶点，两 边的字母表示角的两条边；也可以用一个大写字母表示，这个字 母就是角的顶点；还可以用一个数字或希腊字母表示。
4
角的度量单位与换算
2024/1/28
角的度量单位
角的度量单位是度，用符号“°” 表示。把一个圆周分成360等份 ，每一份叫做1度，记作1°。
角的换算
1度等于60分，1分等于60秒。因 此，角度可以换算成分和秒。例 如，45°可以换算成45°00'00''。
5
角的基本性质
2024/1/28
• 角的大小与边的长短无关：角的大小只与两条边叉开的大小 有关，与边的长短无关。
• 角的平分线性质：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角 分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
两个角相加，将它们的度 数相加即可。
2024/1/28
角的减法
两个角相减，将它们的度 数相减即可。
应用
利用角的加减运算进行角 度的计算和证明，解决与 角度相关的问题。
14
04
角在生活中的应用
2024/1/28
15
时钟上的角度问题
时钟面上的角度计算
时钟面平均分成了12份，每份对应的角度是30度。可以用这个知识点来解决时 钟上时针和分针之间的角度问题。

1
1
= ∠ − ∠
2
2
1
= (∠ − ∠)
2
1
= ∠
2






例题讲解
解： 因为 平分∠ ， 平分∠ ，
1
1
所以∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
2
2
所以∠ = ∠ − ∠
1
1
= ∠ − ∠
2
2
1
1
所以∠ = ∠ = × 128° = 64°.
2
2



例题讲解
例3
如图，∠ 是直角，∠ = (0° < < 90°) ，
平分∠ ， 平分∠ ，求∠ 的度数.
分析
1
1
∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
2
2
∠ = ∠ − ∠




()



例题讲解
例1
如图，已知 是∠ 的平分线， 是∠ 的平
分线，若∠ = 25°，求∠ 的度数.
分析
由角平分线的定义可以得



∠ = 2∠ ，∠ = 2∠ ，
因为∠ = 25°，
所以可以求∠ 的度数.


例题讲解
1
所以∠1 = ∠2 = ∠ ，
2
或者∠ = 2∠1 = 2∠2 .
角的平分线的定义


2

1
图形语言

理解新知
定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的
文字语言
射线，叫做这个角的平分线.
符号语言
1
因为∠1 = ∠2 = ∠ ，

(1)能用一个大写字母表示的角. (2)能用一个数字表示的角，并用三个大写字母表示. (3)以D为顶点的角.
【思路点拨】(1)以某点为顶点的角只有一个时才能用一个 大写字母表示. (2)找出标有数字的角，并用三个大写字母表示. (3)找以D为端点的射线(或线段)形成的角，并用三个字母表 示.
【自主解答】(1)顶点处只有一个角的为∠B,所以能用一个大写 字母表示的角为∠B. (2)∠1用三个大写字母表示为∠CAD, ∠2用三个大写字母表示 为∠ACE, ∠3用三个大写字母表示为∠ABD. (3)∠ADC，∠ADB.
【总结提升】表示角时注意的三点 1.用三个字母表示角时，顶点字母必须写在中间. 2.用一个字母表示角时，必须顶点处只有一个角. 3.用数字或希腊字母表示角时，必须在相应角的内部加弧线及 数字或希腊字母.
知识点 2 角的度、分、秒的换算 【例2】(1)把4.62°化成度、分、秒. (2)把45°23′45″化成度. 【教你解题】
4.如图所示，能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角的 图形是( )
【解析】选D.前三个选项以O为顶点的角都不止一个，所以都 不能用一个大写字母来表示 .
5.写出如图所示的符合下列条件的角(图中 所有的角指小于平角的角). (1)能用一个大写字母表示的角. (2)以A为顶点的角. (3)图中所有的角(可用简便方法表示). 【解析】(1)∠B，∠C. (2)∠1或∠CAD，∠2或∠DAB，∠CAB. (3)∠C，∠1，∠2，∠CAB，∠B，∠3，∠4.
5.如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度 数(小于平角的角).
【解析】巴黎：30°，伦敦：0°，北京：30°×4=120°，东京： 30°×3=90°.
【想一想错在哪？】钟表上3时30分的时针与分针的夹角是多 少？

(2)17°6'36"= 17.11 °
(2)17°6'36”
=17°+6.6'
=17.11°.
方法技巧：按 1
, 1 '=
,先把秒化成分(除以
60),再把分化成度(除以60).
(整数化小数)
跟踪训练 1.6时整，钟表的时针和分针构成多少度的角?8时呢?8时30分呢? 解：6时整，钟表的时针和分针构成180度的角； 8时整，钟表的时针和分针构成120度的角；
8时30,钟表的时针和分针构成75度的角. 2. (1)35°等于多少分?等于多少秒? (2)38°15'和38.15°相等吗?如不相等，哪一个大?
解：(1)35°=35×60'=2100'=2100×60"=126000";
(2)38.15°=38°+0.15×60'=38°+9'=38°9';
因为38°15'>38°9',所以38°15'>38.15°
探究点4 方位角的应用
例2.如图所示，货轮O 在航行过程中， 发现灯塔A在它南偏东60°的方向上，同 时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北 (北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B、 货轮C 和海岛D.仿照表示灯塔方位的方 法，画出表示客轮B、货 轮C和海岛D方 向的射线.
解：如图所示，以点O为顶点，表示正北方向 的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一 边OB落在东与北之间.射线OB的方向就是北偏 东40°,即客轮B所在的方向. 类似地，可以在图中画出表示货轮C和海岛D 方向的射线.
2.上午9点30分时，钟面上时针与分针所成的角的度数是( B )