专题解三角形与不等式最值和范围问题的结合高考数学(理)备考之百强校大题狂练

重点题型二：解三角形中的最值与范围问题【问题分析】解三角形中的最值与范围问题是常考题型，经常出现解三角形题中解答题的第（2）问，此题型属于中等偏上题，稍微有点难度，考察学生问题分析能力及转化能力。

解决此类题型经常利用数形结合的思想与方法，对动点进行分析，建立有关的不等式及函数很容易找到最值点. 【解题策略】【题型分析】我们知道已知三角形的三个元素（除三个角外），可以得到确定的解（无解、一解或两解），那么当已知三角形的两个元素（除两个角外，因为两个角与三个角情况是一样的）时，这个三角形将是不确定的，变化的.这就涉及到了三角形的某个角，某个边及三角形的面积在一定范围的变化，通过研究不同情况下的变化规律，我们可以得到角、边、面积的变化范围或最值. 类型一：已知三角形△ABC 两边，解三角形.假设已知边a ，b ，且a ≥b ，如图所示，以C 为圆心，b 为半径做圆，则点A 在圆⊙C 上且不与B 、C 共线.从图中，易知当BA 与圆⊙C 相切时，角B 取得最大值，此时sinB =ba ,可得sinB ∈(0,ba ].同时，由图可得出角C ∈(0,π), 角A ∈(0,π)，边c ∈(a −b,a +b).当AC ⊥BC 时，三角形△ABC 面积最大，S max =12ab ,所以三角形△ABC 的面积S ∈(0,12ab]. 类型二：已知三角形△ABC 一边及其一边的对角，解三角形最值与范围代数几何函数基本不等式 （单边最值）动点轨迹曲线方程1一）几何图形分析法假设已知边a 及其对角A ，由正弦定理推论可以得出asinA=2R 所以点A 在以R 为半径的圆上，边a 是圆的一条弦，如右图所示，点A 在圆上运动时，我们可以得到角C ∈(0,π−A), B ∈(0,π−A)，边c ∈(0,2R ],b ∈(0,2R ]. 当AB =AC 时，可得到三角形面积的最大值S max =a 24tan A 2，进而可得三角形面积范围为S ∈(0,a 24tan A2].以上是通过几何图形动态分析得出的结论，我们也可以通过代数的方法（构造函数或利用基本不等式）进行分析: 二）构造函数法： 由正弦定理a sinA =b sinB =csinC得b =asinB sinA ,c =asinCsinA所以三角形面积S =12bcsinA =12∙asinB sinA ∙asinC sinA ∙sinA =a 22sinA∙sinBsinC又有A +B +C =π,所以sinB =sin (A +C) 所以S =a 22sinA ∙sin (A +C )sinC =a 22sinA ∙cosA−cos (A+2C)2（注：此步骤利用了和差化积积化和差公式）=a 22sinA ∙(cosA 2−cos (A+2C )2)=a 24sinA ∙(−cos (A +2C )+cosA)所以当cos (A +2C )=−1，即A +2C =π时，三角形面积取得最大值，最大值为S max =a 24sinA ∙(1+cosA)=a 24tan A 2.又C ∈(0,π−A)，所以三角形的面积S ∈(0,a 24tan A2]同时，我们也可以得出三角形的周长:l =a +b +c =2R (sinA +sinB +sinC )=a +2R(sinB +sinC)=a +2R (sin (A +C )+sinC ) =a +2R ∙2sin A+2C 2cos A2 （注：此步骤利用了和差化积，积化和差公式）所以当sinA+2C 2=1，即A +2C =π,即B =C 时，周长最大值为l max =a +4Rcos A 2=a(1+1sin A2).所以三角形周长l ∈(2a,a(1+1sin A2)]三）构造基本不等式法：由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bc ∙cosA ≥2bc(1−cosA) (当b =c 时等号成立)所以bc≤a22(1−cosA)所以，三角形的面积S=12bcsinA≤12∙a22(1−cosA)∙sinA=a2sinA4(1−cosA)=a24tanA2故当b=c，三角形△ABC的面积最大值为S max=a24tan A2. 同时三角形的周长:l=a+b+c由余弦定理得a2=b2+c2−2bc∙cosA=(b+c)2−2bc(1+cosA)≥(b+c)2−(b+c)22∙(1+cosA)(当b=c时等号成立) 所以2a2≥(b+c)2(1−cosA)所以b+c≤a sinA2所以l=a+b+c≤a(1+1 sinA2)三角形△ABC周长最大值为l max=a(1+1sin A2)综上所述，已知三角形△ABC一边a及其一边的对角A，可得：①三角形中角C∈(0,π−A), B∈(0,π−A)②边c∈(0,2R],b∈(0,2R].（其中2R=asinA）③三角形的面积S∈(0,a 24tan A2]④三角形周长l∈(2a,a(1+1sin A2)]当b=c或B=C时，三角形的面积与周长取得最大值，分别为S max=a24tan A2，l max=a(1+1sin A2).类型三：已知三角形△ABC一边及其一边的邻角，解三角形2假设已知三角形△ABC边c及其角A，如右图所示.我们这里只考虑角A为锐角的情况，若角A是钝角或者是直角时可以参照分析即可.由右图易知：①当点C在线段DE上（不含端点）时，△ABC为锐角三角形，此时易知：B∈(π2−A,π2),C∈(π2−A,π2), b∈(ccosA,ccosA),a∈(csinA,ctanA)所以△ABC的面积S=12bcsinA∈(c2sin2A4,c2tanA2).②当C在点D或点E时，△ABC为直角三角形.b=ccosA或ccosA ，a=csinA或ctanA，S=c2sin2A4或c2tanA2③当C在线段AD或射线EF上时，△ABC为钝角三角形.B∈(0,π2−A)∪(π2,π−A),C∈(π2,π−A)∪(0,π2),b∈(0,ccosA)∪(ccosA,+∞),a∈(csinA,c)∪(ctanA,+∞)所以△ABC的面积S=12bcsinA∈(0,c2sin2A4)∪(c2tanA2,+∞).类型四：已知三角形△ABC一边及另外两边之间的关系，解三角形.假设已知边c和a,b之间的关系，如右图所示：我们常见的两边之间的关系有：①a+b=定值>c ----------点C的轨迹为椭圆②b−a=定值<c ----------点C的轨迹为双曲线一支③a2+b2=定值=c2----------点C的轨迹为圆(除A,B两点)④ab=定值≠1或a=λb, λ为定值且λ≠1----------点C的轨迹为圆（阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆）.【典例赏析】例1：在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D,BD=2DC,BC=6，求ΔABC的面积的最大值.试题分析：思路一：代数法，根据角平分定理可以得出AB与AC的比值是一个定值，BC也是一个定值，由三角形三边，可以求出三角形面积（可以利用海伦公式，也可以利用角的余弦表示）关于边的表达式，进而求出面积的最值.思路二：由AB与AC的比值是一个定值，BC是固定值，所以点A的轨迹是一个圆（阿氏圆，除去与直线BC的两个交点）34解析:方法一：构造函数（构造一个关于边函数） 如图，设设AC =x ，则由正弦定理可得 BDsin ∠BAD=ABsin ∠ADB ①，CDsin ∠CAD =ACsin ∠ADC ②，又∠ADB +∠ADC =π，所以sin ∠ADB =sin ∠ADC ， ①②式联立可得ABAC =21(由角平分线定理可直接得出)， 则AB =2x ，则S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sin ∠BAC =x 2⋅sin ∠BAC ， 对△ABC ，由余弦定理可得cos∠BAC =AB 2+AC 2−BC 22AB⋅AC=5x 2−364x 2，则S 2=x 4⋅sin 2∠BAC =x 4⋅(1−cos 2∠BAC )=x 4−25x 4−360x 2+36216=−116(9x 4−360x 2+362)=−916(x 4−40x 2+144)=−916[(x 2−20)2−256]，当x 2=20时，S 2有最大值，(S 2)max =144，所以S max =12方法二：几何法（点A 的轨迹是一个圆）以点B 为原点，BC 所在直线为x 轴，BC 中垂线为y 轴建立直角 坐标系，如右图所示，则B (−3,0),C(3,0),设点A (x,y ),y ≠0 由题意得AB =2AC ，所以AB 2=4AC 2 所以(x +3)2+y 2=4[(x −3)2+y 2] 整理得3x 2+3y 2−30x +27=0即x 2+y 2−10x +9=0⇔(x −5)2+y 2=16 所以点A 在以(5,0)为圆心，半径为4得圆上. 所以三角形ABC 面积最大值为S max =12×6×4=12 思考：方法一与方法二那个方法更好呢？例2：在△ABC 中，∠BAC =60∘，BC =3，且有CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则线段AD 长的最大值为（ ） A ．√132B ．2C ．√3+1D ．2√35试题分析：思路一:已知一边及其一边得对角，D 为底边BC 的三等分点，可以用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,再结合正余弦定理，容易建立CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 关于某角的函数，进而求出线段AD 长的最大与最小.思路二: 已知一边及其一边得对角，所以点A 在一个半径为√3的圆上远动，BC 为圆上的一条弦，通过几何分析很容易找出AD 长的最大与最小. 解析：方法一：在△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 由正弦定理可得b sin B =c sin C =3sin π3=2√3，则b =2√3sin B ，c =2√3sin C ，又AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=19(2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=19(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=19(b 2+4c 2+4cb cos π3) 所以，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2√3sin 2B +4 ∵0<B <2π3，则0<2B <4π3，当2B =π2时，即当B =π4时，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最大值， 即|AD⃗⃗⃗⃗⃗ |max=√4+2√3=√3+1.方法二：由正弦定理得asinA =3sin π3=2R =2√3所以点A 在一个半径为√3的圆上，BC 为圆上的一条弦，如右图所示 易得AO =√3,BD =1,DC =2, 又OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∠BOC =2π3,所以|OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 又|AO⃗⃗⃗⃗⃗ |+|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |(当A 、O 、D 三点共线是等号成立) 所以|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤√3+1，故|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |max=√3+1 例3：已知锐角三角形ABC 内接于单位圆，且BC =√2，求△ABC 面积的最大值. 试题分析：思路一：三角形内接于单位圆，BC =√2为定值，所以点A 到BC 距离最大时，△ABC 的面积最大，根据图形很容易找到A 到BC 距离最大值，△ABC 面积的最大值即单位圆半径于圆心到BC 的距离之和.6思路二：求单边最值，可以利用基本不等式.由题意边a 与角A 容易求出，求面积最值即是求b ∙c 最值即可，由余弦定理即可得到b 与c 的关系，进而求出b ∙c 最值. 解析：方法一：如图，设圆O 的半径为1，因为BC =√2，所以△BOC 是直角三角形，即∠BOC =90°，所以角∠BAC =45°，所以O 到BC 的距离为√22，所以A 到BC 距离最大值为√22+1所以△ABC 面积的最大值为12×√2×(√22+1)=√2+12方法二：由正弦定理得asinA =2,所以sinA =√22,所以A =π4由余弦定理可知BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC cos π4由基本不等式可知2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC cos π4≥(2−√2)AB ⋅AC ，当且仅当AB =AC 时，取等号；所以AB ⋅AC ≤22−√2=2+√2，又S △ABC =12AB ⋅AC sin ∠BAC =√24AB ⋅AC ≤√24×(2+√2)=√2+12.所以△ABC 的面积的最大值为√2+12例3：在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，且满足b =a cos C +√33c sin A .（1）求角A 的大小；（2）若边长a =2，求ΔABC 面积的最大值.试题分析：①由b =a cos C +√33c sin A ，根据正弦定理进行边角互化，再有sinB =sin (A +C ),化简即可求出角A .②由①知角A ，由已知边a ，所以是已知一边及其一边对角的情况，所以参考上面类型二进行解决.解析:①由b =acosC +√33csinA 及正弦定理得，sinB =sinAcosC +√33sinCsinA,即sin (A +C )=sinAcosC +cosAsinC =sinAcosC +√33sinCsinA ，整理得cosAsinC =√33sinCsinA ，∵sinC ≠0，∴cosA =√33sinA ，∴tanA =√3，又0<A <π，∴A =π3．②在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA，即4=b2+c2−2bccosπ3=b2+c2−bc≥2bc−bc=bc，当且仅当b=c时等号成立，∴bc≤4．∴SΔABC=12bcsinAA=√34bc≤√3．∴△ABC面积的最大值为√3．例4：设△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=π3．①若c=2，a=2√3，求b；②求sin B+sin C的取值范围．试题分析：①已知两边及一角，求第三边，直接利用余弦定理即可解决.②已知角A=π3，所以B+C=2π3,由B+C的关系可以将sin B+sin C转换为只含有一个角B或角C，再根据三角函数性质即可解决. 解析：①∵a2=b2+c2−2bc cos A，∴12=b2+4−2×2×b×12．∴b2−2b−8=0，∴4b ．②∵A=π3，∴B+C=2π3，C=2π3−B．∴sin B+sin C=sin B+sin(2π3−B)=32sin B+√32cos B=√3sin(B+π6)，又∵0<B<2π3，12<sin(B+π6)≤1．∴sin B+sin C的取值范围是(√32,√3]例5：已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a−c)(ainA+sinC)−sinB(a−b)=0．①求C；②若S△ABC=2√3，D为边AB的中点，求CD的最小值．解析：①△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a−c)(sin A+sin C)+(b−a)sin B=0．利用正弦定理得：(a−c)(a+c)+(b−a)b=0，78整理得：a 2−c 2+b 2−ab =0，即cos C =a 2+b 2−c 22ab=12，由于0<C <π，所以：C =π3．②因为△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C =√34ab =2√3，解得ab =8；在△ABC 中，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,两边同平方得： |CD⃗⃗⃗⃗⃗ |2=14a 2+14b 2+14ab ⩾14×2ab +14ab =34ab =6， 当且仅当a =b =2√2时，等号成立， 所以CD ⩾√6，即CD 的最小值为√6．例6：已知ΔABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且b 2=c 2+ac ， ①求证：B =2C ；②若ΔABC 是锐角三角形，求ac 的取值范围.解析：①由余弦定理可得：b 2=a 2+c 2−2accosB ， ∵b 2=c 2+ac ，∴c 2+ac =a 2+c 2−2ac ⋅cos B ， ∴a 2=ac +2ac ⋅cos B ，即a =c +2c ⋅cos B ， ∴利用正弦定理可得：sin A =sin C +2sin C cos B ，即sin(B +C)=sin B cos C +sin C cos B =sin C +2sin C cos B ， ∴sin B cos C =sin C +sin C cos B ， 可得：sin(B −C)=sin C ，∴可得：B −C =C ，或B −C +C =π（舍去），∴B =2C . ②∵a c=sin A sin C =sin(B+C)sin C=sin(2C+C)sin C=2cos 2C +cos 2C =2cos 2C +1∵A +B +C =π，A 、B 、C 均为锐角，由于：3C +A =π， ∴0<2C <π2，0<C <π4. 再根据π2<3C ，可得π6<C ，∴π6<C <π4，∴a c∈(1,2)例7：在△ABC 中，2B =A +C .①当AC=12时，求S△ABC的最大值；②当S△ABC=4√3时，求△ABC周长的最小值.解析：①由题意，B=60°，b=12，∴由余弦定理可得122=a2+c2−2ac cos60°≥ac，∴ac≤144，∴S△ABC=12ac sin B≤36√3，∴S△ABC的最大值为36√3；②S△ABC=4√3=12ac×√32，∴ac=16，又b2=a2+c2−2ac cos60°=(a+c)2−48，b2=a2+c2−2ac cos60°≥ac，∴a+c=√b2+48，4b∴△ABC周长为a+b+c≥8+4=12当且仅当a=b=c时，△ABC周长的最小值为12.910。

专题03 解三角形中的最值、范围问题高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换、不等式、导数等结合考查，试题难度控制在中等以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．本专题围绕解三角形中的最值、范围问题精选例题，并给出针对性练习，以期求得热点难点的突破.【热点难点突破】例1.【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.例2.【2018年文北京卷】若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________.【答案】【解析】分析：根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题.详解：，，即，，则，为钝角，，，故.例3.锐角的内角，，的对边分别为，，，已知的外接圆半径为，且满足.（1）求角的大小； （2）若，求周长的最大值.【答案】（1）；（2）当为正三角形时，周长的最大值为6.【解析】（1）由正弦定理，得，再结合，得，解得，由为锐角三角形，得.（2）由、及余弦定理，得，即，结合，得，解得（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），故当为正三角形时，周长的最大值为6.例4. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2a =，242cos sin 25B C A ++=. （1）若满足条件的ABC ∆有且只有一个，求b 的取值范围； （2）当ABC ∆的周长取最大值时，求b 的值. 【答案】（1）10(0,2]{}3；（210【解析】 （1）2442cossin 1cos()sin 255B C A B C A ++=⇒+++=，即1sin cos 5A A -=-， 又∵0A π<<，且22sin cos 1A A +=，有3sin 54cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，若满足条件的ABC ∆有且只有一个，则有sin a b A =或a b ≥，则b 的取值范围为10(0,2]{}3；（2）设ABC ∆的周长为l ，由正弦定理得 10(sin sin )2[sin sin()]sin 3a l abc a B C B A B A =++=++=+++102(sin sin cos cos sin )22(3sin cos )2210)3B A B A B B B B θ=+++=++=++， 其中θ为锐角，且10sin 10310cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，max 2210l =+10cos B =，310sin B = 此时sin 10sin ab B A==例5. 【2016年北京卷】在∆ABC 中，2222+=a c b ac . （1）求B ∠ 的大小；（22cos cos A C + 的最大值. 【答案】（1）4π；（2）1. 【解析】（1）由余弦定理及题设得22222cos 222a cb ac B ac ac +-===，又∵0B π<∠<，∴4B π∠=；（2）由（1）知34A C π∠+∠=， 32cos 2cos()4A C A A π+=+-22222A A A =-+ 22cos()4A A A π==-，因为304A π<∠<，所以当4A π∠=2cos A C +取得最大值1.例6. 如图，有一码头P 和三个岛屿,,A B C ， 303,90mi ,30PC mile PB n le AB n mile ===，0120PCB ∠=， 090ABC ∠=.（1）求,B C 两个岛屿间的距离；（2）某游船拟载游客从码头P 前往这三个岛屿游玩，然后返回码头P .问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程.【答案】（1）3mile （2）(30603307n mile +【解析】（1）在PBC ∆中， 090,3,120PB PC PCB ==∠=，由正弦定理得，sin sin PB PCPCB PBC=∠∠，即0903sin120sin PBC =∠， 解得1sin 2PBC ∠=， 又因为在PBC ∆中， 00060PBC <∠<，所以030PBC ∠=， 所以030BPC ∠=，从而303BC PC == 即,B C 两个岛屿间的距离为3mile ；（2）因为090,30ABC PBC ∠=∠=，所以000903060PBA ABC PBC ∠=∠-∠=-=， 在PAB ∆中， 90,30PB AB ==，由余弦定理得，2202212?cos609030290303072PA PB AB PB AB =+-=+-⨯⨯⨯= 根据“两点之间线段最短”可知，最短航线是“P A B C P →→→→”或“P C B A P →→→→”，其航程为3073030330330603307S PA AB BC CP =+++=+=+所以应按航线“P A B C P →→→→”或“P C B A P →→→→”航行， 其航程为(30603307n mile +. 【方法总结】1.已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．2.已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．3.已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式a ＜b sin Aa ＝b sin Ab sin A ＜a ＜ba ≥ba ＞ba ≤b解的个数无解一解两解一解一解无解4．在△ABC 中有如下结论sin A ＞sin B ⇔a ＞b .5.已知三边(a b c 如、、），由余弦定理求A B 、，再由180A B C ++=求角C ，在有解时只有一解. 已知两边和夹角(a b C 如、、），余弦定理求出对对边.5．当b 2＋c 2－a 2＞0时，角A 为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形； 当b 2＋c 2－a 2＝0时，角A 为直角，三角形为直角三角形； 当b 2＋c 2－a 2＜0时，角A 为钝角，三角形为钝角三角形．【精选精练】1. ABC ∆各角的对应边分别为c b a ,,，满足1≥+++ba cc a b ，则角A 的范围是（ ） A ．(0,]3πB ．(0,]6πC ．[,)3ππD ．[,)6ππ 【答案】A 【解析】由1≥+++ba cc a b ，得()()()()b a c a c a c b a b ++≥+++，整理得bc a c b ≥-+222，由余弦定理得2122cos 222≥≥-+=bc bc bc a c b A ，⎥⎦⎤⎝⎛∈∴3,0πA . 2.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求60ACB ∠=︒， BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为（ ）A. 312⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭米 B. 2米 C. (13米 D. (23+米 【答案】D【解析】由题意设(1)BC x x =>米， (0)AC t t =>米，依题设0.50.5AB AC t =-=-米，在ABC 中，由余弦定理得： 22202cos60AB AC BC ACBC =+-，即()2220.5t t x tx -=+-，化简并整理得：20.25(1)1x t x x -=>-，即0.75121t x x =-++-，因1x >，故0.7512231t x x =-++≥+-312x =+时取等号），此时t 取最小值23，应选答案D 3.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 满足222b c a bc +-=，0AB BC >，3a = 则b+c 的取值范围是（ ） A. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.3322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C.13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D.13,22⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】B【解析】由222b c a bc +-=得：2221cos 22b c a A bc +-==，则A=3π，由0AB BC >可知：B 为钝角， 21sin aR A==，则sin ,sin b B c C ==，sin sin sin b c B C B +=+=+2sin(3π)B -33=sin cos 3sin()226B B B π+=+，由于223B ππ<<，25366B πππ<+<，所以13sin()23B π<+<332b c <+<，选B 4.在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且222a b c bc =++，3a S 为ABC ∆的面积，则3cos S B C 的最大值为（ ）（A ）1 （B 31+ （C 3 （D ）3 【答案】C【解析】∵222a b c bc =++，∴2221cos 22b c a A bc +-==-，∴23A π=，设ABC ∆外接圆的半径为R ，则3222sin sin 3a R A π===，∴1R =， ∴133cos sin 3cos 3cos 2S B C bc A B C B C ==+ 3sin 3cos 3)B C B C B C =+=-，故3cos S B C 3C ．5.已知,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，其面积满足214ABC S a ∆=，则cb的最大值为（ ） A.21 B. 2 C. 21 D. 22+【答案】C【解析】根据题意，有211sin 42ABC S a bc A ∆==，应用余弦定理，可得222cos 2sin b c bc A bc A +-=，于是212cos 2sin t t A t A +-=，其中c t b =．于是22sin 2cos 1t A t A t +=+，所以122sin 4A t t π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，从而122t t+≤，解得t 21．选C.6.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积为32S =，则ab 的最小值为__________． 【答案】12【解析】由正弦定理可得()2sin cos 2sin sin 2sin sin C B A B B C B =+=++，即2sin cos 2sin cos 2sin cos sin C B B C C B B =++，∴2sin cos sin 0B C B +=，∴1cos 2C =-， 23C π=，由133sin 2S ab C =⋅==，∴12c ab =，再由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-⋅，整理可得2222134a b a b ab ab =++≥，当且仅当a b =时，取等号，∴12ab ≥故答案为12. 7.在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75°，BC =2，则AB 的取值范围是 . 【答案】626+2）【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B =∠C =75°，∠E =30°，BC =2，由正弦定理可得sin sin BC BE E C =∠∠，即o o2sin 30sin 75BE=，解得BE =6+2，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B =∠BFC =75°，∠FCB =30°，由正弦定理知，sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即o o2sin 30sin 75BF =，解得BF =62-，所以AB 的取值范围为（62-，6+2）.8. 在中，内角的对边分别为，且满足，为锐角，则的取值范围为__________． 【答案】【解析】分 由结合正弦定理可得：，且，为锐角，则：，即，据此有：，，，，即，，据此可得：，则的取值范围为.9.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量()B A m cos ,cos =，()b c a n -=2,，且n m //．（1）求角A 的大小；（2）若4=a ，求ABC ∆面积的最大值． 【答案】（1）3π；（2）34． 【解析】 n m //，所以()0cos 2cos =--A b c B a ，由正弦定理得-B A cos sin ()0cos sin sin 2=-A B C ，A C AB B A cos sin 2cos sin cos sin =+∴()A C B A cos sin 2sin =+∴，由π=++C B A ，A C C cos sin 2sin =∴由于π<<C 0，因此0sin >C ，所以21cos =A ，由于π<<A 0，3π=∴A （2）由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=bc bc bc bc c b =-≥-+=∴21622，因此16≤bc ，当且仅当4==c b 时，等号成立；因此ABC ∆面积34sin 21≤=A bc S ，因此ABC ∆面积的最大值34． 10. 已知3x π=是函数()sin2cos2f x m x x =-的图象的一条对称轴.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）设ABC ∆中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2f B =，且3b =2ca -的取值范围. 【答案】（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）33⎛ ⎝ 【解析】试题分析： （1）3x π=是函数()f x 的一条对称轴213f m π⎛⎫⇒=+⎪⎝⎭21m -+3m ⇒=()2sin 26f x x π⎛⎫⇒=- ⎪⎝⎭，根据三角函数的性质，即可求出单调性；（2）()2f B = 可得3B π=，又3b =由正弦定理得： 2sin sin(+=3sin 236c a A A A ππ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由230,3sin 3362A A ππ⎛⎛⎫⎛⎫∈⇒-∈- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，即可求出结果. 试题解析： （1）3x π=是函数()sin2cos2f x m x x =-的一条对称轴213f m π⎛⎫⇒=+ ⎪⎝⎭21m -+3m ⇒=()2sin 26f x x π⎛⎫⇒=- ⎪⎝⎭⇒增区间： (),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）()2f B = sin 2163B B ππ⎛⎫⇒-=⇒= ⎪⎝⎭ 又3b =2sin ,2sin 2sin 3a A c C A π⎛⎫===+ ⎪⎝⎭2sin sin(+=3sin 236c a A A A ππ⎛⎫⇒-=-- ⎪⎝⎭ 210,,sin ,1366262A A A πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈⇒-∈-⇒-∈- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭33sin 36A π⎛⎛⎫⇒-∈ ⎪ ⎝⎭⎝，即332c a ⎛⇒-∈ ⎝ 11. 在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，满足cos2cos22cos cos 066A B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求角A 的值； （2）若3b =b a ≤，求a 的取值范围.【答案】(1) 3A π=；(2) )3,3a ∈.【解析】试题分析：（1）根据余弦的二倍角公式以及两角和与差的余弦公式化简cos2cos22cos cos 066A B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得sin A 的值，从而求得A 的值；（2）3b a =≤，∴c a ≥，∴32C ππ≤<，63B ππ<≤，再由正弦定理可得结果.试题解析：（1）由已知cos2cos22cos cos 066A B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得2222312sin 2sin 2cos sin 044B A B B ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭化简得3sin 2A =，又三角形ABC 为锐角三角形，故原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 3A π=. （2）∵3b a =≤，∴c a ≥，∴32C ππ≤<， 63B ππ<≤由正弦定理得： sin sin a b A B =即： 3sin 32a B =，即32sin a B =由13sin ,22B ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦知)3,3a ⎡∈⎣. 12. 如图，是两个小区所在地，到一条公路的垂直距离分别为，两端之间的距离为.（1）某移动公司将在之间找一点，在处建造一个信号塔，使得对的张角与对的张角相等，试确定点的位置；（2）环保部门将在之间找一点，在处建造一个垃圾处理厂，使得对所张角最大，试确定点的位置.【答案】（1）4；（2）. 【解析】试题分析：(1)利用张角相等的相似性即可确定点P 的位置；(2)由题意得到三角函数，换元之后结合对勾函数的性质可得当时满足题意. 试题解析：（1）张角相等，∴，∴ (2)设，∴， ∴，， ，设，，，， ∴，，当且仅当时，等号成立，此时，即。

第34讲三角形中最值与范围知识梳理1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：（1）利用基本不等式求范围或最值；（2）利用三角函数求范围或最值；（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；（4）根据三角形解的个数求范围或最值；（5）利用二次函数求范围或最值．要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大．2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：（1）求角的最值；（2）求边和周长的最值及范围；（3）求面积的最值和范围．必考题型全归纳题型一：周长问题例1．（2024·贵州贵阳·校联考模拟预测）记ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()222cos cos a b c a B b A abc +-+=．(1)求C ；(2)若ABC 为锐角三角形，2c =，求ABC 周长范围．例2．（2024·甘肃武威·高三武威第六中学校考阶段练习）在锐角△ABC 中，a =，(2)cos cos b c A a C -=，（1）求角A ；（2）求△ABC 的周长l 的范围.例3．（2024·全国·高三专题练习）在①2S AC ⋅ ；②22cos 1cos 22B C A +=+；③sin cos c C c A -；在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．在锐角ABC 中，内角A 、B 、C ，的对边分别是a 、b 、c ，且______(1)求角A 的大小；(2)若a ABC 周长的范围．变式1．（2024·全国·模拟预测）在锐角ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos c b a B b A -=-.(1)求角A 的大小；(2)若1a =，求ABC 周长的范围.变式2．（2024·陕西西安·高三西安中学校考阶段练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且满足2a =，()cos 2cos a B c b A =-．(1)求角A 的大小；(2)求ABC 周长的范围．题型二：面积问题例4．（2024·全国·模拟预测）已知在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(2sin m x = ，()cos ,cos 2n x x = ，()f x m n =⋅ ，()0f B C +=．(1)求角A 的值；(2)若1b =，求ABC 面积的范围．例5．（2024·江苏南通·统考模拟预测）如图，某植物园内有一块圆形区域，在其内接四边形ABCD 内种植了两种花卉，其中ABD △区域内种植兰花，BCD △区域内种植丁香花，对角线BD 是一条观赏小道．测量可知边界60m AB =，20m BC =，40m AD CD ==．（1）求观赏小道BD 的长及种植区域ABCD 的面积；（2）因地理条件限制，种植丁香花的边界BC ，CD 不能变更，而边界AB ，AD 可以调整，使得种植兰花的面积有所增加，请在BAD 上设计一点P ，使得种植区域改造后的新区域（四边形PBCD ）的面积最大，并求出这个面积的最大值．例6．（2024·山东青岛·高三青岛三十九中校考期中）在①a ＝2，②a ＝b ＝2，③b ＝c ＝2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求△ABC 的面积的值（或最大值）．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，三边a ，b ，c 与面积S 满足关系式：2224S b c a =+-，且______，求△ABC 的面积的值（或最大值）．变式3．（2024·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地ABO ，其中3km OA =，OB =，90AOB ∠=︒．物业管理部门拟在中间开挖一个三角形人工湖OMN ，其中M ，N 都在边AB 上（M ，N 均不与AB 重合，M 在A ，N 之间），且30MON ∠=︒．(1)若M 在距离A 点1km 处，求点M ，N 之间的距离；(2)设BON θ∠=，①求出OMN 的面积S 关于θ的表达式；②为节省投入资金，三角形人工湖OMN 的面积要尽可能小，试确定θ的值，使OMN 得面积最小，并求出这个最小面积．变式4．（2024·全国·高三专题练习）在ABC 中，,32ABC S BA BC BC =⋅= ．（1）D 为线段BC 上一点，且2,1CD BD AD ==，求AC 长度；（2）若ABC 为锐角三角形，求ABC 面积的范围．变式5．（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a，b ，c ，且sin cos a B b A=.（1）若a =，2b =，求c 的大小；（2）若2b =，且C 是钝角，求ABC 面积的大小范围.题型三：长度问题例7．（2024·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）已知锐角ABC 内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，.若()sin sin sin b B c C b a A -=-.(1)求C ；(2)若c =a b -的范围.例8．（2024·福建莆田·高三校考期中）在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =()()222sin 2sin Bc a C b c ab-=+-(1)求角B ﹔(2)求2a c -的范围．例9．（2024·重庆江北·高三校考阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c ，且22cos cos 22C A a c ⎫⎛+ ⎪⎝⎭3()2a c b ac +-=.（1）求角B 的大小；（2）若b =，(0)c x x =>，当ABC 仅有一解时，写出x 的范围，并求a c -的取值范围.变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足条件；4a =，222sin sin sin sin sin A B C B C +=+．（I ）求角A 的值；（Ⅱ）求2b c -的范围．变式7．（2024·全国·高三专题练习）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边()()3a b c a b c ab +++-=.（1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求2a b -的范围.变式8．（2024·山西运城·统考模拟预测）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.（1）求证：sin()sin sin A B a b A B c--=+；（2）若ABC 是锐角三角形，,23A B a b π-=-=，求c 的范围.变式9．（2024·安徽亳州·高三统考期末）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 6a C c A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角A 的大小；（2）设H 为ABC ∆的垂心，且1AH =，求BH CH +的范围.题型四：转化为角范围问题例10．（2024·全国·高三专题练习）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-.(1)求A ；(2)求cos cos B C -的取值范围.例11．（2024·全国·高三专题练习）已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()cos cos a b c B A -=-．(1)判断ABC 的形状并给出证明；(2)若a b ¹，求sin sin sin A B C ++的取值范围．例12．（2024·河北保定·高一定州一中校考阶段练习）设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1sin 1cos 2cos sin 2A B A B--=．(1)判断ABC 的形状（锐角、直角、钝角三角形），并给出证明；(2)求22245a b c +的最小值．变式10．（2024·广东佛山·高一大沥高中校考阶段练习）已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅ ；(1)若cos cos A B b a=，判断ABC 的形状并说明理由；(2)若ABC 是锐角三角形，求cos C 的取值范围.变式11．（2024·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知1,a b ==(1)若π4B ∠=，求角A 的大小；(2)求πcos cos 6A A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围.变式12．（2024·江西吉安·高二江西省峡江中学校考开学考试）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，2222sin()6b c a bc A π+-=+．（1）求角A 的大小；（2）求sin sin B C ⋅的取值范围．变式13．（2024·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若220c bc a +-=，则()2114sin cos tan tan C C C A++-的取值范围为（）A ．()B ．()8,9C ．4,93⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭D ．()4,9题型五：倍角问题例13．（2024·浙江绍兴·高一诸暨中学校考期中）在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos b c a B +=．(1)证明：2A B =；(2)若1b =，求a 的取值范围；(3)若ABC 的三边边长为连续的正整数，求ABC 的面积．例14．（2024·全国·高三专题练习）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2A B =，且A 为锐角，则1cos c b A +的最小值为（）A ．1+B ．3C ．2D ．4例15．（2024·全国·高三专题练习）锐角ABC 的角A B C ，，所对的边为a b c ，，，2A B =，则a b的范围是_________．变式14．（2024·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为5，若()222sin S A C b a +=-，则tan A 的取值范围为______．变式15．（2024·全国·高三专题练习）已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2A B =，则22ac b ab+的取值范围为__________．变式16．（2024·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中2A B =，B ，C 的对边长分别是b ，c ，则b b c +的取值范围是（）A ．11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．23,34⎛⎫ ⎪⎝⎭变式17．（2024·福建三明·高一三明市第二中学校考阶段练习）在锐角ABC 中，2A B ∠=∠，B ∠，C ∠的对边分别是b ，c ，则2b c b +的范围是（）A ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭变式18．（2024·江苏南京·高一金陵中学校考期中）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ，若A ＝2B ，则22c b b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为（）A ．－1B ．73C ．3D ．103题型六：角平分线问题例16．（2024·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，a b =且A B ≠.(1)求角C 的大小；(2)若角C 的平分线交AB 于点D ，且CD =2+a b 的最小值.例17．（2024·江苏淮安·高一统考期中）如图，ABC 中，2AB AC =，BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ．(1)若AD BC =，求BAC ∠的余弦值；(2)若3AC =，求AD 的取值范围．例18．（2024·浙江杭州·高一校联考期中）在①cos sin a a C A +=，②()()3a b c a b c ab +++-=，③()()sin sin sin a b B C b B c C -++=．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，．(1)求角C 的值；(2)若角C 的平分线交AB 于点D ，且CD =2a b +的最小值．变式19．（2024·河北沧州·校考模拟预测）已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 2cos 0a C b c A ++=，角A 的平分线与边BC 交于点D .(1)求角A ；(2)若2AD =，求4b c +的最小值.变式20．（2024·山东泰安·校考模拟预测）在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足222sin sin sin 1sin sin A A C C B--=，且A C ¹．(1)求证：2B C =；(2)已知BD 是ABC ∠的平分线，若6a =，求线段BD 长度的取值范围．变式21．（2024·全国·高一专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2sin cos sin 2cos a A B b A C +=．(1)求角C 的大小；(2)若c =，ABC ∠与BAC ∠的平分线交于点I ，求ABI △周长的最大值．变式22．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b csinsin 2B Ca B +=，边BC 上有一动点D .(1)当D 为边BC 中点时，若2ADb ==，求c的长度；(2)当AD 为BAC ∠的平分线时，若4a =，求AD 的最大值.题型七：中线问题例19．（2024·湖南长沙·高一雅礼中学校考期中）在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别是a ，b ，c ，若2cos cos c b Ba A-=(1)求角A的大小；(2)若2a=，求中线AD长的范围（点D是边BC中点）.例20．（2024·安徽·合肥一中校联考模拟预测）记ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知π2sin22c bBa-⎛⎫+=⎪⎝⎭．(1)求A；(2)若3b c+=，求BC边中线AM的取值范围．例21．（2024·全国·高一专题练习）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin sin sin sina Ab Bc C A+=．(1)求角C的大小；(2)若2c=，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．变式23．（2024·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2coscos c b B a A-=(1)求角A的大小；(2)若2a=，求中线AD长的最大值（点D是边BC中点）．变式24．（2024·广东广州·高二广州六中校考期中）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c cos sin C a C -=．(1)求角A 的大小；(2)若2a =，求BC 边上的中线AD 长度的最小值．题型八：四心问题例22．（2024·四川凉山·校联考一模）设ABO （O 是坐标原点）的重心、内心分别是,G I ，且//BO GI，若(0,4)B ，则cos OAB ∠的最小值是__________．例23．（2024·全国·高三专题练习）在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且()cos cos tan a C c A A +.（1）求角A 的大小；（2）若a O 为ABC 的内心，求OB OC +的最大值.例24．（2024·全国·模拟预测）已知锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()sin cos sin cos sin c b C a C b B a B C -=-+.(1)求角A ；(2)若H 为ABC 的垂心，2a =，求HBC 面积的最大值.变式25．（2024·江苏无锡·高一锡东高中校考期中）在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，2cos cos cos a A b C c B =+．(1)求角A 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，且其面积为2，点G 为ABC 重心，点M 为线段AC 的中点，点N 在线段AB 上，且2AN NB =，线段BM 与线段CN 相交于点P ，求GP 的取值范围.变式26．（2024·河北邢台·高一统考期末）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22cos )()sin C A a b B -=-，且ABC(1)求C 的大小；(2)若G 是ABC 的重心，求ACG 面积的最大值．变式27．（2024·辽宁抚顺·高一抚顺一中校考阶段练习）如图，记锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，24c b ==，A 的角平分线交BC 于点D ，O 为ABC 的重心，过O 作OP BC ∥，交AD 于点P ，过P 作PE AB ⊥于点E .(1)求a 的取值范围；(2)若四边形BDPE 与ABC 的面积之比为λ，求λ的取值范围.变式28．（2024·浙江·高一路桥中学校联考期中）若O 是ABC 的外心，且()()2222252AC AB AB AO AC AO AO AB AC⋅⋅+⋅⋅= ，则sin 2sin B C +的最大值是（）A2B C ．52D ．变式29．（2024·全国·高三专题练习）已知O 是三角形ABC 的外心，若()2AC AB AB AO AC AO m AOAB AC⋅+⋅=，且sin sin B C +m 的最大值为（）A ．6B ．65C ．145D ．3题型九：坐标法例25．（2024·全国·高三专题练习）在Rt ABC △中，2BAC π∠=，2AB AC ==，点M 在ABC内部，3cos 5AMC ∠=-，则22MB MA -的最小值为______．例26．（2024·全国·高一专题练习）在ABC 中，2AB =，AC =135BAC ∠=︒，M 是ABC所在平面上的动点，则w MA MB MB MC MC MA =⋅+⋅+⋅的最小值为________．例27．（2024·湖北武汉·高二武汉市第三中学校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆229x y +=上两点，点(1,1)A ，且AB AC ⊥，则线段BC 的长的取值范围是___________.变式30．（2024·全国·高三专题练习）在ABC ∆中，AB AC =ABC ∆所在平面内存在一点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积的最大值为（）A B C D 变式31．（2024·全国·高三专题练习）在等边ABC 中，M 为ABC 内一动点，120BMC ∠=︒，则MAMC的最小值是（）A ．1B ．34C D 变式32．（2024·江西·高三校联考开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则(,)F x y =的最小值为（）A ．4B ．2+C ．3+D ．4+题型十：隐圆问题例28．（2024·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知9CD =，16BD =，=90BDC ∠︒，4sin 5A =，则对角线AC 的最大值为（）A ．27B ．16C ．10D ．25例29．（2024·江苏泰州·高三阶段练习）已知ABC 中，2BC =，G 为ABC 的重心，且满足AG BG ⊥，则ABC 的面积的最大值为______.例30．（2024·湖北武汉·高二武汉市洪山高级中学校考开学考试）已知等边ABC 的边长为2，点G 是ABC 内的一点，且0AG BG CG ++=，点P 在ABC 所在的平面内且满足1PG = ，则PA 的最大值为________.变式33．（2024·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，90BAD ︒∠=，2AB =，1AD =．若43AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅，则12CB CD +的最小值为____．变式34．（2024·全国·高三专题练习）若ABC 满足条件4AB =，AC =，则ABC 面积的最大值为__.变式35．（2024·江苏·高三专题练习）在ABC 中，BC 为定长，23AB AC BC += ，若ABC的面积的最大值为2，则边BC 的长为____________．变式36．（2024·全国·高三专题练习）ABC 中2AB AC ==，ABC 所在平面内存在点P 使得224PB PC +=，21PA =，则ABC 的面积最大值为__________________．变式37．（2024·全国·高三专题练习）已知ABC ∆中，AB AC ==ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积的最大值为__________．题型十一：两边夹问题例31．（2024·全国·高三专题练习）在ABC 中，若cos cos π2,,0,sin sin 2A B A B B A ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，且ABC 的周长为12．(1)求证：ABC 为直角三角形；(2)求ABC 面积的最大值．例32．（2024·全国·高三专题练习）设ABC ∆的内角A B C ，，的对边长a b c ，，成等比数列，()1cos cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为__________.例33．（2024·全国·高三专题练习）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ．已知a ，b ，c 依次成等比数列，且()1cos cos 2A CB --=，延长边BC 到D ，若4BD =，则ACD ∆面积的最大值为______．题型十二：与正切有关的最值问题例34．（2024·全国·高一专题练习）在锐角三角形ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，且满足22b a ac -=，则11tan tan A B-的取值范围为___________.例35．（2024·全国·高一阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sinsin 2B Cb a B +=.(1)求A 角的值；(2)若ABC 为锐角三角形，利用（1）所求的A 角值求a cb-的取值范围.例36．（2024·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2B Cb a B +=．求：(1)A ；(2)a cb-的取值范围．变式38．（2024·全国·高三专题练习）锐角ABC 是单位圆的内接三角形，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22224cos 2cos +-=-a b c a A ac B ，则acb的取值范围是（）A ．B ．C ．2⎛ ⎝D ．2⎛ ⎝变式39．（2024·安徽合肥·高一合肥市第七中学校考期中）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则bc的取值范围为（）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．34,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．35,53⎛⎫ ⎪⎝⎭变式40．（2024·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22a c bc -=，则113sin tan tan A C A-+的取值范围为（）A ．)+∞B ．C ．D ．题型十三：最大角问题例37．（2024·全国·高三专题练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M ，N 是锐角∠AQB 的一边QA 上的两点，试在QB 边上找一点P ，使得∠MPN 最大．”如图，其结论是：点P 为过M ，N 两点且和射线QB 相切的圆与射线QB 的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点2()1,M -，(1,4)N ，点P 在x 轴上移动，当∠MPN 取最大值时，点P 的横坐标是（）A ．1B ．－7C ．1或－7D ．2或－7例38．（2024·全国·高三专题练习）设ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=，则tan()A B -的最大值为（）A ．35B ．13C ．38D ．34例39．（2024·江西上饶·高三上饶中学校考期中）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1cos cos 2a Bb Ac -=，当tan(A －B)取最大值时，角C 的值为A ．2πB ．6πC ．3πD ．4π变式41．（2024·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶A 离地面12米，树上另一点B 离地面8米，若在离地面2米的C 处看此树，则tan ACB ∠的最大值为（）A B C D 变式42．（2024·江苏扬州·高一统考期中）如图：已知树顶A 离地面212米，树上另一点B 离地面112米，某人在离地面32米的C 处看此树，则该人离此树（）米时，看A 、B 的视角最大.A ．4B ．5C ．6D ．7题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题例40．（2024·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考阶段练习）ABC 内一点O ，满足OAC OBA OCB ∠=∠=∠，则点O 称为三角形的布洛卡点．王聪同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确结论，比如πBOC ABC BAC ACB ∠=-∠=∠+∠，请你和他一起解决如下问题：(1)若a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，CAO BAO OBA OCB ∠=∠=∠=∠，证明：2a bc =；(2)在（1）的条件下，若ABC 的周长为4，试把AB AC ⋅uu u r uuu r 表示为a 的函数()f a ，并求AB AC⋅uu u r uuu r的取值范围．例41．（2024·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于120 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120 ；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点，已知在ABC 中，已知2π3C =，1AC =，2BC =，且点M 在AB 线段上，且满足CM BM =，若点P 为AMC的费马点，则PA PM PM PC PA PC ⋅+⋅+⋅=（）A ．1-B ．45-C ．35-D ．25-例42．（2024·全国·高三专题练习）点P 在ABC 所在平面内一点，当PA PB PC ++取到最小值时，则称该点为ABC 的“费马点”.当ABC 的三个内角均小于o 120时，费马点满足如下特征：o 120APB BPC CPA ∠∠∠===.如图，在ABC 中，AB AC =，BC =，则其费马点到,,A B C 三点的距离之和为（）A ．4B ．2C ．2-D ．2变式43．（2024·湖南邵阳·统考三模）拿破仑·波拿巴最早提出了一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在△ABC 中，已知30ACB ∠=︒，且AC =3BC =，现以BC ，AC ，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A '，B '，C '，则A B C ''' 的边长为（）A ．3B ．2CD 变式44．（2024·河南·高一校联考期末）几何定理：以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（称为拿破仑三角形）的顶点．在ABC 中，已知π6C =，AC =作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A '，B '，C '，则A B C ''' 的面积为（）A ．3B ．2CD题型十五：托勒密定理及旋转相似例43．（2024·江苏淮安·高一校联考期中）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC 、BD 是其两条对角线，BD =ACD 为正三角形，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．16C ．D ．12例44．（2024·全国·高三专题练习）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC 、BD 是其两条对角线，BD =ACD 为正三角形，则四边形ABCD 的面积为（）A ．8B ．16C ．D ．例45．（2024·全国·高三专题练习）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD 内接于半径为120A ∠=︒，45B ∠=︒，AB AD =，则四边形ABCD 的周长为（）A ．+B ．C ．+D ．变式45．（2024·江苏·高一专题练习）凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形ABCD 中，1AB =，BC =，AC CD ⊥，2AD AC =，当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为（）A ．4BC ．D变式46．（2024·江苏无锡·高一江苏省江阴市第一中学校考阶段练习）在ABC 中，BC =1AC =，以AB 为边作等腰直角三角形ABD (B 为直角顶点，C ，D 两点在直线AB 的两侧).当角C 变化时，线段CD 长度的最大值是（）A ．3B ．4C ．5D ．9变式47．（2024·全国·高一专题练习）在ABC 中，BC =1AC =，以AB 为边作等腰直角三角形ABD （B 为直角顶点，C 、D 两点在直线AB 的两侧）.当C ∠变化时，线段CD 长的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4变式48．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，在平面四边形ABCD 中，AB =1，BC =2，ACD 为正三角形，则 BCD 面积的最大值为（）A ．2BC ．22+D 1题型十六：三角形中的平方问题例46．（2024·全国·高三专题练习）已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，若满足a 2+b 2+2c 2＝8，则△ABC 面积的最大值为（）A 5B ．5C ．5D ．3例47．（2024·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足222533a b c +=，则sin A 的取值范围是___________.例48．（2024·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从阳，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是S =，其中a ，b ，c 是ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若sin 2sin cos C A B =，且224b c +=，则ABC 面积S 的最大值为（）A B C D 变式49．（2024·河南洛阳·高三校考阶段练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22212a b c ++=，23A π=，则ABC 面积的最大值为（）AB C D 变式50．（2024·云南·统考一模）已知ABC 的三个内角分别为A 、B 、C .若222sin 2sin 3sin C A B =-，则tan B 的最大值为（）A B C D 变式51．（2024·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足2b ac =，则sin cos tan sin cos tan A A CB B C++的取值范围（）A ．⎝⎭B ．⎝⎭C ．⎝⎭D ．⎝⎭变式52．（2024·全国·高三专题练习）在锐角三角形ABC 中，已知2222sin sin 2sin A B C +=，则111tan tan tan A B C++的最小值为（）A ．B CD 题型十七：等面积法、张角定理例49．（2024·全国·高三专题练习）已知ABC 的内角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，内角A 的角平分线交边BC 于D 点，且4=AD ．若(2)cos cos 0b c A a C ++=，则ABC 面积的最小值是（）A ．16B ．C ．64D ．例50．（2024·湖北武汉·高一校联考期中）已知△ABC 的面积为S ,∠BAC=2α,AD 是△ABC 的角平分线,则AD 长度的最大值为（）A BC D 例51．（2024·上海宝山·高三上海市吴淞中学校考期中）给定平面上四点,,,O A B C 满足4,3,2,3OA OB OC OB OC ===⋅=，则ABC ∆面积的最大值为_______.变式53．（2024·安徽·高一安徽省太和中学校联考阶段练习）在ABC 中，π3BAC ∠=，AM是BAC ∠的角平分线，且交BC 于点M .若ABC AM 的最大值为______.变式54．（2024·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，内角A 的角平分线交边BC 于D 点，且4=AD .若(2)cos cos 0b c A a C ++=，则ABC 面积的最小值是______.变式55．（2024·江西九江·高一德安县第一中学校考期中）ABC 中，ABC ∠的角平分线BD 交AC 于D 点，若1BD =且2π3ABC ∠=，则ABC S 面积的最小值为________.变式56．（2024·湖北武汉·高一华中科技大学附属中学校联考期中）已知ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a、b 、c ，π3ABC ∠=，ABC ∠的角平分线交AC 于点D ，且BD =，则a c +的最小值为___．变式57．（2024·全国·高一专题练习）已知ABC ，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，1,c C =∠的角平分线交AB 于点D ．若sin sin 2sin A B ACB ∠+=，则CD 的取值范围是____________．变式58．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知ABC ，120BAC ∠=︒，D 为BC上一点，且AD 为BAC ∠的角平分线，则9AB ACAD+的最小值为___________。

解三角形之最值、范围问题一、单选题1．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =c sin B ，则tan A 的最大值为（ ） A ．1 B ．54C ．43D ．32【答案】C2．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且,,A B C 成等差数列，2b =，则a c +的取值范围是（ ）A ．(]2,3B ．(]2,4C ．(]0,4 D ．(2,【答案】B3．锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2225a b c +=，则cos C 的取值范围是（ ） A ．(123，） B ．(112，）C ．[45D ．[45，1) 【答案】C4．在ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若()()3cos sin sin 1cos A B A B -=+，6a c +=，则ABC 的面积的最大值为（ ）A ．BCD ．【答案】D5．已知ABC 三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c cos sin 0A a C +=，若角A 的平分线交BC 于D 点，且1AD =，则b c +的最小值为( )A ．2B ．C ．4D ．【答案】C6．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b =，且()()()3sin sin sin c B C a A c -+=-⋅，则ABC 周长的最大值为（ ）A ．8B ．9C ．12D ．15【答案】B二、解答题7．已知函数()2cos 3cos 1f x x x x =-+.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别,,a b c .若()1,f C c ==D 为AB 的中点，求CD 的最大值. 【答案】（1）递减区间511[,]1212k k k Z ππππ++∈；（2）32. 8．现有三个条件①sin()sin ()sin c A B b B c a A +=+-，②tan 2sin b aB A=，③(1cos )sin a B A +，请任选一个，填在下面的横线上，并完成解答． 已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，若______．（1）求角B ；（2）若a c +=，求ABC 周长的最小值，并求周长取最小值时ABC 的面积．【答案】（1）3π；（2）4.9．如图，在四边形ABCD 中，CD =BC =cos 14CBD ∠=-.（1）求BDC ∠； （2）若3A π∠=，求ABD △周长的最大值. 【答案】（1）6π；（2）12 10．已知ABC 的内角、、A B C 所对的边分别是,,,a b c 在以下三个条件中任先一个：①22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-；②sin4A =；③sin sin 2B C b a B +=； 并解答以下问题：（1）若选___________(填序号)，求A ∠的值；（2）在（1）的条件下，若(0)a b m m ==>，当ABC 有且只有一解时，求实数m 的范围及ABC 面积S 的最大值.【答案】（1）条件选择见解析；60A =；（2）({}2m ∈⋃，max S =. 11．已知函数()21sin cos cos 62f x x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. （1）当[],0x π∈-时，求出函数()f x 的最大值，并写出对应的x 的值； （2）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()12f A =，4b c +=，求a 的最小值. 【答案】（1）当56x =-π时，函数()f x 取最大值34；（2）最小值为2.12．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1cos 2a c Bb =+. （1）若1c =，求ABC 面积的最大值；（2）若D 为BC 边上一点，4DB =，5AB =，且12AB BD ⋅=-，求AC .【答案】（1（2.13．在ABC 中，设,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，4A π=，1cos 3B =，a b += （1）求,a b 的值；（2）已知,D E 分别在边,BA BC 上，且AD CE +=，求BDE 面积的最大值.【答案】（1）a =b =（214．在ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，已知1cos 2b a Cc =+. （1）求角A ；（2）若1AB AC ⋅=，求a 的最小值.【答案】（1）3π；（2。

一、解答题1．在中，已知角、、的对边分别为，，且.（1）求的值；（2）若，求面积的最大值.【答案】(1).（2）.【解析】分析：（1）应用正弦、余弦定理化简，即可求出b的值；（2）先由B的余弦定理可得：，再结合基本不等式，即，即可得出结论.点睛：考查正余弦定理的应用、基本不等式求最值，对题意的正确分析和定理的灵活运用是解关键，属于基础题.2．的内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为.（1）求；（2）若为中点，且，求的最大值.【答案】(1).(2).【解析】分析：（1）先设面积公式，化角为边，整理求出C。

（2）利用余弦定理列出中线在中，在中的表达式，由两角互补化简两组表达式，得出的关系式，再用均值不等式求解最值。

（2）在中，，即，在中，，即.因为，所以，所以，由（1）及得，，所以，所以，即，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为.解法二：（1）同解法一.因为，，所以，即.因为为中点，所以，所以，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为.点睛：（1）三角恒等式的化简有两种化边为角或者化角为边。

（2）三角形的中线问题，利用中线位于两个三角形中且底角互补，化简整理出中线与三角形三边关系的表达式。

3．在中，分别是内角所对的边，向量，,且满足.（1）求角的大小；（2）若，设角的大小为，的周长为，求的最大值.【答案】（1）；（2）3【解析】【详解】（1）因为a b，所以.由正弦定理得，即.由余弦定理得，又因为，所以.（2）由，及正弦定理得，而，，则，，于是，由得，所以当即时，.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，向量的数量积、余弦定理、正弦定理的应用，考查计算能力．属中档题.4．在中，.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求的取值范围.【答案】(1) ;(2) 的取值范围为.【解析】【详解】（Ⅰ）因为，所以，由正弦定理，得，所以，又因为，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以，所以，，因为，所以，所以当时，取得最大值；当时，.所以的取值范围为【点睛】（1）在三角形中根据已知条件求未知的边或角时，要灵活选择正弦、余弦定理进行边角之间的转化，以达到求解的目的．（2）求角的大小时，在得到角的某一个三角函数值后，还要根据角的范围才能确定角的大小，这点容易被忽视，解题时要注意．5．设函数．(Ⅰ) 求的最大值，并写出使取最大值时的集合；(Ⅱ) 已知中，角、、的对边分别为、、．若，，求的最小值．【答案】（1）2，（2）1【详解】的最大值为要使取得最大值时，则，故的集合为【点睛】本题是道三角函数综合题目，运用二倍角、辅助角公式进行化简，求出最大值时的集合，并结合余弦定理和基本不等式求出最值。

一、解答题1．如图，某快递小哥从地出发，沿小路以平均速度为20公里小时送快件到处，已知公里，，是等腰三角形，．2．在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距402海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45+ θ(其中sinθ=2626，090θ<<)且与点A相距1013海里的位置C．（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.3．钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图:点分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点在点的北偏东方向，点在点的南偏西方向，点在点的南偏东方向，且两点的距离约为3海里. (1)求两点间的距离；(精确到0.01)4．如图，一山顶有一信号塔CD （CD 所在的直线与地平面垂直），在山脚A 处测得塔尖C 的仰角为α，沿倾斜角为θ的山坡向上前进l 米后到达B 处，测得C 的仰角为β.（1）求BC 的长；（2）若24l =， 45α=， 75β=， 30θ=，求信号塔CD 的高度.5．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在处获悉后，立即测出该渔船在方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为，距离为15海里的处，并测得渔船正沿方位角为的方向，以15海里/小时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以海里/小时的速度前去营救，求舰艇靠近渔船所需的最少时间和舰艇的航向.6．一根长为L 的铁棒AB 欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽2AC BD == m ．∠=，试将L表示为θ的函数；（1）设BODθ（2）求L的最小值，并说明此最小值的实际意义．。

(1)求中线AD的长度；【答案】(1)2121②三角形角平分线问题1．（2022·江苏南通·高一期末）在ABC sin sin A B c b ++=．由面积公式得11sin 22ab C ab =⨯1sin 26ACD CA CD S CA π⋅⋅⋅===②法一：由CD CB λ= ，得= AD AB λ又(1)=-=-- CE AE AC AB ACλ 5．（2022·浙江宁波·高一期中）已知点数()f x OM ON =⋅ ．(1)求函数()f x 的解析式和最小正周期；(2)在锐角△ABC 中，角A ，2BD =，若()3f A =，求△∵AD为∠BAC的角平分线，(1)求角A ；(2)若3a =，123O O O 的面积为【答案】(1)3A π=(2)333+(1)正123O O O 面积2131sin 602S O O =⋅⋅而60BAC ∠=︒，则13120O AO ∠=°在13O AO 中，由余弦定理得：O 即221723332b c bc ⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪⎝⎭，则b 在ABC 中，60A =︒，3a =，由余弦定理得则229b c bc +-=，∴6bc =，2b ∴22233b c b c bc +=++=，所以(1)求角B ；(2)若2BD =，求ACD △的周长的取值范围；【答案】(1)3B π=(2)(23,23⎤+⎦(1)选择①：cos 3cos 2b C c B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即由正弦定理得sin sin 3sin cos B C C B =因为ABC ABD CBD S S S =+ 化简得32BA BC BA +=又由余弦定理得2AC =①②联立解得BA BC ⨯(1)求θ的取值范围；(2)设四边形ABCD 的面积为S ，求S f =【答案】(1)π,π3⎛⎫⎪⎝⎭(2)52cos sin 2S θθ=-+，π,π3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；最大值为【解析】(1)由2AD =，1DC =，可得CAD ACD ∠<∠由四边形ABCD 中四个内角都小于π，可得(1)若在△ABC内部取一点P，建造连廊供游客观赏，方案一如图形PBC的顶点，且23CPBπ∠=，求连廊AP PC PB++(2)若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，并建造连廊，使得△名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图②，使得△DEF的面积，求2S的最小值；方案三如图③，使得DE平行于(1)求边BC的长度；(1)求函数()y f x =的表达式；(2)设APQ 的面积为1S ，四边形BCQP 的面积为【答案】(1)x y =11x ⎛⎫≤≤ ⎪.∵0BP CP ⋅= ，∴PB PC ⊥，∵易得12,33AD b CD b==，由19cos cos bADB CDB ∠+∠=3π⎫⎪⎭。

2018年高考数学解三角形专题复习100题1.如图在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，，BC=2BD.（1）求的值；（2）求sinC的值.2.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知 .求sinA和c的值.3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2,b=2．（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且AD AC,求△ABD的面积．4.在中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，．（1）若，求c的值；（2）若，求的面积．5.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．（1）求c；（2）设为边上一点，且，求的面积．6.在△ABC中，=60°，c= a.（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积.7.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A= a.(1)求；2228.△ABC的内角A,B,C的对边分别为、、，且.（1）若，求的值；（2）若，求的值.9.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，其中，且，延长线段到点，使得.（Ⅰ）求证：是直角；（Ⅱ）求的值.10.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角A的值；(2)若的面积为，△ABC的周长为，求边长a.11.为绘制海底地貌图，测量海底两点C,D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A,B两点进行测量，A,B,C,D在同一个铅垂平面内. 海底探测仪测得同时测得海里。

（1）求AD的长度;（2）求C，D之间的距离.12.在中，角A,B,C对边分别为a,b,c，角，且.（1）证明：；（2）若面积为1，求边c的长.（Ⅰ）求B0的值；（Ⅱ）当B=B0,a=1,c=3,D为AC的中点时，求BD的长．14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．15.在中，角，，的对边分别是，，，已知，．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ) 若角为锐角，求的值及的面积．16.在△ABC中，已知.（1）求的长；（2）求的值.17.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，向量与平行.(I)求A；(II)若,求△ABC的面积.18.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知的面积为．（1）求；（2）若，，求的周长．19.在△ABC中，角的对边分别为，且满足.（1）求角的值；20.在△ABC中，角的对边分别为a，b，c, ，c=，又△ABC的面积为，求：(1)角的大小；(2)的值．21.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2﹣sinB•sinC=．（1）求A；（2）若a=4，求△ABC面积的最大值．22.在△ABC中，已知角A,B,C的对边分别是a,b,c,且.（I）求角C的大小；（II）如果，，求实数m的取值范围.23.已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=•﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，内角A．B、C的对边分别为a，b，c，tanB=，对任意满足条件的A，求fA．的取值范围．24.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为，且．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求C．25.在△ABC中，a、b、c分别为内角A．B、C的对边，且2sinAcosC=2sinB﹣sinC．（1）求∠A的大小；（2）在锐角△ABC中，a=，求c+b的取值范围．26.在ABC中，（I）求的大小（II）求的最大值27.设函数，其中向量，，.（Ⅰ）求的最小正周期与单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A．B、C的对边，已知fA．=2，b=1，△ABC的面积为，求的值.28.△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知（2a+b）sinA+（2b+a）sinB=2csinC．（Ⅰ）求C的大小；（Ⅱ）若，求△ABC周长的最大值．29.已知A ．B 、C 是△ABC 的三内角，向量m=(－1，3)，n=(cosA ，sinA)，且m ·n=1.(1)求角A ；(2)若3)4tan(-=+B π，求tanC.30.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且C=，a=6．（Ⅰ）若c=14，求sinA 的值；（Ⅱ）若△ABC 的面积为3，求c 的值．31.在△ABC 中，a,b,c 分别为内角A,B,C 的对边，且（Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）求的最大值.32.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cosC （acosB+bcosA ）=c ．（Ⅰ）求C ； （Ⅱ）若c=，△ABC 的面积为，求△ABC 的周长．33.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且。

专题5解三角形中的最值与范围问题一、三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式或常用不等式求最值：化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。

2、转为三角函数求最值：化边为角如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。

要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。

二、边化角与角化边的变换原则在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；(2)若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；(4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理．2020·浙江卷2019年全国Ⅲ卷·文·理T184．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．2018·北京卷2018·江苏卷6．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=°，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ．题型一 由不等式求最值角平分线相关1．（多选）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，π3ABC ∠=，内角B 的平分线交AC 于点D 且BD =，则下列结论正确的是（ ）A ．111a c+= B ．b 的最小值是2C ．3a c +的最小值是D ．ABC2．（2024届·湖南衡阳市八中校考）在①，②，③中选一个，补充在下面的横线中，并解答.在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________.(1)求A ；(2)若内角A 的角平分线交BC 于点，且，求的面积的最小值.（注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分） 中线相关3．（2024届·湖北校联考）已知分别是的三个内角的对边，且. (1)求角；(2)若在边上且，求面积的最大值.()()b c a b c a bc +−++=sin cos )a Ca Cb =−(2)cos cos 0bc A a C ++=ABC D AD =ABC ,,a b c ABC ,,A B C cos sin 0a C C b c −−=A D BC ,2BD DC AD ==ABC 重点题型·归类精讲浙江省百校联盟2022-2023学年高三上学期11月模拟福建省厦门双十中学高三上学期期中定角定高6．如图，在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AH=4 ，∠BAC=60°，求△ABC 面积的最小值.对式子变形后利用基本不等式求最值7．在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)若，，求的面积；(2)求的最小值，并求出此时的大小.湖南省益阳市2022届高三上学期9月调研题型二 构造函数求范围9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，，求的取值范围．2024届·雅礼中学月考（二）10．记锐角的内角的对边分别为，已知．(1)求证：；(2)若，求的最大值．ABC A B C a b c ()2222sin 0ac B C a c b +++−=π6A =2a =ABC 2224sin 3sin 2sin C A B++B π32c =2a b −ABC ,,A B C ,,a b c sin()sin()cos cos A B A C B C−−=B C =sin 1a C =2211a b +2023届河北省唐山市三模12．（2024届·湖南长郡中学校考）在锐角中，内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若的取值范围.ABC ,,A B C ,,a b c ()2sin cos cos A c B b C +A a =223b c bc ++2023届广东江门市一模2024届常德市一中校考14．在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若，请完成以下问题： (1)求角B 的大小；(2)若为锐角三角形，，求的取值范围．2024届长沙一中月考（一）15．在锐角中，角的对边分别为，且满足.(1)求证：；(2)设的周长为，求的取值范围.ABC 1cos 2b Cc a +=ABC 1c =22a b +ABC ,,A B C ,,a b c 22b a ac −=2B A =ABC l la2024届长沙一中月考（二）16．的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，点O 为的内心，记，，的面积分别为，，，已知，.(1)在①；②；③中选一个作为条件，判断是否存在，若存在，求出的周长，若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(2)若为锐角三角形，求面积的取值范围.17．在中，角，，所对的边分别为，，，.(1)求角的大小；(2)若的取值范围.ABC ABC OBC △OAC OAB 1S 2S 3S 22213132S S S S S +−=2AB =cos cos 1a C c A +=4sin sin cos21B A A +=12cos 12cos 0sin sin A BA B−−+=ABC ABC ABC ABC ABC A B C a b c sin sin tan cos cos A BC A B+=+C ABC c18．（2024届·扬州中学校考）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3b =，sin sin A a B +，则ABC 周长的取值范围为 .2024届河南省实验中学校考19．在锐角中，内角所对的边分别为，，，满足，且. (1)求证：；(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围.湖北省腾云联盟2023-2024学年高三上学期10月联考ABC ,,A B C a b c 222sin sin sin 1sin sin A A CC B−−=A C 2BC =BD ABC ∠4a =BD。